2020高考文科数学二轮提分广西等课标3卷专用专题能力训练：12 数列的通项与求和

2020年广西高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（5分）若（1+i）＝1﹣i，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i3．（5分）设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．104．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．（5分）已知sinθ+sin（θ+）＝1，则sin（θ+）＝（）A．B．C．D．6．（5分）在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若•＝1，则点C的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线7．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）8．（5分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（）A．1B．C．D．29．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+210．（5分）设a＝log32，b＝log53，c＝，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b11．（5分）在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝（）A．B．2C．4D．812．（5分）已知函数f（x）＝sin x+，则（）A．f（x）的最小值为2B．f（x）的图象关于y轴对称C．f（x）的图象关于直线x＝π对称D．f（x）的图象关于直线x＝对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

题型练2选择、填空综合练(二)一、能力突破训练1.设集合A={x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.6B.5C.4D.32.(2019全国Ⅲ,文2)若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i3.将长方体截去一个四棱锥得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()4.(2019全国Ⅲ,文5)函数f(x)=2sin x-sin 2x在区间[0,2π]上的零点个数为()A.2B.3C.4D.55.已知p:∀x∈[-1,2],4x-2x+1+2-a<0恒成立,q:函数y=(a-2)x是增函数,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.下列四个命题中真命题的个数是()①“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件②命题“∀x∈R,sin x≤1”的否定是“∃x0∈R,sin x0>1”③“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真命题④命题p:∀x∈[1,+∞),lg x≥0,命题q:∃x0∈R,+x0+1<0,则p∨q为真命题1A.0B.1C.2D.37.已知实数x,y满足约束条件-则z=2x+4y的最大值是()A.2B.0C.-10D.-158.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π9.已知等差数列{a n}的通项是a n=1-2n,前n项和为S n,则数列的前11项和为()A.-45B.-50C.-55D.-6610.已知P为椭圆=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.7C.13D.1511.已知P是边长为2的正方形ABCD内的点,若△PAB,△PBC的面积均不大于1,则的取值范围是()A.(-1,2)B.(-1,1)C.D.12.已知a>0,a≠1,函数f(x)=+x cos x(-1≤x≤1),设函数f(x)的最大值是M,最小值是N,则()A.M+N=8B.M+N=6C.M-N=8D.M-N=613.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.14.已知函数f(x)=x2-2ln x+a的最小值为2,则a=.15.执行如图所示的程序框图,若输入a=1,b=2,则输出的a的值为.216.已知直线y=mx与函数f(x)=-的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.二、思维提升训练17.设集合A={x|x+2>0},B=-,则A∩B=()A.{x|x>-2}B.{x|x<3}C.{x|x<-2或x>3}D.{x|-2<x<3}18.定义域为R的四个函数y=x2+1,y=3x,y=|x+1|,y=2cos x中,偶函数的个数是()A.4B.3C.2D.119.(2019山东聊城一中检测,10)设x,y满足-若z=x+y的最大值为6,则的最小值为()A.4B.C.3D.20.若实数x,y满足|x-1|-ln=0,则y关于x的函数图象的大致形状是()321.已知简谐运动f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A.T=6π,φ=B.T=6π,φ=C.T=6,φ=D.T=6,φ=22.设a,b是两个非零向量,则使a·b=|a|·|b|成立的一个必要不充分条件是()A.a=bB.a⊥bC.a=λb(λ>0)D.a∥b23.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.B.C.D.24.(2019内蒙古一模,8)已知单位向量a,b的夹角为,若向量m=2a,n=4a-λb,且m⊥n,则|n|=()A.-2B.2C.4D.625.(2018全国Ⅱ,文9)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B.C. D.26.已知数列{a n}的前n项和为S n,若S1=1,S2=2,且S n+1-3S n+2S n-1=0(n∈N*,n≥2),则此数列为()A.等差数列B.等比数列C.从第二项起为等差数列D.从第二项起为等比数列427.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()A.B.C.D.28.设{a n}是集合{2s+2t|0≤s<t,且s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,…,将数列{a n}各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表:则a99等于()A.8 320B.16 512C.16 640D.8 84829.若z=在复平面内所对应的点关于实轴对称的点为A,则A对应的复数为.30.能说明“若a>b,则”为假命题的一组a,b的值依次为.31.(2019河南六市第一次联考,15)已知双曲线=1(b>a>0),焦距为2c,直线l经过点(a,0)和(0,b).若点(-a,0)到直线l的距离为c,则此双曲线的离心率为.32.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是.56题型练2 选择、填空综合练(二)一、能力突破训练1.B 由题意,A ∩Z ={1,2,3,4,5},故其中的元素个数为5,选B .2.D 解析 z=- -=1+i .故选D .3.D 解析 如图,点D 1的投影为C 1,点D 的投影为C ,点A 的投影为B ,故选D .4.B 解析 由f (x )=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin x cos x=2sin x (1-cos x )=0,得sin x=0或cos x=1.∵x ∈[0,2π],∴x=0或x=π或x=2π.故f (x )在区间[0,2π]上的零点个数是3.故选B .5.A 解析 关于p :不等式化为22x -2·2x +2-a<0,令t=2x ,∵x ∈[-1,2],∴t ∈,则不等式转化为t 2-2t+2-a<0,即a>t 2-2t+2对任意t ∈恒成立.令y=t 2-2t+2=(t-1)2+1,当t ∈ 时,y max =10,所以a>10.关于q :只需a-2>1,即a>3.