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三角函数的诱导公式(一)(15分钟30分)的值为( ) A. C.【解析】=tan=tan=-.【补偿训练】tan(5π+α)=m,则的值为( ) A. B.【解析】选A.因为tan(5π+α)=tan α=m,所以原式===.2.在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P,则cos= ( )A. B.【解析】,所以cos α=-,所以cos=-cos α=.3.若c os(π+α)=-,π<α<2π,则sin(α-2π)等于( )A. B.± C.【解析】选D.由cos(π+α)=-,得cos α=,故sin(α-2π)=sin α=-=-=-(α为第四象限角).4.的值等于.【解析】原式=====-2.答案:-2<α<,cos=m(m≠0),求tan的值.【解析】因为-α=π-,所以cos=cos=-cos=-m.由于<α<,所以0<-α<.于是sin==.所以tan==-.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)=,则cos= ( ) A. C.【解析】+=π,所以cos=-cos=-.2.已知n为整数,化简所得的结果是( )A.tan nαB.-tan nαC.tan αD.-tan α【解析】选C.当n=2k,k∈Z时,===tan α;当n=2k+1,k∈Z时,====tan α.+sin的值为( ) B.C. D.【解析】选C.原式=cos-sin=cos-sin=-cos+sin=.4.若sin(π-α)=log8,且α∈,则cos(π+α)的值为( ) A.C.±【解析】选B.因为sin(π-α)=sin α=log81-log84=0-log822=0-2log82=-,所以cos(π+α)=-cos α=-=-=-.二、填空题(每小题5分,共10分)=,则sin= .【解析】因为sin=,所以sin=sin=-sin=-.答案:-6.已知cos(α-55°)=-,且α为第四象限角,则sin(α+125°)的值为. 【解析】因为cos(α-55°)=-<0且α是第四象限角.所以α-55°是第三象限角. 所以sin(α-55°)=-=-.因为α+125°=180°+(α-55°),所以sin(α+125°)=sin[180°+(α-55°)]=-sin(α-55°)=.答案:三、解答题7.(10分)已知f(α)=.(1)化简f(α).(2)若f(α)=,且<α<,求cos α-sin α的值.(3)若α=-,求f(α)的值.【解析】(1)f(α)==sin α·cos α. (2)由f(α)=sin αcos α=可知(cos α-sin α)2=cos2α-2sin αcos α+sin2α=1-2sin αcos α=1-2×=.又因为<α<,所以cos α<sin α,即cos α-sin α<0.所以cos α-sin α=-.(3)因为α=-=-6×2π+,所以f=cos·sin=cos·sin=cos·sin=cos·sin=cos·=×=-.。
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
2018版高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（二）导学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式（二）导学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
3 三角函数的诱导公式（二） 学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题。
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力。
3。
继续体会知识的“发生"“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力。
知识点一 诱导公式五完成下表，并由此总结角α，角错误!－α的三角函数值间的关系。
（1）sin 错误!＝错误!,cos 错误!＝错误!，sin 错误!＝cos 错误!；(2）sin π4＝错误!,cos 错误!＝错误!,sin 错误!＝cos 错误!； （3)sin 错误!＝错误!,cos 错误!＝错误!,sin 错误!＝cos 错误!。
由此可得诱导公式五 sin ()2απ-=cos α，cos ()2απ-=sin α。
知识点二 诱导公式六思考 能否利用已有公式得出错误!＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？ 答案 以－α代替公式五中的α得到sin 错误!＝cos （－α）,cos 错误!＝sin （－α)。
由此可得诱导公式六 sin ()2απ+=cos α，cos ()2απ+=－sin α。
诱导公式（2）一、A组1.已知sin(π-α)=,则cos等于()A. B. C.- D.-解析:∵sin(π-α)=,∴sin α=.∴cos=-sin α=-.答案:C2.若α∈,则=()A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α解析:∵α∈,∴sin α<0,∴=-sin α.答案:B3.若sin>0,cos>0,则角α的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵sin>0,cos>0,∴cos α>0,sin α<0.∴角α的终边在第四象限.答案:D4.sin(π-2)-cos化简的结果是()A.0B.-1C.2sin 2D.-2sin 2解析:sin(π-2)-cos=sin 2-sin 2=0.答案:A5.=()A.-cos αB.cos αC.sin αD.-sin α解析:原式===-cos α.答案:A6.求值:sin2+sin2=.解析:∵-α++α=,∴sin2=sin2=cos2.∴sin2+sin2=sin2+cos2=1.答案:17.若α是三角形内角,且sin=-sin,则α=.解析:∵sin=-sin,∴cos α=-.∵0<α<π,∴α=.答案:8.若sin,则cos2=.解析:sin=cos θ=,则cos2=sin2θ=1-cos2θ=1-.答案:9.已知sin,求cos sin的值.解:cos sin=cos sin=sin sin.10.已知f(α)=.(1)证明:f(α)=sin α.(2)若f=-,且α是第二象限角,求tan α.(1)证明:因为f(α)====sin α.(2)解:由sin=-,得cos α=-.又α是第二象限角,所以sin α=,则tan α==-.二、B组1.若sin(3π+α)=-,则cos等于()A.-B.C.D.-解析:∵sin(3π+α)=sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=.∴cos=cos=cos=-sin α=-.