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圆柱、圆锥、圆台和球二、重难点提示圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征。
考点一：圆柱、圆锥、圆台、球球将半圆面绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的几何体叫球记作：球O【要点诠释】①几何体与曲面的区别：几何体是“实心”的。
例如圆柱的表面是指圆柱的上下底面及侧面组成的曲面，它是“空心的”，不包括内部。
②在圆柱、圆锥、圆台的侧面上不沿着母线是画不出直线段的。
③球体与球面是不同的，球体是几何体，球面是曲线，但二者也有联系，球面是球体的表面。
（2）圆柱、圆锥、圆台和球的简单画法画圆柱、圆台一般先画一个底面，再画两条母线（过轴截面），最后画另一个底面，如图（1）、（3）；画圆锥可以先画母线（作为轴截面），再补上底面比较方便。
如图（2）；画球一般先画一个圆及其一条直径（虚线），然后再以直径为长轴作一个椭圆，如图（4）。
（1）（2）（3）（4）（3）圆柱、圆锥、圆台的性质①平行与底面的截面是圆；②过轴的截面（简称轴截面），分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③用平行于底面的平面去截圆锥，截面圆与底面圆半径之比等于所截的小圆锥的母线与原圆锥的母线之比。
（4）圆柱、圆锥、圆台、球的截面①平行于底面的截面A. 平行于圆柱底面的截面是与底面大小不同的圆面；B. 平行于圆锥底面的截面都是圆面；C. 平行于圆台底面的截面都是圆面。
② 轴截面A. 圆柱中，过轴的截面（轴截面）是全等的矩形；B. 圆锥中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形；C. 圆台中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形。
③ 球的截面A. 用一个平面去截球，截面是圆面。
其中，过球心的平面截得的叫大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫小圆。
B. 截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面。
考点二：旋转面、旋转体、组合体（1）旋转面与旋转体一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面。
封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体。
3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积．ༀ1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( )A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( )A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶4[尝试解答] (1)选C 圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，∴S底＝4π，S 全＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π，∴S全＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．(2)选 C 如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．∵O1为PO2的中点，∴＝＝＝，∴PA＝AB，O2B＝2O1A.∵S圆锥侧＝×2π·O1A·PA，S圆台侧＝×2π·(O1A＋O2B)·AB，∴＝＝.1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和．2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．ༀ1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20(cm)，同理可得SB＝40(cm)，所以AB＝SB－SA＝20(cm)，所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr2＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100π cm2.ༀ2．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm，求它的侧面积．[尝试解答] 如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8 cm和18 cm，腰长为13 cm的等腰梯形，由点A向BC作垂线，设垂足为E，由点D向BC作垂线，设垂足为F，易知BE＝CF.∵BE＋EF＋FC＝2BF－AD＝BC，∴BF＝＝＝13.∴BE＝BF－AD＝13－8＝5.又AB＝13，∴AE＝12.∴S四边形ABCD＝(AD＋BC)·AE＝×(18＋8)×12＝156(cm2)．故其侧面积为156×5＝780(cm2)．要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．ༀ2．已知正三棱锥VABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2，求该三棱锥的表面积．解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2，取BC的中点D，连接VD，则VD＝＝＝，∴S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，S△ABC＝×(2)2×＝3，∴三棱锥VABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋).ༀ3．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？[尝试解答] 如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．(1)设所求圆柱的底面半径为r，则＝，∴ r＝R－x，∴S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－·x2.(2)∵S圆柱侧是关于x的二次函数，∴当x＝－＝时，S圆柱侧有最大值，即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解．ༀ3．已知底面半径为cm，母线长为cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm.则S＝S底＋S柱侧＋S圆锥侧＝π×()2＋2π××＋π××3＝(3＋6＋3)π(cm2)．如图所示，圆柱OO′的底面半径为2 cm，高为4 cm，点P为母线B′B的中点，∠AOB＝π，试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程．[巧思] 将圆柱的侧面展开，将A、P两点转化到同一个平面上解决．[妙解] 将圆柱侧面沿母线AA′剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP.在Rt△ABP中，AB＝π×2＝π(cm)，PB＝2(cm)，∴AP＝＝ (cm)．故蚂蚁爬的最短路程为 cm.1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为( )A．1∶2B．1∶1C．1∶4 D．4∶1解析：选B 以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，∴S1∶S2＝4π∶4π＝1∶1.2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )(2)∵S上底＋S下底＝a2＋b2，∴(4a＋4b)·h斜＝a2＋b2，∴h斜＝.又EF＝，h＝＝.第2课时柱、锥、台的体积[核心必知]柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体＝Sh S为柱体的底面积h为柱体的高锥体V锥体＝13ShS为锥体的底面积h为锥体的高台体V台体＝13(S上＋S下＋S上·S下)·h S上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高[问题思考]仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？提示：(1)底面半径是r，高是h的圆柱的体积是：V圆柱＝πr2h.(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：V圆锥＝πr2h.(3)如果圆台上、下底面半径分别是r′、r，高是h，那么它的体积是：V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)．ༀ1．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，点C到AB的距离为3 cm，侧面ABB1A1的面积为8 cm2，求直三棱柱的体积．[尝试解答] 法一：如图，设点C到AB的距离为d，侧面ABB1A1的面积为S1，则△ABC的面积S＝|AB|d.∴直三棱柱的体积V ＝Sh ＝S|AA1| ＝|AB|d|AA1|＝|AB|·|AA1|d ＝S1 d ＝12(cm3)．法二：补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱ABCDA1B1C1D1.可以看成以A1ABB1为底面的四棱柱D1DCC1A1ABB1.则ABB1A1的面积就是底面积，C 到AB 的距离即为高． ∴四棱柱D1DCC1A1ABB1的体积V ＝24(cm3)， 则直三棱柱的体积为12(cm3)．(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积．(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面．所以方法二采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解)．ༀ1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．解：设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎨⎧a2＝πr2， ①2πrh＝4a2， ②由①得r ＝a ， 由②得πrh＝2a2， ∴V 圆柱＝πr2h ＝a3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a3∶(a3)＝∶1＝∶2.