故p 是q 的充分不必要条件.6.D 解析 由x=1,得x 2-3x+2=0,反之,若x 2-3x+2=0,则x=1或x=2,①是真命题;全称命题的否定是特称命题,②是真命题;原命题的逆命题为“若a<b ,则am 2<bm 2”,当m=0时,结论不成立,③是假命题;命题p 是真命题,命题q 是假命题,④是真命题,故选D .7.B 解析 实数x ,y 满足约束条件-对应的平面区域为如图ABO 对应的三角形区域,当动直线z=2x+4y 经过原点时,目标函数取得最大值为z=0,所以选B .8.C 解析 △AOB 面积确定,若三棱锥O-ABC 的底面OAB 的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R ,所以V O-ABC =R 2×R=36,解得R=6,故S 球=4πR 2=144π. 9.D 解析 因为a n =1-2n ,S n =- - =-n 2,=-n ,所以数列的前11项和为- -=-66.故选D .710.B 解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1,F 2分别是两圆的圆心,且|PF 1|+|PF 2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF 1|+|PF 2|-1-2=7.11.B 解析 以A 为坐标原点,AB 为x 轴建立平面直角坐标系,则B (2,0),C (2,2),设P (x ,y ),0<x<2,0<y<2,由△PAB ,△PBC 的面积均不大于1,得0<y<1,1<x<2. 则=x (x-2)+y 2=(x-1)2+y 2-1, 而d 2=(x-1)2+y 2表示平面区域0<y<1,1<x<2内的点P (x ,y )与点(1,0)距离的平方, 因为0<d< ,所以的取值范围是(-1,1),故选B . 12.B 解析 f (x )=+x cos x=3+ -+x cos x ,设g (x )= -+x cos x ,则g (-x )=-g (x ),函数g (x )是奇函数,则g (x )的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x ≤1时,设-m ≤g (x )≤m (m>0),则3-m ≤f (x )≤3+m ,∴函数f (x )的最大值M=3+m ,最小值N=3-m ,得M+N=6,故选B .13.30 解析 一年的总运费与总存储费用之和为4x+ ×6=4≥4×2 =240, 当且仅当x=,即x=30时等号成立. 14.1 解析 由题意可知函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=2x--. 当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )单调递增. 所以f (x )min =f (1)=1+a=2. 所以a=1.15.32 解析 第一次循环,输入a=1,b=2,判断a ≤31,则a=1×2=2; 第二次循环,a=2,b=2,判断a ≤31,则a=2×2=4; 第三次循环,a=4,b=2,判断a ≤31,则a=4×2=8; 第四次循环,a=8,b=2,判断a ≤31,则a=8×2=16;第四次循环,a=16,b=2,判断a≤31,则a=16×2=32; 第五次循环,a=32,b=2,不满足a≤31,输出a=32.16.(,+∞)解析作出函数f(x)=-的图象,如图.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx 与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,解得m>.故所求实数m的取值范围是(,+∞).二、思维提升训练17.D解析由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A∩B={x|-2<x<3},故选D.18.C解析由函数奇偶性的定义,得y=x2+1与y=2cos x是偶函数,y=3x与y=|x+1|既不是奇函数也不是偶函数,故选C.19.D解析作出不等式组-所表示的平面区域如图所示.8由-解得A,直线z=x+y经过点A时,目标函数z取得最大值6,可得+a=6,解得a=4,则的几何意义是可行域的点与(-4,0)连线的斜率,由可行域可知(-4,0)与点B连线的斜率最大,由可得点B(-3,4),则的最大值为4,即的最小值为.20.B解析已知等式可化为y=----根据指数函数的图象可知选项B正确,故选B.21.C解析由图象易知A=2,T=6,∴ω=.又图象过点(1,2),∴sin=1,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.22.D解析因为a·b=|a|·|b|cos θ,其中θ为a与b的夹角.若a·b=|a|·|b|,则cos θ=1,向量a与b方向相同;若a∥b,则a·b=|a|·|b|或a·b=-|a|·|b|,故选D.23.B解析设AB=a,则由AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B知7=a2+4-2a,即a2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC边上的高为AB·sin B=3×.24.C解析∵单位向量a,b的夹角为,∴a·b=cos =-.∵向量m=2a,n=4a-λb,且m⊥n,∴m·n=2a·(4a-λb)=8a2-2λa·b=0,∴8-2λ×-=0,解得λ=-4.∴|n|==4.25.C解析取DD1的中点F,连接AC,EF,AF,则EF∥CD,故∠AEF为异面直线AE与CD所成的角.910设正方体的棱长为2a ,则易知AE= =3a ,AF= a ,EF=2a.∴cos ∠AEF= -.∴sin ∠AEF=. ∴tan ∠AEF=.26.D 解析 由S 1=1得a 1=1,又由S 2=2可知a 2=1.因为S n+1-3S n +2S n-1=0(n ∈N *,且n ≥2), 所以S n+1-S n -2S n +2S n-1=0(n ∈N *,且n ≥2),即(S n+1-S n )-2(S n -S n-1)=0(n ∈N *,且n ≥2), 所以a n+1=2a n (n ∈N *,且n ≥2),故数列{a n }从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D .27.A 解析 ∵SC 是球O 的直径,∴∠CAS=∠CBS=90°.∵BA=BC=AC=1,SC=2,∴AS=BS= . 取AB 的中点D ,显然AB ⊥CD ,AB ⊥SD ,∴AB ⊥平面SCD.在△CDS 中,CD= ,DS=,SC=2,利用余弦定理可得cos ∠CDS= - =-,故sin ∠CDS=, ∴S △CDS =,∴V=V B-CDS +V A-CDS =×S △CDS ×BD+S △CDS ×AD=S △CDS ×BA=×1=.28.B 解析 用(s ,t )表示2s +2t ,则三角形数表可表示为 第一行3(0,1) 第二行5(0,2) 6(1,2)第三行9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4) 第五行33(0,5)34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)…因为99=(1+2+3+4+…+13)+8,所以a99=(7,14)=27+214=16 512,故选B.=1+i,所以z在复平面内对应的点是(1,1).29.1-i解析因为z=--所以点A(1,-1).所以点A对应的复数是1-i.30.1,-1(答案不唯一)易知当a>0>b时,“若a>b,则”为假命题,不妨取a=1,b=-1.31.解析由题意可知直线l的方程为=1,即为bx+ay-ab=0.又c2=a2+b2,点(-a,0)到直线l的距离为c,所以c,即有3ab=c2.所以9a2b2=2c4,即9a2c2-9a4-2c4=0,可化为2e4-9e2+9=0,解得e2=3或e2=.由于0<a<b,即a2<b2,即有c2>2a2,即有e2>2,则e=.32.解析由已知得a与b的夹角为60°,不妨取a=(1,0),b=(1,).设e=(cos α,sin α),则|a·e|+|b·e|=|cos α|+|cos α+sin α|≤|cos α|+|cos α|+|sin α|=2|cos α|+|sin α|,取等号时cos α与sin α同号.所以2|cos α|+|sin α|=|2cos α+sin α|=|sin(α+θ)|其中27,cos=37,取为锐角.显然|sin(α+θ)|≤.易知当α+θ=时,|sin(α+θ)|取最大值1,此时α为锐角,sin α,cos α同为正,因此上述不等式中等号能同时取到.故所求最大值为.11。

