同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)

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一、 选择题(本大题共20分,每小题2分)

1.设a与b为非零向量，则0ab是( )

(A) ab的充要条件 (B) ab的充要条件

(C) //ab的充要条件 (D) //ab的必要但不充分条件

2.准线为xoy平面上以原点为圆心，半径为2的圆周，母线平行于z轴的圆柱面方程是( )

(A) 220yx (B) 224yx

(C) 2240yx (D) 2224yxz

3.向量=(,,)xyzAAA，=(,,)xyzBBB垂直的充分必要条件是( )

(A) 0 (B) 0 (C) yxzxyzAAABBB (D) 0

4.设ecosxzy，则2zxy（ ）

(A) esinxy (B) eesinxxy (C) ecosxy (D) esinxy

5.函数zxy在点(0,0) ( )

(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值

6.(,)fxy在点(,)xy处的偏导数(,)xfxy和(,)yfxy连续是(,)fxy可微分的（ ）

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件

(C) 必要非充分条件 (D) 非充分又非必要条件

7.设积分区域D是由11,22xy所围成，则Dxydxdy（ ）

25　

习题1－6 极限存在准则　两个重要极限

１畅计算下列极限：

（１）lim

x→０sinωx

x； （２）lim

x→０tan３x

x；

（３）limx→０sin２x

sin５x；（４）limx→０xcotx；

（５）lim

x→０１－cos２x

xsinx；（６）lim

n→∞２nsinx２n（x为不等于零的常数）．

解　（１）当ω≠０时，

lim

x→０sinωx

x＝lim

x→０ω·sinωx

ωx＝ωlim

x→０sinωx

ωx＝ω；

当ω＝０时，

lim

x→０sinωx

x＝０＝ω，

故不论ω为何值，均有limx→０sinωxx＝ω．

（２）lim

x→０tan３x

x＝lim

x→０３·tan３x３x＝３lim

x→０tan３x

３x＝３．

（３）lim

x→

０sin２x

sin５x＝lim

x→０sin２x２x·５xsin５x·２

５＝２

５lim

x→０sin２x

２x·lim

x→０５xsin５x＝２

５．

（４）limx→０xcotx＝lim

x→０x

sinx·cosx＝lim

x→０x

sinx·lim

x→０cosx＝１．

（５）lim

x→０１－cos２x

xsinx＝lim

x→０２sin２x

xsinx＝２lim

x→０sinx

x＝２．

（６）lim

n→∞２nsinx

２n＝lim

n→∞sinx２n

x

２n·x＝x．

２畅计算下列极限：

（１）lim

x→０（１－x）１x； （２）lim

x→０（１＋２x）１x；

（３）lim

x→∞１＋x

x２x；（４）limx→∞１－１

xkx（k为正整数）．

解　（１）limx→０（１－x）１x＝lim

x→０［１＋（－x）］１（－x）（－１）＝e－１．（２）limx→０（１＋２x）１x＝limx→０（１＋２x）１２x２＝e２．

（３）lim

x→∞１＋x

x２x＝lim

x→∞１＋１

xx２＝e２．26　（４）lim

x→

∞１－１

xkx＝lim

x→

∞１＋１

（－x）（－x）（－k）＝e－k．

倡３畅根据函数极限的定义，证明极限存在的准则Ⅰ′．

准则I′　如果（１）g（x）≤f（x）≤h（x），x∈U。（x０，r），

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第2章导数与微分

2.1复习笔记

一、导数概念

1．导数

（1）导数与导函数

①导数的定义

00

0

00limlim

xxfxxfx

y

fx

xx











（2）单侧导数

①左导数



00

0

0()lim

hfxhfx

fx

h









②右导数



00

0

0()lim

hfxhfx

fx

h









③函数f（x）在点x

0处可导的充要条件

左导数'

0()fx

和右导'

0()fx

都存在且相等。

注：如果函数f（x）在开区间（a，b）内可导，且'(a)f

及'(b)f

都存在，则f（x）在

闭区间[a，b]上可导。

2．导数的几何意义

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（1）几何意义：切线的斜率

（2）切线方程

曲线y＝f（x）在点M（x

0，y

0）处的切线方程为y－y

0＝f′（x

0）（x－x

0）。

（3）法线方程

如果f′（x

0）≠0，法线方程为y－y

0＝－（x－x

0）/f′（x

0）。

3．函数可导性与连续性的关系

如果函数y＝f（x）在点x处可导，则函数在该点必连续。相反，如果函数在某点连续，

函数在该点不一定可导。

二、函数的求导法则

1．函数的和、差、积、商的求导法则

（1）定理

如果函数u＝u（x）及v＝v（x）都在点x具有导数，则它们的和、差、积、商（除分

母为零的点外）都在点x具有导数，且

①[u（x）±v（x）]′＝u′（x）±v′（x）；

②[u（x）v（x）]′＝u′（x）v（x）＋u（x）v′（x）；

③





20uxuxvxuxvx

vx

vxvx









。

（2）推广

（uvw）′＝u′vw＋uv′w＋uvw′

（Cu）′＝Cu′（C为常数）

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2．反函数的求导法则

。

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高等数学（同济大学数学系 第七版）上册

第七章：微分方程课后习题答案 。

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