高一数学能力竞赛考试

数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。

答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。

答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。

答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。

证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。

因此，该三角形为直角三角形。

2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。

解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。

高一数学能力大赛数学试题一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）1、如图，写出程序框图描述的算法的运行结果( )A ．－5B ．5C ．－1D ．－2 2、函数()2sin cos f x x x =是( R ) A 最小正周期为2π的奇函数 B 最小正周期为2π的偶函数 C 最小正周期为π的奇函数D 最小正周期为π的偶函数3、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（ ）. Ａ．3 B ．9 C ．17 D ．514、某校有40个班，每班55人，每班选派3人参加歌咏比赛，在这个问题中 样本容量是( )A ．40B ．55C ．120D ．165 5、设π20<≤x ，且x x x cos sin 2sin 1-=-，则（ ） A 0x π≤≤ B544x ππ≤≤C 744x ππ≤≤D 322x ππ≤≤ 6、若33(,cos ),(,sin ),2a b a αα==∥b ，02απ≤<， 则α=（ ）A6πB 76πC 433ππ或D 766ππ或7、如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( )A.π6B.π4C.π3D.π28、若，，均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）（A） （B ）1 （C ） （D ）2 9、若x 是△ABC 的最小内角，则函数sin cos y xx =+的值域是（ ）A B C (1,2] D 1(1,]210、设函数 满足 ,当 时， ，则236f π⎛⎫=⎪⎝⎭( )A ．B C D a b c 0=⋅b a 0)()(≤-⋅-c b c a ||c b a -+12-212二、填空题：（每小题4分，共16分） 11、若执行如图3所示的框图，输入，, 则输出的数等于 。

12、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴 的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且sin θ=，则y =________________.13、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型计算预报广告费用为6万元时销售额为________________万元.14、将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：89⎪⎪⎪7 74 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为________________15、设e 1，e 2为单位向量，非零向量b =x e 1+y e 2，x ，y ∈R ．若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于 ．11x =232,3,2x x x ==-=三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分12分）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)在这些用户中，求用电量落在区间[100,250)内的户数．17、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 18、（本小题满分12分）已知点A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC→|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值； (2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值． 19、（本小题满分12分）G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线． (1)设PG→＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示；(2)设OP→＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y 是定值．20、（本小题满分12分）设函数f (x )-2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值21、（本小题满分12分）已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.高一数学能力大赛数学试题（参考答案）一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1—5：BCCBD 6—10：DACAD 二、填空题：（每小题5分，共20分）11、8 12、 01k ≤< 13、65.5 14、367 15、③④三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16解： (1)由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x ＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x ＝0.004 4.------------------6分(2)数据落在[100,250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7， -----------------10分 所以月用电量在[100,250)内的户数为100×0.7＝70. --------------12分 17解： (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，--------------4分∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2. --------------6分 (2)证明 ∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45.∴cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加得2cos βcos α＝0，∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.--------------10分 由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2＝0.--------------12分 18解： ∵A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC→＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)．(1)|AC→|＝|BC →|，∴(2sin θ－1)2＋cos 2θ＝(2sin θ)2＋(cos θ－1)2，化简得2sin θ＝cos θ，--------------5分所以tan θ＝12，∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5. --------------7分(2)OA→＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)， ∴OA →＋2OB →＝(1,2)，∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1， ∴2sin θ＋2cos θ＝1，--------------10分∴(sin θ＋cos θ)2＝14，∴1＋2sin θcos θ＝14，∴sin θ·cos θ＝－38.--------------12分 19 解： (1)OG→＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ → ＝OP→＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →.--------------6分(2)证明 由(1)，得：OG→＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λy OB →；①又G 是△OAB 的重心，∴OG→＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.②而OA →，OB →不共线，∴由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－λ)x ＝13，λy ＝13.--------------10分解得⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝3－3λ，1y ＝3λ.∴1x ＋1y ＝3(定值)．--------------12分20 解：(1)f (x )sin 2ωx －sin ωx cos ωx1cos 21sin 222x x ωω--＝2cos 2ωx －12sin 2ωx＝πsin 23x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭.--------------6分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4， 又ω＞0，所以2ππ=424ω⨯.因此ω＝1. --------------8分(2)由(1)知f (x )＝πsin 23x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤π8π233x -≤.所以πsin 213x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，--------------11分因此－1≤f (x故f (x )在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为2，－1. --------------13分 21。

