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数据结构15--最小生成树PPT课件

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数据结构(Java版)图2(最小生成树)

数据结构(Java版)图2(最小生成树)

最小生成树举例
A
50 60 52 65 50
C
45 42 30 50
A
C
45
B
40
D
G
B
40 50
D
42 30
G
E
70
F
E
F
(a) 无向带权连通图G
(b) 无向带权图G 的最小生成树T
从最小生成树的定义可知，构造n个顶点的无向带权连 通图的最小生成树，必须满足如下三个条件： ① 必须包含n个顶点。 ② 有且仅有n-1条边。 ③ 没有回路。
）
将ej边加入到tree中；
}
实践项目

设计一个程序实现Prim和Kruskal算法.
表5-1 lowcost[ ]数组数据变化情况 表5-2 closest[ ]数组数据变化情况
扫描次数
closest[0]
closest[1]
closest[2]
closest[3]
closest[4]
closest[5]
求最小生成树算法

普里姆算法（Prim） (从点着手)

适合于求边稠密的最小生成树 适合于求边稀疏的最小生成树

克鲁斯卡尔算法（Kruskal）（从边着手）

普里姆算法（Prim）思想
1.
2.
3.
4.
令集合U=｛u0｝（即从顶点u0开始构造最小生 成树），集合T=｛｝。 从所有顶点u∈U和顶点v∈V-U的边权中选择最 小权值的边(u,v)，将顶点v加入到集合U中，边 (u,v)加入到集合T中。 如此重复下去，直到U=V时则最小生成树构造完 毕。 此时集合U就是最小生成树的顶点集合，集合T 就是最小生成树的边集。

信息学奥赛一本通 第4章 第6节 最小生成树(C++版) ppt课件

信息学奥赛一本通 第4章 第6节 最小生成树(C++版) ppt课件

5
71
4
min[3]=w[2][3]=1; min[5]=w[2][5]=2;
第三次循环是找到min[3]最小的蓝点3。将3变为白点，接着枚举与3相连的所有 蓝点4、5，修改它们与白点相连的最小边权。
1
2 4
22 16
5
3
7
1
4
min[4]=w[3][4]=1; 由于min[5]=2 < w[3][5]=6;所 以不修改min[5]的值。
2
1
2
12
8
10
9
5
6
3
1个集合{ {1，2，3，4，5} } 生成树中有4条边{ <1,2> ，<4,5>，<3，5>，<2,5>}
3
74
ppt课件
16
Kruskal算法
算法结束，最小生成树权值为19。 通过上面的模拟能够看到，Kruskal算法每次都选择一条最小的，且能合并两 个不同集合的边，一张n个点的图总共选取n-1次边。因为每次我们选的都是最小的 边，所以最后的生成树一定是最小生成树。每次我们选的边都能够合并两个集合， 最后n个点一定会合并成一个集合。通过这样的贪心策略，Kruskal算法就能得到一 棵有n-1条边，连接着n个点的最小生成树。 Kruskal算法的时间复杂度为O(E*logE)，E为边数。
第一行： 农场的个数，N（3<=N<=100）。
第二行..结 尾
后来的行包含了一个N*N的矩阵,表示每个农场之间的距离。理论 上，他们是N行，每行由N个用空格分隔的数组成，实际上，他们 限制在80个字符，因此，某些行会紧接着另一些行。当然，对角 线将会是0，因为不会有线路从第i个农场到它本身。

