广东省佛山市第一中学20172018学年高一数学下学期期中试题

2017—2018学年佛山市第一中学高一下学期第二次段考数学试题试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.满足条件4a =，52b =，45A =的ABC 的个数是A. 1B. 2C. 无数个D. 不存在2.下列函数中，最小值是2的是A. 1x x +B. 2221x x ++ C. 22144x x +++D. 3log log 3(0,1)x x x x +>≠3.一质点受到平面上的三个力1F ,2F ,3F 单位：牛顿的作用而处于平衡状态已知1F ,2F 成角，且1F ,2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为A. 6B. 2C. 25D. 274.将()10389化成五进位制数的末位是A. 2B. 3C. 4D. 55.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A. 12x x >，12s s <B.12x x =，12s s <C. 12x x =，12s s =D. 12x x =，12s s > 6.若正数a b ，满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是A. (]3,9B. [)9,+∞C. []9,27D. [)27,+∞ 7.如程序框图所示，输出结果为（ ）10.?11A 9 .10B 8.?9C 11.12D8.某校从高中1200名学生中抽取50名学生进行问卷调查，如果采用系统抽样的方法，将这1200名学生从1开始进行编号，已知被抽取到的号码有15，则下列号码中被抽取到的还有A. 255B. 125C. 75D. 359.某公司现有基层职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则基层职员、中级管理人员和高级管理人员各应该抽取多少A. 8，5，17B. 16，2，2C. 16，3，1D. 12，3，510.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩均为整数的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是( )A. ，75，72B. 72，75，C. 75，72，D. 75，，7211.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1000尺，则需要几天时间才能打穿结果取整数A. 8B. 9C. 10D. 1112.设0k >，变量x ，y 满足约束条件0240x ky x y -≥⎧⎨+-≤⎩，若z kx y =-有最小值，则k 的取值范围为A. ()0,1B. (]0,1C. [)1,+∞D. ()1,+∞第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分. 13.299与667的最大公约数为14.设函数()543215621f x x x x x x =++---，则35f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=15.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且2325ab c =-，则的面积最大值为 . 16.若两个正实数x y ，满足141x y +=，且关于x 与y 的不等式234yx m m +≤-有解，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.设数列{}n a 满足()123212n a a n a n ++⋯+-=． 求{}n a 的通项公式；求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．18.(本小题满分12分) 在中，角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ，若3sin cos a C a C c b +=+． 求角A ； 若3a =，求b c +的取值范围．19.(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，已知60B ∠= ，7,6AC AD ==，面积153ADCS =求sin DAC ∠和cos DAB ∠的值； 求边BC AB ，的长度．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，()*121n n a S n N+=+∈1求数列{}n a 的通项公式；2若31nnb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21.(本小题满分12分)某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据x6 8 10 12 y2356请画出上表数据的散点图；请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+. 相关公式：1221ˆni i i ni i x y nxy b x nx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-22.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列32nn nb a =，求证：()()()112211...11n n b b b b b b -+-++-<.2017—2018学年佛山市第一中学高一下学期第二次段考数学答案 1 23456789101112DBDCBBAACBCB13. 23 14.25- 15.2531616. (,1][4,)-∞-+∞17. 解：数列满足当时，…………………………………………1分得：…………………………………………………3分当时，，上式也成立．……………………………………………………………4分．……………………………………………………………………………………5分．…………………………………………………………7分设数列的前n 项和为，则．…………………………………………………………………………………………………10分 18.解：，由正弦定理可得，………………………………………1分，，……………………………………………………………………………3分 ，………………………………………………………………………………4分 ，；………………………………………………………………………………………5分 由题意，，，，……………………………………………………6分由余弦定理222222132cos60()3()()43()2b c bc b c b b c b c b c c =+-=+=-++≥+- （当且仅当时取等号）即，…………………………………………………………………………………9分 ．…………………………………………………………………………………10分 ，．……………………………………………………………………………11分∴b c +的取值范围为3,23].………………………………………………………………12分（2）方法二： （3）由正弦定理得32sin sin sin sin 60a b c A B C ====︒……………………………………………6分 （4）2sin ,2sin b B c C ∴==………………………………………………………………………7分（5）2sin 2sin 2(sin sin )2[sin()sin ]312[sin(60)sin ]2(cos sin sin )22332(cos sin )221323(cos sin )2223sin()6b c B C B C A C C C C C C C C C C C C π∴+=+=+=++=︒++=++=+=+=+………………………………………………………………………………………………9分2,033A C ππ=∴<< 5666C πππ∴<+<……………………………………………………………………………10分 1sin()(,1]62C π∴+∈…………………………………………………………………………11分23sin()(3,23]6C π∴+∈∴b c +的取值范围为(3,23].………………………………………………………………12分19. 解：，解得．…………………………………………………………………………3分 再由AC 平分，可得，．………………………………6分中，，………………………………………………7分 由正弦定理可得，即，解得．…………………………………9分再由余弦定理可得，即， 解得，或 舍去．………………………………………………………11分 综上，，．……………………………………………………………………12分20.解：Ⅰ，，， (1)分两式相减得：，即．………………………………………………3分又时，，，………………………………………………4分是以1为首项，以3为公比的等比数列．．…………………………………………………………………………………6分Ⅱ，……………………………………………………7分， (8)分， (9)分…………………………………………10分，．………………………………………………………………12分21. 解：散点图如图；……………………………………………………………………5分，………………………………………………………………………6分，……………………………………………………………………………7分，………………………………8分………………………………………………9分，……………………………………………………………10分………………………………………………………11分故线性回归方程为．………………………………………………………12分22.解： （I ）由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+。

高明一中2017级高一下数学静校练习5（2018.3.27）一、选择题（5分×4=20分，答案填在答题卡中相应位置）1. 三个正数a 、b 、c 成等比数列，则lga 、lgb 、lgc 是 （ ） A 、等比数列 B 、既是等差又是等比数列 C 、等差数列 D 、既不是等差又不是等比数列2.在等差数列{}n a 中，15410,7a a a +==，则数列{}n a 的公差是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.已知等差数列{a n }中，a 1=-25,S 3=S 8,则前n 项和S n 中，最小值为（ ）A ．-70B ．-75C ．-65D ．-504.若等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A 、10项B 、11项C 、12项D 、13项 二、填空题（5分×4=20分，将答案填在答题卡中相应位置）5、已知正数等比数列{}n a 中，12n n n a a a ++=+对所有的自然数n 都成立，则公比q = .6、已知两个等差数列{}n a {}n b 它们的前n 项和分别为,n n S T ，若2331n n S n T n +=-，则nna b = . 7、已知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且166,4a a ==，则10a = . 8、 已知数列121,,,4a a --成等差数列，1221,,,,4b b b --成等比数列，则212a ab -的值为 .高明一中2017级高一下数学静校练习答题卡班级 学号 姓名 成绩 一、选择题二、填空题5. 6. 7. 8. 三、解答题（满分10分）9．在等差数列{}n a 中，已知公差0d <，110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求1220a a a ++⋅⋅⋅+.高明一中2017级高一下数学静校练习答题卡班级 学号 姓名 成绩 一、选择题二、填空题5. 6.4164n n +- 7.60198. 12三、解答题（满分10分）9．在等差数列{}n a 中，已知公差0d <，110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求1220a a a ++⋅⋅⋅+. 【答案】（1）11n a n =-；（2）10012。

