新人教必修2高中数学同步练习与单元检测第4章 4.2.1

4.1.1 圆的标准方程练习一一、 选择题1、到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是（ ）A 、x 2+y 2=4B 、 x 2+y 2=16C 、x 2+y 2=2D 、()224(4)16x y -+-=2、已知圆的方程是()222(3)4x y -+-=，则点P （1，2）满足( )A 、是圆心B 、在圆上C 、在圆内D 、在圆外3、已知圆心在点P(－2,3)，并且与y 轴相切，则该圆的方程是（ ）A 、()222(3)4x y -++=B 、()222(3)4x y ++-=C 、()222(3)9x y -++=D 、()222(3)9x y ++-=4、方程()22()0x a y b -++=表示的图形是（ ）A 、以(a,b)为圆心的圆B 、点(a,b)C 、(－a,－b)为圆心的圆D 、点(－a,－b5、圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是( )A 、(1,－1)B 、(12,－1)C 、(－1,2)D 、(－12,－1)、6、方程y=( )A 、一条射线B 、一个圆C 、两条射线D 、半个圆7、（x-3）2 +（y+2）2 =13的周长是（ ）A B 、C 、 2πD 、8、过点C （-1，1）和D （1，3），圆心在x 轴上的圆的方程为（ ）A 、22(2)10x y +-=B 、22(2)10x y ++=C 、22(2)10x y ++=D 、22(2)10x y -+=9、直线绕原点按逆时针方向旋转300后所得直线与圆(x-2)2+y 2=3的位置关系是（ ） A 、直线过圆心B 、直线与圆相交但不过圆心C 、直线与圆相切D 、直线与圆没有公共点二、填空题10、如果一个圆的圆心在（2，4）点，并且经过点（0，3），那么这个圆的方程是----------------------------------------------。

11、222()()x a y b r -+-=过原点的条件是 。

4.3.2 空间两点间的距离公式【课时目标】 1．掌握空间两点间的距离公式．2．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．3．能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．1．在空间直角坐标系中，给定两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则|P 1P 2|＝________________________________________________________________________． 特别地：设点A (x ，y ，z )，则A 点到原点的距离为：|OA |＝________________．2．若点P 1(x 1，y 1,0)，P 2(x 2，y 2,0)，则|P 1P 2|＝______________________．3．若点P 1(x 1,0,0)，P 2(x 2,0,0)，则|P 1P 2|＝________．一、选择题1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( )A ．61B ．25C ．5D ．572．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9B ．29C ．5D ．2 63．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足( )A ．x ＋y ＋z ＝－1B ．x ＋y ＋z ＝0C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝44．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则下列说法中正确的是( )A ．A 、B 、C 三点可以构成直角三角形B ．A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形C ．A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D ．A 、B 、C 三点不能构成任何三角形5．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C ．87D ．19146．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 在( )A ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定二、填空题7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．8．已知P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________．9．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M的坐标是________．三、解答题10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．11．如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(32，12，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．能力提升12．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．13．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N 在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则d (P 1，P 2)＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，当P 1，P 2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．4．3．2 空间两点间的距离公式 答案知识梳理1．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2x 2＋y 2＋z 22．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)23．|x 1－x 2|作业设计1．C [|AB |＝(1＋2)2＋(3－3)2＋(－2－2)2＝5．]2．B [由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29．]3．B [|AC |＝|BC |⇒(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2．即x ＋y ＋z ＝0．]4．A [|AB |＝2，|BC |＝3，|AC |＝1，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2．故构成直角三角形．]5．C [|AB |＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，|AB |最小．] 6．C 7．23938．0或－4解析 利用中点坐标公式，则AB 中点C ⎝⎛⎭⎫12，92，－2，|PC |＝3，即 ⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭⎫52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4．9．(0，－1,0)解析 设M 的坐标为(0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．10．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)．∴|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2 ＝2(x －1)2＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M 坐标为(1,0,0)时，|MN |min ＝51．11．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°，∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1．∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)， ∴|AD |＝(32)2＋(12＋1)2＋(3)2＝6． 12．解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB ． ∵CM ＝BN ＝a ，∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ，∴以B 为原点，以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a ， N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0． (1)|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12， (2)由(1)得，当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点． 13．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1．M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)． 由两点间距离公式，得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212．。

