人教A版数学必修一3.1.2 用二分法求方程的近似解 教案

《用二分法求方程的近似解》教学设计一．教学目标情感态度和价值观目标：培养探索问题的能力和合作交流的精神，体会数学在实际生活中的应用价值，感受精确与近似的相对统一。

知识与技能目标：能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解二分法的步骤和思想。

过程与方法目标：进一步体会方程和函数的转化思想，在应用二分法求解方程的近似解的过程中，体会算法的思想和“逐步逼近”的思想。

二．教学重点掌握用二分法求给定方程的近似解三．教学难点二分法的概念，精确度的概念，二分法实施步骤中的算法思想四．教学准备（前置作业）五．教学过程精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

3.1.2用二分法求方程的近似解一、教学目标：知识与技能（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法。

（2）能借助计算器用二分法求方程的近似解；过程与方法（1）借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备．情感态度与价值观（1）从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；（2）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．二、重点难点重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现幂函数的性质.四、教学过程（一）设置情景，提出问题问题1：你会求哪些类型方程的解？小组讨论有哪些方程不会求解？并让学生把所提问题归纳并板书到黑板上问题2：能不能求方程的近似解？（二）互动探究，获得新知（1）以求方程x3+3x-1=0的近似解（精确度0.1）为例进行探究探究1：怎样确定解所在的区间？（1）图像法（2）试值法复习：〈1〉方程的根与函数零点的关系；〈2〉根的存在性定理探究2：怎样缩小解所在的区间？李咏主持的幸运52中猜商品价格环节，让学生思考：（1）主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？（2）如何猜才能最快猜出商品的价格？问题3：为什么要取中点，好处是什么？探究3：区间缩小到什么程度满足要求？问题4： 精确度0.1指的是什么？与精确到0.1一样吗？二分法的定义： 对于在区间a [，]b 上连续不断且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点，逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．用二分法求零点近似值的步骤 ：给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：1、确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精确度ε；2、求区间a (，)b 的中点c ；3、计算()f c ：（1）若()f c =0， 则c 就是函数的零点；（2）若)(a f •()f c <0， 则令b =c （此时零点0(,)x a c ∈）；（3）若()f c •)(b f <0， 则令a =c （此时零点0(,)x c b ∈）；4、判断是否达到精确度ε：即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2～4．（三） 例题剖析，巩固新知例1：借助计算器用二分法求方程，求方程0122=--x x 的一个近似解（精确到0.1）．【解】设2()21f x x x =--，先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为(2)10,(3)20f f =-<=>，所以在区间(2,3)内，方程2210x x --=有一解， 记为1x .取2与3的平均数2.5，因为(2.5)0.250f =>，所以 12 2.5x <<.再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f =-<，所以 12.25 2.5x <<. 如此继续下去，得1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈ 1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为 1 2.4x ≈. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.（四） 知识迁移，应用生活（1）猜商品价格（2）从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为 个（五） 当堂检测1. 方程4x +2x-11=0的解在下列哪个区间内？你能给出一个满足精确度为0.1的近似解吗？A (0,1)B (1,2)C (2,3）D (3,4)说明： 二分法也能求方程的精确解2. 下列函数的图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（ ）思维升华：在零点的附近连续且f(a)•f(b)<0五、课堂小结本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？六、课后作业课时练与测七、教学反思A B C D。

3.1.2 用二分法求方程的近似解教学设计一、分析教材与学情本节课是新课标教材中新增的内容，要求学生根据具体的函数及其图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系。

它既是本册书中的重点内容之一，又是对函数知识的拓展，同时既体现了函数在解方程中的重要应用，又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想奠定了基础。

学生在学习本节内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，对精确度的理解会有困难；另外数值计算较为复杂，对获得给定精确度的近似解增加了难度。

在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”，理解了函数图象与方程的根之间的关系，已经具有一定的数形结合思想，为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上再介绍求函数零点近似值的二分法，并在总结用二分法求函数零点步骤中渗透算法思想，为学生继续学习算法内容埋下伏笔。

同时本节内容也能令学生形成正确的数学观，激发学生的学习兴趣，倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，培养学生自主学习的学习习惯。

二、教学设计思路用二分法求方程的近似解是函数零点性质的应用，它蕴含了数值逼近的思想、算法思想（必修3）以及数形结合思想。

随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用。

新教材有目的、有意识地将算法思想渗透在此，是为了让学生体会算法、逼近等思想方法在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。

基于新课程的基本理念和课程目标，结合本节课的教学内容，整理出本节课的教学流程：1运用逼近思想逐步缩小区间，最后找出其近似解让学生体会求近似解的完整过程我认为这样的设计基本上把握了本节课的教学内容和结构体系，能够根据教学要求，从学生的实际出发，创设学生熟悉的教学情境；通过设计富有情趣的教学活动，如设计“八枚金币中仅有一枚较轻，给你一台天平，怎样找出那一枚较合理？为什么？”这样的贴近生活的问题，让每个学生动手、动口、动脑，积极参与数学的学习过程。

