数学-2016届高三(高补班)上学期期初考试数学试题

2015-2016年度高三第一学期数学期中测试一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的并填在答题卡上）1.设A ，B 是两个集合，则“AB A =”是“A B Í”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.设命题p ：2,2n n N n $?，则p Ø为( )A ．2,2n n N n"? B.2,2n n N n $危 C. 2,2n n N n "危 D.2,=2n n N n $?3.下列函数为奇函数的是( )A ．y =B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-4.要得到函数sin 43y x p骣琪=-琪桫的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C.向左平移3π个单位 D.向右平移3π个单位 5.已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ? ,则BD CD ?（ ）A.232a -B.234a -C. 234a 错误！未找到引用源。

D. 232a 错误！未找到引用源。

6.函数()f x =cos()x w j +的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( ) A.13(,),44k k k Z p p -+? B.13(2,2),44k k k Z p p -+? C.13(,),44k k k Z -+? D.13(2,2),44k k k Z -+?7..在ABC D中，已知,a c bb c a c-=-+则角A 的值是（ ）A ． 30B ．60C ．120D ．1508.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -ì+-<ï=í³ïî,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 9.若非零向量a ，b 满足|a ||b |，且（a -b ）^（3a +2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A.4πB.2πC.34πD.π 10.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a << 11.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x ì>ïï==íï-<ïî ()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-12.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R Î的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-? B ．(1,0)(1,)-+? C ．(,1)(1,0)-?- D ．(0,1)(1,)+?二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分。

