黄冈中学广州学校初高中衔接暑期作业：数学

3.3幂函数【知识梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 312y xy ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【基础自测】1．下列函数中不是幂函数的是________．①y ＝x 0；②y ＝x 3；③y ＝2x ；④y ＝x －1.2．幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a>>>3．已知幂函数f (x )＝k ·x αk ＋α等于()A.12B ．1C.32D ．24．函数()12f x x -=的定义域为_______，值域为___________．5．已知幂函数()()221m f x m m x +=-+是奇函数，则m =___________.【例题详解】一、幂函数的概念例1(1)给出下列函数：①31y x=；②32y x =-；③42y x x =+；④y =⑤()21y x =-；⑥0.3x y =，其中是幂函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知幂函数()(R,R)f x k x k αα=⋅∈∈的图象经过点(14,2)，则k α+=（）A ．12B ．1C ．32D ．2(3)若幂函数()25ay a a x =--的图像关于y 轴对称，则实数=a ______．跟踪训练1(1)下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2xy =(2)（多选）如果幂函数()22233mm y m m x--=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（）A ．0B ．2C ．1D ．无解(3)已知幂函数()2232(1)mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.二、幂函数的图象及应用例2(1)如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x -=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x =(2)函数()12f x x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．跟踪训练2(1)图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3(2)在同一坐标系内，函数(0)a y x a =≠和1y ax a=+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．三、比较幂值的大小例3(1)1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小关系是（）A ．23.1＜2－3.1＜1.5－3.1B ．1.5－3.1＜23.1＜2－3.1C ．1.5－3.1＜2－3.1＜23.1D ．2－3.1＜1.5－3.1＜23.1(2)下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭跟踪训练3(1)设1313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1325b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12c =，则（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b c a<<D ．b a c<<(2)已知0.325a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．b a c<<四、幂函数性质的应用例4(1)若幂函数f （x ）的图象过点（16，8），则f （x ）<f （x 2）的解集为（）A ．（–∞，0）∪（1，+∞）B ．（0，1）C ．（–∞，0）D ．（1，+∞）(2)已知12()3f x x =，若01a b <<<，则下列各式中正确的是（）．A ．11()()f a f b f fa b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11()()f f f b f a a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭C ．11()()f a f b f fb a ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎝⎭⎝⎭D ．11()()f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)已知函数355()3f x x =，若当()0,x ∈+∞时，()0a f x f x ⎛+-> ⎝恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．(),2-∞C ．()3,+∞D ．(),1-∞跟踪训练4(1)对于幂函数45()=f x x ，若0<a <b ，则2+⎛⎫ ⎪⎝⎭a b f ，()()2f a f b +的大小关系是________．(2)已知幂函数的图象经过点1(,)22，那么()f x 的解析式为____________；不等式()2f x ≤的解集为____________.(3)已知幂函数39m y x -=（*m N ∈）的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数．（i ）求m 的值；（ii ）求满足不等式33(1)(32)m m a a +<-的实数a 的取值范围．【课堂巩固】1．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A ．y ＝x－2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝13x2．函数y =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限4．对幂函数y x α=，填空：（1）当1α>，0x ≥时，图象恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >时，幂函数图象在y x =图象的______方．（2）当01α<<，0x ≥时，图象也恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >，幂函数图象在y x =图象的______方．（3）当0α<，0x >时，图象恒过点______．5．幂函数()()222mm m f x x =+-在区间()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为______．6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．7．已知幂函数()()211m f x m m x +=--是奇函数，则实数m 的值为________.8．已知幂函数1101 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.9．比较下列各组数的大小：(1)33()(2 2.5)----，；(2)788-，7819⎛⎫ ⎪⎝⎭.10．已知幂函数()()222322N m m y k k x m --*=--⋅∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数.(1)求m 和k 的值；(2)求满足()()132mma a --+<-的a 的取值范围.11．已知幂函数()y f x =的表达式为223()(21)()n n f x m x n -++=-∈Z ，函数()y f x =的图像关于y 轴对称，且满足(3)(5)f f <，求m n +的值．12．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )－ax －3在[1,3]上不是单调函数，求实数a 的取值范围．【课时作业】1．“当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231mm y m m x--=--为减函数”是“1m =-或2”的（）条件A ．既不充分也不必要B ．必要不充分C ．充分不必要D ．充要2．已知幂函数122()(32)m f x m m x -=-满足(2)(3)f f >，则m =（）A ．23B ．13-C ．1D ．1-3．函数23y x =的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．4．给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x =⑤()1f x x=．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．幂函数y =f （x ）的图象经过点（4，2），若0<a <b <1，则下列各式正确的是（）A ．f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．11f f a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭<f （b ）<f （a ）C ．f （a ）<f （b ）11f f a b ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()11f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（）A ．B ．C ．D ．7．已知幂函数a y x =与b y x =的部分图像如图所示，直线2x m =，()01x m m =<<与a y x =，b y x =的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且AB CD =，则a b m m +=（）A ．12B ．1C D ．28．函数()()2231mm f x m m x +-=--是幂函数，对任意()12,0,,x x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若,a b R ∈，且0,0a b ab +><，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断9．（多选）已知幂函数()()2m f x m x =-，则（）A ．3m =B ．定义域为[)0,∞+C ．(1.5)(1.4)m m -<-D 2=10．（多选）下列说法正确的是（）A ．若幂函数的图象经过点1(,2)8，则解析式为13y x -=B ．若函数()45f x x -=，则()f x 在区间(,0)-∞上单调递减C ．幂函数y x α=()0α>始终经过点(0,0)和()1,1D ．若幂函数()()2223m f x m m x =--图象关于y 轴对称，则()()2253f a a f -+->11．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为__________.12．不等式()()2233213x x +<-的解为______.13．已知幂函数()f x 的图象过点⎛ ⎝⎭，且()()212f b f b -<-，则b 的取值范围是______.14．已知幂函数()f x 经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．15．已知幂函数()()35m f x xm N -=∈在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，求m 的值．16．已知幂函数f （x ）=()12-+m m x （m ∈N *）的图象经过点(2．（1）试求m 的值，并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f （1+a ）>f （a 的取值范围．17．已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f x g x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.18．已知幂函数22+1()=(2+2)m f x m m x -在(0,)+∞上是减函数(1)求()f x 的解析式(2)若f f <，求a 的取值范围.。

