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两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。

当我们需要计算完成某件事情的方法数时，就会用到两个基本的计数原理：加法原理和乘法原理。

这两个原理看似简单，但却在解决各种计数问题时发挥着关键作用。

先来说说加法原理。

加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。

举个简单的例子，假如你要从A 地去B 地，有两种交通方式可选，一是坐火车，有 3 趟不同的车次；二是坐汽车，有 2 趟不同的班车。

那么你从 A 地去 B 地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种选择。

再比如，你周末想出去玩，有三个选择：去公园散步、去商场购物或者去电影院看电影。

去公园散步有 2 条不同的路线，去商场购物有 3 家不同的商场可去，去电影院看电影有 5 部不同的影片可选择。

那么你周末出去玩的方式就有 2 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 10 种。

加法原理的核心在于“分类”，每一类方法都是相互独立的，彼此之间没有交叉和重叠，最终将每一类的方法数相加就能得到总的方法数。

接下来谈谈乘法原理。

乘法原理是说，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有 m₂种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。

比如说，你要从你的家去一个朋友家，需要先坐公交车到地铁站，有 4 路公交车可选择；然后再从地铁站坐地铁到朋友家附近的站点，有 3 条地铁线路可选择；最后从地铁站走到朋友家，有 2 条不同的路可走。

那么你去朋友家的路线就有 4 × 3 × 2 ＝ 24 种。

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的任务。

而加法原理和乘法原理就是两个帮助我们解决计数问题的基本原理。

让我们先来聊聊加法原理。

想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路可以走，分别是路 1、路 2 和路 3。

那么从 A 地到 B 地，总的路线选择就是这三条路的总和，这就是加法原理。

加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法，以此类推，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种。

比如说，在一个班级里评选优秀学生，有学习成绩优秀的、品德优秀的、社会实践积极的三种类型。

假设学习成绩优秀的有 10 人，品德优秀的有 8 人，社会实践积极的有 6 人。

那么这个班级里优秀学生的总数就是 10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。

再比如，你周末想去图书馆看书，图书馆在三个不同的区域分别有分馆，第一个区域有 2 家分馆，第二个区域有 3 家分馆，第三个区域有 1 家分馆。

那么你可以选择去的图书馆分馆总数就是 2 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 6 家。

接下来，我们说一说乘法原理。

假设你早上要穿衣服出门，上衣有3 件不同的款式可以选择，裤子有 2 条不同的款式可以选择。

那么你搭配衣服的方式总共有 3×2 ＝ 6 种。

这就是乘法原理。

乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，以此类推，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是m1×m2×…×mn 种。

比如说，要从 0 、 1 、 2 、 3 这 4 个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，百位上有 3 种选择（因为 0 不能在百位），十位上有 3 种选择，个位上有 2 种选择，那么总共能组成的三位数个数就是 3×3×2 ＝18 个。

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算各种可能性和数量的情况。

而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就为我们解决这类问题提供了有力的工具。

先来说说加法原理。

想象一下你要去一个地方，有两条不同的路可以选择，一条是大路，一条是小路。

大路有 3 种不同的交通工具可以到达目的地，比如公交车、出租车、自行车；小路有 2 种不同的交通工具，比如步行和电动车。

那么，你到达目的地总的交通方式有几种呢？很简单，就是把走大路的 3 种方式和走小路的 2 种方式加起来，一共 5 种。

这就是加法原理，即如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

加法原理的关键在于“分类”，每一类方法都能独立完成这件事，而且类与类之间是相互独立的，没有重复和交叉。

比如上面的例子，选择大路的交通方式和选择小路的交通方式是完全不同的两类，不会有既属于大路又属于小路的交通方式。

再看一个例子，假设你要从书架上选一本书，书架分为三层，第一层有 5 本小说，第二层有 3 本传记，第三层有 2 本历史书。

那么你选一本书的总方式就是 5 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 10 种。

这里把书按照所在的书架层次进行分类，每一层的书的选择方式是相互独立的。

接下来谈谈乘法原理。

假设你早上要穿衣服，有 3 件上衣和 2 条裤子可供选择。

那么你搭配服装的方式有几种呢？很显然，每件上衣都可以搭配 2 条裤子，所以总共有 3×2 ＝ 6 种搭配方式。

这就是乘法原理，即如果完成一件事需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和学习中，计数是一项经常会遇到的任务。

