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2024-2025学年华东师大二附中高二数学上学期开学考试卷（考试时间：120分钟卷面满分：150分）2024.08一、填空题（本大题共有12题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，满分54分），考生需在答题纸的相应位置填写结果．1．直线l 上存在两点在平面α上，则l α（填一符号）．2．函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的频率是．3．已知{}n a 是等差数列，若75230a a --=，则9a 的值是．4．两条异面直线所成角的取值范围是5．已知复数i z a =-的实部与虚部相等，则i z -=．6．函数πtan 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是．7．三个互不重合的平面能把空间分成．8．数列{}n a 满足111n n a a +=-，112a =，则2024a =．9．在ABC V 中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是．10．如图，摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为60m .已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min 转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱5min 时他距离地面的高度为m .11．已知ABC V 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点，设,(0,0)==>>AM xAB AN y AC x y ，则4x y +的最小值为.12．对任意0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()sin()f x x ωϕ=+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数ω的取值范围是.二、选择题（本大理共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分，每题有且仅有一个正确选项），考生需在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑．13．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，而积为S ，周长为L ，则下列说法不正确的是（）A ．若α，r 确定，则,L S 唯一确定B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定C ．若,S L 确定，则,r α唯一确定D ．若,S l 确定，则,r α唯一确定14．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条15．数列{}n a ，{}n b 满足1n n a b ⋅=，232n a n n =++，则{}n b 的前10项之和等于（）A ．13B ．512C ．12D ．71216．如图所示，角π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点P ，()1,0A ，PM x ⊥轴，AQ x ⊥轴，M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上．由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值分别等于线段,MP AQ 的长，且OAP OAQ OAP S S S << 扇形，则下列结论不正确的是（）A ．函数tan sin y x x x =++在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点B ．函数tan y x x =-在πππ3π,,2222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C ．函数sin y x x =-有3个零点D ．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有1个零点三、解答题（本大题共5题，满分78分），考生需在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．(1)求πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，求()cos αβ+18．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14AA =，P 为线段11B D 上一点．（1）求证：AC BP ⊥；（2）当P 为线段11B D 的中点时，求点A 到平面PBC 的距离．19．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠= ，224AB AD DC ===，点F 是BC 边上的中点.(1)若点E 满足2DE EC =，且EF AB AD λμ=+ ，求λμ+的值；(2)若点P 是线段AF 上的动点（含端点），求AP DP ⋅的取值范围.20．如图，正方体的棱长为1，B C BC O ''= ，求：(1)AO 与A C ''所成角的度数；(2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值：(3)B OA C --的度数．21．若有穷数列{}n a 满足：10ni i a ==∑且11ni i a ==∑，则称其为“n 阶01-数列”.(1)若“6阶01-数列”为等比数列，写出该数列的各项；(2)若某“21k +阶01-数列”为等差数列，求该数列的通项n a （121n k ≤≤+，用,n k 表示）；(3)记“n 阶01-数列”{}n a 的前k 项和为()1,2,3,,k S k n = ，若存在{}1,2,3,,m n ∈ ，使12m S =，试问：数列{}()1,2,3,,i S i n = 能否为“n 阶01-数列”？若能，求出所有这样的数列{}n a ；若不能，请说明理由.【分析】由直线与平一面的位置关系可得结论.【详解】直线l 上存在两点在平面α上，则l ⊂α.故答案为：⊂.2．1π##1π-【分析】利用正弦型函数频率的定义可得结果.【详解】由题意可知，函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的频率212ππf ==.故答案为：1π.3．3【分析】利用等差数列的性质可求9a 的值.【详解】因为597+2a a a =，故5590+3a a a --=，所以9 3.a =故答案为：3.4．(0,2π【分析】由异面直线所成角的定义求解．【详解】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角，故两条异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦故答案为：0,2π⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，同时还考查了转化思想，属于基础题．5【分析】根据题意，得到1i z =--，结合复数模的运算法则，即可求解.【详解】由复数i z a =-的实部与虚部相等，可得1a =-，即1i z =--，则i 12i z -=--，所以i z -==6．ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z【分析】根据正切函数tan y x =的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，整体代换即可得所求函数的对称中心.【详解】因为正切函数tan y x =的对称中心为π,0,2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ，所以令ππ2,32k x k -=∈Z ，则ππ,46k x k =+∈Z ，所以函数πtan 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .故答案为：ππ,1,46k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .7．4或6或7或8【分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；四种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】若三个平面两两平行，则将空间分成4个部分，如图1，若二个平面平行，都和第三个平面相交，或三个平面交于同一条直线时，则将空间分成6个部分，如图2，若三个平面两两相交且交线互相平行，则将空间分成7个部分，如图3，若三个平面两两相交且交点共点，则将空间分成8个部分，如图4，故答案为：4或6或7或8．8．2【分析】由题意求出234,,a a a ，则数列{}n a 是周期为3的数列，即可求解.【详解】由题意知，23412311112,1,1112a a a a a a ====-==---，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以20246743222a a a ⨯+===.故答案为：29．499【分析】利用正弦定理和余弦定理求出外接圆的半径，再利用等面积法求三角形内切圆的半径，即可求解.【详解】设ABC V 外接圆的半径为R ，内切圆的半径为r ，内切圆的圆心为O ，因为sin :sin :sin 5:7:8A B C =，所以由正弦定理可得，::5:7:8a b c =，不妨设5,7,8a b c ===，有余弦定理可得，2228811cos 211214b c a A bc +-===，因为()0,πA ∈，所以sin A =由正弦定理2sin aR A =得，3R =,又因为ABC ABO ACO BCO S S S S =++ ,1sin 2△==ABC S bc A所以()11112222a rb rc r a b c r ⋅+⋅+⋅=++=所以r =所以该三角形外接圆与内切圆的面积之比为222π49π9R R r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为:499.10．85【分析】设在min t 时，距离地面的高度为()6050sin h t ωϕ=++，其中ππϕ-<<，根据题中条件求出ω、ϕ的值，可得出h 关于t 的函数关系式，然后将5t =代入函数解析式，即可得解.【详解】因为摩天轮的半径为50m ，圆心O 距地面的高度为60m ，设在min t 时，距离地面的高度为()()sin 0h A t b A ωϕ=++>，其中ππϕ-<<，则11060A b b +=⎧⎨=⎩，可得5060A b =⎧⎨=⎩，则()6050sin h t ωϕ=++，由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每15min 转动一圈，可得2π15ω=，所以2π15ω=，即2π6050sin 15h t ϕ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，当0t =时，可得6050sin 10ϕ+=，即sin 1ϕ=-，因为ππϕ-<<，解得2πϕ=-，所以2ππ2π6050sin 6050cos 15215h t t ⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令5t =，可得2π6050cos 560258515h ⎛⎫=-⨯=+= ⎪⎝⎭.所以，游客进舱5min 时他距离地面的高度为85m .故答案为：85.11．94##2.25【分析】由已知和平面向量基本定理可得1114⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AE AM AN x y ，又,,M E N 三点共线得111(0,0)44x y x y+=>>，利用基本不等式求解最值．【详解】因为()12AD AB AC =+且E 为AD 的中点，所以()1124==+ AE AD AB AC ，又因为(),0,0==>>AM xAB AN y AC x y ，所以11,AB AM AC AN x y== ，所以1114⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ AE AM AN x y ，又,,M E N 三点共线，所以111(0,0)44x y x y +=>>，于是()114444⎛⎫+=++⎪⎝⎭x y x y xy 1191144444y x x y =+++≥++=，当且仅当44=y x x y 即12x y ==等号成立.故答案为：94.12．130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭【解析】根据题意可得22T π≥，从而可得2ω≤，讨论0ω>，0ω=或0ω<，再求出()sin()f x x ωϕ=+的单调递增区间，只需,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集即可求解.【详解】()()sin f x x ωϕ=+，0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质，()f x 的每个增区间的长度为2T ，其中函数()f x 的最小正周期为2T ωπ=.函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调地藏，可得22T π≥，即2ω≤.①当0ω>时，此时02ω<≤，x ωϕ+单调递增，当22,22x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-+∈⎢⎥⎣⎦，()f x 单调递增，解得112,2,22x k k k Z πππϕπϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，只需11,2,2,222k k k Z πππππϕπϕωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊆--+-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而可得1222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥-- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2141,2,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，则21410214k k πωππ--⨯≤≤+-⨯，即141,2,4k k k Z ω⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，由124141204k k k ⎧+>-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1588k -<<，k Z ∈ ，0k ∴=.所以，10,4ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；②当0ω=时，函数()sin f x ϕ=为常函数，不合乎题意；③当0ω<时，20ω-≤<，x ωϕ+单调递减，由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈，解得13122,22k x k k Z πππϕπϕωω⎛⎫⎛⎫+-≤≤+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，可得13222,122k k Z k πππϕωπππϕω⎧⎛⎫≥+- ⎪⎪⎪⎝⎭∈⎨⎛⎫⎪≤+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得122,43,2k k k Z ϕϕωππ⎡⎤∈+-+-∈⎢⎥⎣⎦对0,4πϕ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦成立，于是12210434k k πωππ+-⨯≤≤+-⋅，即521,4,2k k k Z ω⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，由5142225402k k k ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得518k -≤<-，由Z k ∈，1k =-，此时，32ω=-.综上所述，实数ω的取值范围是130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.故答案为：130,42⎛⎤⎧⎫⋃-⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，解题的关键是求出函数的单调递增区间，使,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增区间的子集，考查了分类讨论的思想.13．C【分析】利用211,,222l r S r rl L r l αα====+，再结合各个选项，逐一分析判断，即可求出结果.【详解】因为211,,222l r S r rl L r l αα====+，对于选项A ，若α，r 确定，则,L S 唯一确定，所以选项A 正确，对于选项B ，若α，l 确定，由l r α=知，r 确定，则L ，S 唯一确定，所以选项B 正确，对于选项C ，若,S L 确定，由1,22S rl L r l ==+，消l 得到2102r Lr S -+=，又2144L S ∆=-，当0∆>时，r 有两个值，当0∆=时，r 有1个值，当0∆<时，r 无解，所以选项C 错误，对于选项D ，若,S l 确定，由12S rl =知，r 确定，又l r α=，所以α确定，故选项D 正确，故选：C.14．D【详解】如图：由于平面11AA D D ，平面ABCD ，平面11ABB A 上不存在满足条件的直线l ，只需考虑正方体内部和正方体外部满足条件的直线l 的条数.第一类：在正方体内部,由三余弦定理知l 在平面ABCD 内的射影为BAD ∠的角平分线,在平面11AA D D 内的射影为1A AD ∠的角平分线，则l 在正方体内部的情况为体对角线1AC ；第二类：在图形外部与每条棱的外角度数和另2条棱夹角度数相等，有3条.所以共有4条满足条件的直线,故选D.15．B【分析】利用裂项相消法求和.【详解】∵1n n a b ⋅=,∴()()21111321212n b n n n n n n ===-++++++，∴101111111111523341011111221212S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选:B ．16．C【分析】利用当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，可得各个函数在π(0,)2上零点的个数，再根据奇函数的对称性得到函数在π(,0)2-上零点的个数，且各个函数都有零点0x =，由此可判断A CD ；再结合函数tan y x =和y x =的图象，可判断B.【详解】由已知条件，当π(0,)2x ∈时，211111sin ,,tan 22222OAP OAQ OAP S OA MP x S OA x S OA AQ x =⋅⋅==⋅⋅=⋅⋅= 扇形，所以当π(0,)2x ∈时，sin tan <<x x x ，对于A ，当π(0,)2x ∈时，0sin tan x x x <<<，tan sin 0y x x x =++>，又tan sin y x x x =++为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan sin 0y x x x =++<，当0x =时，tan sin 0y x x x =++=，所以函数tan sin y x x x =++在ππ(,22x ∈-内有且仅有1个零点0x =，故A 正确；对于B ，当π(0,)2x ∈时，因为tan x x <，即tan 0y x x =->，由tan y x x =-为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan 0y x x =-<，当0x =时，tan 0y x x =-=，所以函数tan y x x =-在ππ(,)22x ∈-内有且仅有1个零点0x =，作出函数tan ,y x y x ==的图象，如图所示，由图可知，当π3π(,)22x ∈时，函数tan y x =和y x =的图象只有一个交点，所以函数tan y x x =-在π3π(,)22x ∈内有且仅有1个零点，所以函数tan y x x =-在πππ3π(,)(,)2222- 内有2个零点，故B 正确；对于C ，当π2x ≥时，sin 1x x ≤<，所以sin 0y x x =-<，此时函数没有零点，当π02x <<时，由sin x x <，即sin 0y x x =-<，此时函数没有零点，当0x =时，sin 0y x x =-=，此时函数的零点为0x =，又sin y x x =-为奇函数，其图象关于原点对称，所以0x <时函数无零点，综上所述，函数sin y x x =-有且仅有1个零点，故C 错误；对于D ，当π(0,)2x ∈时，因为tan sin 0x x ->，所以tan sin |tan sin |tan sin tan sin 2sin 0y x x x x x x x x x =+--=+-+=>，又tan sin y x x =-为奇函数，所以π(,0)2x ∈-时，tan sin 0x x -<，所以tan sin |tan sin |tan sin tan sin 2tan 0y x x x x x x x x x =+--=++-=<，当0x =时，tan sin |tan sin |0y x x x x =+--=，所以函数tan sin |tan sin |y x x x x =+--在ππ(,22x ∈-内有1个零点，故D 正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的图像及性质，解题的关键是由OAP OAQ OAP S S S << 扇形得sin tan <<x x x ，并结合三角函数图象求解.17．(2)1-【分析】（1）利用二倍角公式及两角和正弦公式计算即可；（2）根据角β的终边与角α的终边关于y 轴对称求出sin ,cos ββ，然后利用两角和的余弦公式计算即可.【详解】（1）因为3sin 5α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=，所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，27cos212sin 25αα=-=，所以πππ2417sin 2sin 2cos cos 2sin 33325225ααα⎛⎫+=⨯+⨯ ⎪⎝⎭（2）因为角β的终边与角α的终边关于y 轴对称，所以3sin sin 5βα==，4cos cos 5βα=-=-，所以()4433cos cos cos sin sin 15555αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.18．（1）证明见解析；（2）17．【分析】（1）利用线面垂直推导出线线垂直即可（2）利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而求解即可【详解】（1）证明：连接BD ，因为1111ABCD A B C D -是长方体，且2AB BC ==，所以四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC BB ⊥，因为BD ⊂平面11BB D D ，1BB ⊂平面11BB D D ，且1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BB D D ，因为BP ⊂平面11BB D D ，所以AC BP ⊥．