【最新】2018-2019学年度高中数学北师大版必修三教学案：第一章§8 最小二乘估计 -含答案

§1.1从普查到抽样；一、教学目标：1．了解普查的意义．；2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性；结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重；通过我国第五次人口普查的有关数据，让学生体会到统；教科书提出了三个有代表性的问题．第一个问题主要是；“阅读材料”是课堂阅读，目的是让学生了解普查工作；-1-；国目前主要的一些普查工作．进而，总结出普查的§1.1从普查到抽样一、教学目标：1．了解普查的意义．2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．二、重难点：结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．三、教学方法：阅读材料、思考与交流四、教学过程（一）、普查1、【问题提出】P 3通过我国第五次人口普查的有关数据，让学生体会到统计对政府决策的重要作用――统计数据可以提供大量的信息，为国家的宏观决策提供有关的支持．教科书通过对人口普查的有关新闻报道，让学生体会人口普查的规模是何等的宏大与艰辛．教科书提出了三个有代表性的问题．第一个问题主要是针对人口普查的作用，人口普查可以了解一个国家人口全面情况，比如，人口总数、男女性别比、受教育状况、增长趋势等．人口普查是对国家的政府决策实行情况的一个检验，比如，国家计划生育政策，经济发展战略，国家“普及九年义务教育”政策，人民群众的生活水平等．第二个问题是针对普查本身存在的问题提出的，以加深学生对于普查的理解．学生可能有一个误解，普查就是100%的准确，其实不然，即使是最周全的调查方案，在实际执行时都会产生一个误差．教科书通过这个问题，目的是让学生理解在人口普查中出现漏登是正常情况，调查方案的设计是尽可能让这个误差降低到最小．同时，也要让学生理解人口普查的工作，即使出现漏登现象，人口普查的数据对国家的宏观决策依然具有重要的作用．第三个问题是针对人口普查工作的艰辛而提出的，让学生体会人口普查数据得来不易，要尊重人口普查人员的劳动，对人口普查工作要大力支持．2、【阅读材料】P4 “阅读材料”是课堂阅读，目的是让学生了解普查工作的特点和重要性，以及我- 1 -国目前主要的一些普查工作．进而，总结出普查的主要不足之处，这是从一个方面说明了抽样调查的必要性．普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全面调查，目的是为了详细地了解某项重要的国情、国力．普查主要有两个特点：（1）所取得的资料更加全面、系统；（2）主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量．普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．（二）、抽样调查【例1和其后的“思考交流”】P4～5紧接着，教科书通过例1和“思考交流”的两个问题，让学生了解普查有时候难以实现．这主要有两个方面的原因，其一，被调查对象的量大；其二，普查对被调查对象本身具有一定的破坏性．这从另一个方面说明了抽样调查的必要性．然后，教科书通过抽象概括总结出抽样调查的两个主要优点．【例2和其后的“思考交流”】P5～6主要是讨论在抽样调查时，什么样的样本才具有代表性．在抽样时，如果抽样不当，那么调查的结果可能会出现与实际情况不符，甚至是错误的结果，导致对决策的误导．在抽样调查时，一定要保证随机性原则，尽可能地避免人为因素的干扰；并且要保证每个个体以一定的概率被抽取到；同时，还要注意到要尽可能地控制抽样调查中的误差．由于检验对象的量很大，或检验对检验对象具有破坏性时，通常情况下，所以采用普查的方法有时是行不通的．通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．抽样调查的优点：抽样调查与普查相比，有很多优点，最突出的有两点：（1）迅速、及时；（2）节约人力、物力和财力．例1为了考察某地10 000名高一学生的体重情况，从中抽出了200名学生做调查．这里统计的总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么？为什么我们一般要从总体中抽取一个样本，通过样本来研究总体？- 2 -解：统计的总体是指该地10 000名学生的体重；个体是指这10 000名学生中每一名学生的体重；样本指这10 000名学生中抽出的200名学生的体重；总体容量为10 000；样本容量为200．若对每一个个体逐一进行“调查”，有时费时、费力，有时根本无法实现，一个行之有效的办法就是在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体，进行抽样调查．例2 为了制定某市高一、高二、高三三个年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：A．测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B．查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C．在本市的市区和郊县各任选一所完全中学，两所初级中学，在这六所学校有关年级的小班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？解：选C方案．理由：方案C采取了随机抽样的方法，随机样本比较具有代表性、普遍性，可以被用来估计总体．例3 中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得当年春节联欢晚会的收视率．下面三名同学为电视台设计的调查方案．甲同学：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快统计收视率了．乙同学：我给我们居民小区的每一份住户发一个是否在除夕那天晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率．丙同学：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率．请问：上述三名同学设计的调查方案能够获得比较准确的收视率吗？为什么？解：综上所述，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率．- 3 -（三）、课堂小结：1、普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．普查主要有两个特点：（1）所取得的资料更加全面、系统；（2）主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量．2、通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．抽样调查的优点：抽样调查与普查相比，有很多优点，最突出的有两点：（1）迅速、及时；（2）节约人力、物力和财力。

《随机事件的概率》的教学设计一、教学目标1、知识与技能（1）了解随机事件、必然事件和不可能事件的概念。

（2）通过试验了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，正确理解事件A出现的频率的意义，明确事件A发生的频率与事件A发生的概率的PA的区别与联系。

2、过程与方法（1）创设情境，引入新课，激发学生的学习兴趣和求知欲。

（2）发现式教学，通过抛硬币的试验，获取数据，归纳总结试验结果，体会随机事件发生的随机性和规律性，在探索中不断提高。

3、情感态度与价值观（1）通过学生自己动手、动脑和亲身体验来理解知识，体会数学知识与自然世界的联系。

（2）通过本节的教学，引导学生用随机的观点认识世界，使学生了解偶然性与必然性的辩证统一，培养辩证唯物主义思想。

二、教学重难点1、教学重点：通过抛硬币了解概率的定义，明确与其频率的区别与联系。

2、教学难点：利用频率估计概率，体会随机事件的发生的随机性和规律性。

三、教学方法采用以教师引导为主，学生合作探索和思考为辅的探究式教学方法，通过抛硬币活动来组织学生进行有效的学习，调动学生的积极性，在实验的过程中实现对数据的收集、整理、观察、分析、讨论，最后通过合作交流等方式，归纳出当试验次数大很大时，事件发生的频率稳定一个常数附近。