2017-2018学年佛山市第一中学高二下学期期中考数学（文科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数与复数互为共轭复数（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用复数代数形式的乘法运算化简，再用共轭复数的概念得到答案,详解：因为，又复数与复数互为共轭复数，所以，故选A.2. 点的直角坐标是，则点的极坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用，，，先将点M的直角坐标是，之后化为极坐标即可.详解：由于，得，由，得，结合点在第二象限，可得，则点M的坐标为，故选C.3. 已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线的右焦点到左顶点的距离为，焦点到渐近线的距离为，则，，因此，, ，渐近线方程为，即选. 【点睛】求双曲线的渐近线方程，就是寻求或，求法与求离心率类似，只需找出一个的等量关系，削去后，求出或，就可以得出渐近线方程，削去后，就可以求，即可求出离心率.4. 以下判断正确的是（）A. 命题“负数的平方是正数”不是全称命题B. 命题“”的否定是“”C. “”是“函数的最小正周期为”的必要不充分条件D. “”是“函数是偶函数”的充要条件【答案】D【解析】分析：A，命题“负数的平方是正数”的含义为“任意一个负数的平方都是正数”，是全称命题，可判断A；B，写出命题“”的否定，可判断B；C，利用充分必要条件的概念，从充分性与必要性两个方面可判断C；D，利用充分必要条件的概念与偶函数的定义可判断D.详解：对于A，命题“负数的平方是正数”是全称命题，故A错误；对于B，命题“”的否定是“”，故B错误；对于C，时，函数，其最小正周期为，充分性成立，反之，若函数的最小正周期为，则，必要性不成立，所以“”是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件，故C错；对于D，时，函数，所以是偶函数，充分性成立，反之，若函数是偶函数，则，即，得恒成立，即，所以必要性成立，所以“”是“函数是偶函数”的充要条件，故D正确；故选D.点睛：该题考查的是有关命题的真假判断问题，涉及的知识点有全称命题的判断、全称命题的否定、充分必要条件的判断，只要把握好概念，就应该没有问题，注意要逐项判断.5. 某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数的最大值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】试题分析：这是一个循环结构，循环的结果依次为：.再循环一次，S的值就大于20，故的值最大为4.考点：程序框图.6. 是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意，利用抛物线的定义，结合向量条件，求出A点的横坐标，即可得出结论.详解：由题意，设A的横坐标为m，则由抛物线的定义，可得，解得，所以，所以，故选D.点睛：该题考查的是有关抛物线的定义以及向量的数量积的问题，在解题的过程中，注意应用题的条件，结合抛物线的定义，利用相关的直角三角形得到线段的比例求得对应的值，从而求得结果.7. 如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴，第个图形用了根火柴，，第2014个图形用的火柴根数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：第个图形需要火柴的根数为，第个图形需要火柴的根数为，第个图形需要火柴的根数为，…,第个图形需要火柴的根数为，所以第个图形需要火柴的根数为，故选D.考点：1，归纳推理；2、等差数列求和公式.【方法点睛】本题主要考查归纳推理，属于难题.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由条件利用导数与函数的单调性之间的关系，结合函数的导数的图像，利用当函数的导数为正实数时，到数值越大，函数增长的速度就越快，从而得到结果.详解：根据导函数的图像可得函数在上增长速度越来越快，在上增长速度逐渐变慢，在上匀速增长，结合所给的选项，故选C.点睛：该题考查的是根据导函数的图像选择函数的图像的问题，在解题的过程中，需要把握住导数为负数，函数单调减，导数为正数，函数单调增，导数大于零时，导数越大，函数的增长速度就越大，从而求得结果.9. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：曲线即，表示以为圆心，以2为半径的一个下半圆，由圆心到直线的距离等于半径2，可得，解得或，，结合图像可得b的取值范围. 详解：如图所示：曲线，即，表示以为圆心，以2为半径的一个下半圆，由圆心到直线的距离等于半径2，可得，解得或，结合图像可知，故选C.点睛：该题考查的是曲线与直线的交点个数问题，这个问题需要先将曲线确定，由方程可以得出曲线表示的是一个半圆，根据直线与圆的位置关系，以及结合图像，可以确定参数的取值范围.10. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．∴该四棱锥的最长棱的长度为．故选：．11. 三棱锥中，，，两两垂直，其外接球半径为，设三棱锥的侧面积为，则的最大值为（）A. 4B. 6C. 8D. 16【答案】C【解析】分析：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后利用基本不等式解答即可.详解：设分别为，则三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，可知对应长方体的外接球和该三棱锥的外接球是同一个，对角线的长为球的直径，所以，，故选C.点睛：该题考查的是有关从一个点出发的三条棱两两互相垂直的三棱锥的外接球的相关问题，涉及到的知识点有三棱锥的侧面积，长方体的对角线为其外接球的直径，基本不等式求最值等，属于常考题目.12. 已知函数是定义在上的奇函数，若，为的导函数，对，总有，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据函数的图像的平移得到的图像的特点，由知的单调性，可求得结果.详解：因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数图像关于原点对称，又，故的图像关于点对称，令，所以，因为对，总有，所以在R上是增函数，又，所以的解集为，故选A.点睛：该题考查的是有关利用导数解不等式的问题，在解题的过程中，用到的知识点有奇函数图像的对称性，函数图像的平移，导数对单调性的影响，结合题的条件，得到结果.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 过椭圆（）的左焦点作x 轴的垂线交椭圆于P，为右焦点，若,则椭圆的离心率为________【答案】【解析】分析：把代入椭圆方程得P点坐标，进而根据推断出，整理得出，进而求得椭圆的离心率e的大小.详解：由题意知点P的坐标为或，因为，所以，即，所以，所以或（舍去），故答案是.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在解题的过程中，需要应用点在椭圆上的条件为点的坐标满足椭圆的方程，代入求得P点的坐标，根据角的大小，得到边之间的关系，从而建立关于a,c的等量关系式，从而将其转化为关于e的方程，求解即可注意其取值范围，做相应的取舍.14. ,为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是_______（填上所有正确命题的序号）．①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则．【答案】①④【解析】分析：在①中，由面面平行的性质定理得；在②中，或m与n异面；在③中，m与相交、平行或；在④中，由线面垂直的判定定理得.详解：由,为两个不同的平面，，为两条不同的直线，知：在①中，若，，则由面面平行的性质定理得，故①正确；在②中，若，，则或m与n异面，故②错误；在③中，若，，，则m与相交、平行或，故③错误；在④中，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故④正确；故答案是①④.点睛：该题考查的是有关立体几何中的空间关系的问题，在解题的过程中，需要对相关的定理的条件和结论都非常熟悉，在平时的学习中，要注重对基础知识的学习.15. 设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为________．【答案】【解析】设，当时，，.在上为增函数，故为上的奇函数在上亦为增函数.已知，必有 .故的解集为 .16. 设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为_________．【答案】【解析】试题分析：设曲线上的切点为,曲线上一点为.因,故直线的斜率分别为,由于,因此,即,也即.又因为,所以,由于存在使得,因此且,所以,所以.考点：导数的几何意义及不等式恒成立和存在成立问题的求解思路．【易错点晴】本题考查的是存在性命题与全称命题成立的前提下参数的取值范围问题.解答时先求导将切线的斜率表示出来,再借助题设中提供的两切线的位置关系,将其数量化,最后再依据恒成立和存在等信息的理解和处理,从而使问题获解.本题在解答时最为容易出错的地方有两处:其一是将切点设为一个；其二是将存在问题当做任意问题来处理.视频三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

佛山一中2017届高一下学期期中考试数 学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请把正确填涂在答题卡上．1。

数列错误!, 错误!,错误!， 错误!……的第10项是（ ） A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!2．在△ABC 中，内角A ,B ，C 所对的边分别是a ,b ，c 。

已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝（ ）A 。

错误!B ．－错误!C ．±错误! D.错误! 3、已知｛a n ｝为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝（ )A ．7B ．5C ．－5D ．－74．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶12∶14，则△ABC （ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5。

已知，，记 ,，则 与 的大小关系是A.B 。

C.D. 不确定6．已知6,3a b →→==，12a b →→•=-，则向量a →在向量b →方向上的投影为( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．27。

已知π3cos 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2x = （ ）A ．725 B ．725- C ．1825D ．1625-8. 在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近点B ），则AD AE ⋅等于 （ ）A ．16 B ．29 C ．1318 D ．139．2cos10cos 70cos 20-的值是( )A ．12B ．32C 2．D ．310．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ,c ,若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为（ )A.错误!B.错误!C.错误! D ．－错误! 11。

