椭圆题型总结较难

椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙： P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( )A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。

充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ）A 。

椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动点Q的轨迹是( ）A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点，且a MF MF 221=+，判断动点M 的轨迹。

5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。

(二) 标准方程求参数范围1. 若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围。

（3，4）U(4，5） 2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ） A.充分而不必要条件 B 。

必要不充分条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分又不必要条件3. 已知方程112522=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是 。

4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程231y x -=所表示的曲线是 .6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围. 7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。

椭圆题型及方法总结
椭圆题型及方法总结：
1. 求椭圆的标准方程：通过给定的信息，如焦点、顶点、直径长度等，使用定义式以及椭圆的性质，将椭圆的方程转化为标准方程：$(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1$，其中$(h,k)$为椭圆的中心坐标。

2. 求椭圆的焦点坐标：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的中心坐标$(h,k)$，然后使用椭圆的性质，计算出焦点的坐标。

3. 求椭圆的顶点坐标：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的中心坐标$(h,k)$，然后使用椭圆的性质，计算出顶点的坐标。

4. 求椭圆的参数方程：已知椭圆的方程，可以通过给定的信息，如焦点、顶点、直径长度等，使用定义式以及椭圆的性质，将椭圆的方程转化为参数方程：$x = h + a \cos t$，$y = k + b \sin t$，其中$(h,k)$为椭圆的中心坐标，$a$和$b$分别为椭圆的半
长轴和半短轴长度。

5. 求椭圆的离心率：已知椭圆的方程，可以通过标准方程得到椭圆的半长轴长度$a$和半短轴长度$b$，然后使用离心率的定义式计算出椭圆的离心率：$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$。