四、教学手段采用多媒体辅助教学,促进学生自主学习，丰富完善学生的认知过程，使有限的时间成为无限的空间。

事先教师准备图表、电脑、硬币等。

五、教学过程1、创设情境，引入新课生活实例1：“2021年2月28日，勇士对雷霆，库里超远三分绝杀，将比分定格为121:118”问题1：你能确定神奇的库里在下一场NBA比赛中的超远三分一定能进吗？设计意图从学生感兴趣的生活实例引入，一方面是为了激发学生的听课热情，另一方面也是让学生体会学习随机事件及概率的原因和必要性抓住生活实例中包含数学思维的部分进行提问，引导学生用数学的眼光观察、认识我们生活的世界，对生活中的现象和感性认识进行理性思考．生活实例2：足球比赛开场前，用抛硬币的方式决定谁先开球。

数据的数字特征4．1 & 4.2　平均数、中位数、众数、极差、方差　标准差预习课本P25～31，思考并完成以下问题(1)什么是平均数、中位数、众数？ (2)什么是极差、方差、标准差？ (3)方差、标准差的计算公式是什么？　[新知初探]1．平均数、中位数、众数(1)平均数如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么＝，x x 1＋x 2＋ (x)n叫作这n 个数的平均数．(2)中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．(3)众数一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．[点睛]　如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数．2．极差、方差、标准差(1)极差一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差．(2)方差标准差的平方s 2叫作方差．s 2＝[(x 1－)2＋(x 2－)2＋…＋(x n －)2]．1n x x x 其中，x n 是样本数据，n 是样本容量，是样本平均数．x (3)标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．s ＝ .1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(xn －x )2][点睛]　(1)标准差、方差描述了一组数据围绕着平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差为0时，表明样本数据全相等，数据没有波动幅度和离散性．(3)标准差的大小不会超过极差．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化．( )(2)一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况．中位数不受极端值的影响．( )(3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关．( )(4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定．( )(5)数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定．( )答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95.则这一组数据的众数和中位数分别为( )A ．84,68B ．84,78C ．84,81D ．78,81解析：选C 将所给数据按从小到大排列得68,70,77,78,79,83,84,84,85,95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两位是79,83，它们的平均数为81，即中位数为81.3.某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则该学生这几次数学测试的平均成绩为________．解析：根据茎叶图提供的信息知，这几次测试成绩为53,60,63,71,74,75,80.所以所求的平均成绩为×(53＋60＋63＋71＋74＋75＋80)＝68.17答案：684.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．解析：依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为＝11.8＋9＋10＋13＋155由方差公式得s 2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]15＝(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.15答案：6.8中位数、众数、平均数的计算及应用[典例]　据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．[解]　(1)平均数是＝1 500＋(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋591＝2 x 133091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元．(2)平均数是′＝1 500＋(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋1 x 133788＝3 288(元)．中位数是1 500元，众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数和众数等，它们作为一组数据的代表各有优缺点，也各有各的用处，从不同的角度出发，不同的人会选取不同的统计量来表达同一组数据的信息，不同的统计量会侧重突出某一方面的信息．　[活学活用]1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，则该小组成绩的平均分、众数、中位数分别是( )A ．85分、85分、85分B ．87分、85分、86分C ．87分、85分、85分D ．87分、85分、90分解析：选C 由题意知，该学习小组共有10人，因此众数和中位数都是85，平均数为＝87.100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75102．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛．则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )A ．平均数B ．极差C ．中位数D ．方差解析：选C 判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数.方差、标准差的计算与应用[典例]　从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲：7,8,6,9,6,5,9,9,7,4.乙：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数；(2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差；(3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛．[解]　(1)对于甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7；对于乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7.(2)甲＝＝7，x 7＋8＋6＋9＋6＋5＋9＋9＋7＋410s ＝×[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2甲1102＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2.8，s 甲＝＝≈1.673.s 2甲2.8乙＝＝7，x 9＋5＋7＋8＋7＋6＋8＋6＋7＋710s ＝×[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2乙1102＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2，s 乙＝＝≈1.095.s 2乙1.2(3)∵甲＝乙，s 甲＞s 乙，x x ∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定． [活学活用]某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：甲组　60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；乙组　85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；(2)哪一组的成绩较稳定？解：(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，平均分为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，x 110方差为s ＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2甲1102＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，标准差为s 甲＝＝≈10.91(分)．s 2甲119乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，平均分为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，x 110方差为s ＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2乙1102＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，标准差为s 乙＝＝≈8.67(分)．s 2乙75.25(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．从(1)中得到的极差也可得到乙组的成绩比较稳定.数字特征与统计图表的综合问题[典例]　(1)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为，则( )xA ．m e ＝m o ＝B ．m e ＝m o ＜x xC ．m e ＜m o ＜D ．m o ＜m e ＜x x(2)如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )xA.A ＞B ，s A ＞s BB.A ＜B ，s A ＞s B x x x xC.A ＞B ，s A ＜s BD.A ＜B ，s A ＜s Bx x x x [解析]　(1)由条形统计图可知，30名学生的得分依次为2个3分，3个4分，10个5分，6个6分，3个7分，2个8分，2个9分，2个10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e ＝5.5，5出现次数最多，故m o ＝5.＝≈5.97.x 2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030于是得m o ＜m e ＜.x (2)观察图形可得：样本A 的数据均小于或等于10，样本B 的数据均大于或等于10，故A ＜B ，又样本B 的波动范围较小，故s A ＞s B .x x [答案]　(1)D (2)B(1)由于茎叶图保留了原始数据，因此根据茎叶图进行有关数据计算可以直接进行；另外，在茎叶图中，数据的分布能直观体现数据的平均水平和离散程度，因此给出茎叶图解决与平均数和方差有关的统计问题时，我们也可以直观观察来完成．(2)折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的意义有关，一般情况下，整体分布位置较高的平均数大，波动性小的方差小．