（2）点P 到平面ABC 的距离24AA =，ABC V 的面积122ABC S AB BC =⋅⋅=△，所以111824333P ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯=△，在1Rt BB P △中，B 1=4，1B P =BP =，同理CP =．又2BC =，所以的面积122PBC S =⨯=△．设三棱锥A PBC -的高为h ，则因为A PBC P ABC V V --=，所以1833PBC S h ⋅=△，83=，解得h =A PBC -．所以点A 到平面A PBC -【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用等体积法A PBC P ABC V V --=，进而得出11133P ABC ABC A PBC PBC V S AA V S h --=⋅=⋅=△△，进而求出三棱锥A PBC -的高h19．(1)112-；(2)1,810⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以,AB AD 为基底表示出EF 得出,λμ的取值可得结论；（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出AP DP ⋅ 的取值范围；法2：利用极化恒等式得出21AP DP PM =⋅- ，即可得出结果.【详解】（1）如下图所示：由2DE EC = 可得13EC DC = ，所以111115132622122EF EC CF DC CB AB AB AD AB AD ⎛⎫=+=+=+-=- ⎪⎝⎭，又EF AB AD λμ=+ ，可得51,122λμ==-所以112λμ+=-；（2）法1：以点A 为坐标原点，分别以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,4,0,2,2A D B C ，则()3,1F ，由点P 是线段AF 上的动点（含端点），可令[],0,1AP t AF t =∈ ，所以()3,AP t AF t t == ，则()3,2DP AP AD t t =-=- ，所以[]2102,0,1AP DP t t t ⋅=-∈ ，由二次函数性质可得当110t =时取得最小值110-；当1t =时取得最大值8；可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ 法2：取AD 中点M ，作MG AF ⊥垂足为G ，如下图所示：则()()()2AP DP PA PD PM MA PM MD PM PM MA MD MA MD ⋅=⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 2221PM MA PM =--=显然当点P 位于点F 时，PM 取到最大值3，当点P 位于点G 时，PM ，可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦20．(1)30o 90【分析】（1）先由已知条件求出,AC OC 和AO OC ⊥，从而求出30OAC ∠= ，接着由正方体性质求出//AC A C ''，再结合异面直线所成角定义即可得OAC ∠是AO 与A C ''所成角，从而得解；（2）在平面BCC B ''内作OE BC ⊥交BC 于点E ，连接AE ，求证OE ⊥平面ABCD 即可得OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角，再依据已知条件求出OE 和AE 即可由tan OE OAE AE ∠=求出AO 与平面ABCD 所成角的正切值.（3）求证OC ⊥平面ABO 即可得证平面ABO ⊥平面AOC ，从而即可得B OA C --的度数.【详解】（1）连接AB '，则由正方体性质得AB AC B C ''====O 为B C '的中点，所以1222OC B C '==且AO OC ⊥，所以1sin 2OC OAC AC ∠==，故30OAC ∠= ，又由正方体性质可知//AA CC ''且AA CC ''=，所以四边形AA C C ''是平行四边形，所以//AC A C ''，所以OAC ∠是AO 与A C ''所成角，故AO 与A C ''所成角的度数为30o .（2）如图，在平面BCC B ''内作OE BC ⊥交BC 于点E ，连接AE，由正方体性质可知平面BCC B ''⊥平面ABCD ，又平面BCC B '' 平面ABCD BC =，所以OE ⊥平面ABCD ，所以E 为BC 中点，AE 为AO 在平面ABCD 上的射影，所以OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角，由题意，在Rt OAE 中，12OE BE ==，AE ===所以152tan 552OE OAE AE ∠===，所以AO 与平面ABCD（3）由（1）知AO OC ⊥，又由正方体性质可知AB ⊥平面BB C C ''，而OC ⊂平面BB C C ''，所以AB OC ⊥，又AO AB A = ，AO AB ⊂、平面ABO ，所以OC ⊥平面ABO ，又OC ⊂平面AOC ，所以平面ABO ⊥平面AOC ，所以B OA C --的度数为90 .21．(1)111111,,,,,666666---或111111,,,,666666---(2)答案见解析(3)不是，理由见解析【分析】（1）根“n 阶01-数列”的定义求解即可；（2）结合“n 阶01-数列”的定义，首先得120,k k a a d ++==，然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；（3）记12,,,n a a a ⋅⋅⋅中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，进一步()11,2,3,,2k S k n ≤=⋅⋅⋅，结合前面的结论以及“n 阶01-数列”的定义得出矛盾即可求解.【详解】（1）设123456,,,,,a a a a a a 成公比为q 的等比数列，显然1q ≠，则有1234560a a a a a a +++++=，得()61101aq q -=-，解得1q =-，由1234561a a a a a a +++++=，得161a =，解得116a =±，所以数列111111,,,,,666666---或111111,,,,666666---为所求；（2）设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +≥ 的公差为d ，123210k a a a a +++++= ，()()11221210,02k k dk a a kd +∴+++=，即120,k k a a d ++=∴=，当0d =时，矛盾，当0d >时，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，()1122k k kd d -∴+=，即()11d k k =+，由10k a +=得()1101a k k k +⋅=+，即111a k =-+，()()()()*1111,21111n n a n n n k k k k k k k ∴=-+-⋅=-∈≤++++N ，当0d <时，同理可得()1122k k kd -+=-，即()11d k k =-+，由10k a +=得()1101a k k k -⋅=+，即111a k =+，()()()()*1111,21111n na n n n k k k k k k k ∴=--⋅=-+∈≤++++N ，综上所述，当0d >时，()()*1,211n n a n n k k k k ∴=-∈≤++N ，当0d <时，()()*1,211n n a n n k k k k =-+∈≤++N ；（3）记12,,,n a a a 中非负项和为A ，负项和为B ，则0,1A B A B +=-=，得1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=，即()11,2,3,,2k S k n ≤= ，若存在{}1,2,3,,m n ∈ ，使12m S =，可知：12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ ，且1212m m n a a a +++++=- ，1k m ∴≤≤时，0,0;1k k a S m k n ≥≥+≤≤时，0,0k k n a S S <≥=123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ ，又1230n S S S S ++++= 与1231n S S S S ++++= 不能同时成立，∴数列{}()1,2,3,,i S i n = 不为“n 阶01-数列”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到10a ≥，20a ≥，，0m a ≥，10m a +≤，20m a +≤，⋅⋅⋅，0n a ≤，且1212m m n a a a ++++⋅⋅⋅+=-，由此即可顺利得解.。
6.4 反三角函数三角函数解决知道角求三角函数值的问题，例如π1sin62=，5πcos 6=这类问题称作“知角求值”问题．在科学研究和生产实践中还会遇到大量的知道三角函数值，需要求角的问题，例如知道1sin 2x =，cos x =，是什么？这类题称作“知值求角”问题．那么我们如何来解决这类问题呢？“知角求值”与“知值求角”是关系十分密切的问题，类似的情形我们在数学学习中是否遇到过呢？是什么问题呢？本质是函数与反函数的问题．那么我们如何来解决三角函数的反函数问题呢？首先回顾一下反函数的定义．若确定函数()y f x =的映射是一一映射，则()y f x =存在反函数．三角函数在定义域内是否是一一对应的呢？我们知道三角函数都是周期函数，因此定义三角函数的映射不是一一对应的，从而三角函数不存在反函数． 那么我们如何解决“知值求角”的问题呢？目前的焦点是如何摆脱不是“一一映射”的困扰．是什么因素造成了正弦函数sin y x =无法构成一一映射呢？是正弦函数的对应法则？还是函数的定义域？决定因素是定义域！ 那么我们是否有可能选择自变量的取值范围，使定义在此范围上的函数sin y x =具有一一映射的特点？现在看看我们该做些什么．我们要寻找这样的集合A ，使得对于每一个正弦值（落在区间[]11-，内），在集合A 中有且只有唯一的与之对应． 我们可以先考虑寻找的集合A 具有这样的特点：对于每一个正弦值，都在集合A 存在弧度数为的角与之对应．其次是关注这样的是否唯一．若不唯一，则调整集合A ，使之满足要求． 让学生寻找集合A ，然后分析讨论．满足条件的集合是()ππππ22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．对于每一个整数，函数ππsin ππ22y x x k k ⎛⎫⎡⎤=∈-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，都有反函数． 在三角问题的研究中使用频率最高的是锐角，因此我们在确定反正弦函数时，就锁定了函数，ππsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，．定义：把函数ππsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的反函数，叫做反正弦函数，记为[]arc sin 11y x x =∈-，，．对定义的理解：（1）arc sin x 表示一个区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内的角；（2）这个角的正弦值为．总之arc sin x 是一个落在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内正弦值是的角．由反正弦函数的定义有()()sin arc sin 11x x x =-≤≤；()ππarc sin sin 22y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤．根据前面有关反函数的知识可知：互为反函数的图像关于直线y x =对称，于是函数arc sin y x =，[]11x ∈-，的图像与函数ππsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的图像关于直线y x =对称（见图6－17）．图6-17反正弦函数的主要性质：（1）arc sin y x =的定义域是[]11-，，值域是ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，且在1x =-时取到最小值π2-，1x =时取到最大值π2． （2）单调性 由于正弦函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增，故其反函数arc sin y x =在[]11-，上也是单调递增的． （3）奇偶性 由arc sin y x =，[]11x ∈-，的图像知，它的图像关于原点对称，它是一个奇函数，且有()arc sin arc sin x x -=-．类似的，根据余弦函数、正切函数、余切函数的类似性质，我们可以定义它们的性质分别如下：定义：余弦函数cos y x =在区间[]0π，上的反函数，叫做反余弦函数，记作arc cos y x =，它的定义域是[]11-，，值域是[]0π，． 对定义的理解：（1）arc cos x 表示一个区间[]0π，内的角；（2）这个角的余弦值为．总之，arc cos x 是一个落在区间[]0π，内正弦值是的角． 由反余弦函数的定义有()()cos arc cos 11x x x =-≤≤； ()()arc cos cos 0πx x x =≤≤．反余弦函数的图像如图6－18所示．∈（0，π）图6-18反余弦函数的主要性质：（1）arc cos y x =的定义域是[]11-，，值域是[]0π，，且在1x =-时取到最大值，1x =时取到最小值0．（2）单调性 由于余弦函数cos y x =在[]0π，上单调递减，故其反函数arc cos y x =在[]11-，上也是单调递减的．（3）奇偶性 由[]arc cos 11y x x =∈-，，的图像知，它的图像既不关于原点对称，也不关于轴对称，它是一个非奇非偶函数．可以证明()arc cos πarc cos x x -=-． 反正弦函数和反余弦函数之间有个重要关系，见下述例题： 例l ．求证πarc sin arc cos 2x x +=，[]11x ∈-，． 证明：()sin arc sin x x =，()πsin arc cos cos arc cos 2x x x ⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦． 又由于ππarc sin 22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，[]arc cos 0πx ∈，，πππarc cos 222x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，， 所以πarc sin arc cos 2x x =-，即πarc sin arc cos 2x x +=，[]11x ∈-，一般说来，要证明两个角αβ=的方法是：先证明这两个角的同一个三角函数值相等，比如sin sin αβ=；再证明这两个角在同一个单凋区间内．定义：正切函数tan y x =在区间ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内的反函数，叫做反正切函数，记作arc tan y x =，它的定义域是R ，值域是ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，．对定义的理解：（1）arc tan x 表示一个区间ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内的角；（2）这个角的正切值为；总之arc tan x 是一个落在区间ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内正切值是的角，见图6－19．图6-19由反正切函数的定义()()tan arc tan x x x =-∞<<+∞； ()ππarc tan tan 22y y y ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．定义：余切函数cot y x =在区间()0π，内的反函数，叫做反余切函数，记作arc cot y x =，它的定义域是R ，值域是()0π，． 对定义的理解（1）arc cot x 表示一个区间()0π，内的角； （2）这个角的余切值为；总之arc cot x 是一个落在区间()0π，内余切值是的角，见图6－20．x ，x ∈（0，π）图6-20由反正切函数的定义()()cot arc cot x x x =-∞<<+∞； ()()arc cot cot 0πy y y =<<．反正切、反余切函数的性质如下：（1）arc tan y x =的定义域是()-∞+∞，，值域是ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，；arc cot y x =的定义域是()-∞+∞，，值域是()0π，．（2）单调性 arc tan y x =是()-∞+∞，上的增函数；arc cot y x =是()-∞+∞，上的减函数． （3）奇偶性 arc tan y x =是一个奇函数，对任意x ∈R 有()arc tan arc tan x x -=-；acr cot y x =是一个非奇非偶函数，且对任意x ∈R 有()arc cot πarccot x x -=-． 反正切、反余切函数之间有个重要的关系式：πarc tan arc cot 2x x x +=∈R ， 例2．求下列各式的值： （1）1arc cos 2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）arc sin ⎛ ⎝⎭；（3）5arc tan tan 4⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()arc tan tan 4．解：（1）因为2π1cos32=-，且2π0π3<<，由定义知12πarc cos 23⎛⎫-=⎪⎝⎭； （2）因为πsin 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且ππ22x -<<，于是由定义有πarc sin 3⎛=- ⎝⎭； （3）因为5ππtan πtan πtan 1444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()5πarc tan tan arc tan 144⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）因为()tan 4tan 4π=-，且ππ4π22-<-<，所以 ()()arc tan tan4arc tan tan 4π4π=-=-⎡⎤⎣⎦．例3．求值：（1）1sin arc cos 3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）14cos arc sin 25⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）13tan arc sin arc cos 25⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：（1）设1arc cos 3α=，则1cos 3α=，且π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，于是1sin arc cos sin 3α⎛⎫== ⎪⎝⎭；（2）设4arc sin5α=，则4sin 5α=，且π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，于是3cos 5α=，所以，14cos arc sin cos 252α⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）设1arc sin2α=，3arc cos 5β=，则13sin cos 25αβ==，，于是cos α==，4sin 5β==，tan α=4tan 3β=．()4tan tan tan 1tan tan αβαβαβ---====+⋅． 例4．求值：（1）πarc sin sin 4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3πarc sin sin 4⎛⎫ ⎪⎝⎭．解：（1）ππarc sin sin 44⎛⎫== ⎪⎝⎭； （2）3ππarc sin sin arc sin 44⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭． 例5．比较下列各组数的大小：（1）2arc sin 3与4arc sin 7；（2）arc cot1.3与arc cot1.31；（3）2arc sin 3与2arc cot 3；（4）1arc tan 3与arc cot 2．解：（1）由于arc sin x 是一个单调递增的函数，且2437>，于是； （2）由于arc cot x 是一个单调递减的函数，1.3 1.31<，于是arc cot1.3arc cot1.31>； （3）设2arc cot3α=，则2cot 3α=，且π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，于是1sin csc αα====，所以arc α=．又23<，故22arc sin arc cot 33<． （4）设ar cc o t2α=，则co t α=2，1tan 2α=，于是1arc cot 2arc tan 2=，故1a r ct a n a r cc o t23<．例6．已知()()πarc sin sin sin arc sin sin sin 2αβαβ++-=，求22sin sin αβ+的值． 解：()()πarc sin sin sin arc sin sin sin 2αβαβ++-=， ()arc sin sin sin αβ+与()arc sin sin sin αβ-互余．()()sin arc sin sin sin cos arc sin sin sin αβαβ+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，sin sin αβ∴+化简，得221sin sin 2αβ+=． 例7．用反正弦函数值的形式表示下列各式中的：（1）3ππsin 522x x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，，； （2）[]3sin 0π5x x =∈，，；（3）3sin 5x =-，[]π2πx ∈，．解：（1）3arc sin 5x =；（2）3arc sin 5x =，或3πarc sin 5x =-；（3）3πarc sin 5x =+，或32πarc sin 5x =-．例8．比较arc sin a 与()2arc sin 1a a ≤的大小． 解：当0a =，或1a =时，22arc sin arc sin a a a a =⇒=；当[)10a ∈-，时，22arc sin arc sin a a a a <⇒<； 当()01a ∈，时22arc sin arc sin a a a a >⇒>． 基础练习1．求下列反正弦函数的值：（1）1arc sin 2；（2）arc ； （3）arc sin 0；（4）arc sin1；（5）arc sin ⎛ ⎝⎭；（6）()arc sin 1-．2．求下列函数的定义域和值域： （1）12arc cos log y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）()12log arc cos y x =；（3）()arc cos arc sin y x =；（4）()arc sin arc cos y x =．3．求值：（1）4sin arc tan 3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）12tan arc cos 13⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）3cos 2arc tan 4⎛⎫ ⎪⎝⎭；（4）()arc sin sin 6； （5）11arc tan 2arc tan 73+；（6）4πarc tan tan 5⎛⎫ ⎪⎝⎭；（7）1arc tan arc tan x x+；（8）((arc sin arc cos -．4．求下列函数的反函数：（1）π3πsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，；（2）π02y x ⎫⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎭，；（3）()πlg sin 02y x x ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎦⎝⎭，；（4）()(]()lg arc sin 01y x x =∈，．5．用反正切函数值的形式表示下列各式中的：（1）4ππtan 322x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，，；（2）123πtan π52x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，； （3）()24tan 2π07x x =-∈-，，． 能力提高 6．求值：（可用反三角函数表示）：（1）34arc cos arc sin 45-；（2）()()arc sin sin 2arc cos cos4+；（3）315arc sin arc sin 517+．7．当[]11x ∈-，时，比较arc sin x 与arc cos x 的大小．§6.4 反三角函数 基础练习 1．（1）1πarc sin26=；（2）πarc 3=；（3）arc sin 00=； （4）πarc sin12=；（5）πarc sin 4⎛=- ⎝⎭；（6）πarc sin(1)2-=-． 2．（1）[0π]A =，；（2）12log πA ⎡⎫=+∞⎢⎪⎢⎭⎣，；（3）[0π]A =，；（4）π0lg 2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，．3．（1）45；（2）512-；（3）725；（4）62π-；（5）π4； （6）π4-；（7）π02π02x x ⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，，；（8）π-．4．（1）πarc sin ([11])y x x =-∈-，；（2）2arc sin ([01])y x x =∈，；（3）arc sin10((0])x y x =∈-∞，；（4）πsin102x y x ⎛⎫⎛⎤=∈-∞ ⎪ ⎥⎦⎝⎝⎭，．5．（1）4arc tan 3x =；（2）12πarc tan 5x =-；（3）24arc tan 7x =-或24arc tan π7--．能力提高 6．（1）arc -（2）3π6-；（3）84πarc sin 85-． 7．当x =时，πa r c s i n a r c c o s 4x x ==；当1x ⎡∈-⎢⎢⎭⎣时，a r c s i n a r c c o s x x <；当1x ⎤∈⎥⎦⎝时，arc sin arc cos x x >．。
