高考数学 黄金100题系列 第33题 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性 文

高三文科复习题（十九）——三角函数的性质1. ()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称 D ．关于直线x π=3对称 2. 函数y=|sinx|的一个单调增区间是（ ） A.)4,4(ππ- B.)43,4(ππ C.)23,(ππ D. )2,23(ππ 3、已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ） A .2π B .4π- C .4π D .34π 4、如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ） A .6π B.4π C.3π D. 2π 5. 函数5sin(2)2y x π=- （ ） A ．是奇函数. B ．是偶函数.C ．既不是奇函数也不是偶函数.D ．奇偶性无法判断.6. 下列函数中，既为偶函数又在(0,π)上单调递减的是（ ） A. sin y x = B. sin()2y x π=+C. cos y x =D. cos y x =- 7．函数y ＝ cosx －12的定义域为( ) A ．[－π3，π3] B ．[kπ－π3，kπ＋π3]，k ∈Z C ．[2kπ－π3，2kπ＋π3]，k ∈Z D ．R 8. 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数。

若f (x )的周期是π,且当x ∈［0,2π］时，f (x )=sin x ，则f (35π)的值为 （ ）A.12 B. 12- C. D. 9. 函数y =sin(x +ϕ)(0≤ϕ≤π)是R 上的偶函数,则ϕ等于（ ）A. 0B. 4πC. 2π D.π10. 函数y =2sin(6π－2x )(x ∈[0,π］)为增函数的区间是 （ ） A.［0,3π］ B.［12π,12π7］ C.［3π,6π5］ D.［6π5,π］ 11．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11° 12. 已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈，下面结论错误．．的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称 D ．函数()f x 是奇函数13. 函数y =a cos x +b (a ,b 为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么a cos x +b sin x 的最大值是（ ）A.1B.4C.5D.714．已知函数)cos(ϕπω+=x y 的最小正周期为1，则正数ω的值为 ;15、函数y=lg(sinx-cosx)的定义域是 ；16．若函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为________． 17、下列命题中：① 函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πx 是奇函数； ② 函数9sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数； ③ 函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12π成中心对称图形. ④ x =8π是函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程；正确的个数是 18．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称； ②图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称； ③在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎡⎦⎤－π6，0上是增函数中， 其中所有正确结论的编号为________．19、（Ⅰ）化简：︒--︒︒︒+20sin 1160sin 160cos 20sin 212;（Ⅱ）已知：3tan =α，求)2sin()cos(4)23sin(3)2cos(2απααπαπ-+-+--－的值.20、（1）求函数sin(2),3y x π=-[,]x ππ∈-的单调递减区间； （2）求3tan()46x y π=-的周期及单调区间。

