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专题三 导数1.【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则''()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故1()(0)1g g k >-，所以1()111kf k k ->---，11()11f k k >--，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k>，所以1()(0)h h k >，即11()1f k k ->-，11()1f k k >-，选项A,B 无法判断，故选C ．【考点定位】函数与导数．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．2.【2015高考陕西，理12】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+，因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩，因为点()2,8在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=，即()42238a a a +⨯-++=，解得：5a =，所以10b =-，8c =，所以()25108f x x x =-+，因为()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．3.【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．4.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）(A)[-32e ，1） (B)[-错误！未找到引用源。
专题03 导数一．基础题组1. 【2006高考陕西版理第题】n→∞lim 12n(n 2+1－n 2－1) 等于( ) A. 1 B. 12 C.14 D.0【答案】考点：求极限.2. 【2007高考陕西版理第13题】=⎪⎭⎫ ⎝⎛---++→11212lim 21x x x x x .【答案】13考点：求极限.3. 【2008高考陕西版理第13题】(1)1lim 2n a n n a∞++=+→，则a = ．【答案】1考点：求极限.4. 【2014高考陕西版理第3题】定积分1(2)x x e dx +⎰的值为（ ）.2A e + .1B e + .C e .1D e -【答案】C 【解析】 试题分析：1212120(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰，故选C .考点：定积分. 二．能力题组1. 【2007高考陕西版理第11题】f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足x ()f x '+f(x)≤0,对任意正数a 、b ,若a ＜b ，则必有 A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a)≤af(b)C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)【答案】A考点：导数的概念.2. 【2007高考陕西版理第20题】设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数.(Ⅰ)04a <<;(Ⅱ) 当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，；当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，．【答案】(Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围; (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间.当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，． 考点：导数的应用.3. 【2009高考陕西版理第16题】设曲线1n y x +=*()n ∈N 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 ．4. 【2009高考陕西版理第20题】已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++，0x ≥，其中0a >． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．5. 【2011高考陕西版理第11题】设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．【答案】1 【解析】 试题分析：考点：分段函数、定积分.6. 【2012高考陕西版理第7题】设函数()2ln f x x x=+，则（ ） A ．12x =为()f x 的极大值点 B ．12x =为()f x 的极小值点C ．2x =为()f x 的极大值点D ．2x =为 ()f x 的极小值点【答案】D考点：导数的应用.7. 【2014高考陕西版理第10题】.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =-（C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+【答案】A考点：函数的解析式.三．拔高题组1. 【2006高考陕西版理第22题】已知函数f(x)=x 3－x 2+x2 + 14 , 且存在x 0∈(0,12 ) ,使f(x 0)=x 0.（I ）证明：f(x)是R 上的单调增函数；设x 1=0, x n+1=f(x n ); y 1=12, y n+1=f(y n ), 其中 n=1,2,……（II ）证明：x n <x n+1<x 0<y n+1<y n ; （III ）证明：y n+1－x n+1y n －x n < 12.【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析; （III ）详见解析 .(2)假设当n =k (k ≥1)时有x k <x k +1<x 0<y k +1<y k ．考点：导数的应用.2. 【2008高考陕西版理第21题】已知函数21()kx f x x c+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-． （Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1x =；（Ⅱ）(2)[2)-∞-+∞，，．（ii ）当2k <-时，()f x 在()c -∞-，和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数．考点：导数的应用，拔高题.3. 【2010高考陕西版理第21题】已知函数f (x )，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有共同的切线，求a 的值和该切线方程；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，当h (x )存在最小值时，求其最小值φ(a )的解析式； (3)对(2)中的φ(a )和任意的a ＞0，b ＞0，证明：φ′()()2()()2a b a b abx a bϕϕϕ+'+'≤≤'+． 【答案】（Ⅰ）a=2e ，()212y e x e e-=- ；（Ⅱ）()h x 的最小值 ()a ϕ的解析式为 ()2(1ln 2)(0).a a a a ϕ=->（Ⅲ）详见解析.当x ＞4a 2时，h ′(x )＞0，h (x )在(4a 2，＋∞)上递增．考点：导数的应用，拔高题.4. 【2011高考陕西版理第21题】设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=，()()()g x f x f x '=+．（1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （3）是否存在00x >，使得01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(0,1) 是()g x 的单调减区间， (1,)+∞ 是()g x 的单调增区间，最小值为(1)1g =；（2）当01x <<时 ， 1()()g x g x > 当1x > 时， 1()()g x g x<； （3）满足条件的0x 不存在，证明详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题设易知()ln f x x = ，1()ln g x x x =+21()x g x x-'∴=，令()0g x '= 得1x =，当01|()()|g x g x x-<对任意0x > 成立。
高考专题训练(三十二) 函数与导数(解答题)1．(2014·皖南八校联考)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)，其中a >0. (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线与直线x ＋e 2y －1＝0垂直，求实数a 的值；(2)讨论f (x )的单调性．解 f ′(x )＝e x [ax 2＋ (2a －2)x ](a >0)．(1)由题意得f ′(2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2＝－1，解得a ＝58. (2)令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2－2aa .①当0<a <1时，f (x )的增区间为(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞，减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ； ②当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；③当a >1时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a ，(0，＋∞)，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 2．(2014·云南二模)已知f (x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)． (1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)的定义域为(－∞，＋∞)．∵f ′(x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2) ＝x e x (x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x ，∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0； f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值； 当x ＝0时，f (x )取得极大值，∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2，f (x )极大值＝f (0)＝2.(2)f ′(x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]．∵f (x )在[－2，－1]上单调递增， ∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0. 