答案:A2.A,B,C为△ABC的三个内角,下列关系式中不成立的是()①cos(A+B)=cos C②cos=sin③tan(A+B)=-tan C④sin(2A+B+C)=sin AA.①②B.③④C.①④D.②③解析:因为cos(A+B)=-cos C,所以①错;cos=cos=sin,所以②正确;tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,所以③正确;sin(2A+B+C)=sin(π+A)=-sin A,所以④错,故选C.答案:C3.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为()A.-B.-C.D.解析:由已知得,-sin α-sin α=-a,即sin α=.故cos(270°-α)+2sin(360°-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=- a.答案:B4.已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,则=.解析:由已知得sin α=-.因为α是第三象限角,所以cos α=-,tan α=.所以原式=.答案:5.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=.解析:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+…+cos 21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+.答案:6.导学号08720020已知α是第二象限角,若cos=-,则是第象限角.解析:∵cos=-=-=-=-,∴cos<0.又α为第二象限角,∴为第一或第三象限角,∴必为第三象限角.答案:三7.已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=.(1)求tan α的值;(2)求的值.解:(1)由故tan α=-.(2)原式==tan α=-.8.导学号08720021若.(1)求tan(x+π)的值;(2)求的值.解:(1)∵=,∴10(sin x-cos x)=3sin x+4cos x,即sin x=2cos x,∴tan x=2.∴tan(x+π)=tan x=2.(2)∵sin2x+cos2x=1,∴原式===-.。
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
第三讲 三角函数的诱导公式一、教学目标1.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值2.能够进行简单的三角函数式的化简与恒等式的证明 二、知识点的梳理知识点一、三角函数的诱导公式知识点总结 公式一sin （2k π＋α）= sin α cos （2k π＋α）= cos α tan （2k π＋α）= tan α 公式二sin （π＋α）= -sin α cos （π＋α）= -cos α tan （π＋α）= tan α 公式三sin （-α）= -sin α cos （-α）= cos α tan （-α）= -tan α 公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π-α）= sin α cos （π-α）= -cos α tan （π-α）= -tan α 公式五2π+α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cos α cos （2π+α）= -sin α公式六2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cos α cos （2π-α）= sin α拓展——公式七23π+α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π+α）= -cos α cos （23π+α）= sin α拓展——公式八23π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （23π-α）= -cos α cos （23π-α）= -sin α (以上k ∈Z)方法点拨： 把α看作锐角一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限） 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ+⋅2k 或是απ-⋅2k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函数名，偶数就不变知识点二、求任意角的三角函数的步骤：任意负角的三角函数任意正角的三角函数用公式 三或一用公式一0~2π的三角函数用公式 二或四锐角的三角函数三、典型例题（一）利用诱导公式求值例1、求下列各三角函数的值：（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．例2、求下列各三角函数的值： （1）252525sincos tan()634πππ++-；（2）()()cos 585tan 300--- （3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例3、（1）已知cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭25cos sin 66ππαα⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值． （2）已知1cos(75)3α-︒=-，且α为第四象限角，求sin(105°+α)的值．变式练习：1.求sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)+tan945°的值．2.已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°-α)+sin(α-105°)的值．3.已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．（二）利用诱导公式化简 例1、化简：（1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-；（2）cos sin(5)cos(8)2cos(3)sin(3)sin(4)πθθππθπθθπθπ⎛⎫- ⎪--⎝⎭⋅⋅----.例2、化简：sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-变式练习：化简： （1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin 2n n Z π∈；（3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．