数据结构ppt课件完整版

数据结构ppt课件完整版

针对有序数据集合，每次通过中间元素将 待查找区间缩小为之前的一半，直到找到 元素或区间为空。
哈希查找
树形查找
通过哈希函数将数据映射到哈希表中，实 现快速查找。
如二叉搜索树、平衡树等，通过树形结构实 现高效查找。
排序算法分类及实现原理
插入排序
将待排序元素逐个插入到已排序序列中，直到所有元素均插入完毕。
由n（n>=0）个具有相同类型 的数据元素（结点）a1，a2，
...，an组成的有序序列。
同一性
每个元素必须是同一类型的数 据。
有序性
元素之间具有一对一的前驱和 后继关系，即除首尾元素外， 每个元素都有一个前驱和一个 后继。
可变性
线性表的长度可变，即可以插 入或删除元素。
顺序存储结构与链式存储结构比较
定义
用一段连续的存储单元依次存储线性 表的数据元素。
优点
可以随机存取表中任一元素，且存取 时间复杂度为O(1)。
顺序存储结构与链式存储结构比较
• 缺点：插入和删除操作需要移动大量元素，时间 复杂度高；需要预先分配存储空间，容易造成空 间浪费。
顺序存储结构与链式存储结构比较
定义
用一组任意的存储单元存储线性 表的数据元素（这组存储单元可 以是连续的，也可以是不连续的
查找操作
查找指定元素的位置。
遍历操作
访问线性表中的每个元素。
销毁操作
释放线性表占用的存储空间。
03
栈和队列
栈定义及特点
栈（Stack）是一种特殊的线性数据结构，其数据的存 取遵循后进先出（LIFO, Last In First Out）的原则。 栈的特点
具有记忆功能，能保存数据的状态。
栈的基本操作包括入栈（push）、出栈（pop）、查 看栈顶元素（top）等。 只能在栈顶进行数据的插入和删除操作。

数据结构严蔚敏PPT完整版2024新版

数据结构严蔚敏PPT完整版2024新版

选择排序的基本思想
在未排序序列中找到最小（或最大）元素，存放到排序 序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻 找最小（或最大）元素，然后放到已排序序列的末尾。 以此类推，直到所有元素均排序完毕。
交换排序和归并排序
交换排序的基本思想
通过不断地交换相邻的两个元素（如果它们的顺序错 误）来把最小的元素“浮”到数列的一端。具体实现 时，从第一个元素开始，比较相邻的两个元素，如果 前一个比后一个大，则交换它们的位置；每一对相邻 元素做同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对 ；这步做完后，最后的元素会是最大的数；针对所有 的元素重复以上的步骤，除了最后一个；持续每次对 越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对 数字需要比较。
归并排序的基本思想
将两个或两个以上的有序表合并成一个新的有序表。具 体实现时，把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2 的子序列；对这两个子序列分别采用归并排序；将两个 排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。
查找的基本概念和方法
查找的定义
根据给定的某个值，在查找表中确定 一个其关键字等于给定值的数据元素 的过程或操作。
数组的定义和基本操作
数组的定义
数组（Array）是由相同类型的元素（ element）的集合所组成的数据结构 ，分配一块连续的内存来存储。利用 元素的索引（index）可以计算出该 元素对应的存储位置。
数组的基本操作
数组的基本操作包括数组的创建、数 组的初始化、数组的访问、数组的遍 历、数组的排序和数组的查找等。
顺序表的基本操作实现
包括插入、删除、查找等操作，时间复杂度为 O(n)。
顺序表的特点
支持随机访问，存储密度高，但插入和删除操作需要移动大量元素。

数据结构图

数据结构图

所以：对于点多边少的稀疏图来说，采用邻接表 结构使得算法在时间效 率上大大提高。
16
3/12
广度优先搜索（Breadth First Search，简称BFS ） BFS类似于树的层序遍历； 用一个数组用于标志已访问与否，还需要一个工作队列。
【例】一个无向图的BFS
8
6
CD
4
7
HG
BA
邻接多重表(Adjacency Multilist)
9
边表
• 在某些应用中，有时主要考察图中边的权值以及所依附的 两个顶点，即图的结构主要由边来表示，称为边表存储结 构。
• 边表结构采用顺序存储，用2个一维数组构成，一个存储 顶点信息，一个存储边的信息。边数组的每个元素由三部 分组成：
– 边的起点下标 – 边的终点下标 – 边的权值
1
A [i][
j]


