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5.1.1《任意角》分层练习考查题型一任意角的概念及应用1．下列说法中正确的是（）A．锐角是第一象限角B．终边相等的角必相等C．小于90的角一定在第一象限D．第二象限角必大于第一象限角2．下列命题中正确的是（）A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角C．终边相同的角的弧度制表示相差2πD．终边相同的角的弧度都相同3．时针走了1h 20min，则分针转过的角是．4．如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45︒到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120︒到达OC位置，则∠=．AOC考查题型二终边相同的角的表示及应用1．1000-︒的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在平面直角坐标系中，下列与角420终边相同的角是（）A．20B．60C．120D．1503.与457-角终边相同的角的集合是．4.在0~360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：(1)5418'-；(4)1563．-；(2)3958'；(3)119030'5.写出终边在下图所示的直线上的角的集合．考查题型三确定已知角所在象限（多选题）1．下列选项不正确的是（）A．终边落在第一象限的角为锐角B．锐角是第一象限的角C．第二象限的角为钝角D．小于90的角一定为锐角A．B．C．D．0~360范围内，与1000角终边相同的是考查题型四由已知角所在象限确定某角所在的范围24.用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）。
5．1任意角和弧度制答案5．1.1任意角答案：(1)×(2)×(3)√(4)×答案：C解析：选A.由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：{α|α＝125°＋k·360°，k∈Z}答案：－25°395°任意角的概念【解析】①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确；④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．【答案】②解析：选B.钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而212×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.终边相同的角【解】与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)．(1)由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.(变问法)在本例条件下，求最小的正角．解：由0°<k·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k·360°<－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.1．解析：选D.与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D.2．解析：选B.角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．解析：由题意可知，终边在直线y ＝－x 上的角有两种情况：①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z }；②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z }．综合①②可得，终边在直线y ＝－x 上的角的集合S ＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }．答案：{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }象限角与区域角的表示【解析】 (1)阴影部分的角从－45°到90°＋30°＝120°，再加上360°的整数倍，即k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z .(2)因为α是第三象限角，所以k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°(k ∈Z )，所以k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°(n ∈Z )，所以α2是第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°＜α2＜n ·360°＋315°(n ∈Z )， 所以α2是第四象限角． 【答案】 (1)C (2)D1．答案：－300°，30° －240°，124° －145°，210°－45°，300°2.解：(1)因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|k ·360°－45°<γ<k ·360°＋60°，k ∈Z }．(2){θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°}．1．解析：选B.根据角的概念可知，90°角是以x 轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y 轴的非负半轴上．2．解析：选D.－390°＝330°－720°，所以与330°角终边相同的角是－390°.3．解析：如图，设75°角的终边为射线OA ，射线OA 关于直线y ＝0对称的射线为OB ，则以射线OB 为终边的一个角为－75°，所以以射线OB 为终边的角的集合为{α|α＝k ·360°－75°，k ∈Z }．又－360°<α<360°，令k ＝0或1，得α＝－75°或285°.答案：－75°或285°4．解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．[A 基础达标]1．解析：选B.420°＝360°＋60°，终边位于第一象限；860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限；1 060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；1 260°＝3×360°＋180°，终边位于x 轴非正半轴．故选B.2．解析：选C.因为1 303°＝4×360°－137°，所以与1 303°终边相同的角是－137°.3．解析：选C.令k ＝－1，0，1，2，则A ，B 的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．解析：选C.当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°≤α≤n ·360°＋90°，n ∈Z ；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°≤α≤n ·360°＋270°，n ∈Z .故选C.5．解析：选A.因为角α，β的终边相同，故α－β＝k ·360°，k ∈Z .所以α－β的终边落在x 轴的非负半轴上．6．解析：与－120°终边相同的角为α＝－120°＋k ·360°(k ∈Z )，由0°≤－120°＋k ·360°＜360°，k ∈Z ，得13≤k ＜43， 又k ∈Z ，所以k ＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.