异面直线的定义及判断方法

三大角

一、异面直线

(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

(2)异面直线所成的角

已知两条异面直线a，b，过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角称为异面直线a与b所成的角(或夹角).

若两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.

探究一 求异面直线所成的角

[知能解读] 对异面直线所成的角的认识理解的注意点

(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．

(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．

(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．

若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为60°.

在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．

[方法总结] 求异面直线所成的角的一般步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法．当题设中有中点时，常考虑中位线；当异面直线依附于某几何体，且平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．

(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ即为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ即为所求.

[训练1] 如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成的角的度数是________．

[训练2] 已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________．

！　墨　

异面直线距离的求解方法　

朱志洪　

（常德财经学校，湖南常德４１５１０１）　

摘要：在数学教学中，充分运用数学知识的解题功能．　

有利于学生的全面发展，培养学生分析问题解决问题的能力．　

从而挖掘学生更深层次的学习潜能　本文从四个方面探讨了　

如何根据各种情形运用不同的方法求异面直线的距离．有助　于教学难点的突破，可以引导学生更新解题思路，提高学生的　

思维能力　

关键词：异面直线距离　公垂线法　最值法　线面平行　法　体积法　

在立体几何学习中，求异面直线之间的距离是学习中　

的难点，因此掌握几种求异面直线距离的常用方法是非常　

必要的。　

一、公垂线法　

找出或作出两异面直线的公垂线然后进行计算是求异面　

直线之间的距离的首要方法。由于两条异面直线的公垂线唯　

一存在，因此有时找出或作出其公垂线比较困难，但是如果两　异面直线中的一条在另一条所在的垂面内时．它们之间的公　

垂线往往比较容易作出　例１：边长为ａ的正方形的两条对角线ＡＣ．ＢＤ交于０．以ＢＤ　

为折痕将正方形折成空间图形，这时若ＡＡＣＤ为等边　角形．　

求异面直线ＡＣ和ＢＤ之间的距离　解：如图，‘．’ＡＡＣＤ为等边ｉ　Ａ　

义’．‘０Ｃ上ＢＤ　

．‘．ＢＤ　ｊ＿平面ＡＯＣ　

在平面ＡＯＣ内作ＯＥｊ＿ＡＣ于Ｅ。则ＯＥ为异面直线ＢＤ、ＡＣ　距离。　

・．・ＡＯ：ｏｃ：　ａ，ＡＣ：ａ，￣ＲｔＡＡＯＣ￣？，ＯＡ．０ｃ：Ａｃ．　

０Ｅ　

．．．ＯＥ：—ＯＡ＂ＯＣ：一１ａ　ＡＣ　２　

二、最值法　如果两条异面直线分别在两个互相垂直的平面内．应用　

学生５：我在刚才同学的基础上想到只要用一个有点硬的　

纸条插到杯子的底部，再拿出来对折一下，就能看出湿的部分　有没有一半了。　

学生６：受到刚才同学的启发，我觉得办法还可以更简单．　

只要将杯子斜过来，让水刚好到杯口．看看有没有形成象对角　

线一样，如果是那就刚好可以证明杯子里的水有１／２。　学生是多么富有智慧，对于１／２的理解是多么深刻。而　

如何证明自己的观点，正面的判断，转化的思想，逆向的思　

５ｌ卷增刊２　２Ｏ１０年ｌ２月　－＋】　国　造　船　ＳＨＩＰＢＵＩＬＤＩＮＧ　ＯＦ　ＣＨＩＮＡ　Ｖｏ１．５　１　Ｓｐｅｃｉａｌ　２　Ｄｅｃ．２０１０　文章编号：１　０００．４８８２（２０　１　０）￥２．５００　０４　

异面直线之间距离的测量计算方法　

张士舰，孟令河，宋国辉，吴鹏　（天津蓝海工程检测技术服务有限公司，天津３００４５２）　

摘要　利用最小二乘法建立了计算空问异面直线间公垂线的数学模型，并通过计算器编程可以方便地计算出　两异面直线间的最短距离及其夹角，实例计算表明：与传统使用的画法几何法相比，此法方便、快捷，在　保证精度的前提下大大提高了工作效率，可在钢结构工程导管、拉筋等构件尺寸位置关系的测量分析中应　用。　