湖北高一高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.把函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的橫坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为（）A．B．C．D．2.已知，则的值为（）A．B．－C．D．－3.函数在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（）A． B．C D．4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．5.各项均为正数的等比数列的前项和记为（）A．150B．-200C．150或-200D．-50或4006.已知数列的首项，且，则为（）A．7B．15C．30D．317.用火柴棒摆“金鱼”，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．B．C．D．．8.设等差数列中首项为公差为,且从第5项开始是正数，则公差的范围是( ).A ．B ．C ．D ．9.中，角所对的边分别是，若角依次成等差数列，且则等于（ ）. A ．B ．C ．D ．10.在的对边分别为，若成等差数列,则（ ）. A ．B ．C ．D ．二、填空题1.给出下面命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴；⑤在区间上的最小值是－2，最大值是，其中正确命题的序号是 ．2.已知，若，化简______________．3.设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a, b, c ，若△ABC 的面积为 S = a 2－(b －c)2，则= .4.已知数列的前项和，则此数列的通项公式为5.若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，c=2a ，则cosB 的值为 ．6.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1，S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 ．7.已知函数f (x )＝s1n2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，]上的最大值为3，则（1）m ＝ ；（2）当f (x )在[a ，b ]上至少含有20个零点时，b －a 的最小值为 ．三、解答题1.在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列．(1)若，求边c 的值； (2)设，求t 的最大值．2.已知向量，（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值．3.已知数列{an}的前n 项和，（1）求通项公式an ；（2）令，求数列{bn}前n 项的和Tn.4.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、.(1)求数列的通项公式;(2)数列的前n项和为,求证:数列是等比数列.湖北高一高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.把函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的橫坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】向右平移个单位，函数解析式为=，横坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为.【考点】三角函数的图形变换.2.已知，则的值为（）A．B．－C．D．－【答案】A【解析】，=====.【考点】诱导公式.3.函数在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（）A． B．C D．【答案】B【解析】由图象最高点可知，，则，.原函数化为，图象过，则.可得 .【考点】的图像与系数的关系.4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入可得，所以或，当时有有.【考点】解三角形.5.各项均为正数的等比数列的前项和记为（）A．150B．-200C．150或-200D．-50或400【答案】A【解析】由等比数列的前项和公式，，，由两式解得，，.【考点】等比数列的前项和.6.已知数列的首项，且，则为（）A．7B．15C．30D．31【答案】D【解析】由两边同加1，可得，，则是以2为首项，以2 为公比的等比数列.则，所以，.【考点】构造法求数列的通项公式.7.用火柴棒摆“金鱼”，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．B．C．D．．【答案】D【解析】第一个需8根，第二个需8+6=14（根），第三个8+6+6=20（根），需要的火柴棒根数呈等差数列，首项为8，公差为6，则第个需（根）.【考点】等差数列的通项公式.8.设等差数列中首项为公差为,且从第5项开始是正数，则公差的范围是( ).A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知则.则.所以公差的范围是.【考点】等差数列的通项公式.9.中，角所对的边分别是，若角依次成等差数列，且则等于（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】角依次成等差数列,则，所以，且.【考点】等差数列，三角形内角和，三角形面积公式.10.在的对边分别为，若成等差数列,则（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可得，由正弦定理可得，即，则，B=.【考点】正弦定理.二、填空题1.给出下面命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴；⑤在区间上的最小值是－2，最大值是，其中正确命题的序号是．【答案】①④【解析】①=为奇函数；②，最大值；③令,，，但；④对称轴可由，求得，也满足；⑤在区间上的最大值为2.【考点】三角函数的性质.2.已知，若，化简 ______________．【答案】【解析】，，又，则，所以【考点】三角恒等变形，三角函数的性质.3.设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a, b, c，若△ABC的面积为S = a2－(b－c)2，则= .【答案】4【解析】,可化为，又，代入可得，所以=.【考点】余弦定理.4.已知数列的前项和，则此数列的通项公式为【答案】【解析】当时，，当时，，上式不成立，则可得通项公式.【考点】由前n 项和公式求通项公式.5.若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，c=2a ，则cosB 的值为 ． 【答案】【解析】由题可得，又c=2a ，所以.考点:等比数列的概念，余弦定理.6.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1，S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 ． 【答案】【解析】由题可知，且，据等比数列的前ｎ项和公式可得,解之.【考点】等比数列的前ｎ项和公式，等差数列的定义.7.已知函数f (x )＝s1n2x ＋2cos 2x ＋m 在区间[0，]上的最大值为3，则（1）m ＝ ；（2）当f (x )在[a ，b ]上至少含有20个零点时，b －a 的最小值为 ． 【答案】（1）3 （2）【解析】（1）,在区间[0，]上的函数值范围为，又最大值为3，刚.(2)原函数周期，与函数在每个周期内有两个零点，结合图像，b－a 的最小值为【考点】二倍角公式，辅助角公式，的图角与性质.三、解答题1.在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列．(1)若，求边c 的值； (2)设，求t 的最大值． 【答案】（1）（2）【解析】（1）由三内角成等差可求，再利用余弦定理可求c;(2)由，可将转化为，再由A 范围求出最值.试题解析：解：（1）因为角成等差数列，所以，因为，所以. 2分因为，，,所以.所以或(舍去)． 6分（2）因为，所以9分因为，所以，所以当，即时，有最大值. 12分【考点】等差数列，余弦定理，的性质.2.已知向量，（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值．【答案】（1）,=2cosx（2）【解析】（1）由向量的坐标运算，利用公式化简即可；（2）原函数由向量坐标运算可化为即又最小值，则结合二次函数最值可求得. 试题解析：解：（1）==，∵，∴∴=2cosx. 6分（2）由（1）得即∵，∴时，当且仅当取得最小值－1，这与已知矛盾．时，当且仅当取最小值由已知得，解得时，当且仅当取得最小值由已知得，解得，这与相矛盾．综上所述，为所求． 12分【考点】向量的坐标运算，二次函数求最值，函数与方程的数学思想，分类讨论的数学思想.3.已知数列{an}的前n项和，（1）求通项公式an；（2）令，求数列{bn}前n项的和Tn.【答案】(1);（2）.【解析】试题解析：解：(1)当时，.又，也满足上式，所以（2），所以，，两式相减，得所以【考点】数列的通项公式的求法，错位相减法求前n项和公式，等比数列前n项和公式.4.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、.(1)求数列的通项公式;(2)数列的前n项和为,求证:数列是等比数列.【答案】（1）(2)证明见解析.【解析】（1）设成等差数列的三个正数分别为,可得，又成等比，可得方程，则等比数列的三项进一步求公比,可得通项公式.(2)等比数列前n 项和为,由可知数列是等比数列.试题解析：解:(1)设成等差数列的三个正数分别为依题意,得所以中的依次为依题意,有(舍去)故的第3项为5,公比为2.由所以是以为首项,2为以比的等比数列,其通项公式为 6分(2)数列的前项和,即所以所以，数列是等比数列. 12分【考点】等差数列定义，等比数列的定义，等比数列的前n项和公式.。

