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9-1空间几何体的结构特征及其直观图、三视图基础巩固强化1.(文)(2011·合肥市质检)下图是一个几何体的三视图，其中正(主)视图和侧(左)视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π[答案] B[解析] 由三视图知，该几何体是两底半径分别为1和2，母线长为4的圆台，故其侧面积S ＝π(1＋2)×4＝12π.(理)一个几何体的三视图如图所示，正视图上部是一个边长为4的正三角形，下部是高为3两底长为3和4的等腰梯形，则其表面积为( )A.31π2B.63π2C.π4(57＋737) D.π4(41＋737) [答案] D [解析]由三视图知，该几何体是一个组合体，上部是底半径为2，高为23的圆锥，下部是两底半径分别为2和32，高为3的圆台，其表面积S ＝π×2×4＋π(2＋32)×372＋π·(32)2＝π4(41＋737)，故选D. 2．如图所示是水平放置三角形的直观图，D 是△ABC 的BC 边中点，AB 、BC 分别与y ′轴、x ′轴平行，则三条线段AB 、AD 、AC 中( )A ．最长的是AB ，最短的是AC B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AC ，最短的是AD [答案] B[解析] 由条件知，原平面图形中AB ⊥AC ，从而AB <AD <AC .3．(文)(2012·河南六市联考)如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A．14 3 B．6＋2 3 C．12＋2 3 D．16＋2 3 [答案] C[解析] 该几何体是一个正三棱柱，设底面正三角形边长为a，则32a＝3，∴a＝2，又其高为2，故其全面积S＝2×(34×22)＋3×(2×2)＝12＋2 3.(理)(2011·北京西城模拟)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析] 根据三视图画法规则“长对正，高平齐、宽相等”，俯视图应与正视图同长为3，与侧视图同宽为2，故一定不可能是圆和正方形．4．(文)(2011·广东文，9)如下图，某几何体的正视图(正视图)，侧视图(侧视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2[答案] C[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥，底面是菱形，其面积S ＝12×23×2＝23，高h ＝3，所以V ＝13Sh ＝13×23×3＝2 3.(理)(2012·保定市一模)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为m)，则该棱锥的体积是(单位：m 3)．( )A ．4＋2 6B ．4＋ 6 C.23 D.43[答案] D[解析] 由侧视图和俯视图是全等的等腰三角形，及正视图为等腰直角三角形可知，该几何体可看作边长AB ＝BC ＝3，AC ＝1的△ABC 绕AC 边转动到与平面△PAC 位置(平面PAC ⊥平面ABC )所形成的几何体，故其体积V ＝13×(12×2×2)×2＝43.5．(文)(2011·广东省东莞市一模)一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图与侧视图中x 的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 [答案] C[解析] 根据题中的三视图可知，该几何体是圆柱和正四棱锥的组合体，圆柱的底半径为2，高为x ，四棱锥的底面正方形对角线长为4，四棱锥的高h ＝32－22＝5，其体积为V ＝13×8×5＋π×22×x ＝12π＋853，解得x ＝3. (理)(2011·新课标全国理，6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[答案] D [解析]由正视图知该几何体是锥体，由俯视图知，该几何体的底面是一个半圆和一个等腰三角形，故该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组成的，两锥体有公共顶点，圆锥的两条母线为棱锥的两侧棱，其直观图如图，在侧视图中，O 、A 与C 的射影重合，侧视图是一个三角形△PBD ，OB ＝OD ，PO ⊥BD ，PO 为实线，故应选D.6．(文)(2012·河北郑口中学模拟)某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图不可以是( )[答案] D[解析] 由正视图及俯视图可知该几何体的高为1，又∵其体积为13，故为锥体，∴S 底＝1，A 中为三角形，此时其底面积为12，舍去；B 为14个圆，底面积为π4，也舍去，C 为圆，其面积为π舍去，故只有D 成立．[点评] 如果不限定体积为13，则如图(1)在三棱锥P －ABC 中，AC ⊥BC ，PC ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝PC ＝1，则此三棱锥满足题设要求，其俯视图为等腰直角三角形A ；如图(2)，底半径为1，高为1的圆锥，被截面POA 与POB 截下一角，OA ⊥OB ，则此时几何体满足题设要求，其俯视图为B ；如图(3)，这是一个四棱锥，底面是边长为1的正方形，PA ⊥平面ABCD ，此几何体满足题设要求，其俯视图为D.(理)(2012·大同市调研)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．8 B.203 C.173D.143[答案] C[解析] 由题可知，原正方体如图所示，被平面EFB 1D 1截掉的几何体为棱台AFE －A 1B 1D 1，则所求几何体的体积V ＝23－V A 1B 1D 1－AEF ＝23－13×(2＋12＋2×12)×2＝173，故选C.7．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角梯形，侧(左)视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.[答案] 32[解析] 依据三视图知，该几何体的上、下底面均为矩形，上底面是边长为1的正方形，下底面是长为2，宽为1的矩形，左侧面是与底面垂直的正方形，其直观图如图所示，易知该几何体是四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，其体积V ＝S 梯形ABCD ·AA 1＝1＋2×12×1＝32cm 3. 8．(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为________．[答案] 2[解析] 由条件知，该三棱锥底面为正三角形，边长为2，一条侧棱与底面垂直，该侧棱长为2，故正视图为一直角三角形，两直角边的长都是2，故其面积S ＝12×2×2＝2.9．(2011·安徽知名省级示范高中联考)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过对角线BD 1的一个平面交AA 1于E ，交CC 1于F ，得四边形BFD 1E ，给出下列结论：①四边形BFD 1E 有可能为梯形； ②四边形BFD 1E 有可能为菱形；③四边形BFD 1E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形BFD 1E 有可能垂直于平面BB 1D 1D ； ⑤四边形BFD 1E 面积的最小值为62. 其中正确的是________．(请写出所有正确结论的序号) [答案] ②③④⑤[解析] ∵平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，平面BFD 1E ∩平面ADD 1A 1＝D 1E ，平面BFD 1E ∩平面BCC 1B 1＝BF ，∴D 1E ∥BF ；同理BE ∥FD 1，∴四边形BFD 1E 为平行四边形，①显然不成立；当E 、F 分别为AA 1、CC 1的中点时，易证BF ＝FD 1＝D 1E ＝BE ，∴EF ⊥BD 1，又EF ∥AC ，AC ⊥BD ，∴EF⊥BD ，∴EF ⊥平面BB 1D 1D ，∴平面BFD 1E ⊥平面BB 1D 1E ，∴②④成立，四边形BFD 1E 在底面的投影恒为正方形ABCD .当E 、F 分别为AA 1、CC 1的中点时，四边形BFD 1E 的面积最小，最小值为62. 10．在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P －MAB 与四棱锥P －ABCD 的体积之比． [解析] (1)证明：∵MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ， ∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ⊥DC . ∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .(2)不妨设MA ＝1，∵四边形ABCD 为正方形，∴PD ＝AD ＝2， 又∵PD ⊥平面ABCD ，所以V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83.由于DA ⊥平面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离， 三棱锥V P －MAB ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×2＝23.所以V P －MAB ：V P －ABCD ＝1：4.能力拓展提升11.(2011·湖南六市联考)一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为( )A.32B.12 C ．1 D ．2[答案] A[解析] 由三视图知，该几何体是正六棱锥，底面正六边形的边长为1，侧棱长为2，故侧视图为一等腰三角形，底边长3，高为正六棱锥的高3，故其面积为S ＝12×3×3＝32. 12．(2011·皖南八校联考)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( )[答案] B [解析]由三视图间的关系，易知其侧视图是一个底边为3，高为2的直角三角形，故选B. [点评] 由题设条件及正视图、俯视图可知，此三棱锥P －ABC 的底面是正△ABC ，侧棱PB ⊥平面ABC ，AB ＝2，PB ＝2.13．(2012·内蒙包头市模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是________．[答案] 16π[解析] 由三视图知，该几何体是一个正三棱柱，底面正三角形边长为3，高为2，故其外接球半径R 满足R 2＝(22)2＋(23×32×3)2＝4，∴R ＝2，∴S 球＝4πR 2＝16π.14．(2011·南京市调研)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.[答案] 13[解析] 如图，将三棱柱侧面A1ABB1置于桌面上，以A1A为界，滚动两周(即将侧面展开两次)，则最短线长为AA″1的长度，∴AA1＝5，AA″＝12，∴AA″1＝13.15．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径长与两底面面积的和．[解析] 如图所示，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO ＝30°， 在Rt △SA ′O ′中，rSA ′＝sin30°， ∴SA ′＝2r ，在Rt △SAO 中，2rSA＝sin30°，∴SA ＝4r .∵SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a . ∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2.∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.16．(文)(2011·青岛质检)如下的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积． [解析] (1)如图．(2)所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥 ＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)． (理)多面体PABCD 的直观图及三视图如图所示，E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PDC .[解析] 由多面体PABCD 的三视图知，该几何体是四棱锥，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 是等腰直角三角形，PA ＝PD ＝2，且平面PAD ⊥平面ABCD .(1)连接AC ，则F 是AC 的中点， 又∵E 是PC 的中点， ∴在△CPA 中，EF ∥PA ， 又PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD .(2)∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PA .∵△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝π2.即PA ⊥PD .又CD ∩PD ＝D ，∴PA ⊥平面PDC .1．(2011·宁夏银川一中检测)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是( )[答案] B[分析] 可以直接根据变化率的含义求解，也可以求出函数的解析式进行判断．[解析] 容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象上就是其切线的斜率逐渐减小，故选B.[点评] 本题在空间几何体三视图和函数的变化率交汇处命制，重点是对函数变化率的考查，这种在知识交汇处命制题目考查对基本概念的理解与运用的命题方式值得重视．2.(2011·惠州模拟)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )A．6 B．7 C．8 D．9[答案] A3．(2011·河源模拟)如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是( )[答案] B[解析] 箭头所指正面的观察方向与底面直角三角形边长为4的边平行，故该边的射影为一点，与其垂直的直角边的长度3不变，高4不变，故选B.4.(2011·辽宁文，8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2 D. 3[答案] B[解析] 由题意可设棱柱的底面边长为a ，则其体积为34a 2·a ＝23，得a ＝2. 由俯视图易知，三棱柱的侧视图是以2为长，3为宽的矩形．∴其面积为2 3.故选B.5．(2011·天津理，10)一个几何体的三视图如下图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.[答案] π＋6[解析] 根据三视图知该几何体是一个长方体上面放一个圆锥．因而V＝V长方体＋V圆锥，又知长方体长、宽、高分别为3、2、1，圆锥的底面半径为1，高为3，从而求出体积为(π＋6)m3.6．下图是一几何体的直观图和三视图．(1)若F为PD的中点，求证：AF⊥平面PCD；(2)求几何体BEC－APD的体积．[解析] (1)证明：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA＝2EB＝4.∵PA＝AD，F为PD的中点，∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥AF.∴AF ⊥平面PCD .(2)V BEC －APD ＝V C －APEB ＋V P －ACD ＝13×12×(4＋2)×4×4＋13×12×4×4×4＝803.。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-7二项式定理课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(x ＋ax )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．1 D ．2[答案] D[解析] T r ＋1＝C r 5x 5－r (a x )r ＝C r 5·a r ·x 5－2r 令5－2r ＝3，得r ＝1，∴C 15a ＝10，∴a ＝2.2．(2013·山东济南一模)二项式(x 2－13x )8的展开式中的常数项是( )A ．28B ．－7C ．7D ．－28[答案] C[解析] 二项式(x 2－13x )8展开式中的通项为T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (－13x )r ＝(－1)r C r 82r －8x 8－4r 3，令8－4r 3＝0得r ＝6，∴常数项是(－1)6C 6822＝7，故选C. 3．若(x ＋1)5＝a 5(x －1)5＋…＋a 1(x －1)＋a 0，则a 1的值为( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10[答案] A[解析] 由于x ＋1＝x －1＋2，因此(x ＋1)5＝[(x －1)＋2]5，故展开式中x －1的系数为C 4524＝80. 