6. 求椭圆的面积和周长：已知椭圆的方程，可以通过给定的信
息，如半长轴长度$a$和半短轴长度$b$，使用椭圆的性质计算出椭圆的面积和周长。

以上是常见的椭圆题型及解题方法的总结，具体问题具体分析，有时需要结合其他几何知识来解决问题。

高中数学椭圆大题题型归纳总结（145分推荐）一、解答题（本大题共30小题，共360.0分）1.已知椭圆M：x29+y2b2=1(b>0)的一个焦点为(2,0)，设椭圆N的焦点恰为椭圆M短轴上的顶点，且椭圆N过点．(1)求N的方程;(2)若直线与椭圆N交于A，B两点，求|AB|．2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为√32，过点P(1,0)作直线交椭圆于点C，D(与A，B均不重合).当点D与椭圆E的上顶点重合时，|AD|=√5．(1)求椭圆E的方程(2)设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为√22，直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M,N．(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为√103时，求k的值．4.已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，焦距为4，且C过点P(√3,1)．(1)求C的方程；(2)过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1与C交于A，B两点，l2与C交于D，E两点，记AB的中点为M，DE的中点为N，试判断直线MN是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．5.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．6. 若椭圆C ：x 2a 2+y 2a 2=1(a >b >0)的顶点到直线l 1：y =x 的距离分别为√2和√22． (1)求椭圆C 的标准方程(2)设平行于l 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求直线l 的方程．7. 设椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的上顶点为点B ，点A 为椭圆C 上一点，且3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． (1)求椭圆C 的离心率；(2)若b =1，过点F 2的直线交椭圆于M ，N 两点，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．8. 已知椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，且长轴长与短轴长之比为√2：1． (Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)若不与坐标轴平行的直线l 与椭圆相切于点P ，O 为坐标原点，求直线OP 与直线l的斜率之积．9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为2√2．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆C交于不同的A、B两点，求△AOB(O为坐标原点)的面积．10.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为√22.直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率．11.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点P(2,1)的距离为√10，过原点O作直线OP的垂线l交椭圆C于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP的面积．13. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且经过点H(−2,1)．(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P(−3,0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线HA ，HB 分别交x 轴于M ，N 两点，点G(−2,0)，若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．14. 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，O 为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A 、B ，点D(0,2)，椭圆C 的离心率为√22，且∠OAB =∠ODA ．(1)求椭圆C 的方程；(2)不与x 轴平行的直线l 与椭圆C 交于不同点P 、Q ，已知点P 关于x 轴对称点为点M ，点Q 关于原点的对称点为点N ，且D 、M 、N 三点共线，求证：直线l 过定点．15. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点的距离为2√2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y =x −1与椭圆C 交于不同的A 、B 两点，求△AOB(O 为坐标原点)的面积．16. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，焦距为2． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上两点，O 为坐标原点，k OA ⋅k OB =−12.点D 在线段AB 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，连接OD 并延长交椭圆C 于E ，试问|OE||OD|是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．17. 设椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35． (1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．18. 已知F(c,0)是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =x −c 交椭圆C 于M ，N 两点，交y 轴于点A ，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，α1+β1=−6． (1)求椭圆C 的离心率e ；(2)B 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求α22+β22的值．19. 已知椭圆C ：x 24+y 2=1，F 为右焦点，圆O ：x 2+y 2=1，P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 的两侧． (1)求椭圆C 的焦距及离心率． (2)求四边形OFPT 面积的最大值．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆E上的一动点，且|PF1|的最小值是1，当PF1垂直长轴时，|PF1|=32．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在斜率为−1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆E相交于C、D两点，且|CD|⋅|AB|=24√27若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21.已知A，B为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，P是椭圆C上一点(异于A，B)，满足k PA⋅k PB=−49，且a=6.斜率为−1的直线l交椭圆C于S，T两点，且|ST|=4．(1)求椭圆C的方程及离心率．(2)如图，设直线l1:y=x+m与椭圆C交于M，N两点，求四边形MSNT面积的最大值．22.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，短轴长等于焦距，且经过点P(0,1)．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线与E交于A、B两点，线段AB的中点为C，D是y轴上一点，且CD⊥AB.求证：线段CD的中点在x轴上．23.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点分别为A(−2,0),B(2,0)，离心率为√32．(1)求椭圆C的方程；(2)P为椭圆C上异于A,B的动点，直线AP,PB分别交直线x=−6于M,N两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q．(ⅰ)求证：直线AP,AN的斜率之积为定值；(ⅰ)判断M,B,Q三点是否共线，并说明理由．24. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是√22，点F 是椭圆E 的左焦点，点A 为椭圆E 的右顶点，点B 为椭圆E 的上顶点，且S ⅰABF =√2+12．(1)求椭圆E 的方程；(2)设点P(m,0)为椭圆E 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为ba 的直线l 交椭圆E 于S ，T 两点，证明：|PS|2+|PT|2为定值．25. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2√23，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴的上端点为P ，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−7． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点Q(1,0)且不与y 轴垂直的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，是否存在点T(t,0)，使得直线TM 与TN 的斜率之积为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．26.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，过椭圆C右焦点并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M(点P位于x轴上方)两点，且△OPM(O为坐标原点)的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于A，B(A,B异于点P)两点，且直线PA与PB的斜率之积为−94，求点P到直线l距离的最大值．27.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√22，且点(2√33,−√33)在C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过F2的直线l与C交于A，B两点，若|AF1|⋅|BF1|=103，求|AB|．