高中数学 3.2.1《指数概念的扩充》测试 北师大版必修1

2019-2020年高中数学 3.2.1《指数概念的扩充》精品教案北师大版必修1一、教学目标1．经历由幂指数由整数逐步扩充到实数的过程，理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义．2．掌握幂的运算性质．3．理解随着指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数逐渐扩充到实数指数函数．4．使学生感受数学推理的合理与严谨，体会充满在整个数学中的组织化，系统化的精神．二、设计思路以前的数学学习中，已经经历过“数”的扩充过程．由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系．本章也是按照这个思路来实现指数概念的扩充，依据两个原则：①数学发展需要；②基本运算能无限制地进行．把“指数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化，系统化的精神．2.1 整数指数幂1．2.1节首先回忆初中学习的整数指数幂的概念和正整数指数幂的运算性质，进而讨论这些运算性质能否推广到整数指数幂，为学习指数概念的扩充作准备．2．运算性质的扩充是通过实例说明，不要求证明，降低难度，符合高一学生的思维水平．3．当指数运算性质推广到整数指数幂时，正整数指数幂的运算性质：不过，这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定.当指数的范围扩大到有理数集Q以至实数集R后．幂的运算性质仍然是上述三条，当然这3条性质也要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定．4．本教材强调了整数指数幂满足不等性质，这些性质即常用又容易理解．2.2 分数指数幂1．指数概念的扩充，依据两个原则：①数学发展需要；②基本运算能无限制地进行．2．强调指数概念的扩充是由于需要．3．整个§2，知识的发生发展都是先讲指数概念的扩充．指数概念的推广和指数函数定义域的扩充平行，随着指数概念的扩充，同时指数函数的概念也由正整数指数函数逐渐扩充．然后运算性质的扩充．4．本书绕开了根式，讲解分数指数幂的概念．分三步，首先说清楚正分数指数幂的意义，再说的意义，最后规定负分数指数幂的意义．通过实例，在幂的运算b n＝a m，解决求b的问题中，导出分数指数幂的概念．导出过程中强调了b的存在与唯一．使学生感受数学推理的合理与严谨．5．例5、6、7为学生理解分数指数幂的概念而设计．6．分数指数幂与根式只是形式不同，为了方便学生阅读参考书，教材中给出“有时我们把正分数指数幂写成根式形式”，并在习题中让学生适当地练习．7．有理指数幂运算性质，是提出问题：“整数指数幂扩充到有理数指数幂，整数指数幂的运算性质也适用于有理数指数幂吗？”后直接给出，没有证明过程．这是因为教材要面对全体学生，有兴趣的同学可以在教师指导下证明这些结论．2.3 实数指数幂1．由于学生必须学习极限的概念后，才能真正地理解实数指数幂的概念，因而本节安排《阅读理解》，帮助学生了解了解实数指数幂的意义．2．首先“用有理数逼近无理数”的思想，理解的一系列不足近似值，和一系列过剩近似值，越来越逼近的精确值．进而认识的近似值精确度越高，以其不足近似值和过剩近似值为指数的幂10α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为．3．让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程，认识实数指数幂的概念．4．把实数指数幂作为一小节，目的是让学生感受“用有理数逼近无理数”，了解由“有限”认识“无限”的数学大思想．5．当指数扩充到实数，运算性质和指数函数的概念也随之扩充到实数集上．四、教学建议2.1 整数指数幂1．可以采用多种方式复习整数指数幂的概念和正整数指数幂的运算性质．2．通过问题“负整数指数幂还保留以上运算性质吗？”组织学生演算例1，从中抽象一般结论：正整数指数幂的运算性质可以推广到整数．3．讨论例2，让学生得出指数幂的运算性质的五条可以合并为三条．4．分清哪些概念是规定的(如a0＝1，00无意义)，哪些是通过演绎推理得出的．2.2 分数指数幂1．让学生理解指数概念的扩充是由于数学发展和实际应用的需要．2．正分数指数幂是由问题“正整数指数幂的运算b n＝a中，常常是已知正实数b和正整数n，求a．反过来已知a和n怎样求b？”引入．强调存在与唯一，即“给定正实数a，对于任意给定的正整数n，存在惟一的正实数b，使得b n＝a．这样，我们把这个存在惟一的正实数b记作：b＝”．学生理解这点后，进一步讲解“给定正实数a，对于任意给定的正整数n，m，存在惟一的正实数b，使得b n＝a m，我们规定b叫做a的次幂，记作：b＝．它就是正分数指数幂”．让学生体会数学概念扩充的理性思考．3．把握难度，指数概念的扩充过程要求较高，运算性质的推广中的推理不作要求．4．对于运算结果，一般地用分数指数幂的形式表示．如有特殊要求，根据要求给出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2.3 实数指数幂1．在学习实数指数幂的概念时，一定让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程．2．是学生熟悉的数，这里是“用有理数逼近无理数”的思想重新认识它，让学生读出它的一系列不足近似值和过剩近似值，体会越来越逼近的精确值的过程，为认识作准备．3．让学生算的一系列不足近似值和过剩近似值，并分析比较，体会越来越逼近的精确值的过程．