答案：240°7．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°，又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°8．解析：因为终边在第一象限的角的集合为{α|k ·360°<α<90°＋k ·360°，k ∈Z }，终边在第三象限的角的集合为{α|180°＋k ·360°<α<270°＋k ·360°，k ∈Z }，故终边在第一或第三象限的角的集合为{α|k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }．答案：{α|k ·180°<α<90°＋k ·180°，k ∈Z }9．解：(1)集合M 的角可以分成四类，即终边分别与－150°角，－60°角，30°角，120°角的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k ·90°<360°，k ∈Z ，则－133<k <113，k ∈Z ， 所以k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(3)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k ·360°，k ∈Z .10．解：(1)由题可知，角β的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }．(2)在S ＝{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z }中，取k ＝－2，得β＝－300°，取k ＝－1，得β＝－120°，取k ＝0，得β＝60°，取k ＝1，得β＝240°，取k ＝2，得β＝420°，取k ＝3，得β＝600°.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.[B 能力提升]11．解析：选B.由α是第二象限角可知α2是第一或第三象限角，2α是第三或第四象限角，所以α2和2α都不是第二象限角．12．解析：因为5α与α的始边和终边相同，所以这两个角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝k ·360°，α＝k ·90°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°.答案：270°13．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ，因为α，β都是锐角，所以0°＜α＋β＜180°.取k ＝1，得α＋β＝80°.①因为α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .因为α，β都是锐角，所以－90°＜α－β＜90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.[C 拓展探究]14．解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m ·360°，m ∈Z ，14β＝n ·360°，n ∈Z . 由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°，进而知2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°，即45°<α<β<90°，所以45°<α＝m 7·180°<90°，45°<β＝n 7·180°<90°， 所以74<m <72，74<n <72. 因为α<β，所以m <n ，又m ，n ∈Z ，所以m ＝2，n ＝3，所以α＝⎝⎛⎭⎫3607°，β＝⎝⎛⎭⎫5407°.。
一、角的分类及加减运算1.角的分类正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。
2.角的加、减法(1)两角相等：如果 (1)两角相等：如果两角α、β的旋转方向相同且旋转量相等，就称α=β。
(2)角的加法：设α、β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.(3)角的减法①把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为-α. ①角的减法α-β=α+(-β).二、象限角1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角。
2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角。
3.终边相同的角(1)前提：α表示任意角。
(2)表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k①Z}，即任5.1.1 任意角知识讲解一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
同步练习一、选择题1.下面与-850°12′终边相同的角是( )。
A.230°12′B.229°48′C.129°48′D.130°12′【答案】B【解析】与-850°12′终边相同的角可表示为α=-850°12′+k·360°(k①Z)，当k=3时，α=-850°12′+1080°=229°48′。
选B。
2.若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )。
A.90°-αB.90°+αC.360°-αD.180°+α【答案】C【解析】若α是第一象限角，则90°-α位于第一象限，90°+α位于第二象限，180°+α位于第三象限，360°-α位于第四象限。
【课题】5. 1. 1 任意角的概念
授课时间授课时数课型【教学目标】
知识目标：
⑴了解角的概念推广的实际背景意义；
⑵理解任意角、象限角、界限角的概念．
能力目标：
（1）会判断角所在的象限；
（2）培养观察能力和计算技能．
【教学重点】
任意角、象限角、界限角的概念．
【教学难点】
任意角、象限角、界限角的概念的理解．
【学情分析】
【教学方法】
【教学设计】
（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；
（2）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（3）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
1课时．(45分钟)
【教学过程】
0°
（1）（2）
经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．
运用知识强化练习
教材练习5.1.1
．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：
⑴ 60°；⑵−210°；⑶225°；⑷−300°．
归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
自我反思目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
教学后记板书设计。
《5.1.1 任意角》教学设计教材内容：任意角是在初中所学的角的范围上为了满足高中阶段的学习对于角的进一步推广，也是为之后学习半角、倍角、三角函数奠定基础。
为后续学习几何、复数等相关内容提供了研究工具。
本节课的学习可借助角与现实生活的联系，借助由特殊到一般的数学思想，归纳总结出本节课的知识点。