比如，计算从家到学校有多少种不同的路线，或者在商店里挑选衣服时有多少种搭配方式。

而在解决这些计数问题时，两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就发挥着至关重要的作用。

先来说说加法原理。

加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有m2 种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

为了更好地理解加法原理，我们来看一个例子。

假设你要从 A 地去B 地，有三种交通方式可以选择：飞机、火车和汽车。

如果选择飞机有 5 个航班可选，选择火车有 10 趟车次可选，选择汽车有 8 趟班车可选。

那么从 A 地到 B 地，总的出行方式就有 5 ＋ 10 ＋ 8 ＝ 23 种。

在这个例子中，选择飞机、火车、汽车这三种交通方式是相互独立的，彼此之间没有交叉和关联。

无论选择哪种方式，都能够完成从 A地到 B 地的行程。

所以，我们只需要将每种方式的可选数量相加，就可以得到总的出行方式数量。

再来看乘法原理。

乘法原理是说，如果完成一件事情需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。

比如说，你要从你的衣柜里挑选一套衣服出门，上衣有 5 件可选，裤子有 3 条可选。

那么你搭配出一套衣服的方式就有 5 × 3 ＝ 15 种。

这里，挑选上衣和挑选裤子是两个相互独立的步骤。

只有先完成挑选上衣的步骤，才能进行挑选裤子的步骤。

而且，对于每一件上衣，都可以与 3 条裤子进行搭配；对于每一条裤子，也都可以与 5 件上衣进行搭配。

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算可能性或数量的情况。

而解决这些问题的有力工具，就是两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理。

让我们先来聊聊加法原理。

想象一下，你要从北京去上海，有三种交通方式可以选择：飞机、高铁和汽车。

那么你去上海的方法总数，就是这三种方式的总和，这就是加法原理。

简单来说，加法原理就是指完成一件事，如果有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

举个例子，学校组织活动，周一到周五每天都有不同的活动安排，周一可以选择参加篮球比赛或者足球比赛，周二可以选择参观博物馆或者参加文艺表演，周三可以选择参加志愿者活动或者科技竞赛，周四可以选择参加书法比赛或者绘画比赛，周五可以选择参加演讲比赛或者辩论赛。

那么这一周内你参加活动的选择总共有多少种呢？答案就是把每天的选择数相加，即 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 10 种。

再来说说乘法原理。

假如你要从A 地去B 地，中途需要经过C 地，从 A 地到 C 地有 3 条路可走，从 C 地到 B 地有 2 条路可走。

那么从 A地经过 C 地到 B 地，一共有多少种走法呢？答案是 3×2 ＝ 6 种。

这就是乘法原理。

具体而言，乘法原理是指完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。

比如，你要搭配一套衣服，上衣有 3 种选择，裤子有 2 种选择，鞋子有 2 种选择。

那么你能搭配出的服装总数就是 3×2×2 ＝ 12 种。

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。

无论是计算物品的数量、安排活动的方案，还是解决各种数学问题，都离不开计数原理。

而其中最基本的两个计数原理就是加法原理和乘法原理。

加法原理，简单来说，就是完成一件事情，如果有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

比如说，我们要从 A 地去 B 地，有三种交通方式可以选择：坐火车、坐汽车或者坐飞机。

如果坐火车有 5 个车次可选，坐汽车有 8 个班次可选，坐飞机有 3 个航班可选，那么从 A 地去 B 地总的出行方式就有 5 ＋ 8 ＋ 3 ＝ 16 种。

再举个例子，一个班级组织活动，同学们可以选择参加体育运动、文化活动或者艺术表演。

参加体育运动有篮球、足球、羽毛球三种项目；参加文化活动有书法、朗诵、写作三种形式；参加艺术表演有唱歌、跳舞、小品三种类型。

那么同学们选择参加活动的方式就有 3 ＋ 3 ＋ 3 ＝ 9 种。

从这些例子可以看出，加法原理的关键在于“分类”，各类办法之间相互独立，每一类办法中的方法都能单独完成这件事情。

接下来我们再看乘法原理。

乘法原理是指完成一件事情，如果需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。

比如，我们要给一个密码锁设置密码，密码由三位数字组成。

第一位数字可以从 0 到 9 这 10 个数字中任选一个，第二位数字同样有 10 种选择，第三位数字也有 10 种选择。

那么设置密码的总方案数就是 10 × 10 × 10 ＝ 1000 种。

两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和数学学习中，计数是一项经常会遇到的任务。

而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就像是我们解决计数问题的两把神奇钥匙，能帮助我们轻松应对各种复杂的情况。

