正方形队列

方阵问题公式（附例题）学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。

如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵(亦叫乘方问题)。

核心公式:方阵问题公式(1)实心方阵:(外层每边人数)2＝总人数。

(2)空心方阵:(最外层每边人数)2－(最外层每边人数－2×层数)2＝中空方阵的人数。

或者是(最外层每边人数－层数)×层数×4＝中空方阵的人数。

总人数÷4÷层数＋层数＝外层每边人数。

例如，有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人?一、实心方阵1.方阵总人数＝最外层每边人数的平方(方阵问题的核心)－每边数×每边数2人数＝(阵最外层总人数＋4)＋13.外一层每边人数比内一层每边人数多24.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2－15、每层数－(每边－1)×4二、空心方阵1外人数＝总人数＋4＋层数＋层数2数最＝(最外层每边数－层数)×层数×4＝(最外层数+最内层数)×层数＋23内层数＝外层数－84、每层数＝(每边数－1)×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。

方阵问题方阵的基本特点:1、方阵不论哪一层.每边上的人(或物)数量都相同，每向里一层每边上的人数就少 2，每层总数少82、实心方阵:总数＝每边数×每边数每边数＝每层数＋4＋1每边数＝(每横排与每竖排之和－1)＋2每层数＝(每边数－1)×43、空心方阵:总数＝大实心方阵数－小实心方阵数总数＝(最外层每边数－层数)×层数×4总数＝(最外层数＋最内层数)×层数＋2最外层每边数－总数＋4＋层数＋层数解决方阵问题的基本思路:1、避免重复方阵问题基本公式基本公式:(1)N排N列的实心方阵人数为N2人;(2)M排N列的实心长方阵人数为MXN人:(3)N排N列的方阵，最外层有 4N-4人:(4)在方阵或者长方阵中，相邻两圈人数，外圈比内圈多8人;(5)空心正M 边形阵，若每边有N个人，则共有MN－M个人;(6)方阵中:方阵人数＝(最外层人数÷4＋1)2方阵问题两大常见思维方法:(1)重叠点思维:若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目: (2法思维:如果需要计算“某种形状”的“某种外层”的数目，用整体数目减去内部的数目是一种常用的思维方法。