已知S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1＝－2 014,错误!－错误!＝6，则S 2 017＝（ ）A ．1B ．2017C ．2008D ．4034 12．在△ABC 中，AC ＝错误!，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.错误! B 。

2017～2018学年佛山市普通高中高一教学质量检测数 学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}A =-和2{|}B x x x ==关系的韦恩（Venn ）图是（ ）1．答案：B解析：2{|}{0,1},B x x x B A ⊂≠===∴．2．下列函数既是奇函数，又是在区间(1,)+∞上是增函数的是（ ） A ．xxy e e -=- B ．y x =C ．sin y x = D ．ln ||y x =2．答案：A解析：选项A ，设()xxf x e e -=-，则其定义域为R ，关于原点对称，且()()xx f x ee f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，因为x y e =是增函数，xy e -=是减函数，所以x xy e e -=-是增函数，符合题意；选项B ，y x =[0,)+∞，不关于原点对称，所以y x =选项C ，sin y x =是奇函数，但在区间(1,)+∞上，有增区间也有减区间，不符合题意； 选项D ，ln ||y x =是偶函数．3．已知(1,0),(1,1)a b ==r r ，且()a b a λ+⊥r r r，则λ=（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-3．答案：D2018年1月解析：(1,0)(1,1)(1,)a b λλλλ+=+=+r r，因为()a b a λ+⊥r r r ，所以()(1,)(1,0)10a b a λλλλ+⋅=+⋅=+=r r r，解得1λ=-．4．已知tan 3α=-，2παπ<<，则sin cos αα-=（ ） A ．1+32B ．132- C ．1+32- D ．132-- 4．答案：A解析：因为tan 3α=-，2παπ<<，所以23πα=，所以31sin ,cos 22αα==-， 所以1+3sin cos 2αα-=． 5．函数2ln y x x =+的图象大致为（ ）5．答案：A解析：设2()ln f x x x =+，定义域为{|0}x x ≠，22()()ln ln ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称．且当0x >时，2()ln f x x x =+为单调递增函数．6．已知(cos15,sin15),(cos 75,sin 75)OA OB =︒︒=︒︒u u u r u u u r ，则AB =u u u r（ ）A ．2B 3C 2D ．16．答案：D解析：1OA OB ==u u u r u u u r ，且60AOB ∠=︒，所以ABC △为正三角形，故1AB =u u u r．7．已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，则使得1(2)()2xf f >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞UC ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞7．答案：C解析：11 (2)()()22xf f f>-=，且()f x在[0,)+∞单调递减，所以1122,12x x-<=∴<-．8．如图所示，ABC△是顶角为120︒的等腰三角形，且1AB=，则AB BC⋅=u u u r u u u r（）A．32-B．32C．32-D．328．答案：C解析：()2213cos120122 AB BC AB AC AB AB AC AB AB AC AB⋅=⋅-=⋅-=⋅︒-=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r9．已知,αβ为锐角，且10tan7,sin()10ααβ=-=，则cos2β=（）A．35B．35-C25D59．答案：B解析：因为,αβ为锐角，所以,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，因为10sin()αβ-=所以310cos()αβ-=1tan()3αβ-=，()17tan tan()3tan tan271tan tan()13ααββααβααβ---=--===⎡⎤⎣⎦+-+，所以22222222cos sin1tan143cos2cos sincos sin1tan145βββββββββ---=-====-+++．10．若01a b<<<，则错误的是（）A．32a b<B．23a b<C．23log loga b<D．log2log3a b<10．答案：D解析：选项A，因为01a b<<<，所以3222,a a a b<<，所以32a b<．选项B，22,23a b b b<<，所以23a b<．选项C，22log loga b<，因为lg0b<，lg3lg20>>，所以23lg lglog loglg2lg3b bb b=<=，故23log log a b <．选项D ，由选项C 可知，23log log 0a b <<，所以2311log log a b>，即log 2log 3a b >，故选项D错误．11．将函数()32sin 2f x x x =-的图象向右平移θ个单位后得到的图象关于直线6x π=对称，则θ的最小正值为（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 11．答案：C解析：31()32sin 222sin 22cos 2cos sin 2sin 2266f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向右平移θ个单位后，得2cos 2()2cos 2266y x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，该函数关于直线6x π=对称，所以当6x π=时，222,62x k k Z ππθθπ++=+=∈，所以,24k k Z ππθ=-∈，故当1k =时，θ取得最小正值4π． 12．如图，直线AB 与单位圆相切于点O ，射线OP 从OA 出发，绕着点O 逆时针旋转，在旋转的过程中，记(0)AOP x x π∠=<<，OP 所经过的在单位圆O 内区域（阴影部分）的面积为S ，记()S f x =，则下列判断正确的是（ ）A ．当34x π=时，3142S π=- B ．对任意12,(0,)x x π∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-C ．对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f x πππ-++= D ．对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f x ππ+=+ 12．答案：C解析：选项A ，由图1可知，当34x π=时，3142S π=+； 选项B ，当(0,)x π∈时，随着x 的增加，()f x 也在增加，即函数()f x 为增函数，所以1212()()0f x f x x x ->-；选项C ，如图2，由对称性可知，()()22f x f x πππ-++=； 选项D ，如图3，当(0,)2x π∈时，()()2f x f x π+-的值为如图所示的半圆面积与直角三角形面积之和，所以()()22f x f x ππ+->．P AB P'x图1图2图3二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分． 13．计算：2log 32+=．13．答案：4 解析：2log 3233lg10314+=+=+=+=．14．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 上的中点，若DE 与对角线AC 相交于F ，且AC AF λ=u u u r u u u r，则λ= ． 14．答案：3解析：连接BD ，与AC 交于点O ，则F 为ABD △的重心，所以23AF AO =，而12AO AC =， 所以3AC AF =，即3AC AF =u u u r u u u r，所以3λ=．ABCDOFE15．已知函数()f x 同时满足以下条件：① 定义域为R ； ②值域为[0,1]； ③ ()()0f x f x --=．试写出一个函数解析式()f x = ．15．答案：()sin f x x =或()cos f x x =或cos 1()2x f x +=或2,11,()0,11x x f x x x ⎧-=⎨><-⎩或≤≤（不唯一）16．已知函数()sin(2)3f x x π=+，x ∈R ，那么函数()y f x =的图象与函数lg y x =的图象的交点共有 个． 16．答案：8解析：作出两函数的图象，由图可知，两函数一共有8个交点．lg y x=sin y x=三、解答题:本大题共6小题,满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知cos 52πααπ=-<<． （1）求sin 2α的值； （2）求3cos()cos()42ππαα+⋅-的值．17．解析：（1）由题意得，sin 5α==，…………………………1分所以4sin 22sin cos 2555ααα⎛⎫==⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭．…………………………4分（2）因为cos()(cos sin )422πααα⎛+=-== ⎝⎭，…………6分3cos cos sin 22ππααα⎛⎫⎛⎫-=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8分所以3cos()cos()421055ππαα⎛⎫⎛+⋅-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．…………………………10分18．(本小题满分12分)已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示． （1）求函数的解析式；（2）当[2,3]x ∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．18．解析：（1）由图可知，511244T =-=，则2T =，所以2Tπωπ==，…………………2分 当14x =时，32,,2,44x k k Z k k Z ππωϕϕππϕπ+=+=+∈∴=+∈，又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，………………………………………………………………5分故3sin 4y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ……………………………6分（2）因为函数3()sin 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期是2T =，所以求[2,3]x ∈时函数()f x 的最大值和最小值就是转化为求函数在区间[0,1]上的最大值和最小值． …………………………………8分 由图象可知，当0x =时，函数取得最大值为32(0)sin 42f π==； 当34x π=时，函数取得最小值为333sin 1444f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故函数()f x 在[2,3]x ∈上的最大值为22，最小值为1-． …………………………12分 注：本题也可以直接求函数3()sin 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[2,3]x ∈上的最大值和最小值，也可以补全函数在[2,3]x ∈上的图象求解，说明正确即可给分． 19．(本小题满分12分)如图，已知矩形ABCD ，2AB =，3AD =，点P 为矩形内一点，且1AP =u u u r，设BAP α∠=．（1）当3πα=时，求PC PD ⋅u u u r u u u r的值；（2）求()PC PD AP +⋅u u u r u u u r u u u r的最大值．19．解析：（1）如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(2,3),(0,3)A B C D ．当3πα=时，13(,)2P ，则3313(,),(,)22PC PD ==-u u u r u u u r ， 所以231333()()02244PC PD ⋅=⨯-+=-+=u u u r u u u r ．…………………5分 （2）法1：由三角函数的定义可设(cos ,sin )P αα，………………………………6分 则(2cos ,3sin ),(cos ,3sin ),(cos ,sin )PC PD AP αααααα=--=--=u u u r u u u r u u u r，……8分从而(22cos ,232sin )PC PD αα+=--u u u r u u u r，所以()222cos 2cos 23sin 2sin 4sin()26PC PD AP πααααα+⋅=-+-=+-u u u r u u u r u u u r …………10分因为02πα<<，故当3πα=时，()PC PD AP +⋅u u u r u u u r u u u r 取得最大值2．…………………………12分法2：：由三角函数的定义可设(cos ,sin )P αα，则(cos ,sin )AP αα=u u u r ， 设线段DC 的中点为M ，则(1,3)M ，所以22(1cos ,3sin )PC PD PM αα+==--u u u r u u u r u u u u r．以下同方法1．20．(本小题满分12分)国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准．新标准规定，车辆驾驶人员血液中的究竟含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：时间（小时）该函数模型如下：0.344.21sin()0.21,02()354.2710.18,2x x x f x e x π-⎧+<⎪=⎨⎪⋅+⎩≤≥ 根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的究竟含量达到最大值？最大值是多少？ （2）试计算喝一瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算） （参考数据：ln9.82 2.28,ln10.18 2.32,ln54.27 3.99≈≈≈）20．解析：（1）由图可知，当函数()f x 取得最大值时，02x <<，……………………1分 此时()44.21sin()0.213f x x π=+，…………………………………………………………2分当32x ππ=，即32x =时，函数()f x 取得最大值为max 44.210.2144.42y =+=． 故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升．………………4分 （2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x >． 由0.354.2710.1820xe-⋅+<，得0.39.8254.27x e -<， …………………………………7分 两边取自然对数，得0.39.82ln ln54.27xe -< ……………………………8分 即0.3ln9.82ln54.27x -<-， 所以ln 9.82ln 54.27 2.28 3.995.730.3x -->==--， ……………………11分故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车． ……………………12分 注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分2分． 21．(本小题满分12分)已知函数()ln ,()62f x x g x x ==-，设()min{(),()}H x f x g x =（其中min{,}p q 表示,p q 中的较小者）．（1）在坐标系中画出函数()H x 的图象；（2）设函数()H x 的最大值为0()H x ，试判断0()H x 与1的大小关系，并说明理由． （参考数据：ln 2.50.92,ln 2.6250.97,ln 2.75 1.01≈≈≈） 21．解析：（1）画出函数()H x 的图象如下：………………4分（2）法1：由题意可知，0x 为函数()f x 与()g x 图象交点的横坐标，且00ln 62x x =-， 所以000()()()H x f x g x ==．设()()()ln 26F x f x g x x x =-=+-，易知0x 即为函数()F x 的零点，因为(2.5)ln 2.510,()1(62)250F F e e e =-<=--=->，所以(2.5)()0F F e ⋅<，…8分 又函数()F x 在(0,)+∞上单调递增，且为连续曲线，所以()F x 有唯一零点0(2.5,)x e ∈．因为函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以00()()(2.5)1H x g x g =<=，即0()1H x <．……………12分法2：由题意可知，0x 为函数()f x 与()g x 图象交点的横坐标，且00ln 62x x =-，所以000()()()H x f x g x ==．设()()()ln 26F x f x g x x x =-=+-，易知0x 即为函数()F x 的零点，为(2.5)ln 2.510,()1(62)250F F e e e =-<=--=->，所以(2.5)()0F F e ⋅<，又函数()F x 在(0,)+∞上单调递增，且为连续曲线，所以()F x 有唯一零点0(2.5,)x e ∈，因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而00()()()1H x f x f e =<=，即0()1H x <．…………………………12分注：判断0()1H x <，说明理由的方法比较开放，关键是界定0(2.5,)x e ∈，因为可利用(2.5)1g =或()1f e =，及()g x 或()f x 的单调性进行说明，即00()()(2.5)H x g x g =<或00()()()H x f x f e =< 这两方面只需说明一方面即可，理由表述充分，即可给满分．法3：由题意可知，0x 为函数()f x 与()g x 图象交点的横坐标，且00ln 62x x =-，所以000()()()H x f x g x ==．设()()()ln 26F x f x g x x x =-=+-，易知0x 即为函数()F x 的零点，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增，且为连续曲线，且(2)ln 220,(3)ln30F F =-<=>，所以0(2,3)x ∈，又(2.5)ln 2.510F =-<，则0(2.5,3)x ∈，(2.75)ln 2.750.50F =->，则0(2.5,2.75)x ∈，(2.625)ln 2.6250.750F =->，则0(2.5,2.625)x ∈，所以00()ln ln 2.6251H x x =<<，即0()1H x <． …………………………12分22．(本小题满分12分) 已知()(0)f x x x a a =->（1）当2a =时，求函数()f x 在[1,3]-上的最大值；（2）对任意的12,[1,1]x x ∈-，都有12()()4f x f x -≤成立，求实数a 的取值范围．22．解析：（1）当2a =时，(2),2()2(2),2x x x f x x x x x x -⎧=-=⎨-<⎩≥，结合图象可知，函数()f x 在[1,1]-上是增函数，在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，又 (1)1,(3)3f f ==，所以函数()f x 在[1,3]-上的最大值为3．………………………………4分（2）（2）(),()(0)(),x x a x a f x a x a x x a -⎧=>⎨-<⎩≥．由题意得，max min ()()4f x f x -≤成立． ①当12a ≥，即2a ≥时，函数()f x 在[1,1]-上是增函数， 所以max min ()(1)1,()()(1)f x f a f x f a a ==-=-=-+，从而(1)[(1)]24a a a ---+=≤，解得2a ≤，故2a =．…………6分 ②因为2()24a a f =，由2()4a x x a =-，得22440x ax a --=， 解得122x a +=，或1202x a =<（舍去）． 当12122a a <<，即21)2a <<，此时2max min ()(),()(1)(1)24a a f x f f x f a ===-=-+ 从而2221[(1)]1(2)4444a a a a a --+=++=+<成立，故21)2a <<．……………8分 当121+，即21)a ≤，此时max min ()(1)1,()(1)(1)f x f a f x f a ==-=-=-+， 从而(1)[(1)]24a a ---+=<成立，故021)a <≤．………………………………10分 综上所述，02a <≤． ………………………………12分。