强化专题2不等式恒成立、能成立问题【方法技巧】在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．一、“Δ”法解决恒成立问题(1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为(2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为二、数形结合法解决恒成立问题结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．三、分离参数法解决恒成立问题通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．四、主参换位法解决恒成立问题转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．五、利用图象解决能成立问题结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．六、转化为函数的最值解决能成立问题能成立问题可以转化为m>y min或m<y max的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．【题型目录】一、“Δ”法解决恒成立问题二、数形结合法解决恒成立问题三、分离参数法解决恒成立问题四、主参换位法解决恒成立问题五、利用图象解决能成立问题六、转化为函数的最值解决能成立问题【例题详解】一、“Δ”法解决恒成立问题1．不等式2(2)4(2)120a x a x -+--<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}|12a a -≤<B ．{}|12a a -<≤C ．{}|12a a -<<D ．{}|12a a -≤≤【答案】B【分析】分类讨论2a =和2a ≠两种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可.【详解】当2a =时，原不等式为120-<满足解集为R ；当2a ≠时，根据题意得20a -<，且216(2)4(2)(12)0a a ∆=---⨯-<，解得1a 2-<<．综上，a 的取值范围为{}|12a a -<≤．故选：B ．2．若关于x 的一元二次不等式23208x kx -+>对于一切实数x 都成立，则实数k 满足（）A ．{k k <B ．{k k <C ．{k k <D ．{k k >3．（多选）不等式22x bx c x b ++≥+对任意的x ∈R 恒成立，则（）A ．2440b c -+≤B ．0b ≤C ．1c ≥D ．0b c +≥4．若“0R x ∃∈，20230mx +-≥”是假命题，则实数m 的取值范围是______．二、数形结合法解决恒成立问题1．（多选）若“0x ∀>，都有2210x x λ-+≥”是真命题，则实数λ可能的值是（）A ．1B ．C ．3D ．②若04λ>时0λ>，如图，由图像可知y 的最小值在对称轴处取得，则4x λ=时，22min184y λλ=-+=此时，022λ<≤，综上，22λ≤，故选：AB ．2．已知不等式220x bx c -++>的解集{}13x x -<<，若对任意10x -≤≤，不等式224x bx c t -+++≤恒成立．则t 的取值范围是__________．【答案】{}2-≤t t3．当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．三、分离参数法解决恒成立问题1．对任意的(,0)x ∈-∞，210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围（）A ．{}22x x -<<B ．{}2x x >C ．{}2x x >-D ．{}2x x ≤-2．已知命题p ：“[]1,4x ∀∈，226ax x ≤+”为真命题，则实数a 的最大值是___．3．写出使不等式()3R x xx++≥∈恒成立的一个实数a 的值__________．4．已知命题“[1,2]x ∃∈-，230x x a +>-”是假命题，则实数a 的取值范围是________.【答案】(,4]-∞-【分析】先求得存在量词命题的否定，然后利用分离常数法，结合二次函数的性质来求得a 的取值范围.【详解】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题，则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-，所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-.故答案为：(,4]-∞-5．函数()22f x ax ax =-，若命题“[]()0,1,3x f x a ∃∈≤-”是假命题，则实数a 的取值范围为___________．四、主参换位法解决恒成立问题1．若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥- D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥2．若不等式21634x ax x a -≥--对任意2,4a ∈-成立，则x 的取值范围为（）A ．(][),83,-∞-⋃+∞B ．()[),01,-∞+∞C ．[]8,6-D ．(]0,3【答案】A【分析】由题得不等式2(4)3160x a x x ---+≤对任意[]2,4a ∈-成立，解不等式组22(4)(2)3160(4)43160x x x x x x ⎧----+≤⎨---+≤⎩即得解.【详解】由题得不等式2(4)3160x a x x ---+≤对任意[]2,4a ∈-成立，所以22(4)(2)3160(4)43160x x x x x x ⎧----+≤⎨---+≤⎩，即2252400x x x x ⎧--+≤⎨-+≤⎩，解之得3x ≥或8x ≤-.故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“a ”看作自变量，把“x ”看作参数，问题迎刃而解.3．不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪五、利用图象解决能成立问题1．命题“2R,210x mx mx ∀∈-+>”是假命题，则实数m 的取值范围为（）A ．01m ≤<B ．0m <或1m ≥C ．0m ≤或1m ≥D ．01m <<【答案】B【分析】先写出原命题的否定，然后结合判别式以及对m 分类讨论来求得m 的取值范围.【详解】命题“2R,210x mx mx ∀∈-+>”是假命题，所以“2R,210x mx mx ∃∈-+≤”是真命题，当0m =时，10≤不成立，不符合题意，所以0m ≠，所以0m <或()2Δ44410m m m m m >⎧⎨=-=-≥⎩，所以0m <或m 1≥.故选：B2．若关于x 的不等式2420x x a ---≤有解，则实数a 的取值范围是（）A ．{}2a a ≥-B ．{}2a a ≤-C ．{}6a a ≥-D ．{}6a a ≤-【答案】C【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【详解】若关于x 的不等式2420x x a ---≤有解,则()16420a ∆=++≥，解得6a ≥-.故选：C.3．若命题:p x ∃∈R ，20x ax a ++≤是真命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】(][),04,-∞+∞U 【分析】依题意可得二次函数2y x ax a =++与x 轴有交点，转化为判别式的关系进行求解.【详解】已知命题:p x ∃∈R ，20x ax a ++≤是真命题，则二次函数图像2y x ax a =++与x 轴有交点，所以240a a ∆=-≥，解得4a ≥或0a ≤.所以实数a 的取值范围为(][),04,-∞+∞U .故答案为：(][),04,-∞+∞U .4．若命题“R x ∃∈，使22(32)(1)20a a x a x -++-+<”是真命题，则实数a 的取值范围为______．六、转化为函数的最值解决能成立问题1．已知命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),4-∞C ．()2,-+∞D ．()4,+∞2．若关于x 的不等式26110x x a -+-≤在区间()2,5内有解，则实数a 的取值范围是（）A ．[)6,+∞B ．()6,+∞C ．[)2,+∞D ．()2,+∞【答案】C 【分析】由关于x 的不等式26110x x a -+-≤在区间(2,5)内有解，可得2611a x x ≥-+在区间(2,5)内有解，从而a 大于2611x x -+在区间(2,5)的最小值，结合二次函数的性质即可得出结果．【详解】由关于x 的不等式26110x x a -+-≤在区间(2,5)内有解，得2611a x x ≥-+在区间(2,5)内有解，从而a 大于2611x x -+在区间(2,5)的最小值.令2()611f x x x =-+，()2,5x ∈，函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为3x =，则()f x 在()2,3上单调递减，在()3,5是单调递增则，min ()(3)918112f x f ==-+=，得2a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞．故选：C ．3．若命题“22R,213x x x a a ∀∈--≥-”为假命题，则实数a 的取值范围___________．【答案】1a <或2a >【分析】转化为命题“0R x ∃∈，使得2200213x x a a --<-成立”为真命题，利用不等式有解,左边的最小值小于右边，可求出结果.【详解】因为命题“22R,213x x x a a ∀∈--≥-”为假命题，所以命题“0R x ∃∈，使得2200213x x a a --<-成立”为真命题，因为2200021(1)22x x x --=--≥-，当且仅当01x =时，等号成立，所以20021x x --的最小值为2-，所以232a a ->-，解得1a <或2a >.故答案为：1a <或2a >.4．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间[]1,4内有解，则a 的取值范围是_________.【答案】(),2-∞-【分析】将问题转化为242a x x <--在区间[]1,4内有解，从而求得()242f x x x =--的最大值即可得解.【详解】因为2420x x a --->在区间[]1,4内有解，所以242a x x <--在区间[]1,4内有解，令()242f x x x =--，则()f x 开口向上，对称轴为2x =，所以()f x 在[)1,2上单调递减，在(]2,4上单调递增，又()2114125f =-⨯-=-，()2444422f =-⨯-=-，故()max 2f x =-，所以2a <-，即(),2a ∈-∞-.故答案为：(),2-∞-.。

黄冈实验学校09—10学年新高一衔接课考试（数学）编写者：孟凡洲注意:本试卷共分两部分：第I 卷和第II 卷.其中第I 卷为客观题，共16小题，满分76分；第II 卷为主观题，共6小题，满分74分.试卷总分为150分，答题时间为90分钟.第I 卷（客观题部分）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1、下列实数：3、－3.14、︒45sin 、4中，无理数的个数是( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、一件标价为250元的商品，若该商品按八折销售，则该商品的实际售价是（ ） Ａ、180元 Ｂ、200元 Ｃ、240元 Ｄ、250元3、下列运算正确的是（ ）A 、235()x x -=-B 、523523a a a =+ C 、39±= D 、283-=-4、在同一直角坐标系中，函数(0)ky k x =≠与(0)y kx k k =+≠的图象大致是（ ）5、下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A 、21B 、8C 、7D 、以上都不是6、据统计，2008中国某小商品城市场全年成交额约为1010841.3⨯元.近似数1010841.3⨯元的有效数字的个数是( )A 、6个B 、5个C 、4个D 、11个7、不等式组⎩⎨⎧>->-03042x x 的解集为（ ）A 、x ＞2B 、x ＜3C 、x ＞2或 x ＜－3D 、2＜x ＜38、关于x 的不等式22≤+-a x 的解集如图所示，那么a 的值是（Ａ、－4 Ｂ、－2 Ｃ、0 Ｄ、２ 9、11、不等式2x-7＜5-2x 正整数解有( )A 、1个B 、 2个C 、3个D 、 4个10、若x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．011、在下列长度的四根木棒中，能与3cm ，7cm 两根木棒围成一个三角形的（ ）A 、7cmB 、4cmC 、3cmD 、10cm12、如果等边三角形的边长为6，那么它的内切圆的半径为（ ） A 、3 B C 、、二、填空题（本小题共4题，共16分）13、若复数0;;322121=++=+=z z bi a z i z ，则=a 、=b ； 14、若点)5,1();3,2(21--p p ，则这两个点间的距离为 ；15、因式分解：=+-x x x 4423 ；16、函数y =1x -中,自变量x 的取值范围是 ；ＡＢＣＤ答题卡13、 、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 ；第II 卷（主观题部分）三、解答题（本大题共6小题，满分74分）17、（12分）已知点)3,1();7,2(21--p p ，求这两个点到直线0723:=+-y x l 的距离.18、（12分）已知复数i m m z )1(12++-=，则当m 取何值时，z 为：（1）虚数；（2）实数；（3）纯虚数19、（12分）在平面直角坐标系中，某图像的解析式为17522=-y x ，此图像在平面直角坐标系中向上平移5个单位，向坐平移3个单位后，得到了一个新的图像，你能写出它的解析式吗？试写之.20、（12分）在实数范围内解下列不等式 （1）0232>-+-x x （2）0132<+-x x21、（12分）已知直线b kx y l x y l +=+=:;3:21，若21//l l ，且2l 过点)5,3(A ，求2l 的解析式.22（14分）对于任何实数，我们规定符号c ad b 的意义是：c a db=bc ad -．按照这个规定请你计算：当0132=+-x x 时，21-+x x 13-x x的值．。

2024年暑假初升高衔接数学总复习：分式方程一．选择题（共10小题）1．若方程K3K2=2−无解，则m的值是（）A．1B．2C．3D．42．《九章算术》中有题如下：把一封信送到900里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送，则早3天送达，已知快马的速度是慢马的2倍．甲、乙两人所列方程如下，甲：设规定时间为x天，则900r1×2=900K3；乙：设慢马的速度为y里/天，则900−9002=2，则正确的是（）A．只有甲对B．只有乙对C．两人都对D．两人都错3．甲、乙两人同时从A地出发，到距离A地30千米的B地．甲比乙每小时少行3千米，结果乙比甲早到40分钟．设乙每小时行x千米，则可列方程（）A．30K3−30=4060B．30−30r3=4060C．30r3−30=4060D．30−30K3=40604．某学校在组织学生参加春季踏青活动中，把八年级五班学生分成甲、乙两个小组，同时开始攀登一座高720m的山，甲组的攀登速度是乙组的1.4倍，甲组到达顶峰所用时间比乙组少20min．如果设乙组的攀登速度为x m/min，那么下面所列方程中正确的是（）A．720=720r20+1.4B．7201.4=720−20 C．720=720r20×1.4D．7201.4=720+205．已知电动汽车平均每千米的行驶费用比燃油车平均每千米的行驶费用少0.4元，当两种汽车的行驶费用均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍．求电动汽车平均每千米的行驶费用．设电动汽车平均每千米的行驶费用x元，则根据题意可列出方程为（）A．3×300K0.4=300B．300r0.4=3×300 C．300K0.4=3×300D．300=3×300r0.46．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程25千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程21千米，走路线b 比路线a平均速度提高40%，时间节省20分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是第1页（共19页）。

初高中数学衔接教材编者的话高中数学难学，难就难在初中教材与高中教材之间剃度过大，因此我们要认真搞好初高中数学教学的衔接，使初高中的数学教学具有连续性和统一性。

现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。

而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的四心：重心、内心、外心、垂心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。