又当x ∈[－2，－1]时，x e x <0，∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2－2(m ＋3)＋2m －2≤0，(－1)2－(m ＋3)＋2m －2≤0，解得m ≤4，∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增． 3．(文)(2014·山西四校联考)已知函数f (x )＝ax 2＋x －x ln x . (1)若a ＝0，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (1)＝2，且在定义域内f (x )≥bx 2＋2x 恒成立，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x －x ln x ，函数定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝－ln x ，由－ln x ＝0， 得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上是增函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数． (2)由f (1)＝2，得a ＋1＝2， ∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x －x ln x ， 由f (x )≥bx 2＋2x ， 得(1－b )x －1≥ln x . ∵x >0，∴b ≤1－1x －ln xx 恒成立．令g (x )＝1－1x －ln x x ，可得g ′(x )＝ln xx 2，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，∴b 的取值范围是(－∞，0]． 3．(理)(文)4.(2014·广州调研)已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在t ∈N *，使得方程f (x )＋37x ＝0在区间(t ， t ＋1)内有两个不相等的实数根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解 (1)∵f (x )是二次函数， 不等式f (x )<0的解集是(0,5)， ∴可设f (x )＝ax (x －5)，a >0. ∴f ′(x )＝2ax －5a .∵函数f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线6x ＋y ＋1＝0平行，∴f ′(1)＝－6.∴2a －5a ＝－6，解得a ＝2. ∴f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x .(2)由(1)知，方程f (x )＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0. 设h (x )＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x )＝6x 2－20x ＝2x (3x －10)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，103时，h ′(x )<0，函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h ′(x )>0，函数h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫103，＋∞上单调递增．∵h (3)＝1>0，h ⎝⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h (4)＝5>0，∴方程h (x )＝0在区间⎝⎛⎭⎪⎫3，103，⎝⎛⎭⎪⎫103，4内各有一个实数根，在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根．∴存在唯一的正整数t ＝3，使得方程f (x )＋37x ＝0在区间(t ，t ＋1)内有且只有两个不相等的实数根．4．(理)(文)5.(2014·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t >0，存在唯一的实数m 使t ＝f (m )；(3)设(2)中所确定的m 关于t 的函数为m ＝g (t )，证明：当t >e 时，有710<ln g (t )ln t <1.解 (1)∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e .∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增． (2)当0<x ≤1时，f (x )≤0， 又t >0，令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)，由(1)知h (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，h (1)＝－t <0， h (e t )＝t (e t －1)>0，∴存在唯一的实数m ，使t ＝f (m )成立． (3)∵m ＝g (t )且由(2)知t ＝f (m )，t >0， 当t >e 时，若m ＝g (t )≤e ，则由f (m )的单调性有t ＝f (m )≤f (e)＝e ，矛盾， ∴m >e.又ln g (t )ln t ＝ln m ln f (m )＝ln m ln (m ln m )＝ln m ln m ＋ln (ln m )＝u u ＋ln u ，其中u ＝ln m ，u >1，要使710<ln g (t )ln t <1成立， 只需0<ln u <37u .令F (u )＝ln u －37u ，u >1，F ′(u )＝1u －37， 当1<u <73时，F ′(u )>0，F (u )单调递增； 当u >73时，F ′(u )<0，F (u )单调递减．∴对u >1，F (u )≤F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73<0，即ln u <37u 成立．综上，当t >e 时，710<ln g (t )ln t <1成立．5．(理)(2014·浙江考试院抽测)已知a 为给定的正实数，m 为实数，函数f (x )＝ax 3－3(m ＋a )x 2＋12mx ＋1.(1)若f (x )在(0,3)上无极值点，求m 的值；(2)若存在x 0∈(0,3)，使得f (x 0)是f (x )在[0,3]上的最值，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2－6(m ＋a )x ＋12m ＝3(x －2)(ax －2m )，由于f (x )在(0,3)上无极值点， 故2ma ＝2，所以m ＝a .(2)由于f ′(x )＝3(x －2)(ax －2m )，故 ①当2m a ≤0或2ma ≥3， 即m ≤0或m ≥32a 时， 取x 0＝2即满足题意． 此时m ≤0或m ≥32a .②当0<2ma <2，即0<m <a 时，列表如下：故f (2)≤f (0)或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m a ≥f (3)，即－4a ＋12m ＋1≤1或－4m 3＋12m 2aa 2＋1≥9m ＋1， 即3m ≤a 或－m (2m －3a )2a 2≥0， 即m ≤a 3或m ≤0或m ＝3a 2. 此时0＜m ≤a3.③当2<2m a <3，即a <m <3a2时，列表如下：故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m a ≤f (0)或f (2)≥f (3)，即－4m 3＋12m 2a a 2＋1≤1或－4a ＋12m ＋1≥9m ＋1， 即－4m 2(m －3a )a 2≤0或3m ≥4a ， 即m ＝0或m ≥3a 或m ≥4a 3. 此时4a 3≤m ＜3a 2.综上所述，实数m 的取值范围是m ≤a 3或m ≥4a3.。
导数的应用专项训练（附解析2015高考数学一轮）导数的应用专项训练（附解析2015高考数学一轮）A组基础演练1．(2013•浙江)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析：在(－1,0)上，f′(x)单调递增，所以f(x)图象的切线斜率呈递增趋势；在(0,1)上，f′(x)单调递减，所以f(x)图象的切线斜率呈递减趋势．故选B.答案：B2．(2012•辽宁)函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：y＝12x2－lnx，y′＝x－1x＝x2－1x＝－＋＞0)．令y′≤0，得0＜x≤1，∴递减区间为(0,1]．故选B.答案：B3．(理科)(2013•浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(x)＝xex－1，f′(1)≠0，故A、B 错；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x2－1)ex－2x＋2＝(x－1)(x ＋1)ex－2]，故f′(x)＝0有一根为x1＝1，另一根x2∈(0,1)．当x∈(x2,1)时，f′(x)＜0，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)递增，∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.答案：C3．(文科)若函数f(x)＝x3－x＋1在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上有一个零点，则a＋b的值为()A．3B．－2C．2D．－3解析：由于f(－1)＝1＞0，f(－2)＝－5＜0，即f(－1)f(－2)＜0且函数为增函数，故函数零点必在区间(－2，－1)内，故有a＋b＝－3.答案：D4．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4解析：∵f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.∴f(x)在－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.答案：C5．已知函数f(x)＝alnx＋x在区间2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝alnx＋x，∴f′(x)＝ax＋1.又∵f(x)在2,3]上单调递增，∴ax＋1≥0在x∈2,3]上恒成立，∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈－2，＋∞)．答案：－2，＋∞)6．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在－2,2]上有最大值3，那么此函数在－2,2]上的最小值为________．解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大．∴m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值为－37.答案：－377．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1]，∴f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，∴a＞2或a＜－1.答案：a＞2或a＜－18．(2013•课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)ex－12.令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．9．