高考复习指导讲义第七章直线和平面(20200523103602)

§7.5空间直线、平面的垂直考试要求1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直m ⊂αn ⊂αm ∩n ＝P l ⊥m l ⊥n ⇒l ⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.(2)范围：0，π2.3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围：[0，π]．4．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理常用结论1．三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则l ⊥α.(×)(2)若直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .(√)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)教材改编题1．(多选)下列命题中不正确的是()A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面βC．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案ABD解析若直线a垂直于平面α，则直线a垂直于平面α内的所有直线，故C正确，其他选项均不正确．2.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S－EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面答案A解析四面体S－EFG如图所示，由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G且GE，GF⊂平面EFG得SG⊥△EFG所在平面．3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．答案7解析如图，由于PD垂直于正方形ABCD，故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1(1)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题________．答案②③⇒①(或①③⇒②)解析已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l 可以与α平行，也可以相交不垂直；由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.(2)(2023·娄底模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点B1在底面ABC内的射影恰好是点C.①若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC1.②已知B1C1＝2，B1C＝23，求△BCC1的周长．①证明∵点B1在底面ABC内的射影是点C，∴B1C⊥平面ABC，∵AB⊂平面ABC，∴B1C⊥AB.在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，∵BC∩B1C＝C，BC，B1C⊂平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵CC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.②解如图，延长BC至点E，使BC＝CE，连接C1E，则B1C1綉CE，四边形B1CEC1为平行四边形，则C1E綉B1C.由①知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE⊂平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，∵C1E＝B1C＝23，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，∴CC1＝CE2＋C1E2＝4，BC1＝BE2＋C1E2＝27，∴△BCC1的周长为2＋4＋27＝6＋27.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱CD，A1D1的中点．(1)求证：AB1⊥BF；(2)求证：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由．(1)证明如图，连接A1B，则AB1⊥A1B，因为A1F⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，所以A1F⊥AB1，又A1B∩A1F＝A1，所以AB1⊥平面A1BF.又BF⊂平面A1BF，所以AB1⊥BF.(2)证明如图，取棱AD的中点G，连接FG，BG，则FG⊥AE，因为AB＝DA，AG＝DE，∠BAG＝∠ADE，所以△BAG≌△ADE，所以∠ABG＝∠DAE.所以AE ⊥BG .又因为BG ∩FG ＝G ，所以AE ⊥平面BFG .又BF ⊂平面BFG ，所以AE ⊥BF .(3)解存在．如图，取棱CC 1的中点P ，即为所求．连接EP ，AP ，C 1D ，因为EP ∥C 1D ，C 1D ∥AB 1，所以EP ∥AB 1.由(1)知AB 1⊥BF ，所以BF ⊥EP .又由(2)知AE ⊥BF ，且AE ∩EP ＝E ，所以BF ⊥平面AEP .题型二平面与平面垂直的判定与性质例2(2023·桂林模拟)如图所示，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD 且AB ＝1，PA ＝AD ＝PD ＝2，E 为PD 的中点．(1)求证：平面PCD ⊥平面ACE ；(2)求点B 到平面ACE 的距离．(1)证明由PA ＝AD ＝PD ，E 为PD 的中点，可得AE ⊥PD ，因为CD ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AE ，由CD ∩PD ＝D ，则AE ⊥平面PCD ，又AE ⊂平面ACE ，所以平面PCD ⊥平面ACE .