证明异面直线三法

广 东 技 术 师 范 学 院 天 河 学 院

教 案

2012 年 月 日第

周

第三章投影变换——换面法

本章教学目的及基本要求：

掌握换面法的基本概念，点的换面，直线的换面及空间几何问题综合练习

本章教学内容的重点和难点：

一、本章重点：

1．换面法的基本概念

2．点的换面，直线的换面

3．空间几何问题综合练习。

二、本章难点：

1．换面法的基本概念

2．空间几何问题综合练习

本章教学内容的深化和拓宽：

养成良好的习惯，严谨的工作作风

本章教学方法、方式：

讲授法，演示法教学、习题集作业、手工绘图

本章主要参考资料： 1. 机械制图（第六版）大连理工大学编

高等教育出版社出版

2. 机械制图（第三版）刘力主编

高等教育出版社出版

3. 画法几何学（第六版）大连理工大学编

高等教育出版社出版

单 元 教 案 首 页

2012年 月 日第 周

课题： 换面法的基本概念 点的换面 直线的换面 课次：

教学方法： 讲授法，演示法 教具： 尺，规

教学目的：

掌握换面法的基本概念，点的换面，直线的换面

教学重点：

1.点的换面

2.直线的换面

教学难点：换面法的基本概念

点的换面

直线的换面 教学过程时间分配（包括组织教学：复习旧课、作业问题分析、讲授新课、新课小结、布置作业）

讲授新课： 80分钟

小结、布置作业： 10分钟

1 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

1．理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)

2．会用待定系数法求平面的法向量．(难点)

3．平面法向量的设法．(易错点)

[基础²初探]

教材整理1 直线的方向向量

阅读教材P99上半部分，完成下列问题．

我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．

已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝________.

【解析】 AB→＝(－1,0,1)，由题意知，a∥AB→，则存在实数λ，使a＝λAB→，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即 2＝－λ，x＝λ，∴λ＝－2，x＝－2.

【答案】 －2

教材整理2 平面的法向量

阅读教材P99中间部分，完成下列问题．

如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．

1．平面α内一条直线l的方向向量为a＝(2,3，－1)，平面α的法向量为n＝(－1,1，m)，则m＝________.

【解析】 易知a²n＝0，即－2＋3－m＝0，解得m＝1. 2 【答案】 1

2．已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的法向量为________.

【导学号：09390079】

【解析】 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，

则 n²AB→＝z＝0，n²AC→＝－x＋y＋z＝0，

令x＝1，则y＝1，z＝0，

即n＝(1,1,0)，

则平面ABC的一个法向量为(1,1,0)．

【答案】 (1,1,0)(答案不惟一)

[质疑²手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

直线的方向向量及其应用

(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.

・ｌ２・　中学教研（数学）　２００６年第９期　

．－曩方法与技巧’　．－曩方法与技巧’‘解覃方法与技巧’’．Ｉ曩方法与拄巧’’解矗方法与技巧’’．’曩　法与技巧’’．－曩方法与技巧’’．－曩方法与拄　５　耋　从一道课本习题谈异面直线距离的求法　奏　

蠢　・商满仓　（甘肃宁县第一中学７４５２ｏｓ）　耋　

曩方莹与技巧．．．－一方莹与技巧．．．－曩方法与技巧．．．｜曩方法与技巧．．．－■方法与技巧．．．－曩方法与拄巧．．．－曩方叠与簋巧　．．．－一方法与技　

对于异面直线的距离，如果给出公垂线段，通过　

求向量的模或解三角形，总可求出公垂线段的长　即　

异面直线的距离．如果未给出公垂线段，有时做起来　

就显得有些难度．课本上就有这么一道题（见人教版　

高中数学第二册下Ｂ习题９．４第　题）：下面就以这　

道题目为例谈谈异面直线距离的求法．题目如下：　

ＢＤ．，ＢＤ，ＡＤ．，则ＢＤ，ＡＤ１分　

别为ＢＤ．在平面ＡＣ和平面　图１　

ＤＡ．内的射影．　

‘．’　ＡＣ￣ＢＤ，ＤＡｌ上　Ｉ　Ｉ，　

．‘．　ＡＣ上ＢＤＩ，ＤＡＩ上ＢＤＩ．　记ＡＣＮＢＤ＝０，取ＤＤ．的中点　，连结Ｄ　，则　

１　∥肋．，且　＝÷肋．．再连结Ａ　交　．于Ｆ，在　‘　ＡＡＯＥ中，过Ｆ作ＦＧ／／ＯＥ交ＯＡ于Ｃ，则ＦＧ为异　’　一　面直线ＡＣ与ＤＡ．的公垂线段。且　ｃ＝÷ｏＥ＝　