(3)若条形统计图的横坐标是单一数据，则可通过该统计图还原真实的样本数据，进而中位数、众数、平均数均可直接计算得到．(4)当条形统计图的横轴是区间形式，各数字特征就不能直接求出，但是可以近似估计．①中位数：条形统计图(直方图)中，中位数左边和右边的各矩形的面积和应该相等，由此可以估计中位数的值．②平均数：平均数的估计值等于条形统计图(直方图)中每个小矩形的高度(面积)乘小矩形底边中点的横坐标之积的总和．③众数：在条形统计图(直方图)中，众数是最高的矩形的中点的横坐标． [活学活用]1．样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，它们的条形统计图如图所示，则标准差最大的一组是( )A ．第一组B ．第二组C ．第三组D ．第四组解析：选D 法一：第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6，标准差为；63第三组中，样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7，标准差为；253第四组中，样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8，标准差为2.2故标准差最大的一组是第四组．法二：从四个条形图可看出第一组数据没有波动性，第二、三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较大，利用标准差的意义可以直观得到答案．2.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )A．a1＞a2B．a2＞a1C．a1＝a2D．a1，a2的大小与m的值有关解析：选B　去掉的最低分和最高分就是第一行和第三行的数据，剩下的数据我们只要计算其叶上数字之和即可．此时甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a2＞a1.[层级一　学业水平达标]1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53解析：选A　样本的中位数是(45＋47)÷2＝46，众数是45，极差为68－12＝56.2．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在每一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A．0.6 h B．0.9 hC．1.0 h D．1.5 h解析：选B 由条形统计图可得，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为＝0.9(h)，因此估计该校全体学5×0＋20×0.5＋10×1.0＋10×1.5＋5×2.050生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9 h.3．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s 2，则( )x A.＝5，s 2＜2 B.＝5，s 2＞2x x C.＞5，s 2＜2 D.＞5，s 2＞2x x 解析：选A ∵(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，∴(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，∴＝5.1819x 由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，∴s 2＜2，故选A.4．小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10，11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________．解析：由题意可得x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，则t 2＝4，|t |＝2，故|x －y |＝2|t |＝4.答案：4[层级二　应试能力达标]1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A. B.6565C.D ．22解析：选D 由题可知样本的平均值为1，所以＝1，解得a ＝－1，a ＋0＋1＋2＋35所以样本的方差为[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.152．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数x 8.68.98.98.2方差s 23.53.52.15.6从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是( )A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C 由表可知，乙、丙的成绩最好，平均环数都为8.9，但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选．3．如果5个数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是7，那么x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1，x 4＋1，x 5＋1这5个数的平均数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D 法一(定义法)：依题意x 1＋x 2＋…＋x 5＝35，所以(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋…＋(x 5＋1)＝40，故所求平均数为＝8.405法二(性质法)：显然新数据(记为y i )与原有数据的关系为y i ＝x i ＋1(i ＝1,2,3,4,5)，故新数据的平均数为＋1＝8.x 4．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分，却记了100分，更正后平均分和方差分别是( )A ．70,75B ．70,50C ．75,1.04D ．62,2.35解析：选B 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s 2，则由题意可得s 2＝[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x 48－70)2]，148而更正前有75＝[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x 48－70)2]，化148简整理得s 2＝50.5.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A 给出的分数的茎叶图如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清．若记分员计算无误，则数字x 应该是________．解析：由茎叶图可知最低分为88.若90＋x 为最高分，则平均分为≈91.4≠91.故最高分为94.则去掉最高分94和最低分88，平89＋89＋91＋92＋92＋93＋9478899923x214均分为＝91，解得x ＝1.89＋89＋91＋92＋92＋93＋(90＋x )7答案：16．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为________．解析：根据题意知，该组数据的平均数为×(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460)＝450，18所以该组数据的方差为×(02＋202＋102＋102＋02＋102＋202＋102)＝150.18答案：1507．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列)．解析：不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4且x 1，x 2，x 3，x 4为正整数，则由已知条件可得Error!即得Error!又∵x 1，x 2，x 3，x 4为正整数，∴x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝2或x 1＝1，x 2＝x 3＝2，x 4＝3或x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3，∵s ＝＝1，∴x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3.由此14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2]可得这四个数为1,1,3,3.答案：1,1,3,38．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．(1)请填写下表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看(谁的成绩更稳定)；②从平均数和中位数相结合看(谁的成绩好些)；③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看(谁的成绩好些)；④从折线统计图上两人射击命中环数的走势看(谁更有潜力)．解：(1)由图可知，甲打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.甲的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；乙的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及以上次数为3.如下表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲7 1.271乙7 5.47.53(2)①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定；②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些；③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩较好；④从折线统计图上看，在后半部分，乙呈上升趋势，而甲起伏不定，且均未超过乙，故乙更有潜力．9．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，跳高1.65 m 就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m 方可获得冠军呢？解：甲的平均成绩和方差如下：甲＝(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，x 18s ＝[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.2甲18乙的平均成绩和方差如下：乙＝(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，x 18s ＝[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.2乙18显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m 就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m 以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m 的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m 方可获得冠军，应派乙参赛．。