0
如果 (vi , v j ) 或 vi , v j G的边 其它
无权图的邻接矩阵表示示例
V1
V2
V0
3
V3
4 12/15
带权图的邻接矩阵的定义
A [i][ j] wij
如果 (vi , vj ) 或 vi , v j G的边 其它
带图权的图邻的接邻矩接阵矩表阵示表示示例示[例例6.9]
1
第一部分 图的定义和术语
2
图的定义
“图” G可以表示为两个集合：G =（V, E）。每条 边是一个顶点对（v, w） E ，并且 v, w V。
通常：用 |V| 表示顶点的数量（|V| ≥ 1）， 用 |E| 表示边的数量（|E| ≥ 0）。
(1) 无向图（完全有向图边数与顶点数之间的 关系） (2) 有向图（完全有向图弧数与顶点数之间的 关系） (3) 简单图：没有重边和自回路的图 (4) 邻接 (5) 路径，路径长度 (6) 无环（有向）图：没有任何回路的（有向）图 (7) 度，入度，出度 (8) 无向图的顶点连通、连通图、连通分量 (9) 有向图的顶点强连通，强连通图、连通分量

《最小生成树》PPT课件_OK

《最小生成树》PPT课件_OK

(2,5) 添加
{1,3},{4, 6},{2,5}
(3,6) 添加
{1,3,4, 6},{2,5}
(1,4) 放弃
因构成回路
(3,4) 放弃
因构成回路
(2,3) 添加
{1,3,4,5,6,2}
9
算法难点及解决方案
• 如何从所有边中选择代价最小的边：
– 用一个优先级队列来实现。将所有的边放入一个优先级 队列，边的优先级就是它的权值。权值越小，优先级越 高。
数据结构 Data Structure 第十三章 最小生成树
1
第13章 最小生成树
• 生成树与最小生成树 • Kruskal算法 • Prim算法 • 算法的正确性
2
生成树
• 生成树是无向连通图的极小连通子图。包含图的 所有 n 个结点，但只含图的 n-1 条边。在生成树 中添加一条边之后，必定会形成回路或环。
23
定理的证明
• 用反证法证明。 • 假定在图G = {V，E } 中，存在一棵不包括代价
• 在一个连通图中，一般边数总比结点数大，所以， Kruskal算法的时间复杂度是O(E|log|E|)。
14
第13章 最小生成树
• 生成树与最小生成树 • Kruskal算法 • Prim算法 • 算法的正确性
15
Prim算法
• 从顶点的角度出发。初始时，顶点集U为空，然 后逐个加入顶点，直到包含所有顶点。
• 如何判断加入一条边后会不会形成回路：
– 用并查集来实现。将一个连通分量表示为并查集中的一 个子集，检查一条边加入后会不会形成回路可以通过对 边的两个端点分别执行Find操作。如果两个Find的结果相 同，则表示两个端点已连通，加入这条边会形成回路， 否则将这条边加入生成树。添加边的操作就是一个Union 操作，将两个端点所属的子集归并起来，表示其中的所 有顶点都已连通。

数据结构图结构(动态PPT)课件

数据结构图结构(动态PPT)课件

结合实际问题
将数据结构图与实际问题相结合，通过分析问题的本质和 规律，选择合适的数据结构和算法进行求解。
创新应用方式
在传统的数据结构图应用基础上，探索新的应用方式和方 法，如基于数据结构图的机器学习模型、数据结构图在社 交网络分析中的应用等。
跨学科融合
将数据结构图与其他学科领域进行融合，如物理学、化学 、生物学等，通过借鉴其他学科的理论和方法，创新数据 结构图的应用场景和解决方案。
包括无向图、有向图、权 重图、邻接矩阵、邻接表 等。
图的遍历方法
深度优先搜索（DFS）和 广度优先搜索（BFS）的 原理和实现。
非线性数据结构图应用案例
树的应用案例
包括二叉搜索树、堆、哈夫曼树等在实际问题中的应用，如排序、优先队列、 编码等。
图的应用案例
包括最短路径问题（Dijkstra算法、Floyd算法）、最小生成树问题（Prim算法 、Kruskal算法）以及网络流问题等在实际问题中的应用，如交通网络规划、电 路设计等。
根据实际需求，选择适合的最小生 成树算法，如Prim算法、Kruskal算
法等。
B
C
D
可视化呈现结果
将算法的运行过程和结果以图形化的方式 呈现出来，方便用户直观地理解和掌握最 小生成树算法的原理和实现过程。
实现算法逻辑
编写代码实现最小生成树算法的逻辑，包 括节点的选择、边的添加和权重的计算等 。
拓展思考：如何创新应用数据结构图解决问题
作用
帮助理解复杂数据结构的组成和 关系，提高数据处理的效率。
常见类型及特点
01
02
03
04
线性数据结构图
元素之间一对一关系，如数组 、链表等。
树形数据结构图