2017学年度上学期期中考试高一级数学试题命题人：吴以浩、李维一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{1}，N ＝{1，2，3}，则有( ) A ．M ＜NB ．M ∈NC ．N ⊆MD ．M ⇐N 2．函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4，10)∪(10，＋∞)D ．[4，10)∪(10，＋∞)3．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．22x y -=B ．y ＝1－2xC ．y ＝x 2＋x ＋1D ．113x y +=4．已知f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x ＜2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b6．若偶函数f (x )的定义域为R ，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )＜0的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2) 7．函数f (x )＝x ln|x |的图象大致是 ( )8．已知f (x )，g (x )均为[－1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是( )D ．(2，3)9．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.510．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD ，设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )．若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138C ．(－∞，2]D ．[138，2)12．设函数821()8x f x e x +=-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．计算:1.10＋364＋lg25＋2lg2＝________．14．若函数y ＝3x 2－ax ＋5在(－∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．15．已知f (log 2x ＋1)＝x ，则函数f (x )的解析式为________．16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1， 则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为______个．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，A ∩B ＝{2}.(1)求a 的值及A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )，并列举(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．18．(本小题满分12分)函数f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25． (1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增函数；19．(本小题满分12分)某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(日净收入＝一日出租自行车的总收入－管理费用)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？ 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|2x －2|．(1)在图中的直角坐标系中画出函数f (x )的图象； (2)设函数g (x )＝|2x －2|＋b ，讨论函数g (x )的零点个数．21．(本小题满分12分)已知函数()()()log 32,()log 32,(0,a a f x x g x x a =+=->且)1≠a ． (1)判断函数)()(x g x f -的奇偶性，并予以证明； (2)求使0)()(>-x g x f 的x 的取值范围．22．(本小题满分12分)函数()102)23()(2≤<++-+-=m m x m x x f ．(1)若[]m x 0，∈，证明：()310≤x f ； (2)求|)(|x f 在]1,1[-上的最大值)(m g ．2017学年度上学期期中考试高一级数学试题答案命题人：吴以浩、李维一、选择题．DDACBD ABCCBC 二、填空题．13．7 14．[6，＋∞)15．f (x )＝2x －1 16．2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解 (1)∵A ∩B ＝{2}，∴8＋2a ＋2＝0,4＋6＋2a ＝0，…………………………………………………………1分 ∴a ＝－5. …………………………………………………………………………………2分 ∴A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝{12，2}，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}．………………………………………………………4分(2)U ＝{12，－5,2}，………………………………………………………………………5分 (∁U A )∪(∁U B )＝{－5}∪{12}＝{－5，12}．………………………………………………8分(∁U A )∪(∁U B )的子集为：∅，{－5}，{12}，{－5，12}．………………………………10分18．解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (12)＝25，∴⎩⎪⎨⎪⎧b1＋02＝0，a2＋b 1＋14＝25，………………………………2分∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 1＋x 2.………………………………………………………………4分(2)证明：任取－1＜x 1＜x 2＜1，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22).………………………………………∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 2＜0,1＋x 21＞0,1＋x 22＞0，………………………………………………………9分 由－1＜x 1＜x 2＜1知，－1＜x 1x 2＜1，∴1－x 1x 2＞0. …………………………………………………………………………10分 ∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∴f (x )在(－1,1)上是增函数．…………………………………………………………12分 19．解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3.∵x ∈N *，∴x ≥3，∴3≤x ≤6，x∈N *.……………………………………………………………………………2分当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115＞0，得3x 2－68x ＋115＜0.解得2≤x ≤20，又x ∈N *，∴6＜x ≤20，x∈N *，…………………………………………………………………………………………4分故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈N *)，定义域为{x |3≤x ≤20，x ∈N *}．…6分(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，显然当x ＝6时，y max ＝185，………………8分对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3(x －343)2＋8113(6＜x ≤20，x ∈N *)．当x ＝11时，y max ＝270，………………………………………………………………10分 ∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使日净收入最多．…………………(2)函数g(x)＝|2x－2|＋b的零点即方程|2x－2|＝－b的解，也即函数f(x)＝|2x －2|的图象与直线y＝－b的公共点的横坐标．………………………………………………………6分①当－b＜0即b＞0时，函数f(x)＝|2x－2|的图象与直线y＝－b没有公共点，函数g(x)没有零点；………………………………………………………………7分②当－b＝0即b＝0时，函数f(x)＝|2x－2|的图象与直线y＝－b恰有1个公共点，函数g(x)恰有1个零点； (8)分③当0＜－b＜2即－2＜b＜0时，函数f(x)＝|2x－2|的图象与直线y＝－b恰有2个公共点，函数g(x)恰有2个零点；………………………………………………………………9分④当－b≥2即当b≤－2时，函数f(x)＝|2x－2|的图象与直线y＝－b恰有1个公共点，函数g(x)恰有1个零点．………………………………………………………………10分综上，当b＞0时，函数g(x)的零点个数为0；当b＝0或b≤－2时，函数g(x)的零点个数为1；当－2＜b＜0时，函数g(x)的零点个数为2．………………………………12分21．解320(1)()(),:320xf xg xx+>⎧-⎨->⎩使函数有意义必须有解得:3322x-<<所以函数)()(x g x f -的定义域是3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．………………………………………2分 所以函数)()(x g x f -的定义域关于原点对称．…………………………………3分[][]()()log (32)log (32)log (32)log (32)()()a a a a f x g x x x x x f x g x ---=--+=-+--=--………………………5分∴函数)()(x g x f -是奇函数．………………………………………………………………6分(2)使)()(x g x f ->0,即log (32)log (32)a a x x +>-．当1>a 时, 有3232320320x x x x +>-⎧⎪->⎨⎪+>⎩解得x 的取值范围是30,2⎛⎫⎪⎝⎭．………………8分 当10<<a 时, 有3232320320x x x x +<-⎧⎪->⎨⎪+>⎩ 解得x 的取值范围是3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．…………10分综上所述：当1>a 时x 的取值范围是30,2⎛⎫⎪⎝⎭，当10<<a 时x 的取值范围是3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．…………………………………12分 21．解 （Ⅰ）函数的对称轴为223mx -=，且函数开口向下 ①当0223≤-m 时，即123≤≤m ，()()320≤+=≤m f x f ………………………1分②当m m <-<2230时，即2343<<m ，()31016534172)223(2<<+-=-≤m m m f x f ………………………2分③当m m >-223时，即430≤<m ，()310243)(2≤++-=≤m m m f x f ………3分当,32=m 32=x 时，()310=x f … ∴()310≤x f …………………4分（Ⅱ）()1当21 0≤<m 对称轴为1223≥-=mx∴|})1(||,)1(max{|)(f f m g -=|}4||,23max{|m m --= 又∵022)32()4(>+=---m m m ∴m m g -=4)(.……………………7分 ()21 21≤<m ,对称轴为[]11223，-∈-=mx()021********22>⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=--+-m m m m m m .……………………10分()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-=121,4172210,42m m m m m m g …………………12分。