第九讲队列问题本节课,我们学习队列问题:1.明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.【分析】秋季我们已经学过简单的排队问题，今天这节课我们将在排队的基础上，进一步研究方阵等一些问题，因此上课前我们对之前所学知识做一个复习． (1)611116+-=（人），这行一共有16人． (2)53614++=（人），这一排一共有14个小朋友． (3)328915--=（人），王明和李霞之间有15个同学．学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列．如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵．方阵包括：空心方阵和实心方阵．而实心方阵的每一层又可以单独看成一个空心方阵，因此空心方阵的规律对它也是适用的．方阵的基本特点是：①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同．每向里一层，每边上的人数就少2，每层 总数就少8．②每边人（或物）数和每层总数的关系：每层总数=[每边人（或物）数1-]×4； 每边人（或物）数=每层总数41÷+．③实心方阵：总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数．动手动脑队列与方阵1.同学们排成一行做操，从前面数小红是第6人，从后面数小红是第11 人，这行一共有多少人?2.同学们排成一排，李红从左向右排在第5个，王亮在她右边和她间隔3633289例1 二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？【分析】因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是17人，因有1人是既在他所在的行，又在他所在的列．若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，则原来一行或一列的人数可求．参加健美操表演的人数可求．列式： (171)21628-÷=÷= (人)，8864⨯=(人)．［拓展］同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学．每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人?［分析］一共有几行？列式：4+6+1=11（行）一共有几列？列式：5317+-=（列）一共有多少人？列式：11777⨯=（人）例2 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这个方阵共有多少人？【分析】学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了11人，那我们就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在11里面多加一个．现在每行的人数是：11126+÷=（）（人），共6636⨯=（人）．例3 军训的学生进行队列表演，排成了一个10行10列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人?我是小林【分析】一行一列各10人，顶点处重复．102119⨯-=人，因为角上的一个同学被重复数了两次，所以要把多算的一次减掉．［拓展］四年级一班同学参加了广播操比赛,排成每行8人,每列8人的方阵,问方阵中共有多少学生?如果去掉一行一列．还剩多少同学?［分析］可以根据“实心方阵总人数＝每边人数×每边人数”得到8行8列的实心方阵人数为：8864⨯＝（人），去掉一行一列后，还剩7行7列，也可通过同样的方法得出总人数为：77=49⨯（人）．［拓展］100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人？［分析］100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，剩下的是9行9列的方阵，即剩下81人，减少了19人．例4 某校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有三年级学生多少人?【分析】（法1）方阵外层每边有：364410⨯=（人）．+÷=（）（人），共1010100（法2）方阵外层每边有：364110⨯=（人）．÷+=（人），共1010100例5 小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了40个棋子，求最外层每边有多少棋子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？【分析】首先根据“每边的个数＝总数÷41÷+＝+”求出每边的棋子数：404111中每边各有：1129-＝（个）棋子，利用求实心方阵总个数的方法就可以求出还需：9981⨯＝（个）棋子．例6 新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人?【分析】 外层134448⨯-=人，内外相差8人（教师可举例说明），内层48840-=人，共88人．例7 节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛,最外层的一层每边摆了12盆花,一共3层,一共用去多少盆花?【分析】 (法1)不论是空心不是实心方阵,每向里一层,每边的花盆就少2个,每层的花盆就少8个,因此可以依次求出每层花盆的个数．最外层有花盆:121444-⨯=（）(盆),第二层有:44836-=(盆),第三层有:368=28-(盆),共有:443628=108++(盆)．(法2)将三层花盆分成四块,形成四个相等的长方形．它们的长是123-（）个,宽是3个,(123)327-⨯=个,即每个长方形中包括27个花盆,再将结果乘以4就得到总数是108个,于是我们可以总结为:空心方阵中点的总个数=(最外层每边的个数-层数)×层数×4．(法3)也可以将这种情况看作从一个大的实心方阵中取出一个小的实心方阵．例8 120个棋子摆成一个三层空心方阵,最内层每边有多少棋子?【分析】 棋子一共三层,容易知道外层比中层多8个,内层比中层少8个,因此中层的棋子数就是三层的平均数为1203=40÷(个),可以求出中层每边的棋子数,向里一层,每边棋子数又减少2．中层总数: 1203=40÷(个)．中层每欢迎新同学的好漂亮的校园 好难呀！［拓展］将一个每边16枚棋子的实心方阵变成一个四层的空心方阵，此空心方阵的最外层每边有多少棋子？［分析］棋子总数为：1616256⨯=（枚），由于空心方阵总个数＝（每边个数－层数）×层数×4，所以，每边个数＝空心方阵总个数÷层数÷4＋层数，得出最外层每边有20枚棋子．例9 同学们用64盆花排出一个两层空心方阵,后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵,还需多少盆花?【分析】对于两层方阵,外层比内层多8盆,两层共64盆,利用和差问题的解法,可以求出外层盆数,从而得出需增加的盆数,6482844（）(盆)．+÷+=例10 一队战士排成三层空心方阵多出16人,如果空心部分再加一层又少28人,这队战士共有多少人?如果他们改成实心方阵,每边应有多少人?【分析】把多余的16人放在方阵内部还少28人,可见方阵内部增加一层,需要1628=44+人,因此向外三层的每层人数都可以求出．从内向外每层人数依次是:第一层:16288=52++(人),第二层:162828=60+++(人), ++⨯(人),第三层:162838=68++⨯(人),总人数:52606816=196因为196=1414⨯,所以排成实心方阵每边有14人．［拓展］有一群学生排成三层空心方阵，多9人，如空心部分增加两层，又少15人，问有学生多少人？［分析］增加的两层人数为：915=26（）（人），-÷=+（人），这两层人数之差是8人，因此最里层有26828现在的方阵共5层，那么最外层有884=40+⨯（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数是105人．［拓展］在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共多少人？［分析］根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数，一个空心方阵，可以看做从一个最外层有64人的实心方阵中，减去了一个小方阵．外层每边人数：644117÷+=（人）．内层每边人数：32419⨯--⨯-=（人）．÷+=（人），空心方阵人数：1717(92)(92)240例11 小华观看团体操表表演,他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列,他估计队伍中人数大概在30至50人之间,你能告诉他到底有多少人吗?【分析】方阵总人数的特点:它是两个相同自然数的积,而三角形队列总人数的特点是:总数是从1开始若干个连续自然数的和,我们只要在3050～的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数．由于队伍可以排成方阵,在30至50人的范围内人数可能是66=36⨯人,⨯人或77=49又因为36=1234849123494…，,所以总人数是36人．+++++=++++⋯++［拓展］在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？［分析］10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50100～之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64个，小方阵有36人．试试看1． 某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现有共有多少战士？【答案】 后来的战士加入方阵时，是在原方阵外侧横竖方向各增加一排，那么有一个战士要站在这两排的交界处，计算横排竖排的人数时，对他进行了重复计算，也就是说现在每一排实际人数是()17129+÷＝（人），因此可以求出总人数：9981⨯＝（人）．2． 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？【答案】 每行：(131)27+÷=（人），总人数：7749⨯=（人）．3． 三年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有三年级学生多少人?【答案】 每行：(324)49+÷=（人），总人数：9981⨯=（人）．4． 校门口放着一排花，共10盆．从左往右数茉莉花摆在第6，从右往左数，月季花摆在第8， 一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算，一串红花一共有多少盆?【答案】 从左往右数茉莉花摆在第6，那么从右往左数茉莉花就是第：10(61)5--=（朵）花，从右往左数，月季花摆在第8，从左往右数月季花摆在第：10(81)3--=（朵），一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间，一串红花一共有：10532--=（盆）．报告长官，又17。