三角函数的周期性与奇偶性三角函数是高中数学中的一个重要部分，它的周期性和奇偶性是在学习三角函数的过程中需要掌握的基本概念。

三角函数中主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

1. 正弦函数的周期性和奇偶性正弦函数的定义式为y = sin x，其中x为自变量，y为因变量。

正弦函数的图像是一条波形曲线，它的周期为2π，即当x增加一个周期时，y的值会重复一次。

具体来说，正弦函数在[0,2π]区间内的最小正周期为2π。

因此，在对正弦函数进行周期性和奇偶性的分析时，可以把自变量限制在[0,2π]之间。

正弦函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。

可以通过正弦函数的定义式来进行验证：sin(-x) = -sin x。

因此，正弦函数是一个奇函数，即在[0,2π]内，正弦函数关于坐标轴的原点对称。

2. 余弦函数的周期性和奇偶性余弦函数的定义式为y = cos x，其中x为自变量，y为因变量。

余弦函数的图像也是一条波形曲线，它的周期也是2π。

与正弦函数类似，余弦函数的最小正周期也为2π。

在对余弦函数进行周期性和奇偶性的分析时，也可以把自变量限制在[0,2π]之间。

余弦函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。

通过余弦函数的定义式可以得知：cos(-x) = cos x。

因此，余弦函数是一个偶函数，即在[0,2π]内，余弦函数关于y轴对称。

3. 正切函数的周期性和奇偶性正切函数的定义式为y = tan x，其中x为自变量，y为因变量。

正切函数在定义域内有无数个周期，其最小正周期为π，即当x增加π时，y的值会重复一次。

因此，在对正切函数进行周期性和奇偶性的分析时，需要考虑其多个周期的情况。

正切函数的奇偶性是指当x取反时，y的值是否发生变化。

通过正切函数的定义式可以得知：tan(-x) = -tan x。

因此，正切函数是一个奇函数，即在其每个周期内，正切函数关于坐标轴的原点对称。

综上所述，三角函数的周期性和奇偶性是其在数学中的重要概念之一。

考点56 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性1.（13大纲T12）已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是 （ ）A.()y f x =的图象关于()π,0中心对称B.()y f x =的图象关于直线π2x =对称C.()f x ()f x 既奇函数，又是周期函数 【测量目标】三角函数的周期性、最值，对称性. 【难易程度】中等 【参考答案】C 【试题解析】A项，因为(2π)cos(2π)sin(4π2)cos()sin(2)cos sin 2()f x x x x x x x f x -=--=--=-=- ()f x 的图象关于点(,0)π中心对称，故正确.（步骤1）B 项，因为(π)cos(π)sin(2π2)cos sin 2(),f x x x x x f x -=--==所以()y f x =的图象关于直线2x π=对称，故正确，(步骤2)C 项，由题意知()()22=2cos sin 21sin sin f x x x x x =-.令sin t x =，[]1,1t ∈-，则()()232122g t t t t t =-=-.（步骤3）令()2260g t t '=-=，得=t ±.当1t =±时，函数值为0；当t =时，函数值为t =.∴()max g t =()f x 故选C.（步骤4）D 项，由()cos()sin(2)cos sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-知其为奇函数， 综合选项A 、B 知()f x 为周期函数，故正确.(步骤5)2.（13T17）设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值； （Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值.【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）2222222)sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f x x ==a b 211π1cos sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）3.(13T15)已知函数2π()26sin cos 2co ,s 41f x x x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭+∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【测量目标】三角函数的周期性和最值. 【难易程度】容易【试题解析】(I)()ππ2cos2sin 3sin 2cos 244f x x x x x =+- π2sin 22cos 224x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（步骤1） (II)因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，并且()02f =-，3π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2-.（步骤2）4．（13T21）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；（1）若()y f x =在π2π[,]43-上单调递增，求ω的取值围； （2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b ∈R 且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值． 【测量目标】三角函数的单调性，周期，图像及其变化. 【难易程度】中等【试题解析】(1)因为0ω>，根据题意有ππ34202ππ432ωωω⎧--⎪⎪⇒<⎨⎪⎪⎩（步骤1） (2) ()2sin(2)f x x =，ππ()2sin(2())12sin(2)163g x x x =++=++ π1π()0sin(2)π324g x x x k =⇒+=-⇒=-或5π+π,12x k k =∈Z ，即()g x 的零点相离间隔依次为π3和2π3，（步骤2）故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点， 则b a -的最小值2ππ43π1415333⨯+⨯=．（步骤3） 5.（13新课标Ⅰ T15）设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.【测量目标】三角恒等变换，利用三角函数求最值. 【难易程度】较难【参考答案】【试题解析】f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭，（步骤1） 令cos αsin α＝-f (x )α＋x )，（步骤2） 当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )（步骤3）即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-（步骤4） 6.（13T11）函数2sin 2yx x =+的最小正周期为T 为 . 【测量目标】三角函数的周期.【难易程度】容易 【参考答案】π【试题解析】2πsin 2sin 222sin(2)3y x x x x x =+==-+，故最小正周期为2ππ2T ==. 7.(13T1)函数π3sin(2)4y x =-的最小正周期为.【测量目标】三角函数的周期性. 【难易程度】容易 【参考答案】π【试题解析】函数π3sin(2)4y x =-的最小正周期2ππ2T ==. 8．(13T16)已知函数f (x )＝4cos ωx πsin 4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．【测量目标】二倍角，两角和的正弦，函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，三角函数的单调性、周期性. 【难易程度】中等【试题解析】(1)f (x )＝4cos ωx sin π4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭＝ωx cos ωx ＋2ωxωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭步骤1)因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1.（步骤2）(2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭若0x π2，则ππ5π2444x +.（步骤3）当πππ2442x +，即π08x 时，f (x )单调递增； 当ππ5π2244x +，即ππ82x 时，f (x )单调递减．（步骤4） 综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（步骤5）9.（13T16）已知向量1cos ,2x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ,=b ),cos 2,x x x ∈R ,设函数()=f x a b .(1)求()f x 的最小正周期;(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的周期、最值. 【难易程度】容易 【试题解析】()1()cos,3sin ,cos 22f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin cos 22x x x =-12cos 222x x =-ππcos sin 2sin cos 266x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（步骤1）（1）()f x 最小正周期为2πT ω=2ππ2==,即函数()f x 的最小正周期为π.（步骤2）（2）π0,2x ∴ππ5π2.666x --（步骤3） 由正弦函数图象的性质得，当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1.（步骤4）当ππ266x -=-，即0x =时，(0)f =12-.（步骤5）当π5π266x -=，即π2x =时，π1()22f =，（步骤6）()f x ∴的最小值为12-.因此，()f x 在π(0,)2上的最大值是1，最小值是12-.（步骤7）10．（13T4）已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ， 则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（ ） A ．充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】三角函数的性质，三角函数的诱导公式和三角函数的奇偶性. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】若φ=π2，则f (x )=A cos(ωx +π2)⇒f (x )=-A sin(ωx )(A ＞0，ω＞0，x ∈R )是奇函数；若f (x )是奇函数⇒f (0)=0，∴f (0)=A cos(ω×0+φ)=A cos φ=0.∴φ=k π+π2，k ∈Z ，不一定有φ=π2，“f (x )是奇函数”是“φ=π2”必要不充分条件.故选B.11．（12T17）已知向量(cos sin sin )x x x ωωω=-，a ，(cos sin )x x x ωωω=--b ，设函数()()f x x λ=+∈R a b 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π,04⎛⎫⎪⎝⎭，求函数()f x 在区间3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值围. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的变换及化简. 【难易程度】容易 【试题解析】（I ）因为22()sin cos cos f x x x x ωωωλ=-+cos22.x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+（步骤1）.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ+()62k k ω-=∈Z ，即1().23k k ω=+∈Z 又1(,1)2k ω∈∈Z ，，所以k =1，故56ω=，所以()f x 的最小正周期为6π5.（步骤2）（II ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，（步骤3）即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=即λ=故5π()2sin()36f x x =--（步骤4）由3π0,5x 有π5π5π,6366x --所以15πsin()1236x --，得5π12sin()222,36x ----故函数()f x 在3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值围为12⎡---⎣.（步骤5） 12.（12T16）设函数2π())sin 4f x x x =++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）设函数()g x 对任意x ∈R ，有π()()2g x g x +=，且当π[0,]2x ∈时， 1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[π,0]-上的解析式. 【测量目标】两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，三角函数的性质，求分段函数解析式.【难易程度】中等【试题解析】2π111()cos(2)sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x =++=-+- 11sin 222x =-.（步骤1） （1）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（步骤2） （2）当π[0,]2x ∈时，11()()sin 222g x f x x =-=，（步骤3）当π[,0]2x ∈-时，ππ()[0,]22x +∈π1π1()()sin 2()sin 22222g x g x x x =+=+=-，当π[π,)2x ∈--时，π(π)[0,)2x +∈11()(π)sin 2(π)sin 222g x g x x x =+=+=.