6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1．对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研究）： （1）()sin 01y A x x A A =∈>≠R ，，； （2）()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ，，； （3）()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ，，； （4）()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ，，；（5）()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ，，，，，，，，． 解：（1）函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当1A >时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到；当01A <<时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到（见图6－7）．图6-7（2）函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数，值域相同，但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同．当ω>1时，函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到；当0ω<<1时．函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到（见图6－8）．图6-8（3）当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+是奇函数；当()ππ2k k ϕ=+∈Z ，函数()sin y x ϕ=+偶函数；函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域；当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间．当ϕ>0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到；当ϕ<0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到（见图6－9）．图6-9（4）函数sin y x d =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当0d >时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到；当0d <时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到（见图6－10）．图6-10（5）函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到．首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化，让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin y A x =的图像（见图6－11）．图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化，让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变，让点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y A x ω=。
1华二附中2024学年第一学期高三年级数学开学考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知13z i =−，则z i −=________．2．已知集合251,2x A x x R x ⎧⎫+=<∈⎨⎬−⎩⎭，{}2,0,2B =−，则AB =________．3．已知1sin 23πx ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，那么cos 2x =________．4．已知二项式()5x a +的展开式中，2x 项的系数为80，则a =________．5．函数()f x =的定义域为________．6．关于排列组合的方程23n n n P C −=的解是________．7．已知函数()221x x af x =++的最小值为5，则实数a =________． 8．某种电气设备，电路开关闭合会引发红灯或绿灯的闪动，已知开关第一次闭合，闪红灯和绿灯的概率都是12，开关第二次闭合时，若第一次闪红灯，则再次闪红灯的概率是13，闪绿灯的概率是23；若第一次闪绿灯，则再次闪红灯的概率是35，闪绿灯的概率是25，那么第二次闭合后闪红灯的概率是________．9．已知函数()2sin f x x =，()2cos 1g x k x =−，若对任意5,36ππt ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在,63ππs ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得等式()()f t g s =成立，则实数k 的取值范围是________． 10．在△ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，2BA BC +=，233ππB ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是________．11．已知双曲线22221x y a b−=的右焦点为2(,0)F c ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay −=是线段2MF 的垂直平分线，则ca=________．212．已知首项为2、公差为d 的等差数列{}n a 满足：对任意的不相等的两个正整数i ，j ，都存在正整数k ，使得i j k a a a +=成立，则公差d 的取值构成的集合是________． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．在平面上，到点(1,0)A 的距离等于到直线23x y +=的距离的动点P 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线14．已知函数()y f x =，x R ∈的导数是()y f x '=，那么“函数()y f x =在R 上严格单调递增”是()0f x '≥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15．在棱长等于1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1AA 上的定点，动点Q 在正方体表面上运动，满足10PQ PC ⋅=，如果动点Q 的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能16．已知函数2()x x f x xx ⎧=⎨⎩为无理数为有理数,则以下4个命题：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =在[)0,+∞上是单调递增函数； ③函数()y f x =的值域为R ；④存在正有理数a ，使得函数()y f x a =−恰好有两个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33三、解答题(共5道大题,共76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点．（1）求异面直线OC 与11A C 所成角的大小； （2）求直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的正弦值．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 如图，矩形ABCD 是文物展览厅的俯视图，点E 在边AB 上，在梯形BCDE 内展示文物，游客只能在△ADE 区域内参观，在AE 上点P 处安放可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE 上，6AD AE ==米，2AP =米，4πMPN ∠=，记EPM ∠=θ（弧度），监控可视区域△MPN 的面积为S ． （1）用θ表示线段PM 、PN 的长度；（2）求S 与θ的函数关系式，并求S 的最小值．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 已知函数()x f x =（1）求证：函数()f x 的图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称；（2）设1nn i i S f n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，数列{}n a满足4n S n a =，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，其中()()1111n n n n a b a a ++=++，若对任意*n N ∈均有n T <λ恒成立，求λ的最小值．520.（本题满分16分.共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)已知椭圆2212:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2222:12x y C b −=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e，12e e ⋅=过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点． （1）求1C 、2C 的方程；（2）若113AF F B =，求直线PQ 的方程； （3）求四边形APBQ 面积的最小值．621.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分) 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =−++．（其中a 为常数） （1）若2a =−，求曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线方程； （2）当0a <时，求函数()y f x =的最小值；（3）当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由．7参考答案一、填空题1. 2.{}0,2−; 3.79−; 4.2; 5.10,2⎛⎤⎥⎝⎦; 6.8n =; 7.9; 8.715;9.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭; 10.22,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦；11. 12.2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…11．已知双曲线22221x y a b−=的右焦点为2(,0)F c ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay −=是线段2MF 的垂直平分线，则ca=________．【解析】设直线0bx ay −=交2MF 于点Q ,连接1MF ,由题意可知22MF b ==,由双曲线的定义可得12222,MF MF a b a O Q =−=−分别为122,F F MF 的中点,则1//MF OQ 因为2OQ MF ⊥,则12MF MF ⊥, 由勾股定理可得2221212MF MF F F +=, 即()222444,,2,c b a b c b a a b a a −+=∴−==∴==故，故答案为12．已知首项为2、公差为d 的等差数列{}n a 满足：对任意的不相等的两个正整数i ，j ，都存在正整数k ，使得i j k a a a +=成立，则公差d 的取值构成的集合是________． 【答案】2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…【解析】()21,n a n d =+−由i j k a a a +=,得()()()212121,i d j d k d +−++−=+−()12,k i j d ∴−−+=8当10k i j −−+=时,()10k i j d −−+=,矛盾,10k i j ∴−−+≠,则21d k i j =−−+,,,i j k 都是正整数,1k i j ∴−−+为整数,且不等于0,对任意的不相等的两个正整数,i j ,都存在正整数k ,使得i j k a a a +=成立, 且()3,min i j +=∴当1,2i j ==时,121m k i j k =−−+=−−… ()210d m Z ,m ,m m∴=∈−≠… ∴公差d 的所有取值构成的集合是2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…,故答案为:2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠….二、选择题13.D 14.A 15.A 16.B15．在棱长等于1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1AA 上的定点，动点Q 在正方体表面上运动，满足10PQ PC ⋅=，如果动点Q 的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】A【解析】如图,在平面11ACC A 中过点P 作1PM PC ⊥交AC 于点M ,（当P 在1A 时M 恰为A 点，当P 在A 点时点M 也恰为A 点,满足点Q (即A)使得10PQ PC ⋅=), 在平面ABCD 中过M 作//EF BD ,连接,PE PF由正方体的性质可得1,BD AC AA ⊥⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以1AA BD ⊥, 11,,AC AA A AC AA ⋂=⊂平面11ACC A ,所以BD ⊥平面11ACC A ,1PC ⊂平面11ACC A ,所以1PC BD ⊥,所以1PC EF ⊥,,,EF PM M EF PM ⋂=⊂平面PEF ,所以1PC ⊥平面PEF ,9因为10PQ PC ⋅=,所以1PQ PC ⊥,又动点Q 在正方体表面上运动,所以Q 在PEF ∆的边上, 显然AE AF =,所以PE PF =,所以PEF ∆为等腰三角形,又90EPF ∠<,所以PEF ∆不可能为直角三角形或钝角三角形;故选:A .三．解答题17.（1）60 （218.（1）4,sin cos PM PN ==θ+θ（2）)min 835,0,;8144214S S π⎡⎤=θ∈−=⎢⎥π⎛⎫⎣⎦θ++ ⎪⎝⎭19.（1）证明略 （2）21720.（本题满分16分.共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)已知椭圆2212:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2222:12x y C b −=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e，12e e ⋅=过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点． （1）求1C 、2C 的方程；（2）若113AF F B =，求直线PQ 的方程； （3）求四边形APBQ 面积的最小值．10【答案】（1）221:12x C y +=,2C :2212x y −=（2）12y x =−或12y x =;（3）2 【解析】(1)由题意可知:12e e ==所以12•e e ===解得:21b =, 故椭圆221:12x C y +=,双曲线2C :2212x y −= (2)由（1）知()110F ,−,因为直线AB 不垂直于y 轴,设直线AB 的方程为:1x my =−, 设点(1A x ,)()122,y B x ,y ,则()()1111221,1AF x ,y F B x ,y =−−−=+由113AF F B =,则123y y −=,即123y y =−,联立:22112x my x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩, 可得:()222210,m y my +−−=()()222442810,m m m ∆=++=+>由韦达定理可得1221222212m y y m y y m ⎪+⋅⎧⎪⎪⎨=−=+⎪⎩+，将123y y =−代入得:()222222132m y m y m −⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得1m =±,当1m =时,弦AB 的中点2133M ,⎛⎫− ⎪⎝⎭,此时直线PQ 的方程为:12y x =−,当1m =−时,弦AB 的中点2133M ,⎛⎫−− ⎪⎝⎭,此时直线PQ 的方程为:12y x =,所以直线PQ 的方程为12y x =−或12y x =;(3)设AB 的中点()00M x ,y ,由（2）可得)21AB m ==+22m +且000222,122m y x my m m −==−=++,点22222m M ,m m −⎛⎫ ⎪++⎝⎭2PQ OM m k k ==−,直线PQ 的方程为:2my x =−11联立22212m y x x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩可得:2222224,,20,22m x y m m m ==−>−−且由双曲线的对称性，不妨取点,P Q ⎛⎫⎛⎫所以点P 到直线AB 的距离为:21d ==点Q 到直线AB 的距离为:22d ==，21222m d d ++=所以四边形APBQ 的面积为()1212S AB d d =+===因为2022m <−…,所以当222m −=,即0m =时,四边形APBQ 的面积取最小值2. 21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分) 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =−++．（其中a 为常数） （1）若2a =−，求曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线方程； （2）当0a <时，求函数()y f x =的最小值；（3）当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由． 【答案】（1）2220x y ln −−=（2）12a −−（3）当01a <…时,()f x 在()0,+∞上有一个零点 【解析】(1)当2a =−时,可得()2122f x x x lnx =+−,可得12()()()212'1x x f x x x x+−=+−=, 所以()'22f =且()2422f ln =−,所以切线方程为()()42222y ln x −−=−,即2220x y ln −−=,所以曲线()y f x =在点()()22,f 处的切线方程为2220x y ln −−= (2)由函数()()2112f x x a x alnx =−++,可得函数()f x 的定义域为()0,+∞, 又由()()()1'x a x f x x−−=,令()'0f x =,解得11,1x a x ==,当0a <时,()f x 与()'f x 在区间()0,+∞的情况如下表:所以函数的极小值为()112f a =−−,也是函数()f x 的最小值, 所以当0a <时,函数()f x 的最小值为12a −−; (3)当0a =时,()212f x x x =−,令()0f x =,解得122,0x x ==(舍去) 所以函数()y f x =在()0,+∞上有一个零点；当01a <<时，()f x 与()'f x 在区间()0,+∞的情况如下表:所以函数()f x 在()0,a 单调递增,在()1a,上单调递减,此时函数()f x 的极大值为()210,2f a a a alna =−−+<所以函数()y f x =在()01,上没有零点;又由()1102f a =−−<且函数()f x 在()1,+∞上单调递增,且当x →+∞时,()f x →+∞,所以函数()f x 在()1,+∞上只有一个零点,13综上可得,当01a <…时,()f x 在()0,+∞上有一个零点.。