算法设计与分析课件--贪心法-最小生成树问题

算法设计与分析课件--贪心法-最小生成树问题

6
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法思想：
❖Prim算法利用了最小生成树的上述性质。 ❖ 算法的关键是如何找出连接U和V-U所有边中的权值 最小的边(u, v)，并将v加入到U中。循环执行上述操作， 直至U=V为止。
7
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法设计：
❖ 设G=(V，E)是具有n个结点的无向连通带权图；设最 小生成树T=(U，TE)，算法结束时U=V，TE包含于E
点的无向连通带权图，U是
V的一个非空子集。最小生
成树的一个很重要的性质：
✓ (u, v)是一条具有最小权 值 的 边 ， 其 中 u∈U ， v∈V-U，则必存在一棵包
假设最小生成树T不包括(u,v)。 将(u,v)添加到T上产生回路， 将回路中另外一条边(u’,v’)去 掉得到另外一个树T’
含 边 (u ， v) 的 最 小 生 成 树 。
◼ Prim算法的求解示例：
18
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
19
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
20
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
21
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
22
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的求解示例：
◼ Prim算法空间复杂性：
❖定义了辅助变量Q，其占用空间为|V|，从而空间复 杂度为O(|V|)。
27
4.5 最小生成树问题
◼ Prim算法的正确性证明：
❖最优子结构性质：假设最小生成树为T，从V-U集合中 添加到集合U中的结点顺序为< u0, …, ui, …, un-1, un>， 需要证明： 顺序< u0, …, ui, …, un-1>亦为图G’=(V\{un}， E\{e})最小生成树T’ ，其中e={原图G中与结点un相连 的边}。

最小生成树定理

最小生成树定理

摘要：最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是图论中的一个基本概念，它在网络设计、数据结构、算法设计等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍最小生成树定理的定义、性质、算法以及在实际应用中的重要性。

一、引言在图论中，一个图由顶点和边组成。

如果这个图是一个连通图，那么它的任意两个顶点之间都存在一条路径。

最小生成树定理研究的是如何从一个连通无向图中选择一些边，使得这些边构成一个连通子图，并且所有边的权值之和最小。

二、定义1. 图：由顶点集合V和边集合E组成，记为G=(V,E)，其中V表示顶点集，E表示边集。

2. 连通图：对于图G中的任意两个顶点u、v，若存在一条路径连接u和v，则称图G是连通的。

3. 无向图：对于图G中的任意两个顶点u、v，若边(u,v)和边(v,u)同时存在，则称边(u,v)为无向边。

4. 权值：对于图G中的任意一条边(u,v)，可以赋予一个非负实数w(u,v)作为权值。

5. 最小生成树：对于图G的一个连通子图T，如果满足以下两个条件，则称T为G 的最小生成树：（1）T是连通的；（2）T中的边权值之和最小。

三、性质1. 存在性：对于任意一个连通无向图，都存在一个最小生成树。

2. 唯一性：对于任意一个连通无向图，其最小生成树是唯一的。

3. 极小性：对于任意一个连通无向图，它的最小生成树中的边权值之和最小。

4. 极大性：对于任意一个连通无向图，它的最小生成树中的边权值之和最大。

四、算法1. 克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）（1）将图G中的所有边按照权值从小到大排序；（2）初始化一个空的最小生成树T；（3）遍历排序后的边，对于每条边(u,v)：①检查边(u,v)是否与T中的任意一条边形成环；②若不形成环，则将边(u,v)加入T；（4）当T中的边数等于顶点数减1时，算法结束。