（步骤4）得：函数()g x 在[π,0]-上的解析式为1πsin 2(0),22()1πsin 2(π).22x x g x x x ⎧--⎪⎪=⎨⎪-<-⎪⎩（步骤5）13.（12T15） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x f x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.【测量目标】三角函数的定义域、周期、单调性. 【难易程度】容易 【试题解析】(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==(sin cos )2sin cos sin xx x xx-=2(sin cos )cos x x x-sin 21cos 2x x =--=π)14x --，{|π}x x k k ≠∈Z ,(步骤1)(1) 原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（步骤2） (2) 由πππ2π22π+,242k x k k --∈Z .解得π3πππ,,88k x k k -+∈Z 又{|π,}x x k k ≠∈Z ,原函数的单调递增区间为π[π,π)8k k k -+∈Z ，3π(π,π]8k k k +∈Z . （步骤3）14.（12T15）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x =++-+-∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】三角函数的周期性、最值. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-ππ2sin 2coscos 2)34x x x =+=+ （步骤1） 函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==（步骤2） （Ⅱ）ππππ3π2π2sin(2)11()24444424x x x f x -⇒-+⇒-+⇔-（步骤3）当πππ2()428x x +==时，max ()f x πππ2()444x x +=-=-时，min ()1f x =-（步骤4）15.(12新课标T9)已知ω >0,函数()πsin()4f x x ω=+在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，则ω的取值围是( )15A.,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦13B.,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦1C.0,2⎛⎤⎥⎝⎦D (].0,2 【测量目标】三角函数的单调性. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由题意得，函数()πsin()4f x x ω=+的单调递减区间为ππ3π242x ω+, 则π5π44xω，(步骤1)所以π5π44xωω，则ππ5ππ424ωω且，解得1524ω.(步骤2) 故选A.16．(11T9)对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ∈R ，c ∈Z )，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是（ ） A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和2 【测量目标】三角函数的奇偶性． 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，因为c ∈Z ，则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有D ，123+=不是偶数． 17.（11T8）函数ππsin()cos()26y x x =+-的最大值为 【测量目标】三角函数的最值.【难易程度】容易【试题解析】ππsin()cos()26y x x =+-=πcos cos()6x x -=1ππcos cos(2)266x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=1π23cos(2)2644x +-+. 18.（11T9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若π()()6f x f 对x ∈R 恒成立，且π()(π)2f f >，则()f x 的单调递增区间是( )A.ππ[π,π]()36k k k -+∈Z B.π[π,π]()2k k k +∈Z C.π2π[π,π]()63k k k ++∈Z D.π[π,π]()2k k k -∈Z 【测量目标】三角函数的单调性、最值.【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】对x ∈R 时，π()()6f x f 恒成立，所以ππ()sin()163f ϕ=+=±，可得π5π2π2π66k k ϕϕ=+=-或，（步骤1） 因为π()sin(π)sin (π)sin(2π)sin 2f f ϕϕϕϕ=+=->=+=，故sin 0ϕ<， 所以5π2π6k ϕ=-，所以5π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（步骤2） 函数单调递增区间为π5ππ2π22π262k x k -+-+，所以π2π[π,π]()63x k k k ∈++∈Z ,答案为C. （步骤3） 19．（11T15） 已知函数π()4cos sin()16f x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图像及其变换，两角和的正弦. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为π()4cos sin()16f x x x =+-1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x (步骤1) 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=π2sin(2)6x =+（步骤2）所以)(x f 的最小正周期为π（步骤3）（Ⅱ）因为ππππ2π,2.64663x x --+所以 于是，当πππ2,626x x +==即时，)(x f 取得最大值2；（步骤4）当πππ2,,()666x x f x +=-=-即时取得最小值1-.（步骤5）20.(11全国T5)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 （ ） A.13B.3C.6D.9 【测量目标】三角函数的周期性,三角函数图象的平移变换. 【参考答案】C【试题解析】由题意得2ππ()3k k ω⨯=∈Z ,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.21．（11T6）若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π[0,]3上单调递增，在区间ππ[,]32上单调递减，则ω= ( )A.3B. 2C. 32D. 23【测量目标】三角函数的单调性. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π[0,]2ω上单调递增，在区间π3π[,]22ωω上单调递减，则ππ23ω=，即32ω=，答案应选C. 另解1：令ππ[2π,2π]()22x k k k ω∈-+∈Z 得函数()f x 在2ππ2ππ[,]22k k x ωωωω∈-+为增函数，同理可得函数()f x 在2ππ2π3π[,]22k k x ωωωω∈++为减函数，则当ππ0,23k ω==时符合题意，即32ω=，答案应选C.另解2：由题意可知当π3x =时，函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值，则π()03f '=，即πcos 03ωω=，即πππ()32k k ω=+∈Z ，结合选择项即可得答案应选C.另解3：由题意可知当π3x =时，函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值，则ππ2π()32k k ω=+∈Z ，36()2k k ω=+∈Z ，结合选择项即可得答案应选C.22．（11T17） 已知函数73()sin(π)cos(π),44f x x x x =++-∈R .( 1 )求()f x 的最小正周期和最小值； （2）已知44πcos(),cos(),(0)552a ββααβ-=+=-<<，求证：2[()]20f β-= 【测量目标】两角和差的正余弦，三角函数的周期性、最值. 【难易程度】中等. 【试题解析】(1)7π7π3π3π()sin cos cos sin cos cos sin sin 4444f x x x x x =+++x x = π2sin()4x =-max 2π,()2T f x ∴==（步骤1）(2)4cos()cos cos sin sin 5βααβαβ-=+=4cos()cos cos sin sin 5βααβαβ+=-=-cos cos 0αβ= ππ0cos 022αβββ<<⇒=⇒=2()(())20f f ββ∴=⇒-=（步骤2）23.（11新课标T11）设函数π()sin()cos()(0,)2f x x x ωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则 （ ）A.()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B.()f x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.()f x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【测量目标】三角函数的周期性、奇偶性、单调性. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】π())4f x x ωϕ=++，所以2ω=，（步骤1）又()f x 为偶函数，πππππ,424k k k ϕϕ∴+=+⇒=+∈Z ，π())22f x x x ∴=+=，选A （步骤2）24.（11新课标T16）在ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为.【测量目标】正弦定理、三角函数的最值. 【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】120120A C C A +=⇒=-,(0,120)A ∈,22sin sin sin BC ACBC A A B==⇒=（步骤1）22sin 2sin(120)sin sin AB ACAB C A C B==⇒==-sin A A =+；（步骤2）25sin sin())AB BC A A A A ϕϕ∴+=+=+=+，故最大值是（步骤3）25．（11T16）设()2πcos (sin cos )cos ()2f x x a x x x α∈=-+-R ，满足π()(0)3f f -=，求函数f(x)在π11π[,]424上的最大值和最小值． 【测量目标】由()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，利用函数的单调性求最值,二倍角. 【难易程度】中等【试题解析】()2πcos (sin cos )cos ()2f x x a x x x =-+- =22sin cos cos sin a x x x x -+=sin 2cos 22ax x -(步骤1)由π()(0)3f f -=得31122a +=-解得a = 所以()π2sin(2)6f x x =-，(步骤2) 所以ππ[,]43x ∈时πππ2[,]632x -∈，()f x 是增函数，(步骤3)所以π11π[,]324x ∈ 时ππ3π2[,]624x -∈，()f x 是减函数，(步骤4) 函数()f x 在π11π[,]424上的最大值是：π()23f =；(步骤5)又π()4f =11π()24f =；(步骤6)所以函数f(x)在π11π[,]424上的最小值为：11π()24f =(步骤7) 26．（10T16） 已知函数ππ()cos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11sin 224g x x =-．（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合． 【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的周期性、最值.【难易程度】容易【试题解析】（I ）ππ11()cos()cos()(cos )(cos )3322f x x x x x x =+-=+ =22131cos 233cos 211cos sin cos 2,448824x x x x x +--=-=- ()f x 的最小正周期为2ππ2=.（步骤1）（II ）11π()()()cos 2sin 2),224h x f x g x x x x =-=-=+当π22π()4x k k +=∈Z 时，()h x 取得最大值22.（步骤2） ()h x 取得最大值时，对应的x 的集合为ππ,8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z .（步骤3）27.（10T3）对于函数()2sin cos f x x x =，下列选项中正确的是 （ ） A.()f x 在（π4，π2）上是递增的 B.()f x 的图象关于原点对称 C.()f x 的最小正周期为2π D.()f x 的最大值为2 【测量目标】三角函数的单调性、对称性、周期性、最值. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】∵()x x f 2sin =，∴易知()x f 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是递减的，∴选项A 错误. ∵()x x f 2sin =，∴易知()x f 为奇函数，∴()x f 的图象关于原点对称，∴选项B 正确. ∵()x x f 2sin =，∴2π=π2T =，∴选项C 错误. ∵()x x f 2sin =，∴()x f 的最大值为1，∴选项D 错误. 故综上知，本题应选B .28．（10T16）已知函数2()3sin 22sin f x x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （II ）求函数()f x 的零点的集合.【测量目标】诱导公式，三角函数的最值，函数的零点. