9.4.1直线和平面垂直

【课题】9.4.2直线与平面的判定与性质【教学目标】知识目标：掌握直线与平面垂直的判定方法与性质，并能进行简单计算和证明．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．培养学生把空间问题转化为平面问题的转化能力。

【教学重点】直线与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*问题引入直线与平面的位置关系有哪几种？线面位置关系：线在平面内，线面平行，线面相交（垂直、斜交）直线与平面垂直的实例：大桥的桥柱和水平面，旗杆和地面引导引导回忆思考带领学生回忆、分析3*揭示课题9.4.2 直线与平面垂直的判定与性质介绍了解启发学生思考5过程行为行为意图间*问题引入如何定义一条直线与平面垂直？如果直线l平面内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l与平面垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线。

平面α角直线l的垂面，线面交点叫垂足。

*创设情境兴趣导入学校操场上竖了一根新旗杆，现在要检验它是否与地面垂直，你有什么好办法？提问思考回忆引导学生思考7【问题】如果根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？【观察】我们来看看实践中工人师傅是如何做的．如图9−44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直．大家拿一张三角形纸片，看看怎么折一下，能让折痕与桌面垂直？我们再来验证一下，工人师傅的做法是否正确：任意改变折纸的角度，看看折线是否依然垂直。

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B AC内找到一条直线AC与平面B1BDD11垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图9-43图9−44看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺*巩固知识典型例题【知识巩固】例2长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？图9−45解因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9−46[小提示]在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】图9−48α，所以AB∥CD．因为BD 确定平面β，在平面β内，过点A作中，因为AE＝BD＝5 cm，图9−52C1D1中，B1B⊥平面ABCD1，因此AC⊥平面BB1D1D，内，所以平面B1AC与平面B1BDD图9−54AD．又由于BD⊥AB，所以在直角三角形2222BD，3425+=+=cm）．第2题图【教师教学后记】。

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B AC内找到一条直线AC与平面B1BDD11垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图9-43图9−44看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺*巩固知识典型例题【知识巩固】例2长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？图9−45解因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9−46[小提示]在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】图9−48α，所以AB∥CD．因为BD 确定平面β，在平面β内，过点A作中，因为AE＝BD＝5 cm，图9−52C1D1中，B1B⊥平面ABCD1，因此AC⊥平面BB1D1D，内，所以平面B1AC与平面B1BDD图9−54AD．又由于BD⊥AB，所以在直角三角形2222BD，3425+=+=cm）．第2题图【教师教学后记】。

