安徽省皖南八校2019届高三第二次(12月)联考数学理试题(精品解析含答案)

“皖南八校"2020届高三第二次联考数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2A x x =≥，{}03B x x =≤≤，则()R A C B =（ ）A. [2,)+∞B. (3,)+∞C. [0,3]D. (,2)[2,)-∞⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】先求出B 的补集，再求交集。

【详解】由题意{|03}R C B x x x =<>或，∴(){|3}R A C B x x =>。

故选：B 。

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题。

2.已知12iz i-=+，则z =（ ） A.1355i - B.1355i + C. 1355i -- D. 1355i -+ 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法计算出z ，再由共轭复数定义求出z 。

【详解】1(1)(2)221132(2)(2)555i i i i i z i i i i ------====-++-， ∴1355z i =+。

故选：B 。

【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念。

属于基础题。

3.某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（ ）A. 与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍C. 与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】设2016年参考人数为a ，依据表格计算两年的一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数、不上线的人数，然后比较得出结论。

【详解】设2016年参考人数为a ，则2016年一本达线人数0.28a ，2019年一本达线人数0.24 1.20.288a a ⨯=0.28a >，A 错；2016年二本达线人数0.32a ，2019年二本达线人数0.4 1.20.48a a ⨯=，增加了0.16a ，不是一倍，B 错； 2016年艺体达线人数0.08a ，2019年艺体达线人数0.08 1.20.096a a ⨯=，C 错；2016年不上线的人数0.32a ，20196年不上线的人数0.28 1.20.3360.32a a a ⨯=>，D 正确。

“皖南八校"2020届高三第二次联考数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2A x x =≥，{}03B x x =≤≤，则()R AC B =（ ） A. [2,)+∞B. (3,)+∞C. [0,3]D. (,2)[2,)-∞⋃+∞ 2.已知12i z i -=+，则z =（ ） A. 1355i - B. 1355i + C. 1355i -- D. 1355i -+ 3.某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如图所示：则下列结论正确的（ ）A. 与2016年相比，2019年一本达线人数有所减少B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了1倍C. 与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加4.已知两个单位向量12,e e 满足12|2|7e e -=，则12,e e 的夹角为（ ）A. 23πB. 34πC. 3πD. 4π 5.函数22sin ()cos x x f x x x=+在[2,2]ππ-上的图象大致为（ ） A. B. C. D.6.已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8，13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种"雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层.A. 5B. 6C. 7D. 87.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是,AB AD 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，则（ ）A. 直线EF ，AO 是异面直线B. 直线EF ，1BB 是相交直线C. 直线EF 与1BC 所成的角为30︒D. 直线EF ，1BB8.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2- 9.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1，2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则(),(),()f a f b f c 的大小关系为（ ） A. ()()()f b f c f a <<B. ()()()f a f c f b <<C. ()()()f c f b f a <<D. ()()()f c f a f b <<10.已知2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2AB AF +的最小值为（ ）A. 9B. 8C.D.11.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 的最小值为；②()f x 在[,2]ππ上单调递增；③函数()1y f x =-在[,]-ππ上有3个零点；④曲线()y f x =关于直线x π=对称.其中所有正确结论的编号为（ ）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④12.已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC ∆中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =，球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ）A. 72πB. 86πC. 112πD. 128π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为_______.14.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则5a =_______.15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.16.点,A B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是抛物线C 的焦点，若120AFB ︒∠=，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||d AB 的最大值为_______. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边，cos2cos22sin (C B A -=sin A -sin )C .（1）求角B 的大小；（2）若1c =，ABC ∆b . 18.如图（1），在平面四边形ABCD 中，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，AB 中点为F ，3AC =，2BD =，90BCD ︒∠=，沿BD 将BCD ∆折起，使C 至C '位置，如图（2）.（1）求证：AC BD '⊥；（2）当平面BC D '⊥平面ABD 时，求直线AC '与平面C DF '所成角的正弦值.19.设椭图2222:1(0)x yC a b a b +=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心率为3，O 是坐标原点，且1OB F B ⋅=（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ⊥，求直线l 的方程.20.已知函数1()4cos()23x f x x e π=--，()f x '为()f x 的导函数，证明： （1）()f x '在区间[,0]π-上存在唯一极大值点；（2）()f x 区间[,0]π-上有且仅有一个零点.21.11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求,,p p p 123；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()14πρθ-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，P 是曲线C 上一点，求PAB ∆面积的最大值. 选修4-5：不等式选讲23.已知0,0a b >>，2 3.a b +=证明：（1）2295a b +≥； （2）33814.16a b ab +≤。