2022-2023学年上海市华东师范大学第二附属中学高一上学期开学考试数学试题一、单选题1．下列命题中正确的是（ ）A ．空集没有子集B ．空集是任何一个集合的真子集C ．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D ．设集合B A ⊆，那么，若x A ∉，则x B ∉【答案】D【解析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果【详解】A 选项，空集是其本身的子集，A 错；B 选项，空集是任一非空集合的真子集，B 错；C 选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C 错；D 选项，若B A ⊆，则B 中元素都在A 中，A 中没有的元素，则B 中也没有；故D 正确. 故选：D.2．已知集合1|0,3x A x x Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，{}2|1,B y y x x A ==+∈，则集合B 的子集个数为（ ）A ．5个B ．8个C ．3个D ．2个【答案】B【分析】先化简集合A ，B ，再列举其子集求解.【详解】因为{}1|0,1,0,1,23x A x x Z x +⎧⎫=≤∈=-⎨⎬-⎩⎭， 所以{}{}2|1,1,2,5B y y x x A ==+∈=， 所以集合B 的子集有{}{}{}{}{}{}{},1,2,5,1,2,1,5,2,5,1,2,5∅，共8个， 故选：B3．设Q 所示有理数集，集合{},,0X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①{}2x x X ∈；②X ⎫∈⎬⎭；③1x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；④{}2x x X ∈；与X 相同的集合有（ ） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①②③ 【答案】D【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【详解】对于①：集合{}2x x X ∈，则2(a p +=+解得2,2p a q b ==，即,22p q a b ==，是一一对于，所以与X 集合相同.对于②：集合X ⎫∈⎬⎭b =，也是一一对应，所以与X 集合相同.对于③：集合1x Xx ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭2222a b a b a b ⎛=+- --⎝，所以与X 集合相同.对于④：1X -，但方程21x -无解，则2{|y y x =，}x X ∈与X 不相同． 故选：D4．设X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ；则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}；③τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}；④τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}；其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是（ ）A ．②B ．①③C ．②④D ．②③ 【答案】D【分析】利用集合X 上的拓扑的3个要求，依次判断即可【详解】①中由于{}{}{},,,,a b a c a b c τ=∉，故①不是集合X 上的一个拓扑； ②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X 上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X 上的一个拓扑；④中{}{}{},a c a c τ=∉,故④不是集合X 上的一个拓扑；因此集合X 上的拓扑的集合τ的序号是②③故选：D二、填空题5．已知集合{}2,0A a a =-，若a A ∈，则实数a 的值为___________.【答案】2【分析】根据集合元素的性质可求实数a 的值.【详解】因为a A ∈，故0a =或2a a a -=，若0a =，则20a a a -==，与元素的互异性矛盾，舍；若2a a a -=，则2a =或0a =（舍），而2a =时，符合元素的互异性，故实数a 的值为2，故答案为：2.6．若集合{}2210A x x x =-+=，{}210B x x =-=，则A ______B ．（用符号“⊂”“=”或“⊃”连接）【答案】⊂【分析】先化简集合A 、B ，再去判断集合A 、B 间的关系即可解决. 【详解】{}{}22101A x x x =-+==，{}{}2101,1B x x =-==-，则A B ⊂ 故答案为：⊂7．若{}{},27,8x y y +=，则整数x =____________.【答案】3或92. 【分析】根据集合相等的条件，列出方程组，即可求解.【详解】因为{}{},27,8x y y +=，由集合相等的条件，可得728x y y +=⎧⎨=⎩或827x y y +=⎧⎨=⎩， 解得3x =或92x =. 故答案为：3或92. 8．已知0,,{,,}3x A xx B x x a b a A b A x ⎧⎫=<∈==+∈∈⎨⎬-⎩⎭Z ∣∣，试用列举法表示集合B =____; 【答案】{}2,3,4【分析】解出不等式03x x <-得到集合A ，然后可得答案. 【详解】因为{}{}0,03,1,23x A x x x x x x ⎧⎫=<∈=<<∈=⎨⎬-⎩⎭Z Z ∣∣， 所以{}{,,}2,3,4B xx a b a A b A ==+∈∈=∣， 故答案为：{}2,3,49．已知{}2|10,A x x px x R =++=∈，若A R +⋂=φ，则实数p 的取值范围是__________．【答案】(2,)-+∞【详解】分析：先根据条件得方程210x px ++=没有正实数解，再根据方程无解与只有非正数解两种情况讨论，解得实数p 的取值范围详解：∵A R +⋂=φ，∴方程210x px ++=没有正实数解，故A 集合有两种情况：①若A =φ，则240p ∆=-<，则22p -<<；②若A ≠φ，则方程有两个非正数解，且0不是其解，则有：2400p p ⎧-≥⎨-≤⎩，解得2p ≥．综上所述，2p >-，即实数p 的取值范围是()2,-+∞．点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.10．已知集合{1,2,3}A =，{1,,}B m n =，若3,1m A n A -∈+∈，则非零实数m n +的可能取值集合是________【答案】{}2【分析】首先利用集合与元素的关系和集合元素的特征得到20m n =⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩，即可得到答案.【详解】因为3m A -∈，所以31m -=或32m -=或33m -=，解得2m =或1m =或0m =，因为1n A +∈，所以11n +=或12n +=或13n +=，解得0n =或1n =或2n =，又因为{1,,}B m n =，所以20m n =⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩，即2m n +=. 故答案为：{}211．若集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是___________ 【答案】12(,]23 【分析】把不等式转化为222(1)x x a x -+<+，转化为()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，不等式2(2)20x a x a -++-<且0a >，即222(1)x x a x -+<+，令()()222,(1)f x x x g x a x =-+=+，所以()(){|,}A x f x g x x Z =<∈，所以()y f x =是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，而()y g x =一次函数，图象是过一定点(1,0)-的动直线，作出函数()222f x x x =-+和()(1)g x a x =+的图象，如图所示，其中()()11,22f f ==，又因为,0x Z a ∈>，结合图象，要使得集合2{|(2)20,}A x x a x a x Z =-++-<∈中有且只有一个元素，可得()(1)122g g >⎧⎨≤⎩，即2132a a >⎧⎨≤⎩，解得1223a <≤. 即正实数a 的取值范围是12(,]23. 故答案为：12(,]23.12．用A 表示非空集合A 中元素的个数，定义,,A B A B A B B A B A ⎧-≥⎪*=⎨->⎪⎩，若{}0,1A =，()(){}2230B x x ax x ax =+++=，*1A B =，则实数a 的所有可能取值构成集合S ，则S =______.（请用列举法表示）【答案】{}-【分析】根据{}0,1A =，*1A B =，可知B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程()()2230x ax x ax +++=的个数进行讨论，即可求得a 的所有可能取值. 【详解】由于()()2230x ax x ax +++=，等价于20x ax ①或2x ax 30++=②又{}0,1A =，*1A B =，可知B 要么是单元素集合，要么是三元素集合，（1）当B 是单元素集合，则方程①有两个相等的实根，方程②无实根，此时0a =； （2）当B 是三元素集合，则方程①有两个不相等的实根，方程②有两个相等的实根，此时20120a a ≠⎧⎨∆=-=⎩，解得a =±实数a 的所有可能取值构成集合{}S =-故答案为： {}-【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的判断，解题的关键是对新定义的理解，考查学生的分析审题能力与分类讨论思想，属于中档题.13．已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ________.【答案】(,3][6,)-∞-⋃+∞【分析】根据对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得12()()f x g x =，可得两个函数值域的包含关系，进而根据关于m 的不等式组，解不等式组即可.【详解】因为()22()4321f x x x x =-+=--，所以函数()f x 的对称轴为2x =，对任意的[]11,4x ∈，记()[]1,3f x ∈-.记[]1,3A =-.由题意知，当0m =时不成立，当0m >时，()52g x mx m =+-在[]1,4上是增函数，所以[]()5,25g x m m ∈-+，记[]5,25B m m =-+由题意知，B A所以m m -≥-+≥⎧⎨⎩15253，解得6m ≥. 当0m <时，()52g x mx m =+-在[]1,4上是减函数，所以[]()25,5g x m m ∈+-，记[]25,5C m m =+-，由题意知，C A ⊇所以251{53m m +≤--≥，解得3m ≤-. 综上所述，实数m 的取值范围是(,3][6,)-∞-⋃+∞.故答案为: (,3][6,)-∞-⋃+∞【点睛】解决本题的关键是将问题转化为对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使得12()()f x g x =，可得两个函数值域的包含关系，进而分别求两个函数的值域.14．已知函数()228x x x f a =++（0a >），集合(){}0A x f x =≤，()(){}8B x f f x =≤，若A B =≠∅，则a 的取值范围为______.【答案】4⎡⎤⎣⎦【解析】先根据A ≠∅，利用0∆≥求得a 的范围，再求出集合,A B ，利用A B =，即可求解.【详解】解：A B =≠∅，即()()()0,8f x f f x ≤≤有解，由()0f x ≤知：()222484320a a ∆=-⨯=-≥，解得：a ≤-或a ≥又0a >，a ∴≥令()2280x a f x x =++≤，解得：a x a -≤≤-故{A x a x a =-≤-， ()()8f f x ≤，令()u f x =，即()8f u ≤，又()228x ax f x =++，易知：()()()()208,222288f f a a a a =-=-+⨯-+=，0a >，故20a u -≤≤，即(){}20B x a f x =-≤≤，又A B =，故()2f x a ≥-恒成立，即()min 2f x a ≥-，又()()()()22min 288f x f a a a a a =-=-+⋅-+=-+，即282a a -+≥-，即2280a a --≤，解得：24a -≤≤，又a ≥a ⎡⎤∴∈⎣⎦.故答案为：4⎡⎤⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用A B =得出()min 2f x a ≥-.三、解答题15．已知{}(){}22240,2110A xx x B x x a x a =+==+++-=∣∣. (1)若A 是B 的子集，求实数a 的值；(2)若B 是A 的子集，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1a =；(2)1a -或1a =.【分析】（1）由题得{}4,0B A ==-，解2Δ0402(1)401a a >⎧⎪-+=-+⎨⎪-⨯=-⎩即得解；（2）由题得B A ⊆，再对集合B 分三种情况讨论得解.【详解】(1)解：由题得{}4,0A =-.若A 是B 的子集，则{}4,0B A ==-，所以2Δ0402(1),1401a a a >⎧⎪-+=-+∴=⎨⎪-⨯=-⎩. (2)解：若B 是A 的子集，则B A ⊆.①若B 为空集，则()22Δ4(1)41880a a a =+--=+<，解得1a <-；②若B 为单元素集合，则()22Δ4(1)41880a a a =+--=+=，解得1a =-.将1a =-代入方程()222110x a x a +++-=，得20x =，即{}0,0x B ==，符合要求；③若B 为双元素集合，{}4,0B A ==-，则1a =.综上所述，1a -或1a =.16．已知命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ，且2A ∈；命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的范围；（2）若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题，求实数m 的范围.【答案】（1）12m ≥（2）12m <或m 1≥ 【分析】（1）根据不等式的解集且2A ∈,代入即可根据命题p 为真命题求得数m 的范围. （2）先求得命题p 和命题q 都为真命题时m 的范围,根据补集思想即可求得命题p 和命题q 中至少有一个是假命题时m 的范围.【详解】（1）命题:p 关于x 的不等式10mx -≥的解集为A ,且2A ∈因为命题p 为真命题所以210m -≥ 解得12m ≥（2）命题:q 关于x 的方程2x 2x m 0-+=有两个不相等的正实数根当命题q 为真命题时,1212440020m x x m x x ∆=->⎧⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩ 解得01m <<当命题p 和命题q 都为真命题1201m m ⎧≥⎪⎨⎪<<⎩ 所以112m ≤< 所以若命题p 和命题q 中至少有一个是假命题 则12m <或m 1≥ 所以实数m 的范围为12m <或m 1≥ 【点睛】本题考查了不等式的解法,一元二次方程根的分布特征,复合命题真假的关系,属于中档题.17．定义：若任意,m n A ∈（m ，n 可以相等），都有10mn +≠，则集合,,1m n B x x m n A mn ⎧⎫+==∈⎨⎬+⎩⎭称为集合A 的生成集； (1)求集合{3,4}A =的生成集B ；(2)若集合{,2}A a =，A 的生成集为B ，B 的子集个数为4个，求实数a 的值；(3)若集合(1,1)A =-，A 的生成集为B ，求证A B =.【答案】(1)387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭(2)1a =±或12a =(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义算出x 的值即可求出B ；（2）B 的子集个数为4个，转化为B 中有2个元素，然后列出等式即可求出a 的值； （3）求出B 的范围即可证明出结论【详解】(1)由题可知，(1)当3m n ==时，3331335x +==+⨯ ， (2) 当4m n ==时，44814417x +==+⨯，（3）当3,4m n ==或4,3m n ==时，34713413x +==+⨯ 所以387,,51713B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ (2)（1）当2m n ==时，2241225x +==+⨯， （2）当m n a ==时，22211a a a x a a +==++ （3）当2,m n a ==或,2m a n ==时，212a x a+=+ B 的子集个数为4个，则B 中有2个元素， 所以24251a a =+或222112a a a a +=++ 或24125a a +=+ ， 解得1a =±或12a =（2a =舍去）, 所以1a =±或12a =. (3)证明：(),1,1m n A ∀∈-=，()()111011m n m n mn mn++++=>++， ()()111011m n m n mn mn---+-=<++， ∴ 111m n mn+<+-<，即()1,1B =- B A ∴⊆，又(1,1)A =-，所以A B ⊆，所以A B =18．已知123{|(,,,,)n n S A A a a a a ==，0i a =或1，1,2,,}i n =(2)n ≥，对于,n U V S ∈，(,)d U V 表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．（Ⅰ）令(0,0,0,0,0)U =，存在m 个5V S ∈，使得(,)2d U V =，写出m 的值； （Ⅱ）令0(0,0,0,,0)n W =个，若,n U V S ∈，求证：(,)(,)(,)d U W d V W d U V +≥；（Ⅲ）令123(,,,,)n U a a a a =，若n V S ∈，求所有(,)d U V 之和．【答案】（Ⅰ）10m =； （Ⅱ）见解析（ⅠⅡ）见解析【详解】试题分析：本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点，题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于n S 的，其实n S 中的元素就是一个n 维的坐标，其中每个坐标都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n 位数字的数组，每个数字都只能是0或1，第二个定义(,)d U V ．第一问，根据5V S ∈，且(,)2d U V =及(,)d U V 的意义：表示U 和V 中相应的元素不同的个数，可知25m C =；第二问，根据0i a =或1，1,2,,i n =，分类讨论0i a =，0i b =时，i a +0i b =i i a b =-；当0i a =， 1i b =时，i a +1i b =i i a b =-；当1i a =，0i b =时，i a +1i b =i i a b =-；当1i a =，1i b =时，i a +2i b =0i i a b ≥-=；可证，i a +i b i i a b ≥-，再相加即可证明结论；第三问，结合第一问，得出使(,)k d u v r =的k v 共有rn C 个，分别计算出21(,)n k k d u v =∑和21(,)nk k d u v =∑，再相加即可． 试题解析：（Ⅰ）2510C =；（Ⅱ）证明：令123(,,)n u a a a a =⋯⋯，123(,,)n v b b b b =⋯⋯ ∵0i a =或1，0i b =或1；当0i a =，0i b =时，i a +0i b =i i a b =-当0i a =， 1i b =时，i a +1i b =i i a b =-当1i a =，0i b =时，i a +1i b =i i a b =-当1i a =，1i b =时，i a +2i b =0i i a b ≥-= 故i a +i b i i a b ≥-∴(,)(,)d u w d v w +=123()n a a a a ++++123()n b b b b +++++ 123()n a a a a =++++123()n b b b b +++++112233()n n a b a b a b a b ≥-+-+-++-(,)d u v =（Ⅲ）解：易知n S 中共有2n 个元素，分别记为(1,2,,2)n k v k = 123(,,)n v b b b b =⋯⋯∵0i b =的k v 共有12n -个，1i b =的k v 共有12n -个．∴21(,)n k k d u v =∑ =1111111122(202120212021)n n n n n n n n a a a a a a -------+-+-+-++-+- =12n n -⋅∴21(,)nk k d u v =∑=12n n -⋅． 法二：根据（Ⅰ）知使(,)k d u v r =的k v 共有r n C 个， ∴21(,)n k k d u v =∑=012012n n n n n C C C n C ⋅+⋅+⋅++⋅21(,)n k k d u v =∑=120(1)(2)0n n n n n n n n C n C n C C --⋅+-⋅+-⋅++⋅ 两式相加得21(,)nk k d u v =∑=12n n -⋅【解析】计数原理的应用．。