【课题】9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角【教学目标】知识目标：（1）了解两条异面直线所成的角的概念；（2）理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念，二面角及其平面角的概念．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】异面直线的概念与两条异面直线所成的角的概念、直线与平面所成的角的概念、二面角及其平面角的概念．【教学难点】两条异面直线所成的角的概念、二面角的平面角的确定．【教学设计】两条异面直线所成的角可用来刻画两条异面直线之间的位置关系，它是本节教学的难点．学生一般会有疑问：异面直线不相交怎么能成角？教学时要讲清概念．例1是求异面直线所成的角的巩固性题目，一般来说，这类题目要先画出两条异面直线所成的角，然后再求解．斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别．两个平面相交时，它们的相对位置可用两个平面所成的角来确定．教材从观察建筑房屋、修筑河堤两个实例，结合实验引入二面角的概念，二面角的概念可以与平面几何中的角的概念对比进行讲解．二面角的平面角的大小只与二面角的两个面的相对位置有关，而与平面角的顶点在棱上的位置无关．因此二面角的大小可以用它的平面角来度量．规定二面角的范围为[0,180]．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题9.3 直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角*创设情境 兴趣导入在图9−30所示的长方体中，直线1BC 和直线AD 是异面直线，度量1CBC ∠和1DAD ∠，发现它们是相等的．如果在直线AB 上任选一点P ，过点P 分别作与直线1BC 和直线AD 平行的直线，那么它们所成的角是否与1CBC ∠相等？图9−30介绍 质疑引导 分析了解 思考启发 学生思考0 5 *动脑思考 探索新知我们知道，两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角．经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．如图9−31（1）所示，m '∥m 、n '∥n ，则m '与n '的夹角θ就是异面直线m 与n 所成的角．为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O （如图9−31（2））(1)讲解 说明 引领 分析思考 理解带领 学生 分析nm'm'noθ过 程行为 行为 意图 间*运用知识 强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ； （2）1AA 与1BC ．提问 指导思考 解答领会知识21 *创设情境 兴趣导入正方体1111ABCD A B C D -中（图9−33），直线1BB 与直线AB 、BC 、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少？可以发现，这些角都是直角．图9−33质疑 引导 分析思考启发 学生思考26*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34讲解说明引领 分析思考 理解带领 学生 分析309.3.1题图过程行为行为意图间*创设情境兴趣导入将一根木棍P A直立在地面α上，用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离（图9−35），发现P A最短．质疑思考带领学生分析32*动脑思考探索新知如图9−35所示，PAα⊥，线段P A叫做垂线段，垂足A 叫做点P在平面α内的射影．直线PB与平面α相交但不垂直，则称直线PB与平面α斜交，直线PB叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段．过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影．如图9−35中，直线AB是斜线PB在平面α内的射影．从上面的实验中可以看到，从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离．讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析40*创设情境兴趣导入如图9−36所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好炮筒与地面的角度．图9−36质疑思考带领学生分析42图9−35过程行为行为意图间*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC在平面α内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面α的垂线段AD=10．求（1）等腰∆ABC的高AE的长；（2）斜线AE和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE的长；AED∠是AE和平面α所成的角，三角形ADE是直角三角形，求出AED∠的正弦值即可求出斜线AE和平面α所成的角．解(1) 在等腰∆ABC中，AE BC⊥，故由BC=16可得BE=8.在Rt∆AEB中，∠AEB=90°，因此222217815AE AB BE=-=-=.（2）联结DE.因为AD是平面α的垂线，AE是α的斜线，所以DE是AE在α内的射影.因此AED∠是AE和平面α所成说明强调引领观察思考主动求解通过例题进一步领会图9−38过 程行为 行为 意图 间的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===， 所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？讲解 说明思考注意 观察 学生 是否 理解 知识 点55*运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中，高DD 1=4cm ，底面是边长为3cm 的正方形，求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小（精确到1′）.练习9.3.2图提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况60 *创设情境 兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．质疑引导 分析思考启发 思考63 *动脑思考 探索新知平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫做一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面讲解（2）图9−39（1）过 程行为 行为 意图 间角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．以直线l （或CD ）为棱，两个半平面分别为αβ、的二面角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角． 说明引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语思考 理解 记忆带领 学生 分析70 *创设情境 兴趣导入用纸折成一个二面角，在棱上选择不同的点作出二面角的平面角，度量它们是否相等，想一想是什么原因． 质疑 思考 启发 思考 72 *动脑思考 探索新知二面角的平面角的大小由αβ、的相对位置所决定，与顶点在棱上的位置无关，当二面角给定后，它的平面角的大小也就随之确定．因此，二面角的大小用它的平面角来度量．当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角．因此二面角取值范围是[0,180]．平面角是直角的二面角叫做直二面角．例如教室的墙壁与地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直．平面α与平面β垂直记作αβ⊥ 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 记忆 带领 学生 分析76 *巩固知识 典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．