解直角三角形应用1仰角俯角

解直角三角形的应用-仰角俯角问题能量储备仰角、俯角：如图24­4­6(1)所示，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

通关宝典★ 基础方法点方法点：解直角三角形在实际问题中的应用中正确选取直角三角形的边角关系是求解的关键。

例1：如图24­4­10所示，某电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°。

(1)求大楼与电视塔之间的距离AC ；(2)求大楼的高度CD (精确到1米)。

解：(1)在△ABC 中，∵ ∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，∴ AC ＝AB ＝610米。

答：大楼与电视塔之间的距离AC 为610米。

(2)由矩形的性质可知DE ＝AC ＝610米。

在Rt △BDE 中，由tan ∠BDE ＝BE DE，得BE ＝DE·tan 39°。

又∵CD ＝AE ，∴CD ＝AB －DE·tan 39°＝610－610×tan 39°≈116(米)。

答：大楼的高度CD 约为116米。

例2：如图24­4­28所示，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1.2米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔顶端A 的仰角为61°.求这个电视塔的高度AB .(精确到1米)解：如图24­4­29所示，设AE 为x 米，则塔的高度为(x ＋1.2)米．∵ tan 61°＝AE EF ＝x EF ，∴ EF ＝x tan 61°. 又∵ tan 42°＝AE CE ，∴ CE ＝x tan 42°. ∵ CE ＝120＋x tan 61°， ∴ x tan 42°＝120＋x tan 61°， 解得x ≈215.7，∴ x ＋1.2≈217(米)．∴ 这个电视塔的高度AB 约为217米。

28.2.2解直角三角形的应用（仰角和俯角）教案
中，
D
设计意图：通过分析题意，引导学生构造直角三角形，把已知条件转化到两个直角三角形里，根据已知的边角条件，恰当地选择锐角三角函数关系，解决实际问题，让学生初步认识到解直角三角形在实际问题中的应用；同时通过
一方面让学生进一步认识到解直角三角形在实际问题中的应用，另一方面，让学生意识到通过设未知数，建立方程也是解决实际问题时常用到
处，看另一栋楼楼顶的俯角为30°，看这
BC有多高？
A
E
尽管实际问题的背景发生了变化，
C E。

备考2023年中考数学一轮复习-解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题-综合题专训及答案解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题综合题专训1、(2018山西.中考真卷) 祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内．测量数据∠A的度数∠B的度数AB的长度38°28°234米……（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．2、(2019石家庄.中考模拟) 如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角∠EOA=30°，在0B的位置时俯角∠FOB=60°，若OCLEF，点A比点B高7cm．（要求：本题中的计算结果均保留整数。

参考值：≈1．7；π≈3．1）求：（1)单摆的长度；【答案】解：解：设单摆的长度为x．过A作AM⊥OC于点M，过B作BN⊥OC于点N∵OC⊥EF．∴∠COE=∠COF=90°∴∠AOM=∠COE-∠AOE=90°-30°=60°∠BON=∠COF-∠BOF=90°-60°=30°在Rt△AOM中，OM=OA·cos60°= x在Rt△BON中，ON=OB·cos30°= x由题知：MN=7∴ON-OM= x- x=7解得：x=7 +7≈7×1．7+7≈19答：单摆的长度约19cm．（1）从点A摆动到点B经过的路径长．3、(2019丹东.中考模拟) 如图，为了测量小山顶的铁塔AB高度，王华和杨丽在平地上的C点处测得A点的仰角为45°，向前走了18m后到达D点，测得A点的仰角为60°，B点的仰角为30°（1）求证：AB＝BD；（2）求证铁塔AB的高度.（结果精确到0.1米，其中≈1.41 ）4、(2019海宁.中考模拟) 如图，小聪和小明在校园内测量钟楼MN的高度.小聪在A 处测得钟楼顶端N的仰角为45°，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为60°，并测得A，B两点之间的距离为27.3米，已知点A，M，B依次在同一直线上.（1）求钟楼MN的高度，（结果精确到0.1米）（2）因为要举办艺术节，学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段AM上）.小聪测得点C处的仰角∠NCM等于75°，小明测得点C，M之间的距离约为5米，若小聪的仰角数据正确，问小明测得的数据“5米”是否正确？为什么？（参考数据： 1.41， 1.73）5、(2014绍兴.中考真卷) 九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB=38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．备用数据：tan60°=1.732，tan30°=0.577，=1.732，=1.414．6、(2018广州.中考模拟) 如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．7、(2016盐田.中考模拟) 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，小凡在矩形建筑物ABCD的A、C两点处测得塔顶F的仰角分别为α和β，AD=18m，CD=78m．（1）用α和β的三角函数表示CE；（2）当α=30°、β=60°时，求EF（结果精确到1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）8、(2019贵阳.中考模拟) 如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方6米处的点C出发，沿坡度为i＝1：的斜坡CD前进2 米到达点D，在点D 处放置测角仪DE，测得旗杆顶部A的仰角为30°，量得测角仪DE的高为1.5米.A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直.（1）求点D的铅垂高度(结果保留根号)；（2）求旗杆AB的高度(结果保留根号).9、(2019桂林.中考模拟) 如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i＝1：（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比），另一段斜坡AD的长400米，在斜坡BD的坡顶D处测得山顶A的仰角为45°（1）求斜坡BD的坡顶D到地面BC的高度是多少米？（2）求BC.（结果保留根号）10、(2017桂林.中考模拟) 如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，已知斜坡CD长6 米，坡角∠DCE等于45°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的顶点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．11、(2018海南.中考真卷) 如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG 的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G 的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）计算古树 BH的高；（2）计算教学楼CG的高．（参考数据：≈14，≈1.7）12、(2018遵义.中考模拟) 为纪念遵义会议80周年献礼，遵义市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60 米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．（1）若修建的斜坡BE的坡比为∶1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？13、(2020铁岭.中考真卷) 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面.（点在同一平面内）（参考数据）（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度.（结果精确到1米）14、(2021八步.中考模拟) 如图，某中学数学课外学习小组想测量教学楼的高度，组员小方在处仰望教学楼顶端处，测得，小方接着向教学楼方向前进到处，测得，已知，，.（，）（1）求的值；（2）求教学楼的高度.（结果精确到）15、随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边，两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得岸边处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，（点，，，在同一平面内）．（1）求仰角的正弦值；（2）求，两点之间的距离（结果精确到）．（，，，，，）解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题综合题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：。