题型练4　大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(2019湖北4月调研,17)已知数列{a n }满足a 2-a 1=1,其前n 项和为S n ,当n ≥2时,S n-1-1,S n ,S n+1成等差数列.(1)求证{a n }为等差数列;(2)若S n =0,S n+1=4,求n.2.(2019吉林实验中学检测,17)已知等差数列{a n }满足a 4=7,2a 3+a 5=19.(1)求a n ;(2)设{b n -a n }是首项为2,公比为2的等比数列,求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .3.设{a n }是等差数列,且a 1=ln 2,a 2+a 3=5ln 2.(1)求{a n }的通项公式.(2)求+…+.ea 1+e a 2e an4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公比为q 的等比数列{b n }的首项是,且12a 1+2q=3,a 2+4b 2=6,S 5=40.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n ;(2)求数列的前n 项和T n.{1a n a n +1+1b n b n +1}5.已知函数f (x )=,数列{a n }满足:2a n+1-2a n +a n+1a n =0,且a n a n+1≠0.在数列{b n }中,b 1=f (0),且b n =f (a n -7x +5x +11).(1)求证:数列是等差数列;{1a n}(2)求数列{|b n |}的前n 项和T n .6.已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1=1,数列{(b n+1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n.(1)求q 的值;(2)求数列{b n }的通项公式.题型练4　大题专项(二)数列的通项、求和问题1.(1)证明 当n ≥2时,由S n-1-1,S n ,S n+1成等差数列,可知2S n =S n-1-1+S n+1,即S n -S n-1=-1+S n+1-S n ,即a n =-1+a n+1(n ≥2),则a n+1-a n =1(n ≥2),又a 2-a 1=1,故{a n }是公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知等差数列{a n }的公差为1.由S n =0,S n+1=4,得a n+1=4,即a 1+n=4.由S n =0,得na 1+=0,n (n -1)2即a 1+=0,解得n=7.n -122.解 (1)由题意得解得{a 1+3d =7,2(a 1+2d )+a 1+4d =19,{a 1=1,d =2.∴a n =1+2(n-1)=2n-1.(2)由题意可知b n -a n =2n ,∴b n =2n +2n-1,∴T n =(2+22+…+2n )+[1+3+…+(2n-1)],∴T n =2n+1+n 2-2.3.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 2+a 3=5ln 2.∴2a 1+3d=5ln 2,又a 1=ln 2,∴d=ln 2.∴a n =a 1+(n-1)d=n ln 2.(2)由(1)知a n =n ln 2.∵=e n ln 2==2n ,e ane ln 2n∴{}是以2为首项,2为公比的等比数列.e a n∴+…+ea 1+e a2ea n=2+22+…+2n =2n+1-2.∴+…+=2n+1-2.e a 1+e a 2e a n4.解 (1)设{a n }公差为d ,由题意得解得故a n =3n-1,b n =.{a 1+2d =8,a 1+2q =3,a 1+d +2q =6,{a 1=2,d =3,q =12,(12)n(2)∵+22n+1,1a n a n +1+1b n b n +1=13(1a n -1an +1)+1b n b n +1=13(1a n-1an +1)∴T n =+…+(22n+3-8)=.13[(12-15)+(15-18)(13n -1-13n +2)]+8(1-4n )1-4=13(12-13n +2)+1313(22n +3-13n +2)‒525.(1)证明 ∵2a n+1-2a n +a n+1a n =0,∴,1a n +1‒1a n =12故数列是以为公差的等差数列.{1a n}12(2)解 ∵b 1=f (0)=5,∴=5,7a 1-2=5a 1,7(a 1-1)+5a 1-1+1∴a 1=1,=1+(n-1)·,1a n 12∴a n =,b n ==7-(n+1)=6-n.2n +17a n -2a n 当n ≤6时,T n =(5+6-n )=;n2n (11-n )2当n ≥7时,T n =15+(1+n-6)=.故T n =n -62n 2-11n +602{n (11-n )2,n ≤6,n 2-11n +602,n ≥7.6.解 (1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项,得a 3+a 5=2a 4+4,所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28,解得a 4=8.由a 3+a 5=20,得8=20,(q +1q)解得q=2或q=,12因为q>1,所以q=2.(2)设c n =(b n+1-b n )a n ,数列{c n }前n 项和为S n ,由c n =解得c n =4n-1.{S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2,由(1)可知a n =2n-1,所以b n+1-b n=(4n-1)·.(12)n -1故b n -b n-1=(4n-5)·,n ≥2,(12)n -2b n -b 1=(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 3-b 2)+(b 2-b 1)=(4n-5)·+(4n-9)·+…+7·+3.(12)n -2(12)n -312设T n =3+7·+11·+…+(4n-5)·,n ≥2,12(12)2(12)n -2T n =3·+7·+…+(4n-9)·+(4n-5)·,1212(12)2(12)n -2(12)n -1所以T n =3+4·+4·+…+4·-(4n-5)·,1212(12)2(12)n -2(12)n -1因此T n =14-(4n+3)·,n ≥2,(12)n -2又b 1=1,所以b n =15-(4n+3)·.(12)n -2。

题型练10　大题综合练(二)1.在等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.2.为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位: kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间(45,50]上的女生数与体重在区间(50,60]上的女生数之比为4∶3.(1)求a,b的值;(2)从样本中体重在区间(50,60]上的女生中随机抽取两人,求体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中的概率.3.如图,四边形ABCD 为矩形,DA ⊥平面ABE ,AE=EB=BC=2,BF ⊥平面ACE 于点F ,且点F 在CE 上.(1)求证:AE ⊥BE ;(2)求三棱锥D-AEC 的体积;(3)设点M 在线段AB 上,且满足AM=2MB ,试在线段CE 上确定一点N ,使得MN ∥平面DAE.4.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点,焦点为F 1(-,0),F 2(,0),圆O 的直径为F 1F 2.(3,12)33(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P.①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若△OAB 的面积为,求直线l 的方程.2675.(2019江西南昌二模,21)已知函数f (x )=ln x+ax ,a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调区间;(2)当a=时,证明:x 3>f (x ).34题型练10　大题综合练(二)1.解 (1)设数列{a n }的公差为d ,由题意有2a 1+5d=4,a 1+5d=3,解得a 1=1,d=.25所以{a n }的通项公式为a n =.2n +35(2)由(1)知,b n=.