4.1.2 圆的一般方程一、基础过关1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤2 B ．m ＜12 C ．m ＜2 D ．m ≤122．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A ．1 B. 2C. 3 D ．2 3．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝0 4．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在 ( ) A ．圆内 B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外 5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．8．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．二、能力提升9．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝0 10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝011． 已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程．三、探究与拓展13．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．答案1．B 2.D 3．B 4．B5．(0，－1)6．－27．解 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3,3)．∵CM ⊥AM ，∴k CM ·k AM ＝－1，即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1，即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)．8．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，②1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.9．D 10．A12．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14.所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14.13．解 设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根．∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－10E ＝－8F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.。

第四章 章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于y 轴对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝52．方程y ＝－25－x 2表示的曲线( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆3．两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离4．以点P (2，－3)为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝4 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝9 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝95．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －7＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x －2y －3＝0 D ．x －2y ＋3＝06．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或117．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C ．252D ．2549．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为( ) A ．2 B ．－8 C ．2或－8 D ．8或－210．与圆C ：x 2＋(y ＋5)2＝9相切，且在x 轴与y 轴上的截距都相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 11．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A ．32B ．34C ．2 5D ．65512．从直线x －y ＋3＝0上的点向圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．322B ．142C ．324D ．322－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点B 是点A (1,2,3)在坐标平面yOz 内的正射影，则OB ＝______．14．动圆x 2＋y 2－(4m ＋2)x －2my ＋4m 2＋4m ＋1＝0的圆心的轨迹方程是______________．15．若x ∈R ，y 有意义且满足x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx的最大值为________．16．对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知一个圆和直线l ：x ＋2y －3＝0相切于点P (1,1)，且半径为5，求这个圆的方程．18．(12分)求圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程．19．(12分)圆x 2＋y 2＝8内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝3π4时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．20．(12分)设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．21．(12分)求与两平行直线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0相切，圆心在2x ＋y ＋3＝0上的圆的方程．22．(12分)已知坐标平面上点M (x ，y )与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)的距离之比等于5． (1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C ，过点M (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．第四章 圆与方程(A) 答案1．A [(x ，y )关于y 轴的对称点坐标(－x ，y )，则得(－x ＋2)2＋y 2＝5．] 2．D [化简整理后为方程x 2＋y 2＝25，但还需注意y ≤0的隐含条件．]3．B [将两圆化成标准方程分别为x 2＋y 2＝1，(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，可知圆心距d ＝5，由于2<d <4，所以两圆相交．]4．C [圆心为(2，－3)，半径为2，故方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝4．]5．D [化成标准方程(x －2)2＋y 2＝9，过点P (1,2)的最短弦所在直线l 应与PC 垂直，故有k l ·k PC＝－1，由k PC ＝－2得k l ＝12，进而得直线l 的方程为x －2y ＋3＝0．]6．A [直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位得2x －y ＋λ＋2＝0，圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为C (－1,2)，r ＝5，d ＝|－2＋λ|5＝5，λ＝－3，或λ＝7．]7．A [将两方程联立消去y 后得(k 2＋1)x 2＋2kx －9＝0，由题意此方程两根之和为0，故k ＝0．]8．D [因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y ＝5，令x ＝0得y ＝52．令y ＝0得x ＝5，故S △＝12×52×5＝254．]9．C [由距离公式得(x ＋3)2＋52＋62＝86，解得x ＝2或－8．] 10．D [依题意画图如图所示，可得有4条．]11．D [弦长为4，S ＝12×4×35＝655．]12．B [当圆心到直线距离最短时，可得此时切线长最短．d ＝322，切线长＝⎝⎛⎭⎫3222－12＝142．] 13．13解析 易知点B 坐标为(0,2,3)，故OB ＝13． 14．x －2y －1＝0(x ≠1)解析 圆心为(2m ＋1，m )，r ＝|m |，(m ≠0)，令x ＝2m ＋1，y ＝m 消去m 即得方程． 15． 3解析 x 2＋y 2－4x ＋1＝0(y ≥0)表示的图形是位于x 轴上方的半圆，而yx的最大值是半圆上的点和原点连线斜率的最大值，结合图形易求得最大值为3．16．相切或相交解析 直线恒过(1,3)，而(1,3)在圆上． 17．解 设圆心坐标为C (a ，b )， 则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25． ∵点P (1,1)在圆上，∴(1－a )2＋(1－b )2＝25． 又∵CP ⊥l ， ∴b －1a －1＝2， 即b －1＝2(a －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝2(a －1)，(a －1)2＋(b －1)2＝25， 得⎩⎨⎧a ＝1＋5，b ＝1＋25，或⎩⎨⎧a ＝1－5，b ＝1－2 5.故所求圆的方程是(x －1－5)2＋(y －1－25)2＝25或(x －1＋5)2＋(y －1＋25)2＝25．18．解 由于过P (3，－2)垂直于切线的直线必定过圆心，故该直线的方程为 x －y －5＝0． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，y ＝－4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－4，故圆心为(1，－4)，r ＝(1－3)2＋(－4＋2)2＝22， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．19．解 (1)∵α＝3π4，k ＝tan 3π4＝－1，AB 过点P ，∴AB 的方程为y ＝－x ＋1．代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝30． (2)∵P 为AB 中点，∴OP ⊥AB ．∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12．∴AB 的方程为x －2y ＋5＝0．20．