四年级奥数方阵问题方阵问题我们在日常生活中经常遇到编排正方形体操队列，在方形台上或操场上摆鲜花、插彩旗，在正方形棋盘上摆棋子等问题，你可别小瞧了这些问题，这里面包含了许多数学奥秘呢，快来看看吧！1、运动会上，同学们东站了一个存有6行，每行6人的正方形队伍。

这个正方形队伍中一共存有()名同学。

2、49名同学可以站成一个（）行（）列的正方形队伍，64名同学可以站成一个（）行（）列的正方形队伍。

3、在一行队伍中，小明的左边存有4个同学，右边存有5个同学，这一行队伍共计10人，对吗？讲一讲：基准1：同学们排好一行，小明从左数站在第9个，从右数站在第6个。

你晓得这一行存有多少个同学吗？练一练：1、操场挂着一排颜色相同的彩旗，从左数，红旗就是第7面；从右数，红旗就是第4面，你晓得这一排彩旗存有多少面吗？2、同学们排成一队做操，调皮的小强东张西望，结果发现自己无论从前数，还是从后数都是第5个。

你知道总共有多少个同学在做操吗？试试看：有20只兔子排成一行在做操。

小白兔左边有7个小兔，小灰兔右边有3只小兔，问，小白兔与小灰兔中间还有几只小兔？基准2：运动会上，同学们准备工作在正方形操场四周挂上彩旗，四个角上都必须存有一面彩旗，并使每边存有8面彩旗，那么一共必须准备工作多少面彩旗呢?练一练：1、它的说法对吗？为什么？老师让我在正方形舞台四周摆上鲜花，每边摆6盆，6×4=24（盆），我想最少要用24盆花。

2、解放军叔叔们在一个哨所警戒，哨所的四个角上都存有一名哨兵，敌人无论从哨所的哪一方面看，都会看到有10人站岗，请你算一算这个哨所有多少解放军哨兵？试试看：16只兔子灌装在8个笼子里（例如右图），这样看看每边存有6只兔子，现在要使每边变为5只，该怎么调整笼中的兔子？例3：请问，原定每个年级有多少人参加比赛呢？通告由于服装不够，各班参加广播操比赛的同学必须增加23人，恳请各年级的也已方形队伍横竖各减少一排。