[2n +35]当n=1,2,3时,1≤<2,b n =1;2n +35当n=4,5时,2≤<3,b n =2;2n +35当n=6,7,8时,3≤<4,b n =3;2n +35当n=9,10时,4≤<5,b n =4.2n +35所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.2.解 (1)样本中体重在区间(45,50]上的女生有a×5×20=100a (人),样本中体重在区间(50,60]上的女生有(b+0.02)×5×20=100(b+0.02)(人),依题意,有100a=×100(b+0.02),即a=×(b+0.02).①4343根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a )×5=1,②解①②得:a=0.08,b=0.04.(2)样本中体重在区间(50,55]上的女生有0.04×5×20=4人,分别记为A 1,A 2,A 3,A 4,体重在区间(55,60]上的女生有0.02×5×20=2人,分别记为B 1,B 2.从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况:(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,A 4),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,A 3),(A 2,A 4),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,A 4),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 4,B 1),(A 4,B 2),(B 1,B 2).其中体重在(55,60]上的女生至少有一人共有9种情况:(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 4,B 1),(A 4,B 2),(B 1,B 2).记“从样本中体重在区间(50,60]上的女生随机抽取两人,体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M ,则P (M )=.915=353.(1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ,AD ∥BC ,∴BC ⊥平面ABE ,∴AE ⊥BC.又BF ⊥平面ACE ,∴BF ⊥AE ,∵BC ∩BF=B ,∴AE ⊥平面BCE ,又BE ⊂平面BCE ,∴AE ⊥BE.(2)解 在△ABE 中,过点E 作EH ⊥AB 于点H ,则EH ⊥平面ACD.由已知及(1)得EH=AB=,S △ADC =2.1222故V D-AEC =V E-ADC =×2.132×2=43(3) 解 在△ABE 中过点M 作MG ∥AE 交BE 于点G ,在△BEC 中,过点G 作GN ∥BC 交BC 于点N ,连接MN ,则由,得CN= CE =BG BE =MB AB =1313∵MG ∥AE ,MG ⊄平面ADE ,AE ⊂平面AED ,∴MG ∥平面ADE.∵GN ∥BC ,BC ∥AD ,∴GN ∥平面ADE.∴平面MGN ∥平面ADE.又MN ⊂平面MGN ,∴MN ∥平面ADE.∴当点N 为线段CE 上靠近点C 的一个三等分点时,MN ∥平面ADE.4.解 (1)因为椭圆C 的焦点为F 1(-,0),F 2(,0),33可设椭圆C 的方程为=1(a>b>0).x 2a 2+y 2b 2又点在椭圆C 上,(3,12)所以解得{3a 2+14b 2=1,a 2-b 2=3,{a 2=4,b 2=1.因此,椭圆C 的方程为+y 2=1.x 24因为圆O 的直径为F 1F 2,所以其方程为x 2+y 2=3.(2)①设直线l 与圆O 相切于P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0),则=3,x 20+y 20所以直线l 的方程为y=-(x-x 0)+y 0,x 0y 0即y=-x+.x 0y 03y 0由消去y ,得{x 24+y 2=1,y =-x 0y 0x +3y 0,(4)x 2-24x 0x+36-4=0.(*)x 20+y 20y 20因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x 0)2-4(4)(36-4)=48-2)=0.x 20+y 20y 20y 20(x 20因为x 0,y 0>0,所以x 0=,y 0=1.2因此,点P 的坐标为(,1).2②因为△OAB 的面积为,26所以AB·OP=,从而AB=.12267427设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由(*)得,x 1,2=,24x 0±48y 20(x 20-2)2(4x 20+y 20)所以AB 2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=.(1+x 20y 20)·48y 20(x 20-2)(4x 20+y 20)2因为=3,所以AB 2=,则2-45+100=0,x 20+y 2016(x 20-2)(x 20+1)2=3249x 40x 20解得=20舍去),则,因此P 的坐标为.x 20=52(x 20y 20=12(102,22)综上,直线l 的方程为y=-x+3.525.(1)解 f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=+a=.1x ax +1x 则①当a ≥0时,f'(x )≥0恒成立,此时f (x )在区间(0,+∞)内单调递增;②当a<0时,令f'(x )>0,得x<-,所以f (x )在区间内单调递增,在区间内单调递减.1a (0,-1a )(-1a ,+∞)综上所述,当a ≥0时,f (x )的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a<0时,f (x )的单调递增区间为,单调递减区间为.(0,-1a )(-1a ,+∞)(2)证明 当x>0时,x-1≥ln x.所以欲证x 3>ln x+x ,只要证x 3>(x-1)+x=x-1.343474设g (x )=x 3-x+1(x>0),则g'(x )=3x 2-.7474令g'(x )=0,可得x 0=.723且当x ∈(0,x 0)时,g'(x )<0;当x ∈(x 0,+∞)时,g'(x )>0.所以g (x )在区间(0,x 0)内单调递减,在区间(x 0,+∞)内单调递增.所以g (x )≥g (x 0)=+1=1-.77243‒778377123因为(7)2=343<(12)2=432,所以7<12.7373所以g (x )≥g (x 0)>0,即x 3>(x-1)+x 恒成立.34所以x 3>ln x+x 恒成立,即x 3>f (x ).34。

1专题能力训练7 导数与函数的单调性、极值、最值一、能力突破训练1.(2018全国Ⅰ,文6)设函数f (x )=x 3+(a-1)x 2+ax ,若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A .y=-2xB .y=-xC .y=2xD .y=x2.(2019辽宁沈阳东北育才中学模拟,8)已知函数f (x )=2e f'(e)ln x-x ,则f (x )的极大值点为( ) A.x=1e B.x=1 C.x=eD.x=2e3.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax 2-x+a2与y=a 2x 3-2ax 2+x+a (a ∈R )的图象不可能是( )4.已知常数a ,b ,c 都是实数,f (x )=ax 3+bx 2+cx-34的导函数为f'(x ),f'(x )≤0的解集为{x|-2≤x ≤3}.若f (x )的极小值等于-115,则a 的值是( ) A.-8122B.13C.2D.55.已知函数f (x )=xlnx+a只有一个零点,则a 的取值范围为 .6.(2019湖北仙桃、天门、潜江联考,15)已知函数f (x )=12a sin 2x-(a+2)cos x-(a+1)x 在区间[-π2,π2]上无极值,则f (x )在区间[-π2,π2]上的最小值是 . 7.(2019河南名校联盟调研,20)已知函数f (x )=mx 3-2x 2. (1)若m=1,求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)若函数g (x )=f (x )-mx 2在区间[1,3]上单调递增,求实数m 的取值范围.8.设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k<0时,求函数f(x)在区间[k,-k]上的最小值m和最大值M.9.已知函数f(x)=ax(a>0,r>0).