2016届高三新课标数学(理)一轮复习第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3)第2节
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第六十四课时 条件概率与事件的独立课前预习案1.理解条件概率和两个事件相互独立的概念;2.掌握n 次独立重复试验及二项分布的概念;3.掌握二项分布的含义,会从实际问题中抽象出二项分布模型.1. 条件概率及其性质(1)相互独立的定义:事件A 是否发生对事件B 发生的概率 ,即 ,这时,称两个事件A ,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件. (2)概率公式:3(1)独立重复试验:①定义:在 的条件下,重复地做n 次试验,各次试验的结果 ,那么一般就称它们为n 次独立重复试验.②概率公式:在一次试验中事件A 发生的概率为p ,则n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为P n (k )= (k =0,1,2,…,n ). (2)二项分布:在n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数用X 表示,事件A 不发生的概率为q =1-p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是P (X =k )= ,其中k =0,1,2,…,n .于是X 的分布列:~ .1. 如图所示的电路,有a ,b ,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是12,且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为________.2. 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.3. (2012·课标全国)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N (1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________.4. 把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A ,“第二次出现正面”为事件B ,则P (B |A )等于( ) A.12B.14C.16D.185. 如果X ~B ⎝⎛⎭⎫15,14,则使P (X =k )取最大值的k 值为( )A .3B .4C .5D .3或4课堂探究案考点1 条件概率【典例1】在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率为________.【变式1】如图,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”,则 (1)P (A )=________; (2)P (B |A )=________.考点2 相互独立事件的概率【典例2】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为12与p ,且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ;(2)求甲投球2次,至少命中1次的概率;(3)若甲、乙两人各投球2次,求共命中2次的概率.【变式2】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛,甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘.已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率;(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E (ξ).考点3 独立重复试验与二项分布【典例3】某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.【变式3】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;(2)任选3名下岗人员,记X 为3人中参加过培训的人数,求X 的分布列.1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A =“取到的2个数之和为偶数”,事件B =“取到的2个数均为偶数”,则P (B |A )等于( ) A.18B.14C.25D.122. 如图,用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为( )A .0.960B .0.864C .0.720D .0.5763.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ) A.12B.35C.23D.344. 已知随机变量X 服从二项分布X ~B (6,13),则P (X =2)等于( )A.1316B.4243C.13243D.802435. 明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.课后拓展案组全员必做题1. 某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2年的概率为0.3,则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( )A .0.3B .0.5C .0.6D .12. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝⎛⎭⎫125B .C 25⎝⎛⎭⎫125C .C 35⎝⎛⎭⎫123D .C 25C 35⎝⎛⎭⎫1253. 两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( )A.12B.512C.14D.164. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关,只要其中有一个开关能够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭 合的概率都是0.7,则这段时间内线路正常工作的概率为_______.5. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625,则该队员每次罚球的命中率为________.6. 市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是______.组提高选做题1.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号) ①P (B )=25; ②P (B |A 1)=511;③事件B 与事件A 1相互独立; ④A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件; ⑤P (B )的值不能确定,因为它与A 1,A 2,A 3中究竟哪一个发生有关.2.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的,并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率; (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率.3.某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率;(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.参考答案1. 【答案】18【解析】理解事件之间的关系,设“a 闭合”为事件A ,“b 闭合”为事件B ,“c 闭合”为事件C ,则灯亮应为事件AC B ,且A ,C ,B 之间彼此独立,且P (A )=P (B )=P (C )=12.所以P (A B C )=P (A )P (B )P (C )=18.2.【答案】0.128【解析】依题意可知,该选手的第二个问题必答错,第三、四个问题必答对,故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P =1×0.2×0.8×0.8=0.128. 3.【答案】38【解析】设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ,B ,C ,显然P (A )=P (B )=P (C )=12,∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(++AB )C , ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P =⎝⎛⎭⎫12×12+12×12+12×12×12=38.4. 【答案】 A【解析】 P (B |A )=P ABP A =1412=12.5. 【答案】 D【解析】 ∵P (X =3)=C 315⎝⎛⎭⎫143⎝⎛⎭⎫3412,P (X =4)=C 415⎝⎛⎭⎫144⎝⎛⎭⎫3411,P (X =5)=C 515⎝⎛⎭⎫145⎝⎛⎭⎫3410,从而易知P (X =3)=P (X =4)>P (X =5).【典例1】【答案】499【解析】方法一 设A ={第一次取到不合格品},B ={第二次取到不合格品},则P (AB )=C 25C 2100,所以P (B |A )=P ABP A =5×4100×995100=499.方法二 第一次取到不合格品后还剩余99件产品,其中有4件不合格品, 故第二次取到不合格品的概率为499.【变式1】【答案】(1)2π;(2)14【解析】(1)由题意可得,事件A 发生的概率P (A )=S 正方形EFGH S 圆O =2×2π×12=2π. (2)事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”, 则P (AB )=S △EOH S 圆O =12×12π×12=12π. 故P (B |A )=P ABP A =12π2π=14.【典例2】【解】 (1)方法一 设“甲投一次球命中”为事件A ,“乙投一次球命中”为事件B .由题意得[1-P (B )]2=(1-p )2=116,解得p =34或p =54(舍去),所以乙投球的命中率为34.方法二 设“甲投一次球命中”为事件A ,“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得:P (B )P (B )=116,于是P (B )=14或P (B )=-14(舍去).故p =1-P (B )=34.所以乙投球的命中率为34.(2)方法一 由题设知,P (A )=12,P (A )=12.故甲投球2次,至少命中1次的概率为 1-P (A ·A )=34.方法二 由题设知,P (A )=12,P (A )=12.故甲投球2次,至少命中1次的概率为 C 12P (A )P (A )+P (A )P (A )=34.(3)由题设和(1)知,P (A )=12,P (A )=12,P (B )=34,P (B )=14.甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中2次,乙2次均不中;甲2次均不中,乙中2次.概率分别为C 12P (A )P (A )C 12P (B )P (B )=316, P (A )P (A )P (B )P (B )=164, P (A )P (A )P (B )P (B )=964.所以甲、乙两人各投球2次,共命中2次的概率为 316+164+964=1132. 【变式2】解 (1)设甲胜A 的事件为D ,乙胜B 的事件为E ,丙胜C 的事件为F ,则D ,E ,F 分别表示甲不胜A ,乙不胜B ,丙不胜C 的事件. 因为P (D )=0.6,P (E )=0.5,P (F )=0.5,由对立事件的概率公式知P (D )=0.4,P (E )=0.5,P (F )=0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F ,D E F ,D EF ,DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队至少两人获胜的概率为P =P (DE F )+P (D E F )+P (D EF )+P (DEF )=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55. (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F ,D E F ,D E F 是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立, 因此P (ξ=0)=P (D E F )=0.4×0.5×0.5=0.1,P (ξ=1)=P (D E F )+P (D E F )+P (D E F )=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5 =0.35,P (ξ=3)=P (DEF )=0.6×0.5×0.5=0.15.