(2014•郑州质量预测)已知函数f(x)＝1－xax＋lnx.(1)当a＝12时，求f(x)在1，e]上的最大值和最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－14x在1，e]上为增函数，求正实数a的取值范围．解：(1)当a＝12时，f(x)＝－＋lnx，f′(x)＝x－2x2，令f′(x)＝0，得x＝2，∴当x∈1,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在1,2)上单调递减；当x∈(2，e]时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，e]上单调递增，故f(x)min＝f(2)＝ln2－1.又∵f(1)＝0，f(e)＝2－ee＜0.∴f(x)在区间1，e]上的最大值f(x)max＝f(1)＝0.综上可知，函数f(x)在1，e]上的最大值是0，最小值是ln2－1. (2)∵g(x)＝f(x)－14x＝1－xax＋lnx－14x，∴g′(x)＝－ax2＋4ax＋44ax2(a＞0)，设φ(x)＝－ax2＋4ax－4，由题意知，只需φ(x)≥0在1，e]上恒成立即可满足题意．∵a＞0，函数φ(x)的图象的对称轴为x＝2，∴只需φ(1)＝3a－4≥0，即a≥43即可．故正实数a的取值范围为43，＋∞.B组能力突破1．(2013•福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：函数f(x)的极大值f(x0)不一定是最大值，故A错；f(x)与－f(－x)关于原点对称，故x0(x0≠0)是f(x)的极大值点时，－x0是－f(－x)的极小值点，故选D.答案：D2．f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋x•f′(x)＜0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为()A．(－4,0)∪(4，＋∞)B．(－4,0)∪(0,4)C．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(0,4)解析：令g(x)＝x•f(x)，则g(x)为奇函数且当x＜0时，g′(x)＝f(x)＋x•f′(x)＜0，∴f(x)的图象的变化趋势如图所示：所以xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．答案：D3．设函数f(x)＝px－1x－2lnx(p是实数)，若函数f(x)在其定义域内单调递增，则实数p的取值范围为________．解析：易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝px2－2x＋px2，要使f(x)为单调增函数，须f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即px2－2x＋p≥0在(0，＋∞)上恒成立，即p≥2xx2＋1＝2x＋1x在(0，＋∞)上恒成立，又2x＋1x≤1，所以当p≥1时，f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．答案：1，＋∞)4．(理科)已知函数f(x)＝ln|x|，(x≠0)，函数g(x)＝＋af′(x)，a∈R.(1)求函数y＝g(x)的表达式和单调区间；(2)若a＞0，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值．解：(1)因为f(x)＝ln|x|，所以当x＞0时，f(x)＝lnx，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)．所以当x＞0时，f′(x)＝1x，当x＜0时，f′(x)＝1－x•(－1)＝1x，∴当x≠0时，f′(x)＝1x，所以当x≠0时，函数y＝g(x)＝x＋ax.易知，g(x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且g′(x)＝1－ax2＝x2－ax2，①当a≤0时，g′(x)＞0，g(x)的增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；②当a＞0时，g′(x)＝＋－，由g′(x)＞0得，g(x)的增区间为(－∞，－a)和(a，＋∞)，由g′(x)＜0解得g(x)的减区间是(－a，0)和(0，a)．(2)由(1)知，当x＞0时，g(x)＝x＋ax.所以当a＞0，x＞0时，g(x)≥2a，当且仅当x＝a时取等号．所以函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2a.所以2a＝2.解得a＝1.4．(文科)已知函数f(x)＝lnx，函数g(x)＝＋af′(x)，a∈R.(1)求函数y＝g(x)的单调区间；(2)若a＞0，函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2，求a的值．解：(1)因为f′(x)＝1x，所以g(x)＝x＋ax，且x＞0，g′(x)＝1－ax2＝x2－ax2，①当a≤0时，g′(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上递增；②当a＞0时，由g′(x)＝0得x＝a或x＝－a(舍)x∈(0，a)时，g′(x)＜0；x∈(a，＋∞)时，g′(x)＞0，即g(x)在(0，a)上递减，在(a，＋∞)上递增．综上，当a≤0时，g(x)的增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，g(x)的增区间为(a，＋∞)，减区间为(0，a)．(2)由(1)，知当x＞0时，g(x)＝x＋ax.所以当a＞0，x＞0时，g(x)≥2a，当且仅当x＝a时取等号．所以函数y＝g(x)在(0，＋∞)上的最小值是2a.所以2a＝2.解得a＝1.。
第三章 导 数§3.1 导数的概念及运算1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的导数.(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一，常以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中.导数的运算基本上每年都考，一般不单独设题，大都是在考查导数应用的同时考查.1.导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆xΔyΔx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数).y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆xΔy Δx. 2.导数的意义 (1)几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .(2)物理意义函数S ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0), 就是当物体的运动方程为S ＝s (t )时，物体运动在t 0时刻的瞬时速度v ，即 .设v ＝v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的 .3.基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c 为常数)， (x α) ′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x ) ′＝______________， (cos x ) ′＝ ； (3)(ln x ) ′＝ ， (log a x ) ′＝ ；(4)(e x ) ′＝ ，(a x ) ′＝ . 4.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )] ′＝ . (2)[f (x )g (x )] ′＝ ；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )] ′＝ . (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝ (g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.【自查自纠】 1.(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2.(1)f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) (2)v ＝s ′(t 0) 加速度3.(1)0 αx α－1 (2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x ) (3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25.y x ′＝y ′u ·u ′x函数f (x )＝1的导函数是( )A ．y ＝0B ．y ＝1C ．不存在D ．不确定 解：常数函数的导函数是y ＝f ′(x )＝0.故选A.函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( ) A ．3a 2＋10ax 2 B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2x C ．10a 2x D ．以上都不对 解：f ′(x )＝10a 2x .故选C.曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解：y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝1，故选A.(2012·广东)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程为 .解：y ′＝3x 2－1，当x ＝1时，y ′＝2，此时切线斜率k ＝2，故切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.故填2x －y ＋1＝0.物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为 .解：v (t )＝s ′(t )＝－t 2＋4t ，t ＝3时，v ＝3， 故填3.类型一 导数的概念设f (x )为可导函数，当x 趋近于0时，f （1）－f （1－2x ）2x趋近于－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解：f （1）－f （1－2x ）2x ＝f （1－2x ）－f （1）－2x ，当x 趋近于0时，－2x 也趋近于0，∴y ′|x ＝1＝－1，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.故选B. 【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量Δx ＝－2x .“y ′|x ＝1”是指曲线在x ＝1处的切线斜率．已知f ′(0)＝2，则h 趋近于0时，f （3h ）－f （0）h趋近于 .解：f （3h ）－f （0）h ＝3[f （0＋3h ）－f （0）]3h当h 趋近于0时，3h 也趋近于0.∴f （3h ）－f （0）h趋近于3f ′(0)＝6.故填6.类型二 导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程.解：(1)设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)∵y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，∴在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又∵切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20， ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为 4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 【评析】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。