“皖南八校”2019届高三第二次联考数 学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位，a R Î，若a iz i a i-=++为实数，则实数a = A. -1 B. 12- C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据复数的运算法则，求得22221(1)11a a z i a a --=+++，再根据复数的概念，即可求解.【详解】由题意，可得a iz i a i -=++2()()()a i i a i a i -=++-22(1)21a ai i a --=++22212(1)11a a i a a -=+-++ 22221(1)11a a i a a --=+++，有1a =，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的运算法则，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2.已知集合2{|2}U x x x =?，2{|log 2}A x x =?，则U C A = A. {|024}x x x ＃<或 B. {|204}x x x ??或C. {|012}x x x ＃<或D. {}24x x x ?或【答案】A 【解析】 【分析】由题意，求得{|20}U x x x=常或，进而根据补集的运算，即可得到答案.【详解】由题意，可得{|20}U x x x=常或，{|4}A x x =?，则{|024}A x x x È=＃<或ð，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的补集的运算，其中解答中正确求解全集U 和熟记集合的补集的运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为A.49169 B. 30169 C. 49289 D. 60289【答案】C 【解析】 【分析】首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率.【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为5+12(55)7-+=，最大正方形的边长为5+12=17，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：49289P =，故选C. 【点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题. 4.已知{}n a 为等差数列，若3562a a +=，则6103a a += A. 18 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】数列{}n a 为等差数列，由3562a a +=，可得166a d +=，进而又由610134(6)a a a d +=+，代入即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，且3562a a +=，可得111262(4)66a d a d a d ++=+?=， 则61011133(5)94(6)4624a a a d a d a d +=+++=+=?，故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，合理运算求解是解答的关键，体现了等差数列的基本量的运算问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5.如图，在ABC D 中，AD AB ^，2DC BD =，2AB =，则AC AB ×的值为A. -4B. -3C. -2D. -8 【答案】D 【解析】 【分析】由题意把AC 转化为AB 、BD 求解即可.【详解】因为AD AB ^，2DC BD =，2AB =， 所以AC AB ×()(3)AB BC ABAB BD AB =+?+?22343|cos 43|8AB BD AB AB BD ABD AB =+?-?-=-,故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，向量在向量方向上的投影，属于中档题. 6.已知函数()sin f x x x =-，则不等式2(1)(33)0f x f x -++>的解集是 A. (,4)(1,)-??? B. (,1)(4,)-??? C. (1,4)- D. (4,1)- 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据函数的解析式，求解函数()f x 是定义域上的单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为21(33)x x ->-+，进而借助一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数()sin f x x x =-，则()1cos 0f x x =-?¢，所以函数()f x 是定义域上的单调递增函数，又由()()sin()(sin )f x x x x x f x -=---=--=-，即函数()f x 定义域上的奇函数， 又由不等式2(1)(33)0f x f x -++>可转化为 2(1)(33)[(33)]f x f x f x ->-+=-+ 即21(33)x x ->-+，即2340x x --<，解得14x -<<， 即不等式的解集为(1,4)-，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的应用问题，其中解答中根据函数的解析式利用导数求得函数的单调性和奇偶性，把不等式转化为一元二次不等式2340x x --<是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 与点Q 在三视图上的对应点分别为A ，B ，则在该几何体表面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图可判断出P,Q 点的位置，然后利用侧面展开图求PQ 间距离，比较不同展开图得到的距离即可求解.【详解】由三视图可知该几何体为正四棱柱，底面边长为1，高为2，P,Q 位置如图：沿EF 展开，计算PQ =沿FM 展开，计算PQ ==因此点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为故选D.【点睛】本题主要考查了三视图，棱柱的侧面展开图，属于中档题.8.若将函数()sin(2)6f x x p=+的图像向左平移(0)j j >个单位，所得图像关于y 轴对称，则当j 最小时，函数1()cos(2)12g x x j =+-图像的一个对称中心的坐标是A. (,0)3p B. (,1)3p-- C. (,1)3p -D. (,1)3p- 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据函数的图象变换和三角函数的性质，求得6pj =，得出函数()g x 的解析式，由此可求解函数()g x 图象的一个对称中心的坐标，得到答案.【详解】由题意，将函数()sin(2)6f x x p =+的图像向左平移(0)j j >个单位，可函数的解析式为()sin[2()]sin(22)66h x x x p pj j =++=++，又由函数()h x 的图像关于y 轴对称，则(0)1h =?，即sin(2)16pj +=?， 解得2,62k k Z p p j p +=+?，当0k =时，6p j =， 此时函数1()cos()123g x x p =+-，令1,232x k k Z p p p +=+?，当0k =时，3x p =， 所以函数()g x 图象的一个对称中心的坐标是(,1)3p-，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换和三角函数的图象与性质，确定j 的值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1a ，且长为a 则三棱锥的体积的最大值为（ ）A.12 B. C. 6D. 【答案】A 【解析】如图所示，三棱锥A BCD -中，,1AD a BC AB AC BD CD =====，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将△BCD 看作底面，则当平面ABC ^平面BCD 时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h ，△BCD 是等腰直角三角形，则12BCDS=，综上可得，三棱锥的体积的最大值为1132212创=. 本题选择A 选项.点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，选择合适的底面是处理三棱锥体积问题的关键所在．10.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，O 为坐标原点.若OF FB =，则C 的渐近线方程为A. 3y x =?B. 2y x =?C. yD. y x =? 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可求得AF ，再分别求得OB ，根据勾股定理222OB OA AB =+，求得a 和b 的关系，即可求得双曲线的渐近线方程.【详解】由过点(,0)F c 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，双曲线的渐近线方程为by x a=?，则点(,0)F c 到渐近线的距离为d b =，即FA FD b ==，则,OA OD a AB b c ===+,又由OF FB =，所以OFB D 为等腰三角形，则D 为OB 的中点，所以2OB a =，在直角OAB D 中，则22222()OB OA AB a b c =+=++，即2224()a a b c =++， 整理得2220c bc b --=，解得2c b =， 又由222c a b =+，则2224a b b +=，即b a ，所以双曲线的渐近线方程为y x =?，故选 A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，结合图象，根据勾股定理合理列出关于,,a b c 的关系式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.11.已知函数ln ,0,()2,0,x x f x x x ì>ï=í+?ïî若存在实数1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，使123()()()f x f x f x ==，则12()x f x 的取值范围是A. [2,0]-B. [1,0]-C. 2[,0]3-D. 1[,0]2- 【答案】B 【解析】 【分析】由函数()f x 的图象，设123()()(),(0,2]f x f x f x m m ===?，且12(2,0],(0,1)x x ??，由1()f x m =，得12x m =-，进而得212()2,(0,2]x f x m m m =-?，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数ln ,0()2,0x x f x x x ì>ï=í+?ïî，可得函数()f x 的图象如图所示，又由存在实数1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，设123()()(),(0,2]f x f x f x m m ===?，且12(2,0],(0,1)x x ??， 则1()f x m =，即12x m +=，解得12x m =-， 所以2212()(2)2(1)1,(0,2]x f x m mm m m m =-?-=--?，当1m =时，12()x f x 取得最小值1-，当2m =时，12()x f x 取得最大值0，所以12()x f x 的取值范围是[1,0]-，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的性质的综合应用，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中作出函数()f x 的图象，化简得出212()2,(0,2]x f x m m m =-?，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.圆C 与直线2110x y +-=相切，且圆心C 的坐标为(2,2)，设点P 的坐标为0(1,)y -，若在圆C 上存在点Q ，使得30CPQ ??，则0y 的取值范围是A. 19[,]22-B. [1,5]-C. [2-D. [2-+【答案】C 【解析】 【分析】由题意点C 到直线2110x y +-=的距离，可求得圆C 的方程，又由存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，转化为30CPQ谐?，由此列出不等式，求得CP £.【详解】由题意点(2,2)C 到直线2110x y +-==可得圆C 的方程为22(2)(2)5x y -+-=. 若存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，30CPQ 谐?即可，可得sin sin 30CQ CPQ CP ?=嘲，得CP £.解得：022y -.【点睛】本题主要考查了直线与圆的综合应用问题，其中解答中求得圆的方程，把存在这样的点Q ，当PQ与圆C 相切时，转化为30CPQ谐?，列出不等式，求得CP £了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足条件2,22,1,y x x y x ì£ïï+?íï£ïî则z x y =-的最大值为__________．【答案】1 【解析】 【分析】作出可行域，根据线性规划知识求最优解即可. 【详解】作出可行域如图：作出直线0l ：y x =，平移直线0l ，当直线在y 轴上的截距最小时，Z 有最大值， 如图平移0l 过点(1,0)时，max 101Z =-=. 故填1.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，直线的截距，属于中档题. 14.已知02p a b <<<，且1cos tan sin b a b-=，则sin[2()]6p b a -+=__________．【答案】2- 【解析】 【分析】由题意，根据三角函数的基本关系式，化简得cos()cos b a a -=，进而2b a =，代入即可求解. 【详解】由题意有sin 1cos cos sin a ba b-=，得cos()cos b a a -=， 由02p b a <-<，02pa <<，有b a a -=，得2b a =，则sin[2()]sin()63p p b a -+=-=-.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式，合理化简，求得2b a =，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a =-，记13352121n n n T a a a a a a -+=++鬃鬃鬃+，则n T =__________． 【答案】11(1)1516n - 【解析】 【分析】由题意，根据数列的通项n a 和n S 的关系，求得112n n a a -=，再由等比数列的定义，得出数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，求得通项公式为12n n a =，利用等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意有111a a =-，得112a =，当2n ³时有1111n n n n S a S a --ì=-ïí=-ïî，两式做差得112n n a a -=，故数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，可得数列{}n a 的通项公式为12n n a =，所以222242n n T a a a =+++11(1)111616(1)1516116n n-==--. 【点睛】本题主要考查了等比数列中通项公式n a 与n S 关系，以及等比数列的定义和前n 项和公式的应用，其中解答中根据数列中通项公式n a 与n S 关系，以及等比数列的定义得出数列{}n a 的通项公式，再利用等比数列的求和公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16.已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-+，且(1)(1)()f x f x x R -=+?，当[0,1]x Î时，()21x f x =-，若曲线()y f x =与直线(1)y k x =-有5个交点，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】1111(,)(,)4664--? 