28.已知椭圆C：x2m2+y2=1(m>1)的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l 交椭圆C于A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中y1>0，y2<0，△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G1、G2．(Ⅰ)若G1坐标为(13,16)，求椭圆C的方程；(Ⅱ)设△BF1G1和△ABG2的面积为S1和S2，且43≤S1S2≤53，求实数m的取值范围．29.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A，B分别是它的左､右顶点，F是它的右焦点，过点F作直线与C交于P，Q(异于A，B)两点，当PQ⊥x轴时，△APQ的面积为92.(Ⅰ)求C的标准方程；(Ⅱ)设直线AP与直线BQ交于点M，求证：点M在定直线上．30.如图，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1)，且离心率为√22．(1)求椭圆E的方程；(2)若经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．答案和解析1.【答案】解：(1)由椭圆M ：x 29+y 2b 2=1(b >0)的一个焦点为(2,0)，得c =2，且b 2=a 2−c 2=9−4=5， ∴椭圆N 的焦点为(0,−√5)，(0,√5). 又椭圆N 过点(√22,√3)，∴椭圆N 的长轴长为(√2(√2=2√6．∴椭圆N 的半长轴长为√6，半焦距为√5，则短半轴长为1． ∴N 的方程为x 2+y 26=1；(2)联立{y =x −2x 2+y 26=1，得7x 2−4x −2=0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=47,x 1x 2=−27，∴|AB|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(47)2−4×(−27)=127．【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，属于中档题．(1)由已知可得椭圆N 的焦点坐标，再由椭圆定义求得椭圆N 的长半轴长，结合隐含条件求得短半轴长，则椭圆N 的方程可求；(2)联立直线方程与椭圆N 的方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求|AB|．2.【答案】解：(1)当点D 与椭圆E 的上顶点重合时，有D (0,b )，所以|AD |=√a 2+b 2=√5.① 又因为离心率e =√a 2−b 2a=√32，② 由①②解得a =2，b =1，所以E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意，易知直线CD 的斜率不为0，所以设直线CD 的方程为x =my +1，联立方程组{x 24+y 2=1,x =my +1,得(m 2+4)y 2+2my −3=0，显然Δ>0，设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则y 1+y 2=−2mm 2+4，y 1y 2=−3m 2+4． 由(1)得A (−2,0)，B (2,0)，所以k 1=y 2x2+2，k 2=y 1x1−2，k 1k 2=y 2(x 1−2)y 1(x 2+2)=y 2(my 1−1)y 1(my 2+3)=my 1y 2−y 2my 1y 2+3y 1=my 1y 2−(y 1+y 2)+y 1my 1y 2+3y 1=−mm 2+4+y 1−3mm 2+4+3y 1=13为定值．【解析】本题考查椭圆方程及几何意义，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于中档题． (1)解方程√a 2+b 2=√5.①√a 2−b 2a=√32，②即得解； (2)设直线CD 的方程为x =my +1，联立方程组{x 24+y 2=1,x =my +1,得(m 2+4)y 2+2my −3=0，得到韦达定理，再利用韦达定理化简k 1k 2即得证．3.【答案】解：(1)∵椭圆一个顶点为A (2,0)，离心率为√22， ∴{a =2c a =√22a 2=b 2+c 2,∴b =√2, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(2)联立直线y =k(x −1)与椭圆C 的方程， 消去y 整理得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=4k 21+2k2，x 1x 2=2k 2−41+2k 2，=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2，∵A(2,0)到直线y =k(x −1)的距离为|k|√1+k 2，∴△AMN 的面积S =12·2√(1+k2)(4+6k 2)1+2k 2·|k|√1+k2=|k|√4+6k 21+2k 2，∵△AMN 的面积为√103，∴|k|√4+6k 21+2k 2=√103， 解得，经检验Δ>0，∴k =±1．【解析】本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，三角形面积等，属于中档题．(1)根据椭圆一个顶点为A (2,0)，离心率为√22，可建立方程组，从而可求椭圆C 的方程；(2)直线y =k(x −1)与椭圆C 联立，消元可得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0，从而可求|MN|，A(2,0)到直线y =k(x −1)的距离，利用△AMN 的面积为√103，可求k 的值．4.【答案】解：(1)由题意可得{2c =43a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=6或2(舍)，b 2=2，故椭圆C 的方程为x 26+y 22=1．(2)由题意知，当l 1，l 2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN 为x 轴； 当l 1，l 2的斜率都存在且不为0时， 设l 1：x =my −2(m ≠0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{x =my −2x 26+y 22=1，化简可得(m 2+3)y 2−4my −2=0且Δ>0， 所以y 1+y 2=4m m 2+3，y 1y 2=−2m 2+3， 则x 1+x 2=m(y 1+y 2)−4=−12m 2+3，∴M (−6m 2+3,2mm 2+3)， 同理由{x =−1my −2x 26+y 22=1，可得N (−6m 23m 2+1,−2m 3m 2+1)，则k MN =2m m 2+3+2m3m 2+1−6m 2+3+6m 23m 2+1=4m3(m 2−1)，所以直线MN 的方程为y −2mm 2+3=4m3(m 2−1)(x +6m 2+3)，化简得y =4m3(m 2−1)x +2mm 2−1=4m 3(m 2−1)(x +32)，故直线MN 恒过定点(−32,0). 综上，直线MN 过定点(−32,0)．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程 ，考查圆锥曲线中的定点问题，训练了直线与圆锥曲线位置关系的应用(1)由已知条件得到关于a ，b ，c 的方程组，求解方程组得到a 2，b 2的值，则椭圆方程可求；(2)当l 1，l 2其中一条的斜率不存在时，另外一条的斜率为0，此时直线MN 为x 轴；当l 1，l 2的斜率都存在且不为0时， 设l 1：x =my −2(m ≠0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，求出M 坐标，用−1k 代换k ，得到点N 的坐标，进一步得到MN 所在直线方程，得到直线MN 过定点．5.【答案】解：(1)因为F 为C 1的焦点且AB ⊥x 轴，可得F(c,0)，|AB|=2b 2a，设C 2的标准方程为y 2=2px(p >0)，因为F为C2的焦点且CD⊥x轴，所以F(p2,0)，|CD|=2p，因为|CD|=43|AB|，C1，C2的焦点重合，所以{c=p22p=43⋅2b2a，消去p，可得4c=8b23a，所以3ac=2b2，所以3ac=2a2−2c2，设C1的离心率为e，由e=ca，则2e2+3e−2=0，解得e=12(−2舍去)，故C 1的离心率为12；(2)由(1)可得a=2c，b=√3c，p=2c，所以C1：x24c2+y23c2=1，C2：y2=4cx，联立两曲线方程，消去y，可得3x2+16cx−12c2=0，所以(3x−2c)(x+6c)=0，解得x=23c或x=−6c(舍去)，从而|MF|=x+p2=23c+c=53c=5，解得c=3，所以C1和C2的标准方程分别为x236+y227=1，y2=12x．【解析】【试题解析】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．(1)由F为C1的焦点且AB⊥x轴，F为C2的焦点且CD⊥x轴，分别求得F的坐标和|AB|，|CD|，由已知条件可得p，c，a，b的方程，消去p，结合a，b，c和e的关系，解方程可得e的值；(2)由(1)用c表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得M的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得c，进而得到所求曲线方程．6.【答案】解：(1)由直线l1：y=x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为√22a，短轴端点到直线l1的距离为√22b，所以√22a=√2，√22b=√22，解得a=2，b=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，联立{y =x +t x 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，则△=64t 2−16×5(t 2−1)>0，解得−√5<t <√5， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8t5，x 1x 2=4t 2−45， 故y 1y 2=(x 1+t)(x 2+t)=(x 1+x 2)t +x 1x 2+t 2=t 2−45，因为OA ⊥OB ，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45+t 2−45=0． 解得t =±2√105，满足−√5<t <√5且t ≠0，所以直线l 的方程为y =x +2√105或y =x −2√105．【解析】(1)由长轴端点到直线l 1的距离为√22a ，短轴端点到直线l 1的距离为√22b ，解得a =2，b =1，即可得椭圆C 的标准方程． (2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，联立{y =x +tx 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，由即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45+t 2−45=0.解得t =±2√105，即可． 本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．7.