2019版高考数学(理)课件：第48讲圆的方程

第59讲圆的方程

知识梳理

知识点一：基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．

知识点二：基本性质、定理与公式

1、圆的四种方程

（1）圆的标准方程：222()()xaybr，圆心坐标为（a，b），半径为(0)rr

（2）圆的一般方程：22220(40)xyDxEyFDEF，圆心坐标为,

22





DE

，半径224

2

DEF

r

（3）圆的直径式方程：若

1122(,),(,)AxyBxy，则以线段AB为直径的圆的方程是

1212()()()()0xxxxyyyy

（4）圆的参数方程：

①222(0)xyrr的参数方程为cos

sin





xr

yr

（为参数）；

②222()()(0)xaybrr的参数方程为cos

sin





xar

ybr

（为参数）．

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为

(cos,sin)arbr（为参数，,（）ab为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角

函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．

2、点与圆的位置关系判断

（1）点

00(,)Pxy与圆222()()xaybr的位置关系：

①222()()xaybr点P在圆外；

②222()()xaybr点P在圆上；

③222()()xaybr点P在圆内．（2）点

00(,)Pxy与圆220xyDxEyF的位置关系：

①22

00000xyDxEyF点P在圆外；

②22

00000xyDxEyF点P在圆上；

③22

00000xyDxEyF点P在圆内．

必考题型全归纳

题型一：求圆多种方程的形式

例1．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）过

0,1A、

0,3B两点，且与直线1yx

相切的

圆的方程可以是（）

A．22122xyB．22225xy

第2章 直线和圆的方程

§2.1直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角与斜率：

倾斜角：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向和直线l向上的方向之间所成的角叫直线的倾斜角，取值范围为0180.

斜率：直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用k来表示.

斜率k公式：如果直线经过两点11122212(,),(,),PxyPxyxx,则1212tanxxyyk.

直线的方向向量：斜率为k的直线的一个方向向量是1,k,若斜率为k的直线的一个方向向量的坐标为(,)xy，则ykx.

2.两条直线平行和垂直的判定

斜率分别为12kk，的两条不重合的直线12,ll，有1212//llkk.

斜率分别为12kk，的两条直线12,ll，有12121llkk.

§2.2 直线的方程

1.直线方程：

⑴点斜式：00xxkyy（不能表示斜率不存在的直线）

⑵斜截式：bkxy（不能表示斜率不存在的直线，b是直线与y轴的交点纵坐标（即y轴上的截距））

⑶两点式：1112122121(,)yyxxxxyyyyxx

⑷截距式：1xyab（,ab是直线在,xy轴上的截距，且0,0ab）

⑸一般式：0CByAx（,AB不同时为0）

2.给定直线方程判断直线的位置关系：

（一）对于直线222111:,:bxkylbxkyl有：

⑴212121//bbkkll；

⑵1l和2l相交12kk；

⑶1l和2l重合2121bbkk；

⑷12121kkll.

（二）对于直线:0lAxByC：

（1）与直线:0lAxByC垂直的一个向量为,AB，平行的一个向量为,BA.

（2）对于直线0:,0:22221111CyBxAlCyBxAl有：

1221122121//CBCBBABAll；

高一数学辅导资料

内容：圆与方程

本章考试要求

考试内容 要求层次

A B C

圆与方程 圆的标准方程与一般方程 √

直线与圆的位置关系 √

两圆的位置关系 √

用直线和圆的方程解决简单的问题 √

空间直角坐标系 空间直角坐标系 √

空间两点间的距离公式 √

一、圆的方程

【知识要点】

1.圆心为),(baC，半径为r的圆的标准方程为：)0()()(222rrbyax

0ba时，圆心在原点的圆的方程为：222ryx.

2.圆的一般方程022FEyDxyx，圆心为点,22DE，半径2242DEFr，

其中0422FED.

3.圆系方程：过圆1C：221110xyDxEyF与圆2C：222220xyDxEyF

交点的圆系方程是22221112220xyDxEyFxyDxEyF（不含圆2C）,

当1时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.

【互动探究】

考点一 求圆的方程

问题1． 求满足下列各条件圆的方程：

1以两点(3,1)A，(5,5)B为直径端点的圆的方程是

2求经过)2,5(A，)2,3(B两点，圆心在直线32yx上的圆的方程；

3过点4,1A的圆C与直线10xy相切于点2,1B，则圆C的方程是?

考点二 圆的标准方程与一般方程

问题2．方程2222210xyaxayaa表示圆，则a的取值范围是

考点三 轨迹问题 问题3.点4,2P与圆224xy上任一点连线的中点轨迹方程是

问题4．设两点3,0A，3,0B，动点P到点A的距离与到点B的距离的比为2，求P点的轨迹.

二、直线和圆、圆与圆的位置关系

【知识要点】

1.直线与圆的位置关系

将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式

第48讲直线、平面平行的判定与性质

知识梳理

知识点一：直线和平面平行

1、定义

直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面平行，记作l∥

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

线∥线

线∥面如果平面外的一条直线和这

个平面内的一条直线平行，那么

这条直线和这个平面平行（简记

为“线线平行线面平行1

1ll

lll





∥

∥

面∥面

线∥面如果两个平面平行，那么在

一个平面内的所有直线都平行于

另一个平面a

a





∥

∥

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

线∥面线∥线如果一条直线

和一个平面平行，

经过这条直线的平

面和这个平面相

交，那么这条直线

就和交线平行l

lll

l







∥

∥

知识点二：两个平面平行

1、定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，

则∥

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定

理线∥

面面

∥面如果一个平面内

有两条相交的直线都

平行于另一个平面，

那么这两个平面平行

（简记为“线面平行

面面平行,,ababP

ab∥，∥∥

线面

面∥

面如果两个平面同

垂直于一条直线，那

么这两个平面平行l

l







∥

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

面//面

线//面如果两个平面

平行，那么在一个平

面中的所有直线都

平行于另外一个平

面//

//a

a









性质定理如果两个平行

平面同时和第三个

平面相交，那么他们

的交线平行（简记为

“面面平行线面

平行”）//

//.aab

b













面//面

线面如果两个平面

中有一个垂直于一

条直线，那么另一个

平面也垂直于这条

直线//

l

l







【解题方法总结】

线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．

性质性质性质判定判定