2. 普里姆算法（Prim's Algorithm）（1）从图G中选择一个顶点作为起始顶点v0；（2）初始化一个空的最小生成树T，并将v0加入T；（3）对于图G中的其他顶点v，初始化一个距离数组dist，其中dist[v]表示顶点v到T的距离，初始时dist[v]=∞（v≠v0）；（4）遍历T中的顶点，对于每个顶点v，更新其相邻顶点的距离；（5）从距离数组中选择距离最小的顶点u，将其加入T；（6）重复步骤（4）和（5），直到T中的边数等于顶点数减1。

数据结构图结构-(动态PPT)

数据结构图结构-(动态PPT)
2
3
1
*
图的术语
完全图 边达到最大的图
无向完全图：具有n(n-1)/2条边的简单图称为无向完全图 有向完全图：具有n(n-1)条边的有向图。 稀疏图： 边或弧很少的图。 稠密图： 边或弧很多的图。 权：与图的边或弧相关的数。 网：边或弧上带有权值的图。
*
图的术语
路径长度：路径上边或弧的数目
路径 非空有限点、弧交替序列，
1.无向图邻接表
2
5
3
4
1
1 2 3 4 5
G2
1
2
3
4
5
adjvex nextarc
vexdata firstarc
*
2.有向图邻接表
2
3
4
1
4
3
1
2
1 2 3 4
如图G1的邻接表为：
G1
1
2
3
4
*
在邻接表的边链表中，各个边结点的链入顺序任意，视边结点输入次序而定。
设图中有 n 个顶点，e 条边，则用邻接表表示无向图时，需要 n 个顶点结点，2e 个边结点；用邻接表表示有向图时，若不考虑逆邻接表，只需 n 个顶点结点，e 个边结点。
04
03
G2
*
图的术语
证明：对有向图，每个顶点至多有n-1条边与其它的n-1个顶点相连，则n个顶点至多有n(n-1)条边。但对无向图，每条边连接2个顶点，故最多为n(n-1)/2
02
设n为顶点数，e为边或弧的条数 对无向图有：0 ≤ e ≤ n(n-1)/2 有向图有：0≤ e ≤ n(n-1)
回路:无重复边的闭路径。
回路但不是环
*
图的术语
01

图论课件第二章_树

图论课件第二章_树

1 x 2 3 5 ( 1 0 x )2 1 2
12
得x=8 例8 设T为(n, m)树，T中有ni个度为i的点(1≦i≦k),且 有：∑ni=n.证明：
n 2 n 2 n (2 kn ) 1 3 4 k
证明：由m=n-1得：
m ( n n )1 1n 2 k
9
总之，树在图论研究和图论应用上都是十分典型 的特殊图。
(二)、树的性质
定理1 每棵非平凡树至少有两片树叶。 证明 设P=v1v2…vk是非平凡树T中一条最长路，则v1 与vk在T中的邻接点只能有一个，否则，要么推出P 不是最长路，要么推出T中存在圈，这都是矛盾！ 即说明v1与v2是树叶。
定理2 图G是树当且仅当G中任意两点都被唯一的路 连接。
18
G满足δ (G)≧k-1的图。我们证明T同构于G的某个子图。 设u是T的树叶，v是u的邻接顶点。则T-u是k-1阶树。 由于δ(G)≧k-1 ≧k-2，由归纳假设，T-u同构于G的某 个子图F. 设v1是与T中v相对应的F中的点，由于dG(v1) ≧k-1,所 以v1在G中一定有相异于F中的邻点w, 作F∪｛v1w｝,则该 子图和T同构。
(三)、树的中心与形心
1、树的中心概念与性质
21
(1)图的顶点的离心率
e ( v ) m a x( d u ,) v u V () G
(2)图的半径
r () G m i n( e v ) vV () G
(3)图的直径：最大离心率。 (4)图的中心点：离心率等于半径的点。 (5)图的中心：中心点的集合。 定理7 每棵树的中心由一个点或两个相邻点组成。
9 10 9 10 8 4 7 10 10 10