2015-2016学年高三（上）期初数学试卷（理科）一、填空题（本题有14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∩B=__________．2．已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于__________．3．若f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=__________．4．已知集合A是函数的定义域，集合B是整数集，则A∩B的子集的个数为__________．5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f （x）为[3，4]上的减函数”的__________条件．6．已知函数y=f（x）的图象在点M（3，f（3））处的切线方程是y=x+，则f（3）+f′（3）的值为__________．7．已知，则a，b，c的大小关系为__________．8．已知是定义在（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）上的奇函数，则f（x）的值域为__________．9．设函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于∀x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是__________．10．若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=__________．11．已知函数f（x）=﹣1的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有__________个．12．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是__________．13．函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[﹣b，﹣a]，那么y=f（x）叫做对称函数，现有f（x）=﹣k是对称函数，那么k的取值范围是__________．14．已知函数f（x）满足：f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f=__________．二、解答题（本大题有6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁R A）∩B．16．（14分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．17．（14分）设函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a，b的值；（Ⅱ）若b=1，求函数f（x）的最大值．18．（16分）已知函数f（x）=（x∈R），a为正数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x1，x2∈[0，4]均有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，求实数a的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=log a，（a＞0，且a≠1）．（1）求函数的定义域，并证明：f（x）=log a在定义域上是奇函数；（2）对于x∈[2，4]，f（x）=log a＞log a恒成立，求m的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．2015-2016学年高三（上）期初数学试卷（理科）一、填空题（本题有14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∩B={3}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】直接利用集合的交集的求法，求出交集即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，所以A∩B={3}故答案为：{3}．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力，送分题．2．已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于2．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由分段函数，求出f（1），f（﹣1），解方程即可．【解答】解：f（x）=，∴f（1）=a，f（﹣1）=2；∵f（1）=f（﹣1），∴a=2故答案为：2，【点评】本题分段函数及运用，考查分段函数值应注意各段的自变量的取值范围，属于基础题．3．若f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=4．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a【解答】解：∵f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4）∴x2+（a﹣4）x﹣4a=x2+（4﹣a）x﹣4a∴（a﹣4）x=0∴a=4故答案为：4．【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题4．已知集合A是函数的定义域，集合B是整数集，则A∩B的子集的个数为4．【考点】子集与真子集．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】列出不等式组，解出集合A，求出A∩B，写出所有的子集．【解答】解：由f（x）有意义得：，解得﹣1＜x≤1，∴A=（﹣1，1]，∵B=Z，∴A∩B={0，1}，∴A∩B={0，1}有4个子集，分别是∅，{0}，{1}，{0，1}．故答案为4．【点评】本题考查了集合的子集的定义，简单的集合运算，是基础题目．5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f （x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，可由函数的性质得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【解答】解：由题意，f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）为[0，1]上的增函数所以f（x）为[﹣1，0]上是减函数又f（x）是定义在R上的函数，且以2为周期[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，故两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立，若f（x）为[3，4]上的减函数，由周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．故答案为：充要．【点评】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由那个条件到那个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误，6．已知函数y=f（x）的图象在点M（3，f（3））处的切线方程是y=x+，则f（3）+f′（3）的值为2．【考点】导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】先将x=3代入切线方程可求出f（3），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（3）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（3）=×3+=，切点处的导数为切线斜率，所以f'（3）=，所以f（3）+f′（3）==2故答案为：2．【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．7．已知，则a，b，c的大小关系为a=b＞c．【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算法则化简求得a=＞1，b=＞1，再根据c=log32＜1，可得a，b，c的大小关系．【解答】解：∵已知a=log23+==＞1，b=log29﹣==＞1，c=log32＜1，∴a=b＞c，故答案为a=b＞c．【点评】本题主要考查对数的运算法则的应用，对数大小的比较，属于基础题．8．已知是定义在（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）上的奇函数，则f（x）的值域为．【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】根据是奇函数，可确定a的值，进而可得函数的解析式，利用函数的定义域，可确定函数的值域．【解答】解：∵是定义在（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴∴∴∴2a=﹣1，∴∴∵x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）∴2x∈（0，]∪[2，+∞）∴[﹣2，﹣1）∪（0，1]∴f（x）∈故答案为：【点评】本题重点考查函数的奇偶性，考查函数的值域，解题的关键是确定函数的解析式，属于基础题．9．设函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于∀x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是a≥﹣1．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于∀x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，可得﹣a≤1，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，函数f（x）=|x+a|，g（x）=x﹣1，对于∀x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，∴﹣a≤1，∴a≥﹣1，∴实数a的取值范围是a≥﹣1．故答案为：a≥﹣1．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．10．若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a=．【考点】指数函数综合题．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的性质，需对a分a＞1与0＜a＜1讨论，结合指数函数的单调性可求得g（x），根据g（x）的性质即可求得a与m的值．【解答】解：当a＞1时，有a2=4，a﹣1=m，此时a=2，m=，此时g（x）=﹣为减函数，不合题意；若0＜a＜1，则a﹣1=4，a2=m，故a=，m=，g（x）=在[0，+∞）上是增函数，符合题意．故答案为：．【点评】本题考查指数函数综合应用，对a分a＞1与0＜a＜1讨论是关键，着重考查分类讨论思想的应用，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣1的定义域是[a，b]（a，b∈Z），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有5个．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】压轴题；数形结合．【分析】讨论x大于等于0时，化简f（x），然后分别令f（x）等于0和1求出对应的x的值，得到f（x）为减函数，根据反比例平移的方法画出f（x）在x大于等于0时的图象，根据f（x）为偶函数即可得到x小于0时的图象与x大于0时的图象关于y轴对称，可画出函数的图象，从函数的图象看出满足条件的整数对有5个．【解答】解：当x≥0时，函数f（x）=﹣1，令f（x）=0即﹣1=0，解得x=2；令f（x）=1即﹣1=1，解得x=0易知函数在x＞0时为减函数，利用y=平移的方法可画出x＞0时f（x）的图象，又由此函数为偶函数，得到x＜0时的图象是由x＞0时的图象关于y轴对称得来的，所以函数的图象可画为：根据图象可知满足整数数对的有（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（0，2），（﹣1，2）共5个．故答案为：5【点评】此题考查学生会利用分类讨论及数形结合的数学思想解集实际问题，掌握函数定义域的求法，是一道中档题．12．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是[1，）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解．【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f'（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=．据题意，，解得1≤k＜故答案为：[1，）【点评】本题主要考查函数的单调性与导函数的关系．属基础题．13．函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[﹣b，﹣a]，那么y=f（x）叫做对称函数，现有f（x）=﹣k是对称函数，那么k的取值范围是．【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】压轴题；新定义．【分析】函数在定义域（﹣∞，2]上是减函数，由②可得f（a）=﹣a，f（b）=﹣b，由此推出a和b 是方程在（﹣∞，2]上的两个不同的实根．利用换元法，转化为∴k=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+在[0，+∞）有两个不同实根，解此不等式求得k 的范围即为所求．【解答】解：由于在（﹣∞，2]上是减函数，故满足①，又f（x）在[a，b]上的值域为[﹣b，﹣a]，∴所以a和b 是关于x的方程在（﹣∞，2]上有两个不同实根．令t=，则x=2﹣t2，t≥0，∴k=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+，∴k的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a 和b 是方程在（﹣∞，2]上的两个根，是解题的难点，属中档题．14．已知函数f（x）满足：f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f=．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用赋值法，分别求出f（1）…f（9）得出f（x）的周期是6，故求出答案．【解答】解：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），令x=1，y=0，则4f（1）f（0）=f（1）+f（1），∴f（0）=，再令x=y=1，得f（2）=﹣，再令x=2，y=1，得f（3）=﹣，再令x=2，y=2，得f（4）=﹣，再令x=3，y=2，得f（5）=，再令x=3，y=3，得f（6）=，再令x=4，y=3，得f（7）=，再令x=4，y=4，得f（8）=，再令x=5，y=4，得f（9）=﹣，由此可以发现f（x）的周期是6，∵2014÷6=135余4，．∴f=f（135×6+4）=f（4）=．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、解答题（本大题有6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁R A）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【专题】集合．【分析】（1）先解出集合中的一元二次不等式，然后根据A∩B=空集，说明集合A，B没有共同的元素，从而求出实数a的范围；（2）由条件判断a=﹣2，求出C R A，即可求得（C R A）∩B．【解答】解：（1）∵y=x2﹣x+=（x﹣1）2+2，∴y=x2﹣x+在[0，1]递减，在[1，3]上递增，当x=1时，有最小值，即为2，当x=3时，有最大值，即为4，∴2≤y≤4，∴B=[2，4]，∵A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}═{y|（y﹣a）[y﹣（a2+1）]＞0}，又a2+1＞a∴A={y＞a2+1或y＜a}，∵A∩B=∅，∴a2+1≥4或a≤2，∴≤a≤2或a≤﹣，（2）使不等式x2+1≥ax恒成立时，由判别式△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，a=﹣2．由（1）可得C R A={y|a≤y≤a2+1 }={y|﹣2≤y≤5}，B={y|2≤y≤4}．（C R A）∩B=B=[2，4]．【点评】本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题16．（14分）设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域R上的奇函数．（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；（2）若，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】先利用f（x）为R上的奇函数得f（0）=0求出k以及函数f（x）的表达式，（1）利用f（1）＞0求出a的取值范围以及函数f（x）的单调性，再把不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0利用函数f（x）是奇函数进行转化，再利用求得的单调性解不等式即可；（2）先由f（1）=得a=2，得出函数f（x）的单调性，，再对g（x）进行整理，整理为用f（x）表示的函数，最后利用函数f（x）的单调性以及最值来求g（x）在[1，+∞）上的最小值．【解答】解：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，∴k﹣1=0⇒k=1，∴f（x）=a x﹣a﹣x（1）∵f（1）＞0，∴a﹣a﹣1＞0，a＞0，∴a＞1．∴f（x）为R上的增函数由f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0得：f（x2+2x）＞f（4﹣x）即：x2+3x﹣4＞0⇒x＜﹣4或x＞1．即不等式的解集（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．（2）由f（1）=得a=2，由（1）可知f（x）为[1，+∞）上的增函数．f（x）≥f（1）=所以g（x）=a2x+a﹣2x﹣4f（x）=（f（x）﹣2）2﹣2≥﹣2（当f（x）=2时取等号）故g（x）在[1，+∞）上的最小值﹣2．【点评】本题是对函数单调性和奇偶性的综合考查．对函数单调性和奇偶性的综合考查的一般出题形式是解不等式的题，解题方法是先利用奇偶性进行转化，再利用单调性解不等式．17．（14分）设函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a，b的值；（Ⅱ）若b=1，求函数f（x）的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】常规题型；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数f'（x），写出切点（1，﹣b），求出斜率f'（1），由切线方程得：f‘（1）=0且f（1）=﹣，得到a，b的方程组，解出a，b．（2）求出f’（x），再对a分a≤0，a＞0来讨论．a≤0时f'（x）＜0，得f（x）在x＞0上是减函数，无最大值；当a＞0时，分别求出增区间和减区间，判断极值点，根据在开区间内，极值也是最值，从而得出结论．【解答】解：（1）函数f（x）=alnx﹣bx2的导数f'（x）=，又f（1）=﹣b，曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣，所以f'（1）=0，f（1）=﹣即a﹣2b=0，b=⇒a=1，b=，故实数a，b的值为a=1，b=．（2）因为b=1，所以f（x）=alnx﹣x2（x＞0），f'（x）=，①当a≤0时，因为x＞0，所以f'（x）＜0即f（x）在x＞0是减函数，所以函数无最大值；②当a＞0时，f'（x）＞0得⇒﹣，但x＞0，所以增区间为（0，），f'（x）＜0得⇒x＞或x＜﹣，但x＞0，所以减区间为（，+∞）．所以f（x）在x=处取得极大值，且为．又x＞0时极大值也为最大值，即最大值为．综上可得：a≤0时，f（x）无最大值；a＞0时，f（x）的最大值为．【点评】本题考查了导数的综合运用：求在切点处的切线方程和求函数的单调区间和极值以及最值，是一道导数的综合题，同时也考查了分类讨论的重要数学思想，同学应当掌握．本题属于中档题．18．（16分）已知函数f（x）=（x∈R），a为正数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x1，x2∈[0，4]均有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）由已知得f′（x）=，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（2）由（1）知，函数f（x）在[0，4]上有极大值f（3）=也是最大值，要使得函数f（x）对任意x1，x2∈[0，4]均有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，只需|f（3）﹣f（0）|＜1即可，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=∴f′（x）=，令f′（x）=0，∵a＞0，∴x1=0，x2=3，f′（x）＞0，得0＜x＜3；f′（x）＜0，得x＜0或x＞3，f（x）在（﹣∞，0]上为减函数，在[0，3]上为增函数，在[3，+∞）上为减函数；（2）由（1）知，f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，∴函数f（x）在[0，4]上有极大值f（3）=也是最大值，又∵f（0）=﹣a＜0，f（4）=11ae﹣4＞0，∴f（0）＜f（4），∴f（x）在[0，4]上的最小值为﹣a，∴要使得函数f（x）对任意x1，x2∈[0，4]均有|f（x1）﹣f（x2）|＜1成立，只需|f（3）﹣f（0）|＜1即可，∴+a＜1，∵a＞0，∴0＜a＜．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．19．（16分）已知函数f（x）=log a，（a＞0，且a≠1）．（1）求函数的定义域，并证明：f（x）=log a在定义域上是奇函数；（2）对于x∈[2，4]，f（x）=log a＞log a恒成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由＞0解得定义域，在定义域范围内考察f（﹣x）=﹣f（x）成立．（2）根据对数的性质，转化为真数大小关系恒成立，再利用分离参数法求m范围．【解答】解（1）由＞0，解得x＜﹣1或x＞1，∴函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．当x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，f（﹣x）=log a=log a=﹣log a=﹣f（x），∴f（x）=log a在定义域上是奇函数．（2）由x∈[2，4]时，f（x）=log a＞log a恒成立，①当a＞1时，∴＞对x∈[2，4]恒成立．∴0＜m＜（x+1）（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，4]恒成立．设g（x）=（x+1）（x﹣1）（7﹣x），x∈[2，4]则g（x）=﹣x3+7x2+x﹣7，g′（x）=﹣3x2+14x+1，∴当x∈[2，4]时，g′（x）＞0．∴y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）min=g（2）=15．∴0＜m＜15．②当0＜a＜1时，由x∈[2，4]时，f（x）=log a＞log a恒成立∴＜对x∈[2，4]恒成立．∴m＞（x+1）（x﹣1）（7﹣x）在x∈[2，4]恒成立．设g（x）=（x+1）（x﹣1）（7﹣x），x∈[2，4]，由①可知y=g（x）在区间[2，4]上是增函数，g（x）max=g（4）=45，∴m＞45．∴m的取值范围是（0，15）∪（45，+∞）．【点评】本题考查了函数奇偶性的判定，不等式恒成立问题，函数最值求解，考查运算求解能力．20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数的图象；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系；函数最值的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由题意知f（x）在R上是增函数，则即﹣2≤a≤2，则a范围．（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即，，，故只要且在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可．由此可知答案．（3）当﹣2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则，即存在a∈（2，4]，使得即可，由此可证出实数t的取值范围为．【解答】解：（1）由f（x）在R上是增函数，则即﹣2≤a≤2，则a范围为﹣2≤a≤2；（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x﹣a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即，，，故只要且在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可，而当x∈[1，2]时，，为增函数，；当x∈[1，2]时，，为增函数，，所以；（3）当﹣2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；则当a∈（2，4]时，由得x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x对称轴，则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a时，f（x）=﹣x2+（2+a）x对称轴，则f（x）在为增函数，此时f（x）的值域为，f （x）在为减函数，此时f（x）的值域为；由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则，即存在a∈（2，4]，使得即可，令，只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，，故实数t的取值范围为；同理可求当a∈[﹣4，﹣2）时，t的取值范围为；综上所述，实数t的取值范围为．（16分）【点评】本题考查函数性质的综合应用，解题时要认真审题．。