从而对实数指数幂有感性认识．4．指数函数概念的扩充可以由学生讨论完成．5．实数指数幂的运算性质直接给出，并告诉学生：与有理指数幂的运算性质不同在于，要证明它，我们目前的知识不够．五、课程资料参考一．怎样证明正分数指数幂的运算性质?二．指数发展简史1637年，法国数学家笛卡儿(Descartes，1596――1650年)开始用符号a n表示正整数幂，在他的《几何学》一书中，用a3代表a?a?a，用a4代表a?a?a?a．分数指数幂在十七世纪初也开始出观，最早使用分数指数记号的是荷兰工程师司蒂文(Stevin)．十七世纪末，华里斯开始使用a n表示分数指数及负数指数幂．十八世纪初，英国数学家牛顿(Newton，1642―1727年)开始使用a n表示任意实数指数幂．这样，指数概念就由正整数指数逐步推广到实数指数．2019-2020年高中数学 3.2.1一元二次不等式教材分析与导入设计北师大版必修5本节教材分析教材通过交通事故中如何分析那辆车违章，引出一元二次不等式的概念，例子贴合学生的生活实际，易于激发学生的学习兴趣.在此基础上，提出“如何解一元二次不等式”并进行了较详细的分析，其分析过程关键在于，把符号语言“”转化成相应的图形语言，即确定函数的图像在x轴下方时，其x的取值范围.在分析过程中，体现了数形结合的思想方法与运动的观点，揭示了一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者的关系.通过书中三个例子，初步掌握一元二次不等式的解法.三维目标1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式（a＞0）的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

2.1　指数概念的扩充课后篇巩固提升1.等于( )5a -2A. B. C. D.-a -25a 52a 25a -52答案:A2.[(-3)2-100的值等于( )]12A.-2 B.2 C.-4 D.4解析:原式=-1=3-1=2.(9)12答案:B3.=( )3(-7)3+(-9)2A.-16 B.16 C.-2 D.2解析:=-7+9=2,故选D .3(-7)3+(-9)2答案:D4.若=1,则下列结果正确的是( )(2x -6)x 2-5x +6A.x=2 B.x=3C.x=2或x=D.非上述答案72解析:由x 2-5x+6=0,得(x-2)(x-3)=0,即x=2或x=3.但x=3时,00无意义.由2x-6=1,得x=.故x=2或x=.7272答案:C5.下列根式与分数指数幂互化中正确的是( )A.-=(-x (x ≠0)x )12B.=-(x ≠0)x -133x C.(xy>0)(x y )-34=4(y x)3D.(y<0)6y 2=y 13解析:A 中,-=-≠(-x (x ≠0),故A 不正确;x x 12)12B 中,≠-(x ≠0),故B 不正确;x -13=13x 3x C 中,(xy>0),故C 正确;(xy )-34=1(x y )34=14(x y )3=4(y x )3D 中,=-(y<0),故D 不正确.6y 2=(-y )26=(-y )13y 13≠y 13答案:C6.导学号85104056计算的值为( )3(2-π)3+(3-π)2A .5B .-1C .2π-5D .5-2π解析:=2-π+π-3=-1.故选B .3(2-π)3+(3-π)2答案:B7.若a=(a>0,b>0),则b= (用a 的分数指数幂表示). 5b 3解析:因为a=,所以a=,所以a 5=b 3,故b=.5b 3b 35a 53答案:a538.若=-4a-1,则实数a 的取值范围是 . (4a +1)2解析:由=|4a+1|=-4a-1,(4a +1)2得4a+1≤0,即a ≤-.14答案:(-∞,-14]9.下列说法不正确的为 .(填序号) ①=a ;②若a ∈R ,则(a 2-a+1)0=1;n a n ③+y ;④.3x 4+y 3=x 433-5=6(-5)2解析:因为a 2-a+1=>0,(a -12)2+34所以②正确,①③④均不正确.答案:①③④10.已知幂函数y=f (x )的图像过点.(9,13)(1)求f (x )的解析式;(2)求f (25)的值;(3)若f (a )=b (a ,b>0),则a 用b 可表示成什么?解:(1)设f (x )=x t ,则9t =,13即32t =3-1,∴t=-,∴f (x )=(x>0).12x -12(2)f (25)=.25-12=12512=125=15(3)由f (a )=b ,得=b ,故a=b -2=.a -121b 211.导学号85104057已知+|b-3|=0.a +2(1)求a ,b 的值;(2)计算+(-2)-a ;0.0641b ‒(2 0172 018)0(3)判断函数f (x )=x a 的奇偶性.解:(1)因为与|b-3|是非负数,且+|b-3|=0,a +2a +2所以解得a=-2,b=3.{|b -3|=0,a +2=0,(2)由(1)知,原式=+(-2)2=0.4-1+4=3.4.0.06413‒(2 0172 018)0(3)由(1)知,f (x )=x -2,定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,且f (-x )=(-x )-2==f (x ),1(-x )2=1x 2所以f (x )是偶函数.。