【解析】 【分析】由题意，可得(1)(1)(1)f x f x f x +=-+=-知()f x 是周期为2的偶函数，利用()y f x =与(1)y k x =-的图像，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，可得(1)(1)f x f x +=-+，可得()(2)f x f x =+，所以()f x 是周期为2的周期函数，又由(1)(1)f x f x +=-+，则函数()f x 的图象关于1x =对称， 由当[0,1]x Î时，()21x f x =-，要使得()y f x =与直线(1)y k x =-有5个交点，即()y f x =与直线(1)y k x =-的图象由5个交点，作出函数()y f x =与直线(1)y k x =-的图象，如图所示，则当0k >时，(51)1(71)1k k ì?<ïí?>ïî，解得1164k <<，当当0k <时，(31)1(51)1k k ì?-<ïí?->ïî，解得1146k -<<-， 所以实数k 的取值范围是1111(,)(,)4664--?.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把得函数()y f x =与直线(1)y k x =-的交点，转化为()y f x =与直线(1)y k x =-的图象的交点，分别作出函数()y f x =与直线(1)y k x =-的图象，列出不等式组是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC D 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若22cos a b c A +=. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）已知ABC D 4b =，求边c 的长.【答案】（I ）23C p=；（II ）c 【解析】 【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得sin 2sin cos 0A A C +=，得到1cos 2C =-，即可求解C 的值；（Ⅱ）由ABC D 的面积为1sin 2ab C =1a =，再由余弦定理，即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）由正弦定理有sinA 2sinB 2sinCcosA +=，有()sinA 2sin A C 2sinCcosA ++=， 得sinA 2sinAcosC 0+=，由0A π<<，得sinA 0>，有1cosC 2=-，由0C π<<，得2πC 3=.（Ⅱ）ΔABC 的面积为1absinC 2=又b 4=，sinC ∴a 1=. 由余弦定理得：21c 116214212骣琪=+-创?=琪桫.∴c 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ^侧面11BB C C ，BC ，12AB BB ==，14BCC p?，点E 在棱1BB 上.（Ⅰ）求证：1C B ^平面ABC ；（Ⅱ）试确定点E 的位置，使得二面角1A C E C -- 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）点在的中点.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先根据余弦定理计算,在中满足勾股定理，,然后根据题设所给的平面,得到,这样就证明了线面垂直的条件；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，设1BE BB l =，这样设点的坐标，求平面和平面的法向量，根据求，确定点E 的位置.试题解析：解：（Ⅰ）证明：∵BC=，CC 1=BB 1=2，∠BCC 1=，在△BCC 1中，由余弦定理，可求得C 1B=，∴C 1B 2+BC 2=，即C 1B ⊥BC ．又AB ⊥侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1，又CB∩AB=B ，所以C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，BC 、BA 、BC 1两两垂直，以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则B （0，0，0），A （0，2，0），C （，0，0），C 1（0，0，），B 1（﹣，0，），∴=（0，2，﹣）， 设1BE BB l =，则=+λ=（0，0，﹣）+λ（﹣，0，）=（﹣λ，0，﹣+λ）设平面AC 1E 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），由110{m C A m C E??，得，令z=，取m =（，1，），又平面C 1EC 的一个法向量为=（0，1，0）所以cos ＜，＞=mn m n××==，解得λ=．所以当λ=时，二面角A ﹣C 1E ﹣C 的余弦值为．考点：1.空间向量的应用；2.线面垂直的证明.【方法点睛】主要考察了空间向量的应用，属于基础题型，利用空间向量求立体几何中的常见问题的解决方法，（1）证明垂直时，证明线线垂直，即证明直线的方向向量的数量积等于0，证明线面垂直，即证明直线与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，即数量积等于0，（2）求异面直线所成角，先求异面直线的方向向量，代入公式，（3）求线面角，先求直线的方向向量和平面的法向量，代入公式，（4）求二面角，先求两个平面的法向量，根据公式，根据二面角的大小确定二面角或.19.某县大润发超市为了惠顾新老顾客，决定在2019年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该县某高中学生征集活动方案.该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个444创的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为x ，记抽奖中奖的礼金为h .（Ⅰ）求(3)P x =；（Ⅱ）凡是元旦当天在超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼金的分布列与数学期望. 【答案】（I ）2063；（II ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意，可知64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.（Ⅱ）由题意，随机变量x 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6，h 的取值为50，30，10，0，分别求解相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】解：（Ⅰ）64个小正方体中，三面着色的有8个，二面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，∴()1111882424264C C C C P ξ3C ??== 64020201663==. （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0，()()P η50P ξ6=== 28264C 281C 201672===()()P η30P ξ5=== 11824264C C 1922C 201621×=== ()()P η10P ξ4=== 21124824264C C C 46813C 201656+?===()121383P η01722156126==---=.∴()28E η502016=?19246813283703010020162016201663???. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点(1,2-在椭圆C 上，过原点O 的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，且4MF NF +=. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设(1,0)P ，(4,0)Q ，过点Q 且斜率不为零的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，证明：APOBPQ ??.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取椭圆C 的左焦点'F ，连'MF 、'NF ，由椭圆的几何性质知'NF MF =，则'24M F M Fa +==，设椭圆方程代入点骣琪-琪桫即可求解（Ⅱ）设点A 的坐标为()11,x y ，点B 的坐标为()22,x y ，直线AB 的方程为：()()40y k x k =-?，联立方程组,消元得()222241326440kx k x k +-+-=，写出AP 的斜率，同理得直线BP 的斜率，利用根与系数的关系化简即可得出结论.【详解】（Ⅰ）如图，取椭圆C 的左焦点'F ，连'MF 、'NF ，由椭圆的几何性质知'NF MF =，则'24MF MF a +==，得2a =，将点骣琪-琪桫代入椭圆C 的方程得：221314a b +=，解得：1b = 故椭圆C 的方程为：2214x y +=.（Ⅱ）设点A 的坐标为()11,x y ，点B 的坐标为()22,x y 由图可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：()()40y k x k =-?联立方程()22144x y y k x ìï+=ïíï=-ïî，消去y 得：()222241326440k x k x k +-+-=， ()()()2222324416440k k k D=-+->，2112k <. 有21222122324164441k x x k k x x k ìï+=ï+íï-=ï+î直线AP 的斜率为：()1111411k x y x x -=--. 同理直线BP 的斜率为：()2241k x x --.由()()12124411k x k x x x --+-- ()()()()()()122112414111k x x k x x x x --+--=-- ()()121212122581k x x x x x x x x 轾-++臌==-++222222221288160841416443214141k kk k k k k k k 骣-琪-+琪++桫--+++ ()22222212881603286443241k k k k k k k --++=--++ ()222160816080363k k k k --+==-. 由上得直线AP 与BP 的斜率互为相反数，可得APO BPQ ??.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率，属于难题.21.已知函数21()ln (0)2f x ax x x a =-->. （Ⅰ）当34a =时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】（I ）1ln 22--；（II ）详见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）当34a =时，23()ln 8f x x x x =--，求得(32)(2)()4x x f x x+-¢=，得出函数的单调性，即可求解函数的极小值.（Ⅱ）当0a >，方程210(*)ax x --=的140a D=+>，则方程有两个不相等的实数根，记为1x ，212()x x x <，得函数()f x 的减区间为2(0,)x ，增区间为2(,)x +?，求得函数的最小值，没有零点；当2a =时，函数()f x 仅有一个零点为1x =；当02a <<时，得函数()h x 的增区间为(1,)+?，减区间为(0,1)，求得min ()(1)0h x h ==，由此时函数()f x 有两个零点，即可得到答案. 【详解】解：（Ⅰ）当3a 4=时，()23f x x x lnx 8=-- ()2313x 4x 4f x x 14x 4x--=--=¢ ()()3x 2x 24x+-=，令()f x 0¢>可得x 2>. 故函数()f x 的增区间为()2,¥+，减区间为()0,2故当x 2=时，函数()f x 的最小值为()1f 2ln22=--. （Ⅱ）由()21ax x 1f x ax 1x x=¢--=-- ∵a 0>，方程()2ax x 10*--=的Δ14a 0=+>，则方程()*有两个不相等的实数根，记为1x ，212x (x x )<，则222ax x 1=+，12121x x a 1x x 0a ì+=ïïíï=-<ïî，有12x 0x <<，故函数()f x 的减区间为()20,x ，增区间为()2x ,¥+，有()()2minf xf x = 22221ax x lnx 2=-- ()2221x 1x lnx 2=+-- 2211x lnx 22=--+ 当2x 1=时，()211f x ln1022=--+=，又函数2211y x lnx 22=--+单调递减， （1）当()2f x 0>时，20x 1<<，此时22211a 112x x =+>+=，函数()f x 没有零点； （2）当a 2=时，函数()f x 仅有一个零点为x 1=； （3）当0a 2<<时，有()2f x 0<，21a 1f 10e 2e e骣琪=-+>琪桫由12121x x a 1x x 0a ì+=ïïíï=-<ïî，有2111x a 2e >>>令()h x x 1lnx =--，有()1x 1h x 1x x¢-=-=，故函数()h x 的增区间为()1,¥+，减区间为()0,1，由()()minh xh 10==，可得不等式lnx 1x -?（当且仅当x 1=时取等号）成立故有当24x max x ,a禳镲>睚镲铪时，()21f x ax x lnx 2=-- 21ax x 1x 2?+- 2114ax 2x ax x 022a 骣琪>-=->琪桫， 则此时函数()f x 有两个零点.由上知a 2=时，函数()f x 有一个零点；当0a 2<<时，函数()f x 有两个零点； 当a 2>时函数()f x 没有零点.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y q q ì=ïí=ïî（q为参数），直线l 的参数方程为 1(1)1x a t y atì=+-ïí=+ïî（t 为参数）（Ⅰ）若32a =，求曲线C 与直线l 的交点坐标； （Ⅱ）求直线l 所过定点P 的坐标，并求曲线C 上任一点Q 到点P 的距离的最大值和最小值. 【答案】（1）(0,2)-与68(,)55；（2）max 2d =min 2d =-.【解析】 【分析】（Ⅰ）求出曲线C 和直线l 的普通方程,联立解方程组即可求出交点坐标（Ⅱ）直线l 所过定点P 的坐标为()1,1，曲线C 上任一点Q 到P 的距离利用两点间距离公式写出，利用三角函数值域的有界性求距离的最值即可.【详解】（Ⅰ）曲线C 的普通方程为224x y +=，当32a =时，直线l 的普通方程为：32y x =- 联立22432x y y x ì+=ïí=-ïî，解得：02x y ì=ïí=-ïî或6585x y ì=ïïíï=ïî，曲线C 与l 的交点为()0,2-与68,55骣琪琪桫. （Ⅱ）当0t =时，1x =，1y =，则直线l 过定点P 的坐标为()1,1， 故曲线C 上任一点Q 到点P 的距离为：d=由1sin 14pq 骣琪-??琪桫，故max 2d =min 2d =-【点睛】本题主要考查了由参数方程化普通方程，直线系的定点，两点间的距离，属于中档题. 23.已知函数()224f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式：()34f x x ?+；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，求11m n+的最小值. 【答案】（1）1{|}2x x ?；（2）1. 【解析】 【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值()24f -=，则4m n +=，0m >，0n >，根据()111114m n m n m n 骣琪+=++琪桫，利用均值不等式求最值即可. 【详解】（Ⅰ）()224f x x x =-++ 32,26,2232,2x x x x x x ì--<-ïï=+-＃íï+>ïî可得当2x <-时，3234x x --?+，即24-?，所以无解； 当22x-＃时，634x x +?+，得12x ?，可得122x -＃；当2x >时，3234x x +?+，得13x ³，可得2x >. ∴不等式的解集为1{|}2x x ?. （Ⅱ）根据函数()32,26,2232,2x x f x x x x x ì--<-ïï=+-＃íï+>ïî可知当2x =-时，函数取得最小值()24f -=，可知4a =， ∵4m n +=，0m >，0n >， ∴()111114m n m n m n 骣琪+=++琪桫()111122144n m m n 骣琪=+++?=琪桫. 当且仅当n mm n=，即2m n ==时，取“=”. ∴11m n+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题.。