4．在(3x －23x )11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则⎠⎛01x αd x ＝( )A.16B.67C.89D.125[答案] B[解析] 因为展开式一共12项，其通项公式为T r ＋1＝C r 11·(3x )11－r ·(－23x )r ＝C r 11·311－r ·(－2)r ·x 33－r6，r ＝0,1，…，11. 其中只有第4项和第10项是有理项， 故概率α＝212＝16，∴⎠⎛01x 16d x ＝67x 76|10＝67. 5．在(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项[答案] D[解析] (1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中，含x 4项的系数为C 45＋C 46＋C 47＝C 15＋C 26＋C 37＝5＋6×52＋7×6×53×2＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n ＝－2＋3(n－1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，n ＝20，故选D.6．(2013·辽宁理，7)使(3x ＋1x x)n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] B[解析] (3x ＋1x x )n 展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r n (3x )n －r x －32r ＝C r n 3n －rxn －52r ，若展开式中含常数项，则存在n ∈N ＋，r ∈N ，使n －52r ＝0，∴r ＝2k ，k ∈N *，n ＝5k .故最小的n 值为5，故选B. 二、填空题7．(2012·沈阳市二模)若(x －ax 2)n 展开式中二项式系数之和是1024，常数项为45，则实数a 的值是________．[答案] ±1[解析] 由条件知，2n ＝1024，∴n ＝10，二项展开式的通项T r ＋1＝C r 10(x )10－r·(－a x 2)r ＝(－a )r·C r 10·x 10－5r 2，令10－5r2＝0得r ＝2，∴常数项为T 3＝(－a )2·C 210＝45a 2＝45，∴a ＝±1. 8．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝________. [答案] 5[解析] 法1：令x ＝－2得a 0＝－1. 令x ＝0得27＝a 0＋2a 1＋4a 2＋8a 3. 因此a 1＋2a 2＋4a 3＝14.∵C 03(2x )3·30＝a 3·x 3.∴a 3＝8.∴a 1＋2a 2＋3a 3＝14－a 3＝6. ∴a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6＝5.法2：由于2x ＋3＝2(x ＋2)－1，故(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝8(x ＋2)3－4C 13(x ＋2)2＋2C 23(x ＋2)－1， 故a 3＝8，a 2＝－12，a 1＝6，a 0＝－1. 故a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝－1＋6－24＋24＝5.9．若a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x ＋1x )8展开式中含x 项的系数是________．[答案] 1792[解析] a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2.∵(2x ＋1x )8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8(2x )8－r ·(1x )r ＝28－r ·C r 8·x 4－3r 2， 令4－3r2＝1得，r ＝2，∴T 3＝26·C 28x ＝1792x ， 故所求系数为1792.10．(2013·深圳模拟)已知等比数列{a n }的第5项是二项式(x －13x )6展开式的常数项，则a 3a 7＝________.[答案]259[解析] (x －13x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(x )6－r ·(－13x )r ＝C r 6·(－13)r ·x 3－3r2.令3－3r 2＝0得r ＝2，因此(x －13x )6的展开式中的常数项是C 26·(－13)2＝53，即有a 5＝53， a 3a 7＝(a 5)2＝(53)2＝259.能力拓展提升一、选择题11．(2013·新课标Ⅰ理，9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 由题意可知，a ＝C m 2m ，b ＝C m2m ＋1，又∵13a ＝7b ，∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B. 12．(2013·新课标Ⅱ理，5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1[答案] D[解析] 因为(1＋x )5的二项展开式的通项为C r 5x r (0≤r ≤5，r ∈Z )，则含x 2的项为C 25x 2＋ax ·C 15x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.13．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，15)B ．[45，＋∞)C ．(－∞，－45]D ．(1，＋∞)[答案] D[解析] 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·y r .依题意有⎩⎨⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·(1－x )－4x 7·(1－x )2≤0，x (1－x )<0.由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)，选D.二、填空题14．(2013·山东烟台质检)若(x 2－1x )n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．[答案] 255[解析] T 6＝C 5n (x 2)n －5(－1x )5＝－C 5n x 2n －15，令2n －15＝1得，n ＝8， 令x ＝1，a 0＋a 1＋…＋a n ＝(－2)8＝256， 令x ＝0得，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝255.15．设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最大值为a ＝2，二项式⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中第r ＋1项T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 3－r ，令3－r ＝2，则r ＝1，∴x 2项的系数为(－1)1×25×C 16＝－192.16．(2013·陕西榆林期末)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________.[答案] 364[解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36； 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12；令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.考纲要求1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 补充说明1．赋值法：在某些二项式定理的有关求“系数和”的问题中，常用对字母取特值的方法解题．2．求二项展开式中的指定项要牢牢抓住通项公式，代入求解或列方程求解，要特别注意项数与指数都是整数．3．求展开式系数最大项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R *)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即为所求．对于(a －bx )x (a ，b ∈R ＋)，求展开式中系数最大的项，还要考虑符号．4．