÷肋．，易求得ＢＤ．＝　．Ｊ　｛　

故ＦＧ：　，即所求异面直线的距离为　

２求线面距离　

两条异面直线的距离，等于其中一条直线到过　

另一条直线且平行于这条直线的平面的距离．课本　

上有这个结论．据此可将异面直线的距离转化为直　

线和与它平行的平面的距离．　

，　简解２如图２，连结Ａ．Ｃ．，则Ａ．Ｃ。／／４Ｃ，所以　

ＡＣ／／面Ａ。Ｃ．Ｄ，所以直线ＡＣ与面Ａ．Ｃ．Ｄ的距离就等　于直线ＡＣ与　．的距离．连结ＢＤ．Ｂ．Ｄ．，分别交　

ＡＣ，Ａ．Ｃ．于０，０．，显然Ａ．Ｃ．上面船．Ｄ．Ｄ，所以面　

ＡＩＣＩＤ上面ＢＢＩＤＩＤ，且面ＡｌＣＩＤＮ面ＢＢＩＤＩＤ＝ＤＯＩ．　

６　高等数学研究　ＶｏＬ　１０，Ｎｏ．２　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｍａｒ．，２００７　

空间两异面直线的公垂线方程的求法　

许　孟　（南京理工大学应用数学系　南京　２１００９４）　

摘　要　介绍了求空间中两异面直线公垂线方程的四种解法　关键词　异面直线；公垂线；直线方程；平面　中图分类号０１８２．２　

大多数《解析几何》教材中在研究空问中两直线的相关位置时，首先是给出两直线相关位置判　

别的充分必要条件，然后研究各自相关位置的特征性质．对异面直线来说，所具有的特征性质就是　

公垂线和两异面直线问的距离．若已知两直线ｚ。和ｚ　的方程为ｚ。：　＝　＝　，　

‘ｌ　２一　１‘，，２一，，１‘Ｚ２一Ｚ１　ｆ　

＝　＝　’贝ＩＪ两直线２。一与ｆ２异面的充要条件是△＝｛墨　ｚ。ｌ｛　ｌ　

≠０．我们知道与两条异面直线ｆ１和１２都垂直相交的直线Ｚ叫做两异面直线的公垂线．那么如何求　

出这条公垂线ｌ的方程呢？比较通行的教材都是给出下面的解法四，而其他的解法则不再介绍．其　

实，另外三种解法更基本，也容易人手，只是求解的表述烦琐些．　

我们不妨举例说明．　

例…　求两异面直线：ｚ。：｝＝　＝ｚ　＋广ｌ与ｚ　：　｝＝　｝：ｚ　－厂１的公垂线方程．　

解法一（定义法）　设所求公垂线ｚ的方程为　－－　：ｇＯ＝　＝　，即它过其上任意点　

（　，），。，％），且以　＝｛　，ｙ，ｚ｝作方向矢量．因为直线ｌ。过点　（Ｏ，０，一１），以ｔ，。＝｛１，一１，０｝　

为方向矢量，直线ｆ２过点　（１，１，１），以　＝｛１，１，０｝为方向矢量，所以，由公垂线定义有：　

１）　・　ｌ：０，即　—Ｙ＝Ｏ；　

一一　．＋　ｆ一　０一，，ｏ一１一ｇＯ　ｆ　

２）（删ｌ，口，　１）＝０，即ｌ　Ｘ】，　ｚ　ｌ＝０；　Ｉ　１　—１　０　Ｉ　

３）　・　２＝０，即　＋Ｙ＝０；　

Ｉ　１一：ｇＯ　１一，，０　１一ｇＯ　Ｉ　

４）（　，ｔ，，Ｕ２）＝０，即ｉＹ　ｚ　ｌ＝０．　１　１　１　０　ｌ