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为π()32(1cos 2)2sin(2)1,6f x x x x =--=+-（步骤1） 所以，当ππ22π,62x k +=+即ππ()6x k k =+∈Z 时， 函数()f x 取得最大值1．（步骤2） （II ）解法1 由（Ⅰ）及()0f x =得π1sin(2)62x +=（步骤3），所以 ππ22π,66x k +=+或π5π22π,66x k +=+即π,x k =或ππ.3x k =+（步骤4） 故函数()f x 的零点的集合为π|π,π.3x x k x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 或，（步骤5）解法2 由()0f x =得2cos 2sin ,x x x =，（步骤3）于是sin 0,x =sin ,x x =即tan x =（步骤4）由sin 0x =可知πx k =；由tan x =ππ.3x k =+（步骤5） 故函数()f x 的零点的集合为π|π,π.3x x k x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 或，（步骤6） 29.（10T16）已知函数()sin(3)(0,(,),0πf x A x A x =+>∈-∞+∞<<ϕϕ在π12x =时取得最大值为4. (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的解析式；(3)若2π123125f ⎛⎫+=⎪⎝⎭α，求sinα．【测量目标】函数()sin y A x =+ωϕ的性质，三角函数的周期性. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）min 2π2π3T ==ω.（步骤1） （2）由()f x 最大值为4，4A =,max ππ()()4sin 341212f x f ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭ϕ，即πsin 14⎛⎫+= ⎪⎝⎭ϕ，（步骤2）0π,<<ϕππ5π444∴<+<ϕπππ424⇒+=⇒=ϕϕ. π()4sin 34f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.（步骤4）（3）2π2ππ124sin 3()31231245f ⎛⎫⎡⎤+=++=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦αα，即2ππ3sin 3()31245⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦α，π3sin 2,25⎛⎫+= ⎪⎝⎭α3cos 25⇒=α，（步骤5）223112sin sin 55-=⇒=αα，sin ∴=α.（步骤6） 30.（10T22）若实数x 、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m . （1）若21x -比1远离0，求x 的取值围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2；（3）已知函数()f x 的定义域k ππ,,24D x x k x ⎧⎫=≠+∈∈⎨⎬⎩⎭Z R .任取x D ∈，()f x 等于sin x 和cos x 中远离0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.【测量目标】解绝对值不等式，基本不等式证明不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）211x ->，211x ∴->或211x -<-（舍去）（步骤1）((),2,x ∴∈-∞+∞；（步骤2）（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，有332a b +>222a b ab +>， （步骤3）()()23322220a b a b ab ab a b +--+-=+->，332222a b a b ab ∴+->+-，即33a b +比22a b ab +远离2；（步骤4）（3）π3πsin ,k π,π44()ππcos ,π,π44x x k f x x x k k ⎧⎛⎫∈++ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪∈-+ ⎪⎪⎝⎭⎩，（步骤5）性质：1︒()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称；2︒()f x 是周期函数，最小正周期π2T =；3︒函数()f x 在区间ππππ,2422k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）单调递增，在区间ππππ,2424k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）单调递减；4︒函数()f x 的值域为2⎤⎥⎣⎦．（步骤6） 31.（10T17）已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（Ⅱ）若006ππ(),,542f x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值. 【测量目标】三角函数、二倍角公式和三角函数的周期、最值. 【难易程度】中等【试题解析】 （1）由2()cos 2cos 1f x x x x =+-，得2π()cos )(2cos 1)2cos 22sin(2)6f x x x x x x x =+-=+=+所以函数()f x 的最小正周期为π(步骤1) 因为π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，又 ππ(0)1,2,162f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-（步骤2）（Ⅱ）由（1）可知00π()2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭又因为06()5f x =，所以0π3sin 265x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦从而200ππ4cos 21sin 2665x x ⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以0000ππππππ343cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 66666610x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（步骤3）32．（10T11）函数2π()sin(2)22sin 4f x x x =--的最小正周期是_________ ． 【测量目标】二倍角，两角和与差的正弦，三角函数的周期性． 【难易程度】中等 【参考答案】π【试题解析】2π()sin(2)22sin 4f x x x =--=2πsin(2)2(12sin )24x x -+--（步骤1）=πsin(2)2cos 224x x -+-=πsin(2)24x +-（步骤2） 2ω=，故最小正周期为πT =,故答案为：π.33. (10T9)动点),(y x A 在圆122=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知定时0t =时，点A 的坐标是)23,21(，则当012t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 （ ）A. [0，1]B. [1，7]C. [7，12]D. [0，1]和[7，12]【测量目标】平面解析几何. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由于12秒旋转一周，则每秒转过2π12=π6，而0t =时，y =23=sin π3，那么动点A 的纵坐标关于t 的函数关系式为y =sin （π6t +π3）（t ∈ [0，12]），（步骤1） 则对应的单调递增区间为π6t +π3∈[2πk －π2，2πk +π2]，k ∈Z ，（步骤2）则有t ∈ [12k -5，12k +1]，k ∈Z ，由于t ∈ [0，12]，则当0k =时，t ∈ [0，1]，当1k =时，t ∈ [7，12]；（步骤3）34.（09T11）若π(0,)2x ∈则2tan x +tan(π2-x )的最小值为. 【测量目标】诱导公式，基本不等式求最值.【难易程度】容易 【参考答案】22 【试题解析】π12tan tan()2tan 2tan x x x x+-=+ ∵π(0,),tan 02x x ∈∴＞,（步骤1）112tan 22tan 22tan tan x xxx∴+=（当且仅当2tan 2x =时，等号成立.）（步骤2）故答案为：22. 35.（09全国Ⅰ T16） 若ππ42x <<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为. 【测量目标】三角函数的最值. 【难易程度】中等 【参考答案】8- 【试题解析】令tan ,x t =ππ142x t <<∴>, 4432224222tan 2222tan 2tan 81111111tan 1()244x t y x x x t t t t ∴======------- 36.（09T8）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 （ ）A.π5π[π,π],1212k k k -+∈Z B.5π11π[π,π],1212k k k ++∈ZC.ππ[π,π],36k k k -+∈ZD.π2π[π,π],63k k k ++∈Z【测量目标】两角和的余弦，三角函数的单调性，函数sin()y A x ωα=+的图象、性质及其变换.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】π()2sin(),6f x x ω=+(步骤1) 由题设()f x 的周期为πT =，2;ω∴=（步骤2）由πππ2π22π262k x k -++得,ππππ,36k xk k -+∈Z ,故选C.（步骤3）37.（09T17）设函数()2πcos(2)sin 3f x x x =++.(1) 求函数()f x 的最大值和最小正周期. (2) 设A ，B ，C 为ABC △的三个角，若1cos 3B =，1()34C f =-，且C 为锐角，求sin A . 【测量目标】三角函数的最值、周期性，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦，二倍角.【难易程度】容易 【试题解析】（1）()2ππ1cos 21cos 2cos sin πcos(2)si 2sin n 2332223x x x f x x x x --+=-=++=∴函数()f x 的最大值为12,最小正周期π.（步骤1）（2）1213234C C f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,2sin3C ∴=,（步骤2） C 为锐角,2π33C ∴=,π2C ∴=,（步骤3） 1sin cos 3A B ∴==.（步骤4）38.（09T4）若函数()π()1cos ,(0)2f x x x x=，则()f x 的最大值为 （ ）12【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的最值. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】()()1cos cos f x x x x x =+=π2cos 3x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π(0)2x.（步骤1） 当π3x =时，ππ()2cos 2cos0233f x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选B.（步骤2） 39．（09T6）函数y =2cos 2x +sin2x 的最小值是_________． 【测量目标】三角函数的最值.【难易程度】中等 【参考答案】1-2 【试题解析】22cos sin 21cos2sin 21y x x x x =+=++=+222(cos 2sin 2)22x x +=1+π2sin(2)4x +（步骤1）当π24x +=2k ππ2-，k ∈Z ，y 有最小值1-2，故答案为1-2.（步骤2）40．（09T12）已知函数f （x ）=sin x +tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈（-π2,π2），且公差d ≠0，若f （a 1）+f （a 2）+…+f （a 27）=0，则当k =________时，f （a k ）=0．【测量目标】三角函数的奇偶性.【难易程度】中等【参考答案】14【试题解析】因为函数f （x ）=sin x +tan x 是奇函数，所以图像关于原点对称，图像过原点．（步骤1）而等差数列{a n }有27项，a n ∈（-π2,π2）．若f （a 1）+f （a 2）+f （a 3）+…+f （a 27）=0，则必有f （a 14）=0，所以k =14．故答案为：14.（步骤2）41．（09T16）设函数2πππ()sin()2cos 1468x x f x =--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．【测量目标】三角函数的周期性、最值和两角和与差的正弦.【难易程度】容易.【试题解析】（Ⅰ）()f x =πππππsin cos cos sin cos 46464x x x -- =3π3πcos 2424x x - ππ3sin()43x -．（步骤1）故()f x 的最小正周期为2ππ4T = =8．（步骤2） (Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x -． 由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而ππ()(2)sin[(2)]43g x f x x =-=--πππsin[]243x =--ππcos()43x =+．（步骤3） 当403x 时，πππ2π3433x +，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max π32g ==．（步骤4） 解法二：因区间4[0,]3关于1x =的对称区间为2[,2]3，且()y g x =与()y f x =的图象关于1x =对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值．（步骤1）由（Ⅰ）知()f x ππsin()43x -， 当223x 时，ππππ6436x --， 因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为max π6g ==（步骤2）。