解直角三角形的仰角俯角问题
仰角和俯角是解直角三角形问题中常见的概念。

在直角三角形中，仰角是锐角的补角，而俯角是锐角的余角。

1.仰角：在直角三角形中，与直角的锐角相邻的角叫做仰角。

仰角是锐角的
补角，即仰角= 90° - 锐角。

2.俯角：与直角的锐角相对的角叫做俯角。

俯角是锐角的余角，即俯角= 锐
角。

解这类问题时，通常需要利用三角函数的性质和关系，如正切、正弦、余弦等，以及直角三角形的边和角的关系，如勾股定理等。

以下是一个简单的例子：
题目：一个塔的高度是30米，从塔顶测得某建筑物顶部的仰角为24°，从地面测得该建筑物顶部的俯角为66°，求这个建筑物的高度。

解：设建筑物的高度为h 米。

根据三角函数的性质和关系，我们有：
塔顶到建筑物顶部的距离= 塔的高度× 正切(仰角) = 30 × tan(24°)。

建筑物顶部到底部的距离= 建筑物的高度× 正切(俯角) = h × tan(66°)。

由于直角三角形中的勾股定理，我们有：
塔顶到建筑物顶部的距离^2 + 建筑物顶部到底部的距离^2 = 塔高度的^2。

代入已知数值，我们可以得到一个关于h 的方程，并解出h 的值。

28.2.2解直三角形应用（1）教学目标(一)知识与能力：了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题．(二)方法与过程：逐步培养分析问题、解决问题的能力．(三)情感、态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．教学重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学过程：（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：tanA=的邻边的对边A A ∠∠（二）合作探究一例 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果保留整数)分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点. 如图,⊙O 表示地球，点F 是飞船的位置，FQ 是⊙O 的切线，切点Q 是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ 的长就是地面上P, Q 两点间的距离.为计算弧PQ 的长需先求出(即)斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin（引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？）解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形，弧PQ的长为由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2070 km.（三）合作探究二1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义2.例热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出B C.解:如图, ，,答:这栋楼高约为277.1m.（四）巩固练习：文峰塔是阜阳标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测塔的高度AB．小明在D处用高1.5m的测角仪CD，测得塔顶端A的仰角为30°，然后向塔前进224m 到达E处，又测得塔顶端A的仰角为60°．求文峰塔的高度AB．（结果保留根号）(五)总结反思请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．（六）达标检测1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__ _______米.2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.（七）作业布置小刘想测量学校操场旗杆顶端到地面的距离，但旗杆底部不能直接到达，请你应用今天所学知识，帮助他设计一个测量方案，画出示意图，相关数据用字母表示，并与同学交流。