安徽省“八校联考”2019届高三数学（理科）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．请在答题卡上答题.）1.设集合，则（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】，则故选B2.已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是A. -1+iB. 1+iC. 1-2iD. 1-i【答案】B【解析】【分析】将变形，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，由共轭复数的定义可得结果.【详解】因为，，，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.“”是“直线的倾斜角大于”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，则.若，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或，即或，所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.4.已知，则( )A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和的正弦公式与两角差的余弦公式化简等式可得，利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数的关系可得结果.【详解】由，可得，，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．5.若是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】选项A中，与的关系是或，故A不正确．选项B中，与的关系是或与相交但不垂直或．故B不正确．选项C中，与之间的关系是或相交．故C不正确．选项D中，由线面平行的性质可得正确．选D．6.下列命题正确的个数是（）已知点在圆外，则直线与圆没有公共点．命题“”的否定是“” ．已知随机变量服从正态分布，，则．实数满足约束条件，则目标函数的最小值为1．A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系判断；由特称命题的否定判断；由正态分布的对称性判断；由特值法判断.【详解】在圆外，，圆心到直线的距离为，即，直线与圆有公共点，不正确；特称命题“”的否定是全称命题，“” ,不正确；服从正态分布，，，由正态分布的对称性可得, 正确；取满足约束条件，而目标函数，不正确，故选A.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查直线与圆的位置关系、特称命题的否定、正态分布的性质以及线性规划的应用，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.7.函数的图象大致为（）【答案】D【解析】试题分析：函数的定义域为．求导，令可得，结合定义域可知令可得，即函数在上单调递减，在上单调递增，由图可知选D．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．函数的图像．【方法点睛】求函数的单调区间的方法：（1）求导数；（2）解方程；（3）使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间．由此再结合函数的图像即可判断出结果．8.等比数列的首项，前项和为，若，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由的首项，前项和为，，求出，可得，再求数列前10项和．【详解】∵的首项，前项和为，，解得故数列的前项和为故选A.【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数，根据表示不超过的最大整数，可得结果.【详解】函数，当时，；当时，；当时，，函数的值域是，故选D.【点睛】本题考查指数的运算、函数的值域以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.10.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积的数值之比为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三视图画出几何体的直观图，将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求解外接球的半径，即可求解结果.【详解】由三视图可知该几何体如图中的三棱锥,,三棱锥的外接球就是图中长方体的外接球，所以三棱锥外接球的直径,从而,于是，外接球的表面积为,所以该几何体的体积与外接球的表面积之比为,故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11.已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点和另一个点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，利用抛物线的性质，双曲线的渐近线，直线平行的性质、圆的性质、联立方程组，建立的关系即可得到结论.【详解】如图，设抛物线的准线为，作于，双曲线的右焦点为，由题意可知为圆的直径，设，则，且，满足，将①代入②得，则，即或（舍去），将代入③，得，即，再将代入①得，，即，，解得，所以该双曲线的离心率是，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、圆的性质、双曲线的方程与性质以及离心率的求解，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．12.已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先，由表示点与点连线斜率，然后得到函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1 ,从而得到在内恒成立，分离参数后,转化成在内恒成立，从而求解得到的取值范围.【详解】的几何意义，表示点与点连线斜率，实数在区间内，故和在内，不等式恒成立，函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1 ,故函数的导数大于1在内恒成立，在内恒成立，由函数的定义域知，，所以在内恒成立，由于二次函数在上是单调递增函数，故时，在上取最大值为，，，故选C.【点睛】本题主要考查导数在研究函数性质中的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中，解答本题的关键是将不等式问题转化为斜率问题，再转化为不等式恒成立问题.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请在答题卡上答题.）13.一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：, ，, ，，从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是 __________．【答案】【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6张卡片中抽取2张，共有种结果，满足条件的事件是相乘得到奇函数，共有种结果，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，由函数的奇偶性可得函数, ，为奇函数；函数，为偶函数；为非奇非偶函数，试验发生包含的事件是从6张卡片中抽取2张，共有种结果,事件为“任取两张卡片，将卡片上的函数相乘得到的函数是奇函数”，因为一个奇函数与一个偶函数相乘得到的函数是奇函数，满足条件的事件相乘得到奇函数,共有种结果，，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.14.二项式的展开式中的系数为，则________．【答案】【解析】【分析】先利用二项式定理的展开式可得的值,再利用微积分基本定理即可得结果.【详解】二项式的展开式中通项公式：,令 ,则，的系数为,，解得，则，故答案为.【点睛】本题主要考查二项式定理与微积分基本定理的应用，属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15.在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边交于，若，，则的最小值是________．【答案】【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用与共线，求出与的表达式再利用基本不等式求出的最小值即可.【详解】中，为边的中点，为的中点，且，，，同理，，又与共线，存在实数，使，即，，解得，，当且仅当时，“=”成立，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及基本不等式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．16.不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】令,原不等式等价于，对，；对，，，进而可得结果.【详解】令，则原函数化为，即，由，及知，，即，当时（1）总成立，对，；对，，从而可知，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数与二次函数的性质以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若等差数列的公差不为零，，且、、成等比数列，求的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由根据正弦定理可得，由余弦定理可得，从而可得结果；（2）由（1）可得，再由、、成等比数列，列方程求得公差，从而得，则，利用裂项相消法可得结果.【详解】（1）由得，所以又（2）设的公差为，由（1）得，且，∴．又，∴，∴．∴∴【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，在空间四面体中，⊥平面,,且．（1）证明:平面⊥平面；（2）求四面体体积的最大值，并求此时二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）,【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可得面，从而可得结果；（2）设，则，由棱锥的体积公式求得棱锥的体积，利用导数可得体积的最大值；以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】（1），故即又由、得故有平面⊥平面（2）设，则四面体的体积，故在单增，在单减易知时四面体的体积最大，且最大值是以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系则设平面的法向量为则由取，得平面的一个法向量为同理可得平面的一个法向量由于是锐二面角，故所求二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查证明面面垂直以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.2018年7月24日，长春长生生物科技有限责任公司先被查出狂犬病疫苗生产记录造假，后又被测出百白破疫苗“效价测定”项不符合规定, 由此引发的疫苗事件牵动了无数中国人的心．疫苗直接用于健康人群，尤其是新生儿和青少年,与人民的健康联系紧密．因此，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为．（1）求2×2列联表中的数据的值；（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？（3）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取三只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为，求的分布列和数学期望．附：，n＝a＋b＋c＋d.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为，根据古典概型概率公式列方程可求得，进而可求得的值；（2）利用求得，与邻界值比较，即可得到结论；（3）的可能取值为结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.【详解】（1）设“从所有试验小白鼠中任取一只，取到‘注射疫苗’小白鼠”为事件A，由已知得，所以（2）所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.（3）由已知的取值为的分布列为数学期望【点睛】本题主要考查独立性检验的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上的一个动点，面积的最大值是．（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上不重合的四点，与相交于点，，且，求此时直线的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据离心率，面积的最大值是，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得结果；（2）直线与曲线联立，根据韦达定理，弦长公式将用表示，解方程可得的值,即可得结果.【详解】（1）由题意知，当点是椭圆上、下顶点时，面积取得最大值此时，是，又解得，所求椭圆的方程为（2）由（1）知，由得，①当直线与有一条直线的斜率不存在时，，不合题意②当直线的斜率为（存在且不为0）时，其方程为由消去得设则所以直线的方程为，同理可得由,解得故所求直线的方程为【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.21.已知函数（1）若曲线在点处的切线方程是，求实数的值；（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出,求出的值，可得切线斜率，利用曲线在点处的切线方程是列方程可求得；（2）恒成立，可化为，设，则在是减函数，即在上恒成立，等价于对任意恒成立，求出最大值即可得结果.【详解】（1）因为，所以因曲线在点处的切线方程是，又切点为，得所以（2），，所以时，恒成立故函数在上单调递增不妨设，则可化为设则，即在是减函数即在上恒成立，等价于在上恒成立即对任意恒成立由于在是增函数，故最大值是故即实数的取值范围是【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线关于极点对称.（1）以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线的极坐标方程;（2）设为曲线上一动点,记到直线与直线的距离分别为,求+的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】⑴建立极坐标系，求出曲线极坐标方程⑵运用极坐标进行计算，求出结果【详解】（1）设是曲线上任意一点,则关于原点的对称点在曲线上，且，将代入得，则，即曲线的极坐标方程为。