(x+r)2(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若a=400,求f(x)在区间(0,+∞)内的极值.r10.(2019全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.23二、思维提升训练 11.若0<x 1<x 2<1,则( ) A.e x 2−e x 1>ln x 2-ln x 1B.e x 2−e x 1<ln x 2-ln x 1C.x 2e x 1>x 1e x 2D.x 2e x 1<x 1e x 212.(2019河南新乡一模,11)若函数f (x )=a e x +sin x 在区间[-π2,0]上单调递增,则a 的取值范围为( ) A.[-√22e π4,+∞)B.[-1,1]C.[-1,+∞)D.[0,+∞)13.设动直线x=t 与函数f (x )=x 2,g (x )=ln x 的图象分别交于点A ,B ,则|AB|的最小值为 . 14.设f (x )=-13x 3+12x 2+2ax.(1)若f (x )在区间(23,+∞)内存在单调递增区间,求a 的取值范围;(2)当0<a<2时,f (x )在区间[1,4]上的最小值为-163,求f (x )在该区间上的最大值.15.设f n (x )=x+x 2+…+x n -1,x ≥0,n ∈N ,n ≥2.4(1)求f n '(2);(2)证明:f n (x )在区间(0,23)内有且仅有一个零点(记为a n ),且0<a n -12<13(23)n .16.设函数f (x )=x 3-3ax 2+3(2-a )x ,a ∈R . (1)求f (x )的单调递增区间;(2)若y=f (x )的图象与x 轴相切于原点,当0<x 2<x 1时,f (x 1)=f (x 2).求证:x 1+x 2<8.5专题能力训练7 导数与函数的单调性、极值、最值一、能力突破训练1.D 解析 因为f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),即-x 3+(a-1)x 2-ax=-x 3-(a-1)x 2-ax ,解得a=1,则f (x )=x 3+x. 由f'(x )=3x 2+1,得曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.2.D 解析 f'(x )=2ef '(e )x −1e ,所以f'(e)=2ef '(e )e −1e =2f'(e)-1e ,解得f'(e)=1e ,则f'(x )=2x −1e .由f'(x )>0,得0<x<2e;由f'(x )<0,得x>2e .所以函数f (x )在区间(0,2e)内单调递增,在区间(2e,+∞)内单调递减,因此f (x )的极大值点为x=2e . 3.B 解析 显然当a=0时,D 中图象是可能的,当a ≠0时,由y=a 2x 3-2ax 2+x+a (a ∈R )求导得y'=3a 2x 2-4ax+1, 令y'=0,得x=1a 或x=13a .函数y=ax 2-x+a2的图象的对称轴为x=12a , 不管a>0还是a<0,都有1在1与1之间,而由B 中图象可知1<1<1. 因此B 项中图象不可能.当a>0时,可判断得A,C 项中图象都有可能.4.C 解析 依题意得f'(x )=3ax 2+2bx+c ≤0的解集是[-2,3],于是有3a>0,-2+3=-2b3a ,-2×3=c3a ,则b=-3a2,c=-18a. 函数f (x )在x=3处取得极小值,于是有f (3)=27a+9b+3c-34=-115, 则-812a=-81,解得a=2.故选C.5.(-∞,0]∪{1e } 解析 ∵f (x )=xlnx+ax+1只有一个零点,∴x ln x+a=0只有一个解,即a=-x ln x 只有一个解.设g (x )=-x ln x (x>0),则g'(x )=-ln x-1=-(ln x+1),∴当0<x<1时,g'(x )>0;当x>1时,g'(x )<0,∴g (x )在区间(0,1e )内单调递增,在区间(1e ,+∞)内单调递减,∴当x=1e 时,g (x )取得最大值g (1e )=1e ,且当x →0时,g (x )→0,当x →+∞时,g (x )→-∞.6∵a=g (x )只有一个解, ∴a ≤0或a=1e .6.-3π2 解析 f'(x )=a cos 2x+(a+2)sin x-a-1=a (1-2sin 2x )+(a+2)sin x-a-1 =-2a sin 2x+(a+2)sin x-1=-(2sin x-1)(a sin x-1).因为当f'(x )=0时一定有sin x=12,即x=π6∈[-π2,π2],所以要使f (x )无极值,则a=2, 此时f'(x )=-(2sin x-1)2≤0恒成立,即f (x )在区间[-π2,π2]上单调递减,故在区间[-π2,π2]上, f (x )的最小值为f (π2)=-3π2.7.解 (1)当m=1时,f (x )=x 3-2x 2,f'(x )=3x 2-4x , 则f'(1)=3-4=-1,而f (1)=1-2=-1,故所求切线方程为y+1=-(x-1),即x+y=0.(2)依题意,得g (x )=mx 3-(m+2)x 2,则g'(x )=3mx 2-2(m+2)x.由g (x )在区间[1,3]上是增函数,则g'(x )=3mx 2-2(m+2)x ≥0在区间[1,3]上恒成立, 所以m (3x-2)≥4.因为3x-2>0,所以m ≥43x -2. 记h (x )=43x -2,则m ≥h (x )max .而函数h (x )在区间[1,3]上为减函数,则h (x )max =h (1)=4,所以m ≥4. 故实数m 的取值范围是[4,+∞). 8.解 f'(x )=3x 2-2kx+1.(1)当k=1时,f'(x )=3x 2-2x+1,Δ=4-12=-8<0,则f'(x )>0,f (x )在R 上单调递增,即f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞),f (x )没有单调递减区间. (2)当k<0时,f'(x )=3x 2-2kx+1,其图象开口向上,对称轴为x=k3,且过点(0,1).7①当Δ=4k 2-12=4(k+√3)(k-√3)≤0,即-√3≤k<0时,f'(x )≥0,f (x )在区间[k ,-k ]上单调递增,从而当x=k 时,f (x )取得最小值m=f (k )=k.当x=-k 时,f (x )取得最大值M=f (-k )=-k 3-k 3-k=-2k 3-k.②当Δ=4k 2-12=4(k+√3)(k-√3)>0,即k<-√3时,令f'(x )=3x 2-2kx+1=0,解得x 1=k+√k 2-33,x 2=k -√k 2-33,注意到k<x 2<x 1<0,注:可用根与系数的关系判断x 1·x 2=13,x 1+x 2=2k 3>k ,从而k<x 2<x 1<0;或者由对称结合图象判断 则m=min{f (k ),f (x 1)},M=max{f (-k ),f (x 2)}.∵f (x 1)-f (k )=x 13-k x 12+x 1-k=(x 1-k )(x 12+1)>0,∴f (x )的最小值m=f (k )=k. ∵f (x 2)-f (-k )=x 23-k x 22+x 2-(-2k 3-k )=(x 2+k )[(x 2-k )2+k 2+1]<0,∴f (x )的最大值M=f (-k )=-2k 3-k.综上所述,当k<0时,f (x )的最小值m=f (k )=k ,最大值M=f (-k )=-2k 3-k. 9.解 (1)由题意知x ≠-r ,所求的定义域为(-∞,-r )∪(-r ,+∞). f (x )=ax(x+r )2=axx 2+2rx+r 2,f'(x )=a (x 2+2rx+r 2)-ax (2x+2r )(x 2+2rx+r 2)2=a (r -x )(x+r )(x+r )4,所以当x<-r 或x>r 时,f'(x )<0.当-r<x<r 时,f'(x )>0.因此,f (x )的单调递减区间为(-∞,-r ),(r ,+∞);f (x )的单调递增区间为(-r ,r ).(2)由(1)的解答可知f'(r )=0,f (x )在区间(0,r )内单调递增,在区间(r ,+∞)内单调递减. 因此,x=r 是f (x )的极大值点.所以f (x )在区间(0,+∞)内的极大值为f (r )=ar (2r )2=a 4r =4004=100. 10.证明 (1)f (x )的定义域为(0,+∞). f'(x )=x -1x +ln x-1=ln x-1x .8因为y=ln x 单调递增,y=1x单调递减,所以f'(x )单调递增.又f'(1)=-1<0,f'(2)=ln 2-12=ln4-12>0,故存在唯一x 0∈(1,2),使得f'(x 0)=0. 又当x<x 0时,f'(x )<0,f (x )单调递减; 当x>x 0时,f'(x )>0,f (x )单调递增. 