校体育组练一练：1、一个正方形方阵横竖增加一排后增加了11人，那原来每边存有多少人？2、军训学生进行队列表演，排成一个正方形队列，如果这个队列横竖再增加一排，就还需要补充19人，原来参加队列表演的学生有多少人？试试看：出席演出的正方形队伍，如果横竖都换成2行，则增加36人，原来的队伍存有多少人？例4：国庆游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边2层的方阵。

五年级奥数专题3正方形队列【同学们，还记得在“纪念抗战胜利70周年”活动上那激动人心的阅兵式吗?陆、海、空三军仪仗队都是方阵。

方阵可以由各种不同的实物排成，既有实心方阵也有空心方阵。

这一讲,我们就来一起研究这些方阵。

”】例1：有一个正方形花圃，四个角各摆了1盆花。

如果每边都摆了5盆花，那么四边一共摆了几盆花?【举一反三】：有一个正方形池塘，四个角各栽了1棵树。

如果每边栽8棵树，那么四边一共栽了多少棵树?例2：80个小朋友手拉手围成一个正方形，四个角上各站着1个小朋友，则正方形的每条边上有多少个小朋友?【举一反三】：在正方形围墙四周等距离地装有96盏灯，四个角上各装有1盏，这样每边有多少盏灯?例3：五年级的部分同学参加运动会队列训练，排成如右图所示的正方形，最外层每边有5人。

这个队列共有多少人?●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●【举一反三】：一个团体操表演队，排成一个空心方阵，共有3层，最内层有20人。

这个团体操表演队共有多少人?例4：一个大型的空心方队，最外层有116人，最内层有36人。

这个方队共有多少人?【举一反三】：有一队学生，排成一个空心方阵，最外层有52人，最内层有28人。

这队学生共有多少人?例5：一个花坛里有120朵花，组成了一个3层的方阵。

这个花坛的最外层每边有多少朵花?【举一反三】：设计一个团体操表演队形，要求排成3层的空心方阵。

已知参加表演的有576人，则最外层每边应排多少人?《巩固练习》【限时15分钟，是时候展现你们真正的技术了】1.在一幢大楼的正方形平顶四周等距离地装着彩灯，四个角各装有一盏，每边装有8盏，则一共装了多少盏彩灯?2.一块正方形草地的四周等距离地种有月季花，一共有52株,四个角上各种有1株，每边种有多少株月季花?3.某公园里的树组成了一个空心方阵，共有3层，中间层有32棵树。

这个公园里共有多少棵树?4.有若干盆菊花，摆放成一个空心方阵，最外层有36盆,最内层有12盆，共有多少盆菊花?5.一个花坛里有360朵花，组成了一个3层的方阵。

正方形队列
方阵分为实心方阵和空心方阵，解决这类问题要注意三点：
（1）据题意确定是实心方阵还是空心方阵问题，然后选用适当的方法解答。

（2）对于较复杂的问题可画图帮助理解题意，分析思考找出解答方法。

（3）分清每层总数和每边数之间的数量关系，牢记相邻两边的个数相差2。

1.有一个正方形池塘，四个角都栽一棵树，如果每边栽6棵，四边一共栽多少棵？
2.在大楼的正方形平顶四周等距离地装上彩灯，四个角上都装上一盏，每一边装有8盏，一共有多少盏彩灯？
3.一个正方形草地四周等距离地种有菊花，一共80棵，四个角上都种有一棵，每一边种有多少棵？
4.在正方形围墙四周等距离地装有96盏灯，四个角上都装有一盏，这样每边有多少盏？
5.三一班的学生进行队列训练，排成两层空心方阵，已知最外层每边有6人，求这个班共有多少人？
6.小朋友做游戏排成两层空心方阵，外层每边有8人，求做游戏的小朋友的人数。

7.用围棋子排成三层空心方阵，最里层共有12颗，求这个方阵共有棋子多少颗？
8.一个班的同学组成一个三层空心方阵，最里层有8人，求这个班共有多少人？
9.有一队学生，排成一个空心方阵，最外层人数共52人，最内层人数共28人，这队学生共有多少人？
10.棋子若干颗排成一个空心方阵，最外层共32颗，最内层共16颗，求总共有多少棋子？。