§8 最小二乘估计【教学目标】1.知识与技能了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.2.过程与方法经历用不同的估计方法来描述两个变量线性相关的过程，体会研究两个变量间依赖关系的一般方法.3.情感、态度与价值观通过利用散点图直观认识变量间的相关关系，培养学生用普通联系的观点思考和解决生活中的数学现象，进一步培养学生的创新意识与创新能力. 【教材分析】本节内容从上一节讨论的问题切入，人的身高与右手一拃长之间近似存在线性关系，这种线性关系可以用多种方法来进行刻画，本节介绍了最常用的方法—最小二乘法.在“思考交流”中，教材设置了3个问题，目的是从最小二乘法定义的距离出发，逐层深入地求多个点与一条直线的距离，进而导出最小二乘法的公式，这样的设计，有助于学生对最小二乘法的理解.在“抽象概括”之后，教材安排了“思考交流”，目的是让学生理解在极端的情况下，用最小二乘法估计的线性回归方程与用两点式求出的线性方程是一致的，让学生体会数学的和谐统一. 【教材重点和难点】本节的重点：利用最小二乘法求线性回归方程的思想. 本节的难点：线性回归方程的推导. 【教学过程】 一、问题提出在上一节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。

那么用什么样的线性关系刻画会更好呢？一个好的线性关系要保证这条直线与所有点都接近。

最小二乘法就是基于这种想法。

假设一条直线的方程为y=a+bx ，任意给定一个样本点：A （x i ，y i ），有下面两种方法来刻画二者的接近程度： 方法一、点到直线的距离公式12++-=b ay bx d i i方法二、()[]2iibx a y +-显然方法二能更有效地表示点A 与直线y=a+bx 的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。

那么怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 思考交流（1）如果有5个样本点，其坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），（x 4，y 4），（x 5，y 5），怎样刻画这些样本点与直线y=a+bx 之间的接近程度？（2）如果有10个样本点，其坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x 9，y 9），（x 10，y 10），怎样刻画这些样本点与直线y=a+bx 之间的接近程度？（3）如果有100个样本点，其坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x 99，y 99），（x 100，y 100），怎样刻画这些样本点与直线y=a+bx 之间的接近程度？二、抽象概括如果有n 个样本点：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ），可以用下面的表达式来刻画这些样本点与直线y=a+bx 的接近程度：()()()2221122n n y a bx y a bx y a bx -++-++⋅⋅⋅+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦使得上式达到最小值的直线y=a+bx 就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法。

教材分析与导入设计第一章统计第八节最小二乘法本节教材分析一、三维目标1、知识与技能(1) 掌握最小二乘法的思想；(2) 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.2、过程与方法本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路—进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤.3、情感态度与价值观通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。

加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。

教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。

体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。

培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.二、教学重点：最小二乘法的思想及线性回归方程系数公式的应用三、教学难点：线性回归方程系数公式的应用四、教学建议最小二乘法的思想在理论上和实际应用中都是非常重要的.本节一开始从上一节课讨论的问题切入，提出用什么样的线性关系刻画会得到更好的问题，引发学生进行思考.教学时，学生可能会想到用点到直线的距离来进行刻画，教师可进行引导，这样做从想法上是非常直观与直接的，但是最主要的问题是处理上远远没有用最小二乘法的思想来得简单.进而，教科书介绍了最小二乘法估计的思想.教学时，教师要讲清楚最小二乘法所考察的距离与点到直线的距离的区别，以免产生误解与错误.新课导入设计导入一某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程.导入二我们知道函数能很好的表示两个变量之间的关系，那么两个线性相关的变量之间的关系，我们可不可以用函数来刻画呢？。