说明 强调观察通过图9−40CD图9−41loNM βαCD过 程行为 行为 意图 间图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°. 引领 讲解 说明思考 主动 求解例题进一步领会81*运用知识 强化练习在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况86 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：异面直线所成的角、二面角的平面角的概念？ 结论：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角． 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 87 *归纳小结 强化思想引导回忆练习9.3.3题继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的异面直线实例【教师教学后记】【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B AC内找到一条直线AC与1平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 *创设情境 兴趣导入【知识回顾】如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a 和b 互相垂直，记作a ⊥b ．【想一想】演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置关系，并回答问题：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，能作几条？ 介绍质疑引导分析了解 思考启发 学生思考0 5 *巩固知识 典型例题【知识巩固】例1 如图9-43，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，判断直线AB 和DD 1是否垂直．解 AB 和DD 1是异面直线，而BB 1∥DD 1，AB ⊥BB 1，根据异面直线所成的角的定义，可知AB 与DD 1成直角．因此1AB DD .图9-43说明 强调 引领讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会10 *运用知识 强化练习1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？2．在图9−43所示的正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线1AA 的位置关系． 提问 指导 思考 解答了解 知识 掌握 情况14 *创设情境 兴趣导入【问题】前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的．如图9−44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人质疑 引导思考带领 学生 分析图9−44*巩固知识典型例题【知识巩固】例2长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？图9−45解因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D 都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD 内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9−46[小提示]在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】如果只给一个卷尺，你能否判断操场中立的旗杆与底面垂直吗？图9−48α，CD⊥α，所以AB∥CD BD，CD⊥BD．设AB与CD确定平面AE∥BD，直线AE与CD交于点ACE中，因为AE＝BD＝5 cm，过 程行为 行为 意图 间所以 AC ＝22AE CE + ＝ 22512+ ＝13（cm ）．说明求解 理解 知识 点 37 *运用知识 强化练习1．一根旗杆AB 高8 m ，它的顶端A 挂两条10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C 、D 两点，并使点C 、D 与旗杆脚B 不共线，如果C 、D 与B 的距离都是6 m ，那么是否可以判定旗杆AB 与地面垂直，为什么？2．如图所示，ABC ∆在平面α内，90BAC ∠=︒，且PA α⊥于A ，那么AC 与PB 是否垂直？为什么？提问 巡视 指导 思考 解答及时 了解 学生 知识 掌握 情况42 *创设情境 兴趣导入【知识回顾】两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作βα⊥． 画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图9−49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图9−49（2））．【做一做】请动手画出图9−50中的两个图形． [实例]建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9−50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直．质疑 引导 分析观察 思考带领 学生 分析β（2）α图9−49过程行为行为意图间图9−5048 *动脑思考探索新知【新知识】这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．如图9−51所示，如果ABβ⊥，AB在α内，那么αβ⊥．讲解说明引领分析理解带领学生分析52*巩固知识典型例题【知识巩固】例4在正方体ABCD-A1B1C1D1（如图9−52）中，判断平面B1AC与平面B1BDD1是否垂直．图9−52解在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以BB1⊥AC，在底面正方形ABCD中，BD⊥AC，因此AC⊥平面BB1D1D，因为AC在平面B1AC内，所以平面B1AC与平面B1BDD1垂直．说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会57*创设情境兴趣导入图9−51图9−54内，连结AD．又由于BD⊥AB过 程行为 行为 意图 间222223425=+=+=AD AB BD ，故 AD ＝5（cm ）．因为αβ⊥，AC 在平面α内，且AC ⊥AB ，AB 为平面α与β的交线，所以AC ⊥β． 因此CA ⊥AD ．在直角三角形ACD 中，22222125169=+=+=CD AC AD ，故 CD ＝13（cm ）．讲解 说明主动 求解观察 学生 是否 理解 知识 点69 *运用知识 强化练习1．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，与平面1AB 垂直的平面有 个，与平面1AB 垂直的棱有 条．2．如图所示，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边卡在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了，为什么？ 提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况78 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：直线与平面垂直的判定与性质？ 平面与平面垂直的判断与性质？ 结论：直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行．平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．质疑 归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况82A BC D D AB C第1题图第2题图【教师教学后记】。