江苏省镇江市2016届高三上学期期中考试统测理科数学Ⅰ试题一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程， 请把答案写在答题纸的指定位置上）1.设集合}0|{},3,2,1,0{2=-==x x x A U ，则=A C U2.从甲、乙、丙3名候选学生中选取2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率 为3. 若复数R m iim ∈-+(12,i 是虚数单位）为实数，则=m4.根据如图所示的伪代码，最后输出的实数a 的值为5.在ABC ∆中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A , 那么=C tan6.方程0sin lg =-x x 的解的个数是7.函数x x f lg 21)(-=的定义域是 8.若函数)0(cos )sin()(πϕ<<+=x x x x f 是偶函数， 则ϕ的值等于9.实系数一元二次方程02=++c bx ax ，则“0<ac ”是“该方程有实数根” 的 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个合适的填写）10.若实数y x ,满足0,0>>y x ，且)2(log log log 222y x y x +=+，则y x +2 的最小值为11.若06254≤+⨯-x x ，则函数x x x f --=22)(的值域是12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<=2,2220|,log |)(2x x x x x x f ，若,0c b a <<<满足)()()(c f b f a f ==，则)(c f ab的范围是 13.设),2(,ππβα∈，且ββααsin )cos(sin =+，则βtan 的最小值是 14.函数)10(ln )(<<-=a a x a x f x ，若对于任意]1,1[-∈x ，不等式1)(-≤e x f恒成立，则实数a 的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本题满分14分）在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别是c b a ,,. （1）若A A sin 2)4sin(=+π,求A 的值；（2）若A C B A sin 2sin sin ,21cos =+=,试判断ABC ∆的形状，并说明理由.16．（本题满分14分）已知函数x xx f 2log 4log )(22=.（1）解不等式0)(>x f ;（2）当]4,1[∈x 时,求)(x f 的值域.17．（本题满分14分）已知R a ∈,函数ax x a x x f ++-=23)1(2131)(.（1）求函数)(x f 的单调区间;（2）若1>a ,函数)(x f y =在]1,0[+a 上最大值是)1(+a f ,求实数a 的取值范围.18．（本题满分16分）已知函数2)4sin(222sin )(++-=πx a x x f ,设x x t cos sin +=,且)43,4(ππ-∈x .（1）试将函数)(x f 表示成关于t 的函数)(t g ,并写出t 的范围; （2）若0)(≥t g 恒成立,求实数a 的取值范围;（3）若方程0)(=x f 有四个不同的实数根,求a 的取值范围.19．（本题满分16分）理科广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成 的平面图由半径为2m 的扇形AOB 和三角区域BCO 构成，其中A O C ,,在一条直 线上，4π=∠ACB ,记该设施平面图的面积为2)(m x S ，rad x AOB =∠，其中ππ<<x 2.（1）写出)(x S 关于x 的函数关系式; （2）如何设计AOB ∠,使得)(x S 有最大值?20．（本题满分16分）记函数x e x f =)(的图像为C ,函数k kx x g -=)(的图像记为l . （1）若直线l 是曲线C 的一条切线,求实数k 的值;（2）当)3,1(∈x 时,图像C 恒在直线l 上方,求实数k 的取值范围; （3）若图像C 与直线l 有两个不同的交点B A ,,其横坐标分别是21,x x , 设21x x <,求证: 2121x x x x +<.江苏省镇江市2016届高三上学期期中考试统测理科数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PO 与圆O 交于点OP AQ C B ⊥,,,垂足为Q ， 若2,4==PC PA ,求AQ 的长.B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个 特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α，求矩阵A ,并写出A 的逆矩阵.C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 在极坐标系中，求圆θρcos 2=的圆心到直线1)3sin(2=+πθρ的距离.D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)若0,0>>b a ,且ab ba =+11,求33b a +的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分) 已知函数x e x f x 2)(12-=-.（1）求函数)(x f 的导数)(x f '; （2）证明:当R x ∈时,0)(≥x f 恒成立.23．(本小题满分10分) 已知数列}{n a 满足3221--=+n n n a a a ,*N n ∈,211=a .（1）计算432,,a a a ;（2）猜想数列的通项n a ,并用数学归纳法证明.江苏省镇江市2016届高三上学期期中考试统测理科参考答案二、解答题15.解：（1）由题意，若sin()4A A π+=，A A A += ……2分即22A A =， ……4分 可得tan 1A =，由A (0,π)∈， ……5分 故4A π=； ……7分（2）△ABC 中，sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理可得：2b c a +=，……9分由1cos 2A =得：2221cos 22b c a A bc +-==， ……10分故222b c a bc +-=， 又2b c a +=， ……9分 则222()33b c a bc a +-==， 故22()2b c a bc +==， ……11分 可得2()0b c -=，故b c =， ……13分 则b c a ==， 故△ABC 为正三角形. ……14分 【说明】本题是由国庆作业题改编，考查了和角公式，三角形中的边角关系、考查正余弦定理，三角变换；考查学生的字母符号处理能力、运算、书写表达能力. 16.(1)函数222222()log log 2(log log 4)(log 2log )4xf x x x x =⋅=-+ 222(log )log 2,(0,)x x x =--∈+∞ ……4分 令222()(log )log 20f x x x =-->， 则2log 2x >或2log 1x <-，故4x >或102x <<. ……7分 （2）若[1,4]x ∈，则20log 2x ≤≤，2222219()(log )log 2(log )24f x x x x =--=--， ……10分当21log 2x =即x =时，min 9()4f x =-；当2log 2x =即4x =时，max ()0f x =. 故()f x 值域为9[,0]4-. ……14分【说明】本题是由模考题改编，考查二次型函数的性质；考查学生的转化与化归的能力，运算、书写表达能力.17.解：3211()(1).32f x x a x ax =-++，定义域为R ，2()(1)f x x a x a '=-++(1)()x x a =--. …… 2分 （1）①若1a >，令()0f x '>，得1x <或x a >，令()0f x '<，得1x a <<； ……4分②若1a =，则'()0f x ≥恒成立，()f x 在定义域R 上单调递增； ……5分 ③若1a <，令'()0f x >，得x a <或1x >，令'()0f x <，得1a x <<. ……7分 综上：若1a >，()f x 单调增区间为(,1)-∞和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；若1a =，()f x 单调增区间为R ，无单调减区间；若1a <，()f x 单调增区间为(,)a -∞和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a .……8分 （2）由（1）知：()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,]a 上单调递减，在[,1]a a +上单调递增， ……10分 若函数()y f x =在[]0,1a +上最大值是()1f a +，则必有(1)(1)f a f +≥成立， ……12分即331111(1)(1)(1)(1)3232a a a a a a +-+++≥-++， 即3230a a -≤，解得：3a ≤. ……13分 故若函数()y f x =在[]0,1a +上最大值是()1f a +，则(1,3]a ∈. …… 14分 【说明】本题考查了用导数研究三次函数的单调区间,考查了分类讨论思想，考查了三次函数在给定区间最值的确定，考查了解不等式.18.解：π()sin 2sin()22sin cos 2(sin cos )24f x x x x x a x x =-++=-++, …… 2分（1）因为π3π(,)44x ∈-，πsin cos )4t x x x =+=+∈, ……3分所以2sin 21x t =-. ……4分从而2()g()21f x t t at ==-+,t ∈. …… 6分（2）由g()0t ≥恒成立，可得12a t t ≤+在（上恒成立,记1()2h t t t=+≥，当且仅当1t =时等号成立,所以min 2(t)2a h ≤=,即1a ≤. ……10分 (3) 若方程()0f x =有四个不同的实数根，等价于方程2210t at -+=在上有两个不同的实数根， ……12分 根据根的分布可知：由(0)0g >，0>，得a <……13分 由2440a ∆=->，得11a a <->或者 ……14分又0a <<， ……15分解得1a < ……16分 【说明】本题考查了三角恒等变换；考查恒成立问题的处理方法；考查整体思想和换元法；考查了函数与方程思想.19.解：(1)由已知可得1,242AOB CBO x S lr x ∠=-=π=扇形， ……2分在△BCO 中由正弦定理可得：sin sin CO BOCBO C=∠，所以2(sin cos )CO x x =-， ……4分 从而21sin 2sin 2sin cos 2CBO S BO CO BOC x x x ∆=⋅⋅∠=-， ……6分所以2()2sin 2sin cos 22sin (sin cos )2S x x x x x x x x x =-+=-+,().2x <<ππ……8分(2) π()2(sin 2cos2)2)24S x x x x '=-+=-+, ……10分由3π()0,4S x x '==解得， ……12分 令π3π()0,24S x x '><<解得， ∴增区间是3(,)24ππ;令3π()0,π,4S x x '<<<解得 ∴减区间是3(,)4ππ; ……14分所以()S x 在34πx =处取得最大值是23π2m 2+. ……15分 答：设计成34π=AOB ∠时，该设施的平面图面积最大是23π2m 2+. ……16分【说明】本题是原创题，考查了正弦定理、扇形的面积公式、导数的应用；考查函数思想；考查阅读理解能力、数学建模的能力、运算能力. 20.解：（1）直线l 过定点(1,0)，()e x f x '=，设切点坐标00(,e )x x ，00()=e x k f x '=, ……1分 所以切线l 的方程为：000e e ()x x y x x -=-， ……2分 把点(1,0)代入000e e ()x x y x x -=-，解得02x =, ……3分 所以2(2)e k f '==. ……4分 （2）由已知可得：当()1,3x ∈时，不等式e x kx k >-恒成立.即：当()1,3x ∈时，e ()1x k h x x <=-, ……5分而2e (2)()(1)x x h x x -'=-， ……6分当(1,2)x ∈时，函数()h x 递减；当(2,3)x ∈时，函数()h x 递增, ……7分 所以2min ()(2)e h x h ==，故()2min (2)e k h x h <==， ……8分 （3）由已知可得1212,e (1)e (1)x x k x k x =-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅①② ……9分 ②-①得2121211221e e e e (),0x x x x k x x x x k x x --=-<=>-由可得 ②×①得1221212e (1)x x k x x x x +=--+ ……10分 要证1212x x x x <+，只需证1212122e 10x x x x x x k+--=-< ……11分即证21122221e e ex x x x k x x +⎛⎫-<= ⎪-⎝⎭,即证122122121e e e,()x x x x x x x x +-<>- ……12分 只需证()1221221ee e x x x x x x +-<- 只需证()21122221eex x x x x x ---<-，令2102x x t -=>， 即证：e e 20t t t --->. ……14分 记()e e 2,()e +e 20t t t t t t t ϕϕ--'=--=->恒成立，所以()(0)0t ϕϕ>=，故1212.x x x x <+ ……16分 【说明】本题由模考题改编，考查曲线切线的求法、考查函数的性质；考查变量代换法；考查函数思想、方程思想、等价转换思想、分析能力．理科附加题参考答案21A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接AO ．设圆O 的半径为r ．因为PA 是圆O 的切线，PBC 是圆O 的割线，所以2PA PB PC =⋅， …… 3分 因为4PA =，2PC =，所以242(22)r =⨯+，解得3r =． …… 5分 所以235PO PC CO =+=+=，3AO r ==， 由PA 是圆O 的切线得PA AO ⊥，故在Rt APO V 中，因为AQ PO ⊥，由面积法可知，1122AQ PO AP AO ⨯⨯=⨯⨯，即431255AP AO AQ PO ⨯⨯===. …… 10分（第21题A 图）【说明】本题由模考题改编，考查圆的切割线定理，切线的性质，计算等面积转化，考查了等价转换思想、计算能力． 21B. 选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦可得，33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝611⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即6c d +=， ……3分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即322c d -=-， ……6分 解得24c d =⎧⎨=⎩，即A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ……8分所以A 的逆矩阵是21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查矩阵的特征值与特征向量，考查了逆矩阵的求法，考差了学生的运算能力．21C. 选修4—4：坐标系与参数方程解：将圆2cos ρθ=化为普通方程为2220x y x +-=，圆心为(1,0)， ……4分 又2sin()13πρθ+=，即12(sin )12ρθθ+=，10y +-=， ……8分故所求的圆心到直线的距离d =……10分 【说明】本题由模考题改编，考查曲线切线的极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化，考查直线与圆的位置关系． 21D ．选修4－5：不等式选讲 解：因为0,0a b >>，所以11a b + ……3分又因为11a b+2ab ≥，当且当a b = ……6分所以33a b +≥，当且当a b = ……9分 所以33a b +的最小值为 ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查了基本不等式以及取得等号成立的条件，放缩法，考查了学生的转化与化归的能力和计算的能力． 22.解：（1）函数21()e 2x f x x -=-，定义域为R ，21'()(21)'2x f x e x -=⨯--2122x e -=-， ……3分（2）由题意21'()22x f x e -=-，x R ∈ ,'(),()x f x f x 当x R ∈上变化如下表：当12x =时()f x 取得极小值也是最小值， 而1()02f =，故()0f x ≥恒成立. ……10分【说明】本题由模考题改编，考查复合函数的导数，函数的性质，函数的极值． 23．解：（1）由递推公式，得121122321234232a a a --===-⋅-， 3457,68a a ==． ……3分（2）猜想：212n n a n-=． ……5分 证明：①1n =时，由已知，等式成立． ……6分 ②设*()n k k =∈N 时，等式成立．即212k k a k-=． ……7分所以12122214212(1)122123426222(1)232k k k k a k k k k k a k a k k k k k+-----++-=====----++⋅-， 所以1n k =+时，等式成立． ……9分根据①②可知，对任意*n ∈N ，等式成立．即通项212n n a n-=． ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查数学归纳法，对格式的把握，猜想与证明的能力，等价转换思想、分析能力．。