（三）利用诱导公式进行证明 例1、求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin cos 22παπαπααππαα----=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例2、设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证： （1）()sin sin A B C +=；（2）sin cos 22A B C +=；（3）tan cot 22A B C+=变式练习：设8tan 7a απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77a a πααππααπ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（四）诱导公式的综合应用例1、已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值． （3）若313πα=-，求()f α的值．变式练习：已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．四、课后作业1．02120sin 等于（ ）A ．23±B ．23C ．23-D ．212．化简0sin 600的值是（ ） A ．0.5 B ．0.5- CD．3.35cosπ的值为（ ） A.21- B.23- C.21D.234.已知51)25sin(=+απ，那么=αcos （ ） A.52- B.51- C.51 D.525.已知,135)cos(-=-πα且α是第四象限角，则)2sin(απ+-等于（ ） A.1312-B.1312C.1312±D.125 6.已知2tan =θ，则)sin()2sin()cos()2sin(θπθπθπθπ--+--+等于（ ） A.2 B.-2 C.0 D.32 7.已知.)2sin()cos(4)sin(3)cos(2,3)tan(的值求απααπαπαπ-+-+--=+8.已知α是第三象限角，且.)sin()23tan()tan()2cos()sin()(παπαπααπαπα--+-----=f（1）若);(,51)23cos(απαf 求=- （2）若，︒=1920α求).(αf。
课时作业(九) 三角函数诱导公式（第2课时）1．sin480°的值为( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 C解析 sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin(90°＋30°)＝cos30°＝32. 2．若sin (θ＋3π2)>0，cos(π2－θ)>0，则角θ的终边位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 sin (θ＋32π)＝－cos θ>0，∴cos θ<0.cos(π2－θ)＝sin θ>0，θ为第二象限角．3．若cos(π＋α)＝－13，那么sin(3π2－α)等于( )A ．－13B.13C.223D ．－223答案 A解析 ∵cos(π＋α)＝－13，∴cos α＝13，又∵sin(3π2－α)＝－cos α，∴sin(3π2－α)＝－13.4．已知sin (α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24D.24 答案 A解析 ∵sin (α＋π2)＝13，∴cos α＝13，∵α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－22313＝－2 2.5．在△ABC 中，下列各表达式为常数的是( ) A ．sin(A ＋B)＋sinC B ．cos(B ＋C)－cosA C ．tan A ＋B 2·tan C 2D ．cos B ＋C 2·1cos A2答案 C解析 tan A ＋B 2·tan C 2＝tan π－C 2·tan C2＝sin π－C 2cos π－C 2·sin C 2cos C 2＝cos C 2sinC 2sin C 2·cosC2＝1.6．已知cos(π6－α)＝13，则cos(56π＋α)＝()A.13 B ．－13C.23 D ．－23答案 B解析 ∵(π6－α)＋(56π＋α)＝π，∴cos(56π＋α)＝cos[π－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＝－13，故选B.7．若f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝() A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x 答案 C解析 f(cosx)＝f[sin(π2－x)]＝3－cos2(π2－x)＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x ，故选C.8．设α是第二象限角，且cos α2＝－1－cos 2（π－α2），则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 α是第二象限角，α2是第一或第三象限角．－1－cos 2（π－α2）＝－1－sin2α2＝－|cos α2|＝cos α2，∴α2为第三象限角． 9．已知tan θ＝2，则sin （π2＋θ）－cos （π－θ）sin （π2－θ）－sin （π－θ）等于( )A ．2B ．－2C ．0 D.23答案 B解析 sin （π2＋θ）－cos （π－θ）sin （π2－θ）－sin （π－θ）＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2.故选B.10．已知sin (α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( ) A.m 2－12B.m 2＋12C.1－m 22D ．－m 2＋12答案 A解析 sin (α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m ，sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝(－sin α)(－cos α)＝sin α·cos α ＝（sin α＋cos α）2－12＝m 2－12.11．已知cos (α＋π4)＝23，则sin(π4－α)的值等于( )A.23B ．－23C.53D ．±53答案 A解析 sin(π4－α)＝sin[π2－(π4＋α)]＝cos(π4＋α)＝23.12．已知sin(3π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α等于( )A ．－25B.25C.25或－25 D ．－15答案 A解析 解法一：∵sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2.