2017-2018学年佛山市第一中学下学期期中考试高二考试题数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 如果质点 按照规律23s t =运动，则在03t =时的瞬时速度为A.B.C.D.2. 若1i12i 2ia +=++，则a =A.5i --B.5i -+C.5i -D. 5i +3. 若复数()()2322i a a a -++- 是纯虚数，则实数a 的值为A.B.C. 或D.4. 名旅客分别从 个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是A.37B.73C.37AD. 37C5. 利用数学归纳法证明“()()()()*1221321,n n n n n n n +++=⨯⨯⨯⨯-∈N ”时，从“n k =”变到“1n k =+”时，左边应増乘的因式是A.()221k +B.211k k ++ C.2- D.6. 将 个不同的小球放入编号为 ，，， 的 个盒子中，则不同放法有 种A.B.C.D.7. 现有 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有A.种B.种C.种D.种8. 有一个 人学校合作小组，从中选取 人发言，要求其中甲和乙至少有一人参加，若甲和乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有A.种B.种 C.种 D.种9. 给出一个命题 ：若 ，，，且，则 ，，，中至少有一个小于零．在用反证法证明 时，应该假设A. ，，， 中至少有一个正数B. ，，， 全为正数C. ，，， 全都大于或等于D. ，，， 中至多有一个负数10. 三角形的面积为()12S a b c r =++⋅，（,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为A.13V abc =（,,a b c 为底面边长）B.13V Sh =（S 为底面面积，h 为四面体的高）C.()123413V S S S S r =+++（1234,,,S S S S 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）D.()13V ab bc ac h =++（,,a b c 为底面边长，h 为四面体的高）11. 在弹性限度内，10N 的力能使弹簧压缩0.1m ，若将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置0.06m 处，则克服弹力所做的功为A.0.28JB.0.12JC.0.26JD. 0.18J12. 已知函数()sin ()f x x x x R =+∈ ，且 22(23)(41)0f y y f x x -++-+≤，则当1y ≥时，11x y x +++ 的取值范围是A. 57[,]44B. 7[0,]4C. 57[,]43D. 7[1,]3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 已知1211d a x x -=-⎰，则6π122a x x ⎡⎤⎛⎫+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦展开式中的常数项为 ．14. 设a 为实数，若函数()31f x x x a =--+- 存在零点，则实数a 的取值范围是 ．15. 如果复数z 满足336z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是 ． 16.四名大学生甲、乙、丙、丁互相检查论文作业A 、B 、C 、D ，每人检查一篇，自己写的那篇自己不能检查，则有 种不同的安排方式。