解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵圆上的点A (2,3)关于x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上， 即a ＋2b ＝0． ① 圆被直线x －y ＋1＝0截得的弦长为22，∴⎝⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＋(2)2＝r 2． ② 由点A (2,3)在圆上得(2－a )2＋(3－b )2＝r 2． ③ 由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244．21．解 设所求圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意知，两平行线间距离d ＝|5－3|10＝210，且(a ，b )到两平行线x ＋3y －5＝0和x ＋3y －3＝0的距离相等，即|a ＋3b －5|10＝|a ＋3b －3|10，∴a ＋3b －5＝－(a ＋3b －3)或a ＋3b －5＝a ＋3b －3(舍)． ∴a ＋3b －4＝0． ① 又圆心(a ，b )在2x ＋y ＋3＝0上，∴2a ＋b ＋3＝0． ②由①②得a ＝－135，b ＝115．又r ＝12d ＝110．所以，所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋1352＋⎝⎛⎭⎫y －1152＝110． 22．解 (1)由题意，得|M 1M ||M 2M |＝5．(x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0． 即(x －1)2＋(y －1)2＝25．∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25， 轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆． (2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段的长为252－32＝8， ∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1， 由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512．∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0．即5x －12y ＋46＝0． 综上，直线l 的方程为x ＝－2，或5x －12y ＋46＝0．。

§4.2 直线、圆的位置关系 4.2.1 直线与圆的位置关系【课时目标】 1．能根据给定直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系．2．能根据直线与圆的位置关系解决有关问题．222一、选择题1．直线3x ＋4y ＋12＝0与⊙C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9的位置关系是( ) A ．相交并且过圆心 B ．相交不过圆心 C ．相切 D ．相离2．已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与y 轴切于原点，那么( ) A ．D ＝0，E ＝0，F ≠0 B ．D ＝0，E ≠0，F ＝0 C ．D ≠0，E ＝0，F ＝0 D ．D ≠0，E ≠0，F ＝03．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得弦长等于( )A ． 6B ．522C ．1D ．54．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0(abc ≠0)与圆x 2＋y 2＝1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在6．与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，在x ，y 轴上的截距相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条二、填空题7．已知P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝2}，那么P ∩Q 为________． 8．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为______________．9．P (3,0)为圆C ：x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，过P 点的最短弦所在的直线方程是______________．三、解答题10．求过点P(－1,5)的圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的切线方程．11．直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为45，求l的方程．能力提升12．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则()A．l∥g且与圆相离B．l⊥g且与圆相切C．l∥g且与圆相交D．l⊥g且与圆相离13．已知直线x＋2y－3＝0与圆x2＋y2＋x－2cy＋c＝0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值．1．判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝k2＋1·(x1＋x2)2－4x1x2＝k2＋1|x1－x2|．3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．§4．2 直线、圆的位置关系 4．2．1 直线与圆的位置关系答案知识梳理2 1 0 < ＝ > > ＝ < 作业设计1．D [圆心到直线距离d >r ．]2．C [与y 轴切于原点，则圆心⎝⎛⎭⎫－D2，0，得E ＝0，圆过原点得F ＝0，故选C ．] 3．A [分别求出半径r 及弦心距d (圆心到直线距离)再由弦长为2r 2－d 2，求得．]4．C [通过画图可知有三个点到直线x ＋y ＋1＝0距离为2．]5．B [由题意|c |a 2＋b2＝1⇒|c |＝a 2＋b 2⇒c 2＝a 2＋b 2，故为直角三角形．]6．C [需画图探索，注意直线经过原点的情形．设y ＝kx 或x a ＋ya＝1，由d ＝r 求得k＝±1，a ＝4．]7．{(1,1)}解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x ＋y ＝2，得x ＝y ＝1． 8．x －3y ＋2＝0解析 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为33，则过(1，3)切线方程为x －3y＋2＝0．9．x ＋y －3＝0解析 过P 点最短的弦，应为与PC 垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为 x ＋y －3＝0．10．解 ①当斜率k 存在时， 设切线方程为y －5＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋5＝0．由圆心到切线的距离等于半径得|k －2＋k ＋5|k 2＋1＝2，解得k ＝－512，∴切线方程为5x ＋12y －55＝0．②当斜率k 不存在时，切线方程为x ＝－1，此时与圆正好相切． 综上，所求圆的切线方程为x ＝－1或5x ＋12y －55＝0．11．解 圆心到l 的距离d ＝r 2－⎝⎛⎭⎫4522＝5，显然l 存在斜率．设l ：y －5＝k (x －5)，即kx －y ＋5－5k ＝0，d ＝|5－5k |k 2＋1．∴|5－5k |k 2＋1＝5，∴k ＝12或2．∴l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0．12．A [∵M 在圆内，∴a 2＋b 2<r 2．∴(0,0)到l 的距离d ＝r 2a 2＋b2>r 即直线l 与圆相离，又直线g 的方程为y －b ＝－ab(x －a )，即ax ＋by －a 2－b 2＝0，∴l ∥g ．]13．解 设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 由OA ⊥OB ，知k OA ·k OB ＝－1， 即y 1x 1·y 2x 2＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 ① 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0x 2＋y 2＋x －2cy ＋c ＝0， 得5y 2－(2c ＋14)y ＋c ＋12＝0，则y 1＋y 2＝15(2c ＋14)，y 1y 2＝15(c ＋12) ②又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，代入①得9－6(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0③ 由②、③得，c ＝3．。

章末检测一、选择题1．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )2．点P (m,3)与圆(x －2)2＋(y －1)2＝2的位置关系为( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．与m 的值有关 3．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为 ( ) A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－2 4．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 5．设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x －3y －2＝0B ．4x －3y －6＝0C ．3x ＋4y ＋6＝0D ．3x ＋4y ＋8＝06．圆x 2＋y 2－4x ＝0过点P (1，3)的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝07．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 8．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C.252D.2549．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或1110．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 11．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1) 12．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2C.85D.125二、填空题13．