四川省宜宾市一中2017-2018学年高二数学（理科）第十六周考题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1. 设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要2.椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A．3B．3C ．23D ．593.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”. 执行该程序框图， 若输入的a 、b 分别 为14、18，则输出的a ＝( )A. 0B. 2C. 4D. 144.已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1) D ．(－1,0,1)5.已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6.已知椭圆C : 22221x y a b+=(a>b>0)的离心率为2.双曲线x 2-y 2=1的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为( )A 22182x y +=.B . 221126x y +=C . 221164x y +=D . 221205x y += 7.已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1、A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 （ ）ABCD ．138.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC上2的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．斜交 B ．平行 C ．垂直 D ．不确定9.已知以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A.32B.26C.27D.710.设F 1,F 2分别为双曲线22221x y a b-= (a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ,满足|PF 2|=|F 1F 2|,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )A .3x ±4y=0B .3x ±5y=0C .4x ±3y=0D .5x ±4y=011.已知椭圆22221x y a b +=(a>b>0)与双曲线22221x y m n-=(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )A.C.14D.1212.已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A.]13,22[-B. C.]23,22[ D.]36,33[ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若双曲线221y x m-=m =_________.14.若椭圆22189x y k +=+=1的离心率e=12,则k 的值为 . 15.若☉O 1:x 2+y 2=5与☉O 2:(x-m )2+y 2=20(m ∈R)相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是 .16.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)和圆O ：x 2＋y 2＝b 2，若C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17.过点M (0,1)作直线,使它被两直线l 1:x-3y+10=0,l 2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被点M 平分,求此直线的方程.318.已知命题p ：关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围.19.已知椭圆12222=+by a x (a>b>0)经过点(0,),离心率为12,左、右焦点分别为F 1(-c ,0)、F 2(c ,0).(1)求椭圆的方程; (2)若直线l :y=12-x+m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径 的圆交于C ,D 两点,且满足||||4AB CD =,求直线l 的方程.20.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面PQB ⊥平面PAD ；(2)若M 为棱PC 的中点，求异面直线AP 与BM 所成角的余弦值； (3)若二面角M BQ C 大小为30°，求QM 的长．421.设直线l :y=k (x+1)(k ∈R)与椭圆x 2+3y 2=a 2(a>0)相交于A ,B 两个不同的点,与x 轴相交于点C ,记O 为坐标原点,与A ,B 构成△OAB.(1)求证:a 2>22313k k+; (2)若2AC CB =,求△OAB 的面积取得最大值时椭圆的方程.22.已知曲线C 上任一点P 到直线1:2l x =的距离与它到点(1,0)F.若直线l 与曲线C 交于不同两点A B 、（,A B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=. （1）求曲线C 的方程；（2）当A 为曲线C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程； （3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.52016级高二数学（理科）第十六周考题参考答案一、选择题： 1～5 A B B B A 6～10 D A B C C 11~12 D A 12【解析】∵B 和A 关于原点对称，∴B 也在椭圆上，设左焦点为'F ，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 2 14. 4或- 15.4 16. [32，1) 16解析: ∵OA ⊥AP ，由∠APB ＝60°，知∠OPA ＝30°.∴|OP |＝2|OA |＝2b .设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4b 2，x 2a 2＋y2b2＝1.消去x ，得y 2＝b 2a 2－4b 2c 2.由y 2≥0，得a 2－4b 2≥0.即a 2－4(a 2－c 2)≥0，c 2a 2≥34，∴e ≥32.又e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是[32，1)． 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17.