2025届华二附中高三10月月考数学试卷一、填空题1．若集合，则__________．2．已知复数，则__________．3．展开式中的系数为60，则实数__________．4．己知是单调递增的等比数列，，则公比q 的值是__________．5．已知，则_________．6．已知函数，若在定义域内为增函数，则实数p 的最小值为__________．7．己知双曲线，左，右焦点分别为，关于C 的一条渐近线的对称点为P ．若，则的面积为__________．8．己知，则的最小值为__________．9．已知函数是上的奇函数，则__________．10．对平面直角坐标系中两个点和，记，称，为点与点之间的“距离”，其中表示p ，q 中较大者．设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r 为半径的“圆”．以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的面积为__________．11．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：{23},{(4)(2)0}A xx B x x x =<<=+->∣∣A B = 1i z =+|2i |z -=5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x a ={}n a 453824,128a a a a +==π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2ln p f x px x x=--()f x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F 2F 12PF =12PF F △0,0,23x y x y >>+=23x y xy+tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12PP 1P 2P t -max{,}p q ()000,P x y 0r >0P t -0P t -12t -100=⨯水库实际蓄水里水库总蓄水里（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ii ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（iii ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．12．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为__________．二、单选题13．“”是“对任意的正整数x ，均有的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14．己知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.315．已知函数不是常数函数，且满足对于任意的，，则（ ）A ．B ．一定为周期函数C ．不可能为奇函数D ．存在16．如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是（ ）命题甲：存在曲线满足要求命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求[0,100]21620y x x =-+y =5010x y =π100sin 200y x =1111ABCD A B C D -1111A B C D 45︒ABCD EFGH -1a =2a x x+≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(24)P ξ<≤()f x ,R a b ∈()()2()()f a b f a b f a f b ++-=(0)0f =()f x ()f x ()00R,2x f x ∈=-()y f x =()y f x =sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1()y f x =2()y f x =,λμ1λμ+=12()()y f x f x λμ=+A ．甲命题正确，乙命题正确B ．甲命题错误，乙命题正确C ．甲命题正确，乙命题错误D ．甲命题错误，乙命题错误三、解答题17．如图，在正三棱柱中，分别是的中点，的边长为2．（1）求证：平面；（2）若三棱柱的高为1，求二面角的正弦值．18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．己知2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区（不包含A ，B 两地）航班放行准点率的估计值分别为和、2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6试解决一下问题：（1）现在从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（2）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．19．在中，，内有一点M ，且．（1）若，求的面积；（2）若，求BM 的长．20．己知圆，直线过点且与圆交于点B ，C ，BC 中点为D ，过中点E 且平行于的直线交于点P ，记P 的轨迹为（1）当到直线时，求直线方程；（2）求的方程；（3）坐标原点O 关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直线与交于点M ，N ，直线相交于点Q ，求的面积．111ABC A B C -1,,D D F 1111,,BC B C A B 4,BC BE ABC = △EF ∥11ADD A 1B EF C --84%80%，75%84%，ABC △π10,3BC ABC =∠=ABC △2,π3BM CM AMB ⊥∠=BM =ABC △14AC =221:(1)16A x y ++=1l 2(1,0)A 1A 2A C 1A D 1AC Γ1A 1l 1l Γ12,A A 12,B B 12,A A y x =12,C C 1A 2l Γ12,B M B N 12QC C △21．对于函数，定义域R ，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．己知．（1）如果对成立．求证：为周期函数；（2为“关于倒数点”，且只有两个不同的解，求函数m 的值；（3）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．()f x 0x ()()001f x f x λ+=0λ≠()f x 0x ()f x λ()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>()(1)1f x f x +=x R ∈()h x 2-2()()m h x g x =(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩()x ω2025届华二附中高三10月月考数学试卷参考答案一、填空题1．【答案】2．3．【答案】12【解析】展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为，解得．4．【答案】2【解析】由等比数列性质知，联立，解得或，因为是单调递增的等比数列，所以，即．5．【答案】6．【答案】1【解析】函数．要使在定义域内为增函数，只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立．，当且仅当，即时等号成立，，即实数p 的最小值为1．7．【答案】4{23}xx <<∣5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭552155C C kk k k k k k a T x a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭523k -=1k =5ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 15C 60a =12a =3645a a a a =454524128a a a a +=⎧⎨=⎩45816a a =⎧⎨=⎩45168a a =⎧⎨=⎩{}n a 45816a a =⎧⎨=⎩542a q a ==725- 22222()2ln ,(0,),()p p px x p f x px x x f x p x x x x-+'=--∈+∞=+-=()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞220px x p -+≥(0,)+∞221x p x ≥+(0,)+∞222111x x x x =≤=++ 1x x =1x =1p ∴≥【解析】设与渐近线交于M ，则，所以，由O ，M 分别与的中点，知且，即，由，所以．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】2PF b y x a=222,tan ,sin b b F M OM MOF MOF a c⊥∠=∠=222sin ,F M OF MOF b OM a =⋅∠===12F F 2PF 1OM PF ∥1112OM PF ==1a =e =2c b ==1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=△△1+223(2)211x y x x y y x y xy xy y x+++==++≥+2-tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+tan tan tan 1tan tan tan tan 121tan tan x x x x θθθθθ+--=+-⨯-tan (1tan tan )(tan tan )1tan tan 2(tan tan )x x x x θθθθθ--+=--+()2tan 1tan 12tan (tan 2)tan xxθθθ-+=--+上的奇函数，又上的奇函数．10．【答案】4【解析】设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则．若，则；若，则有．由此可知，以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：则“圆”的面积为．11．【答案】②④【解析】①，该函数在时函数值为180，超过了范围，不合题意；②为严格增函数，且，则，符合题意；③，当时，不合题意④，当时，，故该函数在上严格递增，又ππ(),20242024f x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()2tan 1tan y x θ=-+⋅tan 20,tan 2θθ∴+=∴=-(,)P x y 12t -||||1max ,1||1||2x y x y ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭||||11||1||2y x y x ≤=++||1||1x y =⎧⎨≤⎩||||11||1||2x y x y ≤=++||1||1y x =⎧⎨≤⎩12t -t -224⨯=()2221116120(60)180202020y x x x x x =-+=--=--+60x =y =[0,100],[0,100]x y ∈∈10≤x ≤5010xy =50x =50101050x=<π100sin 200y x =[0,100]x ∈ππ0,2002x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,100]π100sin[0,100]200y x =∈设即即，易知在上为严格减函数令，则存在，有当；当；故在严格递增，在严格递减．故上即上，故④符合题意12．【解析】如图作出原正方体，与HE ，EF 的交点分别为M ，N ，HE 与的交点为P ，上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为a ，则，所以，π()100sin ,[0,100]200g x x xx =-∈ππ()100cos 1,[0,100]200200g x x x '=⋅⋅-∈ππ()cos 12200g x x '=⋅-ππ()cos 12200g x x =⋅-[0,100]()0g x '=0[0,100]x ∈()0g x '=[]00,,()0x x g x '∈>[]0,100,()0x x g x '∈<()g x []00,x []0,100x (0)0,(100)0g g ==[0,100]()0g x ≥[0,100]π100sin 200x x ≥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 21a =a =所以，设该十面体的体积为V ，二、单选题13．【答案】A【解析】对任意的正整数x ，均有，所以，当时，取最大值1，所以．因为时，一定成立；时，不一定成立．所以“”是“对任意的正整数x ，均有”的充分不必要条件．14．【答案】B【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以15．【答案】C【解析】由题意，函数满足对于任意的，令，解得或．若，令，则，故，与题设不为常数函数矛盾，所以A 错误；所以，此时令，得，即，所以必然为偶函数，所以C 正确；||1MN ==-1111144ABCD A B D A MP E ABNMC V V V V --=-+11111144||332A MP ABNM S A A S MN =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯△四边形211114141323=-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2a x x +≥222,2x a x a x x +≥∴≥-+1x =22x x -+1a ≥1a =1a ≥1a ≥1a =1a =2a x x +≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(4)0.2P ξ>=11(24)[12(0)](120.2)0.322P P ξξ<≤=-≤=⨯-⨯=()f x ,R,()()2()()a b f a b f a b f a f b ∈++-=0a b ==(0)0f =(0)1f =(0)0f =,0a x b ==()()0f x f x +=R,()0x f x ∀∈=(0)1f =0,a b x ==()()2()f x f x f x +-=()()f x f x -=()f x再令，则，所以D 错误；例如，函数符合题意，此时函数在上严格递增，且不为周期函数，所以B 错误．故选：C ．16．【答案】B【解析】由图知点，所以直线AB 的方程为，直线CD 的方程为，所以，对于命题甲：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，方程组中a ，b 不可解，故命题甲不正确；对于命题乙：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故命题乙正确，综上，故选B三、解答题17．【答案】（1）见解析；（2）2x a b ==2()2112x f x f ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭e e ()2x xf x -+=()f x (0,)+∞(0,4),(1,3),(2,1),(4,0)A B C D 4y x =-+122y x =-+11,2AB CD k k =-=-sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1(cos sin )2y a ax b bx '=-1x =1y =-2x =12y =-1(cos sin )2y a ax b bx '=-1( c o s s i n )1211( c o s 2 s i n 2)22a ab b a a b b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩cos sin 2cos 2sin 21a a b b a a b b -=-⎧⎨-=-⎩sin cos 32sin 2cos 212a b c a b c +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(sin cos )(sin 2cos 2)4a b a b +-+=1λμ+=121122(1)(1)()11111(2)(2)()2222x x y f f y f f λμλμλμλμλμλμ=='''⎧=+=--=-+=-⎪⎨'''=+=--=-+=-⎪⎩12112x x y y =='⎧=-⎪⎨'=-⎪⎩1λμ+=12()()y f x f x λμ=+25【解析】（1）证明：取的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得，且，由三棱柱得性质知，所以，则四边形DGEF 是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．（2）因为是等边三角形，且边长为2，所以，因为三棱柱的高为1，以D 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：所以，所以，设平面BEF的法向量11A D 11FG B D ∥1111,22FG B D DE BD ==11BD B D ∥FG BD ∥EF DG ∥EF ⊄11ADD A DG ⊂11ADD A EF ∥11ADD A ABC △AD BC ⊥1,,DB AD DD111,0,0,,,(1,0,0),(1,0,1)22E F B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113,0,0,0,,,0,122BE EF EC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111,,m x y z =则，令，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，设二面角为，所以，所以，所以二面角的正弦值为．18．【解析】（1）设"该航班飞往A 地"， "该航班飞往B 地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，由全概率公式得，，所以该航班准点放行的概率为0.778（2）（2），11111110020x m BE x z y m EF y z ⎧=⋅=-=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⋅=+=⎩⎪⎩ 1y =113,02z x ==32m ⎛⎫= ⎪⎝⎭1C EF ()222,,n x y z =122222222330220n EC x z z x n EF y z z y ⎧⎧⋅=-+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅=+==⎪⎪⎩⎩22y =22x z ==n = 1B EF C --([0,π])θθ∈|||cos |||||m n m n θ⋅= 2sin 5θ==1B EF C --251A =2A =3A =C =()()()1230.2,0.2,0.6P A P A P A ===()()()1230.84,0.8,0.75P C A P C A P C A ===∣∣∣()()()()()()112232()P C P A P C A P A P C A P A P C A =++∣∣∣0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=()()()()11110.20.84()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大．19．【答案】（1；（2【解析】（1）在直角中，，可得，因为，则在中，，则，所以，解得，则（2）在中，，即，即，解得或（舍去），设，则，()()()()22220.20.8()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣()()()()33330.60.75()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯BMC △BM =ππ,63MBC BCM ∠=∠=10BC =BM =ABM △π2π,63ABM AMB ∠=∠=π6BAM ∠=2ππsin sin 36AB BM ==15AB =11sin 151022ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=△ABC △222π2cos 3AC AB BC AB BC =+-⋅211961002102AB AB =+-⋅⨯210960AB AB --=16AB =6AB =-CBM θ∠=π2ππ,π333ABM BAM θθθ⎛⎫∠=-∠=---= ⎪⎝⎭在中，可得，可得，即，则，则20．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）（2）由题意得，．因为D 为BC 中点，所以，即，又，所以，又E 为的中点，所以，所以，所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．设，其中．则故．（3）思路一：由题意得，，且直线的斜率不为0，ABM △10cos 2πsin sin sin 3AB BM θθθ==10cos sin θθ=16sin θθ=tan θ=cos θ==cos BM BC θ=⋅=1)y x =-22:1(2)43x y x Γ+=≠±1)y x =-12(1,0),(1,0)A A -1A D BC ⊥12A D A C ⊥1PE A D ∥2PE A C ⊥2A C 2||PA PC =121112||4PA PA PA PC AC A A +=+==>Γ12,A A 2222:1()x y x a a bΓ+=≠±2220,a b a b c >>-=24,2,1,a a c b =====22:1(2)43x y x Γ+=≠±1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l可设直线，且．由，得，所以，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路二：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以，()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()21122222y x x x y x ++=--()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路三：由题意得，，且直线的斜率不为0．()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l（i ）当直线垂直于x 轴时，，由得或．不妨设，则直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，所以，故Q 到的距离，此时的面积是．（ii ）当直线不垂直于x 轴时，设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得．下证：．即证，即证，2l 2:1l x =-221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1B M 3(2)2y x =+2B N 1(2)2y x =-3(2)21(2)2y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)Q --12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=2l ()()21122:(1),,,,l y k x M x y N x y =+122,2x x ≠±≠±22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()22224384120k x k x k +++-=221212228412,4343k k x x x x k k --+==++1MB 11(2)2y y x x =++2MB 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()()()()()2112121221121212124262121234k x x k x x x x x x k x x k x x x x ⎡⎤++++--+==⎢⎥++-+-++⎣⎦121212426434x x x x x x -+=-++()121212426434x x x x x x -+=-++()121241016x x x x =-+-即证，即证，上式显然成立，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，此时的面积是定值，为．由（i ）（ii ）可知，的面积为定值．思路四：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，因为，所以，故直线的方程为：22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22244121081643k k k -=---+4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=12QC C △1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,x my M x y N x l y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--2222143x y +=22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭2B N 2223(2)4x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭由，得，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．