因此,f (x )存在唯一的极值点.(2)由(1)知f (x 0)<f (1)=-2,又f (e 2)=e 2-3>0, 所以f (x )=0在区间(x 0,+∞)内存在唯一根x=α. 由α>x 0>1,得1α<1<x 0.又f 1α=1α-1ln 1α−1α-1=f (α)α=0, 故1α是f (x )=0在区间(0,x 0)内的唯一根.综上,f (x )=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. 二、思维提升训练11.C 解析 设f (x )=e x-ln x ,则f'(x )=x ·e x -1x .当x>0,且x 趋近于0时,x·e x -1<0;当x=1时,x·e x -1>0,因此在区间(0,1)内必然存在x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2),因此A,B 不正确. 设g (x )=e x x,当0<x<1时,g'(x )=(x -1)e xx 2<0,则g (x )在区间(0,1)内为减函数.所以g (x 1)>g (x 2),即e x 1x1>e x 2x 2, 所以x 2e x 1>x 1e x 2.故选C.12.D 解析 依题意,得f'(x )=a e x +cos x ≥0,即a ≥-cosxe x 对x ∈[-π2,0]恒成立. 设g (x )=-cosxe x ,则g'(x )=√2sin (x+π4)e x.当x ∈[-π2,-π4)时,g'(x )<0;当x ∈(-π4,0)时,g'(x )>0,故g (x )max =max {g (-π2),g (0)}=0,故a ≥0.13.12+12ln 2 解析 易得A (t ,t 2),B (t ,ln t ),所以|AB|=t 2-ln t. 令f (t )=t 2-ln t (t>0),则f'(t )=2t-1=2t 2-1=(√2t -1)(√2t+1).9令f'(t )>0,得t>√22;令f'(t )<0,得0<t<√22.所以函数f (t )在区间(0,√22)内单调递减,在区间(√22,+∞)内单调递增.所以当t=√22时,f (t )取得极小值,同时也是最小值为f (√2)=(√2)2-ln √2=1+1ln 2. 所以|AB|的最小值为1+1ln 2. 14.解 (1)f'(x )=-x 2+x+2a=-(x -12)2+14+2a ,当x ∈[23,+∞)时,f'(x )的最大值为f'(23)=29+2a.令29+2a>0,得a>-19,故当a>-19时,f (x )在区间(23,+∞)内存在单调递增区间. (2)令f'(x )=0,得两根x 1=1-√1+8a 2,x 2=1+√1+8a2. 所以f (x )在区间(-∞,x 1),(x 2,+∞)内单调递减,在区间(x 1,x 2)内单调递增. 当0<a<2时,有x 1<1<x 2<4,则f (x )在区间[1,4]上的最大值为f (x 2). 又f (4)-f (1)=-272+6a<0,即f (4)<f (1),所以f (x )在区间[1,4]上的最小值为f (4)=8a-40=-16,得a=1,x 2=2, 从而f (x )在区间[1,4]上的最大值为f (2)=103. 15.(1)解法一 由题设f n '(x )=1+2x+…+nx n-1. 所以f n '(2)=1+2×2+…+(n-1)2n-2+n·2n-1, ① 则2f n '(2)=2+2×22+…+(n-1)2n-1+n·2n .②①-②得,-f n '(2)=1+2+22+…+2n-1-n·2n=1-2n1-2-n·2n =(1-n )2n -1.所以f n '(2)=(n-1)2n +1. 解法二 当x ≠1时,f n (x )=x -x n+11-x -1,10则f n '(x )=[1-(n+1)x n ](1-x )+(x -x n+1)(1-x )2,可得f n '(2)=-[1-(n+1)2n ]+2-2n+1(1-2)2=(n-1)2n +1.(2)证明 因为f n (0)=-1<0,f n (23)=23[1-(23)n ]1-23-1 =1-2×(2)n ≥1-2×(2)2>0,所以f n (x )在区间(0,23)内至少存在一个零点.又f n '(x )=1+2x+…+nx x-1>0, 所以f n (x )在区间(0,23)内单调递增,因此f n (x )在区间(0,23)内有且仅有一个零点a n .由于f n (x )=x -x n+11-x -1, 所以0=f n (a n )=a n -a nn+1n-1.由此可得a n =12+12a n n+1>12,故12<a n <23. 所以0<a n -12=12a nn+1<12×(23)n+1=13(23)n. 16.(1)解 f'(x )=3x 2-6ax+3(2-a ),Δ=36(a 2+a-2)=36(a+2)(a-1).①当a<-2或a>1时,由f'(x )=0得x=a ±√a 2+a -2.f (x )的单调递增区间为(-∞,a-√a 2+a -2),(a+√a 2+a -2,+∞).②当-2≤a ≤1时,f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞).(2)证明 f'(x )=3x 2-6ax+3(2-a ), 由f'(0)=0,得a=2. 即f (x )=x 3-6x 2,f (0)=0.由(1)知f (x )在区间(-∞,0),(4,+∞)内单调递增,在区间(0,4)内单调递减,则a=2符合题设.(方法一)∵f(x1)=f(x2),0<x2<x1,∴0<x2<4,x1>4,则8-x2>4,而f(x2)-f(8-x2)=(2x2-8)(x2-4)2<0.∴f(x2)<f(8-x2).又f(x1)=f(x2),∴f(x1)<f(8-x2),f(x)在区间(4,+∞)上单调递增,故x1<8-x2,即x1+x2<8.(方法二)由f(x1)=f(x2),得x13-6x12=x23-6x22,化简,得(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=6(x1+x2)·(x1-x2).∵0<x2<x1,∴x12+x1x2+x22=6(x1+x2),∵x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-x1x2>(x1+x2)2-(x1+x2)24=34(x1+x2)2,∴6(x1+x2)>34(x1+x2)2,解得x1+x2<8.11。

题型练1选择、填空综合练(一)一、能力突破训练1.(2018全国Ⅲ,文1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}2.(2019山西吕梁二模,2)若复数z=(a∈R)的实部是2,则z的虚部是()A.iB.1C.2iD.23.(2019全国Ⅰ,文3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a4.(2019全国Ⅲ,文4)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位.阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.85.已知命题p:∃x0∈(-∞,0),;命题q:∀x∈,tan x>x,则下列命题中的真命题是()A.p∧qB.p∨(q)C.p∧(q)D.(p)∧q6.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.87.(2019全国Ⅰ,文6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生8.过椭圆=1(a>b>0)的两个焦点作垂直x轴的直线与椭圆有四个交点,这四个交点恰好为正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为()A.B.-C.-D.9.设a=sin-,函数f(x)=-则f的值等于()A.B.4C.D.610.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)11.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则()·的最小值为()A.B.9 C.-D.-912.函数f(x)=(1-cos x)sin x在区间[-π,π]上的图象大致为()13.若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=.14.模拟从1,2,3,4,5这5个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和为5的概率是.15.(2019全国Ⅰ,文14)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=.16.