【浙教版】2022年九年级（上）期末复习培优提分专项训练：解直角三角形的应用（俯角仰角问题）1．（2022·浙江绍兴·二模）如图，广场上空有一个热气球，热气球的探测器显示，离这栋楼底部水平距离为BD=30m，从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°．(1)求热气球A离地面的高度（精确到1m）；(2)当热气球沿着与BD平行的路线飘移20s后到达点C，这时探测器显示，从热气球底部C 处看这栋高楼底部B的俯角为45°，求热气球漂移的平均速度．（精确到0.1m/s，√2≈1.414，√3≈1.732）【答案】(1)52m(2)1.1m/s【分析】（1）根据题意可得∠DBA=60°，再解Rt△ABD即可；（2）过点C作CE⊥BD于点E，则四边形ADEC是矩形，可得CE=52m，再证明BE=CE，从而求出AC=DE，进一步可得出结论．（1）⊥从热气球底部A处看这栋高楼底部B的俯角为60°．⊥∠DBA=60°，在Rt△ABD中，∠DBA=60°，BD=30m，=tan∠DBA,⊥ADBD⊥AD=BD·tan∠DBA=30×√3≈30×1.732≈52(m)，所以，求热气球A离地面的高度约为52m；（2）过点C作CE⊥BD于点E，如图，则四边形ADEC是矩形，⊥CE=AD=52,AC=DE⊥∠ACB=45°，⊥∠EBC=∠ECB=45°,⊥△BCE是等腰直角三角形，⊥BE=CE=52(m)，⊥BD=30m，⊥DE=BE−BD=52−30=22(m)⊥AC=22（m）⊥热气球漂移的平均速度为22÷20=1.1m/s．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用三角函数的知识求解直角三角形．2．（2022·浙江·金华市婺城区教育局教研室模拟预测）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：(1)若AD=140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？(2)若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为4:√3，求路线AD的长．【答案】(1)80√3米(2)AD=800米7【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，在Rt⊥ADF中，根据三角函数求出DF，AF，在Rt⊥CDE中，根据三角函数求出CE，即可得到BC；（2）设CD=√3x，AD=4x，分别求出DF、DE，由DF+DE=EF=100，求出x即可得到AD 的长．（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，则四边形ABEF是矩形，⊥AF=BE，EF=AB，在Rt⊥ADF中，AD=140，⊥F AD=30°，AD=70，AF=AD⋅cos30°=70√3，⊥DF=12在Rt⊥CDE中，⊥DCE=60°，DE=EF-DF=100-70=30，=10√3，⊥CE=DEtan60°⊥BC=BE+CE=80√3（米）；（2）设CD=√3x，AD=4x，在Rt⊥ADF中，⊥F AD=30°，AD=2x，⊥DF=12在Rt⊥CDE中，⊥DCE=60°，x，⊥DE=CD⋅sin60°=32⊥DF+DE=EF=100，，解得x=2007⊥AD=4x=800（米）．7【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造合适的直角三角形是解题的关键．3．（2022·浙江台州·二模）“测温门”用于检测体温．某测温门截面如图所示，小明站在地面M处时测温门开始显示额头温度，此时在离地1.6米的B处测得门顶A的仰角为30°；当他向前走到N处时，测温门停止显示额头温度，此时在同样高度的点C处测得门顶A的仰角为45°．已知测温门顶部A处距地面的高度AD为2.6米，对小明来说，有效测温区间MN 的长度约为多少米？（结果保留一位小数）．【答案】0.7米【分析】延长BC交AD于点E，则AE=AD-DE=1（米），再求出BE、CE的长，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC交AD于点E，则AE=AD-DE=2.6-1.6=1（米），在Rt⊥ABE中，⊥ABE=30°，⊥BE=√3AE=√3，在Rt⊥ACE中，⊥ACE=45°，=1，∴CE=AEtan45°∴MN=BC=BE−CE=√3−1≈1.73−1≈0.7（米），答：对小明来说，有效测温区间MN的长度约为0.7米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形是解题的关键．4．（2022·浙江台州·二模）2022年2月4日晚，当我国运动员迪妮格尔·衣拉木江和赵嘉文将最后一棒火炬嵌入主火炬“大雪花”中央时，第24届北京冬奥会向世界展示了低碳环保的“点火”仪式，小华有幸在现场目睹这一过程，在“大雪花”竖直升起的某一刻，从小华的位置（点O）观测“大雪花”的顶部A的仰角α为12.8°，底部B的俯角β为15.3°，已知“大雪花”高AB约14.89 m，求小华的位置离“大雪花”的水平距离OC．（结果精确到0.l m，参考数据：tan12.8°≈0.23，sin12.8°≈0.22，tan15.3°≈0.27，sin15.3°≈0.26）【答案】小华的位置离“大雪花”的水平距离OC约为29. 8 m【分析】通过解RtΔAOC和RtΔBOC得AC=OC tan12.8°，BC=OC tan15.3°，再根据AC+BC= AB求出OC的长即可．【详解】解：∵OC⊥AB，∴tanα=ACOC ，tanβ=BCOC，⊥AC=OC tanα，BC=OC tanβ．又AB=14.89 m，且AC+BC=AB∴OC(tanα+tanβ)=14.89,即(0.23+0.27)OC≈14.89，解得OC≈29. 8 m．【点睛】本题考查仰角和俯角的定义，要求学生能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形．5．（2022·浙江宁波·九年级期末）某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度BC．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的点B处的俯角∠FAB=α，点C处的俯角∠FAC=37°，线段AD的长为无人机距地面的高度，点D、B、C在同一条水平直线上，tanα=3，BD=25米．(1)求无人机的飞行高度AD．(2)求河流的宽度BC．（参考数据；sin37°≈0.60，cossin37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】(1)75米(2)75米【分析】（1）在Rt⊥ABD中，由锐角三角函数定义求出AD的长即可；（2）在Rt⊥ADC中，由锐角三角函数定义求出CD的长，即可解决问题．（1）由题意得：AF⊥CD，⊥⊥F AB=⊥ABD=α，⊥F AC=⊥ACD=37°，在Rt⊥ABD中，tan⊥ABD=ADBD，⊥tanα=3，BD=25米，⊥AD=BD•tanα=25×3=75（米），答：无人机的飞行高度AD为75米（2）在Rt⊥ACD中，tan⊥ACD=ADCD，⊥CD=ADtan∠ACD =75tan37°≈750.75=100（米），∴BC=CD−BD=100−25=75（米），答：河流的宽度BC为75米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．6．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，小刚想测量学校的旗杆AB的高度，他先站在C点处观察旗杆顶端A点，测得此时仰角为45°．然后他爬上三楼站在D处观察旗杆顶端A，此时的仰角为30°．已知三楼的高度即CD=10米．请帮小刚计算求出旗杆AB的高度．（小刚的身高不作考虑，最后结果保留根号．）【答案】旗杆AB的高度为(15+5√3)米【分析】过点D作DE⊥AB于点E，证明四边形DCBE是矩形，得BE=CD=10米, 设BC=BA=x，则AE=AB=BE=x-10，通过解直角三角形ADE即可得到结论．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图，⊥∠DEB=90°又∠DCB=∠CBE=90°⊥四边形DCBE是矩形⊥BE=CD=10米，ED=BC⊥∠ACB=45°⊥∠CAB=45°⊥BA=BC设BC=BA=x，则AE=AB=BE=x-10在Rt⊥ADE中，tan∠ADE=AEDE⊥x−10x =tan30°，即x−10x=√33解得，x=15+5√3即AB=15+5√3答：旗杆AB的高度为(15+5√3)米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．7．（2022·浙江金华·九年级期中）某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）【答案】37.2米【分析】过点D作DH⊥AB，交AB于点H，则四边形HBCD是矩形，设AH=x，在Rt△AHF =tan32°≈0.62，列出方程，解方程求解可得AH，根据AB=AH+HB 中，tan∠AFH=AHHF即可求解．