湖北省部分重点中学2015-2016学年度上学期新起点考试湖北省部分重点中学2015-2016学年度上学期新起点考试数学试卷参考答案(理)一、选择题CABCCA CCBDDD二、13、151614、2 15、48 16、○1○3○4 三、解答题17、（1）由已知1231327(3)(4)6a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩解得22a =设{}n a 的公比为(1)q q >，2232212177,2520,21,2n n a S a a q q q q qa a a q-=∴++=∴-+==∴=== 6分(2)21232112112(1)(1)1112221223(1)n n n n n n b a n n n n T b b b n n --=+=+++∴=+++=++++++++()352111111122222231n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()2141113n n -=-++- 2121131n n ++=-+ 12分 18、 (1)证明：因为BQ ∥AA 1，BC ∥AD ，BC ∩BQ ＝B ，AD ∩AA 1＝A ， 所以平面QBC ∥平面A 1AD ，从而平面A 1CD 与这两个平面的交线相互平行， 即QC ∥A 1D .故△QBC 与△A 1AD 的对应边相互平行， 于是△QBC ∽△A 1AD ，所以BQ BB 1＝BQ AA 1＝BC AD ＝12，即Q 为BB 1的中点． 6分（2）方法一：如图1所示，在△ADC 中，作AE ⊥DC ，垂足为E ，连接A 1E . 又DE ⊥AA 1，且AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面AEA 1，所以DE ⊥A 1E .所以∠AEA 1为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角． 因为BC ∥AD ，AD ＝2BC ，所以S △ADC ＝2S △BCA . 又因为梯形ABCD 的面积为6，DC ＝2，所以S △ADC ＝4，AE ＝4.于是tan ∠AEA 1＝AA 1AE ＝1，∠AEA 1＝π4.故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4.方法二：如图2所示，以D 为原点，DA ，DD 1→分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA ＝θ，BC ＝a ，则AD ＝2a .因为22sin 62ABCD a a S θ+== 四边形，所以 2sin a θ=从而可得(2cos ,2sin ,0)C θθ，14,0,4sin A θ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()2cos ,2sin ,0DC θθ= ，4,0,4sin DA θ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面A 1DC 的法向量(),,1n x y =， 图2由1440sin 2cos 2sin 0DA n x DC n x y θθθ⎧∙=+=⎪⎨⎪∙=+=⎩得sin cos x y θθ=-⎧⎨=⎩所以()sin ,cos ,1n θθ=-又因为平面ABCD 的法向量()0,0,1m =所以cos ,n m n m n m∙==故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π. 12分 19、（1）,x y 可能的取值为1，2，3()()2221,2,25,x y x x x y ξ∴-≤-≤=-+-≤且当1,x y ==或3,1x y ==时，5ξ=因此，随机变量ξ的最大值为5.有放回摸两球的所有情况有339⨯=种，2(5)9P ξ∴== 5分 （2）ξ的所有取值为0，1，2，5时，只有2,2x y ==这一种情况，1ξ=时，有1,1x y ==或2,1x y ==或2,3x y ==或3,3x y ==四种情况， 2ξ=时，有1,2x y ==或3,2x y ==两种情况，1421422(0),(1),(2),(5)19999999P P P P ξξξξ∴========---=则随机变量ξ的分布列为：因此ξ得数学期望1422()012529999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 12分 20、（1）设椭圆的右焦点为(,0)F c ，由题知抛物线的准线方程为4x =-即24a c=由22222401x y x y a b+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得： 222222(42)b y a y a b -+=，整理得： 2222222(4)16160b a y b y b a b +-+-=∵直线和椭圆相切，∴2222222564(4)(16)0b b a b a b ∆=-+-=整理得：224160b a +-=即2254160a c --=，又24a c=，∴2540c c -+= 解得1c =或4，又由于24a c a c <<=，∴1c =，∴224,3a b == ∴椭圆方程为22143x y += 6分 （2）证明：由（1）知，(2,0),(1,0)A F -，直线2:4l x =根据椭圆的对称性，当直线PQ ⊥x 轴时，四边形MNPQ 是等腰梯形，对角线PM ，QN的交点在x 轴上.此时，直线PQ 的方程为1x =由221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得321y x ⎧=±⎪⎨⎪=⎩，不妨取33(1,),(1,)22P Q - 直线AP 的方程为1(2)2y x =+，将4x =代入得(4,3)N ∴直线QN 的方程为33322141y x ++=--，令0y =得2x =，即直线QN 与x 轴交点为(2,0)R ，此点恰好为椭圆的右顶点.下面只要证明，在一般情况下Q ，N ，R 三点共线即可.设112234(,),(,),(4,),(4,)P x y Q x y N y M y ，直线PQ 方程为1x my =+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y得：()2231412m yy ++=，整理得：()2234690my my ++-=∴12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ∵113(2,0),(,),(4,)A P x y N y -三点共线∴()()1132,42,AP x y AN y =+=+与共线，所以()13126x y y +=，即113116623y y y x my ==++ 由于()()232224,2,QN x y y QR x y =--=-- ,∴()()()()()()22322322322422212x y y y x y x y y my y -----=--=--()()1212122114661233my y y y y my y my my -+=--=++ 22119646033434m m my m m ⎛⎫=-+= ⎪+++⎝⎭∴QN QR与共线，即Q ，N ，R 三点共线同理可证，P ，M ，R 三点共线∴四边形MNPQ 的对角线的交点是定点，此定点恰为椭圆的右顶点. 12分21、（1）解:由已知有(1)()ln(1)1f x g x x x x x +=-=+-+ 于是1()111x g x x x '=-=-++ 故当()()1,0,()0,0,,()0x g x x g x ''∈->∈+∞<所以()g x 得单调递增区间是()1,0-，单调递减区间是()0,+∞，()g x 的极大值是(0)0g =. 4分（2）证明:因为 ()ln 1f x x '=+ 所以21021()()ln 1f x f x x x x -+=- 于是21221102222122()()ln ln ln ln ln 1ln 1f x f x x x x x x x x x x x x x ---=--=----121121ln ln 1x x x x x x -=--2121ln 11x x x x =-- 令21ln ln 1(1),()111x t t t t t h t x t t -+=>=-=--,因为10t ->,只需证明ln 10t t -+< 令()ln 1t t t ϕ=-+,则1()10t tϕ'=-<()t ϕ∴在()1,t ∈+∞递减, ()(1)0t ϕϕ<=于是()0,h t <即02ln ln 0,x x -<即02ln ln x x <,故02x x <,仿此可证10x x < 故 102x x x <<. 8分 (3)证明:因为112111,12n n n n a a a a n +⎛⎫==++> ⎪⎝⎭,所以{}n a 单调递增, 1n a ≥,于是 1222111111111222n n n n n n n n a a a a a n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++≤++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()1211ln ln ln 1*2n n n a a n +⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭由(1)知当0x >时, ln(1)x x +< 所以()*变为1211ln ln 2n n na a n+<++即()*12111ln ln (,2)21k k k a a k N k k ---<+∈≥- 令2,3,,,k n = 这1n -个式子相加,得()12231221111111ln ln 2222121n n a a n -⎡⎤⎛⎫-<++++++++⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦< 1112n -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()()221111112233421n n ⎡⎤+++++⎢⎥⨯⨯--⎣⎦ =1112n -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭111111114233421n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =1112n -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1111421n ⎛⎫++- ⎪-⎝⎭=11111421n n ---- <114即111ln ln 4n a a <+=114,所以114n a e < 12分四、选做题22、解： （1）因为AB ∥CD ，所以PAB AQC ∠=∠，又PQ 与圆O 相切于点A ，所以PAB ACB ∠=∠，因为AQ 为切线，所以QAC CBA ∠=∠，所以AC B ∽CQA ,AC ABCQ AC= 即2AC CQ AB =⋅ 5分（2）因为AB ∥CD ，2AQ AP =，所以13BP AP AB PC PQ QC ===，由AB =2BP =，得QC =6PC =因为AP 为圆O 的切线 ，所以212AP PB PC QA =⋅=⇒=又因为AQ 为圆O 的切线 ，所以2AQ QC QD QD =⋅⇒=10分23.解：（1）1C 是圆221,x y +=2C 是椭圆22221x y a b+=当0α=时,射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为()()1,0,,0a ,由题, 3a = 当2πα=时, 射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为()()0,1,0,b ,由题, 1b =222212:1,:19x C x y C y ∴+=+= 5分(2) 222212:1,:19x C x y C y +=+=当4πα=时，射线l 与1C 交点的横坐标为2x =，与2C 交点1B 的横坐标为10x '= 当4πα=-时，射线l 与12C C 、的两个交点22A B 、分别与11A B 、关于x 对称，因此四边形1221A A B B 为等腰梯形.故四边形1221A A B B 的面积为()()22225x x x x ''+-= 10分24、解：（1）当3a =-时，()3f x ≥即323x x -+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩ 1x ⇒≤或4x ≥故()3f x ≥的解集为{}14x x x ≤≥或 5分（2） 原条件⇔()4f x x ≤-在[]1,2上恒成立⇔24x a x x ++-≤-在[]1,2上恒成立 22x a x ⇔--≤≤-在[]1,2上恒成立由条件得2122,30a a a --≤-≥-≤≤且即故a 得取值范围为{}30a a -≤≤ 10分。