数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。

4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。

三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。

6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。

四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。

五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。

如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。

10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。

答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。

高一数学学科素养能力竞赛不等式部分综合测试题第I 卷（选择题）一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若关于x 的不等式2122x x a a +-->+有实数解，则实数a 的取值范围为A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()(),13,-∞-+∞【答案】A【详解】依题意，3,1{21,123,2x y x x x -≤-=--<<≥，画出12y x x =+--的图像如下图所示，由图可知223a a +<，解得()3,1a ∈-.2．已知1,0x y ，且1211x y+=-，则21x y +-的最小值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D．7+【答案】A【分析】利用“乘1法”将问题转化为求[]12(1)21x y x y ⎛⎫-++⎪-⎝⎭的最小值，然后展开利用基本不等式求解．【详解】1x >，10x ∴->，又0y >，且1211x y+=-， []1222(1)21(1)25511y x x y x y x y x y ⎛⎫-∴+-=-++=++≥+ ⎪--⎝⎭9=，当且仅当22(1)1y x x y -=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故21x y +-的最小值为9． 故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3．已知正数x ，y 满足()()382232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（ ）A ．58B ．54C ．43D ．74【答案】B【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算 【详解】()()3813822322232xy x y xy x y y x y x x y x y ⎡⎤⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦，令2x y m +=，32x y n +=，则2n m x -=，34m ny -=， 138136717562232222224x y n m xy x y x y m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-≥-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2n m =，即x =y =xy 有最小值54．故选：B4．设0a b c >>>，则()221121025a ac c ab a a b ++-+-取得最小值时，a 的值为（ ）A B ．2 C ．4 D ．【答案】A【解析】转化条件为原式211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--，结合基本不等式即可得解. 【详解】()221121025a ac c ab a a b ++-+- 2211()()21025()ab a a b ab a a b a ac c ab a a b =+++----+-+- 2211()1025()ab a a b a ac c ab a a b =+++-+-+- 211()(5)()ab a a b a c ab a a b =+++-+--04≥=，当且仅当1()15ab a a b a c=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，即a =b =c =.故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5．已知0x >，0y >满足22280x y xy y x +--=，则2y x +的最小值为（ ） A．B ．4C．D【答案】C【解析】由题意可得182y x x y +=+，结合目标式即可构造出218(2)(2)()y x y x x y+=++，进而利用基本不等式求2y x +的最小值【详解】由22280x y xy y x +--=知：(2)8xy x y y x +=+，而0x >，0y > ∴182y x x y +=+，则21816(2)(2)()101018y x y x y x x y x y +=++=++≥=∴2y x +≥故选：C【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式求最值6．若a 、b 、c 均大于0，且2a b c ++=()a a b c bc +++的最大值为（ ） A ．34BC ．32D ．2【答案】C【分析】注意()()()a a b c bc a b a c +++=++,而2(()a b c a b a c ++=+++,从而沟通了问题与已知的联系,然后利用基本不等式求最值. 【详解】解：a 、b 、c 均大于0,∴()2a a b c bc a ab ac bc +++=+++()()()()2a ac ab bc a a c b a c =+++=+++()()()()22a b a c a b a c +++⎡⎤=++≤⎢⎥⎣⎦222322a b c ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当a b a c +=+=“=”, ∴()a a b c bc +++的最大值为32.故选:C【点睛】利用基本不等式求最值是高考考查的重点内容,对不符合基本不等式形式的应首先变形,然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等. 7．设实数a ，b 满足条件0b >且3a b +=，则13a a b+的最小值为（ ） A ．59B ．13C ．712 D ．14【答案】A【解析】对a 分成0,03a a <<<三种情况进行分类讨论，利用基本不等式求得13a a b+的最小值.【详解】依题意13a a b+成立，故0,3a b ≠≠.由于3,0a b b +=>，所以3a <且0a ≠.当0<<3a 时，13a a b +=111279999939a b a b a a b a b ++=++≥++=，当且仅当39,,944b a a b a b ===时，等号成立.当0a <时，13a a b +=119999a b a b a b b a b +⎛⎫⎛⎫--=-+-+-≥-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭125939=-+=，当且仅当39,,922b a a b a b -=-=-=时，等号成立. 综上所述，由于7599>，所以13a a b +的最小值为59. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 8．已知正实数a ，b ，若()1126a b a b+++=，z a b =+，则z 的取值范围是 A ．{}21≤≤z zB ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤221z zC ．{}41≤≤z z D ．