(2)解如图，连接BD ，与AC 交于O ，则O 为BD 的中点，所以点D 到平面ACE 的距离即为点B 到平面ACE 的距离．由平面PCD ⊥平面ACE ，过D 作DM ⊥CE ，垂足为M ，则DM ⊥平面ACE ，则DM 为点D 到平面ACE 的距离．由CD ⊥平面PAD ，可得CD ⊥PD ，又CD ＝DE ＝1，所以DM ＝12CE ＝22，即点B到平面ACE的距离为2 2 .思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．跟踪训练2(2022·邯郸模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，∴PA⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE，∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD，∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD，∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF，∴平面BEF∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，由①知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD ⊥EF ，又∵BE ∩EF ＝E ，∴CD ⊥平面BEF ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD .题型三垂直关系的综合应用例3如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面为正方形的长方体，∠AD 1A 1＝60°，AD 1＝4，点P 是AD 1上的动点．(1)试判断不论点P 在AD 1上的任何位置，是否都有平面BPA ⊥平面AA 1D 1D ，并证明你的结论；(2)当P 为AD 1的中点时，求异面直线AA 1与B 1P 所成的角的余弦值；(3)求PB 1与平面AA 1D 1D 所成的角的正切值的最大值．解(1)是．∵BA ⊥平面AA 1D 1D ，BA ⊂平面BPA ，∴平面BPA ⊥平面AA 1D 1D ，∴无论点P 在AD 1上的任何位置，都有平面BPA ⊥平面AA 1D 1D .(2)过点P 作PE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接B 1E ，如图，则PE ∥AA 1，∴∠B 1PE (或其补角)是异面直线AA 1与B 1P 所成的角．在Rt △AA 1D 1中，∵∠AD 1A 1＝60°，∴∠A 1AD 1＝30°，∴A 1B 1＝A 1D 1＝12AD 1＝2，∴A 1E ＝12A 1D 1＝1，AA 1＝3A 1D 1＝23，∴PE ＝12AA 1＝3，B 1E ＝A 1B 21＋A 1E 2＝5，∴在Rt △B 1PE 中，B 1P ＝B 1E 2＋PE 2＝22，cos ∠B 1PE ＝PE B 1P ＝322＝64.∴异面直线AA 1与B 1P 所成的角的余弦值为64.(3)由(1)知，B 1A 1⊥平面AA 1D 1D ，∴∠B 1PA 1是PB 1与平面AA 1D 1D 所成的角，∴tan ∠B 1PA 1＝A 1B 1A 1P ＝2A 1P ，∴当A 1P 最小时，tan ∠B 1PA 1最大，这时A 1P ⊥AD 1，A 1P ＝A 1D 1·AA 1AD 1＝3，得tan ∠B 1PA 1＝233，即PB 1与平面AA 1D 1D 所成的角的正切值的最大值为233.思维升华(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．跟踪训练3(2023·柳州模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝2，PA ＝PB ＝PC ＝AC＝22，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且PM 与平面ABC 所成角的正切值为6，求二面角M －PA －C 的平面角的余弦值．(1)证明方法一如图，连接OB .∵AB ＝BC ＝2，AC ＝22，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴OA＝OB＝OC，又∵PA＝PB＝PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°.∴PO⊥AC，PO⊥OB，∵OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC.方法二如图，连接OB，∵PA＝PC，O为AC的中点，PA＝PB＝PC＝AC＝22，∴PO⊥AC，PO＝6，又∵AB＝BC＝2，∴AB⊥BC，BO＝2，∴PO2＋OB2＝PB2，∴PO⊥OB，∵OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC.(2)解由(1)知，PO⊥平面ABC，∴OM为PM在平面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与平面ABC所成角，∵tan∠PMO＝POOM＝6OM＝6，∴OM＝1，在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC＝1，∴M为BC的中点．如图，作ME⊥AC交AC于E，则E为OC的中点，作EF⊥PA交PA于F，连接MF，∴MF ⊥PA ，∴∠MFE 即为所求二面角M －PA －C 的平面角，ME ＝22，EF ＝32AE ＝32×34×22＝364，MF ＝ME 2＋EF 2＝624，∴cos ∠MFE ＝EF MF ＝39331，故二面角M －PA －C 的平面角的余弦值为39331.课时精练1．(多选)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l ，P ∈α，P ∉l ，则下列命题中是真命题的为()A ．