三角函数的周期性、奇偶性及对称性考点与提醒归纳考点一 三角函数的周期性[典例] (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则正整数k 的值为________． [解析] (1)由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin xcos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由题意知1<πk <2，即π2<k <π.又因为k ∈N *，所以k ＝2或k ＝3. [答案] (1)C (2)2或3[解题技法]1．三角函数最小正周期的求解方法 (1)定义法；(2)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(3)图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．2．有关周期的2个结论(1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|.(2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|.[题组训练]1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ， 所以该函数的周期为2π2＝π；由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π； 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为2π2＝π； 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：依题意知，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，得－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 答案：π考点二 三角函数的奇偶性[典例] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3C.5π6D.2π3[解析] 因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. [答案] C[解题技法] 判断三角函数奇偶性的方法三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．[题组训练]1．(2018·日照一中模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.2．若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________． 解析：f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3－θ， 因为函数f (x )为奇函数， 所以－π3－θ＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π－π3，k ∈Z ，故tan θ＝tan ⎝⎛⎭⎫－k π－π3＝－ 3. 答案：－3考点三 三角函数的对称性[典例] (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称(2)(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．[解析] (1)因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12， 即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6.令x 2＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)， 故f (x )的对称轴为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z)，令x 2＋π6＝k π(k ∈Z)，解得x ＝－π3＋2k π(k ∈Z)． 故f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3＋2k π，0(k ∈Z)，对比选项可知B 正确． (2)由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )． ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π6.[答案] (1)B (2)－π6[解题技法]三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再把(ωx ＋φ)整体看成一个变量，若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图象的对称轴，则只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .[题组训练]1．若函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，则|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4C.π3D.π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z. 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.2．(2018·长春质检)函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2，且f (0)＝1，则下列结论中正确的是( )A ．f (φ)＝2B.⎝⎛⎭⎫π6，0是f (x )图象的一个对称中心 C ．φ＝π3D ．x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴解析：选A 由f (0)＝1且0<φ<π2，可得φ＝π6，故选项C 错误；可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，把x ＝π6代入f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，得f (φ)＝2，选项A 正确；f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f (x )取得最大值，选项B 错误；而f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－1，非最值，选项D 错误，故选A.3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________． 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 答案：2或－2[课时跟踪检测]A 级1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x 2cos x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，故选A.2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选A 令3x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π3＋π9，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9.因此函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π9.3．(2018·南宁二中、柳州高中联考)同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数；④图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π12，0”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3解析：选C 因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A 选项；当x ＝π3时，对于B ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝0，对于D ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π3＝32，因为图象关于直线x ＝π3对称，所以排除B 、D 选项，对于C ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π6＝0，且在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上是增函数，故C 满足条件．4．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )满足( ) A ．在⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增 B ．图象关于直线x ＝π6对称C ．f ⎝⎛⎭⎫π3＝32D ．当x ＝5π12时有最小值－1解析：选D 由函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6 (ω>0)的最小正周期为π，得ω＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，2x ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，显然此时f (x )不单调递增，故A 错误；当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos π2＝0，故B 错误；f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos 5π6＝－32，故C 错误；当x ＝5π12时，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＝cos π＝－1，故D 正确．5．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，4π3内单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，4π3内单调递增解析：选A 由题意知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4. ∵f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4. 由f (x )＝f (－x )知f (x )是偶函数， 因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)．又∵|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2cos 2x .当0<2x <π，即0<x <π2时，f (x )单调递减．故选A.6．(2018·昆明调研)已知函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92D ．6解析：选A 因为函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，所以2ω3π＝k π(k ∈Z)，即ω＝32k (k ∈Z)，①又因为函数f (x )＝sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数， 所以π4≤π2ω且ω>0，所以0<ω≤2，②由①②得ω＝32.7．若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以cos ⎝⎛⎭⎫π6ω＋π6＝0， 即πω6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，故ω＝2＋6k (k ∈Z)， 又因为ω∈N *，故ω的最小值为2. 答案：28．若函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2图象的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________. 解析：因为y ＝sin x 图象的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以3×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，得φ＝k π＋π4(k ∈Z)．又因为|φ|<π2，所以k ＝0，故φ＝π4.答案：π49．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π3＝________. 解析：由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝⎪⎪⎪⎪sin 2π3＝32.答案：3210．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.答案：211．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. (1)求函数的最大值及相应的x 值集合； (2)求函数f (x )的图象的对称轴与对称中心．解：(1)当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋3π8，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2.故f (x )的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3π8＋k π，k ∈Z . (2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋12k π，k ∈Z ，即函数f (x )的图象的对称轴为x ＝3π8＋12k π，k ∈Z.由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝π8＋12k π，k ∈Z ，即对称中心为⎝⎛⎭⎫π8＋12k π，0，k ∈Z.12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：由f (x )的最小正周期为π，得T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)． (1)当f (x )为偶函数时，有φ＝π2＋k π(k ∈Z)．因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝32， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z)， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z)，故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)．B 级1．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4内单调递增B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4内单调递减 解析：选D 因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，所以8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝k π－13π6，k ∈Z. 又因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π6， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ， 所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4内单调递减，故选D. 2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0，x ∈R )．若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为( )A.12B ．2 C.π2 D.π2解析：选D 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z. 又ω－(－ω)≤12·2πω， 即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 3．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π3. 令2×⎝⎛⎭⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z)， 得t ＝k π2＋π3(k ∈Z)， 又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6. (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 所以f (x )∈[1,2]．又|f (x )－m |<3，即f (x )－3<m <f (x )＋3， 所以2－3<m <1＋3，即－1<m <4.故实数m 的取值范围是(－1,4)．。