第三章§2 2.1指数概念的扩充一、选择题1．若(1－2x)－56有意义，则x的取值范围是( )A．x∈R B．x≠1 2C．x>12D．x<12[答案] D[解析] (1－2x)－56＝161－2x5，要使(1－2x)－56有意义，则需1－2x>0，即x<1 2 .2．332等于( )A. 2B.33C.327 D.27[答案] D[解析] 332 ＝33＝27.3．将3－22化为分数指数幂的形式为( )A ．2－12B ．－212C ．2－12D ．－2－12[答案] B[解析] 原式＝3－21＋12＝3－232＝(－232 )13 ＝－212 .4．式子912 －70的值等于( ) A ．－4 B ．－10 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 912 －70＝9－1＝3－1＝2.5.5a －2等于( ) A ．a －25 B ．a 52C ．a 25D ．－a －52[答案] A[解析] 由根式与分数指数幂的互化可知5a －2＝a －25 .故选A.6．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )A.4m2 B.5mC.6m D.5－m[答案] C[解析] 对于根式na来讲n为奇数时，a∈R有意义，而n为偶数时，a≥0有意义；因此6m，当m<0时无意义，故选C.二、填空题7．a＝5b3(a>0，b>0)，则b＝________(用a的分数指数幂表示)．[答案] a 5 3[解析] 由于a＝5b3＝b35，所以a5＝b3，因此b＝a53 .8.m－n2＝________.[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧m －n m ≥nn －m m<n[解析]m －n 2＝|m －n|＝⎩⎪⎨⎪⎧m －nm ≥n n －mm<n.三、解答题9．用分数指数幂表示下列各式中的b(b>0)： (1)b 5＝32；(2)b 4＝(－3)2；(3)b －2＝18.[解析] (1)b ＝3215 ；(2)b 4＝(－3)2＝32＝9，所以b ＝914 ； (3)b ＝18－12 ＝(118)12 .10．求值：(1119)12 －[3·(π2)0]－1·[(181)14 ＋(5116)－0.25]－13－(110)－1·0.02713 .[解析] 原式＝(1009)12－3－1[13＋(8116)－14]－13－10×0.3＝103－13[13＋(32)－1]－13－10×0.3＝103－13－3＝0.一、选择题1．下列各式中成立的是( )A．(mn)7＝n7m17 B.1234＝3－3C.4x3＋y3＝(x＋y)34 D.39＝33[答案] D[解析] (mn)7＝(mn－1)7＝m7n－7，A错；1234＝1234＝33，B错；(x 3＋y 3)14 ≠(x ＋y)34 ，C 错．2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①na n ＝a②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝0 ③3x 4＋y 3＝x 43 ＋y④3－5＝652A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A[解析] ①中当a ＜0，n 为偶数时，na n ≠a ，故①错；③中3x 4＋y 3＝(x 4＋y 3)13 ≠x 43 ＋y ，故③错； ④中3－5＜0，652＞0，故④错；②中a∈R，a2－a＋1＞0，∴(a2－a＋1)0＝1，故②错，故选A.二、填空题3．0.25×(－12)－4－4÷20－(116)－12＝________.[答案] －4[解析] 原式＝14×(－12)－4－4÷1－111612＝14×(12)－4－4－(16)12＝4－4－4＝－4.4．若2－x有意义，则x2－4x＋4－|3－x|化简后的结果是________．[答案] －1[解析] ∵2－x有意义，∴2－x≥0.∴x≤2.∴x2－4x＋4－|3－x|＝|x－2|－|3－x|＝(2－x)－(3－x)＝－1.三、解答题5．把下列各式中的a(a>0)写成分数指数幂的形式：(1)a3＝54；(2)a3＝(－2)8；(3)a－3＝104m(m∈N＋)．[解析] (1)因为a3＝54，所以a＝54 3 .(2)因为a3＝(－2)8＝28，所以a＝28 3；(3)因为a－3＝104m(m∈N＋)所以a＝10－4m3＝(110)4m3 .6．求下列各式的值：(1)161 4；(2)(19)－32 .[解析] (1)设1614＝x(x>0)，则x4＝16.又24＝16，∴1614＝2.(2)设(19)－32＝x(x>0)，则x2＝(19)－3＝93＝729.又∵272＝729.∴x＝27.7．把下列各式中的正实数x写成根式的形式：(1)x2＝3；(2)x7＝53；(3)x－2＝d9.[解析] (1)x＝312＝3；(2)x＝537＝7125；(3)x＝d－92＝1d92＝1d9.。