高中则在使用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。

高一数学相对于初中数学而言，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。

2022年暑假初升高衔接数学第八次测试卷一、单项选择题1．已知f(x)={3x +1，x ≤1，x 2+3，x ＞1，，则f （3）＝（ ）A ．7B ．2C ．10D ．122．f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f （0）＜f （6），则下列各式一定成立的是（ ） A ．f （0）＜f （﹣6） B ．f （﹣3）＞f （1） C ．f （2）＜f （3） D ．f （﹣1）＞f （0）3．函数y ＝x +|x|x的大致图像是（ ） A ． B ．C ．D ．4．函数f （x ）＝﹣x 2+2（1﹣m ）x +3在区间（﹣∞，4]上单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．[﹣3，+∞）B ．[3，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．（﹣∞，﹣3]5．已知f （x ）是定义在（﹣2，2）上的单调递减函数，且f （2a ﹣3）＜f （a ﹣2），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，4）B ．（1，+∞）C ．(12，52)D ．(1，52)6．已知幂函数f （x ）的图象过点（2，8），则f （3）的值为（ ） A ．3B ．9C ．27D ．137．函数f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2，对于任意的x ∈[t ，t +2]，不等式f （x +t ）≥2f （x ）恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[−√2，﹣1]B ．（−√2，√2]C ．[√2，+∞）D ．[2，+∞）8．对∀x ∈R ，函数f （x ）表示﹣x +3、3x 2+12、x 2﹣4x +3中的最大的一个，则f （x ）的最小值是（ ） A ．﹣1 B ．2C ．3D ．8二、多项选择题（多选）9．已知函数f （x ）＝x α图象经过点（4，2），则（ ） A ．函数f （x ）在定义域内为增函数 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．当x ＞1时，f （x ）＞1D ．当0＜x 1＜x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＜f(x 1+x 22)（多选）10．一辆赛车在一个周长为3km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．根据图1，以下四个说法中正确的是（ ）A ．在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加B ．在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6kmC ．大约在这第二圈的0.4km 到0.6km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶D ．在图2的四条曲线（注：s 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹（多选）11．函数y =x+2x−1（x ≠1）的定义域为[2，5），下列说法正确的是（ ） A ．最小值为74B ．最大值为4C ．无最大值D ．无最小值（多选）12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ），下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）的值域为[0，1]B ．f （x ）的定义域为RC ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1D ．任意一个非零有理数T ，f （x +T ）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立 三、填空题13．设函数f （x ）＝ax 3+bx ﹣1，且f （﹣1）＝3，则f （1）等于 ． 14．已知函数f （x ）＝x 3，则不等式f （x 2﹣2x ）≤27的解集为 ．15．设函数f （x ）={12x −1(x ≥0)1x(x ＜0)，若f （a ）＞a ，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知函数f （x ）={|x|，x ≤mx 2−2mx +4m ，x ＞m ，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 ． 四、解答题17．已知a ≠0，函数f （x ）=x−aax． （Ⅰ）用函数单调性的定义证明：f （x ）在（0，+∞）上是增函数； （Ⅱ）若f （x ）在[12，b ]上的值域是[12，b ]，求b 的值．18．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m﹣1为偶函数．（2）若g（x）＝f（x）﹣ax﹣3在[1，3]上，①单调，②不单调，这两个条件中选择一个条件，求实数a的取值范围．19．已知函数y＝f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣x．（1）求f（x）的解析式；（2）当x1≥x2＞0时，求证：f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2．20．函数f（x）=ax−b4−x2是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=13．（2）判断f（x）在（﹣2，2）上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．21．若函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x2﹣4x．（1）求函数f（x）的表达式，画出函数f（x）的图象；（2）若函数f（x）在区间[a﹣3，1]上单调递减，求实数a的取值范围．22．已知幂函数f(x)=x4m−m2（m∈Z）的图像关于y轴对称，且f（2）＜f（3）．（1）求m的值及函数f（x）的解析式；（2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求实数a的取值范围．2022年暑假初升高衔接数学第八次测试卷参考答案与试题解析一、单项选择题1．已知f(x)={3x +1，x ≤1，x 2+3，x ＞1，，则f （3）＝（ ）A ．7B ．2C ．10D ．12【解答】解：根据题意，f(x)={3x +1，x ≤1，x 2+3，x ＞1，，则f （3）＝32+3＝12， 故选：D ．2．f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数，且f （0）＜f （6），则下列各式一定成立的是（ ） A ．f （0）＜f （﹣6） B ．f （﹣3）＞f （1） C ．f （2）＜f （3） D ．f （﹣1）＞f （0）【解答】解：由f （x ）是定义在[﹣6，6]上的偶函数， 所以f （﹣6）＝f （6），由f （0）＜f （6），则f （0）＜f （﹣6）， 由函数的单调性不确定，故其它的不能确定． 故选：A ．3．函数y ＝x +|x|x 的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，y ＝x +|x|x ={x +1，x ＞0x −1，x ＜0，其图象与D 选项对立， 故选：D ．4．函数f （x ）＝﹣x 2+2（1﹣m ）x +3在区间（﹣∞，4]上单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．[﹣3，+∞）B ．[3，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．（﹣∞，﹣3]【解答】解：函数f （x ）＝﹣x 2+2（1﹣m ）x +3图象的对称轴为x =−2(1−m)−2=1﹣m ， ∵函数f （x ）＝﹣x 2+2（1﹣m ）x +3在区间（﹣∞，4]上单调递增， ∴1﹣m ≥4，解得m ≤﹣3． 所以m 的取值范围是（﹣∞，﹣3]． 故选：D ．5．已知f （x ）是定义在（﹣2，2）上的单调递减函数，且f （2a ﹣3）＜f （a ﹣2），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，4）B ．（1，+∞）C ．(12，52)D ．(1，52)【解答】解：根据题意，f （x ）是定义在（﹣2，2）上的单调递减函数， 则f （2a ﹣3）＜f （a ﹣2）⇒﹣2＜a ﹣2＜2a ﹣3＜2， 解可得：1＜a ＜52，即a 的取值范围为（1，52），故选：D ．6．已知幂函数f （x ）的图象过点（2，8），则f （3）的值为（ ） A ．3B ．9C ．27D ．13【解答】解：设幂函数f （x ）的解析式为y ＝f （x ）＝x α，α∈R ； 因为f （x ）的图象过点（2，8），所以2α＝8，解得α＝3， 所以f （x ）＝x 3， 所以f （3）＝33＝27． 故选：C ．7．函数f （x ）为R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 2，对于任意的x ∈[t ，t +2]，不等式f （x +t ）≥2f （x ）恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[−√2，﹣1]B ．（−√2，√2]C ．[√2，+∞）D ．[2，+∞）【解答】解：当x ＞0时，f （x ）＝x 2， 因为函数f （x ）是奇函数 所以当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2， 则f （x ）＝x |x |，所以f （x ）在R 上是单调递增函数， 且满足2f （x ）＝f （√2x ），因为不等式f （x +t ）≥2f （x ）＝f （√2x ）在[t ，t +2]恒成立， 所以x +t ≥√2x 在[t ，t +2]恒成立， 即x ≤（1+√2）t 在[t ，t +2]恒成立， 所以t +2≤（1+√2）t ， 解得t ≥√2． 故选：C ．8．对∀x ∈R ，函数f （x ）表示﹣x +3、3x 2+12、x 2﹣4x +3中的最大的一个，则f （x ）的最小值是（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．3 D ．8【解答】解：由3x 2+12−（﹣x +3）＞0，得x ＞1；由x 2﹣4x +3﹣（﹣x +3）＞0，得x ＞3或x ＜0； 由x 2﹣4x +3﹣（3x 2+12）＞0，得x ＞5或x ＜12．则f （x ）={ x 2−4x +3，x ≤0或x ＞5−x +3，0＜x ≤13x 2+12，1＜x ≤5．作出函数的图象如图，∴f min （x ）＝f （1）＝﹣1+3＝2． 故选：B ．二、多项选择题（多选）9．已知函数f （x ）＝x α图象经过点（4，2），则（ ） A ．函数f （x ）在定义域内为增函数 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．当x ＞1时，f （x ）＞1D ．当0＜x 1＜x 2时，f(x 1)+f(x 2)2＜f(x 1+x 22)【解答】解：由题意可得，4α＝2，解得α=12， 所以函数解析式为：f （x ）=√x ．易得函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且为非奇非偶函数；故A 正确，B 错误； 当x ＞1时，f （x ）=√x ＞1，又由函数图象易得f （x ）为“上凸函数”故D 正确， 故选：ACD ．（多选）10．一辆赛车在一个周长为3km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．根据图1，以下四个说法中正确的是（ ）A ．在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加B ．在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6kmC ．大约在这第二圈的0.4km 到0.6km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶D ．在图2的四条曲线（注：s 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹【解答】解：由图1知，在2.6km 到2.8km 之间，图象上升，故在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加；故A 正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为（1.8，2.4）之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6km ，故B 不正确；最长直线路程应在1.4到1.8之间开始，故C 不正确；由图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D 正确；故选：AD ．（多选）11．函数y =x+2x−1（x ≠1）的定义域为[2，5），下列说法正确的是（ ）A ．最小值为74B ．最大值为4C ．无最大值D ．无最小值 【解答】解：函数y =x+2x−1=1+3x−1，在定义域[2，5）内单调递减，所以x ＝2时函数有最大值，是1+3＝4；因为定义域是半闭半开区间，所以没有最小值．所以A 、C 错误，BD 正确．故选：BD ．（多选）12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ），下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）的值域为[0，1]B ．f （x ）的定义域为RC ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1D ．任意一个非零有理数T ，f （x +T ）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立【解答】解：因为函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数， 所以f （x ）的定义域为R ，值域为{0，1}，故A 错误，B 正确；当x 为有理数时，f （x ）＝1，f （f （x ））＝f （1）＝1；当x 为无理数时，f （x ）＝0，f （f （x ））＝f （0）＝1，所以∀x ∈R ，f （f （x ））＝1，故C 正确；由于非零有理数T ，若x 是有理数，则x +T 是有理数；若x 是无理数，则x +T 也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x +T ）＝f （x ）对x 任意∈R 恒成立，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题13．设函数f （x ）＝ax 3+bx ﹣1，且f （﹣1）＝3，则f （1）等于 ﹣5 ．【解答】解：令g （x ）＝f （x ）+1＝ax 3+2bx ，则g （﹣x ）＝﹣（ax 3+2bx ）＝﹣g （x ），即g （x ）为奇函数，∵f （﹣1）＝3，∴g （﹣1）＝4，∴g （1）＝f （1）+1＝﹣4，∴f （1）＝﹣5，故答案为：﹣5．14．已知函数f （x ）＝x 3，则不等式f （x 2﹣2x ）≤27的解集为 [﹣1，3] ．【解答】解：函数f （x ）＝x 3为增函数，则不等式f （x 2﹣2x ）≤27等价于f （x 2﹣2x ）≤f （3），所以x 2﹣2x ≤3，解得﹣1≤x ≤3，所以不等式f （x 2﹣2x ）≤27的解集为[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．15．设函数f （x ）={12x −1(x ≥0)1x(x ＜0)，若f （a ）＞a ，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣1） ．【解答】解：当a ≥0时，f(a)=12a −1＞a ，解得a ＜﹣2，矛盾，无解当a ＜0时，f(a)=1a ＞a ，a ＜﹣1．综上：a ＜﹣1∴实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）16．已知函数f （x ）={|x|，x ≤m x 2−2mx +4m ，x ＞m，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 （3，+∞） ．【解答】解法1：当m ＞0时，函数f （x ）={|x|，x ≤mx 2−2mx +4m ，x ＞m 的图象如下： ∵x ＞m 时，f （x ）＝x 2﹣2mx +4m ＝（x ﹣m ）2+4m ﹣m 2＞4m ﹣m 2，∴y 要使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，必须4m ﹣m 2＜m （m ＞0），即m 2＞3m （m ＞0），解得m ＞3，∴m 的取值范围是（3，+∞），法2：注意到函数y ＝x 2﹣2mx +4m （x ＞m ）是在（m ，+∞）上的单调递增函数，如上图，因此，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，那么必然有（|x |）|x ＝m ＞（x 2﹣2mx +4m ）|x ＝m ，解得m ＞3，因此m 的取值范围是（3，+∞）；实际上，m ＞0是多余的条件，因为当m ≤0时，组成f （x ）的两段函数均为单调函数，因此关于关于x 的方程f （x ）＝b 最多只有2个解，不符合题意．故答案为：（3，+∞）．四、解答题17．已知a ≠0，函数f （x ）=x−a ax ．（Ⅰ）用函数单调性的定义证明：f （x ）在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）若f （x ）在[12，b ]上的值域是[12，b ]，求b 的值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意可知f （x ）=1a −1x ，设x 1＞x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=1a −1x 1−1a +1x 2=x 1−x2x 1x 2， ∵x 1＞x 2＞0，∴x 1﹣x 2＞0，x 1x 2＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（0，+∞）递增；（Ⅱ）易知b ＞12，由（Ⅰ）可知f （x ）在[12，b ]上递增， ∴f （12）=1a −2=12，解得：a =25， 由f （b ）＝b 得52−1b =b ，解得：b ＝2．18．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m﹣1为偶函数．（1）求f （x ）的解析式； （2）若g （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣3在[1，3]上，①单调，②不单调，这两个条件中选择一个条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）xm ﹣1为偶函数，所以{m 2−5m +7=1m −1为偶数； 解得m ＝3，所以f （x ）＝x 2；（2）选①时，g （x ）＝f （x ）﹣ax ﹣3＝x 2﹣ax ﹣3在[1，3]上单调，则二次函数的对称轴x =a 2满足a 2≤1或a 2≥3； 解得a ≤2或a ≥6；选②时，g （x ）＝x 2﹣ax ﹣3在[1，3]上不单调，则二次函数的对称轴x =a 2满足1＜a 2＜3， 解得2＜a ＜6．19．已知函数y ＝f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2﹣x ．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x 1≥x 2＞0时，求证：f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2． 【解答】（1）解：∵函数y ＝f （x ）是偶函数，∴f （x ）＝f （﹣x ），当x ＜0时，﹣x ＞0，∴f （x ）＝f （﹣x ）＝x 2+x ，∴当x ＜0时，f （x ）＝x 2+x ，∴f （x ）的解析式为f （x ）={x 2−x ，x ≥0x 2+x ，x ＜0． （2）证明：当x 1≥x 2＞0时，f(x 1+x 22)−f(x 1)+f(x 2)2=(x 1+x 22)2+x 1+x 22−x 12−x 1+x 22−x 22=−x 124−x 224+x 1x 22=−(x 1−x 22)2≤0， ∴f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2． 20．函数f （x ）=ax−b 4−x 2是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=13． （1）确定f （x ）的解析式；（2）判断f （x ）在（﹣2，2）上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）=ax−b 4−x 2是定义在（﹣2，2）上的奇函数， 则f （0）=−b 4=0，解可得b ＝0；又由f （1）=13，则有f （1）=a 3=13，解可得a ＝1；则f(x)=x 4−x 2； （2）由（1）的结论，f （x ）=x 4−x 2，在区间（﹣2，2）上为增函数；证明：设﹣2＜x 1＜x 2＜2，则f （x 1）﹣f （x 2）=(4−x 1x 2)(x 1−x 2)(4−x 12)(4−x 22)， 又由﹣2＜x 1＜x 2＜2，则（4﹣x 1x 2）＞0，（x 1﹣x 2）＜0，（4﹣x 12）＞0，（4﹣x 22）＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）＜0，则函数f （x ）在（﹣2，2）上为增函数；（3）根据题意，f （t ﹣1）+f （t ）＜0⇒f （t ﹣1）＜﹣f （t ）⇒f （t ﹣1）＜f （﹣t ）⇒{−2＜t −1＜2−2＜t ＜2t −1＜−t，解可得：﹣1＜t ＜12，即不等式的解集为（﹣1，12）． 21．若函数f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）＝2x 2﹣4x ．（1）求函数f （x ）的表达式，画出函数f （x ）的图象；（2）若函数f （x ）在区间[a ﹣3，1]上单调递减，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当x ＜0时，﹣x ＞0，f （﹣x ）＝2x 2+4x ．由f （x ）是偶函数，得f （x ）＝f （﹣x ）＝2x 2+4x ．所以f(x)={2x 2−4x ，x ≥02x 2+4x ，x ＜0．函数f （x ）的图象，如图． （2）由图象可知，函数f （x ）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1]和[0，1]．要使f （x ）在[a ﹣3，1]上单调递减，则0≤a ﹣3＜1，解得3≤a ＜4，所以实数a 的取值范围是[3，4）．22．已知幂函数f(x)=x4m−m2（m∈Z）的图像关于y轴对称，且f（2）＜f（3）．（1）求m的值及函数f（x）的解析式；（2）若f（a+2）＜f（1﹣2a），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）幂函数f(x)=x4m−m2的图像关于y轴对称，且f（2）＜f（3）；所以f（x）在区间（0，+∞）为增函数，所以4m﹣m2＞0，即m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4；又因为m∈Z，f（x）是偶函数，所以4m﹣m2为偶数，所以m＝2；函数f（x）的解析式为：f（x）＝x4．（2）不等式f（a+2）＜f（1﹣2a），函数f（x）是偶函数，在区间（0，+∞）为增函数，所以|a+2|＜|1﹣2a|，化简得3a2﹣8a﹣3＞0，解得a＜−13或a＞3，所以实数a的取值范围是（﹣∞，−13）∪（3，+∞）．。