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB，交AB于点H，则四边形HBCD是矩形，设AH=x，∵∠ADH=45°，=AH，∴HD=AHtan∠ADH根据题意可得四边形CDFE是矩形，则CE=DF=22,CD=EF=HB=1.3，=tan32°≈0.62，在Rt△AHF中，tan∠AFH=AHHF≈0.62，∴xx+22解得x≈35.9，∵AB=AH+HB=35.9+1.3=37.2（米）答：嵩岳寺塔AB的高度为37.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确的使用三角函数是解题的关键．8．（2022·浙江台州·一模）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行140米到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求她滑行的水平距离BC约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732）【答案】138.6米【分析】作DE⊥AB于E于F,DF⊥BC，在Rt△ADE中，根据含30°角的直角三角形的性质求出AE和DE的长，再根据线段的和差关系求出BE长，再证明四边形EBFD为矩形，求出DF 和BF长，然后在Rt△CDF中计算出CF长，最后求BF和CF长之和即可．【详解】解：如图，作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F，在Rt△ADE中，⊥∠DAE=90°−30°=60°，⊥∠ADE=90°−∠DAE=30°，AD=70米，AE=12DE=√3AE=70√3米，⊥BE=AB−AE=100−70=30米，∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ABC=90°，⊥四边形EBFD为矩形，⊥BE=DF，DE=BF，⊥DF=30米，BF=70√3米，在Rt△CDF中，⊥∠CDF=90°−60°=30°，DF=10√3米，⊥CF=√33∴BC=80√3≈80×1.732=138.56≈138.6米．答：她滑行的水平距离BC约为138.6米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题：解题的关键是要了解角之间的关系，找到与已知量和未知量相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．9．（2022·浙江台州·一模）如图，为了建设一条贯穿山峰的东西方向隧道AB，在规划中首先需要测量A，B之间的距离．无人机保持离水平道路240m的竖直高度，从点A的正上方点C出发，沿正东方向飞行600m到达点D，测得点B的俯角为37°．求AB的长度．（参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75）【答案】280m【分析】过点B作BE⊥CD于E，则由矩形性质可得BE的长，在Rt△BDE中，由正切可得出DE的长，即可求得．【详解】解：过点B作BE⊥CD于E，⊥四边形ABEC是矩形，⊥BE=AC=240m，AB=CE，，在Rt△BDE中，tan∠BDE=BEDE≈0.75，即：240DE∴DE≈320m，∴CE=CD−DE≈280m，∴AB=CE≈280m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角形函数以及添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．（2022·浙江舟山·九年级专题练习）如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABCD，其中AB=3m，AD=1m，此时它与出入口OM等宽，与地面的距离AO=0.2m；当它抬起时，变为平行四边形AB′C′D，如图3所示，此时，A′B′与水平方向的夹角为60°．(1)求点B′到地面的距离；(2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；(3)一辆高1.6m，宽1.5m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：√3≈1.73，π≈3.14，所有结果精确到0.1)【答案】(1)2.8m(2)3.1m(3)汽车能安全通过，理由见解析【分析】（1）过点B′作B′N⊥OM于点N，交AB于点E，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可；（2）根据弧长公式解答即可；（3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．（1）解：如图，过点B′作B′N⊥OM于点N，交AB于点E，∵AB′=AB=3，∠BAB′=60°，∴B′E=AB′sin60°=3×√32=3√32≈2.6m，∴B′N=B′E+EN=2.6+0.2=2.8m；（2）∵点C′是点C绕点D旋转60°得到，∴点C经过的路径长为60×π×3180=π≈3.1m；（3）在OM上取MK=0.4m，KF=1.5m，作FG⊥OM于点F，交AB于点H，交AB′于点G，当汽车与BC保持安全距离0.4m时，∵汽车高度为1.6m，∴OF=3−1.5−0.4=1.1m，∵AB//OM，AO⊥OM，∴AH=OF=1.1m，∠AHG=90°，HF=OA=0.2m，∴GH=1.1×tan60°=1.1×√3≈1.903m，∵GH+HF=1.903+0.2≈2.1m>1.6m，∴汽车能安全通过．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数，弧长的计算等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．11．（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内）(1)求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）(2)求路段AB的长；（√3≈1.7，结果保留整数）(3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当P A过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？【答案】(1)4米(2)8米(3)不超速，计算过程见详解【分析】（1）先求出∠PBQ的度数，再利用三角函数求BQ的长；（2）通过做辅助线构造直角三角形P AE，结合所给坡度用勾股定理列方程，即可求出路段AB的长；（3）通过做辅助线，构造出Rt△PBQ和Rt△PDB，利用勾股定理求出PB、BD和AD的长，结合题意，再利用三角函数求出测速距离，进而求出车的平均速度，即可判断出是否超速．（1）解：∵电子眼照射在坡角点B处时的俯角为70°，∴∠QPB=90∘−70∘=20∘，∵∠PQB=90∘，∴∠PBQ=70∘，∵PQBQ=tan∠PBQ=tan70∘，∴BQ=PQtan70∘≈112.75=4即路段BQ的长为4米．（2）如图，过点A作AE⊥PQ，垂足为E，过点A作QB的垂线段，交QB的延长线于点G，∵坡AB的坡比为3：4设BG=4x，AG=3x,在Rt△ABG中，根据勾股定理，AB=√AG2+BG2=5x，∵AE=QG=4x+4，EQ=AG=3x，∴PE=PQ−EQ=11−3x，∵电子眼照射在A处时俯角为30°，∠APE=60∘在Rt△PBQ中，四边形ABCD为矩形，AB长3米，AD长1米，点D距地面为0.2米．道闸打开的过程中，边AD固定，连杆AB，CD分别绕点A，D转动，且边BC始终与边AD平行．(1)如图2，当道闸打开至⊥ADC＝45°时，边CD上一点P到地面的距离PE为1.2米，求点P到MN的距离PF的长．(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至⊥ADC＝36°时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【答案】(1)PF=2米(2)轿车能驶入小区；理由见解析【分析】（1）在Rt⊥PDQ中，由⊥PDQ＝45°，DQ＝PQ＝1，进而求出FP即可；（2）当⊥ADC＝36°，PE＝1.6米时，求出PF，与1.8米比较即可得出答案．（1）解：（1）过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，如图所示：由题意可知，⊥ADC＝45°，PE＝1.2米，QE＝0.2米，在Rt⊥PDQ中，⊥PDQ＝45°，PQ＝1.2−0.2＝1米，∴∠DPQ=90−45°=45°，∴∠PDQ=∠DPQ=45°，⊥DQ＝PQ＝1（米），⊥PF＝EN=AB−DQ＝3−1＝2（米）．（2）当⊥ADC＝36°，PE＝1.6米时，则⊥DPQ＝36°，PQ＝1.6−0.2＝1.4（米），⊥DQ＝PQ•tan36°≈1.4×0.73＝1.022（米），⊥PF＝3−1.022≈1.98（米），⊥1.98＞1.8，⊥能通过．