用二分法求方程的近似解教学设计一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．二、学生学习情况分析学生已经学习了函数，理解函数零点与方程根的关系，初步掌握函数与方程的转化思想，对于高次方程和超越方程的根，只能用函数判断零点所在区间。

三、设计思想倡导学生积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式，注重培养学生的数学思维能力，引导学生的数学应用意识。

四、教学目标：1.知识与技能：理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。

2.过程与方法：通过价格竞猜体会二分法的思想；通过学生的自主探究，借助计算器用二分法求方程的近似解，体现逼近思想，为学习算法做准备；体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法。

3.情感、态度与价值观在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一五、教学重点和难点：教学重点：用二分法求方程的近似解，是学生体会函数零点和方程根的关系。

教学难点：用二分法求给定精确度的方程的近似解。

六、教学过程：（一）情境导入：（猜价格）书的价格在0—80元之间的整数，每次猜后，观众会给出多了还是少了的提示，当误差不超过2元时算猜中。

问题1：给出多了还是少了的提示有什么作用？生：缩小价格范围问题2：误差不超过2元，怎么理解？生：手机价格多或少不超过2元都算猜中问题3：应当如何猜才能最快猜出手机的价格？生：每次取价格的中点进行猜想。

用二分法求方程的近似解一、教学内容分析本节课是人教A版必修1第三章第节《用二分法求方程的近似解》的第一课时,本节课在内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，巩固了零点存在性定理的知识，而其中的赋值语句体现了算法思想，也为必修3中算法内容的学习做了铺垫。

体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想。

二、学生学习情况分析我校学生的情况是：学生在“以促学为核心的“知问--导学--反思”教学联动模式”的培养训练下，已具备一定的自学能力，可以独立完成课上一些知识的自学。

在知识储备上学生学习了上节的内容后，对方程的根的存在性有了一定的了解。

在使用计算器上也不会有问题。

但是二分法是全新内容，概念抽象，其思想方法又是本节课处理方程近似解的核心，且本课的最终目的是要学生掌握方程近似解的求法，“精确度”的概念在本节课中比较生硬，学生较难直接理解，同时要让学生应用抽象概念解决问题并归纳出步骤，要求高，难度大。

三、教学目标1知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解。

2过程与方法：亲历“用二分法求方程的近似解”的全过程，主动探求处理该问题的规律，进一步体会数形结合、函数与方程、极限、算法等数学思想3情感、态度、价值观：体会由特殊到一般的认知规律,体会概括结论和规律的过程,培养学生认识事物的正确方法体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．四、教学重点和难点重点：二分法基本思想的理解,掌握用二分法求所给方程近似解的步骤难点：精确度概念的理解，二分法求方程近似解一般步骤的归纳和概括；五、教学过程设计。

优质资料---欢迎下载二分法求方程近似解的教学设计一、教材地位：二分法求方程近似解的思想是逐步逼近与数形结合等重要数学思想方法的运用。

它对学生今后学习算法流程图将起到奠基的作用，能进一步提高学生运用所学知识解决生活、生产实际问题的能力。

学习这节课的目的在于让学生团结协作、动手实践、基本运算等学习能力得到有效的提高，使知识的学习遵循学生的认知规律，并着眼与学生对知识理解的思维过程、学习能力的提高过程、学习方法的掌握过程的培养，充分说明数学源于生活服务于生活。

二、教学目标：（1）知识目标：理解二分法的概念，掌握运用二分法求方程近似解的方法，并会用二分法处理生活、生产中的有关问题。

（2）能力目标：○1鼓励学生体验并理解函数与方程的相互转化思想。

○2注重培养学生探究问题的能力和创新能力。

（3）情感目标：○1培养学生遇到困难时可以通过合作交流，团队协作，增强主动与他人合作的意识。

○2培养学生独立的语言组织和归纳概括能力、一丝不苟、实事求是的作风和科学的态度。

三、教学重点与难点：重点：用二分法求方程近似解及对二分法概念的理解。

难点：逼近思想的应用四、学法指导：为致力于改变学生的学习方式、引导学生逐步掌握自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学的学习方法。

我认为学法指导应引起教师的高度重视。

五、教学方法:本节课始终以学生动口、动脑、动手去探索、激发学生的学习动机、激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认识结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注重数学思想方法的融入与渗透，满足学生渴望的奖励结构。

六、教学过程：新课引入：（1）先与学生做一个互动游戏，让学生猜一件商品的价格。

引发学生兴趣、激发学生的思维、培养学生探究能力，进一步让学生明确数学就在生活的身边，时时有数学、处处用数学。

（2）动手操作、归纳二分法的定义：举例与学生探究，通过分析、归纳、交流后得出二分法完整的定义，以此培养学生独立的语言组织和语言表达能力。

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
1．二分法为什么可以逼近零点的再分析；2．追寻阿贝尔和伽罗瓦．
教学过程与操作设计：。

教学设计用二分法求方程的近似解教学目标1．知识与技能：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅导教学，让学生用计算器和计算机验证求方程近似值的过程；2．过程与方法：体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力、创新的能力，以及严谨的科学态度；3．情感态度及价值观：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法；感受通过迂回的方法使问题得到解决的快乐。