【答案】解：(1)设A(x 0,y 0)，B(0,b)，F 1(−c,0)，由3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得{3x 0+4c =03y 0+b =0, {x 0=−4c3y 0=−b 3，即A(−43c,−b 3)， 又∵A(x 0,y 0)在椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1上，∴(−43c)a 22+(−13b)2b 2=1，得ca =√22，即椭圆C 的离心率为e =√22；(2)由(1)知，e =√22，又∵b =1，a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，当线段MN 在x 轴上时，中点为坐标原点(0,0)， 当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 代入椭圆方程x 22+y 2=1中，得(m 2+2)y 2+2my −1=0，∵点F 2在椭圆内部， ∴△>0，y 1+y 2=−2mm 2+2，则x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2， ∴点P(x,y)的坐标满足x =2m 2+2，y =−mm 2+2， 消去m 得，x 2+2y 2−x =0(x ≠0)，综上所述，点P 的轨迹方程为x 2+2y 2−x =0．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质以及椭圆方程，考查动点的轨迹方程，是中档题．(1)设A(x 0,y 0)，B(0,b)，F 1(−c,0)，通过3F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 求出A 的坐标，转化求解离心率；(2)求出椭圆C 的方程为x 22+y 2=1，当线段MN 在x 轴上时，中点为坐标原点(0,0)，当线段MN 不在x 轴上时，设直线MN 的方程为x =my +1，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，代入椭圆方程x 22+y 2=1中，得(m 2+2)y 2+2my −1=0，通过韦达定理，转化求解轨迹方程即可．8.【答案】解：(I)已知椭圆中2c =2，且2a2b =√2，又a 2=b 2+c 2，解得a =√2，b =1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)由题意：可设l 的方程为y =kx +m(k 存在且k ≠0) 与椭圆C 联立消去y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 由直线l 与椭圆C 相切，可设切点为(x 0,y 0)， 由判别式△=0可得m 2=1+2k 2， 解得x 0=−2km ,y 0=1m ，因此，直线OP 的斜率为k OP =−12k ，直线l 的斜率为k ， 即直线OP 与直线l 的斜率之积为−12．【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．(Ⅰ)通过焦距，结合长轴长与短轴长之比为√2：1.求出a ，b ，然后求解椭圆方程． (Ⅱ)设出直线方程，与椭圆方程联立，设切点为(x 0,y 0)，利用△=0，推出直线OP 的斜率为k OP =−12k ，直线l 的斜率为k ，然后求解即可．9.【答案】解：(1)依题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)， 则{a 2=b 2+c 2=(2√2)2e =c a=√22，解得{a =2√2c =2 ∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1;(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立方程{x 28+y 24=1y =x −1消去y并整理得：3x 2−4x −6=0， 所以{x 1+x 2=43x 1⋅x 2=−2， |AB|=√1+12|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2[(43)2−4×(−2)]=4√113.即：|AB|=4√113， 又∵原点O(0,0)到直线y =x −1的距离为d =√2=√22， ∴△AOB 的面积S =12|AB|⋅d =12×4√113×√22=√223．【解析】【试题解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率及性质，即可求得b 2的值，求得椭圆方程；(2)利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式，三角形的面积公式，即可得．10.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知，c =1，e =c a =√22，∵a 2=b 2+c 2，∴a =√2,b =1， ∴椭圆的方程为x 22+y 2=1．(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，消去y 得，(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0， 则x 1+x 2=4k 22k 2+1，∵M 为线段AB 的中点，∴x M =x 1+x 22=2k 22k 2+1，y M =k(x M −1)=−k2k 2+1，∴k OM =y M x M=−12k，∴k OM ⋅k l =−12k ×k =−12为定值．(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x P =x 1+x 2=4k 22k 2+1，y P =y 1+y 2=k(x 1+x 2)−2k =−2k2k 2+1，∵点P 在椭圆上，∴(4k 22k 2+1)2+2×(−2k2k 2+1)2=2，解得k 2=12，即k =±√22， ∴当四边形OAPB 为平行四边形时，直线l 的斜率为k =±√22．【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及曲直联立、中点坐标公式、平面向量的坐标运算等知识点，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． (Ⅰ)由题可知，c =1，e =c a=√22，再结合a 2=b 2+c 2，解出a 和b 的值即可得解；(Ⅱ)设直线l 的方程为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 的方程和椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，写出两根之和与系数的关系；由于M为线段AB 的中点，利用中点坐标公式可用k 表示点M 的坐标，利用k OM =yMx M 可求出直线OM 的斜率，进而得解；(Ⅲ)若四边形OAPB 为平行四边形，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量的线性坐标运算可以用k 表示点P 的坐标，再将其代入椭圆方程即可得到关于k 的方程，解之即可得解．11.【答案】(1)解：由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由已知椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1， 可得：a +c =3，a −c =1， ∴a =2，c =1， ∴b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 联立{y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 可得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，则{ Δ=64m 2k 2−16(3+4k 2)(m 2−3)=3+4k 2−m 2>0x 1+x 2=−8mk3+4k 2x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2, 又y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2=3(m 2−4k 2)3+4k 2，因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴y 1y 2+x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=0， ∴3(m 2−4k 2)3+4k 2+4(m 2−3)3+k 2+16mk3+4k 2+4=0，∴7m 2+16mk +4k 2=0， 解得：m 1=−2k,m 2=−2k 7，且均满足3+4k 2−m 2>0，当m 1=−2k 时，l 的方程y =k(x −2)，直线过点(2,0)，与已知矛盾； 当m 2=−2k7时，l 的方程为y =k(x −27)，直线过定点(27,0)． 所以，直线l 过定点，定点坐标为(27,0)．【解析】本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．(1)由已知椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a +c =3，a −c =1，从而可求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆方程联立，利用以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．12.【答案】解：(1)设椭圆左焦点为F(−c,0)，则由题意得{√(2+c)2+1=√10c a=12，解得{a =2c =1，则b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由AB ⊥OP 及k OP =12得k l =−2， 所以直线l 为2x +y =0， 由{2x +y =0x 24+y 23=1,得：19x 2−12=0⇒x 1x 2=−1219, ∴|AB |=√1+k 2|x 1−x 2|=√5√4819=4√28519， 因为点P(2,1)到直线l 的距离为d =|OP |=√5, 所以S △ABP =12×d ×|AB|=12×√5×4√28519=10√5719．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数y ，运用韦达定理和弦长公式，考查两点间的距离公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)运用两点的距离公式以及离心率公式，可得a ，c 的值，由a ，b ，c 的关系，可得b ，进而得到椭圆方程；(2)根据垂直直线斜率间的关系，求出直线l 的方程，联立椭圆方程，消去y ，运用韦达定理和弦长公式，及两点间的距离公式，即可得到面积．13.【答案】解：(1)由题意知e =√1−b 2a2=√22;又椭圆C 经过点H(−2,1)，所以4a 2+1b 2=1; 解得a 2=6，b 2=3，所以椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．(2)证明：设直线AB 方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x =my −3x 26+y 23=1联立消元得(m 2+2)y 2−6my +3=0，所以△=36m 2−12(m 2+2)>0，y 1+y 2=6mm 2+2，y 1y 2=3m 2+2， 由题意知，y 1，y 2均不为1． 