第三章 §22.1A 级 基础巩固1．若(1－2x )－56 有意义，则x 的取值范围是导学号 00814583( D )A ．x ∈RB ．x ≠12C ．x >12D ．x <12[解析] (1－2x )－56 ＝错误!，要使(1－2x )－错误!有意义，则需1－2x >0，即x <错误!.2．332 等于导学号 00814584( D )A ．2 B ．33C ．327 D ．27[解析] 332 ＝33＝27.3．将3－22化为分数指数幂的形式为导学号 00814585( B )A ．212B ．－212C ．2－12D ．－2－12[解析] 原式＝3－21＋12 ＝3－232＝(－232 )13 ＝－212 .4．式子912 －70的值等于导学号 00814586( C )A ．－4B ．－10C ．2D ．3[解析] 912 －70＝9－1＝3－1＝2.5．已知x 2＋x －2＝22，且x >1，则x 2－x －2的值为导学号 00814587( D )A ．2或－2B ．－2C ．6D ．2[解析] 因为(x 2－x －2)2＝(x 2＋x －2)2－4x 2·x －2 ＝(22)2－4＝4，又因为x >1，所以x 2>1>x －2，即x 2－x －2>0. 所以x 2－x －2＝2.6．a ＝5b3(a >0，b >0)，则b ＝ a 53 (用a 的分数指数幂表示).导学号 00814588[解析] 由于a ＝5b3＝b 35 ，所以a 5＝b 3，因此b ＝a 53 .7.错误!＝ 错误! .错误! [解析] 错误!＝|m －n |＝错误!.8．用分数指数幂表示下列各式中的b (b >0)：导学号 00814590 (1)b 5＝32；(2)b 4＝(－3)2；(3)b －2＝18.[解析] (1)b ＝3215 ；(2)b 4＝(－3)2＝32＝9，所以b ＝914 ； (3)b ＝18－12 ＝(118)12 .9．求值：(1119)12 －[3·(π2)0]－1·[(181)14 ＋(5116)－0.25]－13 －(110)－1·0.02713 .导学号 00814591[解析] 原式＝(1009)12 －3－1[13＋(8116)－14 ]－13 －10×0.3＝103－13[13＋(32)－1]－13－10×0.3 ＝103－13－3＝0. B 级 素养提升1．下列各式中成立的是导学号 00814592( D )A ．(mn)7＝n 7m 17B ．错误!＝错误!C ．4x3＋y3＝(x ＋y )34D ．39＝33[解析] (m n )7＝(mn －1)7＝m 7n －7，A 错；错误!＝错误!＝错误!，B 错；(x 3＋y 3)14 ≠(x ＋y )34 ，C 错．2．下列命题中，正确命题的个数是导学号 00814593( A )①nan ＝a②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝0③3x4＋y3＝x 43 ＋y④3－5＝错误!A ．0B ．1C ．2D ．3 [解析] ①中当a ＜0，n 为偶数时，nan ≠a ，故①错；③中3x4＋y3＝(x 4＋y 3)13≠x 43 ＋y ，故③错；④中3－5＜0，错误!＞0，故④错；②中a ∈R ，a 2－a ＋1＞0，∴(a 2－a ＋1)0＝1，故②错，故选A ．3．0.25×(－12)－4－4÷20－(116)－12 ＝_－4__.导学号 00814594[解析] 原式＝14×(－12)－4－4÷1－错误!＝14×(12)－4－4－(16)12＝4－4－4＝－4. 4．若2－x 有意义，则x2－4x ＋4－|3－x |化简后的结果是_－1__.导学号 00814595[解析] ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0.∴x ≤2.∴x2－4x ＋4－|3－x |＝|x －2|－|3－x |＝(2－x )－(3－x )＝－1.5．把下列各式中的a (a >0)写成分数指数幂的形式：导学号 00814596 (1)a 3＝54； (2)a 3＝(－2)8； (3)a －3＝104m (m ∈N ＋)．[解析] (1)因为a 3＝54，所以a ＝543 .(2)因为a 3＝(－2)8＝28，所以a ＝283 ；(3)因为a －3＝104m (m ∈N ＋)所以a ＝10－4m 3 ＝(110)4m3 .6．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －b a ＋b的值.导学号 00814597[解析] 由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4.∵a >b >0，∴a >b .又(a －b a ＋b )2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， ∴a －b a ＋b＝15＝55.。

2021年高中数学 3.2.1 指数概念的扩充同步课时训练 北师大版必修1一、选择题（每小题4分，共16分）1. 等于( )(A)-16 (B)16 (C) -2 (D)22.(xx ·南宫高一检测）的值等于( )(A)-2 (B)2 (C)-4 (D)43.计算的值为( )(A) (B) (C) (D)4.(xx ·许昌高一检测）设a ＞0，将表示成分数指数幂，其结果是( )(A) (B) (C) (D)二、填空题（每小题4分，共8分）5.若=-4a-1，则实数a 的取值范围是________.6.（易错题）化简的结果是________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.把下列是根式的化为分数指数幂，是分数指数幂的化为根式.(式中字母均为正实数)73521234a 5a .-（）；（） 8.求下列各式的值:【挑战能力】（10分）已知幂函数y=f(x)的图像过点(9,).(1)求f(x)的解析式；(2)求f(25)的值；(3)若f(a)=b（a,b＞0）,则a用b可表示成什么?答案解析1.【解析】选D. =-7+9=2,故选D.2.【解析】选B. -1=3-1=2.3.【解析】选C.故选C.4.【解析】选A.原式=5.【解析】=|4a+1|=-4a-1,则4a+1≤0，∴a≤答案：（-∞，］6.【解析】由题意知-b≥0，∴答案：-b【误区警示】本题易因不理解根式的意义而错填b.7【解析】（1） (2)(3)(4)(5)8.【解析】(1)设=x（x＞0），则x4=16.又24=16，∴(2)设=x，则x2==93=729.又272=729，∴【挑战能力】【解题指南】解答本题的关键是根据条件求出y=f（x）的解析式，进而求解（2）（3）.【解析】（1）设f(x)=x t,则即32t=3-1,∴∴(2)f(25)=(3)由f(a)=b得39804 9B7C 魼"24623 602F 怯436956 905C 遜29450 730A 猊 28557 6F8D 澍36509 8E9D 躝129534 735E 獞20158 4EBE 亾133553 8311 茑。