教学重难点重点：二分法原理及其探究过程；用二分法求方程的近似解。

难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解。

教学方法讲授法与合作交流相结合，通过老师恰当合理的讲授，师生之间默切的合作交流，认识二分法、理解二分法的实质，从而能应用二分法研究问题，达到知能有机结合的最优结果。

教学过程设计一、设计问题，创设情境师：问题1：一天晚上，学校里同学们正在聚精会神地学习，忽然停电了。

据了解原因是供电站到学校的某处线路出现了故障，维修工人该如何迅速查出故障所在？（电路长10km，每50m一根电线杆）生：1．确定故障所在范围．2．确定检测范围中点．3．检测中点(1)若中点为故障点，即可；(2)若中点不为故障点，判断故障所在范围（被中点所分两范围之一）．4．判断故障范围是否符合精度，若符合，则得到故障点的近似处，否则重复上述步骤2~4步。

师：问题2：要把故障可能发生的范围缩小的50-100m左右，即一两根电线杆附近，最多查几次就可以了？生：7次。

（设计意图：从实际生活中的问题入手，引导学生进入深层的思考。

让学生经历直观感知，观察发现，抽象与概括，数据处理，反思与建构等思维过程，体会数学来自于生活，应用于生活。

）时间预设：5分钟二、新知探究，尝试解决师：问题1：你是否会解方程(1)lnx+2x-6=0?生：可以在同一坐标系内画出函数y=lnx和函数y=-2x+6的图像，图像交点的横坐标就是方程的解。

必修一 《3.1.2用二分法求方程的近似解》教学案 教学目标：知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一． 教学重点：重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 教学程序与环节设计：创设情境： 材料一：二分查找(binary-search)（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。

A ．1000B ．10C ．100D ．500材料二：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(x f y =的零点（即0)(=x f 的根），对于)(x f 为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题． 生：体会二分查找的思想与方法．师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义． 组织探究：二分法及步骤：对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下：1．确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε；2．求区间a (，)b 的中点1x ；3．计算)(1x f ：○1 若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点； ○2 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）；○3 若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； 4．判断是否达到精度ε；即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法思想与计算原理．师：引导学生分析理解求区间a (，)b 的中点的方法21b a x +=． 例题解析：例1．求函数22)(3--+=x x x x f 的一个正数零点（精确到1.0）．分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．解：（略）．注意：○1 第一步确定零点所在的大致区间a (，)b ，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；○2 建议列表样式如下： 零点所在区间中点函数值区间长度 [1，2])5.1(f >0 1 [1，1.5])25.1(f <0 0.5 [1.25，1.5] )375.1(f <00.25 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步． 例2．借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x 的近似解（精确到1.0）．解：（略）．思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？结论：图象在闭区间a [，]b 上连续的单调函数)(x f ，在a (，)b 上至多有一个零点． 探究与发现：(1)函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．(2)用二分法求函数的变号零点二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点． 收获与体会：说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？。

§3.1.2用二分法求方程的近似解一、教學目標1．知識與技能（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，會用二分法求解具體方程的近似解；（2）體會程式化解決問題的思想，為演算法的學習作準備。

2．過程與方法（1）讓學生在求解方程近似解的實例中感知二分發思想；（2）讓學生歸納整理本節所學的知識。

3．情感、態度與價值觀①體會二分法的程式化解決問題的思想,認識二分法的價值所在，使學生更加熱愛數學；②培養學生認真、耐心、嚴謹的數學品質。

二、教學重點、難點重點：用二分法求解函數f(x)的零點近似值的步驟。

難點：為何由︱a － b ︳＜ 便可判斷零點的近似值為a(或b)?三、學法與教學用具1．想－想。

2．教學用具：計算器。

四、教學設想（一）、創設情景，揭示課題提出問題：（1）一元二次方程可以用公式求根，但是沒有公式可以用來求解放程㏑x＋2x－6=0的根；聯繫函數的零點與相應方程根的關係，能否利用函數的有關知識來求她的根呢？（2）通過前面一節課的學習，函數f(x)=㏑x＋2x－6在區間內有零點；進一步的問題是，如何找到這個零點呢？（二）、研討新知一個直觀的想法是：如果能夠將零點所在的範圍儘量的縮小，那麼在一定的精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值；為了方便，我們通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的範圍。

取區間（2，3）的中點2.5，用計算器算得f(2.5)≈－0.084,因為f(2.5)*f(3)＜0,所以零點在區間（2.5，3）內；再取區間（2.5，3）的中點2.75，用計算器算得f(2.75)≈0.512,因為f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零點在（2.5，2.75）內；由於（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越來越小，所以零點所在範圍確實越來越小了；重複上述步驟，那麼零點所在範圍會越來越小，這樣在有限次重複相同的步驟後，在一定的精確度下，將所得到的零點所在區間上任意的一點作為零點的近似值，特別地可以將區間的端點作為零點的近似值。