《数据结构MST》课件

《数据结构MST》课件

VS
最小生成树唯一性的证明
通过反证法，假设存在两棵不同的最小生 成树，它们之间至少存在一个边不同，那 么可以通过调整这条边来得到一棵权值和 更小的生成树，与最小生成树的定义矛盾 。
最小生成树性质
最小生成树的边数
01
在一个连通加权无向图中，最小生成树的边数等于顶点数减一
。
最小生成树的权值和
02
在一个连通加权无向图中，最小生成树的权值和等于所有边的
最小生成图问题
1 2 3
定义
给定一个带权重的连通图，寻找一种方式将该图 分解为若干个子图，使得所有子图的权值和最小 。
算法
可以采用Kruskal算法或Prim算法进行扩展，通 过将多个顶点划分为一个集合，然后寻找连接这 些集合的边，形成子图。
应用
在图像处理、化学分子结构分析等领域有广泛应 用，用于简化模型和提高计算效率。
电力系统网络优化
在电力系统中，最小生成树算法可以用于构 建低损耗的输电网络，提高电力传输效率。
最小生成树算法的实现步骤
选择起始节点
选择一个节点作为最小生成树 的根节点。
构建最小生成树
从根节点开始，按照权值从小 到大选择边，直到所有节点都 被连接起来。
构建无向图
将问题转化为无向图，并确定 所有节点和边。
要点二
克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）
按照边的权值从小到大排序，依次选择边，如果选择的边 不会与已选择的边构成环，则加入到生成树中，直到所有 顶点都连接在一起。
02
MST基本算法
Prim算法
总结词
Prim算法是一种求解最小生成树问题的贪心算法。
详细描述
Prim算法从图中的任意一个顶点开始，每次选择距离已选顶点集合最近的顶点 加入集合，直到所有顶点都被加入。该算法利用了贪心策略，每次选择局部最 优解，最终得到全局最优解。

最小生成树算法详解(课堂PPT)

最小生成树算法详解(课堂PPT)

0 0 0 0 0 {v1,v3,v6,v4,v2,v5}
{}
21
普里姆算法求最小生成树
• 图采用邻接矩阵表示
6 v2
5 3
6 v5
v1 5
1 v4 5
v3 42
6 v6
1
2
graph. arac[][] =
3 4
5
6
123456
∞ 6 1 5∞∞ 6 ∞5∞3 ∞ 1 5∞5 6 4 5 ∞ 5 ∞∞ 2 ∞ 3 6 ∞∞ 6 ∞∞4 2 6 ∞
6
adjvex lowcost
v3 5
0
v6 2
v3 6
0
{v1,v3,v6}
{v2,v4,v5 }
4
adjvex lowcost
v3 5
0
0
v3 6
0
{v1,v3,v6,v4}
{v2,v5 }
2
adjvex lowcost
0
0
0
v2 3
0
{v1,v3,v6,v4,v2}
{v5 }
5
adjvex lowcost
(5) ｛V1 ,V3 ,V6 ,V4 ,V2 ,V5 ｝ ｛ ｝
6
最小代价生成树
V1
1
普里姆算法求最小生成树：从
V3
生成树中只有一个顶点开始，
到顶点全部进入生成树为止
V1
6
5
1
V2
V4
V3
V5
V6
步骤 (0) (1)
U
V-U
｛V1 ｝ ｛ V2 ,V3 ,V4 , V5 ,V6 ｝ ｛V1 ,V3 ｝ ｛ V2 ,V4 , V5 ,V6 ｝