暑假初三衔接数学练习题暑假对于初三学生来说是一个重要的时间段，这是他们为即将到来的高中学习做好准备的时刻。

在这个阶段，数学作为一门基础学科，对于学生的数理思维能力和解决问题的能力起着至关重要的作用。

为了帮助初三学生顺利衔接数学课程和提高数学水平，下面我将提供一些暑假初三衔接数学练习题供同学们参考。

一、代数与方程1. 一个数字取三次，并去掉个位数的数字，余数是56。

求这个数字。

2. 解方程组：x + y = 5x - y = 1二、几何1. 在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，AC=4cm。

求BC的长度。

2. 已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是线段AB的中点，连接线段AC和DE，交于点F。

求三角形BDF的面积。

三、函数与图像1. 函数f(x) = x^2 - 4的图像在坐标系中是一个什么形状？并画出这个函数的图像。

2. 函数g(x) = 2^x - 1的图像经过点(0, 3)，这个函数的图像在坐标系中是上升还是下降？四、统计与概率1. 某班级30名同学参加数学测验，成绩如下：67, 74, 82, 95, 68,72, 76, 88, 69, 92,78, 81, 85, 73, 89,70, 77, 79, 84, 93,66, 71, 83, 91, 75,80, 87, 90, 86求这30名同学的平均分。

2. 一副扑克牌中，红桃和黑桃各有13张，方块和梅花各有13张。

从中随机抽取一张牌，求抽到方块牌或红桃牌的概率。

以上是暑假初三衔接数学练习题的部分内容，希望同学们在暑假期间能够认真学习、巩固知识、提高能力，为即将到来的学习打下坚实的基础。

祝大家暑假愉快，学习进步！。

黄冈中学初高中数学衔接教材{新课标人教A版}100页超权威超容量完整版典型试题举一反三理解记忆成功衔接{黄冈中学教材系列}第一部分如何做好初高中衔接1-3页第二部分现有初高中数学知识存在的“脱节”4页第三部分初中数学与高中数学衔接紧密的知识点5-9页第四部分分章节讲解10-66页第五部分衔接知识点的专题强化训练67-100页第一部分，如何做好高、初中数学的衔接●第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。

但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。

在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。

相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。

渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。

造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。

下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。

希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

一高中数学与初中数学特点的变化1数学语言在抽象程度上突变。

不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。

确实，初、高中的数学语言有着显着的区别。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。

而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2思维方法向理性层次跃迁。

高中数学思维方法与初中阶段大不相同。

初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。

即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。

因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。

高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*初升高暑假数学衔接教材第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲如何学好高中数学●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。