2 指数扩充及其运算性质1．指数概念的扩充 (1)整数指数幂①正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积， nn a a a a =⋅⋅⋅L 14243个(n ∈N ＋)，a 叫作幂的底数，n 叫作幂的指数，a n读作“a 的n 次幂”．②零指数幂：任何一个不为零的数的0次幂都等于1，即a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：一个数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数，即a －n＝1na (a ≠0，n ∈N ＋)．(2)分数指数幂给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得bn＝a m，我们把b 叫作a 的mn次幂，记作=mn b a .它就是分数指数幂．对分数指数幂概念的两点说明： ①分数指数幂m na 不是m n个相同因式a 相乘，它实质上是关于b 的方程b n ＝a m的解． ②为什么分数指数幂的定义中规定b ＞0?剖析：由整数指数幂的规定知，当a ＞0时，对任意整数m ，总有a m＞0.若b ＝0，当n为正整数时，b n ＝0，此时b n ≠a m ；当n 为负整数或零时，b n 无意义，b n ＝a m无意义．若b ＜0，当n 为奇数时，b n＜0，此时b n≠a m；当n 为偶数时，虽然b n＝a m成立，但此时，0＞b ≠m na ＞0.因此规定b ＞0.谈重点 分数指数幂与根式的互化 有时我们把正数的正分数指数幂写成根式形式，即m n m na a =a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n＞1)．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，即1m nm nmna aa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．在这样的规定下，分数指数幂可以看作是根式的一种新的写法，它们表示的意义相同，只是形式上不同而已．另外，我们规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)无理数指数幂当a ＞0，p 是一个无理数时，a p的值就可用两个指数为p 的不足近似值和过剩近似值构成的有理数幂序列无限逼近而得到(这个逼近结果的极限就等于a p )，故a p是一个确定的实数．(4)实数指数幂：规定了分数指数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充；规定了无理数指数幂后，指数概念就由有理数指数幂扩充到了实数指数幂．自然地，对于任意的实数α，有1α＝1和a－α＝1aα(a ＞0)． 【例1－1】把下列各式中的b 写成分数指数幂的形式(b ＞0)：(1)b 3＝4；(2)b －2＝5；(3)b m ＝32n(m ，n ∈N ＋)．分析：根据分数指数幂的概念可知，若b n＝a m(a ＞0，b ＞0，m ∈Z ，n ∈Z )，则b ＝m na . 解：(1)b ＝134；(2)b ＝125-；(3)23n mb =. 【例1－2】用分数指数幂表示下列各式： 32x 3a；34()a b -322m n +. 分析：用分数指数幂表示根式时，要紧扣分数指数幂的根式形式m n m naa =a ＞0，m ，n ∈N ＋且n ＞1)．在m na 中指数的分母n 是开方次数，分子m 是被开方数的乘方次数．解：2323x x =；131331a aa -==； 3344()()a b a b -=-；1322223()m n m n +=+. 【例1－3】求下列各式的值：(1)2364；(2)1481-；(3)13125-；(4)238.分析：求m na 的值，可紧扣分数指数幂的概念，即满足b n ＝a m时，m na ＝b (m ，n ∈Z ，a ＞0，b ＞0)；也可将分数指数幂写成根式的形式再求值．解：(方法1)(1)设2364＝x ，则x 3＝642＝4 096，又∵163＝4 096，∴x ＝16，即2364＝16；(2)设1481x -=，则x 4＝81－1＝181， 又∵411381⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴13x =，即141813-=；(3)设13125x -=，则x 3＝125－1＝1125，又∵3115125⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴15x =，即1311255-=；(4)设238x =，则x 3＝82＝64，又∵43＝64，∴x ＝4，即2384=.(方法2)(1)232336464409616===；(2)141441118138181-===； (3)131331111255125125-===； (4)2323388644===. 2．