{}4≥z z【答案】A【分析】可先对()1126a b a b +++=作变形处理，得()()111226a b a b a b ab ⎛⎫+++=++= ⎪⎝⎭，结合基本不等式进行放缩，可得()2426126b a abb a ++≤+=+，再进一步化简求值即可 【详解】由()()111226a b a b a b ab ⎛⎫+++=++= ⎪⎝⎭，得()2426126b a abb a ++≤+=+，化简得()()0232≤++-+b a b a ，解得21≤+≤b a ，即z 的取值范围为{}21≤≤z z ，故选A【点睛】本题考查根据不等式求解参数取值范围问题，形如()1126a b a b+++=变形成()()111226a b a b a b ab ⎛⎫+++=++= ⎪⎝⎭这种式子，应作为解题模型之一，强化应试技巧二、多选题: 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则（ ）A ．ab 的最大值为14B ．2b a b+的最小值为C ．221155a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为15D ．2221a b a b +++的最小值为14【答案】ACD【分析】对A ，利用基本不等式即可解得；对B ，将2换成()2a b +，进而利用基本不等式得到答案；对C ，将原式化简为()2221215525a b a b ab -+++，进而根据1a b +=代换，然后得到答案； 对D ，将原式变化为()()22221121a b a b +-+-+++，进而化简，然后设2,1s a t b =+=+，而后用()114s t =+进行代换，最后用基本不等式得到答案. 【详解】因为a ，b 均为正实数，且1a b +=，对A, 2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取“=”，正确；对B ，()222222a b b b b a a b a b a b ++=+=++≥=，当且仅当21,2b a a b a b=⇒=时取“=”，错误； 对C ，()()2222222221111121555255525a b a b a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫++=+=-+ +⎪⎪⎭⎝⎭+⎝++ 2221211115525555a b ab ab ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当15ab =时取“=”，正确；对D ，()()22222211412412212121a b a b a b a b a b a b +-+-+=+=+-+++-+++++++ 41221a b =+-++，设2,14s a t b s t =+=+⇒+=， 则上式()1411411252524444tss t s t s t ⎛⎛⎫⎛⎫=++-=++-≥+-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当21=2,33s t a b ⇒==时取“=”，正确；故选：ACD.10．记{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，已知0,0,230x y x y xy >>++=，则（ ）A ．xy 的最大值为18B ．2x y +的最大值为12C ．x y +的最小值为3 D ．max{2,22}x y ++的最小值为8【答案】ACD【分析】根据已知条件：结合基本不等式有30xy ≤-xy 的最大值，进而由230x y xy +=-知2x y +的最值情况；又3221x y =-+，即得32(1)31x y y y +=++-+可求其最小值，而32,031max{2,22}2(1),3y y x y y y ⎧<≤⎪+++=⎨⎪+>⎩可确定最小值，进而判断各项的正误.【详解】由题意，30(2)30xy x y =-+≤-当且仅当2x y =时等号成立，令t则23000t t ⎧+-≤⎪⎨>⎪⎩，解得0t <≤即有180xy ≤<，故A 正确；而23012x y xy +=-≥，故B 错误； 由3221x y =-+知：32(1)3331x y y y +=++-≥=+当且仅当1y =时等号成立，故C 正确；32,031max{2,22}2(1),3y y x y y y ⎧<≤⎪+++=⎨⎪+>⎩，所以当3y =时，其有最小值为8，故D 正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：由已知参数的等量关系，利用基本不等式、一元二次不等式、{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩的性质，结合换元法及等量代换的应用，求代数式的最值.11．下列结论中，正确的结论有．A ．如果01x <<，那么()43x x -取得最大值时x 的值为23B ．如果0x >，0y >，39x y xy ++=，那么3x y +的最小值为6C ．函数()2f x =的最小值为2D ．如果0a >，0b >，且11121a b b +=++，那么2+a b 的最小值为2 【答案】AB【解析】A.将其配成顶点坐标式即可得出答案；B.将其配成21332x y xy +⎛⎫≤⋅ ⎪⎝⎭代入39x y xy ++=即可得其最小值；C. 函数()f x =1=此时x 无解D.根据题意构造()()1223(1)32a b a b b +=+++-，将“1”替换为1121a b b +++，代入用基本不等式.【详解】解：对于A. 如果01x <<，那么()22433433y x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=-，当23x =时取得最大值，故正确；对于B.如果0x >，0y >，39x y xy ++=则21393332x y x y xy x y +⎛⎫=++≤++⋅ ⎪⎝⎭整理得()()231231080x y x y +++-≥，所以36x y +≥或318x y +≤-（舍去），当且仅当1,3y x ==时取得最小值，故正确； 对于C. 函数()22f x ==≥1此时x 无解，不能取得最小值2，故错误； 对于D. 如果0a >，0b >，且11121a b b +=++，那么()()112(24)23(1)3122a b a b a b b +=+=+++-⨯()()111313(1)2323(1)1322122212b a b a b b a b b a b b ++⎛⎫⎛⎫=+++⨯+-=+++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1112222≥⨯=当且仅当23(1)a b b +=+即1,2a b =+=最小值，故错误. 故选：AB【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 12．已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是( ) A ．当1a b <<时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为∅ B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{|}xc xd ≤≤的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么43b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么4b a -= 【答案】AD【分析】A ：分析函数23()344f x x x =-+的最值与a ，b 进行比较即可； B ：在同一直角坐标系中，作出函数23344y x x =-+的图象以及直线y a =和直线y b =，由图象分析，即可判断选项BCD ：利用23()(2)14f x x =-+的图象与对应不等式的关系解答即可；【详解】解：设23()344f x x x =-+，x ∈R ，则23()(2)14f x x =-+；对于A ：∴()1f x ，∴当1a b <<时，不等式23344ax x b -+的解集为∅，所以A 正确； 对于B ：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象及直线y＝a 和y ＝b ，如图所示：由图知，当a ＝2时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为{}{}A C D B xx x x x x x x ≤≤⋃≤≤∣∣的形式，故B 错误；对于CD ：由()f x 的图象知，若不等式的解集为连续不间断的区间，则1a ，且1b >； 若解集为[a ，]b ，则f (a )f =(b )b =，且2b ，因为23()(2)14f x x =-+，所以f (b )23(2)14b b =-+=，解得4b =或43b =，因为2b ，所以4b =，所以0a =，所以4b a -=， 所以C 错误、D 正确． 