2015-2016学年江西省上饶中学高三（上）期中数学试卷（理科）（零、培优、实验、理补班）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4+a25=5，则一定有（）A．a6是常数 B．S7是常数 C．a13是常数D．S13是常数【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】将S4+a25=5有首项与公差表示得到a1+6d=1，即a7=1，利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质得到答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}中S4+a25=5，∴，∴a1+6d=1，即a7=1，∴，故选：D．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质，属于一道基础题．3．若0＜x＜y＜1，0＜a＜1，则下列不等式正确的是（）A．3log a x＜log a y2 B．cosax＜cosayC．a x＜a y D．x a＜y a【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题；不等式．【分析】利用幂函数的性质判断即可．【解答】解：∵0＜x＜y＜1，0＜a＜1，∴x a＜y a，故选：D．【点评】此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握幂函数的单调性是解本题的关键．4．记cos（﹣80°）=k，那么tan100°=（）A． B．﹣C．D．﹣【考点】弦切互化．【专题】计算题．【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果．【解答】解：法一，所以tan100°=﹣tan80°=．：法二cos（﹣80°）=k⇒cos（80°）=k，=【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．5．已知点A（﹣1，0），B（1，0），过定点M（0，2）的直线l上存在点P，使得，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．DD．【考点】平面向量数量积的运算；直线的倾斜角．【专题】平面向量及应用．【分析】先需要设出直线l的方程，所以需讨论l是否存在斜率：存在斜率时l方程便为y=kx+2，这样即可设出P（x，kx+2），所以能得到的坐标，从而根据条件会得到关于x的不等式（1+k2）x2+4kx+3＜0，要满足条件，该不等式便有解，从而△＞0，这样便得到k，这样即可求出此时l倾斜角α的范围；而不存在斜率时，用与上面类似的方法容易判断出这种情况满足条件，从而得到，这两种情况的α求并集即可．【解答】解：如图，（1）若l存在斜率，设直线l的方程为y=kx+2；∴设P（x，kx+2）；∴=（﹣1﹣x，﹣kx﹣2）•（1﹣x，﹣kx﹣2）=（1+k2）x2+4kx+3＜0；∴该不等式有解；∴△=16k2﹣12（1+k2）＞0；解得k，或k；∴；∴，且；（2）若l不存在斜率，则l方程为x=0；∴设P（0，y）；∴；∴﹣1＜y＜1；即存在P点使；而此时；∴综上得直线l的倾斜角的范围是．故选：A．【点评】考查直线的点斜式方程，由点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，一元二次不等式是否有解和判别式△的关系，熟悉正切函数的图象，知道倾斜角的取值范围，注意不要漏了斜率不存在的情况．6．设，，且tanα=，则下列结论中正确的是（）A．2α﹣β=B．2α+β= C．α﹣β=D．α+β=【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】利用二倍角公式得出，然后分子分母同时除以cosβ，最后由角的范围得出答案即可．【解答】解：．因为，β+∈（，），所以．故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角的应用，属于基础题．7．已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．【考点】绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】化简|f（x）﹣1|＜a得＜x＜．化简|x+1|＜b得﹣b﹣1＜x＜b﹣1，由题意可得（，）⊆（﹣b﹣1，b﹣1），故﹣b﹣1≤，b﹣1≥，由此求得a，b之间的关系．【解答】解：|f（x）﹣1|＜a即|2x+2|＜a，即﹣a＜2x+2＜a，即＜x＜．|x+1|＜b即﹣b＜x+1＜b 即﹣b﹣1＜x＜b﹣1．∵|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），∴（，）⊆（﹣b﹣1，b﹣1），∴﹣b﹣1≤，b﹣1≥，解得b≥，故选A．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式的解法，属于中档题．8．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足f（xy）=f（x）+f（y），如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2的解集为（）A．[﹣1，0）∪（3，4]B．[﹣1，0）C．（3，4]D．[﹣1，4]【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由已知令x=y=1求得f（1）=0，再求f（2）=﹣1，即有f（4）=﹣2，原不等式f （﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即为f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．再由单调性即可得到不等式组，解出它们即可．【解答】解：由于f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1则f（1）=2f（1），即f（1）=0，则f（1）=f（2×）=f（2）+f（）=0，由于，则f（2）=﹣1，即有f（4）=2f（2）=﹣2，不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2即为f[﹣x（3﹣x）]≥f（4）．由于对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），则f（x）在（0，+∞）上递减，则原不等式即为，即有，即有﹣1≤x＜0，即解集为[﹣1，0）．故选B．【点评】本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性和运用：解不等式，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．9．已知x，y满足，则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（）A．（2，﹣2）B．（﹣4，0）C．（4，0） D．（7，3）【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由图象可得最优解．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，则由平面区域可知，使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（4，0）；故选C．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．10．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化规律即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）==，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A，∵当x从右趋向于0时，f（x）趋向于+∞，当x趋向于+∞时，f（x）趋向于0，故排除BC，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别，常用的方法利用函数的奇偶性，单调性，特殊值，属于中档题．11．已知点G是△ABC的重心，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（）A．B．C． D．【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题．【分析】由三角形重心的性质可得，，设，由向量数量积的定义可知，可得xy=4，然后根据向量数量积的性质可得|=，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，∵∠A=120°，，则根据向量的数量积的定义可得，设∴即xy=4==x2+y2≥2xy=8（当且仅当x=y取等号）∴即的最小值为故选：C【点评】此题是一道平面向量与基本不等式结合的试题，解题的关键是利用平面向量的数量积的性质把所求的问题转化为==，还利用了基本不等式求解最值．12．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y0）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y1）处的切线为l2，若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（，+∞）C．（1，）D．[1，]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得斜率乘积为﹣1，列出关于x0的等式，求出a，对a的函数求得导数，判断为减函数，求出其值域即可得到a的取值范围【解答】解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为k1=（ax0+a﹣1），函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为k2=（x0﹣2），由题设有k1•k2=﹣1从而有（ax0+a﹣1）•（x0﹣2）=﹣1，∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3，∵x0∈[0，]，得到x02﹣x0﹣2≠0，所以a=，又a′=﹣，令导数大于0得，1＜x0＜5，故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为；x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤．故选D．【点评】此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知x，y∈（0，+∞），，则的最小值为3．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由可得x+y=3；化简=•+•=++，从而利用基本不等式求最值．【解答】解：∵，∴x﹣3=﹣y；即x+y=3；故=•+•=++≥+2=+=3；（当且仅当=，即x=1，y=2时，等号成立）故答案为：3．【点评】本题考查了函数的性质的应用及基本不等式的应用，属于中档题．14．已知数列{a n}中a1=2，a2=1，a n+2=（n∈N*），S n是数列{a n}的前n项和，则S2015=5239．【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；归纳法；等差数列与等比数列．【分析】由a1=2，a2=1，a n+2=（n∈N*），可得a n+5=a n．即可得出．【解答】解：∵a1=2，a2=1，a n+2=（n∈N*），∴a3==2，a4==4，a5==4，a6==2，a7==1，…，∴a n+5=a n．∴S2015=S5×403=（2+1+2+4+4）×403=5239．故答案为：5239．【点评】本题考查了数列的周期性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋=π（）2dx=|=据此类比：将曲线y=x2转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥（x≥0）与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=2π．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【专题】导数的概念及应用；推理和证明．