首先，咱们来聊聊加法原理。

想象一下，你要从家去学校，有三条不同的路可以选择，分别是小路、大路和中间的那条道。

那么，你从家到学校的走法一共有几种呢？很简单，就是这三条路的总和，也就是 3 种。

这就是加法原理的一个简单例子。

加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

比如说，在一个班级里，要选一名班长，候选人有男生 5 名，女生3 名。

那么选班长的可能性一共有多少种呢？答案就是 5 ＋ 3 ＝ 8 种。

因为选男生当班长是一类办法，有 5 种可能；选女生当班长是另一类办法，有 3 种可能。

把这两类办法的数量加起来，就是总的可能性。

再比如，你周末想去看电影，有喜剧片、动作片和科幻片三种类型的电影可以选择，每种类型分别有 5 部、4 部和 3 部正在上映。

那么你能选择的电影总共有多少部呢？这时候就要用加法原理，5 ＋ 4 ＋ 3 ＝12 部。

接下来，咱们说一说乘法原理。

假设你早上起床要穿衣服，上衣有3 件不同的款式，裤子有 2 条不同的款式。

那么你搭配衣服的方式有几种呢？这就要用到乘法原理啦，因为你选上衣有 3 种选择，选裤子有 2 种选择，所以总的搭配方式就是 3×2 ＝ 6 种。

乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。

两个基本计数原理基本计数原理是组合学中应用广泛的数学原理，用于计算组合问题的方法。

它包括两个主要原理，分别是加法原理和乘法原理。

以下是关于这两个基本计数原理的详细介绍。

一、加法原理加法原理也称为分支原理，是一种用于计算多个不同情况的总数的方法。

具体而言，加法原理提供了计算不同情况总和的方法。

加法原理适用于以下情况：1.互斥情况：如果事件A和事件B是不相关的，且两者不能同时发生，那么发生A或发生B的总数就是事件A和事件B发生总数的和。

例如，抛掷一枚硬币，获得正面或者获得背面的总数是1+1=22.不互斥情况：如果事件A和事件B之间存在重叠的情况，那么发生A或发生B的总数是事件A的总数加上事件B的总数，再减去两者发生的重叠部分的总数。

例如，有10个人中，有4人会弹吉他，5人会弹钢琴，其中有2人既会弹吉他又会弹钢琴。

那么会弹吉他或会弹钢琴的总数是4+5-2=7二、乘法原理乘法原理也称为选择原理，是一种用于计算事件依次发生的组合计数问题的方法。

具体而言，乘法原理提供了计算每个阶段都有n种选择的总数的方法，以及计算一些特定情况下的总数的方法。

乘法原理适用于以下情况：1.每个阶段都有n种选择的情况：假设一些事件有m个阶段依次发生，且每个阶段都有n种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。

例如，晨跑时路线有3个选择（A、B、C），早餐有4个选择（米饭、面包、牛奶、鸡蛋），那么不同的晨跑路线加上早餐的总数是3*4=122.一些特定情况下的总数：假设一些事件有m个阶段依次发生，而其中有k个阶段存在多种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。

例如，密码锁有4位数字密码，每一位数字是0-9之间的任意一个数字，那么可能的密码总数是10*10*10*10=10^4总结：加法原理和乘法原理是组合数学中常用的计数方法。

加法原理用于计算互斥情况和不互斥情况下的总数，可以通过求和、减法和加减混合等操作实现。

两个计数原理两个计数原理1•分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m i种不同的方法, 在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N m i m2 L 种不同的方法•例从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有____________ 种练习一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 _种.2•分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m i种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N m1 m2 L m*种不同的方法•例1一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法•例2 一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有种•练习1从分别写有0,1，2，3，…，9十张数字的卡片中，抽出两张，数字和为奇数的卡片共有种不同的抽法。