21．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）；（3）．【解析】（1）对成立，得，所以2为函数的周期．（2为"关于倒数点"，得，即，即，得，设的定义域为R，求导得，当时，严格递增；时，严格递减；时，严格递增，所以的单调递增区间为，递减区间为，成立，（舍）（3）依题意，，1122(2)223(2)4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩()()1212422322y y x x x x -=-+++()()()()12122222121212444933113139634y y y y mx my m y y m y y m m m ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥=-=-=-=⎢⎥+++++-+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=(,3),(1,)-∞--+∞(3,1)--34e -(2,e)()(1)1f x f x +=x R ∈1()(2)(1)f x f x f x ==++()f x ()h x 2-2)1h h =22)1,2)10a a a a ++=+-+-=(1)(1)0a a +--=1a =2()e (1)x x x ϕ=+2()e (1)2e (1)e (1)(3)x x x x x x x x ϕ'=+++=++(,3)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(3,1)x ∈--()0,()x x ϕϕ'<(1,)x ∈-+∞()0,()x x ϕϕ'>()x ϕ(,3),(1,)-∞--+∞3(3,1).(3)4m e ϕ---=-=(1)0m ϕ=-=e ,0()1,0x x x x x a ω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，①当时，，方程可化为，解得，这与不符，因此在内没有实数根；②当时，，方程可化为，该方程又可化为．设，则，因为当时，，所以在内严格递增，又因为，所以当时，，因此，当时，方程在内恰有一个实数根；当时，方程在内没有实数根．③当时，没有意义，所以不是的实数根．④当时，，方程可化为，化为，于是此方程在内恰有两个实数根，则有，解得因此当时，方程在内恰有两个实数根，当在内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为．()x ϕ()(1)1x x ωω+=0x >10x +>()(1)1x x ωω+=21e 1x +=12x =-0x >(0,)+∞()(1)0x x ωω+=10x -<<10x +>()(1)1x x ωω+=11x e x a+=+1ex a x +=-1()e x k x x +=-1()e 1x k x +'=-(1,0)x ∈-()0k x '>()k x (1,0)-(1)2,(0)e k k -==(1,0)x ∈-()(2,e)k x ∈(2,e)a ∈()(1)1x x ωω+=(1,0)-(0,2][e,)a ∈+∞ ()(1)1x x ωω+=(1,0)-1x =-10,(1)x x ω+=+1x =-()(1)1x x ωω+=1x <-10x +<()(1)1x x ωω+=1111x a x a ⋅=+++22(21)10x a x a a ++++-=(,1)-∞-()222(21)41021121(21)10a a a a a a a ⎧+-+->⎪+⎪-<-⎨⎪-+++->⎪⎩a >a >()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-0a <≤()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-(2,e)(2,e)⎫+∞=⎪⎪⎭。
10.4 三阶行列式类似地，可以应用三阶行列式来简便地写出三元线性方程组的解对于方程组（Ⅱ）111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，运用加减消元法，在方程中消去y z 、，就可以得到 ()123231312132213321a b c a b c a b c a b c a b c a b c x ++---()123231312132213321*d b c d b c d b c d b c d b c d b c =++---．现在有111222333a b c D abc a b c =来表示方程（*）中R 的系数，也就是记111222123231312132213321333a b c D a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ==++---，我们把D 叫做三阶行列式，111222333A B C A B C A B C 、、、、、、、、叫做三阶行列式的元素，123231312132213321a b c a b c a b c a b c a b c a b c ++---叫做这个三阶行列式的展开式．容易看出，方程（*）右边刚好是行列式D 中的123a a a 、、分别换成123d d d 、、而得到的结果，记#则方程（*）可以写也x D x D ⋅=．同理，y D y D ⋅=，z D z D ⋅=其中y D 是D 中的123b b b 、、分别换成123d d d 、、所得的行列式，z D 是D 中的123c c c 、、分别换成123d d d 、、所得的行列式若0D ≠，则方程组（Ⅱ）有唯一解为x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．若0D =，则方程组（Ⅱ）可能无解，可能有无穷组解．类似二阶行列式的对角线法展开，我们观察三阶行列式的构造，可以发现三阶行列式展开的规则：先在行列式D 的第三列的旁边顺次另写第一列和第二列，如图所示：b 1b 2b 3a 1a 2a 3c 1c 2c 3b 1b 2b 3a 3a 2a 1然后把每一条实线经过的三个元素的积的和。
6.6 三角函数综合练习例1．已知集合()()()(){}21M f x f x f x f x x =++=+∈R ，，()πsin 3xg x =． （1）判断()g x 与M 的关系，并说明理由； （2）M 中的元素是否都是周期函数，证明结论； （3M 中的元素是否都是奇函数，证明结论．解：（1）()()ππ2π2sin sin 333x x g x g x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭()ππ2sin 1cos 33x =+ ()()πsin113x g x =+=+ ()g x M ∴∈．（2）因()g x 是周期为6的周期函数，猜测()f x 也是周期为6的周期函数 由()()()21f x f x f x ++=+，得()()()132f x f x f x +++=+， ()()()()()()21312f x f x f x f x f x f x ∴++++++=+++ ()()30f x f x ∴++=， ()()3f x f x ∴+=-()()6f x f x ∴+=，是周期函数．（3）考察函数()πcos 3x f x =． 则()()()()2π1πππ2coscos 2cos cos 3333x x x f x f x ++++=+=⋅ ()()1πcos13x f x +==+．且()πcos3x f x =等，不是奇函数．故M 中函数不一定都是奇函数． 例2．已知[)02004πx y -∈，且sin sin cos cos cos cos 0x y x y x y -+-+≤，求满足上述条件的不同数对()x y ，的个数．解：由已知，cos cos 0x y ≤，有cos cos cos cos x y x y -=+，故sin sin cos cos cos cos 0x y x y x y -+++≤，①因此， cos cos cos cos 0x y x y ++≤ ②若cos 0x =时，则cos 0y =；若cos 0y =时，则cos 0x =；若cos 0x ≠，cos 0y ≠，则cos cos 0x y <．此时不妨设cos 0x >，cos 0y <． 由于cos cos cos cos 1y x y x ⇔≥≤，从而0cos cos cos cos cos cos cos cos 0x y x y x y y x ++++>≥≥≥矛盾！解上知：cos cos 0x y == 再由①知：sin sin x y =因此，当π2x =时，可取π2，π2π2+，…，π2002π2+，实数对()x y ，共计1 002个． 当3π2x =，可取3π2，3π2π2+， (3)2002π2+，实数对()x y ，共计1 002个． 类似地，讨论3π2π2x =+，3π4π2+， (3)2002π2+．故 满足条件的不同数对()x y ，的个数为221002⨯个．（2210022008008⨯=个）例3．在ABC △中，AP 平分BAC ∠，AP 交BC 于P ，BQ 平分ABC ∠，BQ 交CA 于Q ，已知30BAC ∠=︒，且AB BP AQ QB +=+，求ABC △各内角的度数的可能值． 解：设ABC △三边长为a b c ，，，考虑到ABC ABG ACG S S S =+△△△， 111sin sin sin 22222B Bab B c BQ a BQ ∴=⋅+⋅， ()sin 2cos 2sin2ac Bac BBQ Ba c a c ∴==++，又BQ 平分ABC ∠， AQ c QC a ∴=，AQ cAQ QC a c=++， bc AQ a c ∴=+，同理acBP b c=+ 又由余弦定理知，()2222222cos 4cos 2Bb ac ac B a c b ac =+-+-=，， 2cos 2ac bc ac BAB BP AG QB c b c a c a c ∴+=+⇔+=++++， ()()()2224cos 2cos222Bac ab a c b ab B a b c a b c ++-+⇔==++， ()24cos 2cos 022B B c b c b ∴-++=，解之得：cos 22B b c =或1cos 22B =， sin cos 22sin B BC∴=或120B =︒， sinsin 2BC ∴=或1202B B C =︒⇒=或120B = 若2B C =时，30A =︒，100B =︒，50C =︒； 若120B =︒时，30A =︒，120B =︒，30C =︒．例4．已知点P 是ABC △内一点，使得PAB PBC PAC ∠=∠=∠，求证：cot cot cot cot PAB A B C ∠=++．解：作BPC △的外接圆圆O ，延长AP 交圆O 于点． 则PTC PBC BAP ∠=∠=∠， AB TC ∴∥．作1BB TC ⊥，垂足是1B ；作1CC AB ⊥，垂足是1C ．作1AA TC ⊥，垂足是1A （见图6－21）；设111AA BB CC h ===．B 1PTB C 11AC图6-2111cot cot BC B CBC h =∠=， 11cot cot CA A ACA h=∠=， 由于PTC ACP ∠=∠， AC ∴是圆O 切线，1ACB BTB ∴∠=∠．11cot cot TB C BTB h∴=∠=． 1111cot cot cos cot TA CA BC TB PAB A tB C AA h++∴∠===++． 综合练习一、选择题1．若33sin cos cos sin 02πθθθθθ--<，≥≤，则角的取值范围是（ ）A ．π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．π5π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．π3π42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，2．若三角形的三条高线长分别为12，15，20，则此三角形的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．形状不确定3．设()1f x ()2sin f x x =+，()3f x =，()24sin f x x =，上述函数中，周期函数的个数是（ ） A ．l B ．2 C ．3 D ．4 4．若sin sin 1x y +=，则cos cos x y +的取值范围是（ ）A ．[]22-，B ．[]11-，C．0⎡⎣D．⎡⎣二、填空题5．方程sin lg x x =有__________个解．6．在Rt ABC △中，c r S ，，分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则crS的取值范围是__________．7．已知()2cos A αα，()2cos B ββ，()10C -，是平面上三个不同的点，且满足关系式CA BC λ=，则实数的取值范围是__________． 8．设cos 2θ=，则44cos sin θθ+的值是__________． 9．已知sin cos θθ+=ππ2θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则tan cot θθ-=__________． 10．已知函数()sin cos f x a x b x ωω=+（a b ω∈R ，，，且ω>0）的部分图像如图6－22所示．则a b ω，，的值分别为__________．图6-2211．设()12i a i n ⋯∈=+R ，，，，αβγ∈R ，，，且αβγ++=0，则对任意x ∈R ，()()()1111111nx x x ax x x i i i i i i i a a a a a a αββγαγβγ+++=⎛⎫++= ⎪ ⎪++++++⎝⎭∑__________． 12．方程()sin 212sin cos 120x x x --+=的解集为__________4 三、解答题13．已知函数sin y x = 14．设0πθ<<，求()sin1cos2θθ+的最大值．15．已知1tan 13a θ⎫=<<⎪⎭．求22sin 2sin 2cos2cos2a a θθμθθ=+-+的最小值． 16．设()()()()()()1123111sin sin sin sin 12231n f x x x x xn nαααα⋯=++++++++⨯⨯-，其中n ∈N ，123ααα∈R 、、．求证：（1）()f x 不恒等于零；（2）若()()120f x f x ==，则12πx x m -=，（m ∈Z ）17．在ABC △中，A B C ∠∠∠、、所对的边为a b c ，，，若c o s c o s c o s 253339A B Ck ===，求a b c ∶∶． 18．如图6－23，要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得10km AD CD AD ⊥=，，14km AB =，60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求两景点B 与C 的距离（精确到0.1km ）．参考数据： 1.414= 1.732 2.236．）DCBA图6-2319．已知αβ，为锐角，且π02x αβ⎛⎫⋅+-> ⎪⎝⎭，求证：cos cos 2sin sin xxαββα⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 20．设αβ、、满足0παβγ<<<<2，若对于任意x ∈R ，()()()cos cos cos 0x x x αβγ+++++=，求γα-．21．将函数()()()333sin sin 2πsin 3π442f x x x x =⋅+⋅+在区间()0+∞，内的全部最值点按从小到大的顺序排成数列{}n a ，（123n ⋯=，，，）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12sin sin sin n n n n b a a a ++=，求证：()()111234n n b n --⋯==，，，． 22．设函数()()sin 1cos nn n n f θθθ=+-，π04θ<≤，其中为正整数． （1）判断函数()()13f f θθ、的单调性，并就()1f θ的情形证明你的结论； （2）证明：()()()()4422642cos sin cos sin f f θθθθθθ-=--； （3）对于任意给定的正整数，求函数()n f θ的最大值和最小值． 23．在ABC △中，已知()22cos cos cos y C A B C =+--．（1）若任意交换A B C ，，的位置，的值是否会发生变化？试证明你的结论； （2）求的最大值．24．已知函数()f x 的定义域R ，对任意的12x x ，都满足()()()1212f x x f x f x +=+，当0x <时，()0f x <．（1）判断并证明()f x 的单调性和奇偶性；（2）是否存在这样的实数m ，当π02θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，使不等式()()()4sin 22sin cos 320sin cos f m f m θθθθθ⎡⎤-++-++>⎢⎥+⎣⎦对所有恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．§6.6 三角函数综合练习 1．（C ）． 2．（B ）． 3．（B ）． 4．（D ）．5．6个（可通过图像得出）． 6．21)，．7．133λ≤≤． 8．1118． 9．． 10．12a b ==，．11．n ． 12．π(21)π2π2x x k x k k ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭Z 或，．13．当3π4θ=，即π2π()2x k k =-∈Z 时，min 0y =，当π4θ=，即π2π()2x k k =+∈Z 时，max 2y =．14 15．329． 16．略． 17．15:14:13． 18．11.3km ． 19．略． 20．4π3γα-=． 21．（Ⅰ）ππ21(1)π(123)636n n a n n -=+-⋅==，，，，； （Ⅱ）1(1)(123)4n n b n --==，，，，．22．（1）13()()f f θθ、在π04⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上均为单调递增的函数；（2）略；（3）当n 为奇数时，函数()n f θ的最大值为0，最小值为1-，当n 为偶数时，函数()n f θ的最大值为1，最小值为．23．（1）任意交换A B C ，，的位置，y 的值不会发生变化；（2）y 取得最大值94． 24．（1）奇函数、增函数；（2）3m >．。
第七章 平面向量7.1 向量的基本概念及表示现实生活中，有些量在有了测定单位之后只需用一个实数就可以表示，例如温度，时间，面积，这些只需用一个实数就可以表示的量叫作标量．还有些量不能只用一个实数表示，例如位移，力，速度等既有大小又有方向的量，这些既有大小又有方向的量叫作向量．向量既有大小又有方向，因此向量不能比较大小．数学中常用平面内带有箭头的线段来表示平面向量．以线段的长来表示向量的大小：以箭头所指的方向（即从始点到终点的方向）来表示向量的方向．一般地，以点P 为始点，点Q 为终点的向量记作PQ．为书写简便，在不强调向量的起点与终点时，向量也可以用一个小写的字母并在上面画一个小箭头来表示，如a ．PQ 的大小叫作PQ 的模，记作PQ，类似地，a 的模记作a ． 1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0 ；0的方向是任意的．2．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．3．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量）． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．5．负向量：与a 的模相等，方向相反的向量叫作a 的负向量，记作a - ．我们规定：0的相反向量仍是零向量．易知对任意向量a 有()a a --=．向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在一条直线上；而有向线段共线则线段必须在同一条直线上．规定。