考点：函数的奇偶性。
2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。
若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。
又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。
由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。
3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。
第二章 函数与导数第2课时函数的定义域和值域1. 设集合A ＝{x|y ＝11＋1x }，则A ＝________． 答案：{x|x ≠－1且x ≠0} 解析：由x ≠0，且1＋1x≠0可得答案． 2. 函数f(x)＝1－2log 6x 的定义域为_______________．答案：(0, 6]解析：根据二次根式和对数函数有意义的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x>0，1－2log 6x ≥0 ⎩⎪⎨⎪⎧x>0，log 6x ≤12 ⎩⎪⎨⎪⎧x>0，x ≤612＝6 0<x ≤ 6. 3. 若集合M ＝{y|y ＝2－x }，N ＝{y|y ＝x －1}，则M ∩N ＝_______________．答案：{y|y>0} 解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝{y|y>0}，N ＝{y|y ≥0}， ∴ M ∩N ＝{y|y>0}∩{y|y ≥0}＝{y|y>0}．4. 函数y ＝x －x(x ≥1)的值域为________．答案：(－∞，0]解析：y ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，因为x ≥1，所以y ≤0. 5. 若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b ＝________． 答案：2解析：y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，显然f(2b)＝2b ，结合b>1，得b ＝2. 6. 函数y ＝x 2x 2－x ＋1的最大值为________． 答案：43解析：若x ＝0，则y ＝0；若x ≠0，则y ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2－1x ＋1＝1⎝⎛⎭⎫1x －122＋34∈⎝⎛⎦⎤0，43.7. 若函数f(x)＝2x 2－2ax ＋a －1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案：0≤a ≤1解析：2x 2－2ax ＋a －1≥0，即x 2－2ax ＋a ≥0恒成立，∴ Δ≤0，∴ 0≤a ≤1.8. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x<0，－2－x ，x>0，则函数y ＝f(f(x))的值域是________． 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1 解析：x ＜0时，f(x)＝2x ∈(0，1)，12＜⎝⎛⎭⎫122x ＜1，f(f(x))＝－⎝⎛⎭⎫122x∈⎝⎛⎭⎫－1，－12，同理可得x ＞0时，f(f(x))∈⎝⎛⎭⎫12，1，综上所述，函数y ＝f(f(x))的值域是⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1.9. (1) 求函数f(x)＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4＋(5x －4)0的定义域．(2) 已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数y ＝f(x 2)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋43的定义域． 解：(1) ⎝⎛⎭⎫－1，45∪⎝⎛⎭⎫45，1. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤1，0≤x ＋43≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，－43≤x ≤－13， 所以－1≤x ≤－13，即函数f(x)的定义域是⎣⎡⎦⎤－1，－13. 10. 已知a>1，函数f(x)＝ax ＋1x ＋1(x ∈[1，3])，g(x)＝x ＋9x ＋1＋4(x ∈[0，3])． (1) 求f(x)与g(x)的值域；(2) 若 x 1∈[1，3]， x 2∈[0，3]，使得f(x 1)＝g(x 2)成立，试求a 的取值范围． 解：(1) f(x)＝a （x ＋1）＋（1－a ）x ＋1＝a ＋1－a x ＋1.因为a>1，所以f(x)在[1，3]上是增函数，所以函数f(x)的值域为[12(a ＋1)，14(3a ＋1)]．由g(x)＝(x ＋1)＋9x ＋1＋3≥2（x ＋1）·9x ＋1＋3＝9，当且仅当(x ＋1)＝9x ＋1，即x ＝2∈[0，3]时，取等号，即g(x)的最小值为9. 又g(0)＝13，g(3)＝374， 所以g(x)的最大值为13. 所以函数g(x)的值域为[9，13]． (2) 由题意知，⎣⎡⎦⎤12（a ＋1），14（3a ＋1） [9，13]， 即⎩⎨⎧12（a ＋1）≥9，14（3a ＋1）≤13，解得a ＝17. 因为a>1，所以a ＝17符合．11. 设函数f(x)＝1－x 2＋1＋x ＋1－x.(1) 设t ＝1＋x ＋1－x ，求t 的取值范围，并把f(x)表示为t 的函数h(t)；(2) 求函数f(x)的最值．解：(1) ∵ ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x ≥0，∴ －1≤x ≤1，∴ t 2＝(1＋x ＋1－x)2＝2＋21－x 2∈[2，4]，∴ t ∈[2，2]．由1－x 2＝12t 2－1， ∴ h(t)＝12t 2＋t －1，t ∈[2，2]． (2) 由h(t)＝12t 2＋t －1＝12(t ＋1)2－32∈[2，3]， ∴ f(x)的最大值为3，最小值为 2.。
第7练 基本初等函数问题题型一 指数函数的图象和性质 例1 已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．破题切入点 判断函数t ＝|2x －m |的单调区间，结合函数y ＝2t 的单调性，得m 的不等式，求解即可． 答案 (－∞，4]解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x－m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．故填(－∞，4]． 题型二 对数函数的图象和性质例2 函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )破题切入点 求出函数y ＝2log 4(1－x )的定义域并判断函数的单调性，即可得出结论． 答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C. 题型三 幂函数的图象和性质例3 已知周期函数f (x )的定义域为R ，周期为2，且当－1<x ≤1时，f (x )＝1－x 2.若直线y ＝－x ＋a 与曲线y ＝f (x )恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为( ) A ．{a |a ＝2k ＋34或2k ＋54，k ∈Z }B ．{a |a ＝2k －14或2k ＋34，k ∈Z }C ．{a |a ＝2k ＋1或2k ＋54，k ∈Z }D ．{a |a ＝2k ＋1，k ∈Z }破题切入点 画出函数f (x )的草图，看选项，对参数a 取特殊值，验证是否满足题设条件，不满足则排除，即可得正确选项． 答案 C解析 画出函数f (x )的草图，当a ＝1时，如图所示，直线y ＝－x ＋1与曲线y ＝f (x )恰有2个交点，故排除A 、B ；当a ＝54时，直线y ＝－x ＋54与曲线y ＝f (x )恰有2个交点，如图所示，根据函数的周期性，选C.总结提高 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高中数学重要的基本初等函数，考查形式主要是选择题和填空题，也有可能以解答题中某一小问的形式出现．考查重点主要有三个：一是考查指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，二是考查指数式与对数式的运算，三是考查交汇性问题．(2)解决好本部分问题需要注意以下三点：①理清定义：掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念，并注意指数函数与幂函数的区别． ②心中有图：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能灵活运用函数图象和性质解题．③把握交汇：把握指数函数、对数函数、幂函数与其他知识交汇的特点，在综合应用中强化对这三种函数的理解．1．若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1且b >0B ．a >1且b >0C ．0<a <1且b <0D ．a >1且b <0 答案 C解析 (1)当0<a <1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a >1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限．∵y ＝a x ＋b －1的图象经过第二、三、四象限， ∴只可能0<a <1.(2)如图，这个图可理解为y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移大于1个单位长度．∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1<0，|b －1|>1，解得b <0. 由(1)、(2)可知0<a <1且b <0.2．(2013·课标全国Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c 答案 D解析 因为a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c .3．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析 由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称．显然不符．故选B.4．设a>0，b>0()A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<bC．若2a－2a＝2b－3b，则a>bD．若2a－2a＝2b－3b，则a<b答案 A解析对于x>0时有2x＋2x<2x＋3x恒成立，而要使2a＋2a＝2b＋3b成立，则必须有a>b.5．