过点P 垂直于平面α的直线平行于平面βB ．过点P 垂直于直线l 的直线在平面α内C ．过点P 垂直于平面β的直线在平面α内D ．过点P 且在平面α内垂直于l 的直线必垂直于平面β答案ACD 解析由于过点P 垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于平面β，因此A 正确；过点P 垂直于直线l 的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B 不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C ，D 正确．2.如图，在四棱锥P －ABCD 中，△PAB 与△PBC 是正三角形，平面PAB ⊥平面PBC ，AC ⊥BD ，则下列结论不一定成立的是()A ．BP ⊥ACB ．PD ⊥平面ABCDC ．AC ⊥PDD ．平面PBD ⊥平面ABCD 答案B 解析如图，取线段BP 的中点O ，连接OA ，OC ，易得BP ⊥OA ，BP ⊥OC ，又OA ∩OC ＝O ，所以BP ⊥平面OAC ，所以BP ⊥AC ，故选项A 正确；又AC ⊥BD ，BP ∩BD ＝B ，所以AC ⊥平面PBD ，所以AC ⊥PD ，故选项C 正确；又AC ⊂平面ABCD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD，故选项D正确．3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A解析连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC 的交线AB上．4．(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()答案BD解析对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.5．(多选)(2022·齐齐哈尔模拟)若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题错误的是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案ABD解析由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，在A 中，若m ⊂β，α⊥β，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故A 错误；在B 中，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，若m ⊥β，m ∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确；在D 中，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D 错误．6．(多选)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知B 1D 与平面ABCD 和平面AA 1B 1B 所成的角均为30°，则下列说法正确的是()A ．AB ＝2ADB ．AB 与平面AB 1C 1D 所成的角为30°C ．AC ＝CB 1D ．B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角为45°答案AD 解析如图，连接BD ，易知∠BDB 1是直线B 1D 与平面ABCD 所成的角，所以在Rt △BDB 1中，∠BDB 1＝30°，设BB 1＝1，则B 1D ＝2BB 1＝2，BD ＝B 1D 2－BB 21＝3.易知∠AB 1D 是直线B 1D 与平面AA 1B 1B 所成的角，所以在Rt △ADB 1中，∠AB 1D ＝30°.因为B 1D ＝2，所以AD ＝12B 1D ＝1，AB 1＝B 1D 2－AD 2＝3，所以在Rt △ABB 1中，AB ＝AB 21－BB 21＝2＝2AD ，所以A 项正确；易知∠BAB 1是直线AB 与平面AB 1C 1D 所成的角，因为在Rt △ABB 1中，sin ∠BAB 1＝BB 1AB 1＝33≠12，所以∠BAB 1≠30°，所以B 项错误；在Rt △CBB 1中，CB 1＝BC 2＋BB 21＝2，而AC ＝AB 2＋BC 2＝3，所以C 项错误；易知∠DB 1C 是直线B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角，因为在Rt △DB 1C 中，CB 1＝CD ＝2，所以∠DB 1C ＝45°，所以D 项正确．7.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足条件：①BM ⊥DM ，②DM ⊥PC ，③BM ⊥PC 中的________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)．答案②(或③)解析连接AC (图略)∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD .∵底面各边都相等，∴AC ⊥BD .∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥PC .当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ，而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .8．在矩形ABCD 中，AB <BC ，现将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直；②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．答案②解析①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接CE ，如图所示．