指数运算的性质(1)正整数指数幂的运算性质 ①a m ·a n ＝a m ＋n；②(a m )n ＝a mn；③(ab )n ＝a n b n；④当a ≠0时，有am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －n，当m >n 时，1，当m ＝n 时，a －n －m ，当m <n 时；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝anbn (b ≠0)． 其中m ，n ∈N ＋.(2)实数指数幂的运算性质当a ＞0，b ＞0时，对任意实数m ，n 都满足以下三条： ①a m ·a n ＝a m ＋n(两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加)；②(a m )n ＝a mn(幂的乘方，底数不变，指数相乘)；③(ab )n ＝a n b n(两个实数积的幂等于它们幂的积)． 破疑点 指数运算性质的理解1．在实数范围内，性质⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝a nbn 可归入性质(ab )n ＝a n b n(其中a ＞0，b ＞0)．这是因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝(ab －1)n ＝a n ·(b －1)n ＝a n b －n ＝a n b n 可由性质(ab )n ＝a n b n推出．2．在实数范围内，性质am an ＝⎩⎪⎨⎪⎧a m －n，当m >n 时，1，当m ＝n 时，a －n －m ，当m <n 时，可归入性质a m ·a n ＝am ＋n(其中a＞0)．这是因为，当m ＞n 时，a m an ＝a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n；当m ＝n 时，a m an ＝a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ＝a 0＝1；当m ＜n 时，a m a n ＝a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ＝a －(n －m )＝1an －m 都可由性质a m ·a n ＝a m ＋n推出．(3)在实数指数幂的运算性质中为何规定a ＞0，b ＞0剖析：这是由分数指数幂的定义决定的，因为我们规定a ＞0时m na ＝na m表示一个根式，负数的分数指数幂的意义并没有定义，指数幂的运算性质不作这样的限制的话，就会出现运算上的错误．例如：－2＝3－8＝1226636(8)(8)(8)642-=-=-==，显然这是错误的．【例2－1】用分数指数幂的形式表示下列各式(式中a ＞0)．(1)2a a ⋅；(2)332a a ⋅；(3)a a .分析：先利用分数指数幂与根式的互化关系将根式化为分数指数幂的形式，再根据指数运算的性质化简．解：(1)115222222a a a a a a +⋅=⋅==；(2)221133323333a a a a aa +⋅=⋅==；(3)1131322224()()a a a a a a =⋅==. 析规律 m nmnaa =的应用此类问题应熟练应用m nmna a =(a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．当各式中含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再利用指数运算的性质化简．【例2－2】设a ＞0，将232a a⋅表示成分数指数幂，其结果是( )．A ．12a B ．56a C ．76a D ．32a 5722222266551253236233()a a aa a a a aa aa-======⋅⋅.答案：C【例2－3】求下列各式的值． (1)6323 1.512 (2)10221.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；243819⨯； (4)3425125)5.解：(1)111326362323 1.51223(32)2⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭＝1111133632233232-⨯⨯⨯⨯⨯＝1111113323623-+++⨯＝2×3＝6；(2)10221.531222(0.01)54--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1322191144100-⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝3123221411211149104310⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯-=+⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝116994349716100060003000+-==；242444443338193333⨯=⨯=⨯214147144463336433(3)333+====(4)323344(25125)5(55)5=＝22313113324244(55)55555----⨯=⨯-⨯＝213155551243424124555555---=-=.析规律 含根式的式子如何化简 对于含有根式的式子化简问题，常把根式化成分数指数幂的形式；熟练掌握指数的运算性质并灵活应用．3．