【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：根据类比推理得体积V==πydy=，故答案为：2π【点评】本题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决本题的关键．16．已知函数f（x）=g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是[，]．其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】分段函数的应用．【专题】阅读型；函数的性质及应用．【分析】求得f（x）的各段的值域，再求并集，即可判断①；化简g（x），判断g（x）的单调性即可判断②；求出g（x）在[0，1]的值域，求出方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解的a的范围，即可判断③；由③得，有解的条件为：g（x）的最小值不大于f（x）的最大值且g（x）的最大值不小于f（x）的最小值，解出a的范围，即可判断④．【解答】解：当x∈[0，]时，f（x）=﹣x是递减函数，则f（x）∈[0，]，当x∈（，1]时，f（x）==2（x+2）+﹣8，f′（x）=2﹣＞0，则f（x）在（，1]上递增，则f（x）∈（，]．则x∈[0，1]时，f（x）∈[0，]，故①正确；当x∈[0，1]时，g（x）=asin（x+）﹣2a+2（a＞0）=﹣acos x﹣2a+2，由a＞0，0≤x≤，则g（x）在[0，1]上是递增函数，故②正确；由②知，a＞0，x∈[0，1]时g（x）∈[2﹣3a，2﹣]，若2﹣3a＞或2﹣＜0，即0＜a＜或a＞，方程f（x）=g（x）在[0，1]内无解，故③错；故存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则解得≤a≤．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查分段函数的运用，考查函数的值域和单调性及运用，考查存在性命题成立的条件，转化为最值之间的关系，属于易错题和中档题．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．（1）求∠B；（2）设函数f（x）=﹣2cos（2x+B），将f（x）的图象向左平移后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用诱导公式、两角和的正弦公式变形，求出cosB的值，即可确定出∠B的大小；（2）根据三角函数图象平移法则、诱导公式求出g（x），再由正弦函数的单调递增区间、整体思想，求出函数g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0及正弦定理得，（2sinA﹣sinC）cosB﹣sinBcosC=0，即2sinAcosB﹣sin（B+C）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，因为sinA≠0，所以cosB=，由B是三角形内角得，B=，（2）由（1）得，B=，则f（x）=﹣2cos（2x+B）=﹣2cos（2x+），所以g（x）=﹣2cos[2（x+）+]，=﹣2cos（2x+）=2sin2x，由得，，故函数g（x）的单调递增区间是：．【点评】本题主要考查正弦定理，诱导公式、两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调性的应用，属于中档题．18．若m∈R，命题p：设x1，x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根，不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，命题q：函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，求使p且￢q为真命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】对于p，先求出|x1﹣x2|∈[2，4]，再根据不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，得到|m+1|≥4，解得m的范围，对于q，函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，则f′（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，根据判别式求出a的范围，由于p且￢q为真命题，得到p真，q假，问题得解．【解答】解：若命题p为真命题，∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根∴x1+x2=a，x1x2=﹣3，∴|x1﹣x2|==，∵a∈[﹣2，2]，∴|x1﹣x2|∈[2，4]，∵|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，则只要|m+1|≥|x1﹣x2|max在a∈[﹣2，2]成立即可∴|m+1|≥4∴m+1≥4或m+1≤﹣4，∴m≥3，或m≤﹣5，若命题q为真命题，∵f（x）=x3+mx2+（m+）x+3，∴f′（x）=3x2+2mx+（m+），∵函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，∴f′（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，∴△=4m2﹣12m﹣40≥0，解得m≤﹣2，或m≥5，∵p且￢q为真命题，∴p真，q假，∴，解得3≤m＜5，实数m的取值范围为[3，5）【点评】本题目主要考查了复合命题的真假判断的应用，解题得关键是熟练应用函数的知识准确求出命题P，Q为真时的m的取值范围，属于中档题．19．已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；，c2k+1=a2k+kb k，其中k=1，2，3…，求数列{c n}的前2n+1项和T2n+1．（Ⅱ）令c1=1，c2k=a2k﹣1【考点】数列的求和；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d＞0，依题意有，解得：或（舍去），∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（Ⅱ）T2n+1=c1+c2+c3+c4+…+c2n+1，+（a2n+nb n）=1+S2n+（b1+2b2+…+nb n），∴T2n+1=c1+a1+（a2+b1）+a3+（a4+2b2）+…+a2n﹣1令①∴②，∴①﹣②得：，∴，∵，∴．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：g（x）+2g（﹣x）=e x+﹣9，h （﹣2）=h（0）=1且h（﹣3）=﹣2．（1）求g（x）和h（x）的解析式；（2）对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）﹣x2g（x2）成立，求a的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）令x=﹣x得到g（﹣x）+2g（x）=2e x+﹣9，与g（x）+2g（﹣x）=e x+﹣9构成方程组，解得即可求出g（x），h（x）是二次函数，且h（﹣2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，带值计算即可；（2）构造函数设φ（x）=h（x）+ax+5=﹣x2+（a﹣2）x+6，F（x）=g（x）﹣xg（x）=e x ﹣3﹣x（e x﹣3）=（1﹣x）e x+3x﹣3，转化为，当﹣1≤x≤1时，φ（x）min≥F（x）max．利用导数求出最值即可．【解答】解：（1）∵g（x）+2g（﹣x）=e x+﹣9，①∴g（﹣x）+2g（x）=e﹣x+﹣9，即g（﹣x）+2g（x）=2e x+﹣9，②由①②联立解得，g（x）=e x﹣3．∵h（x）是二次函数，且h（﹣2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，由h（﹣3）=﹣2，解得a=﹣1，∴h（x）=﹣x（x+2）+1=﹣x2﹣2x+1，∴g（x）=e x﹣3，h（x）=﹣x2﹣2x+1．（2）设φ（x）=h（x）+ax+5=﹣x2+（a﹣2）x+6，F（x）=g（x）﹣xg（x）=e x﹣3﹣x（e x﹣3）=（1﹣x）e x+3x﹣3，依题意知，当﹣1≤x≤1时，φ（x）min≥F（x）max．∵F′（x）=﹣e x+（1﹣x）e x+3=﹣xe x+3，在[﹣1，1]上单调递减，∴F′（x）min=F′（1）=3﹣e＞0，∴F（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴F（x）max=F（1）=0，∴解得﹣3≤a≤7，∴实数a的取值范围为[﹣3，7]．【点评】本题考查了函数解析式的求法，和导数和函数的最值问题，培养了学生的转化能力，运算能力，属于中档题．21．设正项数列{a n}的前n项和S n，且满足S n=a+（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3的值，猜想{a n}的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设T n是数列{}的前n项和，证明：T n＜．【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用递推导思想求出a1=1，a2=2，a3=3．由此猜想a n=n，再用数学归纳法进行证明．（Ⅱ）证法一：由，利用裂项求和法和放缩法进行证明．证法二：利用用数学归纳法进行证明．【解答】（Ⅰ）解：当n=1时，，解得a1=1，，解得a2=2，，解得a3=3．猜想a n=n….3分，证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立．（ⅱ）假设当n=k时，a k=k….4分，则当n=k+1时，，结合a n＞0，解得a k+1=k+1…..6分，于是对于一切的自然数n∈N*，都有a n=n…7分．（Ⅱ）证法一：∵，…10分∴．…14分证法二：用数学归纳法证明：（ⅰ）当n=1时，，，….8分（ⅱ）假设当n=k时，…9分则当n=k+1时，要证：只需证：由于所以…13分于是对于一切的自然数n∈N*，都有….14分【点评】本题考查数列的通项公式的求法和证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意数学归纳法的合理运用．22．已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求实数a的值及f（x）的极值；（Ⅱ）是否存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）如果对任意的，有|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行求得a的值，然后利用函数的导函数的符号求出函数的单调期间，则函数的极值可求；（Ⅱ）假设存在区间（t，t+）（t＞0），使函数f（x）在此区间上存在极值和零点，则得到，解此不等式组求得t的取值范围；（Ⅲ）由（I）的结论知，f（x）在[e2，+∞）上单调递减，然后构造函数F（x）=f（x）﹣，由函数在[e2，+∞）上单调递减，则其导函数在在[e2，+∞）上恒成立，由此求得实数k的取值范围．【解答】解：（I）由f（x）=，得．∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，∴，∴a=1，∴，x＞0，．当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值；（Ⅱ）∵x＞1时，，当x→0时，y→﹣∞，由（I）得f（x）在（0，1）上单调递增，∴由零点存在原理，f（x）在区间（0，1）存在唯一零点，函数f（x）的图象如图所示：∵函数f（x）在区间（t，t+），t＞0上存在极值和零点．∴，解得．∴存在符合条件的区间，实数t的取值范围为（）；（III）由（I）的结论知，f（x）在[e2，+∞）上单调递减，不妨设，则|f（x1）﹣f（x2）|≥k||，则．∴．∴函数F（x）=f（x）﹣在[e2，+∞）上单调递减，又，∴在[e2，+∞）上恒成立，∴k≤lnx在[e2，+∞）上恒成立．在[e2，+∞）上，k≤2．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了函数零点的判定方法，训练了利用恒成立问题求参数的范围，综合考查了学生的逻辑思维能力和计算能力，是压轴题．。