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________． 14．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，则|P A |·|PB |＝________.15．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．三、解答题17．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．18． 已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．19．已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )．(1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； (2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．如图，已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O引切线PQ ，切点为Q ， 且有|PQ |＝|P A |. (1)求a 、b 间关系； (2)求|PQ |的最小值；(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最 小的圆的方程．答案章末检测1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．C 12．A 13．2x ＋3y ＋8＝0 14．3 15．±5 16.4317．解 如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0. ∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.18．解 设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得 x 1x 2＋y 1y 2＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0， 可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.①所以y 1y 2＝12＋m5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2) ＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0，解得m ＝3.将m ＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m ＝3满足题意，即3为所求m 的值． 19．(1)证明 配方得：(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25，设圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m y ＝m －1， 消去m 得x －3y －3＝0，则圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．(2)解 设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0， 则圆心到直线l 1的距离为 d ＝|3m －3(m －1)＋b |10＝|3＋b |10.∵圆的半径为r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交；当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d >r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离．(3)证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x －3y ＋b ＝0，由于圆心到直线l 1的距离d ＝|3＋b |10，弦长＝2r 2－d 2且r 和d 均为常量．∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．解 (1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|P A |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|P A |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故2a ＋b －3＝0.(2)由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－ 12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255.(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点且与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1，又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.。

4.2.1 直线与圆的位置关系[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.知识点一 直线与圆的位置关系及判断思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？ 答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观. 知识点二 圆的切线问题 1.求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 代数法：设切线方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式(1)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2.(2)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则P 到切点的切线段长为d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.解 方法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，∴当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法二 已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离 d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2.当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.反思与感悟 直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数a 的取值范围. 解 方法一 (代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0. Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000. ①当直线和圆相交时，Δ＞0， 即－36a 2＋90 000＞0，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0， 即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0， 即a ＜－50或a ＞50. 方法二 (几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10， 则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5， ①当直线和圆相交时，d ＜r ， 即|a |5＜10，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d ＞r ， 即|a |5＞10，a ＜－50或a ＞50. 题型二 圆的切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线的方程. 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A 在圆外.(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4).即kx －y －3－4k ＝0， 因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1.解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.反思与感悟 1.过一点P (x 0，y 0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地，有关圆的切线问题，若已知切点则用k 1·k 2＝－1(k 1，k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d ＝r (d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式.跟踪训练2 圆C 与直线2x ＋y －5＝0相切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程.解 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， 所以2r ＝|15－(－5)|22＋12＝4 5.所以r ＝2 5.所以|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10；①|2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10.② 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直， 所以b －1a －2＝12.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.故所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. 题型三 圆的弦长问题例3 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长.解 方法一 直线x －3yy ＋23＝0和圆x 2＋y 2＝4的公共点坐标就是方程组⎩⎨⎧x －3y ＋23＝0，x 2＋y 2＝4的解. 