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=A+,b=2a,则B=.二、思维提升训练17.已知i是虚数单位,是z=1+i的共轭复数,则在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限18.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19.某算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为()A.-1B.0C.1D.520.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是D1B,A1C上不重合的两个动点,给出下列四个结论:①C1E∥AF;②平面AFD∥平面B1EC1;③AB1⊥EF;④平面AED⊥平面ABB1A1.其中,正确结论的序号是()A.①②B.②③C.①④D.③④21.设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则()A.对任意实数a,(2,1)∈AB.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉AD.当且仅当a≤时,(2,1)∉A22.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=123.函数y=x sin x在区间[-π,π]上的图象是()24.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,若函数f(x)=x3+bx2+(a2+c2-ac)x+1有极值点,则∠B的取值范围是()A.B.C.D.25.将函数y=sin 2x(x∈R)的图象分别向左平移m(m>0)个单位、向右平移n(n>0)个单位所得到的图象都与函数y=sin(x∈R)的图象重合,则|m-n|的最小值为()A.B.C.D.26.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为()A.8B.15C.16D.3227.已知O是锐角三角形ABC的外接圆圆心,∠A=60°,=2m·,则m的值为()A.B.C.1 D.28.(2019全国Ⅰ,文10)若双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为() A.2sin 40° B.2cos 40°C.°D.°29.(2018全国Ⅱ,文14)若x,y满足约束条件---则z=x+y的最大值为.30.在平面直角坐标系中,设直线l:kx-y+=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点,,若点M在圆O上,则实数k=.31.(2019湖北武汉4月调研,15)将一个表面积为100π的木质球削成一个体积最大的圆柱,则该圆柱的高为.32.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足=3,则数列{a n}的公差为.题型练1选择、填空综合练(一)一、能力突破训练1.C解析由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.2.B解析∵z=---i,∴=2,即a=3.∴z的虚部为-=1.3.B解析因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<0.20.3<0.20<1,即c∈(0,1),所以a<c<b.故选B.4.C解析由题意得,阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7.故选C.5.D解析由图象可知命题p是假命题,p是真命题;当x∈时,tan x>x,成立,命题q是真命题,q是假命题,故选D.6.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.7.C解析由已知得将1 000名新生分为100组,每组10名学生,用系统抽样抽到46号学生,则第一组应为6号学生,所以每组抽取的学生号构成等差数列{a n},所以a n=10n-4,n∈N*,若10n-4=8,则n=1.2,不合题意;若10n-4=200,则n=20.4,不合题意;若10n-4=616,则n=62,符合题意;若10n-4=815,则n=81.9,不合题意.故选C.8.B解析∵过椭圆=1(a>b>0)的两个焦点作垂直x轴的直线与椭圆有四个交点,这四个交点恰好为正方形的四个顶点,∴c=,∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0.∵0<e<1,∴e=-,故选B.9.C解析a=sin-=sin-=sin-=sin,则f(x)=-得f=f(log26)=,故选C.10.D解析由题意可知x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x2-2x-8在区间(-∞,-2)内单调递减,在区间(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t在t∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D.11.C解析∵=2,∴()·=2=-2||·||.又||+||=||=3≥2⇒||·||≤,∴()·≥-.故答案为-.12.C解析由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;又f'(x)=-2cos2x+cos x+1,令f'(0)=0,则cos x=1或cos x=-,结合x∈[-π,π],求得f(x)在区间(0,π]上的极大值点为,靠近π,排除D.13.2解析由题意知a=1,b=,m>0,c=,则离心率e=,解得m=2.14.解析根据题意,从5个数中一次随机取两个数,其情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种情况,其中这两个数的和为5的有(1,4),(2,3),共2种;则取出两个数的和为5的概率P=.故答案为.15.解析设等比数列{a n}的公比为q.S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0.解得q=-.故S4=----.16.解析在△ABC中,因为b=2a,由正弦定理,得sin B=2sin A,则sin=2sin A,化简,得sin A-cos A=0,即sin-=0,解得A=,则B=A+.二、思维提升训练17.C解析=1-i,则--=-i,对应复平面内点的坐标为--,在第三象限.18.A解析若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又因为a⊆α,b⊆β,所以P∈α,P∈β.故α,β相交.反之,若α,β相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,则有a∥b.显然a,b可能相交,也可能异面或平行.综上,“直线a,b相交”是“平面α,β相交”的充分不必要条件.19.C解析由算法的程序框图可知,给出的是分段函数y=当x>2时y=2x>4,若输出的y=,则sin,结合选项可知选C.20.D解析当点E与点D1重合,点F与点A1重合时,C1E与AF不平行,平面AFD与平面B1EC1不平行,所以①②错误.因为AB1⊥平面BCD1A1,EF⊂平面BCD1A1,所以AB1⊥EF.因为AD⊥平面ABB1A1,所以平面AED⊥平面ABB1A1,因此③④正确,故选D.-21.D解析若(2,1)∈A,则化简,得所以a>.-所以当且仅当a≤时,(2,1)∉A,故选D.22.A解析根据题意知2a=12,得a=6,离心率e=,所以c=3,于是b2=9,椭圆方程为=1.23.A解析容易判断函数y=x sin x为偶函数,可排除D;当0<x<时,y=x sin x>0,排除B;当x=π时,y=0,可排除C.故选A.24.D解析函数f(x)的导函数f'(x)=x2+2bx+(a2+c2-ac),若函数f(x)有极值点,则Δ=(2b)2-4(a2+c2-ac)>0,得a2+c2-b2<ac,由余弦定理,得cos B=-,则B>,故选D.25.C解析函数y=sin 2x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位可得y=sin 2(x+m)=sin(2x+2m)的图象,向右平移n(n>0)个单位可得y=sin 2(x-n)=sin(2x-2n)的图象.若两图象都与函数y=sin(x∈R)的图象重合,则-(k1,k2∈Z),即-(k1,k2∈Z).所以|m-n|=-(k1,k2∈Z),当k1=k2时,|m-n|min=.