但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。

在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。

相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。

渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。

造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。

下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。

希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学习。

一高中数学与初中数学特点的变化1 数学语言在抽象程度上突变。

不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。

确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。

初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。

而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。

2 思维方法向理性层次跃迁。

高中数学思维方法与初中阶段大不相同。

初中阶段，很多老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。

即使是思维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。

因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。

高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。

当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的。

这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。

高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。

课堂笔记第一章 乘法公式与因式分解§1.1 乘法公式我们知道(a +b )2=a 2+2ab +b 2，将公式左边的指数变为3时，又有什么结论呢？由于(a +b )3=(a +b )2(a +b )=a 2+2ab +b 2 (a +b )=a 3+a 2b +2a 2b +2ab 2+ab 2+b 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，因此得到和的立方公式(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3．将公式中的b 全部改为-b ，又得到差的立方公式(a -b )3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3．上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为(a ±b )3=a 3±3a 2b +3ab 2±b 3．【例1】化简：(x +1)3-x x 2+3x +3 ．【解答】(x +1)3-x x 2+3x +3 =x 3+3x 2+3x +1-x 3-3x 2-3x =1．由完全立方公式可得(a +b )3-3a 2b -3ab 2=a 3+b 3，即(a +b )(a +b )2-3ab =a 3+b 3，由此可得立方和公式(a +b )a 2-ab +b 2 =a 3+b 3．将立方和公式中的b 全部改为-b ，得到立方差公式(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3．【例2】对任意实数a ，试比较(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 与1的大小．【解析】观察(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 的结构特点，可运用立方和(差)公式将其化简．【解答】(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2=(1+a )1-a +a 2 (1-a )1+a +a 2=1+a 3 1-a 3 =1-a 6因为1-a 6-1=-a 6，对任意实数a ，-a 6≤0，所以课堂笔记(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2≤1．通过将完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式．有兴趣的同学可以将指数推广到4，5，⋯．另外，我们也可以从项数的角度推广(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．灵活应用等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，可以为代数式运算带来方便．【例3】已知a+b+c=0，ab+bc+ca=-12，求下列各式的值：(1)a2+b2+c2(2)a4+b4+c4【解析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将a2+b2+c2用a+b+ c和ab+bc+ca表示．由于a4+b4+c4=a22+b2 2+c2 2，由(1)得到启发，如果知道a2b2+b2c2+c2a2的值，就能得解．【解答】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．由上式和已知得0=a2+b2+c2-1，即a2+b2+c2=1．(2)由ab+bc+ca=-12，得a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=14．因为a+b+c=0，所以a2b2+b2c2+c2a2=14．再由(1)的结论，得a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1．因此a4+b4+c4=12．【例4】已知x2+x-1=0，求证：(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法1】(x+1)3-(x-1)3=x3+3x2+3x+1-x3-3x2+3x-1=x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1=6x2+2．由已知得x2=1-x，故6x2+2=6(1-x)+2=8-6x．因此，(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法2】(x+1)3-(x-1)3=(x+1-x+1)(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2=2x2+2x+1+x2-1+x2-2x+1课堂笔记=6x 2+2．以下同证法1习题1.11.若a +b =8，ab =2，则a 3+b 3=()A.128B.464C.496D.5122.若x +y +z =0，则x 3+y 3+z 3=()A.0B.x 2y +y 2z +z 2xC.x 2+y 2+z 2D.3xyz3.设A =n +1n 3，B =n 3+1n 3+6，对于任意n >0，则A ，B 大小关系为()A.A ≥BB.A >BC.A ≤BD.不一定4.(5-x )25+5x +x 2 =．5.观察下列各式的规律：(a -b )(a +b )=a 2-b 2，(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3，(a -b )a 3+a 2b +ab 2+b 3 =a 4-b 4．可得到(a -b )a n +a n -1b +⋯+ab n -1+b n =．(其中n 为正整数)．6.求函数y =(x -2)3-x 3的最大值．7.当x =33时，求代数式2x +1x 4x 2-2+1x 2 -1x 3的值．8.已知a ，b ，c 为非零实数，a 2+b 2+c 2 x 2+y 2+z 2 =(ax +by +cz )2，求证：x a =yb =zc ．课堂笔记§1.2 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形．我们已学过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法．下面我们继续学习一些分解因式的方法．1.十字相乘法我们知道，形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式，它的特点是二次项系数是1，常数pq与一次项系数p+q可以通过如图1．2-1的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．这种方法能否推广呢？如果要对2x2-7x+3分解因式，我们把二次项系数2分解为1×2，把常数项3分解成1×3或(-1)×(-3)，按图1．2-2至图1．2-5的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算．12311×3+2×1=512131×1+2×3=712-3-11×- 3 +2×-1=-512-1-31×-1+2×-3=-7图1.2-2图1.2-3图1.2-4图1.2-5可以发现图1．2-5对应的结果1×(-1)+2×(-3)=-7，恰好等于一次项系数-7．由于(x-3)(2x-1)=2x2-7x+3，从而2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【例1】将下列各式分解因式：(1)2x2+x-3；(2)-6a2+7a+5【解析】(1)因为2=1×2，-3=(-1)×3=1×(-3)，且一次项系数是1，所以可按图1．2-6用十字相乘法分解因式．(2)当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多．因此先把负号提到括号外面，即-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，然后再把6a2-7a-5按图1．2-7用十字相乘法分解因式．【解答】(1)因为1×3+2×(-1)=1，恰好等于一次项系数1，所以2x2+x-3=(x-1)(2x+3)．(2)因为-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，而根据十字相乘法，6a2-7a-5= (2a+1)(3a-5)，所以-6a2+7a+5=-(2a+1)(3a-5)．11pq1×p+1×q=p+q图1.2-1123-1123-1图1.2-6图1.2-7课堂笔记【例2】分解因式：x 2-x 2-x 2-x -2．【解析】先将x 2-x 视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决．【解答】x 2-x 2-x 2-x -2=x 2-x -2 x 2-x +1 =(x -2)(x +1)x 2-x +1 ．2.分组分解法观察多项式xm +xn +ym +yn ，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式．观察多项式的各项，前两项有公因式x ，后两项有公因式y ，分别提取后得到x (m +n )+y (m +n )．这时又有了公因式(m +n )，因此能把多项式xm +xn +ym +yn 分解因式．分解过程是xm +xn +ym +yn =x (m +n )+y (m +n )=(m +n )(x +y )．一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式．【例3】将下列各式分解因式：(1)x 3-x 2+x -1；(2)x 2+4(xy -1)+4y 2．【解答】(1)【解法1】x 3-x 2+x -1=x 3-x 2 +(x -1)=x 2(x -1)+(x -1)=(x -1)x 2+1 ．【解法2】x 3-x 2+x -1=x 3+x -x 2+1 =x x 2+1 -x 2+1 =x 2+1 (x -1)．(2)x 2+4(xy -1)+4y 2=x 2+4xy -4+4y 2=x 2+4xy +4y 2 -4=(x +2y )2-4=(x +2y +2)(x +2y -2)．【注】本题第(2)小题的解法是先将多项式分组，再用公式法分解因式．先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法．用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性．【例4】分解因式：x 3+3x -4．【解析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解．【解答】x 3+3x -4=x 3+3x -1-3=x 3-1 +(3x -3)=(x -1)x 2+x +1 +3(x -1)=(x -1)x 2+x +4 ．课堂笔记【例5】已知x3-2x2y-xy2+2y3=0，x>y>0，化简：xz-2yz+1．【解答】因为x3-2x2y-xy2+2y3=x2(x-2y)-y2(x-2y)=(x-2y)x2-y2=(x-2y)(x+y)(x-y)，所以(x-2y)(x+y)(x-y)=0．又因为x>y>0，所以x+y≠0，x-y≠0，即只有x-2y=0．