则AE ⊥BD ⊥⇒BD ⊥平面AEC ，则BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，CE 与BD 不垂直，故假设不成立，①不正确；②假设AB ⊥CD ，∵AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AC ，由AB <BC 可知，存在这样的直角三角形，使AB ⊥AC ，故假设成立，②正确；③假设AD ⊥BC ，∵CD ⊥BC ，AD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面ACD ，∴BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB <BC ，故矛盾，假设不成立，③不正确．9.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点．(1)求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．(1)证明在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.(2)证明如图，连接PG，因为△PAD为正三角形，G为线段AD的中点，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(3)解能，当F为线段PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：如图，取线段PC的中点F，连接DE，EF，DF.在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB ＝B，所以平面DEF∥平面PGB.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，PG⊥AD，所以PG⊥平面ABCD.又PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.10．(2023·广州模拟)如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.(1)求证：BC ⊥平面PAC ；(2)若AC ＝BC ＝PA ，求二面角A －PB －C 的平面角的大小．(1)证明如图，作AD ⊥PC 交PC 于点D ，因为平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AD ⊂平面PAC ，所以AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以AD ⊥BC ，又因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ，又PA ，AD ⊂平面PAC ，PA ∩AD ＝A ，所以BC ⊥平面PAC .(2)解如图，作AD ⊥PC 交PC 于点D ，DE ⊥PB 交PB 于点E ，连接AE ，由(1)知AD ⊥平面PBC ，因为PB ⊂平面PBC ，则AD ⊥PB ，又AD ，DE ⊂平面ADE ，AD ∩DE ＝D ，所以PB ⊥平面ADE ，因为AE ⊂平面ADE ，所以PB ⊥AE ，则∠AED 即为二面角A －PB －C 的平面角．又DE ⊂平面PBC ，则AD ⊥DE ，不妨设AC ＝BC ＝PA ＝1，则PC ＝2，AD ＝1×12＝22，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，因为AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥AC ，所以AB ＝2，PA ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，则PA ⊥AB ，则PB ＝3，AE ＝1×23＝63，则sin ∠AED ＝AD AE ＝2263＝32，由图知二面角A －PB －C 的平面角为锐角，所以∠AED ＝π3，即二面角A －PB －C 的平面角的大小为π3.11.如图，正三角形PAD 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，O 为正方形ABCD的中心，M 为正方形ABCD 内一点，且满足MP ＝MC ，则点M 的轨迹为()答案A 解析如图，取AD 的中点E ，连接PE ，PC ，CE .因为△PAD 为正三角形，所以PE ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PE ⊥平面ABCD ，从而平面PEC ⊥平面ABCD ，分别取PC ，AB 的中点F ，G ，连接DF ，DG ，FG ，由PD ＝DC 知DF ⊥PC ，易得DG ⊥EC ，则DG ⊥平面PEC ，又PC ⊂平面PEC ，所以DG ⊥PC ，又DF ∩DG ＝D ，所以PC ⊥平面DFG ，又点F 是PC 的中点，因此，线段DG 上的点满足MP ＝MC .12．(多选)如图所示，一张A4纸的长、宽分别为22a ,2a ，A ，B ，C ，D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P 1，P 2，P 3，P 4四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题正确的是()A ．该多面体是四棱锥B ．平面BAD ⊥平面BCDC ．平面BAC ⊥平面ACDD ．该多面体外接球的表面积为54πa 2答案BC 解析由题意得该多面体是一个三棱锥，故A 错误；∵AP ⊥BP ，AP ⊥CP ，BP ∩CP ＝P ，∴AP ⊥平面BCD .又∵AP ⊂平面BAD ，∴平面BAD ⊥平面BCD ，故B 正确；同理可证平面BAC ⊥平面ACD ，故C 正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R ＝52a ，所以该多面体外接球的表面积为5πa 2，故D 错误．13．