由对立事件的概率公式得P (ξ=2)=1-P (ξ=0)-P (ξ=1)-P (ξ=3)=0.4.所以ξ的分布列为因此E (ξ)【典例3】解 令X 表示5次预报中预报准确的次数,则X ~B ,故其分布列为P (X =k )=C k 5k 5-k(k =0,1,2,3,4,5).(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P (X =2)=C 25×2×3=10×1625×1125≈0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P (X ≥2)=1-P (X =0)-P (X =1)=1-C 05×0×5-C 15×45×4=1-0.000 32-0.006 4≈0.99.(3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为C 14×45×3×45≈0.02.【变式3】解 (1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A ,“该人参加过计算机培训”为事件B ,由题设知,事件A 与B 相互独立,且P (A )=0.6,P (B )=0.75. 所以,该下岗人员没有参加过培训的概率是P (A B )=P (A )·P (B )=(1-0.6)(1-0.75)=0.1.∴该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的,所以3人中参加过培训的人数X 服从二项分布X ~B (3,0.9),P (X =k )=C k 30.9k ×0.13-k,k =0,1,2,3, ∴X 的分布列是1.【答案】B【解析】P (A )=C 23+C 22C 25=25,P (AB )=C 22C 25=110,P (B |A )=P AB P A =14.2. 【答案】B【解析】 方法一 由题意知K ,A 1,A 2正常工作的概率分别为P (K )=0.9,P (A 1)=0.8,P (A 2)=0.8, ∵K ,A 1,A 2相互独立,∴A 1,A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)+P (A 1A 2)+P (A 1A 2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96.∴系统正常工作的概率为P (K )[P (A 1A 2)+P (A 1A 2)+P (A 1A 2)]=0.9×0.96=0.864.方法二 A 1,A 2至少有一个正常工作的概率为1-P (A 1 A 2)=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,∴系统正常工作的概率为P (K )[1-P (A 1 A 2)]=0.9×0.96=0.864. 3【答案】D【解析】甲队若要获得冠军,有两种情况,可以直接胜一局,获得冠军,概率为12,也可以乙队先胜一局,甲队再胜一局,概率为12×12=14,故甲队获得冠军的概率为14+12=34.4.【答案】 D【解析】 P (X =2)=C 26(24=80243.5.【答案】 0.98【解析】 1-(1-0.80) (1-0.90)=1-0.02=0.98.组全员必做题1. 【答案】 B【解析】 设事件A 为“该元件的使用寿命超过1年”,B 为“该元件的使用寿命超过2年”,则P (A )=0.6,P (B )=0.3.因为B ⊆A ,所以P (AB )=P (B )=0.3,于是P (B |A )=P AB P A =0.30.6=0.5.2.【答案】 B 3.【答案】B【解析】设事件A :甲实习生加工的零件为一等品; 事件B :乙实习生加工的零件为一等品, 则P (A )=23,P (B )=34,所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B )+P (A B )=P (A )P (B )+P (A )P (B )=23×+×34=512. 4. 【答案】 0.91【解析】线路不能正常工作的概率为P (A B )=P (A )P (B )=(1-0.7)(1-0.7)=0.09.∴能够正常工作的概率为1-0.09=0.91. 5.【答案】35【解析】 设该队员每次罚球的命中率为p (其中0<p <1),则依题意有1-p 2=1625,p 2=925.又0<p <1,因此有p =35.6.【答案】 0.665【解析】 记A =“甲厂产品”,B =“合格产品”,则P (A )=0.7,P (B |A )=0.95.∴P (AB )=P (A )·P (B |A )=0.7×0.95=0.665.组提高选做题1.【答案】 ②④【解析】 P (B )=P (BA 1)+P (BA 2)+P (BA 3)=5×510×11+2×410×11+3×410×11=922,故①⑤错误; ②P (B |A 1)=5×510×1112=511,正确;③事件B 与A 1的发生有关系,故错误;④A 1,A 2,A 3不可能同时发生,是互斥事件,正确. 2.解 (1)P =⎝⎛⎭⎫1-132×13=427.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427;(2)6场胜3场的情况有C 36种, ∴P =C 36⎝⎛⎭⎫133⎝⎛⎭⎫1-133=20×127×827=160729.所以这支篮球队在6场比赛中恰好胜3场的概率为160729.3.解 (1)该公司决定对该项目投资的概率为P =C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫23+C 33⎝⎛⎭⎫133=727.(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形:P (A )=C 33⎝⎛⎭⎫33=27, P (B )=C 13⎝⎛⎭⎫133=19,P (C )=C 13C 12⎝⎛⎭⎫133=29,P (D )=C 13⎝⎛⎭⎫133=19.∵A 、B 、C 、D 互斥,∴P (A ∪B ∪C ∪D )=P (A )+P (B )+P (C )+P (D )=1327.。