“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2＝xz成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由lg x，lg y，lg z成等差数列，可以得出2lg y＝lg x＋lg z，根据对数函数的基本运算可得，y2＝xz，但反之，若y2＝xz，并不能保证x，y，z均为正数，所以不能得出lg x，lg y，lg z成等差数列．故选A.6．已知x，y为正实数，则()A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg yB．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg yC．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg yD．2lg(xy)＝2lg x·2lg y答案 D解析2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y.7．已知0<a<1，则函数f(x)＝a x－|log a x|的零点个数为________．答案 2解析分别画出函数y＝a x(0<a<1)与y＝|log a x|(0<a<1)的图象，如图所示，图象有两个交点．8．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1,0) 解析 由题得，函数y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫121－x ＋m ，x ≤1⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，x >1.首先作出函数y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫121－x ，x ≤1⎝⎛⎭⎫12x －1，x >1的图象，如图所示．由图象可知要使函数y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫121－x ＋m ，x ≤1⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，x >1的图象与x 轴有公共点，则m ∈[－1,0)．9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)与0的大小关系为________． 答案 f (x 1)>0解析 当x >0时，f (x )＝(15)x －log 3x 是减函数，又x 0是方程f (x )＝0的根，即f (x 0)＝0. ∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>f (x 0)＝0.10．(2014·乐山模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”：x *y ＝ln(e x ＋e y )，x ，y ∈R .当x *x ＝y 时，x ＝*y .对任意实数a ，b ，c ，给出如下命题： ①a *b ＝b *a ；②(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )； ③(a *b )－c ＝(a －c )*(b －c )； ④(a *b )*c ＝a *(b *c )； ⑤*a *b ≥a ＋b 2.其中正确的命题有________．(写出所有正确的命题序号) 答案 ①②③④⑤解析因为a*b＝ln(e a＋e b)，b*a＝ln(e b＋e a)，所以a*b＝b*a，即①对；因为(a*b)＋c＝ln(e a＋e b)＋c＝ln[(e a＋e b)e c]＝ln(e a＋c＋e b＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，所以②对；只需令②中的c为－c，即有结论(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)，所以③对；因为(a*b)*c＝[ln(e a＋e b)]*c＝ln[eln(e a＋e b)＋e c]＝ln(e a＋e b＋e c)，a*(b*c)＝a*[ln(e b＋e c)]＝ln[e a＋eln(e b＋e c)]＝ln(e a＋e b＋e c)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，即④对；设*a*b＝x，则x*x＝a*b，所以ln(e x＋e x)＝ln(e a＋e b)，所以2×e x＝e a＋e b，所以x＝ln e a＋e b2，即*a*b＝lne a＋e b2≥ln2e a·e b2＝a＋b2，故⑤对．故正确的命题是①②③④⑤.11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以，函数f(x)的零点为3和－1.(2)依题意，方程ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．所以，b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0<a<1.因此实数a的取值范围是(0,1)．12．设函数f(x)＝ax n(1－x)＋b(x>0)，n为正整数，a，b为常数．曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝1.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的最大值．解(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.因为f′(x)＝anx n－1－a(n＋1)x n，所以f′(1)＝－a.又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1， 所以－a ＝－1，即a ＝1.故a ＝1，b ＝0. (2)由(1)知，f (x )＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，f ′(x )＝(n ＋1)x n －1⎝⎛⎭⎫n n ＋1－x .令f ′(x )＝0，解得x ＝nn ＋1，在⎝⎛⎭⎫0，nn ＋1上，f ′(x )>0，故f (x )单调递增；而在⎝⎛⎭⎫nn ＋1，＋∞上，f ′(x )<0，故f (x )单调递减．故f (x )在(0，＋∞)上的最大值为 f ⎝⎛⎭⎫n n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n n ＋1n ·⎝⎛⎭⎫1－n n ＋1＝n n(n ＋1)n ＋1. 第8练 函数性质在运用中的巧思妙解题型一 直接考查函数的性质例1 (2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件破题切入点 首先找出f (x )在(0，＋∞)递增的等价条件，然后从集合的观点来研究充要条件． 答案 C解析 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件． 题型二 函数性质与其他知识结合考查例2 (2013·安徽)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值范围为( )A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5}破题切入点 从已知的比值相等这一数量关系出发，找图象上的表示形式，再找与原函数图象的关系，进一步判断出结果． 答案 B解析 过原点作直线与函数y ＝f (x )的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n 的取值范围是{2,3,4}．题型三 对函数性质的综合考查 例3 已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．破题切入点 (1)直接根据f ′(x )<0确定单调递减区间．(2)g (x )在[1，＋∞)上单调，则g ′(x )≥0或g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立． 解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，故f (x )的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．①若g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x－2x 2，∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0.②若g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)．总结提高 (1)函数单调性的等价结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上递增．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上递减．(2)判断单调性时还可根据四则运算法则：若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数单调性根据内函数和外函数同增异减的法则． (3)求函数单调性问题还可以求导．(4)函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称．(5)任何一个函数都可以写成一个奇函数加上一个偶函数．如f (x )＝f (x )＋f (－x )2＋f (x )－f (－x )2，f (x )＋f (－x )2为偶函数，而f (x )－f (－x )2为奇函数．(6)求函数的单调性要注意先研究定义域．1．已知函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝13x ＋2 013－a ，则f (log 312)等于( )A.12 011×2 012B.12 012×2 013 C.12 013×2 014 D.12 015×2 014 答案 D解析 由题意，可知函数f (x )为奇函数， 所以f (0)＝130＋2 013－a ＝0，解得a ＝12 014，所以当x ≥0时，f (x )＝13x＋2 013－12 014.所以f (log 32)＝13log 32＋2 013－12 014＝12 015－12 014＝－12 015×2 014. 从而f (log 312)＝f (－log 32)＝－f (log 32)＝12 015×2 014.2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)等于( )A ．335B ．337C ．1 678D ．2 012 答案 B解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2， 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝335＋2＝337.3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈[－2－2，2＋2]，不等式f (x ＋t )≤2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，－2] C ．[4＋32，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[4＋32，＋∞) 答案 B解析 设x <0，则－x >0. f (－x )＝(－x )2， 又∵f (x )是奇函数， ∴f (x )＝－x 2.∴f (x )在R 上为增函数，且2f (x )＝f (2x )．∴f (x ＋t )≤2f (x )＝f (2x )⇔x ＋t ≤2x 在[－2－2，2＋2]上恒成立， ∵x ＋t ≤2x ⇔(2－1)x ≥t ，要使原不等式恒成立，只需(2－1)(－2－2)≥t ⇒t ≤－2即可．