高中数学三角函数的性质及相关题目解析一、三角函数的基本性质三角函数是高中数学中重要的概念之一，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

在解析三角函数题目之前，我们首先来了解一下三角函数的基本性质。

1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

3. 正负性：在单位圆上，正弦函数的值在[-1,1]之间取值；余弦函数的值也在[-1,1]之间取值；正切函数的值在整个实数轴上取值。

二、三角函数的相关题目解析1. 题目一：已知sinθ=1/2，求cosθ的值。

解析：根据三角函数的基本性质，我们可以利用三角函数的定义来解决这个问题。

已知sinθ=1/2，代入sinθ=y/r，其中y为θ对应的直角三角形的对边，r为斜边的长度。

假设y=1，r=2，则根据勾股定理，可以求得斜边的长度为√5。

根据余弦函数的定义cosθ=x/r，其中x为θ对应的直角三角形的邻边，r为斜边的长度。

代入已知条件，可以求得cosθ=√3/2。

2. 题目二：已知cosθ=-1/2，求sinθ的值。

解析：同样地，根据三角函数的定义，我们可以利用已知条件来求解。

已知cosθ=-1/2，代入cosθ=x/r，其中x为θ对应的直角三角形的邻边，r为斜边的长度。

假设x=-1，r=2，则根据勾股定理，可以求得斜边的长度为√5。

根据正弦函数的定义sinθ=y/r，其中y为θ对应的直角三角形的对边，r为斜边的长度。

代入已知条件，可以求得sinθ=√3/2。

3. 题目三：已知tanθ=1，求θ的值。

解析：根据正切函数的定义tanθ=y/x，其中y为θ对应的直角三角形的对边，x 为邻边。

已知tanθ=1，代入已知条件，可以得到y=x。

根据勾股定理，可以得到斜边的长度为√2。

根据三角函数的定义，我们可以得到sinθ=y/r=1/√2，cosθ=x/r=1/√2。

第 33题 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性例2．(求函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭的单调递增区间．【解析】设[]2,2A ππ=-，函数()1sin 23y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的单调递增区间为B ．由1222232k x k πππππ-≤+≤+，得()5544,4,43333k x k B k k k Z ππππππππ⎡⎤-≤≤+∴=-+∈⎢⎥⎣⎦．易知5,33A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．【试题来源】人教版A 版必修4第39页例5．【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法,是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求()sin y A x B ωϕ=++()0,A x R >∈的单调区间,再与已知区间求交集即可．II ．考场精彩·真题回放例．（2017课标3理6）设函数f （x )=cos （x +3π)，则下列结论错误的是A ．f （x ）的一个周期为−2πB ．y =f (x ）的图像关于直线x =83π对称C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在（2π,π)单调递减【答案】D 【解析】试题分析:函数的最小正周期为221T ππ== ，则函数的【命题意图】本题考查两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性．考查学生分析问题解决问题能力、转化与化归能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等． 【难点中心】周期为()2T k k Z π=∈ ，取1k =- ，可得函数()f x 的一个周期为2π- ,选项A 正确；函数的对称轴为()3x k k Z ππ+=∈ ，即：()3x k k Z ππ=-∈ ，取3k = 可得y =f （x )的图像关于直线x =83π对称，选项B 正确； ()cos cos 33f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数的零点满足()32x k k Z πππ+=+∈ ，即()6x k k Z ππ=+∈ ，取0k = 可得f (x +π）的一个零点为x =6π,选项C 正确；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数在该区间内不单调，选项D 错误．故选D ．例例．(2017天津，理7)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ,其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=,()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π,则 A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=,12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，∴2142(2)33k k ω=--,又22T ππω=>,∴01ω<<,∴解答此类问题的关键是能综合运用三角公式化为形式()sin y A x B ωϕ=++,再进一步讨论相关性质．(1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin （ωx ＋φ）或y ＝Acos （ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b 的形式．(2)求f （x ）＝Asin (ωx ＋φ)（ω≠0）的对称轴,只需令()2x k k Z πωϕπ+=+∈，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝kπ（k ∈Z ）即可．23ω=,11212k ϕππ=+,由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．例．(2017浙江）已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x – sin x cos x （x ∈R ）． （Ⅰ)求)32(πf 的值．（Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（Ⅰ）2；(Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]32,6[ππππ． 【解析】 试题分析：(Ⅰ）由函数概念32cos 32sin 3232cos 32sin )32(22πππππ--=f ,分别计算可得;（Ⅱ）化简函数关系式得)sin(ϕω+=x A y ,结合ωπ2=T 可得周期,利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．试题解析：（Ⅰ）由2332sin =π，2132cos-=π,)21(2332)21()23()32(22-⨯⨯---=πf 得2)32(=πf (Ⅱ）由x x x 22sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得)62sin(22sin 32cos )(π+-=--=x x x x f∴)(x f 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ∴)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]32,6[ππππ．例3．（2016高考北京文数）已知函数)0(2cos cos sin 2)(>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π．(1）求ω的值;(2)求)(x f 的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）1ω=；（Ⅱ）3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z )．【分析】（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对)(x f 化简整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根据函数x y sin =的单调递增区间对应求解即可．【解析】（I)∵()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+sin 2cos 2x x ωω=+2sin 24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期22ππωωT ==．依题意，ππω=,解得1ω=．（II)由（I ）知()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+． ∴()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．例4．（2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 （ ）A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关C．与b无关,且与c无关 D．与b无关,但与c有关【答案】B【解析】 试题分析：21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时,cos 21()22=-++x f x c ,此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．例5．（2016高考山东理数】函数f (x )=（x +cosx ）（cos x –sin x ）的最小正周期是（ )（A ）2π（B ）π (C）23π（D ）2π 【答案】B 【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故最小正周期22T ππ==，故选B ． III ．理论基础·解题原理考点一 三角函数的单调性x y sin =在)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ上单调递增，在)(223,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ上单调递减，当Z k k x ∈+=,22ππ时,1max =y ;当Z k k x ∈+-=,22ππ时，1min -=y ；x y cos =在[])(2,2Z k k k ∈+-πππ上单调递增，在[])(2,2Z k k k ∈+πππ上单调递减，当Z k k x ∈=,2π时，1max =y ；当Z k k x ∈+=,2ππ时，1min -=y ;x y tan =在)(2,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ上单调递增．考点二 三角函数的周期性函数sin ,cos y x y x ==的最小正周期为2π，tan y x =的最小正周期为π．考点三 三角函数的奇偶性对于函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是奇函数,当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是偶函数;对于函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>,当且仅当()2k k Z πϕπ=+∈时是奇函数，当且仅当()k k Z ϕπ=∈时是偶函数．考点四 三角函数的对称性sin y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()ππ2x k k =+∈Z ,其对称中心是()()π,0k k ∈Z ；cos y x =的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线()πx k k =∈Z ，其对称中心是()ππ,02k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ;tan y x =的图像不是轴对称图形，是中心对称图形，其对称中心是()π,02k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等． 【技能方法】（1）讨论()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的单调性可用整体思想:把()0x ωϕω+>视为一个整体,()00A A ><所列不等式的方向与sin ,cos ,tan y x y x y x ===的单调区间对应的不等式方向相同(反）．（2）利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，若不属于,可先化至同一单调区间内；若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较、与1比较等）求解．（3）函数()()sin ,cos y A x B y A x B ωϕωϕ=++=++的最小正周期为2πω，()tan y A x B ωϕ=++的最小正周期为πω． （4)三角函数中奇函数一般可化为sin y A x ω=或tan y A x ω=，而偶函数一般可化为cos y A x B ω=+的形式．(5）()()()sin 0f x A x A ωϕω=+≠的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,()f x 图像关于直线0x x =对称的充要条件是()0f x A =±，()f x 图像关于点0(,0)x 对称的充要条件是()00f x =．【易错指导】（1)对于三角函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>求其单调区间，要注意ω的正负,若ω为负，则需先化正，化为()sin y A x ωϕ=---的形式，若求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的单调减区间内；若求其单调递减区间,应把x ωϕ--放在正弦函数的单调增区间内．（2）解答时不要遗漏“k Z ∈"，另外三角函数存在多个单调区间时不能用“"联结．（3）必须先将解析式化为()()()sin ,cos ,tan y A x B y A x B y A x B ωϕωϕωϕ=++=++=++的形式,再分别利用公式2,T T ππωω==求周期，注意ω一定要加绝对值． V ．举一反三·触类旁通考向1 三角函数的单调性（单调区间）例1．(2018河南名校联考）已知，,,，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D例2．函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为 ．【答案】)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．【解析】函数()2cos(2)2cos(2)44f x x x ππ=-+=-，由222,4k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，得：3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴函数)42cos(2)(π+-=x x f 的单调增区间别为：)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ．故答案应填：)(,8,83Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ． 例3．函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭([]0,x π∈)为增函数的区间是 ．【答案】5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如)sin()(ϕω+=x A x f 的正弦函数的图象和性质．解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式)62sin(2π--=x y ，将其转化为求函数)62sin(2π-=x y 的减区间．最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法．通过解不等式使得本题获解。