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质.平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内.过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中.过一点作与已知直线垂直的直线.能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目.根据异面直线垂直的定义.只要判断它们所成的角为90即可.在判定直线与平面垂直时.要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例.以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中.两个平面互相垂直的例子非常多.教学时可以多结合一些实例.以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目.关键是在平面B AC内找到一条直线AC与平面B1BDD1垂1直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】图9-43图9−44看曲尺的另一条直角照样再检查一次（应当注意.直角*巩固知识典型例题【知识巩固】例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45）.直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？图9−45解因为长方体ABCD-A1B1C1D1中.侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形.所以AA1⊥AB.AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知.直线AA1⊥平面ABCD．图9−46[小提示]在实际生活中.我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直.就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】如果只给一个卷尺.图9−48.所以AB∥CD．因为BD在平面在平面β内.过点A作AE∥BD.直线因为AE＝BD＝5 cm.8 + 4 =12（cm）.图9−52D1中.B1B⊥平面ABCD.所以BB1D1D.图9−54AD．又由于BD⊥AB.所以在直角三角形2222BD.3425+=+=）．第2题图【教师教学后记】。

直线和平面垂直的判定定理的证明说到直线和平面垂直的判定定理，那可是一个看似简单却又不容小觑的概念。

你想，生活中有多少事物都遵循着“垂直”的规律啊。

比如，你在画个十字的时候，横竖两条线要是不能互相垂直，那就不好看了。

而在几何的世界里，这种“垂直”关系也非常重要，关系到好多定理的成立。

今天就来聊聊怎么判断直线是否与平面垂直。

相信我，过程一点也不难，简单易懂，还能让你觉得挺有趣。

我们得明白一个基本概念。

什么是“垂直”呢？简单来说，直线和平面垂直，就是这条直线完全“站”在这个平面上，像一根笔直的旗杆立在地面上一样。

不偏不倚，直接垂直地穿过平面。

这听起来很抽象？别急，听我慢慢解释。

我们常常在物理或者建筑中看到垂直的例子，比如一根电线杆就得跟地面垂直。

可问题来了，怎么判断呢？难道拿着直尺、量角器去测量？那也太麻烦了吧！所以，我们用一种简单的方式——通过法向量来判断。

你可能会问，法向量是什么鬼？别担心，这个名字听起来很高大上，但其实不复杂。

平面上总是有一条“方向线”，我们叫它法向量。

它的特点就是，它是垂直于这个平面的，站在这个平面上的任何直线都会和它形成一定的角度，除非这条直线与法向量平行，或者刚好垂直。

现在，假设我们有一个平面和一条直线。

我们只要找出平面上的法向量，再看看直线的方向向量是否与法向量垂直。

如果两者的点积为零，那就说明这条直线和这个平面是垂直的，换句话说，这个直线“顶”到了这个平面，正好垂直。

这种方法其实很简洁。

为了让大家更容易理解，我们可以举个例子。

比如，平面给定的方程是 ( ax + by + cz = d )，这个平面的法向量就是 ( (a, b, c) )，假设直线的方向向量是 ( (l, m, n) )。