教学目标：1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角.2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法，并能解决有关问题.教学重点与难点：1、教学重点：终边相同的角的表示；2、教学难点：终边相同的角的含义及其表示方法。
教学过程：1、新课导入︒︒范围的角.例如，体操中有“前空翻转体现实生活中随处可见超出0~360︒︒范围540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0~360的角，而且旋转的方向也不相同，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广，那么这节课我们就来学习一下任意角的相关知识.2、探索新知知识点1 角的分类、任意角正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，形成的角叫零角，零角的始边和终边重合.这样，就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.知识点2 相等角、角的加减（1）如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称αβ=.（2）设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是αβ+.（3）把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为α-.于是有()αβαβ-=+-.知识点3 象限角在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.知识点4 终边相同的角一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合|360,{}S k k ββα==+⋅︒∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.例题点拨例1 在0~360︒︒范围内，找出与95012-︒'角终边相同的角，并判定它是第几象限角.解：95012129483360''-=-⨯︒︒︒，所以在0~360︒︒范围内，与95012-︒'角终边相同的角是12948︒'，它是第二象限角.例2 写出终边在y 轴上的角的集合.解：在0~360︒︒范围内，终边在y 轴上的角有两个，即90︒，270︒角.因此，所有与90︒角终边相同的角构成集合1|90{}360,S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ，而所有与270︒角终边相同的角构成集合2|270360,{}S k k ββ==︒+⋅︒∈Z ，于是，终边在y 轴上的角的集合12S S S ={|902180,}|90180218}0{,k k k k ββββ==︒+⋅︒∈=++⋅︒︒∈︒Z Z{{|902180,}|90(21)1}80,k k k k ββββ==+⋅∈︒︒︒︒=++∈Z Z|90180,{}n n ββ︒︒==+⋅∈Z .例3 写出终边在直线y x =上的角的集合S ，S 中满足不等式360720β-<︒︒的元素β有哪些？解：如图，在直角坐标系中画出直线y x =，可以发现它与x 轴的夹角是45︒，在0~360︒︒范围内，终边在直线y x =上的角有两个：45︒，225︒.因此，终边在直线y x =上的角的集合{|45360,}{|225360,}S k k k k ββββ=︒︒=︒︒+⋅∈=+⋅∈Z Z{|45180,}n n ββ︒︒==+⋅∈Z .S 中适合不等式360720β-<︒︒的元素β有452180315-⨯=-︒︒︒，451180135-⨯=-︒︒︒，45018045︒︒+⨯=︒，451180225+⨯=︒︒︒，452180405+⨯=︒︒︒，453180585+⨯=︒︒︒.3、课堂练习1.如果角α与45x +︒的终边相同，角β与45x -︒的终边相同，那么α与β的关系是( )A.0αβ+=︒B.0αβ-=︒C.360()k k αβ+=⋅︒∈ZD.36090()k k αβ-=⋅︒+︒∈Z 答案：D解析：由题意知()()1145360x k k α=++⋅︒︒∈Z ，()()2245360x k k β=-+⋅︒︒∈Z ， ()123609036090()k k k k αβ∴-=-⋅+=⋅+︒︒︒∈︒Z .故选D.2.下列角的终边位于第二象限的是( )A.450°B.860°C.1060°D.1260°答案：B解析：42036060=+，终边位于第一象限；=⨯+，终边位于第二象限；8602360140=⨯+，终边位于第四象限；10602360340=⨯+，终边位于x轴非正半轴.故选B.126033601803.有下列结论：①小于90°的角是锐角；②30°与-30°角的终边方向相反；③经过1小时，时针转过了30°；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中不正确的结论为___________（填序号）.答案：①②③④解析：①小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，故①不正确；②30°与-30°角的夹角为60°，其终边方向不相反，故②不正确；③时针按顺时针方向旋转，经过1小时，时针转过了-30°，故③不正确；④0°小于180°，但0°角既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确.4、小结作业小结：本节课学习了任意角、象限角的概念，用集合表示象限角以及终边相同的角的含义及其表示方法.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计5.1.1 任意角1.角的分类：①正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；③零角：如果一条射线没有做任何旋转，形成的角叫零角，零角的始边和终边重合.2.任意角：包括正角、负角和零角.3.相等角、角的加减：=.（1）如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称αβ（2）设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是αβ+.（3）把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为α-.于是有()αβαβ-=+-.4.象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.5.终边相同的角：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合|360,{}S k k ββα==+⋅︒∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