4．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2] B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，2 D ．(0,2] 答案 C解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )，∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又∵f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，选C.5．函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝(log 1214)·f (log 1214)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b 答案 B解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称， 所以y ＝f (x )关于y 轴对称． 所以函数y ＝xf (x )为奇函数． 因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，所以当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0， 函数y ＝xf (x )单调递减，从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减． 因为1<20.2<2,0<ln 2<1，log 1214＝2，从而0<ln 2<20.2<log 1214，所以b >a >c .6．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称． 则下列结论中正确的是( ) A ．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5) B ．f (7)＜f (4.5)＜f (6.5) C ．f (7)＜f (6.5)＜f (4.5) D ．f (4.5)＜f (6.5)＜f (7) 答案 A解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数． 所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)，f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)．又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 8(x ＋1)，则f (－2 013)＋f (2 014)的值为________． 答案 13解析 当x ≥0时，有f (x ＋2)＝－f (x )， 故f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )． 由函数f (x )在R 上为偶函数， 可得f (－2 013)＝f (2 013)， 故f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)， f (2 014)＝f (4×503＋2)＝f (2)． 而f (1)＝log 8(1＋1)＝log 82＝13，f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)＝－log 81＝0. 所以f (－2 013)＋f (2 014)＝13.8．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________． 答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数； 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， ∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.9．(2013·江苏)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________． 答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0－x 2－4x ，x <0 不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0x 2－4x >x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0－x 2－4x >x ，解得：x >5或－5<x <0.10．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确命题的序号为________． 答案 ①②④ 解析1＋2x ＋1－2x2＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t ＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0即x ＝2对称，故②正确；由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；由于函数f (x )为奇函数，由f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于－x ＋x ＋22＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确． 11．设函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. (1)证明 方法一 设x 1<x 2， ∴Δx ＝x 2－x 1>0，∴f (Δx )>1，∴f (x 2)＝f (x 1＋Δx )＝f (x 1)＋f (Δx )－1>f (x 1)， ∴f (x )是R 上的增函数．方法二 ∵f (0＋0)＝f (0)＋f (0)－1，∴f (0)＝1， ∴f (0)＝f (x －x )＝f (x )＋f (－x )－1＝1， ∴f (－x )＝2－f (x )．设x 1<x 2，∴x 2－x 1>0， ∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)－1＝f (x 2)＋2－f (x 1)－1＝f (x 2)－f (x 1)＋1>1， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )是R 上的增函数．(2)解 f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3， ∴f (3m 2－m －2)<3＝f (2)．又由(1)的结论知f (x )是R 上的增函数， ∴3m 2－m －2<2，∴－1<m <43.12．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围． 解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b . 故a <0，b >0时，x ∈(log 1.5(－a2b)，＋∞)； a >0，b <0时，x ∈(－∞，log 1.5(－a2b ))．第9练 分段函数，剪不断理还乱题型一 分段函数的值域问题例1 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．破题切入点 求各段值域，然后求并集． 答案 (－∞，2)解析 因为当x ≥1时，f (x )＝log 21x＝－log 2x ≤0，当x <1时，0<f (x )＝2x <2，所以函数f (x )的值域为(－∞，2)． 题型二 分段函数的零点问题例2 (2014·济南4月高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ≠0，0，x ＝0，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( ) A ．b <－2且c >0 B ．b >－2且c <0 C ．b <－2且c ＝0 D ．b ≥－2且c ＝0破题切入点 分类讨论思想，结合函数图象解决． 答案 C解析 对比选项不难发现可以从c ＝0，c ≠0两种情形来考虑．若c ＝0，则x ＝0是方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0其中的一个根，且f (x )[f (x )＋b ]＝0，此时f (x )≠0，所以f (x )＋b ＝0，因此当－b >2时，f (x )＋b ＝0有四个根，满足题意，所以b <－2.综上可选C. 题型三 分段函数的综合性问题 例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 破题切入点 分段函数奇偶性的概念，结合图象分类讨论． 解 (1)∵函数f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．当x >0时，－x <0，有(－x )2－mx ＝－(－x 2＋2x )， 即x 2－mx ＝x 2－2x . ∴m ＝2.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0，当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1， ∴当x ∈[1，＋∞)时，f (x )单调递减； 当x ∈(0,1]时，f (x )单调递增． 当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴当x ∈(－∞，－1]时，f (x )单调递减； 当x ∈[－1,0)时，f (x )单调递增． 综上知：函数f (x )在[－1,1]上单调递增． 又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解之得1<a ≤3. 故实数a 的取值范围是(1,3]．总结提高 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)在求分段函数f (x )解析式时，一定要首先判断x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式．1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) 答案 D解析 当x ≤1时，21－x ≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)x ＋5，x ≤1，2a x ，x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2] 答案 D解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a >0，a －3＋5≥2a ，解得0<a ≤2.3．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )， 则f (x )的值域是( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)答案 D解析 由x <g (x )得x <x 2－2， ∴x <－1或x >2； 由x ≥g (x )得x ≥x 2－2， ∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2； 当x >2时，f (x )>8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)． 当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．4．