要判断直线是否和这个平面垂直，只需要看法向量和方向向量的点积是不是零。

也就是说，计算 ( a cdot l + b cdot m + c cdot n )，如果结果是零，那直线就和这个平面垂直。

第五节直线、平面垂直的判定及其性质[最新考纲] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.(3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围是0°≤θ≤180°.4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α[常用结论]1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．()[答案](1)×(2)×(3)×二、教材改编1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γA[两个平面垂直，一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，故A错误．选A.]2．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面A[四面体S-EFG如图所示：由SG⊥GE，SG⊥GF.且GE∩GF＝G得SG⊥△EFG所在的平面．故选A.]3．如图，三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，则二面角V-AB-C的度数为．60°[如图，取AB的中点D，连接VD，CD.由VA＝VB＝AC＝BC知，VD⊥AB，CD⊥AB，从而∠VDC就是二面角V-AB-C 的平面角．在△VAB和△ABC中分别求得VD＝CD＝1，因此△VDC是等边三角形，故∠VDC＝60°.]4．在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的心；(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的心．(1)外(2)垂[(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．图1图2(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，P A，PB⊂平面P AB，∴PC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．]考点1直线与平面垂直的判定与性质证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．证明直线与平面垂直如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M为棱BC的中点，BB1＝3，AB1＝10，∠CBB1＝60°.(1)求证：AM⊥平面BCC1B1；(2)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积．[解](1)证明：如图，连接B1M，因为底面ABC是边长为2的正三角形，且M为棱BC的中点，所以AM⊥BC，且AM＝3，因为BB1＝3，∠CBB1＝60°，BM＝1，所以B1M2＝12＋32－2×1×3×cos 60°＝7，所以B1M＝7.又因为AB1＝10，所以AM2＋B1M2＝10＝AB21，所以AM⊥B1M.又因为B1M∩BC＝M，所以AM⊥平面BCC1B1.(2)设斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，则V＝3VB1-ABC＝3VA-B1BC＝3×13S △B 1BC ·|AM | ＝12×2×3×sin 60°× 3 ＝92.所以斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为92.(1)已知线段的长度，一般情况下用勾股定理的逆定理证明线线垂直，如本例第(1)问．(2)解答本例第(2)问时，易误认为B 1M 是斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高，从而得到错误答案．证明空间两条直线垂直(2019·成都模拟)如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且AB ∥EF ，AF ＝2，EF ＝2AB ＝4AD ＝42，平面ABCD ⊥平面ABEF .(1)求证：BE ⊥DF ； (2)求三棱锥C -AEF 的体积V .[解] (1)证明：取EF 的中点G ，连接AG . ∵EF ＝2AB ，∴AB ＝EG .又AB ∥EG ，∴四边形ABEG 为平行四边形， ∴AG ∥BE ，且AG ＝BE ＝AF ＝2.在△AGF 中，GF ＝12EF ＝22，AG ＝AF ＝2， ∴AG 2＋AF 2＝GF 2，∴AG ⊥AF .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ⊥AB .又平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴AD ⊥平面ABEF . 又AG ⊂平面ABEF ， ∴AD ⊥AG .∵AD ∩AF ＝A ，∴AG ⊥平面ADF . 又∵AG ∥BE ，∴BE ⊥平面ADF . 又DF ⊂平面ADF ，∴BE ⊥DF .(2)连接DE .∵CD ∥AB ，且CD ⊄平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，∴CD ∥平面ABEF ，∴V C -AEF ＝V D -AEF .由(1)得，AD ⊥平面ABEF ，S △AEF ＝12×42×2＝4， ∴V C -AEF ＝V D -AEF＝13×4×2＝423.证明线线垂直一般是先证线面垂直，再根据线面垂直的性质得到线线垂直．[教师备选例题](2017·江苏高考)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明](1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.考点2面面垂直的判定与性质证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，注意：三种垂直关系的转化(1)(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线B [取CD 的中点F ，DF 的中点G ，连接EF ，FN ，MG ，GB ，BD ，BE .∵点N 为正方形ABCD 的中心，∴点N 在BD 上，且为BD 的中点．∵△ECD 是正三角形，∴EF ⊥CD .∵平面ECD ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD .∴EF ⊥FN .不妨设AB ＝2，则FN ＝1，EF ＝3，∴EN ＝FN 2＋EF 2＝2. ∵EM ＝MD ，DG ＝GF ，∴MG ∥EF ， ∴MG ⊥平面ABCD ，∴MG ⊥BG .∵MG ＝12EF ＝32，BG ＝CG 2＋BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52， ∴BM ＝MG 2＋BG 2＝7.∴BM ≠EN .∵BM ，EN 是△DBE 的中线，∴BM ，EN 必相交．故选B.](2)(2019·青岛模拟)如图，四棱锥P -ABCD 中，△PCD 为等边三角形，CD ＝AD ＝2AB ，E ，S ，T ，Q 为CD ，P A ，PB ，AD 的中点，∠ABC ＝∠BCD ＝∠PEA ＝90°，平面STRQ ∩平面ABCD ＝RQ .