§5.1任意角和弧度制5.1.1任意角学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.利用象限角和终边相同角的概念解决简单的问题．导语同学们，钟表是帮助我们掌握时间的好帮手，生活中我们经常听到时钟慢了5分钟，或时钟快了30分钟，应该如何校准？再比如，我们一节课45分钟，时针、分针以及秒针分别旋转了多少度？再比如在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题都和角度是分不开的，为了研究这些问题，我们开始今天的新课．一、任意角的概念问题1在初中是如何定义角的？角的范围是多少？提示角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.当然，我们还学习过锐角、直角、钝角、平角和周角，我们现在要研究的问题是这条射线旋转的方向问题、大小问题，还有是否可以任意旋转的问题．知识梳理1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点：O.3．角的分类名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角4.任意角我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．5．相反角我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α.例1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A．120°B．－120°C．－60°D．60°答案 B解析由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.反思感悟正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角．正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好象正数和负数的规定一样．跟踪训练1经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是()A．60°，720°B．－60°，－720°C．－30°，－360°D．－60°，720°答案 B解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而212×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°.二、象限角问题2现在，我们把角的概念推广到了任意角，如何更形象的表示一个角？提示我们通常在直角坐标系内讨论角，为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．注意点：(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限；(2)每一个象限都有正角和负角；(3)无法比较哪一个象限角的大小．例2在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是() A．①B．①②C．①②③D．①②③④答案 C解析①160°很显然是第二象限角；②480°＝120°＋360°是第二象限角；③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故选C.反思感悟正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念的关系，需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．跟踪训练2(多选)下列叙述不正确的是()A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．钝角是第二象限角C．第二象限角比第一象限角大D．小于180°的角是钝角、直角或锐角答案ACD解析直角不属于任何一个象限，故A不正确；钝角是大于90°小于180°的角，是第二象限角，故B正确；由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，120°<390°，故C不正确；由于零角和负角也小于180°，故D不正确．三、终边相同的角问题3给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？提示给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°的整数倍．知识梳理终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．例3已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．解因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.反思感悟终边相同的角的表示(1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式．(2)终边相同的角相差360°的整数倍．跟踪训练3(1)下列角的终边与－53°角的终边在同一直线上的是()A．－37°B．53°C．233°D．127°答案 D解析与－53°角的终边在同一直线上的角可表示为－53°＋k·180°，k∈Z，当k＝1时，－53°＋180°＝127°.(2)若角2α与240°角的终边相同，则α等于()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z答案 B解析角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.四、区域角以及终边在已知直线上的角的表示例4已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．解终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．反思感悟(1)象限角的判定方法①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．②将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°之间没有两个角终边是相同的．(2)表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．跟踪训练4已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．1．知识清单：(1)正角、负角、零角的概念．(2)终边相同的角的表示．(3)象限角、区域角的表示．2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.1．“α是锐角”是“α是第一象限角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为α是锐角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件． 2．2 021°是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 C解析 2 021°＝5×360°＋221°，所以2 021°角的终边与221°角的终边相同，为第三象限角． 3．与－460°角终边相同的角可以表示成( ) A ．460°＋k ·360°，k ∈Z B ．100°＋k ·360°，k ∈Z C ．260°＋k ·360°，k ∈Z D ．－260°＋k ·360°，k ∈Z 答案 C解析 因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故与－460°角终边相同的角可以表示成260°＋k ·360°，k ∈Z .4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________________．答案 {α|k ·360°＋45°<α<k ·360°＋150°，k ∈Z } 解析 观察图形可知，角α的集合是 {α|k ·360°＋45°<α<k ·360°＋150°，k ∈Z }．课时对点练1．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是( ) A ．80° B ．－80° C ．960° D ．－960° 答案 D解析 40÷60＝23，360°×23＝240°.由于时针、分针都是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角度为－2×360°－240°＝－960°.2．