从而xz-2yz+1=z(x-2y)+1=1．习题1.21.对多项式4x2+2x-y-y2用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()A.4x2+2x-y+y2B.4x2+2x-y2-yC.4x2-yD.4x2-y+(2x-y2)+2x-y2.要使二次三项式x2-6x+m在整数范围内可分解，m为正整数，那么m的取值可以有()A.2个B.3个C.5个D.6个3.把多项式2ab+1-a2-b2分解因式，结果是()A.(a+b-1)(b-a+1)B.(a-b+1)(b-a+1)C.(a+b-1)(a-b+1)D.(a-b+1)(a-b-1)4.m4+m2+1=m4+-m2+1=m2+．m2+5.将下列各式分解因式：(1)4x2-x-3；(2)3x2+2ax-a2．6.将下列各式分解因式：(1)x3-y3-x2y+xy2；(2)2a2-b2+ab-2a+b．7.已知m=x-y，n=xy，试用m，n表示x3+y32．8.当x=-1时，x3+2x2-5x-6=0．请根据这一事实，将x3+2x2-5x-6分解因式课堂笔记第一章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.多项式-3y 2-2yx +x 2分解因式的结果是()A.-(y +x )(3y +x )B.(x +y )(x -3y )C.-(y -x )(3y -x )D.(x +y )(3x -y )2.若a 3-b 3=3a 2b -3ab 2+1，其中a ，b 为实数，则a -b =()A.0B.-1C.1D.±13.若多项式2x 2+7x +m 分解因式的结果中有因式x +3，则此多项式分解因式的结果中另一因式为()A.2x -1B.2x +1C.x +1D.x -14.若a +1a =3，则a 2+a 3+a 4+1a 2+1a 3+1a 4=()A.7B.25C.47D.725.多项式4-x 2-2xy -y 2分解因式的结果是()A.(2+x +y )(2-x -y )B.(2+x +y )(2-x +y )C.(1+x -y )(4-x -y )D.(1-x +y )(4+x +y )6.若x -y -z =3，yz -xy -xz =3，则x 2+y 2+z 2=()A.0B.3C.9D.-1二、填空题(本题有3小题，每小题8分，共24分)7.若8x 3+12x 2y 2+6xy 4+y 6可分解为2x +y m 3，则m =．8.若关于x 的二次三项式ax 2+3x -9的两个因式的和为3x ，则a =．9.x 2+x +1x 2+1x -4=1x +x + 1x +x - ．三、解答题(本题有3小题，第10，11题各15分，第12题16分，共46分)10.分解因式：(1)x 3-5x 2+6x ；(2)4m 3+m -1．11.已知x 2-x -1=0，求x 5-x 4-3x 3+3x 2+x 的值．12.已知a 2-9x 2+6xy -y 2(a +3x )2-(ay +3xy )=1，求证：y =6x ．课堂笔记第二章分式与根式§2.1分式及其运算1.分式的运算分式运算与因式分解关系密切，掌握了各种乘法公式和因式分解方法，可以使我们的分式运算能力得到提高．【例1】计算：a2+7a+10a2-a+1×a3+1a2+4a+4÷a+1a+2．【解析】分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式．【解答】原式=a+2a+5a2-a+1×a+1a2-a+1a+22×a+2a+1=a+5【例2】先化简，再求值：m2+n2m2+2mn+n2-2mn÷m+nmn2×m3+3m2n+3mn2+n3m3+m2n-mn2-n3，其中m=57，n=3．【解析】分式混合运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步．本题代数式最后乘上的分式其分子是完全立方，分母可以进行分组分解．【解答】原式=m2+n2(m+n)2-2mn×m2n2(m+n)2×(m+n)3(m+n)2(m-n)=m2+n2(m+n)2-2mn(m+n)2×(m+n)(m-n)=m2-2mn+n2(m+n)2×(m+n)(m-n)=m-nm+n．当m=57，n=3时，原式=m-nm+n=57-357+3=910．【例3】已知xx2-3x+1=1，求x2x4-9x2+1的值．【解析】观察题目特点，对条件与结论采用取倒数处理，建立条件与结论间的联系，从而达到解题的目的．【解答】因为xx2-3x+1=1，所以x2-3x+1x=1，得x+1x=4．于是x4-9x2+1x2=x2+1x2-9=x+1x2-11=16-11=5．因此x2x4-9x2+1=15．【注】本题解答中灵活应用了x2+1x2=x+1x2-2．课堂笔记2.分式的证明【例4】已知b +1c =1，c +1a =1，求证：a +1b =1，【解析】由已知两式消去c ，即可得到含a ，b 的关系式．【解答】由b +1c =1，得1c =1-b ；由c +1a =1，得c =1-1a ．所以(1-b )1-1a =1，得1-1a -b +b a =1，即-1a -b +b a =0．两边都乘以a ，得-1-ab +b =0，两边再都除以b ，得-1b -a +1=0，移项得a +1b =1．【例5】已知abc =1，求证：a ab +a +1+b bc +b +1+c ac +c +1=1．【解析】此题直接通分太繁，不可取．观察求证式子的左边，发现作轮换a →b→c →a ，可将其中一项变为另两项，结合已知条件，可以有以下两种策略．【解答】【解法1】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +1+ab a (bc +b +1)+abc ab (ac +c +1)=a ab +a +1+ab abc +ab +a +abc abac +abc +ab=a ab +a +1+ab 1+ab +a +1a +1+ab=a +ab +1ab +a +1=1．【解法2】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +abc +b bc +b +1+bc b (ac +c +1)=1b +1+bc +b bc +b +1+bc bac +bc +b=1b +1+bc +b bc +b +1+bc 1+bc +b=1+b +bc bc +b +1=1．3.繁分式我们知道，像2m ，ab 1+b ，⋯这样分母中含有字母的代数式叫做分式．而像1x +1x ，a 1+b b 1+a，⋯这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式．繁分式可以通过适当的代数变换转化成普通的分式．例如，1x +1x =课堂笔记xx x+1x=xx2+1【例6】化简：1+1-xx1-1-xyxy．【解析】对于繁分式化简，可以利用分式基本性质，在分式的分子、分母上都乘以它们各分母的最简公分母，从而达到使分子、分母转化为整式的目的；也可以利用分式的概念，将繁分式转化为分式的除法．【解答】【解法1】原式=1+1-xxxy1-1-xyxyxy=xy+y-xyxy-1+xy=y2xy-1．【解法2】原式=1+1-xx÷1-1-xyxy=x+1-xx÷xy-1+xyxy= y2xy-1．【例7】化简：x+1x2-x+1x-11-x-1x2÷x2+1x2-x-1x+3x2+1x2-2x-2x+3．【解析】观察发现，上式中出现最多的是x+1x，而x2+1x2=x+1x2-2，因此设x+1x=a，原式的形就变简单了，从而有利于化简．换元法在繁分式化简中是一种常用的方法．【解答】设x+1x=a，则x2+1x2=x+1x2-2=a2-2．原式=a2-a-11-a2÷a2-a+1a2-2a+1=a2-a2-a+1a-12×(a-1)2a2-a+1 =a2-a2-a+1=a-1=x+1x-1．课堂笔记习题2.11.下列运算中，错误的是()A.a b =acbc (c ≠0) B.-a -ba +b =-1C.0.5a +b 0.2a -0.3b =5a +10b 2a -3b D.x -y x +y =y -x y +x 2.若x +1x =4，则x 2x 4+x 2+1=()A.10 B.15C.115D.1163.若a +1b=1，b +2c =1，则c +2a =()A.1B.2C.3D.44.化简：11-11-1x ．5.化简：a 3-a 2-a +1a 3-3a 2+3a -1．6.计算：1-a -11-a 2÷a 3+1a 2-2a +1×11-a．7.已知1a +1b+1c =0，求证：a 2+b 2+c 2=(a +b +c )2．8.已知xyz =1，x +y +z =2，x 2+y 2+z 2=16，求1xy +2z +1yz +2x+1zx +2y的值．课堂笔记§2.2根式及其迲算1.根式的运算一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式．最简根式满足以下3个条件：(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；(3)被开方数不含分母．把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如，620=625=6×525×5=355．在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号．【例1】化简：(1)12-3；(2)x-yx+y(x≠y)；(3)x-y3x-3y-x+y3x+3y．【解析】分母有理化通常是把分子和分母都乘以同一个不等于零的适当代数式(有理化因式)，使分母不含根号．其中第(2)题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分，同样第(3)题也可以将分子用立方和(差)公式分解因式后进行约分．【解答】(1)【解】12-3=2+3(2-3)(2+3)=2+32-3=-(2+3)=-2-3．(2)【解法1】x-yx+y=(x-y)(x-y)(x+y)(x-y)=(x-y)(x-y)x-y=x-y．【解法2】x-yx+y=(x+y)(x-y)x+y=x-y．(3)【解】x-y3x-3y-x+y3x+3y=(3x)3-(3y)33x-3y-(3x)3+(3y)33x+3y=(3x)2+3x3y+(3y)2-(3x)2+3x3y-(3y)2 =23xy【例2】计算：1+23+5(1+3)(3+5)+5+27+3(5+7)(7+3)．【解析】观察分式的分子和分母，发现(1+3)+(3+5)=1+23+5，(5+7)+(7+3)=5+27+3．因此可先将他们拆成两项之和，然后分别进行分母有理化．【解答】原式=11+3+13+5+15+7+17+3=1-3(1+3)(1-3)+3-5(3+5)(3-5)+5-7(5+7)(5-7)课堂笔记+7-3(7+3)(7-3)=-12(1-3+3-5+5-7+7-3)=-12(1-3)=1【例3】计算：1-x -11+x -1+22-x ÷2+xx -1．【解析】二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排计算程序，使计算简便．【解答】原式=(1-x -1)2(1+x -1)(1-x -1)+22-x×x -12+x=1-2x -1+x -11-x +1+2x -12-x =x2-x．【例4】已知a =12+3，求1-2a +a 2a -1-a 2-2a +1a 2-a的值．【解析】先化简再求值，同时注意(a -1)2=|a -1|．【解答】因为a =12+3=2-3<1，所以原式=(a -1)2a -1-(a -1)2a (a -1)=(a -1)-|a -1|a (a -1)=a -1--(a -1)a (a -1)=a -1+1a=2-3-1+2+3=3.2.根式的证明【例5】已知(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，且a 2-c 2=b 2，其中a >b >0，求证：x 2a 2+y 2b2=1．【解析】当已知等式中含有二次根式时，可以考虑把等式两边平方．【解答】【证明】因为(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，所以(x +c )2+y 2=2a -(x -c )2+y 2两边平方，整理得a 2-cx =a (x -c )2+y 2．两边再平方，整理得a 2-c 2 x 2+a 2y 2=a 2a 2-c 2 ．把a 2-c 2=b 2代入得b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，两边同除以a 2b 2，得x 2a 2+y 2b2=1．【例6】已知a ，b 都是非负数，并且1-a 2×1-b 2=ab ，求证：a 1-b 2+b 1-a 2=1．【解析】当已知式或求证式中含有二次根式时，可以考虑把两边平方化为整式再证明．但A 2=B 2，未必有A =B ，因此在证明过程中必须确定A ，B 是课堂笔记否同号．【解答】【证明】将1-a2×1-b2=ab两边平方，得1-a21-b2=a2b2，即1-a2-b2+a2b2=a2b2，得a2+b2=1．a1-b2+b1-a22=a21-b2+b21-a2+2ab1-b2×1-a2=a2+b2-2a2b2+2a2b2=1.因为a，b都是非负数，所以a1-b2+b1-a2≥0．因此a1-b2+b1-a2=1．3.n次根式实际上，数的平方根的概念可以推广．一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n 次方根．例如，由于24=16和(-2)4=16，我们把2或-2叫做16的4次方根．当n 是偶数时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号-n a表示，也可以把两个方根合起来写作±n a．例如，416=2，-416=-2，合起来写作±416=±2．