关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种解法． 备选习题1．(2013·广东江门调研)二项式(ax －36)3的展开式的第二项的系数为－32，则⎠⎛a －2x 2d x 的值为( )A ．3 B.73C ．3或73D ．3或－103[答案] C[解析] 二项式(ax －36)3的展开式的第二项为T 2＝C 13(ax )2(－36)＝－32a 2x 2， ∴a 2＝1，即a ＝±1.则⎠⎜⎛－2－1x 2d x ＝13x 3|－1－2＝73，⎠⎛1－2x 2d x ＝13x 3|1－2＝3，故选C. 2．(2012·湖北，5)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12[答案] A[解析] 本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝C 020********－C 12012522011＋C 22012522010＋…＋C 20112012×52×(－1)2011＋C 20122012×(－1)2012，若想被13整除需加12，∴a ＝12. 3．若(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．2B ．－1C ．－2D ．1[答案] C[解析] 令x ＋2＝1，则x ＝－1，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)×(－2＋1)9＝－2，故选C.。
基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·保定调研)函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 解法1：函数f (x )＝log 3x ＋x －2的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增、连续，又f (1)＝－1<0，f (2)＝log 32>0，∴函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一的零点且零点在区间(1,2)内．解法2：作出函数y ＝log 3x 与y ＝－x ＋2的图象(图略)，不难看出其交点的横坐标在区间(1,2)内，故选B.(理)已知函数f (x )＝(12)x －x 13，在下列区间中，含有函数f (x )零点的是( )A ．(0，13) B ．(13，12) C ．(12，1) D ．(1,2)[答案] B[解析] f (0)＝1>0，f (13)＝(12)13－(13)13>0，f (12)＝(12)12－(12)13<0， ∵f (13)·f (12)<0，且函数f (x )的图象为连续曲线，∴函数f (x )在(13，12)内有零点．[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．2．(文)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] 在同一坐标系内作出函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象，∵lne ＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f (x )有两个零点．(理)(2013·洛阳统考)已知x 1，x 2是函数f (x )＝e －x －|ln x |的两个零点，则( )A.1e <x 1x 2<1 B ．1<x 1x 2<e C ．1<x 1x 2<10 D ．e<x 1x 2<10[答案] A[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝e －x 与y ＝|ln x |的图象(图略)，结合图象不难看出，在x 1，x 2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)，则有e －x 1＝|ln x 1|＝－ln x 1∈(e －1,1)，e －x 2＝|ln x 2|＝ln x 2∈(0，e －1)，e －x 2－e －x 1＝ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)∈(－1,0)．于是有e －1<x 1x 2<e 0，即1e <x 1x 2<1，选A.3．(2013·黄山月考)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1[答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.4．(2013·湖南师大附中月考)已知f (x )＝(13)x －log 3x ，实数a 、b 、c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0，且0＜a ＜b ＜c ，若实数x 0是函数f (x )的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是( ) A ．x 0<a B ．x 0>b C ．x 0<c D ．x 0>c [答案] D[解析] ∵f (x )单调递减，x 0是f (x )的一个零点，∴当x <x 0时，f (x )＝(13)x －log 3x >0，当x >x 0时，f (x )＝(13)x －log 3x <0，∵f (a )·f (b )·f (c )＜0，且0<a <b <c ，所以x 0>c 不可能成立．5．(2013·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y的几组数据，如下表：则对A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x[答案] D[解析]根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.6.如图，A、B、C、D是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形，A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6:2:3:4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P、Q、R、S中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选()A．P点B．Q点C．R点D．S点[答案] B[解析]设图中每个小正方形的边长均为1，A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a>0)，设s i(i＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i(i＝1,2,3,4)的大小．如果选在P点，s1＝6a＋2a×2＋3a×3＋4a×4＝35a，如果选在Q点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×3＋2a ×2＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．二、填空题7．(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] 本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识．∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a 2)2.∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则(x ＋a 2)2<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴(－a 2＋c )－(－a2－c )＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9.8．(2013·烟台模拟)已知函数f (x )＝|x |＋|2－x |，若函数g (x )＝f (x )－a 的零点个数不为0，则a 的最小值为________．[答案] 2[解析] 由题意知g (x )有零点，∴a 在f (x )的值域内， ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ， x <0，2， 0≤x ≤2，2x －2， x >2.∴f (x )≥2，∴a ≥2，∴a 的最小值为2.9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1，y 3≥y 2，y 3≥y 4，d <200.