数字和为偶数的卡片共有种不同的抽法•练习2从1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x) ax2 bx c 的系数，可组成不同的二次函数共有—，其中不同的偶函数共有个.18,63两个原理的综合应用例1如图10-1-2所示，从A地到B地有3条不同的道路,从B地到C地有4 条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路.（1）从A地到C地共有多少种不同的走法？（14）（2）从A地到C地再回到A 地有多少种不同的走法？（196）⑶从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时不同的道路，有多少种走法？（182）⑷从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时完全不同的道路，有多少种走法？（122）例2如下图的街道上，从A到B不走回头路，则有n i& 11不同的走法.（15）例3某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元. 某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29 中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花_____________________ 钱•（2100）练习1如图，从A C有___________ 种不同走法•（6）练习2在3000到8000之间有_______ 无重复数字的奇数.（1232个）分两类；一类是以3、5、7为首位的四位奇数，可分三步完成：先排首位有 3 种方法，再排个位有4种方法，最后排中间两个数位有8 X7种方法，所以共有 3 X4 X8 X7=672 个.另一类是首位是4或6的四位奇数，也可以3步完成，共有2 X5 X8X7=560个•由分类计数原理得共有672+560=1232 个.练习3有一角、二角、五角人民币各一张，一元人民币3张，五元人民币2张，一百元人民币2张,由这些人民币可组成_____ 中不同的非零币值.（287 ）练习4用0, 1，2，3，4，5可以组成—无重复数字且比2000大的偶数（120）.涂色问题 例1如图：某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中 A 、B 、C 、D 每一部分只写一种 颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有1 -------A―i1------------* B 斗一CD例2如图，用4种不同的颜色涂入 图中的矩形A ，的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）A练习1如图所示，用五种不同的颜色，给图中标有①，②，③，④的各个部分涂色,每部分只能涂一种颜色，且相邻部分要涂不同色，那么不同涂色的方法种数为 _____ （240 ）种（180）A . 72 种B . 48 种C . 24 种D . 12 种例2有5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有种可能.练习2用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色,(260)□ □ □练习3将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的五个区域内，要求相邻三 模型法（投信法） （1）可重复问题例1有5名同学报名参加4个课外活动小组，若每人限报1个，共有 _ 中不 同的报名方法•若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有种不同的涂色方法的两个区域的颜色都不相同，贝U 不同的涂色方法有种例1将三封信投入4个邮箱，不同的投法有_________ 种.例2有3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有____ 中不同的报名方案•例3有数学、物理、文学3个课外活动小组,6个同学报名，每人限报一组，一共有种报名的方法•（2）无重复问题例1把4张不同的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完, 则不同的分法共有种•练习1五个工程队承建某个工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项, 其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有___种.（96）练习2从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4中蔬菜中选3中，分别种在不同土质的三四间接法和排除法例1已知集合A a i ,a 2,a 3,a 4以集合B bb ， 合B 为值域能构成 _____ 不同函数•（ 14）例2从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数, 数，可得到 ____ 个不同的对数值.（17）块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法有种.（18）则以集合A 为定义域，以集分别作为对数的底数和真练习 1 用数字2，3组成四位数，且数字 2 ，3至少都出现一次，这样的四位数共有____ 个.（14 ）练习 2 用0，1，L ，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数个数为（252）。

两个基本计数原理基本计数原理是概率论中的重要概念，用于计算和求解组合问题和排列问题。

其核心思想是通过分析事件的性质和条件，利用计数的方法，得到事件的可能性。

第一个基本计数原理是加法原理，也称做并事件的计数原理。

它指的是如果一个事件可以被分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的和。

假设有n1种物品和n2种物品，如果两种物品都相互独立地选择，那么一共有n1 + n2种选择的可能性。

例如，现在有一堆红色木块，绿色木块和蓝色木块，其中红色木块有n1种，绿色木块有n2种，蓝色木块有n3种。

如果要从这些木块中选择一个来搭建一个木块城堡，那么一共有n1 + n2 + n3种可能的选择。

第二个基本计数原理是乘法原理，也称做交事件的计数原理。

它指的是如果一个事件可以被分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的乘积。

假设有n1种选择第一个事件的方式，n2种选择第二个事件的方式，n3种选择第三个事件的方式，以此类推，那么这些事件同时发生的总数等于n1 ×n2 ×n3 × ... 。

例如，现在有一张卡片，有n1种选择颜色的方式；另外还有一本书，有n2种选择封面的方式；还有一个背包，有n3种选择图案的方式。

如果要同时选择卡片颜色、书封面和背包图案，那么一共有n1 ×n2 ×n3种可能的选择。

综上所述，加法原理和乘法原理是组合问题和排列问题中常用的数学原理。

这两个原理为我们计算和分析事件的可能性提供了重要的数学工具。

通过应用这两个原理，我们可以解决各种各样的组合问题，例如计算排列的总数、选择可能性的总数、计算概率等。

这些原理在概率论、组合数学以及其他领域的应用非常广泛。