本章复习整体设计教学分析本节是对第一章知识和方法的归纳和总结，从总体上把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化，本章内容是相互独立的，随机抽样是基础，在此基础上学习了用样本估计总体和变量间的相关关系，要注意它们的联系．本章介绍了从总体中抽取样本的常用方法，并通过实例，研究了如何利用样本对总体的分布规律、整体水平、稳定程度及相关关系等特性进行估计和预测．当总体容量大或检测具有一定的破坏性时，可以从总体中抽取适当的样本，通过对样本的分析、研究，得到对总体的估计，这就是统计分析的基本过程．而用样本估计总体就是统计思想的本质．要准确估计总体，必须合理地选择样本，我们学习的是最常用的三种抽样方法．获取样本数据后，将其用频率分布表、频率分布直方图、频率折线图或茎叶图表示后，蕴涵于数据之中的规律得到直观的揭示．运用样本的平均数可以对总体水平作出估计，用样本的极差、方差(标准差)可以估计总体的稳定程度．对两个变量的样本数据进行相关性分析，可发现存在于现实世界中的回归现象．用最小二乘法研究回归现象，得到的线性回归方程可用于预测和估计，为决策提供依据．总之，统计的基本思想是从样本数据中发现统计规律，实现对总体的估计．三维目标1．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；2．能通过对数据的分析，为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异．重点难点教学重点：会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题．教学难点：能通过对数据的分析，为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异．课时安排1课时教学过程导入新课为了系统地掌握本章知识，我们复习本章内容，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题1．随机抽样的内容包括几部分？2．用样本估计总体包括几部分？3．变量间的相关关系包括几部分？活动：学生思考或交流，回顾所学，教师指导学生复习的思路和方法，及时总结提炼．讨论结果：1．随机抽样的内容包括三部分：(1)简单随机抽样抽签法：一般地，用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤为：将总体中的所有个体编号(号码可以从1到N)；将1到N这N个号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)．将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出．抽样具有公平性原则：等概率、随机性；抽签法适用于总体中个数N不大的情形．随机数表法：将总体中的N个个体编号时可以从0开始，例如当N＝100时，编号可以是00,01，02, …，99.这样，总体中的所有个体均可用两位数字号码表示，便于使用随机数表．当随机地选定开始的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等．由此可见，用随机数表法抽取样本的步骤是：对总体中的个体进行编号(每个号码位数一致)；在随机数表中任选一个数作为开始；从选定的数开始按一定的方向读下去，得到数码．若不在编号中，则跳过；若在编号中，则取出；如果得到的号码前面已经取出，也跳过；如此继续下去，直到取满为止；根据选定的号码抽取样本．(2)系统抽样系统抽样的步骤为：采用随机的方式将总体中的个体编号；将整个的编号按一定的间隔(设为k )分段，当N n (N 为总体中的个体数，n 为样本容量)是整数时，k ＝ N n ；当N n 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除，这时k ＝ N ′n，并将剩下的总体重新编号；在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号1 ；将编号为1，1＋k ，1＋2k ，…，1＋(n －1)k 的个体抽出．(3)分层抽样例：某电视台在互联网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为应怎样进行抽样？分析：因为总体中人数较多，所以不宜采用简单随机抽样．又由于持不同态度的人数差异较大，故也不宜用系统抽样方法，而以分层抽样为妥．解：可用分层抽样方法，其总体容量为12 000.“很喜爱”占2 43512 000＝4872 400，应取60×4872 400≈12人； “喜爱”占4 56712 000，应取60×4 56712 000≈23人； “一般”占3 92612 000，应取60×3 92512 000≈20人； “不喜爱”占1 07212 000，应取60×1 07212 000≈5人． 因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”和“不喜爱”的2 435人、4 567人、3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人．一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样，其中所分成的各个部分称为“层”．分层抽样的步骤是：将总体按一定标准分层；计算各层的个体数与总体的个体数的比；按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．适用于总体中个体有明显的层次差异，层次分明的特点；总体中个体数 N 较大时，系统抽样、分层抽样二者选其一．2．用样本估计总体包括：(1)用样本的频率分布估计总体分布．频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小；一般用频率分布直方图反映样本的频率分布．其一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图．频率分布直方图的特征：通过频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；通过频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．茎叶图．画茎叶图的步骤如下：①将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；②将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；③将各个数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧．用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组记录那么直观、清晰．(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征．①众数、中位数、平均数以及利用频率分布直方图来估计众数、中位数、平均数． 利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数：估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字(最高矩形的中点)． 估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等．估计平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 总之，众数、中位数、平均数都是对数据中心位置的描述，可以作为总体相应特征的估计．样本众数易计算，但只能表达样本数据中的很少一部分信息，不一定唯一；中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息，与数据的排列位置有关；平均数受样本中的每一个数据的影响，绝对值越大的数据，对平均数的影响也越大．三者相比，平均数代表了数据更多的信息，描述了数据的平均水平，是一组数据的“重心”．②标准差考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：假设样本数据是x 1，x 2，…，x n ，x 表示这组数据的平均数，x i 到x 的距离是|x i －x |(i ＝1,2，…，n )．于是，样本数据x 1，x 2，…，x n 到x 的“平均距离”是s ＝|x 1－x |＋|x 2－x |＋…＋|x n －x |n. 由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，通常改用如下公式来计算标准差s ＝1n[x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2]. ③方差从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s 2(即方差)来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． 在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．3．变量间的相关关系包括：(1)变量之间的相关关系相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫作相关关系．两个变量之间的关系分两类：①确定性的函数关系，例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；②带有随机性的变量间的相关关系，例如“身高者，体重也重”，我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系．相关关系是一种非确定性关系．(2)两个变量的线性相关①散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫作散点图．②正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关．如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关．(注：散点图的点如果几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系)③线性相关关系：像能用直线方程y ＝a ＋bx 近似表示的相关关系叫作线性相关关系．④线性回归方程：1122n n ＝a ＋bx 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．上述式子展开后，是一个关于a ，b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a ，b 的值，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x n y n －n x y x 21＋x 22＋…＋x 2n －n x 2，a ＝y －b x .其中，x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ，y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n. 应用示例思路11 为了了解高一(1)班50名学生的视力状况，从中抽取10名学生进行检查．如何抽取呢？解法一：通常使用抽签法，方法是：将50名学生从1到50进行编号，再制作1到50的50个号签，把50个号签集中在一起并充分搅匀，最后随机地从中抽10个号签．对编号与抽中的号签的号码相一致的学生进行视力检查．解法二：下面我们用随机数表法求解上面的问题．对50个同学进行编号，编号分别为01,02,03，…，50；在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如从下表第3行第29列的数7开始．16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28 从数7开始向右读下去，每次读两位，凡不在01到50中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到12,07,44,39,38,33,21,34,29,42，这10个号码，就是所要抽取的10个样本个体的号码.变式训练某学校有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为10∶1，行政人员有24人．①现采取分层抽样抽取容量为50的样本，那么行政人员中应抽取的人数为( )．A ．3B ．4C ．6D ．8②教学人员和教辅人员中应抽取的人数分别为________和________．答案：①C ②40 4例2 下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？(1)从10台冰箱中抽取3台进行质量检查．(2)某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号为1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，需留下32名听众进行座谈．