五年级奥数讲义第二讲正方形队列一、学法指导正方形队列在日常生活中经常看到，如盛大的庆典活动时，各种大型团体操的表演，又如陆、海、空三军仪仗队都是方阵。

方阵还可以由棋子、树木、红旗等实物排成。

方阵分为实心方阵和空心方阵，解决这类问题要注意以下三点：1．据题意确定是实心方阵还是空心方阵问题，然后选用适当的方法解答。

2．对于较复杂伯问题可画图帮助理解题意，分析思考找出解答方法。

3．分清每层总数和每边娄之间的数量关系，牢记相邻两边的个数相差2。

二、例题：例1、有一个正方形池塘，四个角都载一棵树。

如果每边载6棵，四边一共载多少棵？例2、一个正方形草地四周等距离地种有菊花，一共80棵，四个角上都种有一棵，每一边种有多少棵？例3、三（1）班的学生进行队列训练，排成如图所示的正方形，已知最外层每边有六人，求这个班共有多少人？例4、用围棋排成三层空心方阵，最里层共有12颗，求这个方阵共有棋子多少颗？例5、有一队学生排成一个空心方阵，最外层人数共52人，最内层人数共28人，这队学生共有多少人？例6、设计一个团体操表演队形，想排成三层的空心方阵，已知参加表演的有576人，问最外层每边应排多少人？三、练习A卷、基本能力训练1、在正方形水池四周等距离地装了120根栏杆, 每个角上都有一根。

水池的每条边有几根栏杆？2、五（1）班同学在队列训练时排成3层空心方阵，已知最外层每边有8人，这个班一共有多少人?3、战士们排成一个空心方阵，最外层共64人，最内层共24人。

一共有多少名战士？4、同学们做团体操表演时，排成一个3层的空心方阵，一共有600 人。

最外层每边有多少人？5、排成一个5层的空心方阵，一共有500 人。

最外层每边有多少人？6、120人排成一个空心方阵，这个方阵最外层每边有13人。

这个方阵一共有多少层？7、一个大型的空心方阵，最外层共116人，最内层共36人，最中间还有9个人在表演。

这个方阵一共有多少人？8、52个小朋友手拉手围成一个正方形，四个角上都站一个人，则正方形的每一边上站多少人？9、小林用彩旗排成一个个层空心方阵，最里层每边有5面彩旗，求这个空心方阵共有彩旗多少同？10、一个正方形的的树林，内外一共有三层，中间层有32棵树，这个树林共有树多少棵？B卷、重点中学试题集锦1、有若干盆菊花，摆放成一个空心方阵，最外层有36盆，最内层有12盆，总共有多少盆菊花？2、六一儿童节，120人排成一个空心方阵，这个方阵最外层每边有13人，求空心方阵的层数。

第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。

如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。

问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。

1、一个正方形棋盘，四条边各放5枚棋子（四个角上都要有一枚），问；一共有多少枚棋子？2、一个正方形队列，如果减少一横行和一竖行要减少19人。

原队列有多少人？3、运动会入场式要求运动员排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少多少运动员？4、黄明用围棋子摆了一个四层空心方阵，最外层每边摆25颗棋子，共需要多少颗棋子？5、公园喷泉四周用花盆摆成一个四层正方形花坛，共用了576盆鲜花。

问；最外层每边有多少盆花?6、用一堆棋子摆成一个五层空心方阵，最内层每边12枚。

这堆棋子共有多少枚？7、小红摆了一个最外层每边有18个棋子的实心方阵，小亮看到后把它改成一个三层空心方阵，这个空心方阵最外层有多少棋子？8、一个方阵如果去掉最外层一周，那么人数会减少20人，方阵最外层每边有多少人？这个方阵共有多少人？9、师生进行队列表演，排成一个正方形队列，如果这个队列横竖再增加一排，还需要补充15人。