利用指数运算性质化简或求值的方法(1)在进行指数幂和根式的混合运算时，一般要先将根式化为分数指数幂，然后根据指数幂的运算性质进行运算．当化简式含有多重根号时，要遵循由内向外的原则，逐层脱去根号． (2)进行指数运算时，一般化负指数为正指数幂，化根式为分数指数幂，化小数为分数． 几个幂相乘时，要特别注意几个幂底数的关系，能统一底数的要统一底数，再利用指数运算性质化简．(3)运算结果不强求一致，若题目给出的是分数指数幂的形式，结果一般也用分数指数幂形式；若题目给出的是根式形式，结果一般也用根式形式；若题目给出的是指数与根式的混合形式，最后结果一般保留分数指数幂的形式．值得注意的是，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含负指数幂，能合并同类项的必须合并．【例3】化简或求值．(1)1 1.521234491(0.000 1)(27)649---⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)(0.25)－0.5＋13127-⎛⎫⎪⎝⎭－6250.25； (3)20.5320710372(0.1)23π92748--⎛⎫⎛⎫++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (4)8615543552()(0,0)a b a b a b --⋅≠≠；933337132a a a a ⋅a ＞0)；(6)2213223428-+-⋅⋅.解：(1)原式＝13222122433471(0.1)(3)83---⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝1312718314(0.1)3=109278377---⎛⎫⎛⎫+-++-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)原式＝11124324(0.5)(33)(5)--+--＝2＋3－5＝0；(3)原式＝1212223232312251643754373(10)391027483348-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+=++-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝5937100310031648++-+=； (4)原式＝86434343115555555522()()a b a b ab a b -----⋅⋅÷=⋅⋅⋅＝44335555a b-+-＝a 0b 0＝1； (5)原式＝1713931333222()()a a a a ⋅÷⋅＝7131031266322()()a a a a a a⋅÷⋅=÷＝104322332a aaa--==； (6)原式＝222132233(2)2(2)-+-⋅⋅＝2223222222+--⋅⋅＝22232232228++--==.4．给值求值问题已知代数式的值求其他代数式的值，通常又简称为“知值求值”，解决此类题目要从整体上把握已知的代数式和所求的代数式的特点与联系，然后采取“整体．．代换．．”或“求值后代换”两种方法求值．要注意正确地变形，像平方、立方等一些公式的应用问题，还要注意开方时的取值符号问题．例如，已知11223a a-+=，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122a a a a----.显然，从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件11223a a -+=的联系，进而整体代入求值．将11223a a -+=两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.再将上式平方，有a 2＋a －2＋2＝49，即a 2＋a －2＝47.由于3311332222()()a a a a---=-，所以有331111122222211112222()()a a a a a a a aa a a a-------++⋅=--＝a＋a－1＋1＝8.【例4－1】已知2x＋2－x＝5，求(1)4x＋4－x；(2)8x＋8－x.解：(1)4x＋4－x＝(22)x＋(22)－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x)2＋2×2x×2－x＋(2－x)2－2＝(2x＋2－x)2－2＝52－2＝23.(2)8x＋8－x＝(23)x＋(23)－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)[(2x)2－2x×2－x＋(2－x)2]＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1)＝5×(23－1)＝110.析规律平方法在求值中的应用遇到式子中含有指数互为相反数的数，通常用平方法进行解决，平方后观察条件和结论的关系，变形求解即可．本题中用到了两个公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．【例4－2】已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求11221122x yx y-+的值．分析：观察已知代数式和所求代数式的特点可知，212x x⎛⎫=⎪⎝⎭，212y y⎛⎫=⎪⎝⎭.于是联想到用完全平方公式，把公式11221122x yx y-+的分子、分母同乘以分母的有理化因式后，分式的分子就变成了用x＋y，xy表示的代数式．解：∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.又∵x＜y，∴x－y＝-∴111122222111111222222()()()x y x yx y x y x y--=++-＝1122()2()93x y xyx y+-==--.。