(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．解：(1)总体容量比较小，用抽签法或随机数表法都很方便．(2)总体容量比较大，用抽签法或随机数表法比较麻烦，由于人员没有明显差异，且刚好32排，每排人数相同，可用系统抽样法．(3)由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，故应采用分层抽样法.变式训练要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某种导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是( )．A．5,10,15,20,25,30 B．3,13,23,33,43,53C．1,2,3,4,5,6 D．2,8,14,20,26,32答案：B例3 某单位在岗职工共624人，为了调查职工用于上班途中的时间，决定抽取10%的职工进行调查．如何采用系统抽样方法完成这一抽样？解：第一步：将624名职工用随机方式进行编号；第二步：从总体中剔除4人(剔除方法可用随机数表法)，将剩下的620名职工重新编号(分别为000,001,002，…，619)，并分成62段；第三步：在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码i0；第四步：将编号为i0，i0＋10，i0＋20, …，i0＋610的个体抽出，组成样本.变式训练现有以下两项调查：①某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检查其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1 500家，三者数量之比为1∶5∶9.为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )．A．简单随机抽样法，分层抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法答案：D思路2例1 为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图(如图1)，已知图中从左到右的前三个小组的频率分别是0.1,0.3,0.4.第一小组的频数是5.图1(1)求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数．(2)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？(3)若参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？解：(1)由于各小组频率的和是1，因此第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2；由于第一小组的频数是5，频率为0.1，因此总人数为5÷0.1＝50.(2)由于第三小组的频率最大，因此学生跳绳次数的中位数落在第三小组内．(3)由第三小组的频率和第四小组的频率和为0.6，可知该校此年级跳绳成绩的优秀率是0.6.例2 下面是关于世界20个地区受教育的人口的百分比与人均收入的散点图．图2(1)图中两个变量有什么样的相关关系？(2)若利用散点图中的数据建立的回归方程为y ＝3.193x ＋88.193，且受教育的人口的百分比相差10%，其人均收入相差多少？解：(1)散点图中的样本点基本集中在一个条型区域中，因此两个变量呈线性相关关系．(2)回归方程的自变量系数为3.193，因此当受教育的人口的百分比相差10%时，其人均收入相差3.193×10＝31.93.变式训练1．数据70,71,72,73的标准差是( )．A ．2B ．54C ． 2D ．52答案：D2．已知k 1，k 2，…，k 8的方差为3，则2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 8－3)的方差为________． 答案：123．已知回归方程y ＝0.5x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为________．答案：11.69知能训练答案：乙品种 甲品种2．在一次文艺比赛中，12名专业人员和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分，下面是两个评判组对同一名选手的打分：小组A ：42,45,48,46,52,47,49,55,42,51,47,45；小组B ：55,36,70,66,75,49,46,68,42,62,58,47.通过计算说明小组A ，B 哪个更像是由专业人士组成的评判小组？答案：小组A .解：作出的茎叶图如图3.图3从这个茎叶图中可以看出乙班的数学成绩更好一些．拓展提升1．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从下面随机数表第2行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 62 58 7973 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 06 13 42 99 66 02 79 54…解：从第2行第18列的数7开始向右读，每次读三位，凡是小于或等于799的数就为1个，即719,050,717,512,358是最先检测的5袋牛奶的编号．2．想象一下一个人从出生到死亡，在每个生日都测量其身高，并作出这些数据的散点图．这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分(2)求出这些数据的回归方程．(3)对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？(4)用下一年的身高减去当年的身高，计算他每年身高的增长数，并计算他从3～16岁身高的年均增长数．(5)解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系．解：(1)作出的数据的散点图如图4.图4(2)用y表示身高，x表示年龄，则数据的回归方程为y＝6.317x＋71.984.(3)在该例中，回归系数6.317表示孩子在一年中增加的高度．(4)每年身高的增长数略.3～16岁的身高年均增长约为6.323 cm.(5)回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等．课堂小结本节介绍了从总体中抽取样本的常用方法，并通过实例，研究了如何利用样本对总体的分布规律、整体水平、稳定程度及相关关系等特性进行估计和预测．作业复习题一任选3题．设计感想本节复习了最常用的三种抽样方法．获取样本数据后，将其用频率分布表、频率分布直方图、频率折线图或茎叶图表示后，蕴涵于数据之中的规律得到直观的揭示．运用样本的平均数可以对总体水平作出估计，用样本的极差、方差(标准差)可以估计总体的稳定程度．对两个变量的样本数据进行相关性分析，可发现存在于现实世界中的回归现象．用最小二乘法研究回归现象，得到的线性回归方程可用于预测和估计，为决策提供依据．本节对第一章知识和方法进行了归纳和总结，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化，有利于学生更好地用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．备课资料备选习题1．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是 ( )．A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量答案：C2．用简单随机抽样方法从含有6个个体的总体中，抽取一个容量为2的样本，某一个体a“第一次被抽到的概率”“第二次被抽到的概率”“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是( )．A.16，16，16B.16，15，16C.16，16，13D.16，13，13答案：C3．在一个个体数目为1 003的总体中，要利用系统抽样抽取一个容量为50的样本，那么总体中每个个体被抽到的概率是( )．A.120B.150C.25D.501 003答案：D4．为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为( )．A．40 B．30 C．20 D．12答案：B5．一批热水器共有98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样法从中抽出一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽得的热水器的台数是( )．A．甲厂9台，乙厂5台B．甲厂8台，乙厂6台C．甲厂10台，乙厂4台D．甲厂7台，乙厂7台答案：B6．下列叙述中正确的是( )．A．通过频率分布表可以看出样本数据对于平均数的波动大小B．频数是指落在各个小组内的数据C．每小组的频数与样本容量之比是这个小组的频率D．组数是样本平均数除以组距答案：C7．某工厂生产产品，用传送带将产品送至下一个工序，质检人员每隔10分钟在传送带某一位置取一件检验，则这种抽样的方法为( )．A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．非上述情况答案：B8．频率分布直方图中，小长方形的面积等于( )．A．组距B．频率C．组数D．频数答案：B9．一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，则所得到的这组新数据的方差是( )．A．1 B．27 C．9 D．3答案：B10．有两个样本，甲：5,4,3,2,1；乙：4,0,2,1，－2.那么样本甲和样本乙的波动大小情况是( )．A．甲、乙波动大小一样B．甲的波动比乙的波动大C．乙的波动比甲的波动大D．甲、乙的波动大小无法比较答案：C11．采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体a前两次未被抽到，第三次被抽到的概率为________．答案：11012．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图5：图5则新生婴儿体重在(2 700,3 000)的频率为________．答案：0.313．已知样本99,100,101，x ，y 的平均数是100，方差是2，则xy ＝________. 答案：9 99614．某中学高一年级有x 个学生，高二年级有900个学生，高三年级有y 个学生，现从这些学生中采用分层抽样抽取一个容量为370人的样本，若高一年级抽取120人，高三年级抽取100人，则全校高中部共有多少学生？解：由题意得x 120＝y 100＝900370－120－100，解得 x ＝720，y ＝600. 故该学校高中部共有学生2 220人．15．下图是某单位职工年龄(取正整数)的频数分布图，根据图形提供的信息，回答下列问题(直接写出答案)．图6注：每组可含最低值，不含最高值．(1)该单位职工共有多少人？(2)不小于38岁但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少？(3)如果42岁的职工有4人，那么年龄在42岁以上的职工有几人？解：(1)该单位有职工50人．(2)38～44岁之间的职工人数占职工总人数的60%.(3)年龄在42岁以上的职工有15人．解：x 甲＝15(60＋80＋70＋90＋70)＝74，x 乙＝15(80＋60＋70＋80＋75)＝73， s 2甲＝15(142＋62＋42＋162＋42)＝104，s 2乙＝15(72＋132＋32＋72＋22)＝56. ∵x 甲＞x 乙，s 2甲＞s 2乙，∴ 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．17．下面是一个病人从4月7日起的体温记录折线图，观察图形回答下列问题：图7(1)护士每隔几小时给病人量一次体温？(2)这个病人的体温最高是多少摄氏度？最低是多少摄氏度？(3)这个病人在4月8日12时的体温是多少摄氏度？(4)这个病人的体温在哪段时间里下降得最快？在哪段时间里比较稳定？(5)图7中的横虚线表示什么？(6)从体温看，这个病人的病情是在恶化还是在好转？解：(1)6小时；(2)最高温度是39.5 ℃，最低温度是36.8 ℃；(3)4月8日12时的体温是37.5 ℃；(4)在4月7日6点到12点的体温下降得最快，4月9日12点到18点体温比较稳定；(5)虚线表示标准体温；(6)好转．18．从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图8所示．观察图形，回答下列问题：图8(1)79.5～89.5这一组的频数、频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格)．解：(1)频率为0.025×10＝0.25，频数为60×0.25＝15；(2)0.015×10＋0.025×10＋0.03×10＋0.005×10＝0.75.(设计者：方诚心)。