设M(x M ,0)，N(x N ,0)，由H ，M ，A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 所以x M −x 1=(−y 1)(−2−x M )，化简得x M =x 1+2y 11−y 1;由H ，N ，B 三点共线，同理可得X N =x 2+2y 21−y 2;由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x M +3,0)=λ(1,0)，即λ=x M +3; 由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理可得μ=x N +3; 所以1λ+1μ=1x M +3+1x N +3=1x 1+2y 11−y 1+3+1x 2+2y 21−y 2+3=1−y 1x 1−y 1+3+1−y 2x 2−y 2+3=1−y 1(m −1)y 1+1−y 2(m −1)y 2=1m−1(1−y 1y 1+1−y 2y 2)=1m−1(y 1+y 2y 1y 2−2)=1m−1(6m m 2+23m 2+2−2)=2，所以1λ+1μ为定值．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系 以及圆锥曲线中的定点与定值问题，属中档题 (1)由题意根据椭圆的概念得椭圆C 的方程;(2)设直线AB 方程为x =my −3，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线与椭圆联立消元得(m 2+2)y 2−6my +3=0，由题意知，y 1，y 2均不为1.设M(x M ,0)，N(x N ,0)，由H ，M ，A 三点共线知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，所以x M −x 1=(−y 1)(−2−x M )，化简得x M =x 1+2y 11−y 1;由H ，N ，B 三点共线，同理可得X N ，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得λ，μ表达式，从而证得1λ+1μ为定值．14.【答案】解：(1)∵椭圆C 的离心率为√22， ∴a =√2c ，b =c ， 又∵∠OAB =∠ODA ， ∴tan∠OAB =tan∠ODA ， ∴ba =a2，∴a 2=2b ， ∴2b 2=2b ，∴b =1，a =√2， 故椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)由题意，可设直线l:x =my +n ，P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)、N(−x 2,−y 2)， 联立方程{x =my +n x 2+2y 2=2，得(m 2+2)y 2+2mny +n 2−2=0， ∴{y 1+y 2=−2mn m 2+2y 1⋅y 2=n 2−2m 2+2， Δ=4m 2n 2−4(m 2+2)(n 2−2)>0，即m 2+2>n 2． DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−y 1−2)，DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x 2,−y 2−2)， ∵D 、M 、N 三点共线，∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴x 1(−y 2−2)=x 2(y 1+2)， ∴(my 1+n)(−y 2−2)=(my 2+n)(y 1+2)， ∴2my 1y 2+(2m +n)(y 1+y 2)+4n =0． ∴2m ·n 2−2m 2+2+(2m +n)·−2mn m 2+2+4n =0，∴m =2n ．∴直线l 过定点(0,−12).【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，考查椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系及圆锥曲线中的定点值问题，属于较难题． (1)根据条件可得关于a 、b 的方程，求解可得椭圆C 的方程；(2)由题意，可设直线l:x =my +n ，P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，M(x 1,−y 1)、N(−x 2,−y 2)，与椭圆方程联立，根据D 、M 、N 三点共线，可得m =2n ，从而可得结论．15.【答案】解：(1)依题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)， 则{a 2=b 2+c 2=(2√2)2e =c a =√22，解得 {a =2√2c =2， ∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1 ;(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 联立方程{x 28+y 24=1y =x −1 ，消去y ， 并整理得：3x 2−4x −6=0， 所以{x 1+x 2=43x 1·x 2=−2， |AB |=√1+12|x 1−x 2|=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√2[(43)2−4×(−2)]=4√113·即：|AB|=4√113， 又∵原点O (0,0)到直线y =x −1的距离为d =√2=√22， ∴△AOB 的面积S =12|AB|⋅d =12×4√113×√22=√223.【解析】【试题解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，属于中档题．(1)根据椭圆的离心率及性质，即可求得b 2的值，求得椭圆方程；(2)利用直线与椭圆的位置关系，以及点到直线的距离，弦长公式，三角形的面积公式，即可得．16.【答案】解：(1)由已知得e =c a =√22且2c =2，所以a =√2，c =1，所以b =1，所求椭圆方程为x 22+y 2=1．(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 4)， 由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 3=2x 1+x23,y 3=2y 1+y 23.设|OE||OD|=λ，则结合题意可知OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(λx 3,λy 3). 将点E(λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 322+y 32)=1.即1λ2=x 322+y 32=(2x 1+x 23)22+(2y 1+y 23)2，变形，得1λ2=49，(x 122+y 12)+49(x 1x 22+y 1y 1)+19(x 222+y 22)(∗)， 又因为点A ，B 均在椭圆上，且k OA ⋅k OB =−12，所以{ x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,k OA ⋅k OB=y 1x 1⋅y 2x 2=−12,代入(∗)式解得λ=3√55. 所以|OE||OD|是定值，为3√55．【解析】本题考查椭圆的性质和方程，圆锥曲线中的定值问题，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．(1)由题给条件求出a ，b ，进而得到方程．(2)设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 4)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x 3=2x 1+x23,y 3=2y 1+y 23. ，设|OE||OD|=λ， 则结合题意可知OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E(λx 3,λy 3)，将点E(λx 3,λy 3)代入椭圆方程，得λ2(x 322+y 32)=1， 由此得1λ2=49，由条件求出λ，进而求出答案．17.【答案】解：(1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程得16b 2=1，∴b =4，由e =ca =35，得1−16a 2=925，∴a =5， ∴椭圆C 的方程为x 225+y 216=1；(2)过点(3,0)且斜率为45的直线为y =45(x −3)， 设直线与椭圆C 的交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线方程y =45(x −3)代入椭圆C 方程，整理得x 2−3x −8=0， 由韦达定理得x 1+x 2=3，y 1+y 2=45(x 1−3)+45(x 2−3)=45(x 1+x 2)−245=−125．由中点坐标公式AB 中点横坐标为32，纵坐标为−65， ∴所截线段的中点坐标为(32,−65).【解析】【试题解析】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键． (1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(0,4)，可求b ，利用离心率，求出a ，即可得到椭圆C 的方程；(2)过点(3,0)且斜率为45的直线为y =45(x −3)，代入椭圆C 方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．18.【答案】解：(1)由条件可得A(0,−c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1+c)，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x 1,−y 1)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2+c)，NF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x 2,−y 2)． 由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α1MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =β1NF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得， (x 1,y 1+c)=α1(c −x 1,−y 1)，(x 2,y 2+c)=β1(c −x 2,−y 2)， ∴x 1=α1(c −x 1)，x 2=β1(c −x 2)，∴α1=x 1c−x 1，β1=x2c−x 2(由已知，x 1≠c ，x 2≠c)， ∴α1+β1=x 1c−x 1+x2c−x 2=c(x 1+x 2)−2x 1x 2c 2−c(x1+x 2)+x 1x 2．由方程组{y =x −c,b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0.得(a 2+b 2)x 2−2a 2cx +a 2c 2−a 2b 2=0， ∴x 1+x 2=2a 2c a 2+b2，x 1x 2=a 2c 2−a 2b 2a 2+b 2．