(多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则下列说法正确的是()A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P －A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是π4，π2D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为63答案ABD 解析A 项，如图，连接B 1D 1，由正方体可得A 1C 1⊥B 1D 1，且BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，又A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则BB 1⊥A 1C 1，因为B 1D 1∩BB 1＝B 1，所以A 1C 1⊥平面BD 1B 1，又BD 1⊂平面BD 1B 1，所以A 1C 1⊥BD 1.同理，连接AD 1，易证得A 1D ⊥BD 1，因为A 1D ∩A 1C 1＝A 1，A 1D ，A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，所以BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；B 项，1111P A C D C A PD V V -=-三棱锥三棱锥，因为点P 在线段B 1C 上运动，所以1A DP S △＝12A 1D ·AB ，为定值，且C 1到平面A 1PD 的距离即为C 1到平面A 1B 1CD 的距离，也为定值，故三棱锥P －A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；C 项，当点P 与线段B 1C 的端点重合时，AP 与A 1D 所成角取得最小值，最小值为π3，故C 错误；D 项，因为直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，所以若直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值最大，则直线C 1P 与直线BD 1所成角的余弦值最大，即点P 运动到B 1C 中点处，直线C 1P 与直线BD 1所成角为∠C 1BD 1，设正方体棱长为1，在Rt △D 1C 1B 中，cos ∠C 1BD 1＝C 1B BD 1＝23＝63，故D 正确．14.如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4，沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF ，则二面角A ′－FD －C 的平面角的余弦值为________．答案33解析如图，取线段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连接A ′G ，A ′H ，GH .由题意，知A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，所以A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，平面A ′EF ∩平面BEF ＝EF ，A ′H ⊂平面A ′EF ，所以A ′H ⊥平面BEF .又AF ⊂平面BEF ，故A ′H ⊥AF .又因为G ，H 分别是AF ，EF 的中点，所以GH ∥AB ，所以GH ⊥AF ，又A ′H ∩GH ＝H ，于是AF ⊥平面A ′GH ，所以AF⊥A′G.所以∠A′GH为二面角A′－FD－C的平面角．在Rt△A′GH中，A′H＝22，GH＝2，A′G＝23，所以cos∠A′GH＝GHA′G＝3 3，故二面角A′－FD－C的平面角的余弦值为3 3 .15．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形的四面体．在如图2所示由正方体ABCD－A1B1C1D1得到的堑堵ABC－A1B1C1中，当点P在下列三个位置：A1A中点，A1B中点，A1C中点时，分别形成的四面体P－ABC中，鳖臑的个数为() A．0B．1C．2D．3答案C解析设正方体的棱长为a，则由题意知，A1C1＝AC＝2a，A1B＝2a，A1C＝3a，当点P 为A1A的中点时，因为PA⊥平面ABC，则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°.由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC是直角三角形，即此时四面体P－ABC是鳖臑；当点P为A1B的中点时，因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥PB，BC⊥AB，所以△PBC，△ABC为直角三角形．因为ABB1A1是正方形，所以AP⊥BP，则△PAB是直角三角形，又AP⊥BC，BP∩BC＝B，所以AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC，所以△PAC是直角三角形，则此时四面体P－ABC是鳖臑；当点P 为A 1C 的中点时，此时PA ＝PC ＝12A 1C ＝3a 2，又AC ＝2a ，由勾股定理可知，△PAC 不是直角三角形，则此时四面体P －ABC 不是鳖臑．16．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，BC ＝t ，若在线段AB 上存在点E ，使得EC 1⊥ED ，则实数t 的取值范围是________.答案(0,1]解析因为C 1C ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ABCD ，可得C 1C ⊥ED ，由EC 1⊥ED ，EC 1∩C 1C ＝C 1，EC 1，C 1C ⊂平面ECC 1，可得ED ⊥平面ECC 1，所以ED ⊥EC ，在矩形ABCD 中，设AE ＝a ,0≤a ≤2，则BE ＝2－a ，由∠DEA ＋∠CEB ＝90°，可得tan ∠DEA ·tan ∠CEB ＝AD AE ·CB BE ＝t 2a (2－a )＝1，即t 2＝a (2－a )＝－(a －1)2＋1，当a ＝1时，t 2取得最大值1，即t 的最大值为1；当a ＝0或2时，t 2取得最小值0，但由于t ＞0，所以t 的取值范围是(0,1]．。