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．13．（2022·浙江宁波·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC=100m，坡面AB的坡比为1:0.7（注：坡比是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比），点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角∠DBE，∠DBF分别为45∘，28∘．(1)求山脚A到河岸E的距离；(2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin28∘≈0.47，cos28∘≈0.88，tan28∘≈0.53）【答案】(1)山脚A到河岸 E 的距离为30m(2)河宽EF的长为88.7m【分析】（1）由坡比可求AC的长，由平行线的性质可知∠BEC=∠DBE=45°，∠CBE=∠BEC=45°，可知CE=BC，根据AE=CE−AC计算求解即可；（2）由题意知∠BFC=∠DBF=28°，由CF=BCtan28°求出CF的值，根据EF=CF−CE计算求解即可．（1）解：⊥坡面AB的坡比为1:0.7，BC=100m，⊥AC=70m，⊥∠BEC=∠DBE=45°，⊥∠CBE=∠BEC=45°，⊥CE=BC=100m，⊥AE=CE−AC=30m，⊥山脚A到河岸E的距离为30m．（2）解：⊥∠BFC=∠DBF=28°，⊥CF=BCtan28°=1000.53≈188.67m⊥EF=CF−CE≈88.7m．⊥河宽EF的长为88.7m．【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用．解题的关键在于明确线段的数量关系．14．（上海市闵行区2022-2023学年九年级上期中学期数学试卷）如图，在电线杆上的C处引拉线CE和CF固定电线杆．在离电线杆6米的B处安置测角仪（点B、E、D在同一直线上），在点A处测得电线杆上C处的仰角为30°．已知测角仪的高AB为√3米，拉线CE的长为6米，求测角仪底端（点B）与拉线固定点（E）之间的距离．【答案】3米【分析】过A 作AM 垂直于CD ，垂足为M ，根据含有30°的直角三角形直角边与斜边的关系和勾股定理求出CM ，根据勾股定理得到DE 的长，由BD 的长减去DE 的长即可求出BE 的长. 【详解】解：如图：过A 作AM 垂直于CD ，垂足为点M ，则AM =BD =6米，MD =AB =√3米，∠AMC =90°， ∵∠CAM =30°， ∴CM =12AC ，∵AC 2−CM 2=AM 2， ∴3CM 2=36， ∴CM =2√3（米）， ∴CD =3√3（米）， ∵CE =6米，利用勾股定理得DE =√CE 2−CD 2=√62−（3√3）2=√9=3（米）， ∴BE =6−3=3（米）．答：测角仪底端（点B ）与拉线固定点（E ）之间的距离是3米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，含有30°的直角三角形直角边与斜边的关系和勾股定理知识点，掌握仰角俯角的概念及30°的直角三角形直角边与斜边的关系是解题的关键．15．（2022·福建·晋江市第一中学九年级期中）八仙阁是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．小明想知道它的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了15.5米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.5米，请聪明的你帮他求出八仙阁AB的高度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【答案】八仙阁AB的高度为48米．【分析】证明四边形DCFE，FEGB，DCBG均为矩形．在Rt△AGE和Rt△AGD中，根据三角函数的定义列式计算即可解答．【详解】解：由题意得∠DCB=∠EFB=∠GBF=∠BGD=90°，CD∥EF∥AB，则四边形DCFE，FEGB，DCBG均为矩形．所以BG=EF=CD=1.5米，DE=CF=15.5米，在Rt△AGE中，∠AEFG=∠EAG=45°，则AG=EG．设AG=EG=x米，在Rt△AGD中，tan∠ADG=AGDG，则tan37°=xx+15.5，即3(x+15.5)=4x，解得：x=46.5，所以AG=46.5米，则AB=46.5+1.5=48（米）．答：八仙阁AB的高度为48米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．16．（2022·重庆南开中学九年级期中）如图，小开家所在居民楼AC，楼底C点的左侧30米处有一个山坡DE，坡角为30°，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离DE为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为45°，居民楼AC与山坡DE的剖面在同一平面内．(1)求BC的高度；（结果精确到个位，参考数据：√3≈1．73）(2)某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？【答案】(1)BC的高度约为85米(2)小开能在闭馆前赶到图书馆【分析】（1）如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，解直角三角形即可；（2）根据题意，列算式计算出小开到图书馆所用时间即可．【详解】（1）如图，作EF⊥AC于F，作EG⊥CD，交CD延长线于点G，得矩形EFCG，⊥EF=CG，EG=FC，根据题意可知：CD=30米，∠BEF=45°，DE=40米，∠EDG=30°，DE=20米，⊥EG=12⊥DG=√3EG=20√3（米），⊥EF=GC=GD+CD=(20√3+30)米，⊥BF=EF=(20√3+30)米，⊥BC=BF+FC=BF+EG=20√3+30+20=20√3+50=85（米），答：BC的高度约为85米；（2）根据题意得：30÷6+40÷4+85÷1.25+3×60=263（秒），⊥263<300，⊥小开能在闭馆前赶到图书馆．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．17．（2021·山东·淄博市淄川第二中学九年级期中）为践行“绿水青山就是金山银山"的重要思想，我省森林保护区开展了寻找古树活动．如图，发现古树AB是直立于水平面，为测量古树AB的高度，小明从古树底端B出发，沿水平方向行走了26米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC=BC，在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E 点处测得古树顶端A点的仰角∠AEF为15°（点A、B、C、D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4．(1)求斜坡CD的高；(2)求古树AB的高？（已知sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15≈0.27°）【答案】(1)10米(2)24.3米【分析】(1)过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，根据斜坡CD的坡度(或坡比)i= 1：2.4可设DG=x，则CG=2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而即可求解；(2)由CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM=BG，BM=EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．【详解】（1）解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，⊥斜坡CD的坡度(或坡比)i=1：2.4，BC=CD=26米，⊥DG=x，则CG=2.4x．在Rt△CDG中，⊥DG2+CG2=DC2，即x2+(2.4x)2=262，解得x=10，⊥DG=10米，即：斜坡CD的高为10米；（2）⊥DG=10米，⊥CG=24米，⊥EG=10+0.8=10.8米，BG=26+24=50米．⊥EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，⊥四边形EGBM是矩形，⊥EM=BG=50米，BM=EG=10.8米．在Rt△AEM中，⊥∠AEM=15°，⊥AM=EM⋅tan15°≈50×0.27=13.5米，⊥AB=AM+BM=13.5+10.8≈24.3(米)．答：建筑物AB的高度约为24.3米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．