2024版《数据结构图》ppt课件

2024版《数据结构图》ppt课件
重要性
良好的数据结构可以带来更高的运 行或存储效率，是算法设计的基础， 对程序设计的成败起到关键作用。
常见数据结构类型介绍
线性数据结构
如数组、链表、栈、队 列等，数据元素之间存
在一对一的关系。
树形数据结构
如二叉树、多叉树、森 林等，数据元素之间存
在一对多的关系。
图形数据结构
由顶点和边组成，数据 元素之间存在多对多的
队列定义、特点及应用场景
队列的特点 只能在队尾进行插入操作，队头进行删除操作。
队列是一种双端开口的线性结构。
队列定义、特点及应用场景
应用场景 操作系统的任务调度。 缓冲区的实现，如打印机缓冲区。
队列定义、特点及应用场景
广度优先搜索（BFS）。
消息队列和事件驱动模型。
串定义、基本操作及实现方法
最短路径问题 求解图中两个顶点之间的最短路径，即路径上边 的权值之和最小。
3
算法介绍 Prim算法、Kruskal算法、Dijkstra算法、Floyd 算法等。
拓扑排序和关键路径问题探讨
拓扑排序
对有向无环图（DAG）进行排序， 使得对每一条有向边(u,v)，均有
u在v之前。
关键路径问题
求解有向无环图中从源点到汇点 的最长路径，即关键路径，它决
遍历二叉树和线索二叉树
遍历二叉树
先序遍历、中序遍历和后序遍历。遍历算 法可以采用递归或非递归方式实现。
VS
线索二叉树
利用二叉链表中的空指针来存放其前驱结 点和后继结点的信息，使得在遍历二叉树 时可以利用这些线索得到前驱和后继结点， 从而方便地遍历二叉树。
树、森林与二叉树转换技巧
树转换为二叉树
加线、去线、层次调整。将树中的每个结点的所有孩子结点用线连接起来，再去掉与原结点相连的线，最后 将整棵树的层次进行调整，使得每个结点的左子树为其第一个孩子，右子树为其兄弟结点。
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proc Union(i,j,c:longint); /*合并i和j所在集合 */
Var x,y:longint;
{ x←top(i); y←top(j); 点j所在子树的根*/
/*分别取出顶点i和顶
if x<>y Then { inc(ans,c);f[y]←x;}; /*若i 和j分属于两棵子树，则该边权计入最小生成树的权和， 两棵子树合并*/
Writeln(ans);
显然, Kruskal算法的效率取决于边数m,因此适用与
稀疏图。
.
②、Prim算法
集合A中的边总是只形成单棵树，每次添加到 树中的边都是使树的权尽可能小的边。
.
设 d[i]—顶点i与生成树相连的最短边长； ba[i]—顶点i在生成树的标志； w[i,j]—（i,j）的边长。若图中不存在边 （i,j），则w[i,j]=∞ min—所有未在生成树的顶点的最小距离 值
top←f[i]; /*返回顶点i所在并查集的代表 顶点*/ };/*top*/
.
通过过程Union(i,j,c)合并顶点i和顶点j所 在的两棵树
现有边权为c的边（i，j）。若该边的两个端点 分属于两棵树，顶点i和顶点j所在子树的根分别 为x和v，则(i,j) 加入最小生成树，合并两棵树 （即顶点i和顶点j所在的并查集）。
for j←1 to n do
if not ba[j]and(d[j]<min) then { k←j；min←d[j] }； /*then*/
if min= maxint then { ans←-1；break；}；/*若这样的顶点不存 在，则无解退出*/
ans←ans+min；ba[k]←true；/*最小距离值min计入生成树的权和, 顶点k进入生成树*/
Type
edgetype=Record
/*边的类型*/
为c的边（x，y）*/
x,y,c:longint;
/*边权
end;
Var
e:Array [1..maxe] of edgetype;
/*边集，其中第i条
边为(e[i].x,e[i].y)，该边的权为e[i].c*/
n,m,ans:longint; 为n，边数为m*/
for j←1 to n do 的距离值*/