皖南八校 2019 届高三摸底联考数学试题（理）届高三摸底联考数 学 试 题（理）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150 分，考试时间120 分钟。

2．答题前，考生务必定密封线内项目填写清楚。

3．请将各卷答案填在答题卡上。

必定在题号所指示的答题地域作答，超出答题地域书．．．．．．．写的答案无效，在试题卷、稿本纸上答题无效。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第Ⅰ卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1．已知复数 z 的实部为－ 1，虚部为 2，则 5i 等于（）zA ． 2 iB ． 2 iC ．2 iD ． 2 i2．若全集为 实数集 R ， Mx log 1x 2 ，则M 等于（ ）3A ． (,0] 1)B ． ( 1)( ,,99 C ． (,0] [ 1,)D ． [ 1,)993．若动点 P 到定点 F （1，－ 1）的距离与到直线 l : x 1 0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线1 1 D ．直线4．设向量 a (1,0,0 ）， b (（ ）, ,0) ，则以下结论中正确的选项是2 2A ． a bB ． a b 22． a b 与 b 垂直 ． a ∥bCD 5．右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 （ ）6． 一位运 的心 跳 了8 次，获取以下表所示的数据：次数1 2 3 4 56 7 8数据 a i （次 / 分 ）39404242434546 47上述数据的 剖析中，一部分 算 如右 所示的程序框 （其中 a 是 8 个数据的平均数）， 出的的 是（ ）A ． 6B ．7C ． 8D ． 567． l , m 是两条不同样样的直 ， a 是一个平面， 以下命 正确的是 （）A ．若 l m, m a, 则 l aB ．若 la, m a,则 lmC ．若 l ∥ a ， l ∥ m,m ∥ aD ．若 l ∥ a ， m ∥ a ， l ∥ m8．古希腊出名的 达哥拉斯学派把 1、 3、610⋯⋯的数称 “三角形数”，而把 1、 4、 9、 16⋯⋯ 的数称 “正方形数”。

考试时间：2018年12月20日星期四“皖南八校”高中2019届毕业班第二次联考数学（理科）1. 选择题：60分。

1.i 为虚数单位,a ∈R ，若z=a-i a+i+i 为实数，则实数a= 5. -1 B.-12C.1D.2 2.已知集合U ={x|x 2≥2x },A={x|log 2x ≥2},则C U A=A.{x|x ≤0或2≤x ＜4}B.{x|x ≤-2或0≤x ＜4}C.{x|x ≤0或1≤x ＜2}D.{x|x ≤-2或x ＞4}3.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(图1),图2是由弦 图变化得到,它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成。

现随机的向图2中大正方形内 部去投掷一枚飞镖,若直角三角形的直角边长分别为5和12,则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率为A.49169B.30169C.49289D.602894.已知{an}为等差数列,若a 3+6=2a 5,则3a 6+a 10=A.18B.24C.30D.325.如图,在三角形ABC 中,AD ⊥AB,BD DC 2=2=,则AB AC ∙的值为A.-4B.-3C.-2D.-86.已知函数x x x f sin )(-=,则不等式0)33()1(2＞++-x f x f 的解集是A.),1()4,(+∞--∞B.),4()1,(+∞--∞C.)4,1(-D.)1,4(-7.某几何体的三视图如图所示,该几何体表面上的点P 与点Q 在三视图上的对应点分别为A,B,则该几何体表面上,从点P 到点Q 的路径中,最短路径的长度为 A.14 B.2 3 C.10 D.2 28.若将函数)62sin()(π+=x x f 的图像向左平移ϕ(ϕ＞0)个单位,所得图像关于y 轴对称,则当ϕ最小时,函数1)221cos()(-+=ϕx x g 图像的一个对称中心的坐标是 A.(π3,0) B.(—π3,—1) C.(—π3,1) D.(π3,—1) 9.已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1,2,a,且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线, 则三棱锥的体积的最大值为 A.212 B.312 C.26 D.3610.已知F 为双曲线C:)0,0(12222＞＞b a by a x =-的右焦点,过点F 向C 的一条渐近线引垂线,垂足为A,交另 一条渐近线于点B,O 为坐标原点.若|OF|=|FB|,则C 的渐近线方程为A.y =±33x B.y =±2x C.y =±3x D.y =±x 11.已知函数⎩⎨⎧≤+=0,20,ln )(x x x x x f ＞,若存在实数321,,x x x ,且321x x x ＜＜,使)()()(321x f x f x f ==,则x 1f (x的取值范围是A.[-2,0]B.[-1,0]C.[—23,0]D.[—12,0] 12.圆C 与直线0112=-+y x 相切,且圆心C 的坐标为(2,2),设点P 的坐标为(-1,y 0),若在圆C 上存在点Q,使得︒=∠30CPQ ,则0y 的取值范围是A.[—12,92]B.[-1,5]C.[2-11,2+11]D.[2-23,2+23] 二、填空题：20分。

“皖南八校”2019届高三第二次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，，则，故选 D.2. 已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】化简，由是纯虚数可得，解得，故选A.3. 已知向量满足，，，则A. B. 3 C. 5 D. 9【答案】B【解析】因为，所以，故选B.........................4. 已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，故选 A.5. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得图象的一条对称轴的方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍可得的图象，再向左平移个单位，所得的图象，由，，时图象的一条对称轴的方程是，故选 C.6. 函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得函数，为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项；又由可排除选项，故选 C.7. 若，展开式中，的系数为-20，则等于A. -1B.C. -2D.【答案】A【解析】由，可得将选项中的数值代入验证可得，符合题意，故选 A.8. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 28B. 36C. 68D. 196【答案】D【解析】执行程序框图，；；；，退出循环，输出，故选 D.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 榫卯（）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积，表面积，故选 C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若在直线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】因为直线上存在点使线段的中垂线过点，所以，根据种垂涎的性质以及直角三角形的性质可得，，，又因为，椭圆离心率的取值范围是，故选 B.11. 已知，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，令，则原式化为，解得舍去），故，则，即，即，，解得或，则，故选 D.12. 已知函数若关于的方程至少有两个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，关于的方程至少有两个不同的实数解等价于，至少有两个不同的实数解，即函数的图象与直线至少有两个交点，作出函数的图象如图所示，直线过定点，故可以寻找出临界状态下虚线所示，联立，故，即，令，解得，，故，结合图象知，实数的取值范围为，故选 A. 【方法点睛】已知函数有零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题：本小题4小题，每小题5分，共20分.13. 在1，2，3，4，5，6，7，8中任取三个不同的数，取到3的概率为_________．【答案】【解析】在、中任取三个不同的数，共有种取法，其中一定取到的方法有种，在、中任取三个不同的数取到的概率为，故答案为.14. 已知的面积为，角的对边分别为，若，，，则___________．【答案】【解析】，，，可得，所以得，由余弦定理可得，，故答案为.15. 已知函数是偶函数，定义域为，且时，，则曲线在点处的切线方程为____________．【答案】【解析】曲线在点处的切线方程为，又是偶函数，曲线在点处的切线方程与曲线在点处的切线方程故意轴对称，为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性以及利用导数求曲线切线题，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.16. 已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为四边形，则线段长的取值范围为__________ ．【答案】【解析】依题意，正方体的棱长为，如图所示，当点线段的中点时，由题意可知，截面为四边形，从而当时，截面为四边形，当时，平面与平面也有交线，故截面为五边形，平面截正方体所得的截面为四边形，线段的取值范围为，故答案为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知是等比数列，满足，且.（Ⅰ）求的通项公式和前项和；（Ⅱ）求的通项公式.【答案】(Ⅰ）；(Ⅱ）.【解析】试题分析：（I）由，令可解得，，从而可得的通项公式和前项和；（II）结合（I）的结论，可得，从而得时，，两式相减、化简即可得的通项公式.试题解析：（Ⅰ），，，，，，是等比数列，，的通项公式为，的前项和.（Ⅱ）由及得，时，，，，，的通项公式为.，18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：（Ⅰ)以频率估计概率，若在该地区任取3位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在300M∽400M之间，求的期望；（Ⅱ）求被抽查的居民使用流量的平均值；（Ⅲ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣1折2折3折4折5折销售份数50 85 115 140 160试建立关于的的回归方程.附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，【答案】(Ⅰ)0.75；(Ⅱ)369M；(Ⅲ）.【解析】试题分析：（I）直接根据二项分布的期望公式求解即可；（II）根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值；(Ⅲ)先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式求出，样本中心点坐标代入回归方程可得，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）依题意，∽，故；（Ⅱ）依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为；（Ⅲ)由题意可知，，，所以，关于的回归方程为： .【方法点晴】本题主要考查二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点（靠近点），与的延长线交于点，连接.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（I）由线面垂直的性质可得，由矩形的性质可得，从而由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（II）以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得夹角余弦值，利用同角三角函数之间的关系可得正切值.试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面，所以又因为底面是矩形，所以又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（Ⅱ)解：方法一：（几何法)过点作，垂足为点，连接.不妨设，则.因为平面，所以.又因为底面是矩形，所以.又因为，所以平面，所以A.又因为，所以平面，所以所以就是二面角的平面角.在中，由勾股定理得，由等面积法，得，又由平行线分线段成比例定理，得.所以.所以.所以.所以二面角的正切值为.方法二：（向量法）以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，则由（Ⅱ）可得，.又由平行线分线段成比例定理，得，所以，所以.所以点，，.则，.设平面的法向量为，则由得得令，得平面的一个法向量为；又易知平面的一个法向量为；设二面角的大小为，则.所以.所以二面角的正切值为.【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，当点的纵坐标为1时，.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若抛物线上存在点，使得，求直线的方程.【答案】(Ⅰ）；(Ⅱ）.【解析】试题分析：（I）利用拋物线的定义,结合即可得，，从而抛物线的方程为；（II）方程为，由得，令，，,利用韦达定理及,建立关于的方程,解方程即可求直线的方程.试题解析：（Ⅰ）的准线方程为，当点纵坐标为1时，，，势物线的方程为.（Ⅱ）在上，，又,设方程为，由得，令，，则，，，，,，或0，当时，过点（舍），，方程为.21. 已知函数.（Ⅰ）若，证明：函数在上单调递减；（Ⅱ）是否存在实数，使得函数在内存在两个极值点？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据：，）【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ）.【解析】试题分析：（I）；求导得，只需利用导数研究函数的单调性，求出最大值，从而证明即可得结论；（II）讨论时，时两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，排除不合题意的情况，从而可得使得函数在内存在两个极值点的实数的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是.※精品试卷※求导得.设，则与同号.所以，若，则对任意恒成立.所以函数在上单调递减.又，所以当时，满足.即当时，满足.所以函数在上单调递减.（Ⅱ）①当时，函数在上单调递减.由，又，时，，取，则，所以一定存在某个实数，使得.故在上，；在上，.即在上，；在上，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.此时函数只有1个极值点，不合题意，舍去；②当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.故函数的单调情况如下表：0 ＋极小值要使函数在内存在两个极值点，则需满足，即，解得又，，所以.此时，，又，；综上，存在实数，使得函数在内存在两个极值点.选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)3.【解析】试题分析：（I）利用代入法消去参数，将直线的参数方程化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，再利用互化公式可得到直线的极坐标方程；（II）将直线的极坐标方程代入曲线的极坐标方程,可得关于的一元二次方程,然后根据韦达定理以及极径的几何意义,可以得到的值.试题解析：（Ⅰ）由得，的极坐标方程为即，.（Ⅱ）由得，设，，则，.23. 已知函数.（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ）；(Ⅱ）.【解析】试题分析：（I）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得不等式的解集；（II）利用基本不等式求得的最小值为，不等式对任意恒成立，等价于，平方后利用一元二次不等式的解法求解即可求得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）时，，由得，不等式的解集为.（Ⅱ）对成立，又对成立，，，即.。