（2022·陕西·西安市铁一中学九年级期中）如图，某学习小组在学习了“利用三角函数测高后”，选定测量小河对面一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡的D处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°，且D离地面的高度DE为9米，坡底的长度EA=21米，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角为45°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：√3≈1.73）⊥DE⊥EC，BC⊥EC，DH⊥BC，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，求体温检测有效识别区域CD段的长（结果保留根号）了如下方案（如图）：⊥在点A处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角∠MCE的度数；⊥在点A 与小山之间的B处安置测倾仪，测得小山顶M的仰角∠MDE的度数（点A，B与N在同一水平直线上）；⊥量出测点A，B之间的距离．已知测倾仪的高度AC=BD=1.5米，为减小误差，他们按方案测量了两次，测量数据如下表（不完整）：(1)写出∠MCE的度数的平均值．(2)根据表中的平均值，求小山的高度．（参考数据：sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40）(3)该小组没有利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，你认为原因可能是什么？（写出一条即可）【答案】(1)22°(2)101.5米(3)小山的影子长度无法测量【分析】（1）根据平均数公式，用两次测量得的∠MCE的度数和除以2即可求解；（2）在Rt⊥MDE中，利用仰角⊥MDE的45°，即可求得ME=DE，在Rt⊥MCE中，利用仰角⊥MCE的正切值，可得ME=CE⋅tan⊥MCE，进而由CE=CD+DE=CD+ME，易知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，代入即可求出ME的值，然后由MN=ME+NE求解；（3）可根据小山的影子长度无法测量解答即可．（1）=22°，解⊥ ∠MCE的度数的平均值=22.3°+21.7°2答：∠MCE的度数的平均值为22°；（2）解：在Rt⊥MDE中，⊥⊥MDE=45°，⊥⊥DME=⊥MDE=45°，⊥ME=DE，在Rt⊥MCE中，⊥tan∠MCE=ME，CE⊥ME=CE⋅tan⊥MCE，由题意知四边形CANE、四边形ABDC是矩形，可得EN=AC=1.5米，CD=AB=150米，⊥ME=(CD+DE)⋅tan22°=(150+ME)×0.40，⊥ME=100(米)，⊥MN=ME+NE=100+1.5=101.5(米)，答：小山的高度约为101.5米．（3）答：因为利用物体在阳光下的影子来测量小山的高度，由于小山的内部无法到达，则小山的影子长度无法测量，所以没有用物体在阳光下的影子来测量小山的高度的原因是小山的影子长度无法测量．【点睛】本题考查仰角，要求学生能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30度、45度，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？（结果保留到0.1米）．【答案】此气球有9.7米高【分析】由于气球的高度为P A+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，可设AP=h，根据题意列出关于h的方程即可解答．【详解】解：设AP=h，⊥∠PFB=45°，⊥BF=PB= h+1，⊥EA= h+6，在Rt△PEA中，P A=AE·tan30°，⊥h=(h+6)tan30°，⊥3ℎ=(ℎ+6)√3，≈8.2米，⊥h=6(√3+1)2⊥气球的高度为P A+AB+FD=9.7米．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是正确的运用三角函数知识解答．22．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校九年级期末）如图，为了测量山坡上一棵树PQ 的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进100m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C．(1)求⊥BPQ的度数；(2)求树PQ的高度．√3√3测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα= 4．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，5D在同一平面内）．(1)求C，D两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：√3≈1.7）∵在Rt△DCE中，cosα=4，CD=15m，筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（B、C、D、E均在同一平面内）．已知斜坡CD的坡度（或坡比）i＝4：3，且点C到水平面的距离CF为8米，在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，求建筑物AB的高度．（参考数据：sin24°＝0.41，cos24°＝0.91，tan24°＝0.45）【答案】建筑物AB的高度为21.7米．【分析】延长AB交直线DE于M，则BM⊥ED，则四边形BMFC是矩形，首先解直角三角形Rt⊥CDF，求出DF，再根据tan24°=AMEM，构建方程即可解决问题．【详解】解：延长AB交直线DE于M，则BM⊥ED，如图所示：则四边形BMFC是矩形，⊥CF⊥DE，在Rt⊥CDF中，⊥CFDF =43，CF=8，⊥DF=6，⊥CD=√62+82=10，⊥四边形BMFC是矩形，⊥BM=CF=8，BC=MF=20，EM=MF+DF+DE=20+6+40=66，在Rt⊥AEM中，tan24°=AMEM，⊥0.45=8+AB66，解得：AB=21.7（米），答：建筑物AB的高度为21.7米．【点睛】本题考查的是矩形的性质、解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．25．（2022·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）“太阳鸟”是某市文化广场的标志性雕塑.某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：信息一：在H处用高1.5米的测角仪BH，测得最高点A的仰角为30°．信息二：在F处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°．信息三：测得FH=25米，点D、F、H在同一条直线上．请根据以上信息，回答下列问题：(1)在Rt△ACB中，ACCB =________（填sin30°、cos30或tan30°），⊥ACCB=________．(2)设AC=x米，则CE=________米（用含x的代数式表示）米，BC=________米（用含x 的代数式表示）．(3)“太阳鸟”的高度AD约为多少米？（精确到0.1，√3=1.73）【答案】(1)tan30°，√33；(2)x，（x＋25）；(3)“太阳鸟”的高度AD约为35.6米．【分析】（1）根据锐角三角函数定义及特殊角三角函数值求解即可；（2）易证⊥ACE是等腰直角三角形，四边形EFHB是矩形，可得CE＝AC＝x米，EB＝FH ＝25米，进而可表示出BC的长；（3）根据（1）（2）列式求出AC，然后证明四边形BCDH是矩形，可得CD＝BH＝1.5米，进而可得答案．（1）解：由题意得：在Rt△ACB中，ACCB=tan∠ABC=tan30°，⊥AC CB =√33，故答案为：tan30°，√33；（2）解：设AC=x米，由Rt△ACB可得⊥ACB＝90°，⊥⊥AEC＝45°，⊥⊥ACE是等腰直角三角形，⊥CE＝AC＝x米，由题意得：BH＝EF，BH∥EF，⊥四边形EFHB是平行四边形，又⊥BH⊥FH，即⊥H＝90°，⊥平行四边形EFHB是矩形，⊥EB＝FH＝25米，⊥BC＝CE＋EB＝（x＋25）米，故答案为：x，（x＋25）；（3）解：由（1）（2）可得：xx+25=√33，解得：x=25√3+252，经检验，x=25√3+252是分式方程的解，⊥AC＝25√3+252米，⊥⊥ACB＝90°，⊥⊥DCB＝90°，又⊥⊥D＝⊥H＝90°，⊥四边形BCDH是矩形，⊥CD＝BH＝1.5米，⊥AD＝AC＋CD＝25√3+252＋1.5≈35.6米，答：“太阳鸟”的高度AD约为35.6米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．26．（2022·山东聊城·中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图⊥）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图⊥所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正。