故选：AD第II 卷（非选择题）三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[]24[]36450x x -+<恒成立的x 的取值范围是___________. 【答案】[2,8)【分析】求得不等式的解集[]31522x <<，得到[]27x ≤≤，结合新定义，即可求解. 【详解】由不等式[]24[]36450x x -+<，所以[]31522x <<，即[]27x ≤≤，所以28x ≤<， 即实数x 的取值范围是[2,8). 故答案为：[2,8).14．设二次函数()()22,f x mx x n m n =-+∈R ，若函数()f x 的值域为[)0,∞+，且()12f ≤，则222211m n n m +++的取值范围为___________. 【答案】[1,13]【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m 与n 的关系，化简222211m n n m +++后利用不等式即可求出其范围.【详解】二次函数f (x )对称轴为1x m=，∴f (x )值域为[]0,∞+，∴0m >且21121001f m n n mn m m mm ⎛⎫⎛⎫=⇒⋅-+=⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n ＞0.()12224f m n m n ≤⇒-+≤⇒+≤，∴()()()()2222224422222222221111111m m n n m n m n m n n m m n m n m n +++++++==+++++++ =()22222222222m n m n m n m n +-++++=()()222222222m n mn m n +++-++=()()222222212m n m n m n +++-++=221m n +-∴221211m n mn +-≥-=，22221()34313m n m n +-=+-≤-=，∴222211m n n m +++∴[1,13]. 故答案为：[1,13].15．（2017·安徽省临泉第一中学高二竞赛（理））设集合4{|12}b a b a+≤≤≤中的最大元素与最小元素分别为,M m ，则M m +的值为_________． 【答案】10【详解】∴12a b ≤≤≤，∴a 取最小值为1，b 取最大值为2． 所以最大值4426M b a=+=+=， 又∴444b a a a+≥+≥，即最小值4m =，所以6410M m +=+=，故答案为10. 16．（2018·全国·高三竞赛）实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S +=________．【答案】85##1.6【分析】由题可得()22455x y xy +=+，进而可得5554522S S S -≤≤+，可得1010133S ≤≤，即求.【详解】由224545x xy y -+=，得()22455x y xy +=+， 又()22222x y xy x y -+≤≤+，所以()()222255555522x y xy x y -+≤+≤++， ∴5554522S S S -≤≤+，∴1010133S ≤≤， ∴maxmin11313810105S S +=+=. 故答案为：85.四、解答题17．已知二次函数2()f x ax bx c =++.(1)若()0f x <的解集为(1,2)，求不等式20cx bx a ++<的解集； (2)若对任意x ∈R ，()0f x 恒成立，求ba c+的最大值； (3)若对任意x ∈R ，()422222+-≤≤+x x x f x 恒成立，求ab 的最大值. 【答案】(1)1(,1)2，(2)1，(3)12【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到20ax bx c ++=的根为1和2，且0a >，进而求得,,a b c 的关系，化简不等式20cx bx a ++<后，求解即得;（2）利用不等式恒成立的条件，得到24b ac <，进而得到b -≤基本不等式求得ba c+的最大值； （3）令1x =，可得4a b c ++=，根据222x ax bx c +≤++恒成立，可以得到2c a =+，进而得到22b a =-，然后利用基本不等式求得ab 的最大值,并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立. (1)因为20ax bx c ++<的解集（1，2）， 所有20ax bx c ++=的根为1和2，且0a >.所以12b a+=-，12ca ⨯=，故3b a =-，2c a =，所以20cx bx a ++<，即2230ax ax a -+<，22103x x -+<， 所以112x <<，即不等式20cx bx a ++<的解集为1(,1)2. (2)因为对任意,0x y ∈>R ，恒成立，所以240b ac ∆=-<，即24b ac <， 又0a >，所以0c ≥，故b -≤所以1b a ca c a c+≤≤=++， 当c a =，2b a =时取“=”，所以ba c+的最大值为1. (3)令1x =，则44a b c ≤++≤，所以4a b c ++=， 对任意x ∈R ，222x ax bx c +≤++，恒成立， 所以2(2)20ax b x c +-+-≥恒成立，所以222(2)4(2)(2)4(2)(2)0b a c a c a c a c ∆=---=+---=-+≤， 所以2c a =+，此时22b a =-，2111(22)2(1)2()222ab a a a a a =-=-=--+≤，当12a =，1b =，52c =时取“=”， 此时2222215333224()224()3(1)022222x x f x x x x x x x x -+-=-+-++=-+=-≥成立；故ab 的最大值为12. 18．已知函数()()131a x f x x +-=-.（1）当1a =时，解关于x 的不等式()1f x <. （2）当R a ∈时，解关于x 的不等式()1f x <.（3）不等式()f x x a <-对任意1x >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）1,2；（2）答案见解析；（3）(),1-∞. 【分析】(1)把1a =代入可得2311x x -<-，再移项通分转化成一元二次不等式求解即得； (2)把不等式移项通分，将含参的分式不等式转化成含参的整式不等式进行分类求解即可； (3)把不等式()f x x a <-在1x >的条件下进行等价变形，再分离参数转化成求函数的最小值即可.【详解】（1）当1a =时，23()1x f x x -=-，于是有2311x x -<-，即23101x x --<-，整理得201x x -<-， 则()()210x x --<，解得12x <<， 所以不等式()1f x <的解集为1,2；（2）当R a ∈时，不等式()1f x <化为：(1)311a x x +-<-，即(1)3101a x x +--<-，整理得201ax x -<-，则()()210ax x --<， 当0a =时，解得1x >，当0a <时，不等式()()210ax x --<转化为()210x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得2x a <或1x >，当0a >时，不等式()()120x ax --<转化为()210x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，当02a <<时，解得21x a <<，当2a =时，即()210x -<，无解，当2a >时，解得21x a<<， 所以：当0a =时，不等式的解集为1,，当0a <时，不等式的解集为()2,1,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，当02a <<时，不等式的解集为21,a ⎛⎫⎪⎝⎭，当2a =时，不等式的解集为空集， 当2a >时，不等式的解集为2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）()f x x a <-对任意1x >恒成立，即()131a x x a x +-<--对任意1x >恒成立，而当1x >时，211x ->，因2223(1)3(1)()(21)2321x x a x x x a x a x x a x -++-<--⇔-<-+⇔<-，于是得22321x x a x -+<-对任意1x >恒成立，而22231(21)2(21)919[(21)2]21421421x x x x x x x x -+---+=⋅=-+----12)14≥=， 当且仅当92121x x -=-，即2x =时取“=”，因此，1a <， 所以a 的取值范围(),1-∞.19．