⇒50≤d <200，故n ＝50.三、解答题10．(文)(2013·四川省内江市一模)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y (件)与销售单价x (元)满足y ＝－x ＋120.(1)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(2)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．[解析](1)设该商场获得利润为W元，则W＝(x－60)(－x＋120)＝－x2＋180x－7200，由题意可知60≤x≤87，∵函数W＝－x2＋180x－7200在区间[60,87]上是增函数，∴当x＝87时，W max＝－(87－90)2＋900＝891.∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．(2)由W≥500，得－x2＋180x－7200≥500，∴70≤x≤110，又∵60≤x≤87，∴70≤x≤87，所以，销售单价x的取值范围是[70,87]．(理)(2013·东北三省第一次大联考)某工厂有214名工人，现要生产1500件产品，每件产品由3个A型零件与1个B型零件配套组成，每个工人加工5个A型零件与3个B型零件所需时间相同，现将全部工人分为两组，分别加工一种零件，同时开始加工，设加工A型零件的工人有x人，在单位时间内每人加工A型零件5k(k∈N*)个，加工完A型零件所需时间为g(x)，加工完B型零件所需时间为h(x)．(1)试比较g(x)与h(x)大小，并写出完成总任务的时间f(x)的表达式；(2)怎样分组才能使完成任务所需时间最少？[解析](1)由题意知，A型零件共需要4500个，B型零件共需要1500个，加工B型零件的工人有(214－x)人，单位时间内每人加工B型零件3k个，所以g(x)＝45005kx＝900kx，h(x)＝15003k(214－x)＝500k(214－x)，g (x )－h (x )＝900kx －500k (214－x )＝200k ·963－7xx (214－x )，∵0<x <214，且x ∈N *，∴当1≤x ≤137时，g (x )>h (x )，当138≤x ≤213时，g (x )<h (x )，∴f (x )＝⎩⎨⎧900kx，(1≤x ≤137，k ∈N *)，500k (214－x )，(138≤x ≤213，k ∈N *).(2)即求当x 为何值时，f (x )取最小值，又900kx (1≤x ≤137)为减函数，500k (214－x )(138≤x ≤213)为增函数，而f (137)f (138)＝900137k ·76k 500<1，∴x ＝137时，f (x )取最小值． 即加工A 零件的工人137人，加工B 零件的工人77人时，完成任务所需时间最少.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·威海模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下对应值表：A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个[答案] C[解析] 由表知，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，∴f (x )在(2,3)，(3,4)，(4,5)内必有零点，∴选C.(理)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 (x >0)－x (x ＋1) (x ≤0)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )共有3个零点．12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100[答案] C[解析] 观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评] 也可以将x ＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．13．(文)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定[答案] B [解析]分别作出y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x 的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以，f (x 0)<0.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≤0)f (x －1)＋1 (x >0)，把函数g (x )＝f (x )－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n (n －1)2(n ∈N *) B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案] C[解析] 当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x －1；当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；…∴当x≤0时，g(x)的零点为x＝0；当0<x≤1时，g(x)的零点为x ＝1；当1<x≤2时，g(x)的零点为x＝2；…当n－1<x≤n(n∈N*)时，g(x)的零点为n，故a1＝0，a2＝1，a3＝2，…，a n＝n－1.14．(文)(2013·潍坊模拟)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是()[答案] A[解析]由条件知2xy＝20，∴xy＝10，∴y＝10x，(2≤x≤10)，故选A.(理)(2013·孝感模拟)如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图(2)(3)所示．给出以下说法：①图(2)的建议是：提高技术，并提高票价；②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有正确说法的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④[答案] C[解析](2)图中直线AB向上平移，当x＝0时，y值为成本值，∴成本降低，由平移知，票价不变；(3)图中，直线AB绕A点旋转，当x＝0时，y值不变，说明成本保持不变，直线斜率变大，说明票价提高了．故选C.二、解答题15．(文)(2013·山西诊断)因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a (1≤a ≤4，且a ∈R )个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (g/L)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧ 168－x －1(0≤x ≤4)5－12x (4<x ≤10)，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(g/L)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)[解析] (1)因为a ＝4，所以y ＝⎩⎨⎧ 648－x－4(0≤x ≤4)20－2x (4<x ≤10).则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4； 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8. 综上，可得0≤x ≤8，即一次投放4个单位的药剂，有效治污时间可达8天．(2)当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a [168－(x －6)－1]＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a 4－x－a －4， 因为14－x ∈[4,8]，1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 取得最小值8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.(理)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (t)满足函数关系x ＝2000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (t)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少？