解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．1、仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．【例1】如图，，FB// AC，从A看D的仰角是______；从B看D的俯角是______；从A 看B的______角是______；从D看B的______角是______．【难度】★【答案】；；仰；；仰；．【解析】考查仰角、俯角的基本定义．【例2】升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示）【难度】★【答案】．【解析解：如图所示，AB为旗杆，CD为某同学．则，，，在中，，∴，∴，∴．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．【例3】如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为，测得点D的俯角为，则较低建筑物CD的高为（）A．a米B．（）米C．米D．米【难度】★【答案】D【解析】过C作CE⊥AB，垂足为E．由题意有：，，在中，，∴在中，，∴∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解．【例4】如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号）【难度】★★【答案】．【解析】解：由题意可得：，．设，则，在中，，∴，解得：．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．【例5】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m）【难度】★★【答案】277.1米．【解析】解：由题意可得：，，在中，，∴，∴．在中，，∴，∴．∴【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．【例6】如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距8米的A、B两处测得点D和点C的仰角为45°和60°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE = 15米，求这块广告牌的高度．（取，计算结果保留整数）【难度】★★【答案】3【解析】解：由题意可得：，，在中，，∴，∴在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解和运用．【例7】某高层建筑物图中AB所示，小明家住在高层建筑物附近的“祥和”大厦（图中CD所示），小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB的高度．他先在自己家的阳台（图中的Q点）测得AB的顶端（点A）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向AB方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P 处），测得点A的仰角为45°．已知点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB的高度．（参考数据：，，）【难度】★★★【答案】492米．【解析】过Q作AE⊥AB，垂足为E．解：由题意可得：，，，．设，则在中，，∴，∴．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．【例8】如图，为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层的高度为3米，两楼间的距离AC = 30米．现需了解在某一时间段内，甲楼对乙楼采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B落在乙楼的影子长EC= h，太阳光线与水平线的夹角为．（1）用含的式子表示h；（2）当= 30°时，甲楼楼顶B的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若每小时增加10°，约几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．（结果精确到0.01）【难度】★★★【答案】(1)；（2）第4层，6小时．【解析】解：(1)由题意可得：．过E作FE⊥AB，垂足为F．在中，，∴，∴．∴．（2）如图2，，∴∵若每小时增加10°，∴．∴需要1.5小时才能从30°到90°．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．1、方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．【例9】如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，则由B测点A的方向为（）A．北偏东15°B．北偏西75°C．南偏西15°D．南偏东75°【难度】★【答案】B【解析】考查方向角的定义．【例10】如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向走200米到C地，此时小明离A地_____米．【难度】★【答案】100．【解析】解：由题意可知：在中，，∴，∴，．∴．∴．【总结】本题主要考查对方位角的准确理解和运用．【例11】如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里【难度】★【答案】B【解析】解：∵，∴为等边三角形．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例12】在位于O处某海防哨所的北偏东60°相距6海里的A处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B处，则A、B间的距离是______海里．（精确到0.1海里，，）【难度】★★【答案】5.5．【解析】解：由题意可知：，，在中，，∴，∴，．∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例13】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，请问，此时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里，，）【难度】★★【答案】130.23．【解析】解：在中，，∴，∴在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例14】如图，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点．景点B在景点C的正东方向，从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方向．一游客自景点A驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间？（，精确到1分）【难度】★★【答案】27分．【解析】过A作AD⊥BC的延长线于D．由题意可得：，，．在中，，∴，∴，在中，，∴，∴∴∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例15】如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．【难度】★★【答案】（1）B在暗礁区外；（2）有危险．【解析】解：（1）由题意可得：，，．∴，∴∴∴B在暗礁区外．（2）在中，，∴，∴∴若继续向东航行有触礁危险．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，注意在触礁问题中的最小距离指的是垂直距离．【例16】如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A、B、C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB = 2千米，．（1）求B、D之间的距离；（2）求C、D之间的距离．【难度】★★【答案】（1）2；（2）．【解析】解：(1)由题意得：，．∵∴∴∵∴∴∴(2)∵∴∴过C作CG⊥BD，垂足为G在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．【例17】如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇．（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度？（结果保留根号）【难度】★★★【答案】（1）4小时；（2）．【解析】解：由题意可得：，，，．在中，，∴，∴，∴，，．∴（1）；（2）．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．【例18】如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2千米，点B位于点A北偏东60°方向且与点A相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A正北方向的点D处．（1）求观测点B到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度．（结果精确到0.1千米/时）（参考数据：，，，）【难度】★★★【答案】（1）3；（2）40.4．【解析】解：（1）由题意有：，．在中，，，∴．(2)在中，，∴，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题目中给出的条件．1、坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即．坡度通常写成1 : m的形式，如．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作．坡度i与坡角之间的关系：．【例19】某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高______米．【难度】★【答案】6．【解析】考查坡度的定义．【例20】某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______．【难度】★【答案】．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例21】如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距离AB为（）A．4米B．米C．米D．米【难度】★【答案】C【解析】考查坡角的定义．【例22】如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，的正切值为，则它的里口宽BC = ______．【难度】★★【答案】33毫米．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例23】河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD的坡度为1 : 3，斜坡CB的坡角为45°，则河堤横断面的面积为______平方米．【难度】★★【答案】96．【解析】考查坡角的基本定义．【例24】如图，一个大坝的横断面是一个梯形ABCD，其中坝顶AB= 3米，经测量背水坡AD= 20米，坝高10米，迎水坡BC的坡度i= 1 : 0.6，求迎水坡BC的坡角的余切值和坝底宽CD．【难度】★★【答案】；．【解析】过A、B作AE⊥CD，BF⊥CD．由题意可得：，，∴．在中，，∴，∴．在中，，∴．【总结】本题主要考查坡脚和坡比的概念．【例25】如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？【难度】★★【答案】2560．【解析】，．【总结】考查等腰梯形双高辅助线的做法和坡度的基本定义．【例26】如图，小杰发现垂直地面的旗杆AB的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC和CD，经测量得BC=10米，CD=10米，斜坡CD的坡度为，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米，求旗杆AB的长度．（答案保留整数，其中）【难度】★★【答案】13．【解析】解：延长AD和BC交于点E，过D作DF⊥BE．由题意可知：，．在中，，∴．设，，则，∴．∴，．在中，，∴，∴在中，，∴，∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例27】如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，）【难度】★★【答案】（1）10；（2）19．【解析】解：延长BC交PQ于点E，过A作AD⊥PQ由题意可知：，．在中，，∴．设，，则，∴．∴，．