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝－3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2. 所以公共点的坐标为(－3，1)，(0,2)，所以直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为(－3－0)2＋(1－2)2＝2. 方法二 如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)， 所以|OM |＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝ 3.所以|AB |＝2|AM |＝2OA 2－OM 2 ＝222－(3)2＝2. 反思与感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2. 即|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2|y 1－y 2|， 其中k 为直线l 的斜率.跟踪训练3 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.46 答案 C解析圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r＝5.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.数形结合思想例4直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b的取值范围是()A.|b|＝ 2B.－1＜b≤1或b＝－2C.－1≤b＜1D.非以上答案分析曲线x＝1－y2变形为x2＋y2＝1(x≥0)，表示y轴右侧(含与y轴的交点)的半圆，直线y＝x＋b表示一系列斜率为1的直线，利用数形结合思想在同一平面直角坐标系内作出两种图形求解.解析曲线x＝1－y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝1－y2(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.相切时，b＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.故选B.答案B解后反思求解直线与曲线公共点的问题，首先要借助图形进行思考；其次要注意作图的完整准确，使得图形能够反映问题的全部；最后在求解中还要细心缜密，保证计算无误.1.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案C解析方法一圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤1＜2＝r，∴直线与圆相交，且圆心(0,0)不在该直线上.方法二 直线kx －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.2.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B解析 ∵点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外，∴a 2＋b 2＞1. ∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1＝r ，则直线与圆的位置关系是相交. 3.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 答案 D解析 依题意可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋c ＝0的距离为|c |22＋12＝5，解得c ＝±5.故所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 4.设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 D解析 直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)， 则|AB |＝2.5.过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________. 答案 2x －y ＝0解析 设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－⎝⎛⎭⎫222＝0，即圆心(1,2)位于直线kx －y ＝0上.于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y ，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l ＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝k 2＋1|x 1－x 2|.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.一、选择题1.直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 答案 C解析 l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在， ∴l 与圆一定相交，故选C.2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0 D.x －y ＋3＝0答案 D解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3.已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2答案 B解析 由条件，知x －y ＝0与x －y －4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C 的圆心C 在直线x －y －2＝0上.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，得圆心C (1，－1).又因为两平行线间距离d ＝42＝22，所以所求圆的半径长r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A.0° B.45° C.0°或45° D.0°或60° 答案 D解析 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.5.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于( )A.10－27B.5－7C.10－3 3D.5－322答案 A解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25， 所以点(－1,0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小. 弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32， 所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27， 所以m －n ＝10－27.6.在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C解析 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意.7.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 答案 A解析 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时，|AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离d ≤1. ∴|3k －2＋3|k 2＋(－1)2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1. 由二次函数的图象可得 －34≤k ≤0. 二、填空题8.设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 圆心到直线的距离d ＝|a －2＋3|a 2＋1＝22－(3)2＝1，解得a ＝0. 9.圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析 设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________. 答案2555解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.11.若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是_______. 答案 [1，2)解析 如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2). 三、解答题12.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R ). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A (3,1).第11页 共11页 因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.13.已知直线l 过点P (1,1)并与直线l 1：x －y ＋3＝0和l 2：2x ＋y －6＝0分别交于点A ，B ，若线段AB 被点P 平分，求：(1)直线l 的方程；(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为855的圆的方程. 解 (1)依题意可设A (m ，n )，B (2－m,2－n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＋3＝0，2(2－m )＋(2－n )－6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝－3，2m ＋n ＝0， 解得A (－1,2).又l 过点P (1,1)，易得直线AB 的方程为x ＋2y －3＝0， 即直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.(2)设圆的半径长为r ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫4552，其中d 为弦心距，d ＝35，可得r 2＝5，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝5.。