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案 C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．3．如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．是第三或第四象限角D．不是象限角答案 D解析点P(0，－3)在y轴负半轴上，故α的终边为y轴的负半轴．4．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°答案 B解析因为－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，所以－330°与750°终边相同．5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}答案 C解析如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．6．(多选)下列四个角为第二象限角的是()A．－200°B．100°C．220°D．420°答案 AB解析 －200°＝－360°＋160°，在0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角． 7．1 112°角是第________象限角． 答案 一解析 ∵1 112°＝360°×3＋32°，∴1 112°的终边与32°的终边相同，均为第一象限角． 8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________． 答案 120°，300°解析 与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k ·180°，k ∈Z . ∵所求角在0°～360°范围内， ∴0°≤－60°＋k ·180°≤360°， 解得13≤k ≤73，k ∈Z ，∴k ＝1或2.当k ＝1时，β＝120°； 当k ＝2时，β＝300°. 9．已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.解 (1)α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角． (2)令θ＝250°＋n ·360°(n ∈Z )，取n ＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角． 当n ＝－1时，θ＝250°－360°＝－110°； 当n ＝－2时，θ＝250°－720°＝－470°. 故θ＝－110°或θ＝－470°.10．在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合： (1){α|30°＋k ·360°≤α≤60°＋k ·360°，k ∈Z }； (2){α|30°＋k ·180°≤α≤60°＋k ·180°，k ∈Z }．解 (1) 根据任意角的定义，画出集合{α|30°＋k ·360°≤α≤60°＋k ·360°，k ∈Z }对应的区域如图所示．(2)根据任意角的定义，画出集合{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}对应的区域如图所示．11．(多选)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案AC解析当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．故α的终边在第一或第三象限．12．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}答案 D解析终边在坐标轴上的角为90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．13．已知α为锐角，则2α为()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．小于180°的角答案 D解析因为α为锐角，所以0°<α<90°，则0°<2α<180°.14．若α为△ABC的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α＝________.答案120°或30°解析 ∵4α＝120°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α＝30°＋k ·90°，k ∈Z ， 又∵0°<α<180°，∴当k ＝1时，α＝120°；当k ＝0时，α＝30°.15．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( ) A ．α＋β＝k ·360°，k ∈Z B ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z C ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈Z D ．α－β＝k ·360°，k ∈Z 答案 B解析 方法一 (特值法)令α＝30°，β＝150°， 则α＋β＝180°.方法二 (直接法)因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ， 即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .16．若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置．解 ∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )． ∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )，∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y 轴的非正半轴上． 方法一 ∵45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α2的终边位于第一或第三象限．∵30°＋k ·120°<α3<60°＋k ·120°(k ∈Z )，当k ＝3n (n ∈Z )时，30°＋n ·360°<α3<60°＋n ·360°(n ∈Z )；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，150°＋n ·360°<α3<180°＋n ·360°(n ∈Z )；当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，270°＋n ·360°<α3<300°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α3的终边位于第一、第二或第四象限．方法二 将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域．自x 轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示．∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为α2的终边所在的象限， ∴α2的终边位于第一或第三象限． 将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域．自x 轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示．∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为α3的终边所在的象限， ∴α3的终边位于第一、第二或第四象限．。