类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根．本节所讨论的n次方根运算都限在实数范围内．【例7】(1)求-32243的5次方根；(2)求(-8)2的6次方根．【解析】根据n次方根的定义，可以逆用乘方运算求得开方运算的结果．需要注意正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个．求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数作质因数分解．【解答】(1)5-32243=5-2535=-23．(2)±6(-8)2=±626=±2．【例8】(1)当x<0时，求|x|+4x4+23x3的值．(2)若n为自然数，2n a2n=-a，a的取值范围是什么？【解析】根据n次根式的性质，可以对含字母的根式进行化简与讨论．【解答】(1)当x<0时，|x|+4x4+23x3=|x|+|x|+2x=-x-x+2x=0．(2)因为n为自然数，所以2n为偶数，于是2n a2n=|a|．又因为2n a2n=-a，所以a≤0．类似于二次根式的性质，我们也可以得到n次根式的性质：(1)(n a)n=a．课堂笔记(2)当n 为奇数时，na n =a ；当n 为偶数时，na n =|a |=a ,a ≥0；-a ,a <0.(3)mpa mp =na m (a ≥0)，n ab =n a ⋅n b (a ≥0,b ≥0)，na b=na n b(a ≥0,b >0)，n a m =(n a )m (a ≥0)．从指数式的角度看，a =a 12，3a =a 13，⋯，n a =a 1n ，所以a m =na m ，a -mn =1n am ．课堂笔记习题2.21.下列说法正确的是()A.正数有一个偶次方根B.负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根D.正数有两个奇次方根2.当a>0时，-ax3=()A.x axB.x-axC.-x-axD.-x ax3.把a-ba+b(a≠b)分母有理化的结果是()A.-1B.a+ba-b C.a+b-2aba-bD.a+b-2abb-a4.(-1)101的7次方根是，0的8次方根是，(-4)2的4次方根是，(-4)4的4次方根是，5.计算：-5-132=，6(-27)2=，(2×32)4=，18÷32=．6.已知a=13+22，b=13-22，求1b-1-1a-1的值．7.化简：(a-b)3+2a a+b ba a+b b-3b-3aba-b．8.化简：(1)a-2a-1(1<a<2)；(2)n(a-b)n+n(a+b)n a<b<0,n>1,n∈N∗．9.证明：a2+1b2+a2(ab+1)2=a+1b-aab+1．课堂笔记第二章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.若分式x +yx -y中的x ，y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值()A.不变B.是原来的3倍C.是原来的13D.是原来的162.计算a b-b a÷a +b a 的结果是()A.a -b aB.a +b bC.a -bbD.a +b a3.把a +ba -b(a ≠b )分母有理化的结果是()A.-1B.a +b a -bC.a +b +2aba -bD.a +b +2abb -a4.下列式子错误的是()A.(a )2=aB.3a 3=aC.(n a )n =a (n >1的整数)D.na n =a (n >1的整数)5.化简x -|x |x的结果是()A.-|x |B.-xC.x 2D.x6.若n 为自然数，2n +1a 2n +1=a ，则a 的取值范围是()A.a ≥0B.a <0C.a ≤0D.a 为全体实数二、填空题(本题有4小题，每小题6分，共24分)7.64的平方根是，立方根是，6次方根是．8.化简：1x -1+1x +1+2x x 2+1+4x 3x 4+1=．9.化简：11+11+1x=．10.当x <0时，5x 5+4x 4+3x 3=．三、解答题(本题有3小题，第11，12题各15分，第13题每题16分，共46分)11.若(x -10)2+4y -4=0，求y x 的10次方根．课堂笔记12.化简：x+1x-1-x-1x+11x2-1．13.当a=12-1时，求a2+6a2-1-a+1a-1+1÷a3+8a4+3a3+2a2的值．课堂笔记第三章方程与方程组§3.1三元一次方程组我们已经学习了二元一次方程组及其解法, 知道解二元一次方程组的基本思想是:二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解二元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法. 消元的目的是把二元一次方程组化归为一元一次方程.在现实生活中, 我们会遇到末知数不止两个的方程, 下面我们就来学习三元一次方程组.像x +y +z =12,x +2y +5z =22,x =4y ,4x +2y +z =0,x +2y -z =3,2x -y +2z =-4这类方程组中含有三个末知数, 含末知数的项的次数都是1 , 这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的基本思想与解二元一次方程组一致, 通过消元转化为我们会解的方程组:三元一次方程组⟶消元二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解三元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法.【例1】解方程组x +y +z =12,①x +2y +5z =22,②x =4y .③【分析】将方程③分别代入方程①②, 得到只含y ,z 的二元一次方程组.【解】将方程③分别代入方程①②, 得方程组5y +z =12④6y +5z =22⑤解得y =2,z =2.把y =2,z =2代人方程①, 得x +2+2=12, 所以x =8.方程组的解是x =8,y =2,z =2.【例2】解方程组课堂笔记4x+2y+z=0①x+2y-z=3②2x-y+2z=-4③【分析】解三元一次方程组的关键是逐步消元, 转化为二元一次方程组. 将方程①+②, 可以消去z, 将方程③+②×2, 也可以消去z, 从而得到二元一次方程组.【解】方程①+②, 得5x+4y=3.④方程③+②×2, 得4x+3y=2. ⑤方程④和方程⑤组成方程组5x+4y=34x+3y=2解得x=-1,y=2.把x=-1,y=2代人方程②, 得-1+2×2-z=3, 所以z=0.方程组的解是x=-1,y=2,z=0.【例3】解方程组x:y:z=1:2:7,2x-y+3z=21.本题含有三个末知数, 只有两个方程, 其中方程①含有比例. 如果设x=a, 则y=2a,z=7a, 就得到了关于x,y,z三个末知数之间的关系, 代入方程②即可求解.【解】由方程①, 设x=a,y=2a,z=7a.代人方程②, 得2a-2a+21a=21, 即a=1.于是x=1,y=2,z=7.方程组的解是x=1,y=2,z=7.【注】本题的解答实际上用了比例的性质(第五章). 虽然方程组形式上是两个方程, 但方程①实际上隐含了两个方程:2x=y,7y=2z.通过上面几道例题, 我们发现, 三元一次方程组的解法仍是用代人法或加减法消元, 化归为二元一次方程组, 再化归为一元一次方程. 实际上, 消元是解一次方程组的主要方法. 解一次方程组的消元“化归”基本思想, 可以推广到“四元”“五元”等多元方程组.习題3.1课堂笔记1.解方程组3x -y +2z =3,2x +y -4z =11,若要使运算简便,消元的方法应选取.7x +y -5z =1,()A.先消去x .B.先消去y .C.先消去z .D.以上说法都不对.2.已知方程组2x -y +z =5,5x +8y -z =9,则x +y 的值是()A.14.B.2.C.-14.D.-2.3.已知方程3x -y -7=0,2x +3y =1,y =kx -9有公共解, 则k 的值是()A.6.B.5.C.4.D.3.4.当x =0,1,-1时, 二次三项式ax 2+bx +c 的值分别为5,6,10, 则a =b = ,c =.5.已知方程组x -2y +z =0,2x +4y -z =0,则x :y :z =6.解下列三元一次方程组:①x -4y +z =-32x +y -z =18x -y -z =7②x :y :z =2:3:5x +y +z =1007.若|a -b -1|+(b -2a +c )2+|2c -b |=0, 求a ,b ,c 的值.8.己知4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,求2x 2+3y 2+6z 2x 2+5y 2+7z 2的值.§3.2一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)由配方法可化为x +b 2a 2=b 2-4ac 4a 2.因为a ≠0, 所以4a 2>0. 式子b 2-4ac 的值有以下三种情况:①b 2-4ac >0这时b 2-4ac 4a 2>0, 由①式得x +b 2a =±b 2-4ac 2a , 方程有两个不相等的实数根x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac 2a.②b 2-4ac =0课堂笔记这时b2-4ac4a2=0, 由①式得x+b2a2=0, 方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.③b2-4ac<0这时b2-4ac4a2<0, 由①式得x+b2a2<0, 而x取任何实数都不能使x+b2a2<0, 因此方程无实数根.这说明, 根据b2-4ac的值的符号, 我们可以判定一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的根的情况. 一般地, 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式, 通常用希腊字母Δ表示它, 即Δ=b2-4ac.归纳起来, 有①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根;②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;③Δ<0⇔方程没有实数根.【例1】【例1】不解方程, 判别下列方程的根的情况:②5x2=2(x-10);③8x2+(m+1)x+m-7=0.①x2+2x-1=0;【解】①因为Δ=22-4×(-1)=8>0, 所以方程有两个不相等的实数根.②将原方程整理, 可得5x2-2x+20=0.因为Δ=(-2)2-4×5×20=-396<0, 所以方程没有实数根.③Δ=(m+1)2-4×8×(m-7)=m2-30m+225=(m-15)2.因为无论m取何值, 都有Δ=(m-15)2≥0, 所以方程有两个实数根.【例2】【例2】已知关于x的方程(k-2)x2+k=(2k-1)x有两个不相等的实数根, 求k的范围.【分析】将方程化成一般形式, 二次项系数k-2≠0. 因为一元二次方程有两个不相等的实数根, 所以Δ>0.【解】方程(k-2)x2+k=(2k-1)x可化为(k-2)x2-(2k-1)x+k=0.因为方程有两个不相等的实数根, 所以课堂笔记k -2≠0,Δ=[-(2k -1)]2-4k (k -2)=4k +1>0.解得k >-14且k ≠2.所以k 的取值范围是k >-14且k ≠2.【例3】证明:关于x 的一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【分析】要证一元二次方程没有实数根, 只要证Δ<0即可.【证明】二次项系数m 2+1≠0.Δ=(-2m )2-4m 2+1 m 2+4 =-4m 4+4m 2+4 =-4m 2+2 2.因为无论m 取什么实数, 都有m 2+2>0, 所以-4m 2+2 2<0, 即Δ<0. 因此, 一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【例4】当m 为何值时, 关于x 的方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根.和m 2-4≠0两种情形讨论.【解】①当m 2-4=0, 即m =±2时, 2(m +1)≠0, 方程为一元一次方程, 总有实数根.②当m 2-4≠0, 即m ≠±2时, 要使方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根, 则Δ=[2(m +1)]2-4m 2-4 =8m +20≥0, 解得m ≥-52.因此, 当m ≥-52且m ≠±2时, 方程有实数根.综合①②, 当m ≥-52时, 方程有实数根.习题3.21.方程x 2+1=0,x 2+x =0,x 2+x -1=0,x 2-x =0中, 无实根的方程有()A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.2.关于x 的方程ax 2-2x +1=0中, 若a <0, 则根的情况是().A.有两个相等的实数根.B.有两个不相等的实数根.课堂笔记C.没有实数根.D.无法确定.3.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中, 若a与c异号, 则根的情况是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.没有实数根.D.无法确定4.若关于x的一元二次方程(m-2)2x2+2(m+1)x+1=0有两个不相等的实数根, 则m的取值范围是5.若二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积, 则k的取值范围是6.