已知函数2()(1)1f x mx m x =-++. （1）若0m >，求不等式()0f x <的解集；（2）若对任意[]1,2x ∈，()2f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若a ，b ，c 为正实数，且2222ab bca b c+++的最大值等于()2f ，求实数m 的值.【答案】(1) 见解析； (2)3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦； 【分析】(1)将二次函数表达式写成交点式，再对m 分类讨论； (2)对m 分等于零，大于零和小于零讨论； (3)先用基本不等式的配凑法求最值，再求m 的值.【详解】(1) ()()2()(1)111f x mx m x mx x =-++=--当01m <<时，()0f x <的解集为1|1x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1m 时，()0f x <的解集为1|1x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当1m =时，()0f x <无实数解. (2) 当0m =时，()1f x x =-+，对任意[]1,2x ∈，()()102f x f ≤=<恒成立. 当0m >时，函数()f x 图象开口向上， 若对任意[]1,2x ∈，()2f x ≤恒成立，只需 ()()12,22f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即()42112m m -++≤，32m ≤. 故当302m <≤时，对任意[]1,2x ∈，()2f x ≤恒成立. 当0m <时，对任意[]1,2x ∈，10x -≥，10mx -<，()()()1102f x mx x =--≤<恒成立.综上可知，实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(3) 若a ，b ，c 为正实数，则由基本不等式得，2245a b +，2215b c +≥，两式相加得，)2222a b c ab bc +++，变形得2222ab bc a b c +≤++，当且仅当2245a b =且2215c b =时等号成立.所以()2f =21m -=m =20．已知a ，b ，c 均为正实数，且1abc =．证明： (1)3333a b c ++≥；(2)66633331112b c a a b c ++≥+++． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）根据a ，b ，c 都为正整数，且1abc =，利用基本不等式证明；（2）法一：利用基本不等式得到()()()63336333633311,1411,1411,14b a b a c b c b a c a c ⎧++≥⎪+⎪⎪++≥⎨+⎪⎪++≥⎪+⎩①②③，再利用不等式的基本性质证明；法二：利用Cauchy 不等式证明. (1)∴a ，b ，c 都为正整数，且1abc =．∴3333a b c ++≥=， 当且仅当1a b c ===时“=”成立． (2)法一：由题意得()()()63336333633311,1411,1411,14b a b ac b c b a c a c ⎧++≥⎪+⎪⎪++≥⎨+⎪⎪++≥⎪+⎩①②③∴+∴+∴，得()6663333333393311144442b c a a b c a b c ++≥++-≥-=+++，当且仅当1a b c ===时“=”成立．法二：由Cauchy 不等式，得()()()()6662333333333111111b c a a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++++≥++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭． 令3333t a b c =++≥， 则()23336662333333936111333a b c b c at t a b c a b c t t ++++≥==++-++++++++． 令()9363g t t t =++-+，则()g t 在[)3,+∞上单调递增． ∴()32g t ≥，即66633331112b c a a b c ++≥+++．21．（2022湖北高一竞赛）已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(2,0)-，且不等式212()22x f x x ≤≤+对一切实数x 都成立． (1)求函数()f x 的解析式；(2)若对一切实数[1x ∈-，1]，不等式()()2xf x t f +<恒成立，求实数t 的取值范围． 【答案】(1)21()14f x x x =++，(2)51(,)22--【分析】（1）通过图象过的点得到a 、b 、c 关系式，观察发现4(2)4f ≤≤ ，又可得一关系式，再将b 、c 都有a 表示,不等式()22122+≤≤x x f x 对一切实数x 都成立可转化成两个一元二次不等式恒成立，即可解得答案．（2）由题意可得223(88)4160x t x t t ++++< 恒成立．设22()3(88)416g x x t x t t =++++，则(1)0(1)0g g <⎧⎨-<⎩，由此求得t 的范围． (1)根据二次函数2()f x ax bx c =++的图象经过点(2,0)-， 可得420a b c -+=∴， 不等式()22122+≤≤x x f x 对一切实数x 都成立， ∴当2x =时也成立，即424≤++≤c b a ，424a b c ∴++=∴．由∴∴求得1b =，42a c +=，2()24f x ax x a ∴=++-，22142222+≤-++≤x a x ax x ， 即⎪⎩⎪⎨⎧≤--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥-+-042104222a x x a a x ax 恒成立，∴()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆'<⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=∆>042141021042410a a a a a a ， 求得14a =，241c a ∴=-=， 21()14f x x x ∴=++． (2)对一切实数[1x ∈-，1]，不等式()()2x f x t f +<恒成立， 化简可得223(88)4160x t x t t ++++< 恒成立．设22()3(88)416g x x t x t t =++++，则(1)0(1)0g g <⎧⎨-<⎩，即223(88)41603(88)4160t t t t t t ⎧++++<⎨-+++<⎩，即224241104850t t t t ⎧++<⎨+-<⎩， 即111225122t t ⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，5151,2222t t ⎛⎫∴-<<-∴∈-- ⎪⎝⎭，.22．（2017·全国·高三竞赛）设123x x x 、、为非负实数,满足1231x x x ++=.求()3212313535x x x x x x ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值和最大值． 【答案】最小值为1，最大值为95【分析】由柯西不等式求出最小值，再利用基本不等式求其最大值. 【详解】由柯西不等式得()()223212311233535x x x x x x x x x ⎛⎫++++≥=++ ⎪⎝⎭ =1当1231,0,0x x x ===时，上式等号成立，故欲求的最小值为1. 又()()32212311231351353553553x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2221231312351111435566543203x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⨯+++++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()2123166620x x x ≤++ 95=当12311,0,22x x x ===时，上式等号成立，故欲求的最大值为95．【点睛】本题主要考查基本不等式和柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。