与任一向量平行．图7-1图7-1三个向量a 、b 、c 所在的直线平行，易知这三个向量平行，记作a b c∥∥，我们也可以称这三个向量共线．例l ．如图7-2所示，128A A A 、是O 上的八个等分点，则在以128A A A 、及圆O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少??A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1图7-2解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是()128i OA i = 、共8个；另一类是()128iAO i =、也有8个．两类合计16个．（2）以128A A A 、为顶点的O 的内接正方形有两个，一个是正方形1257A A A A ；另一个是正方形2468A A A A ．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的√2倍的向量共有42216⨯⨯＝个．注意：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与()128iAO i = 、两类．一般地我们易想到()128i OA i = 、这8个，而易遗漏()128iAO i = 、这8个． （213A A 对应向量13A A 与31A A，因此与（1）一样，在解题过程中主要要防止漏算．认为满足条件的向量个数为8是错误的． 例2．在平面中下列各种情形中，将各向量的终点的集会分别构成什么图形? （1）把所有单位向量的起点平移到同一点O ．（2）把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的p 点． （3）把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 的点p ． 解：（1）以点O 为圆心，l 为半径的圆．（2）直线l 上与点p 的距离为1个长度单位的两个点．（3）直线l ．例3．判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量AP 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ④向量a 与向量b 平行，则a 与b的方向相同或相反； ⑤四边形ABCD 是平行四边形的宽要条件是AB DC =． 解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；③不正确．AB 与CD共线，可以有AB 与CD 平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．1．下列各量中是向量的有__________． （A ）动能 （B ）重量 （C ）质量 （D ）长度 （F ）作用力与反作用力 （F ）温度2．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同． 3．回答下列问题，并说明理由． （1）平行向量的方向一定相同吗? （2）共线向量一定相等吗?（3）相等向量一定共线吗?不相等的向量一定不共线吗?4．命题“a b ∥，b c ∥，则a b∥（ ） A ．总成立B ．当0a ≠时成立 C ．当0b ≠时成立D ．当0c ≠时成立5．已知正六边形ABCDEF （见图7-3），在下列表达式中：①BC CD EC ++ ；②2BC DC +；③FE ED + ；④2ED FA - ；与AC相等的有__________．FC图737.2向量的加减法两个向量可以求和．一般地，对于两个互不平行的向量a 、b ，以A 为共同起点平移向量，有AB a =，AD b = ，则以AB 、AD 为邻边的平行四边形ABCD 的对角线AC c = 叫作a 和b这两个向量的和，即a b c +=．求两个向量和的运算叫做向量的加法．上述求两个向量的和的方法称为向量加法的平行四边形法则，见图7-4．平行四边形法则B图74又AD BC = A B B C A C∴+= 由此发现，当第二个向量的始点与第一个向量的终点重合时．这两个向量的和向量即为第一个向量的始点指向第二个向量终点的向量．此法则称为向量加法的三角形法则，地图7-5．三角形法则图75特殊地．求两个平行向量的和，也可以用三角形法则进行（如图7-6）：（b ）（a ）a BA图76显然，对于任何a ，有0a a += ；()0a a +-= ．对于零向量与任一向量a ，有00a a a +=+=．向量的加法具有与实数加法类似的运算性质，向量加法满足交换律与结合律：交换律：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++与实数的减法相类似，我们把向量的减法定义为向量加法的逆运算．若向量a 与b 的和为向量c ，则向量b 叫做向量c 与a 的差，记作b c a =-．求向量差的运算叫做向量的减法．由向量加法的三角形法则以及向量减法的定义．我们可得向量减法的三角形法则，其作法：在平面内取一点O ，作OA a = ，OB b = ，则BA a b =- ，即a b - 声可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．注意差向量的“箭头”指向被减向量，见图7-7．CB 图77此外，我们可以先做向量b 的负向量OB b =- ′，可根据向量加法的平行四边形法则得()OC a b =+-．易知向量OC BA = ，因此，()a b a b +-=-．例1．如图7-8所示，已知向量a ，b ，c ，试求作和向量a b c ++．图78分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任意两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个新向量与另一个向量的和．即可先作a b + ，再作()a b c ++．解：如图7-9所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA a = ，再作向量AB b = ，则得向量OB a b =+，然后作向量BC c = ，则向量OC a b c =++即为所求．O图79例2．化简下列各式（1）AB CA BC ++ ； （2）OE OF OD DO -+-- ．解：（1）原式()0AB BC CA AB BC CA AC CA AC AC =++=++=+=-=（2）原式()()0OE OF OD DO EO OF EF =+-+=+-=例3．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．已知：如图7-10，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于0，且AO OC =，DO OB =．ODCBA图710求证：四边形ABCD 足平行四边形．证明：由已知得AO OC = ，BO OD =，AD AO OD OC BO BO OC BC =+=+=+=，且A D B C ，，，不在同一直线上，故四边形ABCD 是平行四边形．例4．已知平面上有不共线的四点O A B C ，，，．若320OA OB OC -+=，试求AB BC 的值．解：因为23OA OC OB += ，所以()2OB OA OC OB -=-．于是有2AB BC =-．因此2AB BC= ．基础练习1．若对n 个向量12n a a a，，，存在n 个不全为零的实数12n k k k ，，，，使得11220n n k a k a k a +++= 成立，则称向量12n a a a ，，，为“线性相关”，依此规定，能说明()110a =，，()211a =- ，，()322a =，“线性相关”的实数123k k k ，，依次可以取____________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．2．已知矩形ABCD 中，宽为2，长为，AB a = ，BC b = ，AC c = ，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小．3．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量．已知OP a = ，OR ra kb =+．若PQR △为等边三角形，则k ，r 的取值为（ ）A．k r == B．k r == C．k r ==D．k r ==4．若A B C D 、、、是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）①AC BD BC AD +=+ ②AC BD DC AB -=+ ③AB AC DB DC --=④AB BC AD DC +-=A ．1B ．2C ．3D ．45．设a 表示“向东走10km ”，b 表示“5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”．说明下列向量的意义．（1）a b + ；（2）b d + ；（3）d a d ++ ． 6．在图7-11的正六边形ABCDEF 中，AB a = ，AF b = ，求AC ，AD ，AE ．FC图7117.3 实数与向量的乘法如图7-12，已知非零向量a ，可以作出a a a ++ 和()()()a a a -+-+-．PQ MNaa a图712aOC OA AB BC a a a =++=++ ，简记3OC a = ；同理有()()()3PN PQ QM MN a a a a =++=-+-+-=- ．观察得：3a 与a 方向相反相反且33a a -= ．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a λ．a λ的模与方向规定如下： （1）a a λλ=；（2）a λ 的方向定义为：0λ>时a λ 与a i 方向相同；0λ<时a λ 与ai 方向相反； 0λ=或0a = 时规定：0a λ=．以上规定的实数与向量求积的运算叫作实数与向量的乘法（简称向量的数乘）．向量数乘的几何意义就是：把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小，a λ 与a 是互相平行的向量．对于任意的非零向量a，与它同方向的单位向量叫做向量a 的单位向量，记作0a ．易知01a a a=．向量共线定理：如果有一个实数λ，使()0b a a λ=≠ ，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与()a b ≠是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．通过作图，可以验证向量数乘满足以下运算定律：当m 、n ∈R 时，有1．第一分配律()m n a ma na +=+．2．第二分配律()m a b ma mb +=+．3．结合律()()m na mn a =．例1．计算：（1）()()63292a b a b -+-+；（2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()()64222a b c a b c a c -+--+--+．解：（1）原式18121893a b a b b =---+=-． （2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17732367a b a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 77106262b a a b =+--=． （3）原式66648442a b c a b c a c =-+-+-+-()()()64468642a a a b b c c c =-++-++--62a b =+ ．例2．已知O 为原点，A ，B ，C 为平面内三点，求证A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是OC OA OB αβ=+，且αβ∈R ，，1αβ+=．分析：证明三点共线可从三点构成的其中两个向量存在数乘关系．证明必要条件也是从向量共线时向量的数乘关系入手．证明：必要性．设A B C ，，三点共线，则AC 与AB 共线．于是存在实数λ，使AC AB λ=．而AC OC OA =- ，AB OB OA =- ，()OC OA OB OA λ∴-=-．()1OC OB OA λλ∴=+- ．令λβ=，1λα-=，有()11αβλλ+=-+=，OC OA OB αβ∴=+，且1αβ+=． 充分性． 若OC OA OB αβ=+，且1αβ+=，则()1OC OA OB ββ=-+ ，()OC OA OB OA β=+- ，()OC OA OB OC β-=-，AC AB β∴= ，β∈R ．AC ∴ 与AB 共线，而A 为AC 与AB的公共端点， A B C ∴，，三点在一条直线上．在证明必要性时，A B C ，，三点共线还可用AB kBC = ，AC kBC =表示．本题的结论还可有更一般的形式：A B C 、、三点在一条直线上的充要条件是存在实数h ，k ，l ，使0hOA kOB lOC ++=，且1h k l ++=，l k h ，，中至少有一个不为0．例3．如图7-13，设O 为ABC △内一点，PQ BC ∥，且PQt BC=，，OB b = ，OC c = ，试求OP ，OQ ． 解：由平面几何知，APQ ABC ⨯△∽△，且对应边之比为t ，图713故AP AQ PQt AB AC BC===， 又A P B 、、与A Q C 、、分别共线，即知 AP t AB = ，AQ t AC = ． ()()OP OA AP OA t AB OA t OB OA a t b a ∴=+=+=+-=+-，即()1OP t a tb =-+ ，()()OQ OA AQ OA t AC OA t OC OA a t c a =+=+=+-=+- ，即()1OQ t a c =-+ ．例4．设两非零向量1e 和2e不共线，（1）如果12AB e e =+ ，1228BC e e =+ ，()123CD e e =-，求证A B D ，，三点共线．（2）试确定实数k ，使12ke ke +共线．（1）证明12AB e e =+ ，()121212283355BD BC CD e e e e e e AB =+=++-=+=，AB BD ∴，共线，又有公共点B A B D∴，，三点共线． （2）解12ke e + 与12e ke + 共线，∴存在λ使()1212ke e e ke λ+=+，则()()121k e k e λλ-=-，由于1e 与2e 不共线， 只能有010k k λλ-=⎧⎨-=⎩则1k =±．例5．在ABC △中，F 是BC 中点，直线l 分别交AB AF AC ，，于点D ，G ，E （见图7-14）．如果AD AB λ= ，AE AC μ= ，λ，μ∈R ．证明：G 为ABC △重心的充分必要条件是113λμ+=．l GF E DCB A图714解：若G 为ABC △重心，则()221332AG AF AB AC ==⋅+= 13AD AE λμ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． 又因点D G E ，，共线，所以，()113AD AE AG t AD t AE λμ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 因AD ，AE 不共线，所以，13t λ=且113t μ=-，两式相加即得113λμ+=． 反之，若113λμ+=，则()2xAG xAF AB AC ==+ ()12x AD AE t AD t AE λμ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以，2x t λ=且12x t μ=-，相加即得23x =，即G 为ABC △重心． 基础练习1．已知向量a 、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a 、b共线的条件是（ ） ①234a b e -= 且23a b e +=- ；②存在相异实数λ、u ，使0a ub λ+=；③0xa yb +=（其中实数x y 、满足0x y +=）； ④已知梯形ABCD 中，其中AB a = 、CD b = ．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④2．判断下列命题的真假：（1）若AB 与CD是共线向量，则A B C D ，，，四点共线． （2）若AB BC CA ++=0，则A B C ，，三点共线．（3）λ∈R ，则a a λ>．（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示．3．已知在ABC △中，D 是BC 上的一点，且BDDCλ=，试求证：1AB AC AD λλ+=+ ． 4．已知3AD AB = ，3DE BC = ．试判断AC 与AE是否共线．5．已知在四边形ABCD 中，2AB a b =+ ，4BC a b =-- ，53CD a b =--，求证：四边形ABCD 是梯形．6．已知()2cos A αα，()2cos B ββ，()10C -，是平面上三个不同的点，且满足关系式CA BC λ=，求实数λ的取值范围．7．已知梯形ABCD 中，2AB DC =，M N ，分别是DC AB 、的中点，若1AB e = ，2AD e = ，用1e ，2e表示DC BC MN 、、．8．四边形ABCD 是一个梯形，AB CD ∥且2AB CD =，M N 、分别是DC 和AB 的中点，已知AB a =，AD b = ，试用a ，b 表示BC 和MN ．9．已知a b 、是不共线的非零向量，11c a b λμ=+ ，22d a b λμ=+，其中1122λμλμ、、、为常数，若c d ma nb +=+，求m n 、的值．10．设a 、b 是不共线的两个非零向量，OM ma = ，ON nb = ，OP a b αβ=+，其中m n αβ、、、均为实数，0m ≠，0n ≠，若M P N 、、三点共线，求证：1mnαβ+=．11．在ABC △中，BE 是CD 交点为P ．设AB a = ，AC b = ，AP c = ，AD a λ=，（01λ<<），()01AE b μμ=<<，试用向量a ，b 表示c ． 12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量()12OA = ，，()21OB =-，若OP xOA yOB =+ 且12x y ≤≤≤，则求出点P 所有可能的位置所构成的区域面积．7.4 向量的数量积数量积定义：一般地．如果两个非零向量a 与b 的夹角为α．我们把数量cos a b α⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a b ⋅ ，即：cos a b a b α⋅=⋅，其中记法“a b ⋅ ”中间的“⋅”不可以省略，也不可以用“×”代替．特别地，a b ⋅ 可记作2a ．规定：0与任何向量的数量积为0．非零向量夹角的范围：0≤口≤Ⅱ．投影的定义：如果两个非零向量a 与b 的夹角为α，则数量cos b θ称为向量b 在a 方向上的投影．注意：投影是一个数量．数量积的几何意义：如图7-15，我们把cos b α<叫做向量b 在a 方向上的投影，即有向线段1OB 的数量．图715当π02α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模1OB ； 当ππ2α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模－1OB ； 当π2α=时，1OB 的数量等于零． 当然，cos a α即为a 在b 方向上的投影． 综上，数量积的几何意义：a b ⋅ 等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在a 的方向上的投影cos b α的乘积．向量的数量积的运算律： ①a b b a ⋅=⋅②()()()a b b a b λλλ⋅⋅=⋅（λ为实数）③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅鉴于篇幅这里仅证明性质②：证明：（1）若0λ>，()cos a b a b λλθ⋅= ，()cos a b a b λλθ⋅= ，()cos a b a b λλθ⋅=，（2）若0λ<，()()()cos πcos cos a b a b a b a b λλθλθλθ⋅=-=--= ，()cos a b a b a b λλλθ⋅=⋅= ，()()()cos πcos a b a b a b λλθλθ⋅=-=--= cos a b λθ．（3）若0λ=，则()()()0a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅=．综合（1）、（2）、（3），即有()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．例1．已知4a = ，5b =，当（1）a b ∥，（2）a b ⊥ ，（3）a 与b 的夹角为30︒时，分别求a 与b 的数量积．解：（1）a b ∥，若a 与b 同向，则0θ=︒，cos04520a b a b ∴⋅=⋅︒=⨯=； 若a 与b 反向，则180θ=︒，()cos18045120a b a b ∴⋅=⋅︒⨯⨯⨯-=-． （2）当a b ⊥ 时，90θ=︒，cos900a b a b ∴⋅=⋅︒=．（3）当a 与b 的夹角为30︒时，cos3045a b a b ⋅=⋅︒=⨯= 例2．空间四点A B C D 、、、满足3AB = ，7BC = ，11CD = ，9DA =，则AC BD ⋅ 的取值有多少个？解：注意到2222311113079+==+，由于0AB BC CD DA +++=，则()()2222222DA DA AB BC CDAB BC CD AB BC BC CD CD AB ==++=+++⋅+⋅+⋅()()2222AB BC CD AB BC BC CD =-+++⋅+，即222220AC BD AD BC AB CD ⋅=+--= ，AC BD ∴⋅只有一个值0．例3．已知a b 、都是非零向量，且3a b + 与75a b - 垂直，4a b - 与72a b - 垂直，求a b、的夹角． 解：由()()223750716150a b a b a a b b +⋅-=⇒+⋅-= ①()()22472073080a b a b a a b b -⋅-=⇒-⋅+=②两式相减：22a b b ⋅= 代入①或②得：22a b = ． 不妨设a b 、的夹角为θ，则221cos 22a b b a b bθ⋅=== ，又因为0πθ≤≤，60θ∴=︒．例4．在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：2222224AB BC CD DA AC BD PQ +++=++ ．证明：联结BQ ，QD ，因为BP PQ BQ += ，DP PQ DQ +=， 所以()()2222BQ DQ BP PQ DP PQ +=+++222222BP DP PQ BP PQ DP PQ =+++⋅+⋅ ()22222BP DP PQ BP DP PQ =++++⋅2222BP DP PQ =++ ①又因为BQ QC BC += ，BQ QA BA +=，0QA QC += ，同理222222BA BC QA QC BQ +=++ ② 222222CD DA QA QC QD +=++ ③由①、②、③可得()()2222222224222BA BC CD QA BQ QD AC BP PQ ++=++=++=2224AC BD PQ ++．得证．例5．平面四边形ABCD 中，AB a = ，BC b = ，CD c = ，DA d = ，且a b b c c d d a ⋅=⋅=⋅=⋅，判断四边形ABCD 的形状．证明：由四边形ABCD 可知，0a b c d +++=（首尾相接）()a b c d ∴+=-+，即()()22a bc d +=+ 展开得222222a a b b c c d d +⋅+=+⋅+a b c d ⋅=⋅，222a b c d ∴+=+ ① 同理可得2222a dbc +=+ ② ①-②得2222b a ac =⇒= ，b d ∴= ，ac =，即AB CD =，BC DA =，故四边形ABCD 是平行四边形．由此a c =- ，b d =-．又a b b c ⋅=⋅ ，即()0b a c -= ()20b a ∴⋅=即a b AB BC ⊥⇒⊥ ，故四边形ABCD 是矩形．例6．已知非零向量a 和b 夹角为60︒，且()()375a b a b +⊥- ，求证：()()472a b a b -⊥-．证明：因为a 和b 夹角为60︒，所以1cos602a b a b a b ⋅=⋅⋅︒=⋅；又因为()()375a b a b +⊥- ，所以，即()()3750a b a b +⋅-=．22222217161571615781502a ab b a a b b a a b b +⋅-=+⨯⋅-=+⋅-=．()()7150a b a b ∴+⋅-= ，0a b ∴-= ，即a b =．因为()()22222214727308730871582a b a b a a b b a a b b a a b b -⋅-=-⋅+=-⨯+=-+，把a b = 代入上式消去b得()()2247271580a b a b a a a a -⋅-=-+= ．所以()()472a b a b -⊥- ．基础练习1．已知a b c 、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ）①a b a b a b ⋅=⋅⇔ ∥； ②a b 、反向a b a b ⇔⋅=-⋅；③a b a b a b ⊥⇔+=- ； ④a b a c b c =⇔⋅=⋅ ．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量i j，为相互垂直的单位向量，28a b i j +=- ，816a b i j -=-+ ，求a b ⋅ ．3．如图7-16所示，已知平行四边形ABCD ，AB a = ，AD b = ，4a = ，2b =，求：OA OB ⋅ ．C图7164．设6a = ，10b =，a b -=a 和b 的夹角θ的余弦值． 5．已知a b ⊥ ，2a = ，3b = ，当()()32a b a b λ-⊥+时，求实数λ的值．6．已知不共线向量a ，b ，3a = ，2b =，且向量a b + 与2a b - 垂直．求：a 与b 的夹角θ的余弦值． 7．已知3a = ，4b =，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a kb + 与a kb - 互相垂直？ 8．在ABC △中，已知4AB AC ⋅= ，12AB BC ⋅=-，求AB ．9．在ABC △中，AB a = ，BC b = ，且0a b ⋅>，则ABC △的形状是__________．10．已知向量()24a = ，，()11b = ，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是__________．11．如图7-17，在四边形ABCD 中，4A B B D D C++=，0AB BD BD DC ⋅=⋅= ，4AB BD BD DC ⋅+⋅= ，求()AB DC AC +⋅的值．图717D CBA能力提高12．如图7-18，在Rt ABC △中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点．问PQ 与BC的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值．