安徽省皖南八校届高三〔上〕12月联考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕等于〔〕A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用两个复数代数形式的乘除法法那么，运算求得结果．解答：解：=﹣2i=1+i﹣2i=1﹣i，应选C．点评：此题主要考查两个复数代数形式的乘除法，属于根底题．2．〔5分〕集合A={1，2，3，4，5}，B={〔x，y〕|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，那么集合B中的元素个数为〔〕A．2B．3C．4D．5考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：通过集合B，利用x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A，求出x的不同值，对应y的值的个数，求出集合B中元素的个数．解答：解：因为集合A={1，2，3，4，5}，B={〔x，y〕|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，当x=1时，y=2或y=3或y=4；当x=2时y=3；所以集合B中的元素个数为4．应选C．点评：此题考查集合的元素与集合的关系，考查根本知识的应用．3．〔5分〕各项均为正数的等差数列{a n}中，a2•a12=49，那么a7的最小值为〔〕A．7B．8C．9D．10考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件可得得 a7=，再利用根本不等式a7的最小值．解答：解：由等差数列的性质可得 a7=，∵等差数列{a n}中，各项均为正数，a2•a12=49，∴≥=7，当且仅当 a2 =a12 时，等号成立，故那么a7的最小值为 7，应选A．点评：此题主要考查等差数列的性质应用，根本不等式的应用，属于中档题．4．〔5分〕某8个数的平均数为5，方差为2，现又参加一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为S2，那么〔〕A．B．C．D．考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解．解答：解：∵某8个数的平均数为5，方差为2，现又参加一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为S2，∴==5，=，应选A．点评：此题考查平均数和方差的计算公式的应用，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．5．〔5分〕〔•东城区一模〕命题：“假设x⊥y，y∥z，那么x⊥z〞成立，那么字母x，y，z 在空间所表示的几何图形不能〔〕A．都是直线B．都是平面C．x，y是直线，z是平面D．x，z是平面，y是直线考平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．点：分析：此题考查的知识点是空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置判断，我们可根据空间中点、线、面之间的位置关系判定或性质定理对四个答案逐一进行分析，即可得到答案．解答：解：假设字母x，y，z在空间所表示的几何图形都是直线，那么由线线夹角的定义，我们易得两条平行线与第三条直线所成夹角相等，故A不满足题意．假设字母x，y，z在空间所表示的几何图形都是平面那么由面面夹角的定义，我们易得两个平行平面与第三个平面所成夹角相等，故B不满足题意．假设字母x，y，z在空间所表示的几何图形x，y是直线，z是平面假设x⊥y，y∥z，时，x也可能与z平行，故C满足题意．假设字母x，y，z在空间所表示的几何图形x，z是平面，y是直线那么由面面垂直的判定定理易得结论正确故D不满足题意．点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由想性质，由求证想判定〞，也就是说，根据条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．6．〔5分〕“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，那么含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为〔〕A．18 B．24 C．27 D．36考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：分类讨论，满足题意的四位数，1、2开头的四位数各6个，即可得到结论．解答：解：由题意，1开头的四位数，其中2个1有6个，2个2有3个；2开头的四位数，其中2个2有6个，2个1有3个，故满足题意的四位数的个数为9+9=18个应选A．点评：此题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于根底题．7．〔5分〕〔•武汉模拟〕执行如以以下图的程序框图，假设输出的结果是9，那么判断框内m的取值范围是〔〕A．〔42，56] B．〔56，72] C．〔72，90] D．〔42，90〕考点：循环结构．专题：阅读型．分析：由中该程序的功能是计算2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为9，即S=72，由此易给出判断框内m的取值范围．解答：解：∵该程序的功能是计算 2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，最后一次进入循环的终值为9，第1次循环：S=0+2=2 k=1+1=2第2次循环：S=2+4=6 k=2+1=3第3次循环：S=6+6=12 k=3+1=4第4次循环：S=12+8=20 k=4+1=5…第7次循环：S=42+14=56 k=7+1=8第8次循环：S=56+16=72 k=8+1=9退出循环．此时S=72，不满足条件，跳出循环，输出k=9 那么判断框内m的取值范围是m∈〔56，72]．应选B．点评：此题主要考查了循环结构，是算法中重要的一种题型，同时考查了分析问题的能力，属于根底题．8．〔5分〕设命题p：〔x，y，k∈R，且k＞0〕命题q：〔x﹣3〕2+y2≤25〔x，y∈R〕，假设P是q的充分不必要条件，那么k的取值范围是〔〕A．〔0，3] B．〔0，6] C．〔0，5] D．[1，6]考简单线性规划；必要条件、充分条件与充要条件的判断．点：专题：计算题．分析：命题p：命题q：〔x﹣3〕2+y2≤25〔x，y∈R〕，p是q的充分不必要条件可得p⇒q，说明p所表示的区域在q所表示的区域内部，画出p和q的可行域，利用数形结合的方法进行求解；解答：解：由题意可得，p是q的充分不必要条件，可得p⇒q，说明p所表示的区域在q所表示的区域内部，数形结合，画出p和q的区域范围，如以以以下图：B〔k，4﹣〕，可知只需满足条件：∴，解得0＜k≤6；应选B；点评：此题主要考查线性规划问题，解题的过程中用到了数形结合的方法，解决此题的关键是能够正确画出可行域，此题是一道中档题；9．〔5分〕过双曲线的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线与A，B两点，假设，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用向量的线性运算及数量积运算，可得∠BOF=∠AOB=∠AOx=60°，由此可求双曲线的离心率．解答：解：∵，∴，∴∵，∴B为FA的中点∴∠BOF=∠AOB=∠AOx=60°∴∴双曲线的离心率为e==2．应选C点评：此题考查双曲线的离心率，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于根底题．10．〔5分〕函数f〔x〕=1+x﹣，设F〔x〕=f〔x+4〕，且函数F〔x〕的零点均在区间[a，b]〔a＜b，a，b∈Z〕内，圆x2+y2=b﹣a的面积的最小值是〔〕A．πB．2πC．3πD．4π考点：圆的标准方程；函数的零点．专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．分析：利用导数研究函数f〔x〕的单调性，得函数f〔x〕是R上的增函数．再用零点存在性定理，得f〔x〕在R上有唯一零点x0∈〔﹣1，0〕，结合函数图象的平移知识可得数F〔x〕的零点必在区间〔﹣5，﹣4〕．由此不难得到b﹣a的最小值，进而得到所求圆面积的最小值．解答：解：∵f〔x〕=1+x﹣，∴当x＜﹣1或x＞﹣1时，f'〔x〕=1﹣x+x2﹣x3+…+x=＞0．而当x=﹣1时，f'〔x〕=＞0∴f'〔x〕＞0对任意x∈R恒成立，得函数f〔x〕是〔﹣∞，+∞〕上的增函数∵f〔﹣1〕=〔1﹣1〕+〔﹣﹣〕+…+〔﹣﹣〕＜0，f〔0〕=1＞0 ∴函数f〔x〕在R上有唯一零点x0∈〔﹣1，0〕∵F〔x〕=f〔x+4〕，得函数F〔x〕的零点是x0﹣4∈〔﹣5，﹣4〕∴a≤﹣5且b≥﹣4，得b﹣a的最小值为﹣4﹣〔﹣5〕=1∵圆x2+y2=b﹣a的圆心为原点，半径r=∴圆x2+y2=b﹣a的面积为πr2=π〔b﹣a〕≤π，可得面积的最小值为π应选：A点评：此题给出关于x的多项式函数，求函数零点所在的区间长度的最小值．着重考查了函数的零点、圆的标准方程和利用导数研究函数的性质等知识点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填在答题卷中的横线上. 11．〔5分〕展开式中不含x3项的系数的和为0 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：把x=1代入可得所有项的系数的和，由二项式定理可得含X3项的系数为1，两个系数的差即为所求．解答：解：把x=1代入可得展开式中所有项的系数的和为〔1﹣2〕6=1，而含X3项为：=x3，即x3系数为1，故展开式中不含X3项的系数的和为：1﹣1=0，故答案为：0点评：此题考查二项式系数的性质，赋值是解决问题的关键，属根底题．12．〔5分〕〔•东莞二模〕某个几何体的三视图如以以下图，那么这个几何体的体积是 6 ．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由中的三视图，我们可分析出几何体的形状及底面边长高等信息，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面，以2为高的四棱锥故这个几何体的体积V=Sh=•3×3×2=6故答案为：6点评：此题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．13．〔5分〕设非零向量、，，满足||=||=||，+=，那么sin＜，＞= ．考点：平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由向量式可得=﹣=﹣，而cos==，代入可得其值，进而可得要求的值．解答：解：∵+=，∴，平方可得=﹣=﹣，∴cos===，∴sin=，故答案为：点评：此题考查向量的夹角公式，涉及向量的简单运算，属根底题．14．〔5分〕函数f〔x〕=sinωx+acosωx〔a＞0，ω＞0〕的图象关于直线x=对称，点〔〕是函数图象的一个对称中心，那么a+ω的最小值是．考点：正弦函数的对称性；y=Asin〔ωx+φ〕中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f〔x〕=sinωx+acosωx〔a＞0，ω＞0〕的图象关于直线x=对称，可得f〔﹣〕=f〔〕=0，进而得到ω=k，再由a＞0，ω＞0，可得ω=3n+1，n∈N，此时a为定值，故当ω取最小值时，a+ω取最小值解答：解：∵f〔x〕=sinωx+acosωx〔a＞0，ω＞0〕的图象关于直线x=对称，∴f〔﹣〕=f〔〕=0∴﹣sin+acos=sin+acos=0；∴a=tan=﹣tan=tan〔﹣〕∴=﹣+kπ，k∈Z即ω=k∵a＞0，ω＞0∴ω=3n+1，n∈N此时a=tan〔n+〕π=故当ω=1时，a+ω的最小值是+1故答案为：+1点评：此题考查三角函数的性质，求得a是关键，考查正弦函数的对称性，考查分析、转化与运用三角知识解决问题的能力，属于难题．