2017-2018学年广东省佛山一中高一（上）期中数学试卷一、选择题.本大题共12道小题，每小题5分，共60分，均为单项选择题.1．（5分）设全集U={﹣1，0，1，2，3}，A={﹣1，0，1}，B={﹣1，2，3}，则∁U A∩B=（）A．{﹣1} B．{2，3} C．{0，1} D．B2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．上的某连续函数y=f（x）部分函数值如表：有同学仅根据表中数据作出了下列论断：①函数y=f（x）在上单调递增；②函数y=f（x）在上恰有一个零点；③方程f（x）=0在上必无实根．④方程f（x）﹣1=0必有实根．其中正确的论断个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）函数f（x）=，若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围为（）A．a＜3 B．1＜a＜3 C．2＜a＜3 D．2≤a＜312．（5分）定义域与值域都是的两个函数f（x）、g（x）的图象如图所示（实线部分），则下列四个命题中，①方程f=0有6个不同的实数根；②方程g=0有4个不同的实数根；③方程f=0有5个不同的实数根；④方程g=0有3个不同的实数根；正确的命题是（）A．②③④B．①④ C．②③ D．①②③④二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）27+log84= ．14．（5分）f（x）=，f（f（））= ．15．（5分）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间上的某连续函数y=f（x）部分函数值如表：有同学仅根据表中数据作出了下列论断：①函数y=f（x）在上单调递增；②函数y=f（x）在上恰有一个零点；③方程f（x）=0在上必无实根．④方程f（x）﹣1=0必有实根．其中正确的论断个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的连续性．【专题】计算题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】利用所给数据，结合函数的单调性，零点，分别判断，即可得出结论．【解答】解：①根据单调性的定义，应该是区间对于上的任意两个值，故函数y=f（x）在上单调递增，不正确；②f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=0.8＞0，所以函数y=f（x）在上至少有一个零点，不正确；③所给数据，不能判断f（x）≠0，∴f（x）=0在上必无实根，不正确．④方程f（x）﹣1=0必有实根，且x∈（0，1），正确．故选：B．【点评】本题考查函数的单调性，零点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．11．（5分）（2016秋•禅城区校级期中）函数f（x）=，若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围为（）A．a＜3 B．1＜a＜3 C．2＜a＜3 D．2≤a＜3【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数单调性的性质进行转化求解即可．【解答】解：若函数f（x）是R上的增函数，则等价为当x＜2时和x≥2时都是增函数，则满足，即，得2≤a＜3，故实数a的取值范围是2≤a＜3，故选：D【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数的单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．12．（5分）（2016秋•禅城区校级期中）定义域与值域都是的两个函数f（x）、g（x）的图象如图所示（实线部分），则下列四个命题中，①方程f=0有6个不同的实数根；②方程g=0有4个不同的实数根；③方程f=0有5个不同的实数根；④方程g=0有3个不同的实数根；正确的命题是（）A．②③④B．①④ C．②③ D．①②③④【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过f（x）=0可知函数有3个解，g（x）=0有2个解，具体分析①②③④推出正确结论．【解答】解：∵f（x）=0有3个不同的解，且一个在（﹣2，﹣1），一个为0，一个在（1，2）之间，g（x）=0有2个解，一个为﹣2，一个在（0，1）之间，①方程f=0有5个不同的实数根；②方程g=0有4个不同的实数根；③方程f=0有5个不同的实数根；④方程g=0有3个不同的实数根．正确的命题是②③④，故选：B．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2016秋•禅城区校级期中）27+log84= ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数幂的运算性质和换底公式计算即可．【解答】解：27+log84=+=+=，故答案为：【点评】本题考查了指数幂的运算和换底公式，属于基础题．14．（5分）（2016秋•禅城区校级期中）f（x）=，f（f（））= ．【考点】函数的值．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【解答】解：f（）=log3=﹣1，f（﹣1）=8﹣1=，则f（f（））=f（﹣1）=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式利用代入法是解决本题的关键．15．（5分）（2016秋•禅城区校级期中）已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间．（2）由（1）可知A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m﹣4≤x≤3m+2}．∵A∩B=B，∴B⊆A，①当B=∅时，满足题意，此时m﹣4＞3m+2，解得：m＜﹣3；②当B≠∅时，要使B⊆A，需满足：，不等式无解；综上可得，m＜﹣3．所以A∩B=B时，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．【点评】本题考查了并集，交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．18．（12分）（2016秋•禅城区校级期中）已知函数f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由，，，从而求出b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，得函数在（﹣1，+∞）单调递增．从而有f（x1）﹣f（x2）=，进而，故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．【解答】解：（Ⅰ）∵，，由，∴，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，函数在（﹣1，+∞）单调递增．证明：任取x1，x2且﹣1＜x1＜x2，=，∵﹣1＜x1＜x2，∴，∴，即f（x1）＜f（x2），故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，不等式的证明，是一样的综合题．19．（12分）（2016秋•禅城区校级期中）已知函数f（x）=（x∈R），如图是函数f（x）在，．（3）由图象知，若方程f（x）=lnb恰有两个不等实根，则0＜lnb＜2或﹣2＜lnb＜0，即1＜b＜e2或e﹣2＜b＜1，则b的取值范围是1＜b＜e2或e﹣2＜b＜1．【点评】本题主要考查函数图象和性质的综合应用，根据条件先求出a的值是解决本题的关键．20．（12分）（2014•岳麓区校级模拟）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．【专题】应用题．【分析】（1）根据题意，函数为分段函数，当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x．（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x﹣40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论．【解答】解：（1）当0＜x≤100时，p=60；当100＜x≤600时，p=60﹣（x﹣100）×0.02=62﹣0.02x．∴p=（2）设利润为y元，则当0＜x≤100时，y=60x﹣40x=20x；当100＜x≤600时，y=（62﹣0.02x）x﹣40x=22x﹣0.02x2．∴y=当0＜x≤100时，y=20x是单调增函数，当x=100时，y最大，此时y=20×100=2 000；当100＜x≤600时，y=22x﹣0.02x2=﹣0.02（x﹣550）2+6 050，∴当x=550时，y最大，此时y=6 050．显然6050＞2000．所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6050元．【点评】本题考查分段函数，考查函数的最值，解题的关键是正确写出分段函数的解析式，属于中档题．21．（12分）（2016秋•禅城区校级期中）函数f（x）是定义在R上的减函数，且f（x）＞0恒成立，若对任意的x，y∈R，都有f（x﹣y）=，（1）求f（0）的值，并证明对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）•f（y）；（2）若f（﹣1）=3，解不等式≤9．【考点】抽象函数及其应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法结合条件进行转化求解证明即可．（2）根据抽象函数的关系进行转化，结合函数单调性进行求解即可．【解答】解：（1）令x=0，y=0得f（0）==1，∴f（0）=1…（1分）令x=a+b，y=b，则x﹣y=a，又∵f（x﹣y）=，∴f（a+b）=f（a）•f（b）…（4分）∴f（x+y）=f（x）•f（y）…（5分），（2）由（1）知f（x2）•f（10）=f（x2+10），∴==f（x2﹣7x+10），又∵f（﹣1）=3，∴9=3×3=f（﹣1）×f（﹣1）=f（﹣2）…（8分）又∵≤9．∴f（x2﹣7x+10）≤f（﹣2）…（9分）又∵f（x）在R上单调递减，∴x2﹣7x+10≥﹣2…（10分），解得：x≤3或x≥4，即原不等式的解集为（﹣∞，3）∪（4，+∞）…（12分）【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用条件结合赋值法是解决本题的关键．22．（12分）（2016秋•禅城区校级期中）函数f（x）=log a（x+1），（a＞0，a≠1）的图象经过点（﹣，﹣2），图象上有三个点A、B、C，它们的横坐标依次为t﹣1，t，t+1，（t≥1），记三角形ABC的面积为S（t），（1）求f（x）的表达式；（2）求S（1）；（3）是否存在正整数m，使得对于一切不小于1的t，都有S（t）＜m，若存在求的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用f（x）=log a（x+1），（a＞0，a≠1）的图象经过点（﹣，﹣2），求出a，即可求出f（x）的表达式；（2）S（1）=（x B﹣x A）•y B+（{x C﹣x B）•（y B+y C）﹣（x C﹣x A）•y C，即可求S（1）；（3）要使对一切不小于1的t，S（t）＜m均成立，只需m＞S（t）max，即可得出结论．