4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差4．2 标准差[学习目标] 1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点.2.要重视数据的计算，体会统计思想．知识点一 众数、中位数、平均数 1．众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数称为这组数据的中位数．(3)平均数：如果n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )称为这n 个数的平均数．2．三种数字特征与频率分布直方图的关系1．标准差(1)平均距离与标准差标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．假设样本数据是x 1，x 2，…，x n ，x 表示这组数据的平均数．x i 到x 的距离是|x i －x |(i ＝1,2，…，n )，则用如下公式来计算标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]. (2)计算标准差的步骤 ①求样本数据的平均数x ；②求每个样本数据与样本平均数的差x i －x (i ＝1,2，…，n )； ③求(x i －x )2(i ＝1,2，…，n )；④求s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]；⑤求s ＝s 2，即为标准差． 2．方差标准差的平方s 2叫作方差．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中，x i (i ＝1,2，…，n )是样本数据，n 是样本容量，x 是样本平均数．题型一 众数、中位数、平均数的简单运用 例1 某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：(1)(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 解 (1)平均数是：x ＝1 500＋4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋591＝2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)新的平均数是x ′＝1 500＋28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033≈1 500＋1 788＝3 288(元)，新的中位数是：1 500元，新的众数是1 500元．(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．反思与感悟 1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势，当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题.2.在求平均数时，可采用新数据法，即当所给数据在某一常数a 的左右摆动时，用简化公式：x ＝x ′＋a .跟踪训练1 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：解 在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表格里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是 1.70；这组数据的平均数是x ＝117(1.50×2＋1.60×3＋…＋1.90×1)＝28.7517≈1.69(m)．答 17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m ，1.70 m,1.69 m. 题型二 平均数和方差的运用例2 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲＞s 2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．反思与感悟 1.极差、方差与标准差的区别与联系： 数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离． 2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．跟踪训练2 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)： 甲：102 101 99 98 103 98 99 乙：110 115 90 85 75 115 110 (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定． 解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样．(2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；x 乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；x 2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43； s 2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100) ≈228.57.所以s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品较稳定．题型三 数据的数字特征的综合应用例3在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．(2)x甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝150×4 000＝80，x乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝150×4 000＝80.s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.∵s2甲<s2乙，∴甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些．(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．反思与感悟要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．跟踪训练3甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件．为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下(单位：mm)：甲25．4625.3225.4525.3925.3625．34 25.42 25.45 25.38 25.42 25．39 25.43 25.39 25.40 25.44 25．40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙25．40 25.43 25.44 25.48 25.48 25．47 25.49 25.49 25.36 25.34 25．33 25.43 25.43 25.32 25.47 25．31 25.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？(结果保留小数点后3位) 解 用计算器计算可得 x 甲≈25.405，x 乙≈25.406； s 甲≈0.037，s 乙≈0.068.从样本平均数看，甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm)，差异很小；从样本标准差看，由于s 甲<s 乙，因此甲生产的零件内径尺寸比乙的稳定程度高得多．于是，可以作出判断，甲生产的零件的质量比乙的高一些．分类讨论思想例4 某班有四个学习小组，各小组人数分别为10,10，x,8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．分析 由于x 未知，因此中位数不确定，需讨论．解 该组数据的平均数为14(10＋10＋x ＋8)＝14(28＋x )，中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数．(1)当x ≤8时，原数据从小到大排序为x,8,10,10，中位数是9，由14(28＋x )＝9，得x ＝8，符合题意，此时中位数是9；(2)当8＜x ≤10时，原数据从小到大排序为8，x,10,10，中位数是12(x ＋10)，由14(28＋x )＝12(10＋x )，得x ＝8，与8＜x ≤10矛盾，舍去；(3)当x ＞10时，原数据从小到大排序为8,10,10，x ，中位数是10，由14(28＋x )＝10，得x ＝12，符合题意，此时中位数是10.综上所述，这组数据的中位数是9或10.解后反思 当题目中含有参数，且参数的不同取值影响求解结果时，需对参数的取值分类讨论．1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是( ) A ．平均数 B ．中位数 C ．方差 D ．众数答案 C解析 由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．2．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x 等于( ) A ．21 B ．22 C ．20 D ．23 答案 A解析 根据题意知，中位数22＝x ＋232，则x ＝21.3．一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，则x 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 D解析 由题意知，10＋11＋0＋3＋x ＋8＋9＝7×7，解得x ＝8.4．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________． 答案 0.1解析 x －＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.5．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8，7,9,5,4,9,10,7,4 则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． 答案 (1)7 (2)2解析 (1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)∵s 2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s ＝2.1.一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序． 2．利用直方图求数字特征： (1)众数是最高的矩形的底边的中点． (2)中位数左右两边直方图的面积应相等．(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．标准差的平方s 2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．。

