高一数学暑假学习材料08

word 1 / 14 暑期专题辅导材料八（旧课）

第一章 典型例题解析（集合与简易逻辑）

例1 以下说法中正确的个数有（ ）

①表示同一个集合

②与表示同一个集合；

③空集是唯一的；

④与，则集合。

A﹒3个 B﹒2个 C﹒1个 D﹒0个

解：①集合M表示由点（1，2）组成的单点集，集合N表示点（2，1）组成的单点集。

②由集合元素无序性可知M，N表示同一个集合。

③由且（其中、均为空集）由集合相等定义可知即证明空集唯一性。

④对于要认识一个集合，应从以下方面入手①判断集合元素是什么；②元素有何属性（如表示数集，点集等），表示集合时与代表元素采用的字母无关。而④中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合，故相等，选A。

例2 若集合：

，，则M，N，P的关系是（ ） A﹒ B﹒

C﹒ D﹒

解对集合

对集合 word 2 / 14 对于

∴，故选B。 例3 设全集，，，判断与之间的关系． 解：∵ ∴

∵ ∴

∴

例4. 如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A﹒ B﹒

C﹒IS D﹒IS 解此阴影部分是属于M且属于P，即。但又不属于S集，

所以为IS，故选C。

例5 解不等式．

点拨一 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论． 解法一 由代数式，知，－2，1把实数集分为三个区间：，，． 当时，原不等式变为word 3 / 14 ，即； 当时，原不等式变为，即； 当时，原不等式变为，即． 综上，知原不等式的解集为． 点评 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是： （1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根； （2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间； （3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； （4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集． 点拨二 不等式的几何意义是表示数轴上与及B（1）两点距离之和小于4的点．而A，B两点距离为3，因此线段AB上每一点到A，B的距离之和都等于3．如下图，要找到与A，B的距离这和为4的点，问题就迎刃而解了．

解法二 如上图，要找到与A，B距离之和为4的点，只需由点B向右移动个单位，这时距离之和增加1个单位，即移到点．或由点A向左移动个单位，即移到点．

可以看出，数轴上点向左的点或者向右的点到A，B两点的距离之和均小于4．

所以，原不等式的解集为．

点拨三 从函数的角度思考，可分别画出函数和的图象．观察即得．

解法三 如右图． word 4 / 14

．

不难看出，要使，只须．

所以，原不等式的解集为．

点评 对于解法一，要孰记或两种类型的解法，关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式；对于解法二，要搞清它的几何意义是什么，并注意结论是否包括端点；对于解法三，关键是正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标．三种方法都比较直观、简捷，不同程度体现了分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，各有千秋，都是我们应该熟练掌握的解题通性通法．

例6 解不等式． 解法一原不等式等价于

（Ⅰ）或（Ⅱ）

解（Ⅰ），得，或．

解（Ⅱ），得解集为空集．

所以，原不等式的解集为．

解法二 原不等式等价于

（Ⅰ），或（Ⅱ）．

解（Ⅰ），得 ，或 ．

解（Ⅱ），得解集为空集． word 5 / 14 所以，原不等式的解集为．

点评 比较两种解法可以看出，第二种解法比较简便．在第二种解法中，用到了下列关系： 若，则等价于，或．

解法三 在直角坐标系中分别画出，，． 如图，不难看出，要使，只须，或．

所以，原不等式的解集为．

例7 解不等式（为参数） 分析这是一个含有字母的一元二次不等式，在解题时要注意对字母的讨论．

解：原不等式可化为 若，则，即，原不等式的解集为； 若，即或，则原不等式的解集为； 若，即或，则原不等式的解集为 word 6 / 14 因此，当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为

说明：此题是带字母问题，要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式，所用到的知识比较多，条理也要求必须清楚，才能正确解决此题．

例8 不等式的解是全体实数，某某数的取值X围。

分析：此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论，针对二次的情形应结合二次函数的图象，知此时应有且，特别要强调此时。 解：若，不等式为，其解集为 若，不等式为，其解集显然不是全体实数，故不符合条件。

若，不等式为二次不等式，有

解得

即

综上得，

说明：解含有字母的一元二次不等式要根据字母X围进行讨论，当二次系数含有字母时，应首先考虑其值是否为零。

例8 已知，且，（），某某数P的取值X围。 解：由知，关于的二次方程无正根。 word 7 / 14 （1）若方程无实根： ，得；

（2）若方程有实根，，但无正根；此时由，得或，而由韦达定理

由知两根均为正或均为负，由条件显然须，，于是，

∴

因此

由上述的（1），（2）得的取值X围是

注：要注意的可能性，否则会“缩小”解的X围，特别对于的存在，初学者往往容易忽略。 例9 解关于的不等式： 分析：由于字母系数的影响，不等式可以是一次的，也可以是二次的，在二次的情况下，二次项系数可正、可负，且对应二次方程的两个根2，的大小也受的影响，这些都应予以考虑。