3.2.1 指数概念的扩充A 级 基础巩固1．若(1－2x )－56 有意义，则x 的取值范围是导学号 00814583( D )A ．x ∈RB ．x ≠12C ．x >12D ．x <12[解析] (1－2x )－56 ＝16－2x5，要使(1－2x )－56 有意义，则需1－2x >0，即x <12.2．332 等于导学号 00814584( D ) A ． 2 B ．33 C ．327D ．27[解析] 332 ＝33＝27.3．将3－22化为分数指数幂的形式为导学号 00814585( B ) A ．212 B ．－212 C ．2－12D ．－2－12[解析] 原式＝3－21＋12 ＝3－232＝(－232 )13 ＝－212 .4．式子912 －70的值等于导学号 00814586( C ) A ．－4 B ．－10 C ．2D ．3[解析] 912 －70＝9－1＝3－1＝2.5．已知x 2＋x －2＝22，且x >1，则x 2－x －2的值为导学号 00814587( D ) A ．2或－2 B ．－2 C ． 6D ．2[解析] 因为(x 2－x －2)2＝(x 2＋x －2)2－4x 2·x －2＝(22)2－4＝4，又因为x >1，所以x 2>1>x －2，即x 2－x －2>0. 所以x 2－x －2＝2.6．a ＝5b 3(a >0，b >0)，则b ＝ a 53 (用a 的分数指数幂表示).导学号 00814588[解析] 由于a ＝5b 3＝b 35 ，所以a 5＝b 3，因此b ＝a 53 .7.m －n2＝ ⎩⎪⎨⎪⎧m －n m ≥n n －m m <n.导学号 00814589[解析] m －n2＝|m －n |＝⎩⎪⎨⎪⎧m －n m ≥n n －m m <n.8．用分数指数幂表示下列各式中的b (b >0)：导学号 00814590 (1)b 5＝32；(2)b 4＝(－3)2；(3)b －2＝18. [解析] (1)b ＝3215 ；(2)b 4＝(－3)2＝32＝9，所以b ＝914 ；(3)b ＝18－12 ＝(118)12 .9．求值：(1119)12 －[3·(π2)0]－1·[(181)14 ＋(5116)－0.25]－13 －(110)－1·0.02713 .导学号 00814591[解析] 原式＝(1009)12 －3－1[13＋(8116)－14 ]－13 －10×0.3＝103－13[13＋(32)－1]－13－10×0.3 ＝103－13－3＝0. B 级 素养提升1．下列各式中成立的是导学号 00814592( D )A ．(m n)7＝n 7m 17B ．12－4＝3－3C ．4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D ．39＝33[解析] (m n)7＝(mn －1)7＝m 7n －7，A 错； 12－4＝1234＝33，B 错；(x 3＋y 3)14 ≠(x ＋y )34 ，C 错．2．下列命题中，正确命题的个数是导学号 00814593( A ) ①na n＝a②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝0 ③3x 4＋y 3＝x 43 ＋y ④3－5＝6－52A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] ①中当a ＜0，n 为偶数时，na n≠a ，故①错；③中3x 4＋y 3＝(x 4＋y 3)13≠x 43 ＋y ，故③错；④中3－5＜0，6－2＞0，故④错；②中a ∈R ，a 2－a ＋1＞0，∴(a 2－a ＋1)0＝1，故②错，故选A ．3．0.25×(－12)－4－4÷20－(116)－12 ＝_－4__.导学号 00814594[解析] 原式＝14×(－12)－4－4÷1－111612＝14×(12)－4－4－(16)12 ＝4－4－4＝－4.4．若2－x 有意义，则x 2－4x ＋4－|3－x |化简后的结果是_－1__.导学号 00814595 [解析] ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0.∴x ≤2. ∴x 2－4x ＋4－|3－x |＝|x －2|－|3－x |＝(2－x )－(3－x )＝－1.5．把下列各式中的a (a >0)写成分数指数幂的形式：导学号 00814596 (1)a 3＝54； (2)a 3＝(－2)8； (3)a －3＝104m(m ∈N ＋)．[解析] (1)因为a 3＝54，所以a ＝543 .(2)因为a 3＝(－2)8＝28， 所以a ＝283 ；(3)因为a －3＝104m(m ∈N ＋) 所以a ＝10－4m 3 ＝(110)4m3 .6．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值.导学号 00814597 [解析] 由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4.∵a >b >0，∴a >b . 又(a －b a ＋b )2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， ∴a －ba ＋b＝15＝55.。