高一数学必修3导学案(教师版) 第一章统计8 最小二乘法教学过程：〖复习回顾〗标准差的公式为：______________________________________________________〖创设情境〗1、函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系2、在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。

”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3、“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？〖新知探究〗思考：考察下列问题中两个变量之间的关系：（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？一、相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。

【说明】函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系。

思考探究：1、有关法律规定，香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语。

吸烟是否一定会引起健康问题？你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法对吗？2、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。

你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？分析：（1）吸烟只是影响健康的一个因素，对健康的影响还有其他的一些因素，两者之间非函数关系即非因果关系；（2）不对，这也是相关关系而不是函数关系。

北师大版高一必修三数学教案北师大版高一必修三数学教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了北师大版高一必修三数学教案，希望能给大家带来帮助!学习目标1理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型;2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用。

重点难点重点：概率的加法公式及其应用;事件的关系与运算难点：互斥事件与对立事件的区别与联系学习过程与方法自主学习1.互斥事件：在一个随机试验中，把一次试验下___________的两个事件A与B称作互斥事件。

2.事件A+B：给定事件A，B，规定A+B为，事件A+B发生是指事件A和事件B________。

3.对立事件：事件“A不发生”称为A的对立事件，记作_________,对立事件也称为________,在每一次试验中，相互对立的事件A与事件不会__________,并且一定____________.4.互斥事件的概率加法公式：(1)在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥9”。

例2 . 解读课本例5和例6达标训练1.课本p147 练习1 2 3 42.(选做)一盒中装有各色球12个，其中5个红球、，4个黑球、2个白球、1个绿球。

从中随机取出1球，求：(1) 取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率。

作业布置 1.习题3-2 6，7，82. 教辅资料学习小结/教学反思&sect;3.2.4 互斥事件(2)授课时间第周星期第节课型习题课主备课人学习目标 1理解互斥事件与对立事件的概念，会判断所给事件的类型;2.能利用互斥事件与对立事件的概率公式进行相应的概率运算。

重点难点重点：概率的加法公式及其应用;事件的关系与运算难点：互斥事件与对立事件的区别与联系学习过程与方法自主学习1复习：(1)互斥事件： .(2)事件A+B：给定事件A，B，规定A+B为，事件A+B 发生是指事件A和事件B________。

(3)对立事件：事件“A不发生”称为A的对立事件，记作_________,对立事件也称为________,在每一次试验中，相互对立的事件A与事件不会__________,并且一定____________.(4)互斥事件的概率加法公式：(1)在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A+B)=_________.(2)如果随机事件中任意两个是互斥事件，那么有____________。

本单元的学习活动是在学生学习了加、减、乘、除法的基础上进行的,主要包括乘加、乘减、除加、除减和带有小括号的混合运算,以及四则运算的实际应用。

本单元内容的安排不是单纯以学习计算法则的形式出现的,而是结合具体的生活情境,让学生体会“先算乘除,后算加减”及带有小括号的混合运算的运算顺序等相关规定的合理性,从而初步感受混合运算与日常生活的密切联系,发展学生的数感。

教材选择具有现实性和趣味性的素材,采取螺旋上升的方式,由浅入深地促使学生理解混合运算的运算顺序。

让学生结合具体情境学习两步混合运算,是进一步发展学生混合运算能力的需要,又是进一步学习三步混合运算及小数、分数混合运算的基础和有效工具。

学生已经具备一定的理解能力和运算能力,会计算两步的连加、连减、连乘、连除运算,能结合具体情境分步解决生活中的实际问题,这些都为学习混合运算,理解并掌握混合运算的运算顺序奠定了基础。

1.通过具体情境,初步感受混合运算与生活的密切联系,并能运用混合运算的有关知识解决生活中的实际问题。

2.在解决问题的过程中,了解先算乘除后算加减的运算顺序,以及小括号在运算中起的作用,并掌握相应的运算。

3.通过思考、自主探究,让学生主动地参与教学活动。

培养学生的主体意识、问题意识、探索精神、协作交流意识,让学生养成独立思考和从不同的角度考虑问题的习惯。

1.创设情境,引导学生在具体情境中提出问题和解决问题。

在“小熊购物”“买文具”“过河”等多种情境中,激发学生的学习兴趣,培养学生提出问题和解决问题的能力。

2.结合解决问题的过程,引导学生探索运算顺序。

当一个算式中有两步计算时,就需要按一定的顺序进行计算。

可以结合解决问题的过程,引导学生体会“先算乘除,后算加减”的运算顺序,以及小括号的作用,体会混合运算顺序的合理性。

在解决具体问题的过程中,使学生感受到混合运算先算乘除后算加减,以及在有括号的算式里先算括号里面的是符合实际的,是根据实际情况而定并非人为的强制性规定。