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x (－1≤x ≤0)，x (0<x ≤1)，则下列函数的图象错误的是( )答案 D解析 先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个长度单位即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D 不正确．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0.若f (m )>f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 D解析 方法一 若m >0，则－m <0，f (m )＝log 12m ＝－log 2m ，f (－m )＝log 2m ，由f (m )>f (－m )，得－log 2m >log 2m ，即log 2m <0,0<m <1；若m <0，则－m >0，f (－m )＝log 12(－m )＝－log 2(－m )，f (m )＝log 2(－m )，由f (m )>f (－m )得log 2(－m )>－log 2(－m )，解得m <－1，故选D.方法二 特殊值法，取m ＝2，则f (2)＝log 122＝－1，f (－2)＝log 22＝1，f (2)>f (－2)不成立，排除B ，C.当m ＝－2时，f (－2)>f (2)成立．所以排除A ，故选D.6．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]∪(－1，32)B ．(－∞，－2]∪(－1，－34)C ．(－1，14)∪(14，＋∞)D ．(－1，－34)∪[14，＋∞)答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)>1， 即f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32，f (x )的图象如图所示，由图象可知B 正确．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，f (x ＋2)＋1，x ≤0，则f (－3)的值为________．答案 2解析 f (－3)＝f (－1)＋1＝f (1)＋2＝2.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．答案 －1<a <3解析 由分段函数可得f (f (1))＝f (3)＝6a ＋9， 故f (f (1))>3a 2⇔6a ＋9>3a 2，解得－1<a <3.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)．10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )的周期为2， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.11．(2013·四川)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x <0，ln x ，x >0，其中a 是实数，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 又当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时， 有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.当x <0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2， 因为x 1<x 2<0，所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2<0,2x 2＋2>0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－(2x 1＋2)](2x 2＋2)＝1， 当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1， 即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1. (3)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)， 故x 1<0<x 2.当x 1<0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)， 即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a .当x 2>0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋lnx 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2， ①ln x 2－1＝－x 21＋a ， ② 由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t <2，且a ＝14t 2－t －ln t .设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t <2)，因为h ′(t )＝12t －1－1t ＝(t －1)2－32t<0，所以h (t )(0<t <2)为减函数，则h (t )>h (2)＝－ln 2－1，a >－ln 2－1.而当t ∈(0,2)且趋近于0时，h (t )无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)，故当函数f (x )的图象在点A 、B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 12．(2013·湖南)已知a >0，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a x ＋2a .(1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 (1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －xx ＋2a； 当x >a 时，f (x )＝x －a x ＋2a .因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a(x ＋2a )2<0，f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a(x ＋2a )2>0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12.②若0<a <4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增． 所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}． 而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a ，故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a4＋2a； 当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12.综上所述，g (a )＝⎩⎨⎧4－a4＋2a，0<a ≤1，12，a >1.(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求． 当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直． 则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1. 即－3a (x 1＋2a )2·3a(x 2＋2a )2＝－1. 亦即x 1＋2a ＝3ax 2＋2a.(*)由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，3ax 2＋2a ∈⎝⎛⎭⎫3a 4＋2a ，1.故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3a 4＋2a <x <1的交集非空．因为3a 4＋2a<3a ，所以当且仅当0<2a <1，即0<a <12时，A ∩B ≠∅.综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.第10练 化解抽象函数快捷有效的几个途径题型一 与抽象函数有关的函数性质问题例1 已知f(x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( ) A ．既不充分也不必要的条件 B ．充分而不必要的条件 C ．必要而不充分的条件 D ．充要条件破题切入点 周期函数的概念，同时考查单调性及充要条件． 答案 D解析 ①∵f (x )在R 上是偶函数， ∴f (x )的图象关于y 轴对称． ∵f (x )为[0,1]上的增函数， ∴f (x )为[－1,0]上的减函数． 又∵f (x )的周期为2，∴f (x )为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数． ②∵f (x )为[3,4]上的减函数，且f (x )的周期为2， ∴f (x )为[－1,0]上的减函数． 又∵f (x )在R 上是偶函数， ∴f (x )为[0,1]上的增函数．由①②知“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的充要条件． 题型二 与抽象函数有关的函数零点问题例2设函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，则方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上的根的个数为()A．802 B．803 C．804 D．805破题切入点将条件转化为我们所熟悉的知识．答案 D解析f(7－x)＝f(7＋x)＝f(2＋(5＋x))＝f(2－(5＋x))＝f(－3－x)，即f(x＋10)＝f(x)，所以函数的周期为10，且对称轴为x＝2，x＝7，在[0,10]内，f(1)＝f(3)＝f(11)＝f(13)，所以一个周期内只有2个零点，在[0,2 011]内2 011＝201×10＋1有201×2＋1＝403个，在[－2 011,0]内－2 011＝201×(－10)－1，有201个周期且f(－1)≠0，此时有201×2＝402个零点，合计805，故选D.题型三与抽象函数有关的新概念问题例3设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，则称映射f具有性质P，现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号)破题切入点准确把握性质P的含义．答案①③解析a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λa＋(1－λ)b＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)．对于①，∵f1(m)＝x－y，∴f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]－[λy1＋(1－λ)·y2]＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)，而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)，∴①具有性质P.