§ 8.4 直线、平面平行的判定与性质基础知识自主学习----------------------------------------------------------- 回加■眦利, 训—「知识梳理1 .线面平行的判定定理和性质定理2.面面平行的判定定理和性质定理:1.一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？提示不都平行.该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面.2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？提示平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理.，基础自测题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面. (X )(2)平行于同一条直线的两个平面平行. (X )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (x )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ( V )(5)若直线a与平面a内无数条直线平行，则a// a .( x )⑹若 a //。

，直线all a，贝U a//。

.( X )题组二教材改编2.［P58练习T3］平面a //平面。

的一个充分条件是( )A.存在一条直线a, a// a , a//。

B.存在一条直线a, a? a , all(3C.存在两条平行直线a, b, a?也，b? (3 , a//。

，b// aD.存在两条异面直线a, b, a? a , b? (3 , a//。

，b// a答案D解析若 a n 3 = l , a // l , a? a , a?。

，则a // a , a // 3 ,故排除A.若a n 3 = l , a? a , a // l ,则a//。

，故排除 B.若 a n 3 = l，a?济，all l , b?。

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第七章§7.4　空间直线、平面的平行1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与的一条直线平行，那么该直线与此平面平行⇒a∥α______________a⊄αb⊂αa∥b 此平面内文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面，那么该直线与交线平行⇒a∥b____________________a∥αa⊂βα∩β＝b 相交2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内的两条与另一个平面平行，那么这两个平面平行___________________________a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⇒β∥α相交直线文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面，那么两条平行⇒a∥b_______________________α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b相交交线常用结论1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2.平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.3.垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.4.若α∥β，a⊂α，则a∥β.自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面.( )(2)若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a ∥α.( )(3)若直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，a ∥b ，则α∥β.( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.( )××××2.(多选)下列命题中，正确的是A.平行于同一条直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.平行于同一平面的两直线关系不确定D.两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面√√√对于A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故A错误；对于B，平行于同一平面的两个平面平行，故B正确；对于C，平行于同一平面的两直线关系不确定，可以平行、相交，也可以异面，故C正确；对于D，根据两个平面平行的性质定理，两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面，故D正确.3.(必修第二册P139T3改编)α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是A.若m∥n，n∥α，则m∥αB.若m∥α，n⊂α，则m∥n√C.若α∥β，m⊂α，则m∥βD.若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故A不正确；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故B不正确；若α∥β，则α与β没有公共点，又因为m⊂α，所以m与β没有公共点，所以m∥β，故C正确；若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故D不正确.4.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边形平行四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为___________.∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.返回第二部分探究核心题型命题点1　直线与平面平行的判定例1　如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD , PD ＝AD ＝AB ＝2，CD ＝4，E 为PC 的中点.题型一　直线与平面平行的判定与性质求证：BE ∥平面P AD .方法一　如图，取PD的中点F，连接EF，F A.又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.又AF⊂平面P AD，BE⊄平面P AD，∴BE∥平面P AD.方法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，即B为HC的中点，又E为PC的中点，∴BE∥PH，又BE⊄平面P AD，PH⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.方法三　如图，取CD 的中点H ，连接BH ，HE ，∵E 为PC 的中点，∴EH ∥PD ，又EH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，∴EH ∥平面P AD ，又由题意知AB 綉DH ，∴四边形ABHD 为平行四边形，∴BH ∥AD ，又AD ⊂平面P AD ，BH ⊄平面P AD ，∴BH ∥平面P AD ，又BH ∩EH ＝H ，BH ，EH ⊂平面BHE ，∴平面BHE ∥平面P AD ，又BE ⊂平面BHE ，∴BE ∥平面P AD .例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和P A作平面交BD于点H.求证：P A∥GH.如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥OM，又OM⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD，又P A⊂平面P AHG，平面P AHG∩平面BMD＝GH，∴P A∥GH.思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点).②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α).③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β).④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点.设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：(1)DF∥平面PBE；取PB的中点G，连接FG，EG，因为点F为PC的中点，因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE.(2)DF∥l.由(1)知DF∥平面PBE，又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，所以DF∥l.例3　如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形.题型二　平面与平面平行的判定与性质(1)证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.由题设知BB 1∥DD 1且BB 1＝DD 1，所以四边形BB 1D 1D 是平行四边形，所以BD ∥B 1D 1.又BD ⊄平面CD 1B 1，B 1D 1⊂平面CD 1B 1，所以BD ∥平面CD 1B 1.因为A 1D 1∥B 1C 1∥BC 且A 1D 1＝B 1C 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，所以A 1B ∥D 1C .又A 1B ⊄平面CD 1B 1，D 1C ⊂平面CD 1B 1,所以A 1B ∥平面CD 1B 1.又因为BD ∩A 1B ＝B ，BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，所以平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.(2)若平面ABCD∩平面CDB1＝l，证明：B1D1∥l.由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，又平面ABCD∩平面CD1B1＝l，平面ABCD∩平面A1BD＝BD，所以l∥BD，又B1D1∥BD，所以B1D1∥l.思维升华(1)证明面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线.跟踪训练2　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).(1)求证：BC∥GH；∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，∴平面ABC∥平面A1B1C1，又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.平面EF A1∥平面BCHG.∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EF A1，∴平面EF A1∥平面BCHG.例4　如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝ ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .题型三　平行关系的综合应用如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG.又AG⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，所以EF∥平面P AD.所以点F即为所求的点.又BC⊥AB，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB.所以PB⊥BC.所以PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋P A2.由PB·BC＝PC·BE，故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.思维升华解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.AB的中点.因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且平面ABB1A1∩平面PQC＝RQ，平面CDD1C1∩平面PQC＝PC，所以RQ∥PC，根据空间等角定理可知，PQC，求λ的值.又RQ⊂平面PCQ, BE⊄平面PCQ，则BE∥平面PCQ.又BM∥平面PCQ，BM，BE⊂平面BME，且BM∩BE＝B，所以平面BME∥平面PCQ，设DD1∩平面BME＝F，连接EF，FM，CDD1C1＝FM，平面PCQ∩平面CDD1C1＝PC，所以FM∥PC，又CM∥PF，则四边形CPFM为平行四边形，同理四边形PREF也是平行四边形，返回。