∴a 2c 2a 2+b2−2a 2c 2−2a 2b 2a 2+b 2=c 2+b 2+a 2−a 2b 2a 2+b 2=−6 化简得，2a 2=3c 2，即e =√63．(2)设B(x,y)，由OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =α2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +β2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得，x =α2x 1+β2x 2，y =α2y 1+β2y 2， 将它们代入b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0并结合b 2x 12+a 2y 12−a 2b 2=0和b 2x 22+a 2y 22−a 2b 2=0化简得，(α22+β22)a 2b 2+2α2β2(b 2x 1x 2+a 2y 1y 2)=a 2b 2．又y 1y 2=(x 1−c)(x 1−c)=x 1x 2−c(x 1+x 2)+c 2=b 2c 2−a 2b 2a 2+b 2， ∴b 2x 1x 2+a 2y 1y 2=b 2(a 2c 2−a 2b 2)a 2+b 2+a 2(b 2c 2−a 2b 2)a 2+b 2=a 2b 2(3c 2−2a 2)a 2+b 2=0，∴(α22+β22)a 2b 2=a 2b 2，所以，α22+β22=1．【解析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，平面向量的坐标运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．(1)由条件可得A(0,−c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理以及向量的坐标运算可得a ，b ，c 的关系，即可求离心率．(2)设B(x,y)，结合题意以及向量的坐标运算可得x =α2x 1+β2x 2，y =α2y 1+β2y 2，代入b 2x 2+a 2y 2−a 2b 2=0，结合韦达定理化简整理即可得出答案．19.【答案】解：(1)在椭圆C ：x 24+y 2=1中，a =2，b =1，所以c =√a 2−b 2=√3， 故椭圆C 的焦距为2c =2√3， 离心率e =ca =√32；(2)设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，则x 024+y 02=1，故y02=1−x024，所以|TP|2=|OP|2−|OT|2=x02+y02−1=34x02，所以|TP|=√32x0，SΔOTP=12|OT|⋅|TP|=√34x0，又O(0,0)，F(√3,0)，故SΔOFP=12|OF|⋅y0=√32y0，因此S四边形OFPT =SΔOFP+SΔOTP=√32⋅(x02+y0)=√32⋅√x024+x0y0+y02=√32⋅√1+x0y0，由x024+y02=1，得2√x024⋅y02≤1，即x0⋅y0≤1，所以S四边形OFPT =√32⋅√1+x0y0≤√62，当且仅当x024=y02=12，即x0=√2，y0=√22时等号成立．【解析】本题考查椭圆的几何性质以及椭圆的标准方程，关键是掌握椭圆的标准方程的形式．(1)根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a、b的值，计算可得c的值，据此计算可得答案；(2)设P(x0,y0)，结合椭圆的方程分析可得四边形OFPT面积的表达式，结合基本不等式的性质分析可得答案．20.【答案】解：(1)由题意，点P椭圆上的一动点，且|PF1|的最小值是1，得a−c=1，因为当PF1垂直长轴时，|PF1|=32，所以b2a=32，即2b2=3a，又由a2=b2+c2，解得a=2，b=√3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．(2)假设存在斜率为−1的直线l，不妨设为y=−x+m．由(1)知，椭圆E左右焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，所以以线段F1F2为直径的圆方程为x2+y2=1．由题意，圆心(0,0)到直线l的距离d=√2<1，即得|m|<√2，又|AB|=2√1−d 2=2√1−m 22=√2×√2−m 2，联立方程组{x 24+y 23=1y =−x +m ，消去y ，整理得7x 2−8mx +4m 2−12=0，由题意，△=(−8m)2−4×7×(4m 2−12)=336−48m 2=48(7−m 2)>0， 解得m 2<7，又|m|<√2，所以m 2<2． 又由韦达定理，得x 1+x 2=8m 7，x 1x 2=4m 2−127，所以|CD|=√1+k 2|x 2−x 1|=√2×√Δ7=4√6√7−m 27，若|CD||AB|=24√27， 则√2×√2−m 2×4√67×√7−m 2=24√27， 整理得m 4−9m 2+8=0， 解得m 2=1，或m 2=8．又m 2<2，所以m 2=1，即m =±1.故存在符合条件的直线l ，其方程为y =−x +1，或y =−x −1．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中的定点与定值问题，还涉及了直线与圆方程的应用，属于中等题．(1)根据题中条件得到a −c =1，2b 2=3a ，结合椭圆的性质：a 2=b 2+c 2，建立关于a ，b 的方程组即可求解；(2)由题意，设出直线l 方程y =−x +m ，根据题设条件得到|m|<√2，联立直线l 与椭圆得方程组，利用韦达定理、圆中弦长公式以及两点间距离的坐标公式，依次计算得到|AB|、|CD|关于m 的表达式，由|CD |⋅|AB |=24√27进而可求得m 的值，于是可给出相应的结论．21.【答案】解：(1)设点P 为(x,y )，点A ，B 的坐标分别为(−6,0)，(6,0)．因为k PA ⋅k PB =yx+6⋅yx−6=−49，所以4x 2+9y 2=144即x 236+y 216=1．因为P在椭圆C上，所以x236+y2b2=1，所以b2=16．故椭圆C的方程为x236+y216=1,c=√a2−b2=√62−16=2√5．所以离心率e=ca =2√56=√53．(2)因为，所以四边形MSNT的面积S MSNT=12|ST|⋅|MN|．由题意得|ST|=4，则S MSNT=2 |MN|．即当|MN|取到最大值时，S MSNT取到最大值．联立直线l1与椭圆C的方程，可得13x2+18mx+9m2−144=0．由，可得m2<52．设点M，N的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则x1+x2=−18m13，x1x2=9m2−14413，所以|MN|=√2[(−18m13)2−4×9m2−14413]=12√2√−m2+5213．显然当m=0时，|MN|取到最大值24√2613，故S MSNT的最大值为48√2613．【解析】本题考查椭圆几何性质、标准方程以及圆锥曲线中面积最值问题，属于一般题；(1)本题考查椭圆标准方程以及几何性质，根据斜率乘积求出x、y的一个关系，再根据点在椭圆上及椭圆的性质求解即可；(2)本题考查圆锥曲线中面积以及最值问题，对四边形MSNT面积进行正确转化，进而联立直线与椭圆方程，再利用弦长公式求解即可．22.【答案】解：(1)由椭圆E 经过点P(0,1)，得b =1，由短轴长等于焦距，得2b =2c ，则c =1， 所以a =√b 2+c 2=√12+12=√2， 故椭圆E 的方程为x 22+y 2=1．(2)设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)， A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 0,y 0)，联立直线与椭圆方程：{x =ty +1x 2+2y 2=2，得(t 2+2)y 2+2ty −1=0， 由题意，得△>0，且y 1+y 2=−2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2， 则y 0=y 1+y 22=−t t 2+2，x 0=ty 0+1=2t 2+2，即C (2t 2+2,−tt 2+2)， 设D (0,u )，由得：u+tt 2+2−2t 2+2·1t=−1，解得u =tt 2+2，所以y 0+u =0，所以y 0+u 2=0，故线段CD 的中点在x 轴上．【解析】本题主要考查了直线与椭圆的关系，椭圆的标准方程，考查运算能力，属于中档题．(1)根据题目条件，可得b =c =1，进而可求出a ，可求方程．(2)设直线l 的方程为x =ty +1(t ≠0)，联立直线与椭圆方程，消去x 得(t 2+2)y 2+2ty −1=0，由韦达定理可得y 1+y 2=−2tt 2+2，y 1y 2=−1t 2+2，则可求C 点坐标，设D (0,u )，由建立等式解得u ，由y 0+u 2=0，可证结果．23.【答案】解：(1)由题意得a =2,e =c a=√32， 所以c =√3,b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)(ⅰ)证明：设P(x 0,y 0)，因为P 在椭圆C 上，所以x 024+y 02=1．因为直线AP 的斜率为y 0x 0+2，直线BP 的斜率为y 0x 0−2， 所以直线BP 的方程为y =y 0x 0−2(x −2)． 所以点N 的坐标为N(−6,−8y 0x0−2)．所以直线AN 的斜率为−8y 0x 0−2−6+2=2y 0x0−2． 所以直线AP,AN 的斜率之积为：y 0x 0+2⋅2y 0x 0−2=2y 02x 02−4=2(1−x 024)x 02−4=−12．(ⅰ)M,B,Q 三点共线．因为点P 异于A ，B 两点，可知直线AP 的斜率存在且不为零．设直线AP 斜率为k(k ≠0)，则直线AP ：y =k(x +2)，可得M(−6,−4k)． 由(ⅰ)可知直线AP,AN 的斜率之积为−12，所以直线AN 的斜率为−12k ， 所以直线AN 的方程为y =−12k (x +2)．联立直线AN 与椭圆方程得，{x 2+4y 2−4=0,x =−2ky −2,可得(4+4k 2)y 2+8ky =0．解得Q 点的纵坐标为−2k 1+k2，所以Q 点的坐标为Q(2k 2−21+k 2,−2k 1+k 2)．所以，直线BQ 的斜率为−2k1+k 2−02k 2−21+k 2−2=k2，直线BM 的斜率为−4k−0−6−2=k2． 因为直线BQ 的斜率等于直线BM 的斜率，所以M,B,Q 三点共线．【解析】本题考查椭圆的定义及几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率与直线的方程，属于中档题．(1)结合条件和椭圆的几何性质可求得a ，b ，c ，即可求得椭圆的方程；(2)(ⅰ)设P(x 0,y 0)，求得直线AP 的斜率并求出直线BP 方程，求得点N 的坐标，再求得直线AN 的斜率，根据点P 在椭圆上，可证明直线AP,AN 的斜率之积为定值； (ⅰ)根据直线AP 的斜率存在且不为零，设直线AP 斜率为k ，则可得直线AP 方程，求出点M ，根据(ⅰ)中的直线AP,AN 的斜率之积为−12，求出直线AN 的斜率为−12k ，可得直线AN 的方程，联立直线AN 与椭圆方程，求得点Q 坐标，根据直线BQ ，BM 斜率相等，可判定结论．24.【答案】解：(1)F(−c,0)，A(a,0)，B(0,b)，则S △ABF =√2+12=12(a +c)b ， 即(a +c)b =√2+1，即(a +c)√a 2−c 2=√2+1． 又e =ca =√22，a =√2c ，代入上式中得到，(√2c +c)√2c 2−c 2=√2+1， 解得c =1，于是a =√2，b =1．。