关　键　词：异面直线；公垂线；最小二乘法　

０　引　言　

在钢结构工程测量中，要经常分析两条异面直线的位置关系，比如异面直线的公垂线段的长度，　两条异面直线的角度。传统的方法是利用画法几何原理并使用ＡＵＴＯＣＡＤ作图，但是这种方法费时间，　不能在第一时间给出信息反馈，而本文所采用的计算方法克服了画法几何的局限性，可以编写简单的　程序并存储于可编程计算器中，这样就可以非常方便地计算两条异面直线的位置关系，在现场就可以　把结果反馈给建造部门以便及时调整。　

１　数学模型　

空间直线方程式如下：　

化为参数方程形式如下：　

以向量形式表示的形式为：　兰二　：　二　：　三二三Ｑ：ｆ　ａ　ｂ　ｃ　

（２）　

Ｐ＝Ｘ　ｏ　ｉ＋ａ　ｔｉ－ｔ－　０　Ｊ＋ｂ　ｔｊ＋Ｚ　０　ｋ＋ｃ　ｔｋ　＝　０　ｉ＋　ｏ　Ｊ＋Ｚ　ｏ　ｋ＋口ｔｉ＋ｂ　ｔｊ＋ｃ　ｔｋ　（３）　＝Ｘ　０　ｉ＋Ｙ　０　Ｊ＋Ｚ　ｏ　ｋ＋ｆ（ａ　ｉ＋ｂｊ＋ｃ　ｋ）　

所以直线方程可以表示为Ｐ　＝Ｐ　０＋ｔｓ。　

如图１所示，在三维空问中有两条异面管线，利用全站仪在同一坐标系中测量并存储两管线端点　＋ｒＩｊ　

，　●●５１卷增刊２　张士舰，等：异面直线之间距离的测量计算方法　５０１　

定义判断的解题方法

其一、找准关键词。每个定义判断的短文中，都有1至数个关键词，应试者一定要找准，才能找出正确的选项。

其二、仔细审题。看问的是肯定型判断还是否定型判断，不然容易找错选项，尤忌将否定型的当成肯定型的去选答案。

其三、不要怀疑定义的正确性。应试者如果一味“钻牛角尖”，认为定义是片面的，那就不易找出正确答案了。

（一）肯定型判断的类型

【例1】下岗职工：是指由于企业的生产和经营状况等原因，已经离开本人的生产和工作岗位，并已不在本单位从事其他工作，但仍保留与用人单位的劳动关系的人员。

按照以上划分标准，以下哪项所述的人员可以称为下岗职工？（ ）

A．赵一原来在汽车制造厂工作，半年前辞去工作，开了一个汽车修理铺

B．钱二原来是某公司的办公室秘书。最近，公司以经营亏损为由，解除了她的工作合同，她只能在家做家务

C．李四原来在某服装厂工作，长期请病假。其实他的身体并不坏，目前在家里开了个缝纫部

D．王五原来在电视机厂工作，今年53岁。去年工厂因产品积压，人员富余，让50岁以上的回家休息，等55岁时再办正式退休手续

【例2】缓刑：指人民法院对于被判处拘役、三年以下有期徒刑的犯罪分子，根据犯罪分子的犯罪情节和悔改表现，认为确实不致再危害社会的，暂不收监执行刑罚，而规定一定的考验期。在考验期内，被判刑的犯罪分子如果不犯新罪，原判刑罚就不再执行。

根据上述定义，下列属于缓刑的是（ ）。

A．因张某畏罪潜逃，原来两年前要判的徒刑，直到今天才得以执行

B．王某因受贿罪被判处死刑，缓期二年执行

C．赵某因盗窃罪被判处有期徒刑三年，但由于其严重的肝脏疾病，人民法院给予监外执行

D．李某因重大责任事故酿成仓库失火，被判处两年有期徒刑，但其有悔改表现，暂不到监狱服刑

【例3】正当防卫：是指为了使国家、公共利益，本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害，而对不法侵害者所实施的有限度的行为。