解：当时，原不等式化为，其解集为

当时，有，原不等式化为，其解集为

当时，。原不等式化为，其解集是

当时，原不等式化为，其解集是 word 8 / 14 当时，原不等式化为，其解集是

说明对于二次项系数含有字母的不等式，一定要注意对二次项系数讨论，分为一元一次不等式和一元二次不等式两种情况．

例10 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断它们的真假．

（1）三个角相等的三角形不是直角三角形； （2）的元素既是的元素又是的元素； （3）若是的元素或是的元素，则是的元素；

（4）两条对角线垂直的平行四边形是菱形或正方形； （5）不是方程的解． 解：（1）这个命题是“非”的形式，其中：三个角相等的三角形是直角三角形．

因为是假命题，所以这个命题是真命题． （2）这个命题是“且”的形式，其中：的元素是的元素，：的元素是的元素．

因为、都是真命题，所以这个命题是真命题． （3）这个命题是“或”的形式，其中：若是的元素，则是的元素，：若是的元素，则是的元素．

因为、都是真命题，所以这个命题是真命题． （4）这个命题是“或”的形式，其中

：两条对角线垂直的平行四边形是菱形， ：两条对角线垂直的平行四边形是正方形．

因为是真命题，是假命题，所以这个命题是真命题．

（5）这个命题是“非”的形式，其中

：是方程的解．

因为是真命题，所以这个命题是假命题． word 9 / 14 例11 （1）和都是简单命题，那么下列结论正确的是（ ）．

A．真，则“且”一定真 B．假，则“且”不一定假

C．“且”真一定真 D．“且”假，一定假

（2）命题“且”与命题“或”都是假命题，那么下列结论正确的是（ ）．

A．命题“非”与命题“非”其值不同；

B．命题“非”与命题“非”至少有一个为假命题；

C．命题“非且非”是真命题；

D．命题与命题“非”真值相同． （3）若命题“或”与命题“且”都是真命题，那么下列四个结论中正确的个数是（ ）．

①命题一定是真命题； ②命题不一定是真命题； ③命题不一定是真命题； ④命题与的真值相同．

A．1 B．2 C．3 D．4

分析 由真值表知：

（1）“非”形式复合命题的真假与的真假相反； （2）“或”形式复合命题当与同为假时为假，其他情况均为真； （3）“且”形式复合命题当与同为真时为真，其他情况均为假．

解：（1）选（C）；（2）选（C）；（3）只有①、④正确．选（B）．

例12 把下列命题改写成“则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）两条平行线不相交．（2）正数的算术平方根是正数．

分析：重点找出原命题的条件与结论．

解：（1）原命题可写成：若两条直线平行，则两直线不相交；

逆命题：若两条直线不相交，则两直线平行；

否命题：若两直线不平行，则两直线必相交； word 10 / 14 逆否命题：若两直线相交，则两直线不平行．

（2）原命题：若一个数是正数，则它的算术平方根是正数；

逆命题：若一个数的算术平方根是正数，则它是正数；

否命题：若一个数不是正数，则它的算术平方根不是正数；

逆否命题：若一个数的算术平方根不是正数，则它不是正数．

例13 判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．

（1）若，则或． （2）若，则． （3）若在二次函数中，则该二次函数图像与轴有公共点．

解：（1）该命题为真．

逆命题：若或，则．为假．

否命题：若，则，，为假．

逆否命题：若，，则．为真．

（2）该命题为假． 逆命题：若，则．为真．

否命题：若，则．为真．

逆否命题：若，则．为假． （3）该命题为假．

逆命题：若二次函数的图像与轴有公共点，则．为假．

否命题：若二次函数中，，则该二次函数图象与轴没有公共点．为假．

逆否命题：若二次函数的图像与轴没有公共点，则．为假． word 11 / 14 评注：（1）写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，然后依照定义来写．

（2）在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要应用“原命题与其逆否命题同真或同假；逆命题与否命题同真或同假”来判定．

例14 当时，如果，那么．写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．

分析：是原命题的大前提，故在给出其它三个命题时，仍是它们的大前提．

解：逆命题：“当时，若，则．”由得，由得，故的分子可以是负数，即不成立，即逆命题为假．

否命题：“当时，若，那么．”由得，由得，即．因此，不能成立，否命题也为假． 事实上，逆命题与否命题互为逆否命题，它们是等价命题，即它们同真、同假． 逆否命题：“当时，如果，那么．”此命题为真．

由于，当时，，故的分子为负，分母为正，即．

注：例题中，由于原命题的逆否命题为真，故原命题亦为真．“”是上述几个命题的大前提．

例15 已知三个关于的方程：，，中至少有一个方程有实数根，某某数的取值X围．