15．〔5分〕假设函数y=f〔x〕对定义域的每一个值x1，都存在唯一的x2，使y=f〔x1〕f〔x2〕=1成立，那么称此函数为“滨湖函数〞．以下命题正确的选项是②③．〔把你认为正确的序号都填上〕①y=是“滨湖函数〞；②y=+sinx〔x∈[]〕I是“滨湖函数〞；③y=2x是“滨湖函数〞；④y=lnx是“滨湖函数〞；⑤y=f〔x〕，y=g〔x〕都是“滨湖函数〞，且定义域相同，那么y=f〔x〕g〔x〕是“滨湖函数〞考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：利用“滨湖函数〞的定义，逐个分析①②③④⑤五个函数，能够得到结果．解答：解：对于①，对应的x1，x2不唯一，∴①不一定是“滨湖函数〞；对于②，函数y=是[﹣]上的单调增函数，对[﹣，]内的每一个值∈[]，，∴在[﹣，]内存在唯一的x2，使=∈[]成立，∴②是“滨湖函数〞；对于③，∵y=2x，2x•2﹣x=1，∴③是“滨湖函数〞；对于④，y=lnx有零点，∴④一定不是y=lnx“滨湖函数〞；对于⑤，∵y=f〔x〕，y=g〔x〕都是“滨湖函数〞，且定义域相同，∴对于定义域中每一个x1，都存在唯一的x2，使y=f〔x1〕f〔x2〕=1和y=g〔x1〕g 〔x2〕=1成立，∵两个x2不一定相等，∴y=f〔x1〕g〔x1〕•f〔x2〕g〔x2〕=1不一定成立，∴⑤不是“滨湖函数〞．故答案为：②③．点评：此题考查函数的性质的根本应用，解题时要认真审题，注意理解“滨湖函数〞的概念．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卷上的指定区域内.16．〔12分〕〔•资阳二模〕△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕通过化简向量的表达式，利用余弦定理求出A的余弦值，然后求角A的大小；〔Ⅱ〕通过A利用2012年6月7日 17：54：00想的内角和，化简为C的三角函数，通过C的范围求出表达式的最大值，即可求出最大值时角B、C的大小．解答：解〔Ⅰ〕由，化为2bccosA=a2﹣b2﹣c2﹣2bc，〔2分〕由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得4bccosA=﹣2bc，∴，〔4分〕∵0＜A＜π，∴．〔6分〕〔Ⅱ〕∵，∴，．=．〔8分〕∵，∴，∴当C+=，取最大值，解得B=C=．〔12分〕点评：此题借助向量的数量积考查余弦定理以及三角函数的最值，考查计算能力．17．〔12分〕如图，平行四边形ABCD中，AD=2，CD=，∠ADC=45°，AE⊥BC，垂足为E，沿直线AE将△BAE翻折成△B′AE，使得平面B′AE⊥平面AECD．连接B′D，P是B′D上的点．〔Ⅰ〕当B′P=PD时，求证：CP⊥平面AB′D；〔Ⅱ〕当B′P=2PD时，求二面角P﹣AC﹣D的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：〔Ⅰ〕由，得出E′E⊥EC，建立空间直角坐标系．通过•=0，•=0得出CP⊥AB′，CP⊥AD，证出CP⊥平面AB′D；〔Ⅱ〕设P〔x，y，z〕，那么=〔x，y，z﹣1〕，=〔2﹣x，1﹣y，﹣z〕，由=2得出P〔，，〕，分别求出面PAC 的法向量，平面DAC的法向量，利用向量的夹角求出二面角P﹣AC﹣D 的大小．解答：解：〔Ⅰ〕∵AE⊥BC，平面B′AE⊥平面AECD，∴E′E⊥EC．如图建立空间直角坐标系，…〔2分〕那么A〔0，1，0〕，B′〔0，0，1〕，C〔1，0，0〕，D〔2，1，0〕，E〔0，0，0〕，P〔1，〕．=〔0，﹣1，1〕，=〔2，0，0〕，=〔0，〕．…〔4分〕∵•=0，∴CP⊥AB′•=0，∴CP⊥AD又AB′∩AD=A，∴CP⊥平面AB′D；…〔7分〕〔Ⅱ〕设P〔x，y，z〕，那么=〔x，y，z﹣1〕，=〔2﹣x，1﹣y，﹣z〕，由=2得解得x= y=，z=，∴P〔，，〕=〔，，〕，=〔1，﹣1，0〕…〔10分〕设面PAC 的法向量为=〔x，y，z〕，那么．取x=y=1，z=﹣3．，那么=〔1，1，﹣3〕，…〔12分〕又平面DAC的法向量为=〔0，0，1〕，设二面角P﹣AC﹣D的大小为θ，那么cosθ===．…〔14分〕点评：此题考查空间直线和平面垂直的判定，二面角大小求解．考查空间想象、推理论证能力．利用空间向量的方法，能降低思维难度，思路相对固定，是人们研究解决几何体问题又一有力工具．18．〔12分〕某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关假设有失败即结束，后两关假设有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的时机．某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是．〔1〕求该人获得奖金的概率；〔2〕设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：〔1〕设A n〔n=1，2，3，4，5〕表示该人通过第n关，那么该人获得奖金的概率为P=P 〔A1A2A3A4A5〕+P〔〕+P〔〕，即可求得结论；〔2〕确定变量的取值，求出相应的概率，即可求随机变量ξ的分布列及数学期望．解答：解：〔1〕设A n〔n=1，2，3，4，5〕表示该人通过第n关，那么A n〔n=1，2，3，4，5〕相互独立，且P〔A n〕=〔n=1，2，3〕，P〔A4〕=P〔A5〕=∴该人获得奖金的概率为P=P〔A1A2A3A4A5〕+P〔〕+P〔〕=+2×=；〔2〕ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，那么P〔ξ=0〕=；P〔ξ=1〕==；P〔ξ=2〕==；P〔ξ=3〕==；P〔ξ=4〕==；P〔ξ=5〕=，ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 5P∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=．点评：此题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．19．〔13分〕抛物线P的方程是x2=4y，过直线l：y=﹣1上任意一点A作抛物线的切线，设切点分别为B、C．〔1〕证明：△ABC是直角三角形；〔2〕证明：直线BC过定点，并求出定点坐标．考点：恒过定点的直线；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：〔1〕设A〔m，﹣1〕，B〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，利用导数的几何意义可得=x1，化简得﹣2mx1﹣4=0．同理可得﹣2mx2﹣4=0，故有 x1+x2=2m，x1•x2=﹣4．计算AB和AC的斜率之积等于﹣1，从而得到AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．〔2〕求得BC所在的直线方程为 y﹣y1=〔x﹣x1〕，化简为y=mx+1，显然过定点〔0，1〕．解答：解：〔1〕证明：设A〔m，﹣1〕，B〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕．∵抛物线P的方程是x2=4y，∴y′=．∴=x1，∴+1=﹣mx1，∴﹣2mx1﹣4=0．同理可得，﹣2mx2﹣4=0，∴x1+x2=2m，x1•x2=﹣4．∵K AB•K AC=x1•x2==﹣1，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．〔2〕证明：BC所在的直线方程为 y﹣y1=〔x﹣x1〕，化简可得 y﹣=〔x1+x2〕〔x1﹣x2〕，即 y=mx+1，显然，当x=0时，y=1，故直线BC过定点〔0，1〕．点评：此题主要考查函数的导数的几何意义，判断两条直线垂直的方法，直线过定点问题，属于中档题．20．〔13分〕函数f〔x〕=，其中a＞0．〔1〕求f〔x〕的单调区间；〔2〕是否存在实数a使f〔x〕＜1在x∈R+上恒成立？假设存在求出a的取值范围；假设不存在说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专导数的综合应用．题：分析：〔1〕在定义域内解不等式f′〔x〕＞0，f′〔x〕＜0即得到函数的单调区间；〔2〕假设f〔x〕＜1在x∈R+上恒成立，即ln〔1+x〕＜ax在R+上恒成立．构造函数h〔x〕=ln〔1+x〕﹣ax〔x∈R+〕，只需找满足不等式h〔x〕＜0的a值即可．解答：解：〔1〕f′〔x〕=，设g〔x〕==1﹣﹣ln 〔1+x〕，那么g′〔x〕=〔1+x〕﹣2﹣=．可知g〔x〕在〔﹣1，0〕上递增，在〔0，+∞〕上递减，所以f〔x〕在〔﹣1，0〕，〔0，+∞〕上是减函数，即f〔x〕的单调递减区间为〔﹣1，0〕，〔0，+∞〕．〔2〕假设f〔x〕＜1在x∈R+上恒成立，即ln〔1+x〕＜ax在R+上恒成立．设h〔x〕=ln〔1+x〕﹣ax〔x∈R+〕，那么h′〔x〕=﹣a，①假设a≥1，那么x∈R+时，h′〔x〕＜0恒成立，所以h〔x〕＜h〔0〕=0符合题意；②假设a≤0，显然不符合题意；③假设0＜a＜1，那么h′〔x〕=﹣a=0，有x=﹣1，所以x∈〔0，〕时h′〔x〕≥0，所以y=h〔x〕在[0，﹣1]上为增函数，当x∈[0，﹣1]时，h〔x〕＞h〔0〕=0，所以不符合题意．综上，a≥1．点评：此题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，不等式的证明问题常转化为函数的最值处理．21．〔13分〕正项数列{a n}中a1=1，前n项和S n满足2S n=a n a n+1；数列{b n}是首项和公比都等于2的等比数列．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕求数列{a n b n}的前n项和〔3〕记f〔n〕=，T n=，求证：．考点：数列递推式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分〔1〕通过2S n=a n a n+1；推出数列的递推关系式，推出数列是等差数列，然后求数列{a n}析：的通项公式；〔2〕通过数列{b n}是首项和公比都等于2的等比数列，求出b n，利用错位相减法求解数列{a n b n}的前n项和．〔3〕通过f〔n〕=，化简T n=的表达式，求出T1，T2，当n≥3时转化T n，与T n，然后证明．解答：解：〔1〕因为2S n=a n a n+1；所以n=1时2S1=a1•a2，a1=1，所以a2=2，∵2S n=a n a n+1；∴2S n+1=a n+1a n+2；可得2a n+1=a n+1a n+2﹣a n a n+1；∵a n＞0∴a n+2﹣a n=2；∵a1=1，a2=2，∴数列{a n}是等差数列，a n=n．〔2〕数列{b n}是首项和公比都等于2的等比数列，所以b n=2n，数列{a n b n}的前n项和S n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1×2+2×22+…+n×2n…①2S n=1×22+2×23+…+〔n﹣1〕×2n+n×2n+1…②所以②﹣①得S n=n×2n+1﹣〔2+22+…+2n〕=〔n﹣1〕2n+1+2．〔3〕证明∵f〔n〕=，T n==，T1==，T2===，当n≥3时T n=≥=又T n==综上点评：此题考查等差数列与等比数列综合应用，数列与不等式的综合应用，考查数列求和的方法，考查分析问题解决问题的能力．。