9. 一个正六边形的内角和为 _______。

10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。

11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。

三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。

13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。

1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 33 35 37 39 ……………………………高一年级数学竞赛试题一、填空题1、一个四位数abcd 乘以4后得另一个四位数恰好是dcba ，则原四位数abcd 是 。

2、直径为1的球内放一个正方体，那么这个正方体的棱长的最大值为 。

3、把正奇数依次排列成5列，如右图， 则2001排在从左数第 列。

4、钟表现在是10时整，那么在 时， 分 秒时， 分针与时针首次出现重合。

5、把数1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7这 14个数排成一排，使两个1之间夹1个数，两个2之间夹2个数，两个3之间夹3个数，………，两个7之间夹7个数，则排法为6、公园小路如图，只要把 A,B,C,D,E,F,G 七个点中的 两处设为出口，可实现从一口进从另一口出且使游客走完全部小路而又不重复走。

7、用“十进制”表示数，满十进前一位；用“十四进制”表示数，满十四进前一位。

在“十四进制”中，把十四个数码依次记为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,十，J,Q,K ；那么 十JQK 化成“十进制”数应是 。

8、四快相同长方形纸板，长宽各为2和1，形状为现统一锯开 得到小 和小块，请你用这八块纸板拼成一个正方形：班级学号姓名成绩二、解答题：9、证明：整数被表示成两个整数平方和的充要条件是该整数的2倍也能表示成两个整数的平方和。