ༀ2.如图，已知四棱锥PABCD 的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．若AB ＝，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥PABCD 的体积．[尝试解答] 因为ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB ＝， 所以HA ＝HB ＝.因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝，HD＝HC＝tan 30°＝1.可得PH＝＝，等腰梯形ABCD的面积为S＝AC×BD＝2＋.所以四棱锥的体积为V＝×(2＋)×＝.求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积．(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”．ༀ2．已知三角形ABC的边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积．∵△ABC为直角三角形，且AB为斜边，∴绕AB边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径r＝.∴V锥＝·AB·πr2＝×5×π×2＝π.ༀ3．圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[尝试解答] 首先，圆台的上底的半径为4 cm，于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(c m2)．其次，如图，圆台的高h＝BC＝BD2－OD－AB 2＝＝4(cm)，所以V圆台＝h(S＋＋S′)＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系．因为台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差．ༀ3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm和12 cm，侧面积为180 cm2，求棱台的体积．解：如图，分别过正四棱台的底面中心O1，O作O1E1⊥B1C1，OE⊥BC，垂足分别为E1，E，则E1E为正四棱台的斜高．由于正四棱台的侧面积为180 cm2，所以×4×(6＋12)|E1E|＝180，解得|E1E|＝5.在直角梯形O1OEE1中，O1E1＝3，OE＝6，E1E＝5，解得O1O＝4.所以正四棱台的体积为V＝h(S＋＋S′)＝×4×(62＋6×12＋122)＝336(cm3)．如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥CA′DD′，求棱锥CA′DD′的体积与剩余部分的体积之比．[解] 法一：设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCDA′B′C′D′的体积V＝abc，又S△A′DD′＝bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a，∴V三棱锥C－A′DD′＝S△A′D′D·CD＝abc.则剩余部分的体积V剩＝abc－abc＝abc.故V三棱锥C－A′D′D∶V剩＝abc∶abc＝1∶5.[尝试用另外一种方法解题]5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )A．1∶∶ B．6∶2∶ 3C．6∶2∶3 D．3∶2∶6解析：选C 设如图所示的Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π()2×2＝π.V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.二、填空题6．如图已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．解析：采取补体方法，相当于一个母线长为a＋b的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V＝.答案：πr2a＋b27．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h，则h＝________.解析：锥体的底面半径和高都是h，圆柱体的底面半径是，高为h，依题意得h2·h＝π·()2·h，解得h＝a.答案：a8．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．解析：此几何体的直观图如图，ABCD为正方形，边长为20 cm，S在底面的射影为CD中点E，SE＝20 cm，VSABCD＝SABCD·SE＝cm3.答案： cm3用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d.在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.ༀ1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．[尝试解答] 如图所示，设球心为O，截面圆圆心O1，球半径为R，连接OO1，则OO1是球心到截面的距离．由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心．设M是AB的中点，由于AC＝BC，则O1在CM上．设O1M＝x，易知O1M⊥AB，则O1A＝，O1C＝CM－O1M＝－x.又O1A＝O1C，∴＝－x.解得x＝.则O1A＝O1B＝O1C＝.在Rt△OO1A中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R.由勾股定理，得2＋2＝R2.解得R＝.故S球面＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π.计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视．ༀ1．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm2，试求此球的表面积和体积．解：如图，设截面圆的圆心为O1，则OO1⊥O1A，O1A为截面圆的半径，OA为球的半径．∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48.在Rt△AO1O中，OA2＝O1O2＋O1A2，即R2＝2＋48，∴R＝8(cm)，∴S球＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)，V球＝πR3＝π(cm3).ༀ2．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积．[尝试解答]如图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC、AC相切于点D、E.连接AD，OE，∵△ABC是正三角形，∴CD＝AC.∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ cm，∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴＝.设OE＝r，则AO＝(－r)，∴＝，∴r＝ cm，V球＝π()3＝π(cm3)，即球的体积等于π cm3.解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系．ༀ2．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积．解：作轴截面如图所示，CC′＝，AC＝·＝2，设球的半径为R，则R2＝OC2＋CC′2＝()2＋()2＝9，∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．[错解] 如图所示，设OD＝x，由题知π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm.π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm.设球半径为R，则有(CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，。
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第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征简单组合体的结构特征[课时作业］［A组基础巩固]1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥解析：如图所示：答案:D2．下列说法错误的是( )A．一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B．一个圆台可以由两个圆台拼合而成C．一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D．一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成解析：用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故B，D选项说法是正确的．若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故选项A的说法正确．答案:C3．下列命题中正确的是（)A．将正方形旋转不可能形成圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．通过圆台侧面上一点,有无数条母线解析：将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱,所以A错误;B中必须以垂直于底边的腰为轴旋转才能得到圆台,所以B错误;通过圆台侧面上一点，只有一条母线,所以D错误,故选C.答案：C4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( )A．4π B．8πC．2π D．π解析:边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,得到的几何体是底面半径为1的圆,其周长为2π·1＝2π.答案:C5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6。