在中，，∴设，，在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例28】如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i为1 : 1.2，坝高为5米．现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1 : 1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少立方米的土？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少立方米？【难度】★★★【答案】（1）30000；（2）甲：1000；乙：500．【解析】由题意可知：，在中，，∴，∴．∴．在中，，∴，∴．∴．∴．∴．（2）设原计划甲工程队每天完成立方米，乙工程队每天完成立方米，则根据题意可得：，解得：．∴原计划甲工程队每天完成1000立方米，乙工程队每天完成500立方米．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例29】如图所示，在风景区观测塔高时，塔的底部不能直接到达．测绘员从观景台（横截面为梯形）的底部沿坡面方向走30米到达顶部处，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）在点处测得塔顶E的仰角是45°，沿方向走20米到达点处测得塔顶E的仰角是60°．已知坡面的坡度是，根据上述测量数据能否求出塔高？若能，请求出塔高（精确到1米）；若不能，说明还需测出哪些量才能求出塔高．【难度】★★★【答案】能，62米．【解析】由题意可知：，．．过B作BH⊥AD．在中，，∴．设，，在中，，∴，∴．∵，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件，分析清楚仰角分别指的是哪个角．【例30】如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE的大树HD．小智想要测量这棵大树HD的高度．在下午的某个时刻，他观察到这棵大树树梢H的影子落在楼房的外墙面上的点G处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE的木柱AB，它在水平地面BE上的影子BC也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB = 1.6米，BC = 3.2米，DE =7.2米，EF = 2.6米，斜坡EF的坡度i =1 : 2.4，FG = 1.6米．试求大树HD的高．【难度】★★★【答案】7.4米．【解析】解：由题意可得：，过F作FM⊥HD，过F作FN⊥DN在中，，∴．设，，∴则，∴．∴，．∴．在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件．【习题1】某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米．【难度】★【答案】．【解析】考查俯角的定义．【习题2】一船在海上点B处沿南偏东10°方向航行到点C处，这时在小岛A测得点C 在南偏西80°方向，则______．【难度】★【答案】90°【解析】考查方向角的定义．【习题3】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为______．【难度】★【答案】1:2【解析】考查坡度的定义．【习题4】如图，已知楼房AB高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD = 50米，塔高DC为米，下列结论中，正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°【难度】★★【答案】C．【解析】解：由图可知：，∴．在中，，∴．∴由楼顶望塔顶仰角为30°．【总结】本题主要考查利用已知条件解直角三角形，再利用锐角三角比的值求出角的度数．【习题5】A港在B地的正南千米处，一艘轮船由A港开出向西航行，某人第一次在B处望见该船在南偏西30°，半小时后，有望见该船在南偏西60°，则该船速度为______．【难度】★★【答案】40．【解析】解：在中，，∴，解得：．在中，，∴，解得：．∴，∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【习题6】如图，一架飞机在高度为5千米的点A时，测得前方的山顶D的俯角为30°，水平向前飞行2千米到达点B时，又测得山顶D的俯角为45°，求这座山的高度DN．（结果可保留根号）【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可得：，，，．设，则．∴，解得：，∴．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的有关概念解决实际问题．【习题7】小岛B正好在深水港口A的东南方向，一艘集装箱货船从港口A出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C处测得小岛B在它的南偏东15°方向，求小岛B离深水港口A的距离．(精确到0.1千米)（参考数据：，，，，）【难度】★★【答案】38.6千米．【解析】解：由题意可得：，，．过C点作CD⊥AB．在中，，∴，解得：，∴．在中，，∴，解得：．∴．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【习题8】如图，以水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB 的坡度，斜坡CD的坡度．（1）求斜坡AB和坝底AD的长度；（2）若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB的坡度由原来的1 : 3变为1 : 5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米．【难度】★★【答案】（1），132.5；（2）598．【解析】解：由题意可得：，，，．在中，，∴，解得：．∴．∴，解得：．∴．（2）由（1）可得：．在中，，∴，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题9】某城市规划期间，欲拆除河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD= 14米，该河岸的坡面CD的坡比为1 : 2，岸高CF 为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否需要将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）【难度】★★★【答案】不需要将此人行道封上．【解析】解：由题意可知：，．在中，，∴，解得：，∴．∴．在中，，∴，解得：，∴．∴．∴不需要将此人行道封上．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题10】如图，小唐同学在操场上放风筝，风筝从A处起飞，一会儿便飞抵C处，此时，在AQ延长线B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°．若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多长？（结果保留根号）【难度】★★★【答案】．【解析】解：（1）由题意可知：，，．在中，，∴，解得：，∵，∴．（2）由题意有：∴．过A作AE⊥BC，在中，，∴，解得：，在中，，∴，解得：．【总结】本题综合性较强，主要是利用已知条件，结合仰角和俯角的运用解直角三角形．【作业1】身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300米，250米，200米，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（）A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高【难度】★【答案】D．【解析】由仰角的定义和解直角三角形可得：甲的风筝离地面150米，乙的风筝离地面米，丙的风筝离地面米．∵∴乙的风筝最高．【总结】本题主要考查方位角的概念以及特殊角的锐角三角比的值．【作业2】小明在东西方向是沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为______米．【难度】★【答案】．【解析】解：由题意可知：，．∴∴∴过P作PC⊥AB，垂足为C在中，，∴∴．【总结】本题主要考查方位角的概念及运用．【作业3】某人从地面沿着坡度的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．【难度】★【解析】考查坡度的定义和解直角三角形．【作业4】如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°的方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°的方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．14海里B．海里C．7海里D．海里【难度】★★【答案】D【解析】解：由题意有：，，．∴．过B作BC⊥AM，垂足为C在中，；在中，，∴．∴．【总结】本题主要考查利用方位角结合锐角三角比解决实际问题．【作业5】如图，在同一地面上有甲、乙两幢楼AB、CD，甲楼AB高10米，从甲楼AB 的楼顶测得乙楼CD的楼顶C的仰角为30°，从乙楼CD的楼顶C拉下的节日庆典条幅CE与地面所成的角为60°，这时条幅与地面的固定点E到甲楼B的距离为24米，求条幅CE的长度．【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可知：，在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业6】如图，水坝的横截面是梯形，上底= 4米，坝高米，斜坡的坡比，斜坡的坡比．（1）求坝底的长；（结果保留根号）（2）为了增加水坝的抗洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底米，求水坝增加的高度．（精确到0.1米，参考数据）【难度】★★【答案】（1）；（2）0.7米．【解析】解：（1）在中，，∴，∴．在中，，∴，∴．∴．(2)在中，，∴，在中，，∴，设，则，，∴．∴．∴．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业7】如图，某人在建筑物AB的顶部测得一烟囱CD的顶端C的仰角为45°，测得点C在湖中的倒影C1的俯角为60°，已知AB = 20米，求烟囱CD的高．【难度】★★【答案】米．【解析】解：由题意可得：，．过A作AE⊥CD，垂足为E．设，则．∵C和C1关于BD对称，∴．在中，，∴，∴．∴．【总结】本题主要考查利用俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题，注意认真分析．【作业8】如图，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现在测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米，求放水后水面上升的高度．【难度】★★【答案】放水后水面上升的高度为0.75米．【解析】解：由题意可知：四边形GEFH为等腰梯形．．过E作EM⊥GH，过F作FN⊥GH由等腰梯形的性质可得：．在中，，∴，∴．∴放水后水面上升的高度为0.75米．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．【作业9】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市的正南方向220千米的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该台风中心现在以每小时15千米的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？（3）该城市受台风影响的最大风力是几级？【难度】★★★【答案】（1）受影响；（2）；（3）6.5级．【解析】解：（1）会受到台风影响．过A作AD⊥BC．台风在移动时，距离A最近D处时，在中，110÷20=5.5；12-5.5=6.5；6.5超过4级，受台风影响．（2）当台风在移动，其与A距离是时开始受影响或结束影响．持续时间为．（3）由（1）可得：该城市受台风影响的最大风力是6.5级．【总结】本题主要考查对方位角的理解以及是否受影响的理解，解题时要认真分析题意．【作业10】如图，小明发现在小丘上种植着一棵香樟树AB，它的影子恰好落在丘顶平地BC和斜坡的坡面CD上．小明测得BC= 4米，斜坡的坡面CD的坡度为，CD=2.5米．如果小明同时还测得附近的一根垂直于地面的2米高的木柱MN的影长NP= 1.5米，求这棵香樟树AB的高度．【难度】★★★【答案】6.5米．【解析】解：由题意可得：．，设，，∴．∴，∴，，∴．在中，，∴，∴．【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，要认真分析题意，并且熟练使用相似的性质以及通过锐角三角比解直角三角形的方法．。