皖南八校 2019 届高三摸底联考数学试题（理）届高三摸底联考数 学 试 题（理）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150 分，考试时间120 分钟。

2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。

3．请将各卷答案填在答题卡上。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书．．．．．．．写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第Ⅰ卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数 z 的实部为－ 1，虚部为 2，则 5i 等于（）zA ． 2 iB ． 2 iC ．2 iD ． 2 i2．若全集为 实数集 R ， Mx log 1x 2 ，则M 等于（ ）3A ． (,0] 1)B ． ( 1)( ,,99 C ． (,0] [ 1,)D ． [ 1,)993．若动点 P 到定点 F （1，－ 1）的距离与到直线 l : x 1 0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线1 1 D ．直线4．设向量 a (1,0,0 ）， b (（ ）, ,0) ，则下列结论中正确的是2 2A ． a bB ． a b 22． a b 与 b 垂直 ． a ∥bCD 5．右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 （ ）6． 一位运 的心 跳 了8 次，得到如下表所示的数据：次数1 2 3 4 56 7 8数据 a i （次 / 分 ）39404242434546 47上述数据的 分析中，一部分 算 如右 所示的程序框 （其中 a 是 8 个数据的平均数）， 出的的 是（ ）A ． 6B ．7C ． 8D ． 567． l , m 是两条不同的直 ，a 是一个平面， 下列命 正确的是 （）A ．若 l m, m a, 则 l aB ．若 la, m a,则 lmC ．若 l ∥ a ， l ∥ m,m ∥ aD ．若 l ∥ a ， m ∥ a ， l ∥ m8．古希腊著名的 达哥拉斯学派把 1、 3、610⋯⋯的数称 “三角形数”，而把 1、 4、 9、 16⋯⋯ 的数称 “正方形数”。