圆的标准方程

课题：圆的标准方程

克拉玛依市第十三中学 彭菊

一、 设计思路：教师引导、学生自主阅读、合作交流思考、探索新知。

二、 教材分析：

1、地位：本节课是人教A版必修二第四章圆与方程的第一节课——圆的标准方程，本节内容是在学生认识圆，熟知圆的几何性质，研究了直线与方程，知道了在直角坐标系中，通过方程可以研究直线的相关问题，对数形结合的思想有了初步的体验，在此基础上进一步探究圆的方程，是后面通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆问题的基础。

2、作用：

承上：和直线方程相结合，进一步完善解析几何的本质学习：用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要数学思想。

启下：是后面运用代数方法研究圆的其它相关知识的基础和关键，也是培养学生学习思想、学习方法的关键。

3、三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，化归与转化思想。通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数法处理几何问题的思想。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，锻炼学生的意志品质，培养学生的爱国热情。

4、教学重点：圆的标准方程。

解决办法：通过教师引领，学生自学，层层递问，巩固练习五种手段解决

5、教学难点：根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

解决办法：教师示范，学生小组交流，相互补充

三、 学情分析：

小学阶段学生已初步认识了圆，学生具备了一定的生活经验和知识基础.但这些认识较多的是感性认识。

初中阶段学生已经具备一定的分析、归纳能力，以及研究直线图形的经验，并且对圆的几何性质有了一定的认识。

 圆的定义：

平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心，定长就是半径。

圆的标准方程：

圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。

圆的一般方程：

圆的一般方程

当＞0时，表示圆心在，半径为的圆；

当=0时，表示点；

当＜0时，不表示任何图形。



圆的定义的理解：

（1）定位条件：圆心；定形条件：半径。

（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．

圆的方程的理解：

(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．

(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．

(3)圆的一般方程形式的特点：

a．的系数相同且不等于零；

b．不含xy项．

(4)形如的方程表示圆的条件：

a．A=C≠0； b．B=0;

c.即

 几种特殊位置的圆的方程：

条件 标准方程 一般方程

圆心在原点

过原点

圆心在x轴上

圆心在y轴上

与x轴相切

与y轴相切

与x,y轴都相切

圆心在x轴上且过原点

圆心在y轴上且过原点

圆 的 概 念

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

长方形的周长=（长+宽）×2

正方形的周长=边长×4

长方形的面积=长×宽

正方形的面积=边长×边长

三角形的面积=底×高÷2

平行四边形的面积=底×高

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

直径=半径×2 半径=直径÷2

圆的周长=圆周率×直径=

圆周率×半径×2

圆的面积=圆周率×半径×半径

长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2

长方体的体积 =长×宽×高

正方体的表面积=棱长×棱长×6

正方体的体积=棱长×棱长×棱长

圆柱的侧面积=底面圆的周长×高

圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

圆柱的体积=底面积×高

圆锥的体积=底面积×高÷3

长方体（正方体、圆柱体）

的体积=底面积×高

平面图形

名称 符号 周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a

S＝a2

长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)

S＝ab

【作业表单4：单元学习主题设计及检验提示单】

单元学习主题 圆的标准方程

设计意图说明 (1)知识与技能

A．掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

B．会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际问题。

(2)过程与方法

A.实际问题引入，师生共同探讨。

B.探究曲线方程的基本方法。

(3)情感态度与价值观

培养用坐标法研究几何问题的兴趣。

学习单元的

课时框架 复习上节课内容，思考一下几个问题

什么是直线方程？确定直线方程的要素有哪些？

直线方程有哪几种表达式，都是什么样的 ?

一、新课引入

同学们在初中的时候就已经初步了解了圆的有关知识，那么哪一位同学来回答圆的概念？

圆的标准方程教学设计（王欣）X,似是的，平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆。定点是圆心，定长是圆的半径。圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．

现在我们求以C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程

首先我们建立一个直角坐标系，设点M（x，y）是圆上任意一点，那点M在圆上的条件是|MC|=r，那么由我们已经学过的两点间的距离公式，所说条件可以转化为方程表示：

将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)

显然，圆上任意一点M的坐标（x，y）适合方程（1）；如果平面上一点M的坐标（x，y）适合方程（1），可得|MC|=r，则点M在圆上。

所以方程(1)是以C(a，b)为圆心、r为半径的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程.

那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特点？思考一下当圆心在原点时，x轴上，y轴上时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．

且当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．