第2课时三角函数的周期性、奇偶性与对称性考点探究——提素养考点一三角函数的周期性例1(1)函数f (x )＝a tan xa的最小正周期是()A ．πaB ．π|a |C ．πa D ．π|a |答案B解析对于函数f (x )＝a tan xa，显然a ≠0，所以函数的最小正周期T ＝π|1a |＝π|a |.故选B.(2)函数f (x )＝cos x ＋2cos 12x 的一个周期为()A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案D解析易知y 1＝cos x ，y 2＝2cos 12x 的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f (x )的一个周期．故选D.【通性通法】求三角函数周期的常用方法【巩固迁移】1．(多选)(2023·山东临沂调研)下列函数中，最小正周期为π的是()A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|cos x |C ．y ＝xD ．y ＝x 答案ABC解析对于A ，y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π；对于B ，由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；对于C ，y ＝cos x T ＝2π2＝π；对于D ，y ＝tan x 期T ＝π2.2．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则ω＝________．答案1解析因为f (x )＝ωx －12cos f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.考点二三角函数的奇偶性、对称性(多考向探究)考向1奇偶性例2(1)下列函数中周期是π的偶函数是()A ．y ＝|cos x |B ．y ＝|cos2x |C ．y ＝－sin xD ．y ＝sin x ＋1答案A解析对于A ，y ＝|cos x |为偶函数，且最小正周期为π，所以A 符合题意；对于B ，y ＝|cos2x |为偶函数，最小正周期为π2，所以B 不符合题意；对于C ，y ＝－sin x 为奇函数，所以C 不符合题意；对于D ，y ＝sin x ＋1为非奇非偶函数，所以D 不符合题意．故选A.(2)(2024·广东茂名模拟)已知f (x )＝2sin(x －α)＋cos x 是奇函数，则tan α＝()A ．1B ．±1C ．3D ．±3答案B解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即2sin(－α)＋cos0＝0，解得sin α＝22，所以cos α＝±22，此时f (x )＝2sin x cos α－2cos x sin α＋cos x ＝2sin x cos α＝±sin x ，是奇函数，所以tan α＝±1.故选B.【通性通法】三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y ＝A sin(ωx ＋φ)中代入x ＝0，若y ＝0，则为奇函数，若y 为最大或最小值，则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．【巩固迁移】3．(2024·北京房山模拟)已知函数f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1，则“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析因为f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1＝cos(2x ＋2θ)，若函数f (x )为奇函数，则2θ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得θ＝π4＋k π2(k ∈Z )，|θ＝π4＋k π2，k ∈|θ＝π4＋k π，k ∈因此“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的充分不必要条件．故选A.4．(2023·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________．答案±22解析f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin由y ＝f (x ＋θ)是偶函数，得f (－x ＋θ)＝f (x ＋θ)，即2sin ＋π4－＝2sin ＋π4＋所以θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 恒成立或θ＋π4－x ＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z 恒成立．显然θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 不恒成立，故由θ＋π4－x＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z ，得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2n ，n ∈Z 时，cos θ＝2n cos π4＝22；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，cos θ＝cos π4＋(2n ＋1)π＝cos 5π4＝－22.所以cos θ＝±22.考向2对称性例3(2023·武汉模拟)已知函数f (x )＝x f (x )的图象关于()A B C ．直线x ＝π6对称D ．直线x ＝π3对称答案C解析由题意，设2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称中心－π12，k ∈Z )．设2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，通过对比选项可知，f (x )的图象关于直线x ＝π6对称．故选C.【通性通法】三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解．(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．【巩固迁移】5．函数f (x )＝x x 23cos 2x 的图象的一个对称中心是()A －π3，B ．(0，33)C D 答案C解析f (x )＝x x 23cos 2x ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＋cos2x cos π6－sin2x sinπ6＋23cos 2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＋32cos2x －12sin2x ＋23cos 2x ＝3cos2x ＋3(1＋cos2x )＝23cos2x ＋3.由2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，此时f (x )＝3，所以f (x )图象的对＋π4，k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )故选C.6．(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条对称轴，则()A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案D解析由题意，T 2＝2π3－π6＝π2，不妨设ω>0，则T ＝π，ω＝2πT ＝2，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2·π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝x则＝＝32.故选D.考点三三角函数的图象与性质的综合例4(多选)(2024·厦门模拟)已知函数f (x )＝coscos2x ，则()A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x)C ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )D ．f (x )在[0，2π]上有4个零点答案ACD解析f (x )cos2x ＝12＋x ＋32sin2cos2x ＝34sin2x －34cos2x ＋12＝32sin x ＋12，则f (x )的最小正周期为π，A 正确；易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12，B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即为f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin x＋12＝0，得x ＝－33，当x ∈[0，2π]时，2x －π3∈－π3，11π3，作出函数y ＝sin x ∈－π3，，如图所示．由图可知方程x ＝－33在[0，2π]上有4个不同的实根，即f (x )在[0，2π]上有4个零点，D 正确．【通性通法】解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【巩固迁移】7．(多选)(2024·九省联考)已知函数f (x )＝x x ()A ．函数fB ．曲线y ＝f (x )的对称轴为直线x ＝k π，k ∈ZC ．f (x )D ．f (x )的最小值为－2答案AC解析f (x )＝x x sin2x cos 3π4＋sin 3π4cos2x ＋cos2x cos 3π4－sin2x sin 3π4＝－22sin2x ＋22cos2x －22cos2x －22sin2x ＝－2sin2x ，即f (x )＝－2sin2x .对于A ，－2sinx ＝2cos2x ，易知为偶函数，故A 正确；对于B ，令2x ＝π2＋k π，k ∈Z ，则x＝π4＋k π2，k ∈Z ，故B 错误；对于C ，当x ，2x y ＝sin2x 单调递减，则f (x )＝－2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，因为sin2x ∈[－1，1]，所以f (x )∈[－2，2]，故D 错误．故选AC.课时作业一、单项选择题1．下列函数中，是周期函数的为()A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x －1)0答案B解析∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数．故选B.2．(2024·广东汕头模拟)函数y ＝tan ()A ．(0，0)BC D ．以上选项都不对答案B解析令x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝π3，y ＝tan 中心．故选B.3．函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为()答案D解析由f (－x )＝sin(－x )＋(－x )cos(－x )＋(－x )2＝－sin x －xcos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；又＝1＋π2＝4＋2ππ2>1，f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C.故选D.4．给出下列函数：①y ＝sin|x |；②y ＝|sin x |；③y ＝|tan x |；④y ＝|1＋2cos x |，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝sin|x |是偶函数，但不是周期函数，所以排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|sin x |是偶函数，最小正周期为π，所以②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|tan x |是偶函数，最小正周期为π，所以③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|1＋2cos x |是偶函数，最小正周期为2π，所以排除④.故选B.5．