（图1）江苏省如东高级中学2016届高三年级开学考试数 学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .3.右图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 .4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂= 则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥；③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥ ，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 . 8.已知命题()()2:,2,P b f x x b x c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命图2题，则取得真命题的概率是 9.若函数2()(,,)1b x cf x a b c R x a x +=∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图3所示，则=++c b a . 10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足 ()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，图3向量()(1sin ,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+ ，且.n m ⊥（1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？18. 如图6，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率ABCMPD图4 公 路HG F E DC B A 图512e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅= ．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．19.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．P（第21 - A 题）（第22题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA =M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面PAD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．江苏省如东高级中学2016届高三年级开学考试数学答案一、填空题1.52..{}0,1-3.24.),2()2,1(+∞5.7.26. ①③7.8. 149.4 10. ),1(4481,+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞- 11. []0,π 12.)1,31()21,1( -- 13.2047 14. []1,0-提示：1.i z +-=2，则i z --=2，则5)1()2(22=-+-=z .2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ，又{}3,,0,1-=A ，所以{}0,1-=B A .3. 当4-=x 时，34>-，则7=x ；当7=x 时，37>，4=x ；当4=x 时，34>，1=x ；当1=x 时，31>不成立，则输出221==y .4.要使原式有意义，则⎩⎨⎧≠->-1101x x ，即1>x 且2≠x .5.2出现44.010=⨯次，5出现22.010=⨯次，8出现44.010=⨯次，所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。