对于②，f2(m)＝x2＋y，设a＝(0,0)，b＝(1,2)，λa＋(1－λ)b＝(1－λ，2(1－λ))，f(λa＋(1－λ)b)＝(1－λ)2＋2(1－λ)＝λ2－4λ＋3，而λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(02＋0)＋(1－λ)(12＋2)＝3(1－λ)，又λ是任意实数，∴f(λa＋(1－λ)b)≠λf(a)＋(1－λ)f(b)，故②不具有性质P.对于③，f3(m)＝x＋y＋1，f(λa＋(1－λ)b)＝[λx1＋(1－λ)x2]＋[λy1＋(1－λ)y2]＋1＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，又λf(a)＋(1－λ)f(b)＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋λ＋(1－λ)＝λ(x1＋y1)＋(1－λ)(x2＋y2)＋1，∴f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．∴③具有性质P.综上，具有性质P的映射的序号为①③.总结提高(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质．(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法．1．设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)等于()A．2 B．－2C．8 D．－8答案 D解析∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝4，f(－3)＝f(3)，当x＝1时，f(2＋1)＝(－2)·f(2－1)，∴f(3)＝(－2)×4＝－8，∴f(－3)＝－8.2．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析 若函数y ＝f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )．此时|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，因此y ＝|f (x )|是偶函数，其图象关于y 轴对称，但当y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称时，未必能推出y ＝f (x )为奇函数，故“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的必要而不充分条件． 3．函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义：使f (1)·f (2)·…·f (k )为整数的数k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,10]内这样的企盼数共( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 答案 A解析 依题意有f (1)＝log 23，f (2)＝log 34，f (3)＝log 45，…，f (k )＝log k ＋1(k ＋2)，则有f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝log 2(k ＋2)．令log 2(k ＋2)＝m ，则k ＝2m －2，由k ∈[1,10]得1≤2m －2≤10，∴3≤2m ≤12，∵k ∈N *，∴m ＝2,3，故所求的企盼数共有2个．4．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )，由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )，故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．5．(2014·攀枝花模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且在[－3，－2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是( ) A ．f (sin α)>f (cos β) B ．f (sin α)<f (cos β) C ．f (cos α)<f (cos β) D ．f (cos α)>f (cos β) 答案 B解析 因为f (x )为R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 又f (2－x )＝f (x )，所以f (x ＋2)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝f (x )， 所以函数f (x )以2为周期， 因为f (x )在[－3，－2]上是减函数， 所以f (x )在[－1,0]上也是减函数， 故f (x )在[0,1]上是增函数，因为α，β是钝角三角形的两个锐角， 所以α＋β<π2，α<π2－β，则0<sin α<sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos β<1，故f (sin α)<f (cos β)，选B.6．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的定义域及值域均为[－a ，a ](常数a >0)，其图象如图所示，则方程f (g (x ))＝0根的个数为 ( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 D解析 由f (x )的图象可知方程f (x )＝0有三个根，分别设为x 1，x 2，x 3，因为f (g (x ))＝0，所以g (x )＝x 1，g (x )＝x 2或g (x )＝x 3，因为－a <x 1<a ，g (x )∈[－a ，a ]，所以由g (x )的图象可知y ＝x 1与y ＝g (x )的图象有两个交点，即方程g (x )＝x 1有两个根，同理g (x )＝x 2，g (x )＝x 3各有两个根，所以方程f (g (x ))＝0有6个根．7．如图，偶函数f (x )的图象如字母M ，奇函数g (x )的图象如字母N ，若方程f (f (x ))＝0，f (g (x ))＝0的实根个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝________.答案 12解析 由图象可知偶函数f (x )的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(－2，－1)与(1,2)中，值域是[－1,1]；奇函数g (x )的1个零点是0，另外2个零点分别在区间(－1,0)与(0,1)中，值域是[－2,2]．①只有当f (x )＝0时，f (f (x ))＝0，故实根个数m ＝3.②存在3个实数x ，使g (x )＝0，f (g (x ))＝0；存在3个实数x ，使g (x )∈(－2，－1)，f (g (x ))＝0；存在3个实数x ，使g (x )∈(1,2)，f (g (x ))＝0，故实根个数n ＝9.从而m ＋n ＝12.8．设y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y ＝f (x )的判断： ①y ＝f (x )是周期函数；②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③y ＝f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (12)＝0.其中正确判断的序号是________．答案 ①②④解析 由f (x ＋1)＝－f (x )可得f (x ＋2)＝f (x )，①正确；因为y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，可知y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，②正确；显然③错误；由f (－12＋1)＝－f (－12)＝－f (12)＝f (12)得f (12)＝0，④正确．9．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题： ①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ②③解析 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原象时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时整个定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.10．(2013·湖南)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________．(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是____________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. 答案 (1){x |0<x ≤1} (2)①②③解析 (1)∵c >a >0，c >b >0，a ＝b 且a ，b ，c 不能构成三角形的三边， ∴0<2a ≤c ，∴ca≥2.令f (x )＝0得2a x ＝c x ，即⎝⎛⎭⎫c a x＝2. ∴x ＝log c a 2.∴1x ＝log 2ca ≥1.∴0<x ≤1.(2)①∵a ，b ，c 是三角形的三条边长，∴a ＋b >c . ∵c >a >0，c >b >0，∴0<a c <1,0<bc <1.∴当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x －1 >c x ⎝⎛⎭⎫a c ＋b c －1＝c x ·a ＋b －cc >0. ∴∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0.故①正确．②令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a ，b ，c 可以构成三角形． 但a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16却不能构成三角形，故②正确． ③∵c >a ，c >b ，且△ABC 为钝角三角形， ∴a 2＋b 2－c 2<0，又f (1)＝a ＋b －c >0，f (2)＝a 2＋b 2－c 2<0， ∴函数f (x )在(1,2)上存在零点，故③正确．11．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 2)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1、x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1.∵当x >1时，f (x )<0.∴f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，有f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减． (3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，得f (93)＝f (9)－f (3)．而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∵函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减， ∴原不等式为f (|x |)<f (9)． ∴|x |>9，∴x <－9或x >9，∴不等式的解集为{x |x <－9或x >9}．。