PQ图71813．已知ABC △中满足()2ABAB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，a b c 、、分别是ABC △的三边．试判断ABC △的形状并求sin sin A B +的取值范围．14．设边长为1的正ABC △的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为121n P P P - ，，，，若1121n n S AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅++⋅ ，求证：21126n n S n-=． 15．在ABC △中，AB a = ，BC c = ，CA b = ，又()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=∶∶∶∶，则ABC △三边长之比a b c =∶∶__________．16．在向量a b c ，，之间，该等式()()())012a b c a b b c c a ⎧++=⎪⎨⋅⋅⋅=⎪⎩∶∶成立，当1a = 时，求b 和c 的值．17．若a b c ，，中每两个向量的夹角均为60︒，且4a = ，6b = ，2c = ，求a b c ++的值． 7.5 向量的坐标表示及其运算 向量的坐标表示在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数()x y ，来表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示?前面的平面向量分解告诉我们，只要选定一组基底，就有唯一确定的有序实数对与之一一对应．我们分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j作为基底，由平面向量的基本定理．对于任一向量a ，存在唯一确定的实数对()x y ，使得()a xi y j x y =+∈R ，，我们称实数对()x y ，叫向量a 的坐标，记作()a x y =，．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标,y 叫向量a 在y 轴上的坐标，见图7-19．图719注意：（1）与a相等的向量的坐标也是()x y ，．（2）所有相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等的向量． 平面向量的坐标运算（1）设()11a x y = ，，()22b x y = ，，则()1212a b x x y y +=++，．（2）设()11a x y = ，，()22b x y = ，，则()1212a b x x y y -=--，． （3）设()11A x y ，，()22B x y ，，则()2121AB OB OA x x y y =-=--，． （4）设()11a x y = ，，λ∈R ，则()a x y λλλ=，．（5）设()11a x y = ，，()22b x y = ，，则()1212a b x x y y ⋅=+． 向量平行的坐标表示设()11a x y = ，，()22b x y = ，，且0b ≠ ，则()1212a b x x y y =+∥． 向量的平行与垂直的充要条件设()11a x y = ，，()22b x y =，，且0b ≠ ，0a ≠ 则12210a b b a x y x y λ⇔=⇔-=∥． 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=． 重要的公式（1）长度公式：a =()()11a x y = ，（2）夹角公式：()())1122cos a x y b x y θ===，，，．（3）平面两点间的距离公式：()())1122A B d AB A x y B x y == ，，，，． （4）不等式：cos a b a b a b θ⋅= ≥． 例1．已知()12a a a = ，，()12b b b =，，且12210a b a b -≠，求证： （1）对平面内任一向量()12c c c ，，都可以表示为()xa yb x y +∈R，的形式；（2）若0xa yb +=，则0x y ==．证明：（1）设c xa yb =+，即()()()()1212121122c c x a a y b b a x b y a x b y =+=++，，，，， 111222.a x b y c a x b y c +=⎧∴⎨+=⎩，12210a b a b -≠ ，∴上述关于x y ，的方程组有唯一解． 1221122112211221.c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，1221122112211221c b c b a c a c c a b a b a b a b a b --∴=+-- ． （2）由（1）的结论，0c =，即120c c ==，则 122112210c b c b x a b a b -==-，122112210a c a c y a b a b -==-，0x y ∴==．小结：证明（1）的过程就是求实数x ，y 的过程，而12210a b a b -≠是上面二元一次方程组有唯一解的不可缺少的条件．另外，本题实际上是用向量的坐标形式表述平面向量基本定理．其中1x λ=，2y λ=，这里给出了一个具体的求12λλ，的计算方法．例2．向量()10OA = ，，()11OB = ，，O 为坐标原点，动点()P x y ，满足0102OP OA OP OB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩≤≤≤≤，求点()Q x y y +，构成图形的面积．解：由题意得点()P x y ，满足0102x x y ⎧⎨+⎩≤≤≤≤，令x y uy v +=⎧⎨=⎩，则点()Q u v ，满足0102u v u -⎧⎨⎩≤≤≤≤，在uOv 平面内画出点()Q u v ，构成图形如图7-20所示，∴其面积等于122⨯=．图720例3．在直角坐标系中，已知两点()11A x y ，，()22B x y ，；1x ，2x 是一元二次方程222240x ax a -+-=两个不等实根，且A B 、两点都在直线y x a =-+上．（1）求OA OB ⋅ ；（2）a 为何值时OA 与OB 夹角为π3．解：（1）12x x 、是方程222240x ax a -+-=两个不等实根，()224840a a ∴∆=-->解之a -<()212142x x a =-，12x x a += 又 A B 、两点都在直线y x a =-+上， ()()()()2212121212142y y x a x a x x a x x a a ∴=-+-+=-++=- 121224OA OB x x y y a ∴⋅=+=-（2）由题意设1x =，2x =112y x a x ∴=-+==，同理21y x =()22212121224OA OB x x x x x x ∴=+=+-=当OA 与OB 夹角为π3时，π1cos 4232OA OB OA OB ⋅==⨯=242a ∴-=解之(a =- a ∴=即为所求．例4．已知()10a = ，，()21b =，．①求3a b + ；②当k 为何实数时，ka b - 与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？解：①()()()31032173a b +=+=，，，，3a b ∴+= ②()()()102121ka b k k -=-=--，，，．设()3ka b a b λ-=+，即()()2173k λ--=，，，12731313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪∴⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩．故13k =-时，它们反向平行．例5．对于向量的集合(){}221A v x y x y ==+ ，≤中的任意两个向量12v v 、与两个非负实数αβ、；求证：向量12v v αβ+的大小不超过αβ+．证明：设()111v x y = ，，()222v x y = ，，根据已知条件有：22111x y +≤，22221x y +≤，又因为12v v αβ+=其中12121x x y y +所以12v v αβαβαβ+=+=+．基础练习1．已知()21a = ，，()34b =-，，求a b + ，a b - ，34a b + 的坐标．2．设O 点在ABC △内部，且有230OA OB OC ++=，求ABC △的面积与AOC △的面积的比．3．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A B C ，，的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D 的坐标．4．已知向量i ，j 为相互垂直的单位向量，设()12a m i j =+- ，()1b i m j =+- ，()()a b a b +⊥-，求m 的值．5．已知等腰梯形ABCD ，其中AB CD ∥，且2DC AB =，三个顶点()12A ，，()21B ，，()42C ，，求D 点的坐标．6．如图7-21所示，已知()20OA =，，(1OB = ，将BA 绕着B 点逆时针方向旋转60︒，且模伸长到BA 模的2倍，得到向量BC ．求四边形AOBC 的面积S ．图7217．如图7-22所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥，2BC AD =，其中()12A ，，()31B ，，()24D ，，求C 点坐标及AC的坐标．图7228．已知向量()2334a x x x =+-- ，与AB 相等，其中()12A ，，()32B ，，求x ．9．平面内有三个已知点()12A -，，()70B ，，()56C -，，求（1）AB ，AC ；（2）AB AC + ，AB AC - ；（3）122AB AC + ，3AB AC - ．10．已知向量()12a = ，，()1b x =，，2u a b =+ ，2v a b =- ，且u v ∥，求x ．11．已知()23a = ，，()14b =- ，，()56c = ，，求()a b c ⋅ ，和()a b c ⋅⋅ ． 12．已知两个非零向量a 和b 满足()28a b +=- ，，()64a b -=--，，求a 与b 的夹角的余弦值．能力提高13．已知平面上三个向量a ，b ，c 均为单位向量，且两两的夹角均为120︒，若()1ka b c k ++>∈R，求k 的取值范围．14．已知OA ，OB 不共线，点C 分AB 所成的比为2，OC OA OB λμ=+ ，求λμ-． 7.6 线段的定比分点公式与向量的应用线段的定比分点公式设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数()1λλ≠-，使12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，P 点叫做有向线段12PP的以定比为λ的定比分点． 当P 点在线段12P P 上时0λ⇔≥；当P 点在线段12P P 的延长线上时1λ⇔<-； 当P 点在线段21P P 的延长线上时10λ⇔-<<；设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，是线段12P P 的分点，λ是实数且12PP PP λ=，则121211x x x OP y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⇔=⎨+⎪=⎪+⎩()12121111OP OP OP tOP t OP t λλλ+⎛⎫⇔=+-= ⎪++⎝⎭ ．()1λ≠-由线段的定比分点公式得：中点坐标公式设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，为12PP的中点，（当1λ=时） 得121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩三角形的重心坐标公式ABC △三个顶点的坐标分别为()11A x y ，、()22B x y ，、()33C x y ，，则ABC △的重心的坐标是12312233x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 利用向量可以解决许多与长度、距离及夹角有关的问题．向量兼具几何特性和代数特性，成为沟通代数、三角与几何的重要工具，同时在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用． 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC △所在平面上一点，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 则（1）O 为ABC △的外心222OA OB OC ⇔== ． （2）O 为ABC △的重心0OA OB OC ⇔++= ．（3）O 为ABC △的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅． （4）O 为ABC △的内心0aOA bOB cOC ⇔++=．（5）O 为ABC △的A ∠的旁心()aOA b OB cOC ⇔=+．例1．如图7-23所示，已知矩形ABCD 中，()21A ，，()54B ，，()36C ，，E 点是CD 边的中点，联结BE 与矩形的对角线AC 交于F 点，求F 点坐标．图723解： 四边形ABCD 是矩形，E 是CD 边的中点， ABF CEF ∴△∽△，且2AB CE =2AF CF ∴=即点F 分AC 所成的比2λ=．设()F x y ，．由(21)A ，，(36)C ，，根据定比分点坐标公式得 2238123x +⨯==+，12613123y +⨯==+ F ∴点坐标是81333⎛⎫⎪⎝⎭，． 例2．证明：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．证明：在单位圆O 上任取两点A ，B ，以Ox 为始边，以OA ，OB 为终边的角分别为β，α，见图7-24．β，sin β）B （cos α图724则A 点坐标为()cos sin ββ，，B 点坐标为()cos sin αα，； 则向量()cos sin OA ββ= ，，()cos sin OB αα= ，，它们的夹角为αβ-，1OA OB ==，cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+ ，由向量夹角公式得：()cos cos cos sin sin OA OBOA OB αβαβαβ⋅-==+ ，从而得证．注意：用同样的方法可证明()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．例3．证明柯西不等式()()()2222211221212x y x y x x y y +⋅++≥．证明：令()11a x y = ，，()22b x y =，（1）当0a = 或0b = 时，12120a b x x y y ⋅=+=，结论显然成立；（2）当当0a ≠ 且0b ≠ 时，令θ为a ，b的夹角，则[]0πθ∈，1212cos a b x x y y a b θ⋅=+=．又cos 1θ ≤，a b a b∴⋅≤（当且仅当a b ∥时等号成立）．1212x x y y ∴+ ()()()2222211221212x y x y x x y y ∴+⋅++≥（当且仅当1212x x y y =时等号成立）． 例4．给定ABC △，求证：G 是ABC △重心的充要条件是0GA GB GC ++=．证明：必要性 设各边中点分别为D E ，，F ，延长AD 至P ，使DP GD =，则2AG GD = GP =．又因为BC 与GP 互相平分，所以BPCG 为平行四边形，所以BG PC ∥，所以GB CP =． 所以0GA GB GC GC CP PG ++=++=．充分性 若0GA GB GC ++= ，延长AG 交BC 于D ，使GP AG =，联结CP ，则GA PG =． 因为0GC PG PC ++= ，则GB PC = ，所以GB CP ∥，所以AG 平分BC ．同理BG 平分CA ．所以G 为重心．例5 ABC △外心为O ，垂心为H ，重心为G ．求证：O G H ，，为共线，且12OG GH =∶∶． 证明：首先()()2112333OG OA AG OA AM OA AB AC OA AO OB OC =+=+=++=+++=()13OA OB OC ++． 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则联结CE 后得CE BC ⊥． 又AH BC ⊥，所以AH CE ∥．又EA AB ⊥，CH AB ⊥，所以AHCE 为平行四边形．所以AH EC =．所以OH OA AH OA EC OA EO OC OA OB OC =+=+=++=++ ， 即3OH OG = ，所以OG 与OH共线，所以O G H ，，共线． 即12OG GH =∶∶． 注意：O G H ，，所在的直线称为欧拉线．例6．已知ABC △，AD 为中线，求证()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（中线长公式）． 证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图7-25所示的直角坐标系，图725设()A a b ，，()0C c ，，02c D ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()22222024c c AD a b ac a b ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，()()22222222221122244BC c c AB AC a b c a b a b ac ⎛⎫⎡⎤⎪+-=++-+-=+-+⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 从而()2222122BC AD AB AC ⎛⎫ ⎪=+- ⎪⎝⎭，()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 例7．是否存在4个两两不共线的平面向量，其中任两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？解：如图7-26所示，在正ABC △中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足PA ，PB ，PC ，PO两两不共线，有POA图726()()PA PB PC PO +⋅+= ()()PO OA PO OB PO OC PO +++⋅++()()22PO OA OB PO OC =++⋅+()()22PO OC PO OC =-⋅+2240PO OC =-=有()PA PB + 与()PC PO +垂直．同理可证其他情况．从而PA ，PB ，PC ，PO满足题意、故存在这样四个平面向量．例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++= ，1231OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．解：令O 为坐标原点，可设()111cos sin P θθ，，()222cos sin P θθ，，()333cos sin P θθ，由123OP OP OP +=- ，即()()()112233cos sin cos sin cos sin θθθθθθ+=--，，， 123123cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩①②两式平方和()1212cos 11θθ+-+=，()121cos 2θθ-=-，由此可知12θθ-的最小正角为120︒，即1OP 与2OP的夹角为120︒， 同理可得1OP 与3OP 的夹角为120︒，2OP 与3OP的夹角为120︒， 这说明123P P P ，，三点均匀分布在一个单位圆上，所以123PP P △为等腰三角形． 基础练习1．在ABC △中，若321AB BC BC CA AB CA⋅⋅⋅==，则tan A =__________． 2．已知P 为ABC △内一点，且满足3450PA PB PC ++=，那么PAB PBC PCA S S S =△△△∶∶__________．3．如图7-27，设P 为ABC △内一点，且2155AP AB AC =+，求ABP △的面积与ABC △的面积之比．PCA图7274．已知ABC △的三顶点坐标分别为()11A ，,()53B ，，()45C ，，直线l AB ∥，交AC 于D ，且直线l 平分ABC △的面积，求D 点坐标．5．已知()23A ，，()15B -，，且13AC AB = ，3AD AB =，求点C D 、的坐标．6．点O 是平面上一定点，A B C ，，是此平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0λ∈+∞，．则点P 的轨迹一定通过ABC △的__________心．能力提高7．设x y ∈R ，，i j 、为直角坐标系内x y 、轴正方向上的单位向量，若()2a xi y j =++，()62b xi y j =+- 且2216a b += ．（1）求点()M x y ，的轨迹C 的方程；（2）过定点()03，作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设OP OA OB =+，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，或不存在说明理由．8．（1）已知4a = ，3b = ，()()23261a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角θ；（2）设()25OA = ，，()31OB = ，，()63OC =，，在OC 上是否存在点M，使MA MB ⊥ ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．9．设a b、是两个不共线的非零向量()t ∈R（1）记OA a = ，OB tb = ，()13OC a b =+，那么当实数t 为何值时，A B C 、、三点共线？（2）若1a b == 且a 与b 夹角为120︒，那么实数x 为何值时a xb -的值最小？10．设平面内的向量()17OA = ，，()51OB = ，，()21OM =，，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PA PB ⋅ 取最小值时，OP的坐标及APB ∠的余弦值．11．已知向量()11m = ，，向量n 与向量m 夹角为3π4，且1m n ⋅=- ．（1）求向量n；（2）若向量n 与向量()10q = ，的夹角为π2，向量22sin 4cos 2A p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，求2n p + 的值．12．已知定点()01A ，，()01B -，，()10C ，．动点P 满足：2AP BP k PC ⋅= ． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）当0k =时，求2AP BP +的最大值和最小值．13．在平行四边形ABCD 中，()11A ，，()60AB =，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．（1）若()35AD =，，求点C 的坐标；（2）当AB AD =时，求点P 的轨迹．14．已知向量()22a = ，，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且2a b ⋅=- ，（1）求向量b；（2）若()10t = ，且b t ⊥ ，2cos 2cos 2C c A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，其中A C 、是ABC △的内角，若三角形的三内角A B C 、、依次成等差数列，试求b c +的取值范围．。