数学试题（一）（理）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a R ∈，若12ai i++为实数，则a =A 。

2- B.12- C 。

12D.22.下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是 A ．y x =B ．sin y x x =C ．1lg 1x y x -=+D ．xx y e e -=-3.已知实数x 、y 满足02010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩,则2z x y =-的最大值为A 。

12B 。

1 C. 2 D 。

44。

直线0x y m -+=与圆22210xy x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是 A ．01m << B ．42m -<< C ．1m < D ．31m -<<5.已知sin 2cos 3αα+=，则tan α=A.2 B. 22C. 2-D.22-6.执行如图所示的程序框图，若输入5,6p q ==,则输出的,a i 值分别为A.5，1B.5,2C.15，3D.30,6 个单7.将函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π位后的图象关于原点对称，则函数()f x 在[0,]2π上的最小值为A.32-B.12- C 。

12D 。

328。

在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点,则AE AC •=A 。

8 B. 10 C. 12 D 。

149.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A. 6 B 。

5 C. 4 D. 5。

510。

某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考,那么这5名同学不同的报考方法种数共有 A.144种 B 。

150种 C.196种 D.256种11。

辽宁师大附中2016届高三上学期期中考试数学试卷（理）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. 1、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=13x xM ，{}22--==x x y y N ，则()=M C N R （ ） A.[]2,0 B.[),2+∞ C.[]3,1 D.[]3,22、“1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分且必要 D.既不充分也不必要3、在A B C ∆中，内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，且满足b A Bc C B a 21cos sin cos sin =+，则=∠B （ ） A.6π或65π B.3π C. 6π D.65π 4、等比数列{}n a 中，4,281==a a ，函数()()()()821a x a x a x x x f ---= ，则()=0'f （ ）A. 62B.92C.152D.1225、定积分()dx x x ⎰-12的值为（ ）A.4πB.2πC.πD.π26、设D 为ABC ∆所在平面内一点，CD BC 3=,则（ ） A. AC AB AD 3431+-= B. AC AB AD 3431-= C. AC AB AD 3134+-= D. AC AB AD 3134--= 7、 在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则12102a a -的值为（ ）A. 20B.22C.24D.28 8、已知函数()x f y =对任意的⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππx 满足()()0sin cos '>+x x f x x f ，则下列不等式不成立的是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛432ππf f B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-432ππf f C.()⎪⎭⎫ ⎝⎛<420πf f D.()⎪⎭⎫⎝⎛<320πf f 9、若()x m x x f ln 212+-=在()+∞,1是减函数，则m 的取值范围是（ ） A.[)+∞,1 B.()+∞,1 C.(]1,∞- D.()1,∞-10、设函数()42-+=x e x f x ，()52ln 2-+=x x x g ，若实数a ，b 分别是()x f ，()x g 的零点，则（ ）A.()()a g b f <<0B.()()b f a g <<0C.()()b f a g <<0D.()()0<<a g b f 11、定义域是R 的函数()x f 满足()()x f x f 22=+，当(]2,0∈x 时，()(](]⎩⎨⎧∈-∈-=2,1,l o g1,0,22x x x x x x f ，若(]2,4--∈x 时，()t t x f 214-≤有解，则实数t 的取值范围是（ ）A.[)()1,00,2 -B.[)[)+∞-,10,2C.[]1,2-D.(](]1,02, -∞-12、已知函数()()ϕω+=x A x f sin （其中ϕω,,A 均为正数）的最小正周期为π，当32π=x 时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A.()()()022f f f <-< B.()()()220-<<f f f C. ()()()202f f f <<- D. ()()()202-<<f f f第Ⅱ卷（ 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填在相应位置上。