椭圆题型归纳一、知识总结1、椭圆的概念在平面内与两定点21F F 、的 等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 。

集合}2{21a MF MF M P =+=，c F F 221=，其中0>a ，0>c ，且c a ，为常数。

（1）若c a >，则集合P 为 ；（2）若c a =，则集合P 为 ； （3）若c a <，则集合P 为 。

b ab aa x a ≤≤-b x b ≤≤- （1）确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两方面：“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的情况下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断椭圆方程的标准形式。

“定量”是指确定22,a b 的具体数值，常用待定系数法。

（2）当椭圆的焦点位置不明确时（或无法确定）求其标准方程时，可设方程为221(0,0,),x y m n m n m n+=>>≠且可避免讨论和繁琐的计算。

也可以设为221A>0,B>0,A B Ax By +=≠（），这种形式在解题中较为方便。

（3）求动点的轨迹方程时，应首先充分的挖掘图形的几何性质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以避免陷入繁琐的化简计算中二、例题剖析题型一、椭圆的定义例1、设定点)30(1-，F ，)30(2，F ，动点满足条件，则点的轨迹是A 、椭圆B 、线段C 、不存在D 、椭圆或线段例2、下列说法中正确的是（ ）A.已知12(4,0),(4,0)F F -,到12,F F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆；B. 已知12(4,0),(4,0)F F -,到12,F F 两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；C.到12(4,0),(4,0)F F -两点的距离之和等于点(5,3)M 到12,F F 的距离之和的点的轨迹是椭圆；D.到12(4,0),(4,0)F F -的距离相等的点的轨迹的方程。