[解析] (1)工厂的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)．w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s )2＋10002s ，当t ＝(1000s )2时，w 取得最大值．所以工厂取得最大年利润的年产量t ＝(1000s )2(t)．(2)设农场净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2.将t ＝(1000s )2代入上式，得v ＝10002s －2×10003s 4. 又v ′＝－10002s 2＋8×10003s 5＝10002(8000－s 3)s 5， 令v ′＝0，得s ＝20.当0<s <20时，v ′>0；当s >20时，v ′<0.所以当s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s 为20元/吨时，获得最大净收入．考纲要求1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 补充材料1．解决与函数零点有关的问题主要方法有：(1)零点存在性定理；(2)解方程f (x )＝0；(3)数形结合．2．用二分法求方程近似解用二分法求方程f (x )＝0近似解的一般步骤：第一步：确定一个区间[a ，b ]，使得f (a )·f (b )<0，令a 0＝a ，b 0＝b .第二步：取区间(a 0，b 0)的中点x 0＝12(a 0＋b 0)．第三步：计算f (x 0)的值，得到下列相关结论．(1)若f (x 0)＝0，则x 0就是方程f (x )＝0的一个根，计算终止；(2)若f (a 0)·f (x 0)<0，则方程f (x )＝0的一个根位于区间(a 0，x 0)中，令a 1＝a 0，b 1＝x 0；(3)若f (x 0)·f (b 0)<0，则方程f (x )＝0的一个根位于区间(x 0，b 0)中，令a 1＝x 0，b 1＝b 0.第四步：取区间(a 1，b 1)的中点x 1＝12(a 1＋b 1)，重复第二、第三步，……直到第n 次，方程f (x )＝0的一个根总在区间(a n ，b n )中．第五步：当|a n －b n |<ε，(ε是规定的精确度)时，区间(a n ，b n )内的任何一个值精确到ε就是方程f (x )＝0的一个近似根．注意：二分法只适用于求函数f (x )的变号零点．备选习题1．(2012·昆明一中检测)已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] 解法1：不妨设a <b ，∵f (x )＝|lg(x －1)|，f (a )＝f (b )，∴1<a ≤2，b >2，∴f (a )＝－lg(a －1)，f (b )＝lg(b －1)，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2>2(a －1)(b －1)＋2＝4.解法2：结合f (x )的图象得－lg(b －1)＝lg(a －1)，得lg(a －1)＋lg(b－1)＝0，所以(a －1)(b －1)＝1，化简得，a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2＝4，当a ＝b 时取“＝”，而由已知a ≠b ，故选B.2.(2013·安徽)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值范围为( )A ．{2,3}B ．{2,3,4}C ．{3,4}D ．{3,4,5}[答案] B[解析] 如图所示f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n.可以看作点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，…，(x n ，f (x n ))与原点(0,0)连线的斜率．对于l 1，l 2，l 3满足条件的x 分别有2个、3个、4个，故选B.3．(2013·沧州模拟)若函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围为( )A ．[1,2＋2]B ．[－1,2]C ．[－1,2＋2]D ．[1,3][答案] A[解析] 由题意知m ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＋1＝2＋2sin(2x ＋π4)．因为0≤x ≤π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4，所以m ∈[1,2＋2]，故选A.4．(2013·长春调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1,4]时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在[0,2013]上的零点个数是________．[答案] 604[解析] 由f (x )＋f (x ＋5)＝16，可知f (x －5)＋f (x )＝16，则f (x ＋5)－f (x －5)＝0，所以f (x )是以10为周期的周期函数．∵x ∈(－1,4]时，x 2∈[0,16]，2x ∈(12，16]，∴x 2－2x <16，∴x ∈(－1,4]时，f (x )<16.∴当x ∈(4,9]时，x －5∈(－1,4]，∴f (x －5)<16，f (x )＝16－f (x ＋5)＝16－f (x －5)>0，∴f (x )在(4,9]上无零点，因此在一个周期(－1,9]上，函数f(x)＝x2－2x在区间(－1,4]内有3个零点，在(4,9]区间内无零点，故f(x)在一个周期内仅有3个零点，由于区间(3,2013]中包含201个周期，且在区间[0,3]内也存在一个零点x＝2，故f(x)在[0,2013]上的零点个数为3×201＋1＝604.。
6-3等比数列基础巩固强化1.(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{a n }中，a 5，a 95为方程x 2＋10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( )A ．256B ．±256C ．64D ．±64 [答案] D[解析] 由韦达定理可得a 5a 95＝16，由等比中项可得a 5a 95＝(a 50)2＝16，故a 50＝±4，则a 20a 50a 80＝(a 50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则该数列的通项a n ＝( )A ．4×(23)n －1B ．4×(23)nC ．4×(32)nD ．4×(32)n －1[答案] D[解析] 据前三项可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故等比数列的首项为4，q＝a 2a 1＝32， 故a n ＝4×(32)n －1.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则数列{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192[答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，根据题意及等比数列的性质可知：a 5a 2＝27＝q 3，所以q ＝3，所以a 1＝a 2q ＝3，所以S 4＝31－341－3＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n}的前5项和为( )A.8532B.3116C.158D.852[答案] B[解析] ∵9S 3＝S 6，∴8(a 1＋a 2＋a 3)＝a 4＋a 5＋a 6， ∴8＝q 3，∴q ＝2， ∴a n ＝2n －1，∴1a n ＝(12)n －1，∴{1a n }的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B. 4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1、S 3、S 2成等差数列，则{a n }的公比等于( )A ．1 B.12 C ．－12D.1＋52[答案] C[解析] 2S 3＝S 1＋S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝a 1＋a 1＋a 1q ， 得q ＝－12，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n－13D.22n－23[答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n－2n －1＝2n －1.∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为1－22n1－22＝22n－13，故选C. (理)(2011·泉州市质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，S n ＝15，则项数n 为( )A ．12B ．14C ．15D ．16[答案] D[解析]a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝2，由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.得a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝1， 即a 1·1－q 41－q＝1，∴a 1＝q －1，又S n ＝15，即a 11－q n 1－q＝15，∴q n＝16，又∵q 4＝2，∴n ＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.7．已知f (x )是一次函数，若f (3)＝5，且f (1)、f (2)、f (5)成等比数列，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值是________．[答案] 10000[解析] 设f (x )＝kx ＋b ，f (3)＝3k ＋b ＝5，由f (1)、f (2)、f (5)成等比数列得(2k ＋b )2＝(k ＋b )·(5k ＋b )，可得k ＝2，b ＝－1.∴f (n )＝2n －1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·浙江金华)如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1，a 2，…，a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．(理)(2012·北京东城练习)已知等差数列{a n }首项为a ，公差为b ，等比数列{b n }首项为b ，公比为a ，其中a 、b 都是大于1的正整数，且a 1<b 1，b 2<a 3，那么a ＝________；若对于任意的n ∈N *，总存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则a n ＝________.[答案] 2 5n －3[解析] 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，ab <a ＋2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，a －2b <a ，若a ＝2，显然符合条件；若a >2，则a <b <aa －2，解得a <3，即2<a <3，即不存在a 满足条件，由此可得a ＝2.当a ＝2时，a n ＝2＋(n －1)b ，b n ＝b ×2n －1，若存在m ∈N *，使得b n ＝a m ＋3成立，则b ×2n－1＝2＋(m －1)b ＋3，即得b ×2n －1＝bm ＋5－b ，当b ＝5时，方程2n －1＝m 总有解，此时a n ＝5n －3.9．(2011·锦州模拟)在等比数列{a n }中，若公比q >1，且a 2a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.[答案] 23[解析] ∵a 2a 8＝6，∴a 4a 6＝6，又∵a 4＋a 6＝5，且q >1，∴a 4＝2，a 6＝3，∴a 5a 7＝a 4a 6＝23. 10．(文)(2012·北京东城练习)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)， 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－43n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.(理)(2012·浙江绍兴质量调测)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *，有a n ＋1＝kS n ＋1(k 为常数)．(1)当k ＝2时，求a 2、a 3的值；(2)试判断数列{a n }是否为等比数列？请说明理由． [解析] (1)当k ＝2时，a n ＋1＝2S n ＋1， 令n ＝1得a 2＝2S 1＋1，又a 1＝S 1＝1，得a 2＝3； 令n ＝2得a 3＝2S 2＋1＝2(a 1＋a 2)＋1＝9，∴a 3＝9. ∴a 2＝3，a 3＝9.(2)由a n ＋1＝kS n ＋1，得a n ＝kS n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝ka n (n ≥2)， 即a n ＋1＝(k ＋1)a n (n ≥2)， 且a 2a 1＝k ＋11＝k ＋1，故a n ＋1＝(k ＋1)a n .故当k ＝－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝10.n ≥2此时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，a n ＋1a n＝k ＋1≠0，此时，{a n }是首项为1，公比为k ＋1的等比数列． 综上，当k ＝－1时，{a n }不是等比数列； 当k ≠－1时，{a n }是等比数列.能力拓展提升11.(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( )A.5－12 B.12 C.5－14D.5＋14[答案] A[解析] 设三内角A <B <C ， ∵sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋a c－1＝0. ∵a c >0，∴a c ＝5－12＝sin A ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2R sin A 、b ＝2R sin B 可知，a <b ⇔A <B ⇔sin A <sin B . 12．(文)(2012·深圳二调)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q2n －6＝22n ，即a 21·q2n－2＝22n⇒(a 1·qn －1)2＝22n⇒a 2n ＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋2n －12·n ＝n 2，故选C.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∵a n >0，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3na 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A ．0<q <1B ．q >1C ．q > 2D ．1<q < 2[答案] B[解析] 由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3na 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n .又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S n T n>1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公比q 的取值范围是q >1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，n 的值等于( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17[答案] C[解析] ∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5， 又q ∈(0,1)，∴a 3>a 5， ∵a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n，b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n 9－n 2，∴S n n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，S nn>0；当n ＝9时，S n n＝0；当n >9时，S n n<0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．