①证明：平面P AE ⊥平面STRQ ；②若AB ＝1，求三棱锥Q -BCT 的体积．[解] ①证明：因为E 为CD 的中点，CD ＝2AB ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，所以四边形ABCE 为矩形，所以AE ⊥CD .由已知易得RQ ∥CD ，所以RQ ⊥AE .因为∠PEA ＝90°，PE ∩CD ＝E ，故AE ⊥平面PCD ，又因为AE ⊂平面ABCD .故平面PCD ⊥平面ABCD .因为PE ⊥CD ，所以PE ⊥平面ABCD .因为RQ ⊂平面ABCD ，所以RQ ⊥PE .又PE ∩AE ＝E ，所以RQ ⊥平面P AE .所以平面P AE ⊥平面STRQ . ②由①可知，PE ⊥平面ABCD ，又T 是PB 的中点，∴点T 到平面BCQ 的距离为12PE ＝32，易知S △BCQ ＝12S 梯形ABCD ＝12×12×(1＋2)×3＝334.故三棱锥Q-BCT的体积V＝13×334×32＝38.解答本例T(2)第(2)问时，借助已知的点面距求高，这是常用的方法，求S△BCQ时，可先求底边和高，再求面积．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM ＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥Q-ABP的体积．[解](1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.又BA⊥AD，且AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2.又BP＝DQ＝23DA，所以BP＝2 2.作QE⊥AC，垂足为E，则QE13DC.由已知及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q -ABP 的体积为V Q -ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin45°＝1.考点3 点到平面的距离求点到平面的距离(高)的两种方法(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离．(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解．定义法求距离(高)(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为 ．2 [如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC .又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝(3)2－12＝ 2.](2)(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．①证明：PO⊥平面ABC；②若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．[解]①证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，OB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.②作CH⊥OM，垂足为H.又由①可得OP⊥CH，OP⊂平面POM，OM⊂平面POM，OP∩OM＝O，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°，所以OM＝253，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为455.解答本例T(2)第②问时也可以使用等体积法求解．[教师备选例题]如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面P AB⊥平面P AD；(2)若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的高及四棱锥的侧面积．[解](1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，因为AP∩PD＝P，从而AB⊥平面P AD.又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD .(2)在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PE ，可得PE ⊥平面ABCD ，所以PE 为四棱锥的高．由AB ⊥平面P AD ，得AB ⊥AD ，又AB ∥CD ，AB ＝CD ，则四边形ABCD 为矩形．设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P -ABCD 的体积V P -ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，解得x ＝2.故四棱锥的高PE ＝2，从而P A ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P -ABCD 的侧面积为12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.等体积法求距离(高)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝1，AA 1＝2，D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且CO ⊥平面ABB 1A 1.(1)证明：BC ⊥AB 1；(2)若OC ＝2OA ，求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高．[解] (1)证明：在矩形ABB 1A 1中，由平面几何知识可知AB 1⊥BD ，又CO ⊥平面ABB 1A 1，∴AB 1⊥CO ，CO ∩BD ＝O ，BD ，CO ⊂平面BCD ， ∴AB 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥AB 1.(2)在矩形ABB1A1中，由平面几何知识可知OA＝33，OB＝63，∵OC＝2OA，∴OC＝6 3，∴AC＝1，BC＝233，S△ABC＝23，设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h，即三棱锥A1-ABC的高为h.又S△ABA1＝22，由VC-ABA1＝VA1-ABC得S△ABC·h＝S△ABA1·OC，∴h＝6 2.解答本例第(2)问的关键是把三棱柱的高转化为求三棱锥的高，再利用等体积法求解．[教师备选例题]如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，EA＝ED＝AB＝2EF＝4，EF∥AB，M为BC的中点．(1)求证：FM∥平面BDE；(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离．[解](1)证明：取BD中点O，连接OM，OE，因为O，M分别为BD，BC中点，所以OM∥CD且OM＝12CD，由已知EF∥AB且EF＝12AB，又在菱形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝CD ，所以EF ∥CD 且EF ＝12CD .所以OM ∥EF 且OM ＝EF ，所以四边形OMFE 为平行四边形，所以MF ∥OE .又OE ⊂平面BDE ，MF ⊄平面BDE ，所以MF ∥平面BDE .(2)由(1)得FM ∥平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离．