解:设所求直线与l 1,l 2分别交于A ,B 两点,∵点B 在直线l 2:2x+y-8=0上,∴可以设点B (t ,8-2t ). ∵M (0,1)是AB 的中点,∴由中点坐标公式可得A (-t ,2t-6). ∵A 点在直线l 1:x-3y+10=0上,∴(-t )-3(2t-6)+10=0,解得t=4. ∴A (-4,2),B (4,0).故所求直线的方程为x+4y-4=0.618.解：由关于x 的不等式a x>1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1； 由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假， 当p 假，q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12⇒a >1；当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12⇒0<a ≤12.综上，知实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞). 19.解:(1)由题设知 解得a=2,b=,c=1.∴椭圆的方程为=1.(2)由题设知,以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=1,∴圆心到直线l 的距离d=,由d<1得|m|<. (*)∴|CD|=2=2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由得x 2-mx+m 2-3=0,由求根公式可得x 1+x 2=m ,x 1x 2=m 2-3.∴|AB|=.由=1,解得m=±,满足(*).∴直线l 的方程为y=-x+或y=-x-.20.解：(1)证明：∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ . ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD . 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BQ ⊥平面PAD . ∵BQ ⊂平面PQB . ∴平面PQB ⊥平面PAD .(2)∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PQ ⊥平面ABCD .7如图，以Q 为原点，QA ，QB ，QP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Q xyz ，则Q (0,0,0)，A (1,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)．∵M 是PC 中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32，∴AP ＝(－1,0，3)，BM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，32.设异面直线AP 与BM 所成角为θ，则cos θ＝|cos 〈AP ，BM 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP ·BM |AP ||BM |＝277，∴异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为277.(3)由(2)知平面BQC 的法向量为n ＝(0,0,1)，由QM ＝λQP ＋(1－λ) QC ,0≤λ≤1， 得QM ＝(λ－1，3(1－λ)，3λ)．又QB ＝(0，3，0)， 设平面MBQ 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·QB ＝0，m ·QM ＝0.即⎩⎨⎧λ－x ＋3－λy ＋3λz ＝0，3y ＝0，取x ＝3，则y ＝0，z ＝1－λλ，∴平面MBQ 的法向量为m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，0，1－λλ.∵二面角M BQ C 为30°，∴cos 30°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·m |n ||m |＝32，∴λ＝14.∴|QM |＝394. 21.(1)证明:依题意,直线l 显然不平行于坐标轴,故y=k (x+1)可化为x=y-1.将x=y-1代入x 2+3y 2=a 2,消去x ,得y 2-y+1-a 2=0. ①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点,得Δ=-4(1-a 2)>0,化简整理得a 2>.(*)(2)解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知C (-1,0).由①得y 1+y 2=. ②因为=(-1-x 1,-y 1),=(x 2+1,y 2),由=2,得y 1=-2y 2.③由②,③联立,解得y 2=. ④8则△OAB 的面积S=|OC|·|y 1-y 2|=|y 2|=≤,上式取等号的条件是3k 2=1,即k=±.当k=时,由④解得y 2=-;当k=-时,由④解得y 2=.将k=,y 2=-及k=-,y 2=分别代入①,均可解出a 2=5.经验证,a 2=5,k=±满足(*)式. 所以,△OAB 的面积取得最大值时椭圆的方程是=1.22解（1）设(,)P x y=，化简，得2212x y +=，∴曲线C ，即椭圆C 的方程为 2212x y +=.（2）(0,1)A ，(1,0)F -，∴1010(1)AF k -==--，又∵180OFA OFB ∠+∠=，∴1BF k =-，:1(1)1BF y x x =-+=--.代入2212x y +=解，得0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍）4,31,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴41(,)33B -， 1113420()3ABk -==--，∴1:12AB y x =+.即直线l 方程为112y x =+.（3）∵180OFA OFB ∠+∠=，∴AF BF k k +=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 方程为y kx b =+.代直线AB 方程y kx b =+入2212x y +=，得2221()2102k x kbx b +++-=. ∴122212kbx x k +=-+，2122112b x x k -=+， ∴121212121111AF BF y y kx b kx b k k x x x x +++=+=+++++=122112()(1)()(1)0(1)(1)kx b x kx b x x x +++++=++，912211212()(1)()(1)2()()2kx b x kx b x kx x k b x x b+++++=++++222122()201122b kb k k b b k k -=⨯-+⨯+=++∴20b k -=，∴直线AB 方程为(2)y k x =+，∴直线l 总经过定点(2,0)M -.。