/*调整与k相连的各顶点
{ min←w[k，j]；if min<d[j] then d[j]←min }；/*for*/
}；/*for*/
writeln(ans：0：3)； /*输出最小生成树的权和*/
.
两种算法的比较
共同点：贪心，选择边权最小的安全边 不同点： Kruskal算法在森林中的两 棵
树之间 添安全边；Prim算法 在单棵树上添安全边。 Kruskal算法的效率取决于边数 m，因此适用于稀疏图； Prim 算法的效率取决于顶点数n， 因此适用于稠密图
.
计算最大边权最小的生成树
给出一个有边权的图，要求其中的一棵 生成树，使得这棵生成树的最大边权最 小。
.
图的最小生成树满足这个性质
有两种算法可计算图的最小生成树 ①、Kruskal算法 ②、Prim算法
.
①、Kruskal算法
找出森林中连结任意两棵树的所有边中具有最小权值的边(u,v) 作为安全边，并把它添加到正在生长的森林中。初始时，森林 由单个结点组成的n棵树。
.
Kruskal程序
Const
maxn=200; maxe=maxn*maxn; /*顶点数和边数的上限*/
/*顶点数
f:Array [1..maxn] of longint;
/*并查集。其
中f[i]为顶点i所在并查集的代表顶点，即子树根*/
.
通过函数top(i)计算顶点i所在子树的根
func top(i:longint):longint; /*计算和返回顶点i所在并查集的代表顶点*/ { if i<>f[i] Then f[i]←top(f[i]); /*若i非所在并查集的代表顶点，则沿f[i]递归 */
.
fillchar(ba，sizeof(ba)，0)； /*所有顶点未在生成树*/
for i←2 to n do d[i]←∞； /*所有顶点的距离值初始化*/
d[1]←0 ；ans←0；/*顶点1的距离值和生成树的权和初始化*/
for i←1 to n do /*依次范围每个顶点*/
{ min←maxint；/*在所有未在生成树、且距离值最小（min）的顶点 k*/
};/* Union */
.
主算法
按照边权值（c域值）递增的顺序排序边集e；
For i←1 to n Do f[i]←i; /*建立由n棵树组成的 森林，每棵树包含图的一个顶点*/
ans←0; 始化为0*/
/* Union(e[i].x,e[i].y,e[i].c); /*枚举每条边，将两个端点分属两棵树的边加入最小生 成树*/
图的最小生成树
对于一张图进行深度优先搜索或宽 度优先搜索，可生成一棵深度优先 搜索树或宽度优先搜索树。搜索的 出发点不同，生成树的形态亦不同。 在一张有权连通图中，各边权和为 最小的一棵生成树即为最小生成树。
.
计算最小生成树的思维方向：为了保证边权 总和最小，必须保证
①、添加(u,v)不能够形成回路、 ②、在保证１的前提下添加权尽可能小的， 这样的边称之为安全边
.
北极通讯网络
北极的某区域共有n座村庄(1n500)，每座村庄的坐标用一对整 数(x，y)表示，其中 0x，y10000。为了加强联系，决定在村庄 之间建立通讯网络。通讯工具可以是无线电收发机，也可以是卫星设 备。所有的村庄都可以拥有一部无线电收发机， 且所有的无线电收 发机型号相同。但卫星设备数量有限，只能给一部分村庄配备卫星设 备。不同型号的无线电收发机有一个不同的参数d，两座村庄之间的 距离如果不超过d就可以用该型号的无线电收发机直接通讯，d值越 大的型号价格越贵。拥有卫星设备的两座村庄无论相距多远都可以直 接通讯。
反证法：反设图中存在一棵生成树T，T中的最大边权 小于最小生成树Tmin的最大边权。
令e是Tmin的最大边。e将Tmin分成两个连通分块X和Y。 由于Tmin是最小生成树，那么图中连接X和Y的任意边e’, 其边权都大于等于e的边权——结论1。
而T是图的一棵生成树，那么T中的最大边e’’连接X和 Y，按照假设,e’’的边权小于e的边权。这与结论1矛盾， 因此最小生成树最大边权最小的结论是成立的。 因此只要用Prim或Kruscarl算法求出图的最小生成树 即可。