10、用S表示原地不动，T表示向左转，R表示向右转，L表示向后转。

集合X=｛S,T,R,L｝中的元素有一种运算“＋”表示“紧接着”的意思。

（例如T+S表示向左转紧接着向后转，当然运算结果为向右转，因而有T+L=R）。

若集合X中某元素E，满足E+E=E，则E叫单位，若某两个元素A和B满足A+B=E，则A，B叫做互为逆元。

①求集合X中的单位。

②求集合X中的每个元素的逆元。

11、有2001个小球堆在一起，二人进行轮流拿球游戏，每次可以拿一个、二个或三个球，不能多拿也不能不拿，至拿完全部小球游戏结束。

高一数学竞赛试题一、单选题1．若集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x |x 2＋2x <0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1}B ．{－1，0}C ．{－2，－1，0}D ．{－1，0，1} 2．对于任意0a >且1a ≠，函数()log (1)3a f x x =-+的图象必经过点（ ） A ．（4，2） B ．（2，4） C ．（2，3） D ．（3，2） 3．在ABC 中､角A ，B 均为锐角，cos sin A B >，则C ∠是（ ）A ．直角B ．锐角C ．钝角D ．不确定4．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 5．下列说法正确的是（ ）A ．若0a b >>，则b b m a a m+<+ B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则11a b b a +>+ D ．若,R a b ∈，则2a b +6．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知0.22a -=，ln3b =，0.2log 3c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．若关于x 的方程(||)1x x a +=有三个不同的实数解，则实数a 的可能取值（ ） A ．－5B ．－2C ．2D ．3二、多选题9．下列命题正确的是( )A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan α≥0，则k π≤α<π2 ＋k π(k ∈Z )C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α 10．已知函数)123f x =，则（ ） A ．()17f = B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258- D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 11．命题“x R ∀∈，则2x <”的一个必要不充分条件是（ ）A ．1x <B ．3x <C ．3x >D ．5x ≤12．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则下列说法正确的是（ ）A ．41a b +的最小值为9B ．222a b +的最小值为23CD三、填空题 13.函数()f x =______.14． 3log 5lg5lg321-+=____________ 15．223(8)--⨯ __． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．四、解答题17．已知集合{}1A x x =≥，集合{}33,B x a x a a R =-≤≤+∈.（1）当4a =时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知α为第三象限角，且3sin cos tan()22()sin tan(2)2f ππαααπαπαπα⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()f α=，求cos()πα+的值.19．已知函数2()21f x x ax =+-，[1,1]x ∈-.（1）若12a =，求函数()f x 的最值； （2）若a ∈R ，记函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 关于a 的函数解析式.20．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件（025x <≤）并全部销售完，每千件的销售收入为()R x （单位：万元），且21108(010),3()17557(1025).x x R x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩（1）写出年利润()f x （单位：万元）关于年产量x （单位：千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）21．已知函数()y f x =的图像与()log (0a g x x a =>，且1)a ≠的图像关于x 轴对称，且()g x 的图像过点(9,2).(1)求函数()f x 的解析式；(2)若(31)(5)f x f x ->-+成立，求实数x 的取值范围.22．已知函数f(x)＝log a(2＋3x)－log a(2－3x)(a>0，a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)当0<a<1时，求关于x的不等式f(x)≥0的解集．。

高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把符合题目要求的选项的字母填入答题卡中． 1．集合||23|5,x x x Z +<Î｛｝中所有元素之和为（中所有元素之和为（ ） （A ）－6 （B ）－5 （C ）5 （D ）6 2．设全集}5,4,3,2,1{=I ，}4,3,2,1{=A ，}5,4,3{=B ，则()()IA BI痧=（ ）（A ）Ø （B ）{1，2} （C ）{1，2，5} （D ） I 3．已知,65,0622++=£-+x x U x x 则U 的值域是（的值域是（ ）（A ）[0，20] （B ）[41-，)+¥ （C ）1[,0]4-（D ）1[,20]4-4．在对数式)5(log)2(a b a -=-中，实数a 的取值范围是（的取值范围是（ ） （A ）25<>a a 或（B ）52<<a （C ）2335a a <<<<或（D ）43<<a5．函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =×的图像可能是（的图像可能是（ ）y = f ( x ) oy xy=g(x)o yxoyxoyxoyxoyxA ABC D6．函数()()65log24+-=x xx f p的单调增区间为（的单调增区间为（ ））A 、÷øöçèæ¥-25, B B 、()2,¥-C C、、÷øöçèæ+¥,25 D D、、()+¥,37．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线ＡＢ、ＣＤ在原正方体中．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线ＡＢ、ＣＤ在原正方体中的位置关系是（的位置关系是（ ） （Ａ）平行（Ａ）平行 （Ｂ）相交且垂直（Ｂ）相交且垂直（Ｃ）异面直线（（Ｃ）异面直线（ＤＤ）相交成600 274510的中点，那么异面直线＝ .的解集是的解集是 ．四面体的体积为 3A F CE19．(本小题满分12分)已知四棱锥S-ABCD ，底面为正方形，SA ^底面ABCD ，AB=AS=a ，M ，N 分别为AB ，SC 中点。