问原来参加队列表演的师生有多少人？10、艺术节上，一个5层空心鲜花方阵，共由300名同学组成。

那么这个空心方阵的最外层每边有多少名同学？11、有树苗若干棵，可栽成每边24棵的一个实心方阵，现在将这些树苗增加24棵栽在一个喷泉四周，形成一个3层的中空方阵，问最外层需要栽多少棵？12、在一个正五边形的边上均匀地排列着黑、白棋子，各边上的粒数相同，顶点都摆了一颗黑棋子，相邻的两粒黑棋子间放了3粒白棋子，黑棋子总数为60粒，问，每一边上的黑白棋子共多少粒？13、学校准备在一个周长为120米的圆形花圃的四周每隔6米栽一棵树，如果把这些树栽到正方形草坪的周围，每边可栽树多少棵？14、正方形苗圃，栽种桃树和李树，一圈一圈的相间种植，即最外一圈种的是桃树，往内一圈是李树，然后是桃树……最内一圈种了4棵李树，已知树苗的行距和列距都相等，桃树比李树多40棵，问，桃树和李树一共多少棵？15、希望小学四年级有学生若干人，如排成三层中空方阵，就多9人；如中空部分增加两层，则少15人。

方阵问题
例1、远动会上，一些学生排成一个方阵，最外层共56人，这个方阵共有多少人？
例2、参加团体操表演的同学组成了一个正方形的队列。

如果使这个正方形队列减少一行和一列需要减少27人，参加团体操表演的同学有多少人？
例3、小亮用棋子排成一个四层空心方阵。

最外边一层每边有10个棋子。

小亮摆这个空心方阵共用了多少个棋子？
例4、有一队学生，排成一个中空方阵，最外层有56人，最内层有24人。

这对学生共有多少人？
例5、用160个棋子摆成每边4层的空心方阵，最外层每边有多少个棋子？
巩固练习
1、在一个正方形草坪的四周装彩灯，四个角都装一盏，共装80盏，平均每边装多少盏？
2、小明用棋子排成一个最外层每边6枚的正方形的实心方阵，这个方阵的最外层共有多少枚棋子？这个实心方阵共用了多少枚棋子？
3、参加运动会的同学排成正方形队列进行体操表演，如果这个队列横竖各增加一排，则要补充21个同学。

参加体操表演的同学有多少个？
4、在运动会上，同学们组成了一个6层的大型方阵，最外层每边有30人，这个方阵共由多少名同学组成？
5、春节前夕，在广场中心一个雕像的四周，用鲜花摆成了5层的空心方阵，最内层每边摆了16盆，雕像的四周共摆了多少盆鲜花？
6、用320盆鲜花摆成了一个每边为五层的中空方阵，最外层每边有鲜花多少盆？。

第九讲队列问题A例1 二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人．［拓展］同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学．每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人我是小林例2 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这个方阵共有多少人例3 军训的学生进行队列表演，排成了一个10行10列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人［拓展］四年级一班同学参加了广播操比赛,排成每行8人,每列8人的方阵,问方阵中共有多少学生如果去掉一行一列．还剩多少同学［拓展］100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少了多少人第九讲队列问题B例4 某校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多少人这个方阵共有三年级学生多少人例5 小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了40个棋子，求最外层每边有多少棋子如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子例6 新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人例7 节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛,最外层的一层每边摆了12盆花,一共3层,一共用去多少盆花例8 120个棋子摆成一个三层空心方阵,最内层每边有多少棋子欢迎新同学的到来！好漂亮的校园第九讲队列问题C例9 同学们用64盆花排出一个两层空心方阵,后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵,还需多少盆花例10 一队战士排成三层空心方阵多出16人,如果空心部分再加一层又少28人,这队战士共有多少人如果他们改成实心方阵,每边应有多少人［拓展］有一群学生排成三层空心方阵，多9人，如空心部分增加两层，又少15人，问有学生多少人［拓展］在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加团体操表演的共多少人例11 小华观看团体操表表演,他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列,他估计队伍中人数大概在30至50人之间,你能告诉他到底有多少人吗［拓展］在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖各增加一排，现有共有多少战士报告长官，又来17人．。