椭圆大题题型及方法总结
椭圆在大题中的题型一般有以下几种:
1. 求椭圆方程：这是基础中的基础，可以直接设方程，也可以根据已知条件设方程。

2. 探究椭圆的性质：例如探究椭圆的焦点位置、焦距大小、离心率等性质。

3. 求椭圆上的点的坐标：通常会涉及到椭圆上的点与其他图形的关系，例如与直线、圆、柱形等的关系。

4. 用韦达定理求解椭圆的问题：韦达定理是椭圆考试中的一个重要知识点，通常会在第 2 问或第 3 问中使用。

5. 与三角形相关的问题：椭圆通常会与三角形联系起来，涉及到三角形的面积、周长、角度等问题。

6. 探究椭圆与其他图形的关系：例如椭圆与圆的关系、椭圆与直线的关系等。

针对以上题型，有一些常用的方法和技巧，例如:
1. 画图是一个必不可少的步骤，有助于更好地理解题意和解决问题。

2. 熟悉椭圆的定义和性质，有助于更好地解答题目。

3. 韦达定理是椭圆考试中的一个重要知识点，需要熟练掌握。

4. 注意椭圆与其他图形的关系，例如椭圆与直线的关系、椭圆与圆的关系等，可能需要使用勾股定理、余弦定理等知识。

5. 考试中需要仔细阅读题目，理解题意，抓住关键信息，有针
对性地解决问题。

椭圆十二大题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 (一)定义1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙:P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P的轨迹是（ ）A.椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动点Q的轨迹是( ) A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 。

5. 选做：F 1是椭圆15922=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。

(二) 标准方程求参数范围1. 试讨论k 的取值范围，使方程13522=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。

2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( )A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限（ ） A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 方程231y x -=所表示的曲线是 。

5. 已知方程222=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 。

(三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；（3）已知椭圆中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程；2. 求下列椭圆的标准方程（1）32,8==e c ；（2）过（3，0）点，离心率为36=e ； （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。

椭圆基本题型总结（小题压轴题、基础题分类）题型一、椭圆定义的运用1、 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，AB 是经过焦点1F 的弦且8AB =，若椭圆长轴长是10，求21F A F B +的值；2、已知Ａ、Ｂ是两个定点，4AB =，若点Ｐ的轨迹是以Ａ，Ｂ为焦点的椭圆，则PA PB +的值可能为（ ）Ａ ２ Ｂ ３ Ｃ ４ Ｄ ５3、椭圆221259x y +=的两个焦点为1F 、2F ，Ｐ为椭圆上一点，若01290F PF ∠=，求12F PF ∆的面积。

4、设Ｐ是椭圆221499x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，，若12PF =，则2PF =5、椭圆221259x y +=上一点Ｍ到焦点1F 的距离为２，Ｎ是1MF 中点，则ON =（ ）Ａ ２ Ｂ 6 Ｃ ４ Ｄ 326、在椭圆2219y x +=上有一点P ，1F 、2F 分别是椭圆的上下焦点，若122PF PF =，则2PF = ；7、已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB = ；8、设1F 、2F 为椭圆221496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12=43PF PF ：：，求12F PF ∆的面积。

9、0m n >>是方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的 条件；10、若方程22125x y k k+=−−表示椭圆，则的取值范围为 ；11、已知ABC ∆的顶点在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是 ；题型二、椭圆的标准方程1. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.2.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程.题型三、离心率1、1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该椭圆的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为 ；242、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上，且01260F PF ∠=，求椭圆的离心率的取值范围；3、设1F 、2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是 ；4、在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2C ，以点O 为圆心，a 为半径作圆Ｍ，若过点2(,0)a P c所作圆Ｍ的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率为 ；5、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b −为椭圆的两个顶点，若F 到AB，则椭圆的离心率为 ； 6、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，且122F F c =，点A 在椭圆上，1120AF F F ⋅=，212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率为 ；7、已知1F 、2F ，是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为 ；8、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A 。

椭圆知识点与题型总结一、椭圆的定义和基本概念1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴的长度。

与椭圆的长轴垂直的轴称为短轴，其长度为常数2b。

2. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。

3. 椭圆的离心率：椭圆的离心率e的定义为e=c/a，其中c为焦距的一半，a为长轴长度的一半。

离心率描述了椭圆形状的“圆”的程度，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆。

4. 椭圆的几何性质：椭圆有关于焦点、直径、切线等方面的许多重要性质和定理，例如：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a、椭圆的切线与法线的交点、椭圆的对称性等等。

二、椭圆的常见题型及解题方法1. 椭圆的参数方程题型：求椭圆的参数方程，求参数方程表示的椭圆的离心率、焦点、中心等。

解题方法包括利用椭圆的定义，代入标准方程解参数等。

2. 椭圆的焦点、离心率题型：根据给定的椭圆的标准方程或参数方程，求椭圆的焦点坐标、离心率，或者给定椭圆的离心率和一个焦点，求椭圆的方程。

解题方法包括根据离心率的定义求解，利用椭圆的参数方程计算焦点坐标等。

3. 椭圆的性质题型：求椭圆的长轴、短轴长度，椭圆的离心角、焦点、直径，椭圆的法线、切线方程等。

解题方法包括利用椭圆的定义、性质和以直径为坐标系的轴来简化计算等。

4. 椭圆的切线、法线题型：求椭圆在给定的一点上的切线、法线方程，或者求椭圆上一点的切线、法线方向角。

解题方法包括利用椭圆的参数方程求导数，利用椭圆的切线、法线的定义求解等。

5. 椭圆的面积题型：求椭圆的面积，求椭圆内切矩形的最大面积等。

解题方法包括利用椭圆的定义和参数方程求解，利用微积分求解等。

总之，椭圆是重要的数学对象，涉及到许多重要的数学定理和公式，解椭圆相关的数学题目需要运用代数、几何和微积分等多种知识和技巧。