不解方程, 判别下列方程的根的情况:③5x2+1-7x=0.①2x2+3x-4=0;②16y2+9=24y7.证明：关于x的方程mx2-(m+2)x=-1必有实数根.8.已知关于x的方程k2-1x2+2(k+1)x+1=0有实数根, 求k的取值范围.§3.3书达定理及其应用方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=-b±b2-4ac2a, 不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值, 而且反映了根与系数之间的联系. 本节我们进一步讨论根与系数的关系.根据求根公式可知, 当b2-4ac≥0时, 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.由此可得x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba,x1x2=-b+b2-4ac2a⋅-b-b2-4ac2a=(-b)2-b2-4ac4a2=c a.因此, 方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-b a,x1x2=c a.这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理.课堂笔记反过来, 如果x 1,x 2满足x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca, 那么x 1,x 2一定是方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根, 这就是韦达定理的逆定理.特别地,①如果方程x 2+px +q =0的两个根是x 1,x 2, 那么x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q ;②以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-x 1+x 2 x +x 1x 2=0【例1】根据一元二次方程根与系数的关系, 求下列方程两根的和与积:①x 2-5x -8=0;②3x 2=1-6x ;③2x 2-43x -22=0. 化成一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a≠0), 直接应用韦达定理x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca 来求.【解】①x 1+x 2=-(-5)=5,x 1x 2=-8.②方程化为3x 2+6x -1=0, 则x 1+x 2=-2,x 1x 2=-13.③x 1+x 2=--432=26,x 1x 2=-222=-2.【例2】已知方程5x 2+2x -15=0, 求:①两根的倒数和;②两根的平方和.【分析】本题可以先求出方程的根, 但是计算较繁. 根据韦达定理, 将代数式变形成念有x 1+x 2和x 1x 2形式的式子, 可以筒化运算.【解】设方程的两根为x 1,x 2, 根据韦达定理, 有x 1+x 2=-25,x 1x 2=-3.①1x 1+1x 2=x 1+x 2x 2x 2=-25-3=215.②x 21+x 22=x 1+x 2 2-2x 1x 2=-252-2×(-3)=15425.【例3】当k 取何值时, 关于x 的方程3x 2-2(3k +1)x +3k 2-1=0, ①有一根为零;②有两个互为相反数的实根;(3)两根互为倒数.【解】要使方程有根, 必须Δ=[-2(3k +1)]2-4×33k 2-1 ≥0, 解得k ≥-23.①若方程有一根为零, 则x 1x 2=0. x 1x 2=3k 2-13=0, 解得k =±33.课堂笔记因为±33>-23, 所以当k=±33时, 方程有一个根为零.②若方程有两个互为相反数的实根, 则x1+x2=0. x1+x2=23(3k+1)=0, 解得k=-13, 因为-13>-23, 所以当k=-13时, 方程有两个互为相反数的实数根.③若方程两根互为倒数, 则x1x2=1. x1x2=3k2-13=1, 解得k=±233.因为233>-23, 而-233<-23, 所以当k=233时, 方程的两实根互为倒数.【例4】写出一个二元二次方程, 使它的两个根为-5和23.【分析】方程的根是由它的系数决定的, 给出根与系数的关系可以构造出一元二次方程, 但得到的一元二次方程不唯一, 不过它们各次项的系数对应成比例. 为了方便, 一般设所求的方程为x2+px+q=0.【解】设所求的方程为x2+px+q=0, 由根与系数的关系可知-5+23=-p, -5×23=q, 得p=133,q=-103.因此, 一元二次方程为x2+133x-103=0, 即3x2+13x-10=0.1.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根, 则x21+x22的值是().A.15.B.6.C.12.D.3 .2.以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是().A.y2+5y-6=0.B.y2+5y+6=0.C.y2-5y+6=0.D.y2-5y-6=0.3.若m,n是方程x2+2x-2002=0的两实数根, 代数式3m+mn+3n的值是().A. -2008.B. -1996.D. 1996 .C. 2008 .课堂笔记4.若关于x 的方程m 2-2 x 2-(m -2)x +1=0的两实根互为倒数, 则m 的值是5.以方程x 2-3x -1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是6.设x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根, 利用根与系数的关系求下列各式的值:①x 1+1 x 2+1 ;②x 1x 2+x 2x 1;③x 1-x 27.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0, 两根之比为3:5, 求证:64ac =15b 2.8.已知关于x 的一元二次方程2x 2+ax -2a +1=0, 两个实根的平方和为294, 求a 的值.§3.4可化为一元二次方程的分式方程我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程及其解法. 本节学习可化为一元二次方程的分式方程的解法.【例1】解方程4x -1x -1=1.【分析】解分式方程, 首先要找这个分式方程的最简公分母, 然后方程两边同乘以最简公分母, 约去分母, 使分式方程化为整式方程.【解】方程的两边同乘最简公分母x (x -1), 得4(x -1)-x =x (x -1).整理, 得x 2-4x +4=0.解得x 1=x 2=2.检验：当x =2时, x (x -1)=2(2-1)=2≠0.所以原方程的根是x =2.验根的一般方法是:把整式方程的根代人最简公分母, 看结果是不是零, 使最简公分母为零的根是增根, 必须舍去.为什么要检验呢?根据方程同解原理:方程两边都乘以不等于零的同一个数, 所得方程与原方程同解. 而我们在解分式方程时, 方程两边同乘以最简公分母, 它是一个整式, 当这个整式为零时, 就不符合方程的同解原理要求, 所得整式方程的根就不一定是原方程的根, 因此解分式方程必须验根.课堂笔记【例2】解方程1x+2-4x-5x2-x-6=1.【分析】将分式方程的分母进行因式分解, 从而确定出最简公分母是(x+2)(x -3).【解】方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-3), 得x-3-(4x-5)=x2-x-6整理, 得x2+2x-8=0.解得x1=-4,x2=2.检验:当x=-4或x=2时, (x+2)(x-3)≠0.所以原方程的根是x1=-4,x2=2.课堂笔记【例3】解方程8x 2+2x x 2-1+3x 2-1x 2+2x=11.【分析】按一般解法, 应先去分母, 整理后为一元四次方程, 结果较繁. 观察方程, 左边的两个分式x 2+2x x 2-1和x 2-1x 2+2x 互为倒数, 可以通过“换元”, 将方程化简.【解】设x 2+2x x 2-1=y , 则x 2-1x 2+2x=1y , 于是原方程变形为8y +3y =11.方程两边同乘y , 得8y 2-11y +3=0解得y 1=1,y 2=38.经检验, y 1=1,y 2=38都是方程8y +3y=11的根.当y =1时, x 2+2xx 2-1=1, 去分母, 整理, 得x 2+2x =x 2-1.解得x 1=-12.当y =38时, x 2+2x x 2-1=38, 去分母, 整理, 得5x 2+16x +3=0.解得x 2=-3,x 3=-15.检验:把x =-12,x =-3,x =-15分别代人原方程的分母, 各分母都不为零.所以, 原方程的根是x 1=-12,x 2=-3,x 3=-15.习题3.41解下列方程:(1)2x -12x -1=1;(2)2x 2-6xx -3=x +5.2. 解下列方程:(1)x -1x 2-2x -1x =x x -2;(2)24x 2-4x -3-14x 2-8x +3-2x -51-4x 2=0.课堂笔记3.解下列方程:(1)xx+12+5x x+1+6=0;(2)x2-3x+3xx2-3=132.§3.5简单的根式方程像2x2-7x=x-2,3x-5-x+2=1,x+1-2x+1=3这类根号内含有末知数, 且根指数为2的方程, 叫做二次根式方程.二次根式方程可以通过把方程的两边平方, 化为整式(或分式)方程来解. 不过变形有可能产生增根. 因此, 解二次根式方程时, 必须把变形所得整式(或分式)方程的根, 代人原方程进行检验.【例1】解方程2x2-7x=x-2.【分析】通过两边平方化为整式方程.【解】两边平方, 得2x2-7x=x2-4x+4整理, 得x2-3x-4=0.解得x1=4,x2=-1.检验:把x=4代人原方程, 左边=2×42-7×4=2, 右边=4-2=2, 所以x= 4是原方程的根;把x=-1代人原方程, 右边=-3, 而左边的算术平方根不可能是负数, x=-1是增根.原方程的根是x=4.【例2】解方程3x-5-x+2=1.【分析】方程左边有两个二次根式, 如果直接平方, 结果较繁. 一般把其中一个根式移到方程的右边, 使方程左右两边各含有一个根式.【解】移项，得3x-5=x+2+1.两边平方, 得3x-5=1+2x+2+x+2.化简, 得x-4=x+2.两边再平方并整理, 得x2-9x+14=0.解得x1=2,x2=7.课堂笔记经检验, x =2是增根;x =7是原方程的根.【例3】解方程x 2+8x +x 2+8x =12.【分析】x 2+8x 是x 2+8x 的算术平方根, 如果直接平方, 结果很繁. 若设x 2+8x =y , 则原方程就转化为关于y 的一元二次方程.【解】设x 2+8x =y , 那么x 2+8x =y 2, 原方程就变形为y 2+y -12=0.解得y 1=-4,y 2=3.当y =-4时, x 2+8x =-4无解.当y =3时, x 2+8x =3, 解得x 1=-9,x 2=1.经检验, 原方程的根为x 1=-9,x 2=1.习题3.51.解下列方程:(1)2x -2x +1=5；(2)x +x -3=3.2.解下列方程:(1)2x -5-x -3=1；(2)5x +4-x +3=1.1解下列方程:(1)x -1x +2-52=-x +2x -1；(2)x 2+x -x 2+x -2-4=0.§3.6简单的二元二次方程组像x 2+y 2=1,x 2-2y 2+x +3y -10这类含有两个末知数, 并且含有末知数的项的最高次数是2的整式方程, 叫做二元二次方程. 由含有相同的两个末知数的两个二元二次方程, 或一个二元二次方程和一个二元一次方程, 组成的方程组叫做二元二次方程组.解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解. 解二元二次方程组的基本思想是消元和降次, 消元就是把二元化为一元, 降次就是把二次降为一次, 其目的是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解.本节内容主要解决简单的二元二次方程组问题.【例1】解方程组课堂笔记x2+y2=1------1x+y-1=0----(2【解】由方程(2), 得y=1-x(3)把方程(3)代人方程(1), 得x2+(1-x)2=1.整理, 得x2-x=0.解得x1=0,x2=1把x=0代人方程(3), 得y=1;把x=1代人方程(3), 得y=0.原方程组的解是x1=0,y1=1;x2=1,y2=0.【注】解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组, 其解法是先由二元一次方程出发, 用含一个末知数的式子表示另一个末知数, 再把这个式子代人二元二次方程, 达到消元的目的, 转化为一元二次方程求解.【例2】解方程组x2+2xy+y2=1,x2+4y2=8【分析】方程(1)变形为(x+y)2=1, 把它化为两个二元一次方程x+y+1=0和x+y-1=0, 分别与方程(2)组成方程组x+y+1=0,x2+4y2=8,x+y-1=0,x2+4y2=8;x2+4y2=8两个方程组即可.【解】由方程(1)得x+y+1=0,x+y-1=0.原方程组变形为x+y+1=0,x2+4y2=8;x+y-1=0,x2+4y2=8.分别解这两个方程组, 得原方程的解为x1=-2,y1=1;x2=25,y2=-75;x3=2,y3=-1;x4=-25,y4=75.【注】由两个二元二次方程组成的方程组, 如果能把其中一个二元二次方程分解为两个二元一次方程, 就可以转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成方程组的形式.。