取AD 的中点H ，连接EH ，BH ，因为EA ＝ED ，所以EH ⊥AD ，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ，EH ⊂平面ADE ，所以EH ⊥平面ABCD .由已知得EH ＝23，BE ＝EH 2＋HB 2＝26，所以等腰三角形BDE 的面积为S △BDE ＝12×26×42－(6)2＝215.又S △BDM ＝12S △BCD ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4×32＝23， 设F 到平面BDE 的距离为h ，由V E -BDM ＝V M -BDE 得13·S △BDM ·EH ＝13·S △BDE ·h ， 即13×23×23＝13×h ×215，解得h ＝2155， 所以点F 到平面BDE 的距离为2155.(2019·武汉模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠DAB ＝π3，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ＝PD ＝102.(1)证明：PB⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．[解](1)如图，取AD的中点H，连接PH，HB，BD.∵底面ABCD是边长为1的菱形，∴AD＝AB＝1，∴AH＝12AD＝12，由BH2＝AB2＋AH2－2AB·AH·cos∠DAB，得BH2＝1＋14－2×1×12×12＝34，∴BH＝32，∴AH2＋BH2＝AB2，∴BH⊥AD.∵P A＝PD，H为AD的中点，∴PH⊥AD，又PH∩BH＝H，∴AD⊥平面PHB，又PB⊂平面PHB，∴AD⊥PB，又AD∥BC,∴PB⊥BC.(2)法一(定义法)：∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC，∴点A与点H到平面PBC的距离相等．由(1)知AD⊥平面PHB，∴BC⊥平面PHB，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PHB.过点H作HM⊥PB于M.由平面PHB∩平面PBC＝PB，知HM即点H到平面PBC的距离．∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PH⊂平面P AD，PH⊥AD，∴PH⊥平面ABCD，又BH⊂平面ABCD，∴PH⊥BH.PH＝P A2－AH2＝32，BH＝32，∴PB＝PH2＋BH2＝3，∴HM＝PH·BHPB＝32×323＝34.法二(等体积法)：由(1)知，在△P AD中，PH＝P A2－AH2＝32，在△ABD中，BH＝32，在△PHB中，PB＝PH2＋BH2＝ 3.又PB⊥BC，∴S△PBC＝32，设点A到平面PBC的距离为h，则有S△PBC·h＝S△ABC·PH，即32h＝1 2×1×1×sin 2π3×32，解得h＝34.考点4直线与平面所成的角求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．6 2C．8 2 D．8 3C[如图，连接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝2sin 30°＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝AC21－AC2＝42－(22＋22)＝22，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×22＝8 2.](2)(2018·天津高考)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°.①求证：AD⊥BC；②求异面直线BC与MD所成角的余弦值；③求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．[解]①证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.②如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，所以MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝AD2＋AM2＝13.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.在Rt△DAN中，AN＝1，故DN＝AD2＋AN2＝13.在等腰三角形DMN中，MN＝1，可得cos∠DMN＝12MNDM＝1326.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为1326.③如图，连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，所以CM⊥AB，CM＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角． 在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4.在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34.在相互垂直的平面内作交线的垂线，是得到线面垂直的常用方法． 1.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段CC 1的中点，则直线D 1E 与平面ADE 所成角的余弦值为( )A.35B.45C.55D.255A [如图所示，过点D 1作D 1F ⊥DE ，垂足为F ，而AD ⊥D 1F ，AD ∩DE ＝D ，故D 1F ⊥平面ADE ，则∠D 1EF 为D 1E 与平面ADE 所成的角，不妨设AB ＝2，则D 1E ＝5，DF ＝DD 1·cos ∠D 1DF ＝DD 1·sin ∠CDE ＝255，EF ＝355，故cos ∠D 1EF ＝EF D 1E ＝35.故选A.]2．(2019·天津高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC ⊥平面PCD ，P A ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面P AD；(2)求证：P A⊥平面PCD；(3)求直线AD与平面P AC所成角的正弦值．[解](1)证明：连接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH.又由BG＝PG，故GH∥PD.又因为GH⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，所以GH∥平面P AD.(2)证明：取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC.又因为平面P AC⊥平面PCD，平面P AC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面P AC.又P A⊂平面P AC，所以DN⊥P A.又已知P A⊥CD，CD∩DN＝D，所以P A⊥平面PCD.(3)连接AN，由(2)中DN⊥平面P AC，可知∠DAN为直线AD与平面P AC所成的角．因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝ 3.又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝DNAD ＝33.所以，直线AD与平面P AC所成角的正弦值为33.。