【解答】解：（1）∵f（x）=log a（x+1），（a＞0，a≠1）的图象经过点（﹣，﹣2），∴﹣2=log a（﹣+1），∴a=2…（3分）∴f（x）=log2x；（2）当t=1时，A（0，0），B（1，1），C（2，log23），…（4分）∴S（1）=（x B﹣x A）•y B+（{x C﹣x B）•（y B+y C）﹣（x C﹣x A）•y C=1﹣log23…（6分）（3）由图知：S（t）=+﹣×2=log2…（8分）∵对一切不小于1的t，t（t+2）≥3，0＜≤，∴1＜1+≤，∴0＜log2≤log2，∴0＜log2≤log2，…（10分）要使对一切不小于1的t，S（t）＜m均成立，只需m＞S（t）max，∴m＞log2（11分）又∵m∈N*，∴m=1…（12分）【点评】本题考查对数函数，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2017-2018学年广东省佛山一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确填涂在答题卡上．1．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．a2＞b2C．a3＞b3D．＜2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．453．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n B．a n=（﹣1）nC．a n=（﹣1）n D．a n=（﹣1）n5．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a＜5 或a≥76．（5分）设正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值7．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若为常数，则称数列{a n}为“吉祥数列“，已知等差数列{b n}的首项为1，公差不为0，若数列{b n}为“吉祥数列“，则数列{b n}的通项公式为（）A．b n=n﹣1 B．b n=2n﹣1 C．b n=n+1 D．b n=2n+18．（5分）若A为三角形ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．正三角形9．（5分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：第一年因生源和环境等因素，全校总班级至少20个，至多30个，若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，则第一年利润最大为（）A．70 万元 B．58 万元 C．60 万元 D．72 万元10．（5分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin（B ﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．或11．（5分）已知数列{x n}满足x n+3=x n，，若x1=1，x2=a （a≤1，a≠0），则数列{x n}的前2018项的和S2018为（）A．669 B．670+a C．1345+a D．133812．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答卷相应的横线上．13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则a6的值等于．15．（5分）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为．16．（5分）已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，前n项和为S n，记数列{log2a n}的前n项和为T n，若a1∈[，]，且=9，则当n=时，T n有最小值．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在△ABC中，三边长a，b，c依次成等差数列．（1）若sinA：sinB=3：5，求cosC的值（2）若b=1且，求△ABC的面积．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C；（2）若，求△ABC周长的取值范围．19．（12分）记号“△”表示一种运算，即a△b=+a+，记f（x）=（sin2x）△（cos2x）（1）求函数y=f（x）的表达式及最小正周期；（2）若函数f（x）在x=x0处取得最大值，若数列{a n}满足a n=nx0（n∈N*），求f（a1）+f（a2）+f（a3）的值．20．（12分）解关于x的不等式，ax2﹣2（a+1）x+4＞0．21．（12分）已知数列{a n}为等差数列，a1=1，a n＞0，其前n项和为S n，且数列也为等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和．22．（12分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，其中a1=1，且．（1）求常数λ的值，并写出{a n}的通项公式；（2）记，数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n≥k（k∈N*），都有，求常数k的最小值．2017-2018学年广东省佛山一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确填涂在答题卡上．1．（5分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．a2＞b2C．a3＞b3D．＜【分析】利用不等式的基本性质，可得结论．【解答】解：对于A，满足c≤0时成立；对于B，a=1，b=﹣1，结论不成立；对于C，正确；对于D，a=1，b=﹣1，结论不成立．故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质，比较基础．2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【分析】先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．4．（5分）数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式是（）A．a n=（﹣1）n B．a n=（﹣1）nC．a n=（﹣1）n D．a n=（﹣1）n【分析】采用特殊值法来求解．取n=1代入即可．【解答】解：因为这是一道选择题，可以采用特殊值法来求解．取n=1代入，发现只有答案D成立，故选：D．【点评】由于选择题自身的特点是只要答案，不要过程，所以在做能用数代入的题目时，可以直接代入求解，把过程简单化．5．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a＜5 或a≥7【分析】根据已知的不等式组画出满足条件的可行域，根据图形情况分类讨论，不难求出表示的平面区域是一个三角形时a的取值范围．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示：由图可知，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是：5≤a＜7．【点评】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．6．（5分）设正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值【分析】由条件运用基本不等式可得0＜ab≤，运用变形和化简，即可判断正确结论．【解答】解：正实数a，b满足a+b=1，即有a+b≥2，可得0＜ab≤，即有+=≥4，即有a=b时，+取得最小值4，无最大值；由0＜≤，可得有最大值；由+==≤=，可得a=b时，+取得最大值；由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2=1，则a2+b2≥，当a=b=时，a2+b2取得最小值．综上可得C正确，A，B，D均错．【点评】本题考查基本不等式的运用，注意变形和等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题．7．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若为常数，则称数列{a n}为“吉祥数列“，已知等差数列{b n}的首项为1，公差不为0，若数列{b n}为“吉祥数列“，则数列{b n}的通项公式为（）A．b n=n﹣1 B．b n=2n﹣1 C．b n=n+1 D．b n=2n+1【分析】设等差数列{b n}的公差为d（d≠0），再设=k，由b1=1，得（4k﹣1）dn+（2k﹣1）（2﹣d）=0．结合对任意正整数n上式恒成立，得，由此能求出数列{b n}的公差，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：设等差数列{b n}的公差为d（d≠0），由=k，且b1=1，得n+n（n﹣1）d=k[2n+2n（2n﹣1）d]，即2+（n﹣1）d=4k+2k（2n﹣1）d．整理得，（4k﹣1）dn+（2k﹣1）（2﹣d）=0．∵对任意正整数n上式恒成立，则，解得．∴数列{b n}的公差为2，则其通项公式为b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了恒成立思想的运用，考查了计算能力，属中档题．8．（5分）若A为三角形ABC的一个内角，且sinA+cosA=，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．正三角形【分析】利用sinA+cosA=，两边平方可得sinAcosA=﹣，进而判断出A是钝角．【解答】解：∵sinA+cosA=两边平方可得：sin2A+cos2A+2sinAcosA=，化为sinAcosA=﹣，∵A∈（0，π），∴sinA＞0，cosA＜0．∴A为钝角．∴这个三角形是钝角三角形．故选：A．【点评】本题考查了三角函数的平方关系和正弦余弦函数的单调性，属于基础题．9．（5分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：第一年因生源和环境等因素，全校总班级至少20个，至多30个，若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，则第一年利润最大为（）A．70 万元 B．58 万元 C．60 万元 D．72 万元【分析】设初中x个班，高中y个班，年利润为z，根据题意找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：（I）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条件为，（II）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y，由（I）作出可行域如图．由方程组得交点M（20，10）作直线l：2x+3y=0，平移l，当l过点M（20，10），z取最大值70．∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元．故选：A．【点评】本题考查了线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．10．