故选C.26.C解析设数据x1,x2,…,x10的平均数为,标准差为s,则2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的平均数为2-1,方差为------…---=--…-=4s2,因此标准差为2s=2×8=16.故选C.27.A解析如图,当△ABC为正三角形时,A=B=C=60°,取D为BC的中点,,则有=2m·,∴)=2m×,∴·2,∴m=,故选A.28.D解析由已知可得-=tan 130°=-tan 50°,则e=°=°°°°°°.故选D.29.9解析由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,z max=9.30.±1解析如图,,则四边形OAMB是锐角为60°的菱形,此时,点O到AB距离为1.由=1,解得k=±1.31.解析由S=4πR2,得100π=4πR2,解得R=5.如图,设球心到圆柱底面的距离为d,圆柱底面半径为r,则r2=R2-d2=25-d2.∴圆柱体积V(d)=πr2·2d=2dπ(25-d2)=-2πd3+50πd,故V'(d)=-6πd2+50π,令V'(d)=0,得d=.当d=时,圆柱体积V(d)最大,则圆柱的高为2d=.32.2解析∵S n=na1+-d,∴=a1+-d,∴--d,又=3,∴d=2.。

专题能力训练21不等式选讲(选修4—5)一、能力突破训练1.(2019广东汕头二模,23)已知函数f(x)=|2x+2|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)若y=f(x)的最小值为m,当正数a,b满足2b +1a=m时,求a+2b的最小值.2.设函数f(x)=|x+1a|+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.3.已知关于x的不等式m-|x-2|≥1,其解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.14.已知函数f(x)=|x-12|+|x+12|,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.5.(2018全国Ⅰ,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.二、思维提升训练6.(2019山东青岛质检,23)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|a-x|+|x+b|+c.(1)当a=b=c=2时,求不等式f(x)<8的解集;(2)若函数f(x)的最小值为1,证明:a2+b2+c2≥13.27.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-1;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.38.(2019全国Ⅲ,文23)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;成立,证明:a≤-3 或a≥-1.(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥1345专题能力训练21 不等式选讲(选修4—5)一、能力突破训练1.解 (1)f (x )={-3x -1,x <-1,x +3,-1≤x ≤1,3x +1,x >1.画出y=f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知f (x )min =f (-1)=2,∴m=2.∴2b +1a =2.∴a+2b=12(a+2b )(2b +1a )=a +b +5≥2√a ·b +5=9,当且仅当a =b ,即a=b=3时等号成立.∴a+2b 的最小值为92.2.(1)证明 由a>0,有f (x )=|x +1a |+|x-a|≥|x +1a -(x -a )|=1a +a ≥2.故f (x )≥2.(2)解 f (3)=|3+1a |+|3-a|.当a>3时,f (3)=a+1a ,由f (3)<5,得3<a<5+√212. 当0<a ≤3时,f (3)=6-a+1a ,由f (3)<5,得1+√52<a ≤3.综上,a 的取值范围是(1+√52,5+√212).3.解 (1)不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,6∴1-m ≤x-2≤m-1,即3-m ≤x ≤m+1.∵其解集为[0,4],∴{3-m =0,m +1=4,m=3. (2)由(1)知a+b=3.(方法一:利用基本不等式)∵(a+b )2=a 2+b 2+2ab ≤(a 2+b 2)+(a 2+b 2)=2(a 2+b 2),∴a 2+b 2≥92,当且仅当a=b=32时取等号,∴a 2+b 2的最小值为92.(方法二:消元法求二次函数的最值) ∵a+b=3,∴b=3-a ,∴a 2+b 2=a 2+(3-a )2=2a 2-6a+9=2(a -3)2+9≥9,∴a 2+b 2的最小值为92.4.(1)解 f (x )={ -2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12. 当x ≤-12时,由f (x )<2得-2x<2,解得x>-1;当-12<x<12时,f (x )<2;当x ≥12时,由f (x )<2得2x<2,解得x<1.所以f (x )<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)证明 由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.5.解 (1)当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}.7(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a ,所以2a ≥1,故0<a ≤2.综上,a 的取值范围为(0,2].二、思维提升训练6.(1)解 当a=b=c=2时,f (x )=|x-2|+|x+2|+2={2-2x ,x ≤-2,6,-2<x <2,2x +2,x ≥2, ∴f (x )<8⇔{x ≤-2,2-2x <8或{-2<x <2,6<8或{x ≥2,2x +2<8.∴不等式的解集为{x|-3<x<3}.(2)证明 ∵a>0,b>0,c>0,∴f (x )=|a-x|+|x+b|+c ≥|a-x+x+b|+c=|a+b|+c=a+b+c ,当且仅当(a-x )(x+b )≥0时等号成立.∵f (x )的最小值为1,∴a+b+c=1,∴(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc=1.∵2ab ≤a 2+b 2,2bc ≤b 2+c 2,2ac ≤a 2+c 2,当且仅当a=b=c 时等号成立, ∴1=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ≤3(a 2+b 2+c 2).∴a 2+b 2+c 2≥13.7.解 (1)∵a=2,∴f (x )=|x-3|-|x-2|={1,x ≤2,5-2x ,2<x <3,-1,x ≥3,∴f (x )≤-12等价于{x ≤2,1≤-1或{5-2x ≤-12,2<x <3或{x ≥3,-1≤-1.解得114≤x<3或x ≥3,∴不等式的解集为{x |x ≥114}.(2)由不等式性质可知f (x )=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a )|=|a-3|,∴若存在实数x ,使得不等式f (x )≥a 成立,则|a-3|≥a ,解得a ≤32.∴实数a 的取值范围是(-∞,32].8 8.(1)解 由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=5,y=-1,z=-1时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明 由于[(x-2)+(y-1)+(z-a )]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a )+(z-a )(x-2)] ≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥(2+a )23,当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2的最小值为(2+a )23.由题设知(2+a )23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.。