函数f (x )＝ω＞0)图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，若该函数图象关于点(m ，0)中心对称，则当m ∈0，π2时，m 的值为()A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12答案D解析因为函数f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，所以T ＝2×π2＝π(T 为f (x )的最小正周期)，所以ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝x 令f (x )＝0，则2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝5π12，故m ＝5π12.故选D.6．(2023·安徽校考三模)已知函数f (x )＝3sin x 2cos x 2－sin 2x 2＋12，则下列结论正确的是()A ．|f (x )|的最小正周期为2πB ．直线x ＝－π3是f (x )图象的一条对称轴C ．f (x )D ．若f (x )在－π2，m 上的最大值为1，则m ≥π3答案D解析f (x )＝3sin x 2cos x 2－sin 2x 2＋12＝32sin x －1－cos x 2＋12＝所以|f (x )|的最小正周期为π，A 错误；因为＝－12≠±1，所以直线x ＝－π3不是f (x )图象的一条对称轴，B 错误；当0<x <π2时，π6<x ＋π6<2π3，而函数y ＝sin x ，C 错误；当－π2≤x ≤m时，－π3≤x ＋π6≤π6＋m ，因为f (x )在－π2，m 上的最大值为1，所以π6＋m ≥π2，解得m ≥π3，D正确．7．(2023·山东济南三模)已知函数f (x )＝sin x ＋sin2x 在(0，a )上有4个零点，则实数a 的最大值为()A ．4π3B ．2πC ．8π3D ．3π答案C解析f (x )＝sin x ＋sin2x ＝sin x ＋2sin x cos x ＝sin x (1＋2cos x )，令f (x )＝0，得sin x ＝0或cos x ＝－12，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图．函数f (x )在(0，a )上有4个零点，则2π<a ≤2π＋2π3＝8π3，故实数a 的最大值为8π3.8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，|φ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f()A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )C ．函数f (x )在3π4，π上单调递增D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－7π12对称答案C解析因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T＝π，ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为f ，所以x 即直线x ＝π12是函数f (x )图象的对称轴，所以2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝x 函数f (x )的最小正周期为π，A 错误；因为＝sin 3π2＝－1，f (x )图象的对称中心，B 错误；因为当3π4≤x ≤π时，11π6≤2x ＋π3≤7π3，所以f (x )＝sin x 3π4，π上单调递增，C 正确；因为＝－12，所以直线x ＝－7π12不是函数f (x )图象的对称轴，D 错误．故选C.二、多项选择题9．(2024·苏州模拟)已知函数f (x )＝3sin x ()A ．f (x )的最大值为3B ．f (x )的最小正周期为πC ．fD ．f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称答案ABD解析因为函数f (x )＝3sin x 所以f (x )的最大值为3，A 正确；f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 正确；＝3sin 2－π3＝3sin x ＝－3cos2x ，为偶函数，C 错误；令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝11π12，所以f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称，故D 正确．故选ABD.10．(2023·广东江门统考一模)已知函数f (x )＝|x ，则下列说法正确的是()A ．f (x )的值域为[0，1]B ．f (x )C ．f (x )的最小正周期为πD ．f (x )的单调递增区间为k π2＋π6，k π2＋5π12(k ∈Z )答案AD解析因为－1≤x 1，所以0≤f (x )≤1，A 正确；|2×π6－＝0，但f (x )≥0，因此f (x )，B 错误；y ＝sin x是2π2＝π，所以f (x )＝|x 的最小正周期是π2，C 错误；由f (x )＝|x ＝0，得2x －π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，当x ∈π6，2π3时，x 0，易得x ∈π6，5π12时，f (x )单调递增，x ∈5π12，2π3时，f (x )单调递减，又f (x )的最小正周期是π2，所以f (x )的单调递增区间是k π2＋π6，k π2＋5π12(k ∈Z )，D 正确．故选AD.三、填空题11．若函数f (x )＝|(ω＞0)的最小正周期为π，则________．答案32解析由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝|，所以|sin2π3|＝32.12．(2024·山东威海模拟)已知函数f (x )＝sin x cos(2x ＋φ)(φ∈[0，π])是偶函数，则φ＝________．答案π2解析∵f (x )的定义域为R ，且为偶函数，∴－cos(－π＋φ)＝cos(π＋φ)，∴cos φ＝－cos φ，∴cos φ＝0，又φ∈[0，π]，∴φ＝π2.13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos φ＋cos(ωx ＋φ)sin ω>0，0<φ轴之间的距离为π2，且满足φ＝________．答案π6解析由两角和的正弦公式得f (x )＝sin(ωx ＋2φ)，又相邻的两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期为π，所以π＝2πω，解得ω＝2.又所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，所以2×π12＋2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，又0＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝π6.14．已知函数f (x )＝ω＞0)的图象关于直线x ＝π2对称，且在则f (x )在区间－π2，π3上的最小值为________．答案－2解析因为函数f (x )＝ω＞0)的图象关于直线x ＝π2对称，所以π2ω＋π4＝k π(k ∈N *)，解得ω＝2k －12(k ∈N *)．又f (x )，所以πω≥π2，故0＜ω≤2，所以ω＝32，即f (x )＝当－π2≤x ≤π3时，－π2≤32x ＋π4≤3π4，故f (x )在区间－π2，π3上的最小值为－2.四、解答题15．已知函数f (x )＝sin x －cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝f (x )f (π－x )的单调递增区间；(2)求函数y ＝[f (x )]2＋f x 解(1)∵y ＝(sin x －cos x )[sin(π－x )－cos(π－x )]＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，令2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为k π，k π＋π2(k ∈Z )．(2)y ＝(sin x －cos x )2＋sinx x 1－sin2x ＋2sin x 1－sin2x －2cos2x ＝1－3sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝2，∴函数的值域为[1－3，1＋3]．16．(多选)(2023·江苏南通如皋调研)已知函数f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ，则下列结论正确的是()A ．π为函数f (x )的一个周期B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．函数f (x )在0，π2上为减函数D ．函数f (x )的值域为[2，2]答案ABD解析因为f (x ＋π)＝1＋cos(x ＋π)＋1－cos(x ＋π)＝1－cos x ＋1＋cos x ＝f (x )，所以π为函数f (x )的一个周期，故A 正确；因为f (π－x )＝1＋cos(π－x )＋1－cos(π－x )＝1－cos x ＋1＋cos x ＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故B 正确；因为f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ＝2cos 2x 2＋2sin 2x2，又x∈0，π2，则x 2∈0，π4，故f (x )＝2cos x 2＋2sin x 2＝由于x 2＋π4∈π4，π2，故f (x )＝2sin 0，π2上为增函数，故C 不正确；因为[f (x )]2＝1＋cos x ＋1－cos x ＋21－cos 2x ＝2＋2|sin x |，又2≤2＋2|sin x |≤4，f (x )>0，所以f (x )∈[2，2]，故D 正确．故选ABD.17．(多选)(2024·湖北宜昌模拟)已知定义域为R 的函数f (x )，g (x )的最小正周期均为2π，且f (x )＋g (x ＋π)＝cos x ，g (x )－f (x ＋π)＝sin x ，则()A ．f (0)＝g (0)B ．C ．函数y ＝f (x )－g (x )是偶函数D ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值是24答案BC解析因为f (x )，g (x )的最小正周期均为2π，f (x )＋g (x ＋π)＝cos x ，则f (x ＋π)＋g (x ＋2π)＝cos(x＋π)，即f (x ＋π)＋g (x )＝－cos x ，又g (x )－f (x ＋π)＝sin x ，故可得g (x )＝sin x －cos x2，g (x ＋π)＝sin(x ＋π)－cos(x ＋π)2＝－sin x ＋cos x 2，则f (x )＝cos x －g (x ＋π)＝cos x －－sin x ＋cos x2＝sin x ＋cos x 2，综上所述，f (x )＝sin x ＋cos x 2，g (x )＝sin x －cos x 2.对于A ，f (0)＝12，g (0)＝－12，故A错误；对于B ＝－sin x ＋cos x 2，＝cos x －sin x 2，显然故B 正确；对于C ，f (x )－g (x )＝sin x ＋cos x 2－sin x －cos x2＝cos x ，又y ＝cos x 为偶函数，故函数y ＝f (x )－g (x )是偶函数，C 正确；对于D ，y ＝f (x )g (x )＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )4＝－cos2x 4＝－14cos2x ，又y ＝－14cos2x 的最大值为14，故D 错误．故选BC.18．(2023·江苏南京二模)已知f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0.(1)若函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，求f(2)若函数f (x )f (x )在0，π4上单调，求ω的值．解(1)f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝ωx －32cos 因为函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以12T ＝π2，则T ＝π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝x所以2×3π2－2sin π3＝2×32＝ 3.(2)由f (x )＝函数f (x )，所以πω3－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ＋1，k ∈Z ，由x ∈0，π4，ω>0，则ωx －π3∈－π3，πω4－π3，又函数f (x )在0，π4上单调，－π3≤π2，，解得0<ω≤103，所以当k ＝0时，ω＝1.。