当α在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝255，cos α＝－55，∴sin αcos α＝－25；当α在第四象限时，⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－255，cos α＝55，∴sin αcos α＝－25，综上，sin αcos α＝－25，故选A.13．化简：(1)sin(－α－5π)·cos (α－π2)＝________．(2)cos （α－π2）sin （5π2＋α）sin (α－π)cos(2π－α)＝________．答案 (1)sin 2α (2)－sin 2α解析 (1)原式＝sin(－α－π)·cos(π2－α)＝sin α·sin α＝sin 2α.(2)原式＝cos （π2－α）sin （π2＋α）·[－sin(π－α)]·cos α＝sin αcos α(－sin α)·cos α＝－sin 2α.14．已知sin(π＋α)＝35，α是第四象限角，则cos (α－2π)的值是________．答案45解析 由sin(π＋α)＝35，得－sin α＝35，即sin α＝－35.∴cos α＝45，cos (α－2π)＝cos α＝45.15．已知sin αcos β＝1，则cos α＋β2＝________．答案 ±22解析 由sin αcos β＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1，cos β＝－1， ∴α＝2k π＋π2，β＝2m π或α＝2k π－π2，β＝2m π＋π，k ，m ∈Z .∴α＋β2＝(k ＋m)π＋π4，k ，m ∈Z .∴cos α＋β2＝±22.16.cos （－585°）sin495°＋sin （－570°）的值等于________． 答案2－217．如果cos α＝15，且α是第四象限的角，那么cos (α＋3π2)＝________．答案 －265解析 ∵cos α＝15，且α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－265.∴cos (α＋3π2)＝cos(π＋π2＋α)＝－cos(π2＋α)＝sin α＝－265.18．化简sin （π2＋α）cos （π2－α）cos （π＋α）＋sin （π－α）cos （π2＋α）sin （π＋α）.解析 原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.1．△ABC 中，若sin(A ＋B －C)＝sin(A －B ＋C)，则△ABC 必是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 要判断△ABC 中，A ＋B －C ，A －B ＋C 都在(－π，π)之间，又由题设sin(A ＋B －C)＝sin(A －B ＋C)，∴A ＋B －C ，A －B ＋C∈(0，π)． 故A ＋B －C ＝A －B ＋C 或A ＋B －C ＝π－(A －B ＋C) 得：B ＝C 或A ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形，即选C.探究 (1)确定A ＋B －C ，A －B ＋C 在(0，π)内也是一个关键．(2)不能简单的由sin α＝sin β得出α＝β，α，β∈(0，π)．应有α＝β或α＋β＝π.2．设f(x)＝asin(πx ＋θ)＋bcos(πx ＋θ)，其中a ，b ，θ为非零实数． 若f(2 008)＝－1，求f(2 009)的值． 答案 13．化简：tan （3π－α）sin （π－α）sin （32π－α）＋sin （2π－α）cos （α－72π）sin （32π＋α）cos （2π＋α）.解析 tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π＋α)＝cos α，sin(32π－α)＝－cos α，cos (α－72π)＝cos(72π－α)＝cos(4π－π2－α)＝cos(π2＋α)＝－sin α，sin(32π＋α)＝－cos α，所以，原式＝－tan αsin α·（－cos α）＋－sin α·（－sin α）－cos α·cos α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1. 4．已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求tan （435°－α）＋sin （α－165°）cos （195°＋α）sin （105°＋α）的值．解析 ∵原式＝tan[（75°－α）＋360°]＋sin[（15°＋α）－180°]cos[180°＋（15°＋α）]·sin[180°－（75°－α）]＝tan （75°－α）－sin （15°＋α）－cos （15°＋α）·sin （75°－α）， ∵cos(15°＋α)＝35，α为锐角，又(15°＋α)＋(75°－α)＝90°， 可得15°＋α，75°－α均为锐角，∴sin(15°＋α)＝45，sin(75°－α)＝35，tan(75°－α)＝34，故原式＝34－45（－35）×35＝536.5．在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．解析 由已知得sinA ＝2sinB ，3cosA ＝2cosB ， 两等式平方相加，得 2cos 2A ＝1，cosA ＝±22. 若cosA ＝－22，则cosB ＝－32， 此时，∠A ，∠B 都为钝角，不合题意． 若cosA ＝22，则cosB ＝32. ∴∠A ＝π4，∠B ＝π6，∠C ＝7π12.规律技巧 在△ABC 中，∠A ＋∠B＋∠C＝π， ∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝π2， 利用诱导公式可得如下一些等式： sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sinC ， cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cosC ， tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tanC ， sin(A 2＋B 2)＝sin(π2－C 2)＝cos C2等．6．已知α为第三象限角，且f(α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （－α＋32π）tan αsin （π＋α）.(1)化简f(α)；(2)若cos (α－32π)＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．解析 (1)f(α)＝sin α·cos α·cot α·tan α－sin α＝－cos α.(2)∵cos (α－32π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.∵α在第三象限，∴cos α＝－265.∴f(x)＝265.(3)∵α＝－1 860°，∴f (α)＝－cos(－1 860°) ＝－cos1 860°＝－cos60°＝－12.。