14．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案] 35[解析] 本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为a n ＝(－3)n －1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若a n ≥8，则n 为奇数且(－3)n －1＝3n －1≥8，则n －1≥2，∴n ≥3，∴n ＝3,5,7,9共四项满足要求．∴p ＝1－410＝35.[点评] 直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．15．(2011·新课标全国文，17)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n n ＋12.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.16．(文)(2011·山东淄博一模)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋42＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1－6a 2＋a 3＝－7，⎩⎪⎨⎪⎧a 11＋q ＋q 2＝7，a 11－6q ＋q 2＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln23n＝3n ln2， 又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴{b n }是以b 1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n 2＝n 3ln2＋3n ln22＝3n n ＋1ln22即T n ＝3n n ＋12ln2.(理)(2011·安庆模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3….(1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项．[解析] (1)由已知得2a n ＋1＝a n ＋n ，又a 1＝12，∴a 2＝34，b 1＝a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34，又∵b n ＝a n ＋1－a n －1，∴b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1 ＝a n ＋1＋n ＋12－a n ＋n2－1a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12.∴{b n }是以－34为首项，以12为公比的等比数列．(2)由(1)知，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1∴a n ＋1－a n ＝1－3×(12)n ＋1，∴a 2－a 1＝1－3×(12)2a 3－a 2＝1－3×(12)3……a n －a n －1＝1－3×(12)n各式相加得a n ＝n －1－3×[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]＋12＝n －12－3×14×[1－12n －1]1－12＝32n ＋n －2.1．已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n ＝2n －1(n ∈N *)，则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A ．4n－1 B.13(4n－1) C.43(4n－1) D ．(2n－1)2[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，又a 1＝S 1＝21－1＝1也满足，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．设b n ＝a 2n ，则b n ＝(2n －1)2＝4n －1，∴数列{b n }是首项b 1＝1，公比为4的等比数列，故{b n }的前n 项和T n ＝1×4n－14－1＝13(4n－1)． 2．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10[答案] C[解析] 由题意知，85q ＝170，∴q ＝2， ∴85＋170＝1×2n－12－1，∴n ＝8.3．(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 由题意可知，a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝b 27＝a 27＝16. 4．已知等比数列{a n }的公比q >0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( )A ．S 4a 5<S 5a 4B ．S 4a 5>S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 [答案] A[解析] (1)当q ＝1时，S 4a 5－S 5a 4＝4a 21－5a 21＝－a 21<0.(2)当q ≠1且q >0时，S 4a 5－S 5a 4＝a 211－q (q 4－q 8－q 3＋q 8)＝a 21q 31－q (q －1) ＝－a 21q 3<0.[点评] 作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论．5．(2012·广州一模)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中的实心点个数1,5,12,22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则a 5＝________，若a n ＝145，则n ＝________.[答案] 35 10[解析] a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝7，a 4－a 3＝10，观察图形可得，数列{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)构成首项为4，公差为3的等差数列，所以a 5－a 4＝13，所以a 5＝35，a n －a n －1＝3n －2(n ≥2，n ∈N *)，应用累加法得a n －a 1＝4＋7＋10＋…＋(3n －2)＝n －13n ＋22， 所以a n ＝n －13n ＋22＋1(n ≥2，n ∈N *)，当a n ＝145时，n －13n ＋22＋1＝145，解得n ＝10.6．已知{a n }是首项为a 1、公比q (q ≠1)为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且有5S 2＝4S 4，设b n ＝q ＋S n .(1)求q 的值；(2)数列{b n }能否是等比数列？若是，求出a 1的值；若不是，请说明理由．[解析] (1)由题意知5S 2＝4S 4，S 2＝a 11－q 21－q ，S 4＝a 11－q 41－q， ∴5(1－q 2)＝4(1－q 4)，又q >0，∴q ＝12. (2)∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 于是b n ＝q ＋S n ＝12＋2a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 若{b n }是等比数列，则12＋2a 1＝0， ∴a 1＝－14.此时，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12，∴数列{b n }是等比数列． 所以存在实数a 1＝－14，使数列{b n }为等比数列． 7．已知数列{a n }和{b n }，数列{a n }的前n 项和记为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式．∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)2n . T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1，两式相减可得， T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1 ＝231－2n －11－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6 ＝(7－2n )×2n ＋1－14.。