（5分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin（B ﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，且c=，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．或【分析】根据sin（B﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，可得2sinBcosA=6sinAcosA，即（6sinA ﹣2sinB）cosA=0．根据正余弦定理求解即可．【解答】解：由题意，sin（B﹣A）+sin（B+A）=3sin2A，可得2sinBcosA=6sinAcosA，即（6sinA﹣2sinB）cosA=0，∴cosA=0或3sinA=sinB．①当cosA=0时，A=90°．∵c=，C=，∴B=．b=tanB•c=那么△ABC的面积S=bc=．②当3sinA=sinB，由正弦定理，可得3a=b…①．cosC==⇒a2+b2﹣7=ab…②解得a=1，b=3．那么△ABC的面积S=absinC=，故选：D．【点评】本题考查了三角恒等式的化简能力和正余弦定理的运用．属于基础题．11．（5分）已知数列{x n}满足x n+3=x n，，若x1=1，x2=a （a≤1，a≠0），则数列{x n}的前2018项的和S2018为（）A．669 B．670+a C．1345+a D．1338=x n，x n+2=|x n+1﹣x n|（n∈N*），x1=1，x2=a（a≤1，a≠【分析】数列{x n}满足x n+30），可得x3=|a﹣1|=1﹣a，x4=x1=1，数列是以3为周期的周期数列，于是S2018=x1+x2+x3+…+x2018=672（x1+x2+x3）+x1+x2．=x n，x n+2=|x n+1﹣x n|（n∈N*），【解答】解：∵数列{x n}满足x n+3x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），∴x3=|a﹣1|=1﹣a，x4=x1=1，∴数列是以3为周期的周期数列，并且x1+x2+x3=1+1﹣a+a=2，则S2018=x1+x2+x3+…+x2018=672（x1+x2+x3）+x1+x2=672×2+1+a=1345+a．故选：C．【点评】本题考查了数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．4【分析】由题意得：，，得．利用此式进行代换，将T 化成，令ab﹣1=m，则m＞0，利用基本不等式即可求出T的最小值．【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选：D．【点评】本小题主要考查基本不等式、一元二次不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答卷相应的横线上．13．（5分）不等式的解集是{x|x＜﹣3或x≥} ．【分析】根据题意，原不等式等价于（2x﹣1）（x+3）≥0且（x+3）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，⇒（2x﹣1）（x+3）≥0且（x+3）≠0，解可得x＜﹣3或x≥，即原不等式的解集为{x|x＜﹣3或x≥}；故答案为：{x|x＜﹣3或x≥}．【点评】本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．14．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则a6的值等于32．【分析】数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1，a4．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1=1，a4=8．∴q3=8，解得q=2．∴a6=25=32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为．【分析】利用余弦定理求出BC，正弦定理求得∠ACB的余弦值，再利用cosθ=cos（∠ACB+30°）求出cosθ的值．【解答】解：如图所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°=2800，所以BC=20；由正弦定理得sin∠ACB=sin∠BAC=，由∠BAC=120°知∠ACB为锐角，所以cos∠ACB=；所以cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°﹣sin∠ACBsin30°=．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的化简求值，以及正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．16．（5分）已知等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，前n项和为S n，记数列{log2a n}的前n项和为T n，若a1∈[，]，且=9，则当n=11时，T n有最小值．【分析】利用等比数列的前n项和公式可得q，利用对数的运算性质及其等差数列的前n项和公式可得T n，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：q=1不满足条件，舍去．∵=9，∴=1+q3=9，解得q=2．∴，log2a n=log2a1+（n﹣1）．∴T n=nlog2a1+=+n，∵a1∈[，]，∴log2a1∈[﹣log22016，﹣log21949]，∴﹣=∈，∵1024=210＜1949＜2016＜2048=211，∴＞＞＞，∴当n=11时，T n取得最小值．故答案为：11．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在△ABC中，三边长a，b，c依次成等差数列．（1）若sinA：sinB=3：5，求cosC的值（2）若b=1且，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用等差数列的性质可得2b=a+c，设a=3k，b=5k （k＞0），可求c=7k，进而根据余弦定理可求cosC的值．（2）由已知根据平面向量数量积的运算，余弦定理可求cosB的值，根据等差数列的性质可得a+c=2，进而可求ac=，结合范围B∈（0，π），利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为10分）解：（1）a，b，c 依次成等差数列，得：2b=a+c，………………（1分）又sinA：sinB=3：5，∴a：b=3：5，………………（2分）设a=3k，b=5k （k＞0），则c=7k …………………（3分）故：．………………（5分）（2）由b=1，又由，得：accosB=b2﹣（a﹣c）2，……………（6分）∵b2=a2+c2﹣2ac⋅cosB，∴，………………（7分）∵a，b，c 依次成等差数列，∴a+c=2，∴ac=，………………（8分）又∵B∈（0，π），B＜C，∴sinB===，………………（9分）从而△ABC 的面积为：S=acsinB=×=．…………（10分）△ABC【点评】本题主要考查了等差数列的性质，余弦定理，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=2ccosC．（1）求角C；（2）若，求△ABC周长的取值范围．【分析】（1）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得sinC=2sinCcosC，结合sinC≠0，可求cosC的值，结合C的范围可求C的值．（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得a+b+c=，由C，A的范围可求，利用正弦函数的性质即可计算得解△ABC 周长的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，由正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，…………（1分）所以sin（A+B）=2sinCcosC，…………（2分）所以sinC=2sinCcosC，……………………（3分）又在锐角三角形中，，……………………（4分）所以，故．……………………（5分）（2）由正弦定理可得，…………（6分）于是，a+b+c==…………………（9分）==，因为锐角△ABC 中，，所以，，…………（10分）所以，可得：，…………（11分）所以△ABC 周长的取值范围为：．…………（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．19．（12分）记号“△”表示一种运算，即a△b=+a+，记f（x）=（sin2x）△（cos2x）（1）求函数y=f（x）的表达式及最小正周期；（2）若函数f（x）在x=x0处取得最大值，若数列{a n}满足a n=nx0（n∈N*），求f（a1）+f（a2）+f（a3）的值．【分析】（1）根据定义求出函数的解析式，结合三角函数的周期公式进行求解即可（2）求出a n的通项公式，利用代入法进行求解即可．【解答】解：（1）由题意得f（x）=（sin2x）△（cos2x）=+sin2x+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+2（sin2x+cos2x）=1+2sin（2x+）…………（4分）∴最小周期T==π…………（5分）（2）若函数f（x）在x=x0处取得最大值，∴2x0+=2kπ+，即x0=kπ+，k∈Z，…………（7分）故a n=nx0=n（kπ+），k∈Z…………（8分）则a1=kπ+，a2=2kπ+，a3=3kπ+…………（9分）则f（a1）+f（a2）+f（a3）=3+2sin（2a1+）+2sin（2a2+）+2sin（2a3+）=3+2sin+2sin+2sin=3+2+=6+…………（12分）【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式是解决本题的关键．20．（12分）解关于x的不等式，ax2﹣2（a+1）x+4＞0．【分析】不等式化为（ax﹣2）（x﹣2）＞0，再对a分类讨论，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：不等式ax2﹣2（a+1）x+4＞0可化为（ax﹣2）（x﹣2）＞0，（ⅰ）当a=0时，不等式化为x﹣2＜0，解得x＜2；（ⅱ）当0＜a＜1时，不等式化为（x﹣）（x﹣2）＞0，解得x＜2或x＞；（ⅲ）当a=1时，不等式化为（x﹣2）2＞0，解得x≠2；（ⅳ）当a＞1时，不等式化为（x﹣）（x﹣2）＞0，解得x＜或x＞2；（ⅴ）当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x﹣2）＜0，解得＜x＜2；综上，a=0时，不等式的解集为{x|x＜2}；0＜a＜1时，不等式化的解集为{x|x＜2或x＞}；a=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；a＞1时，不等式的解集为{x|x＜或x＞2}；a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜2}．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式解法问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．21．（12分）已知数列{a n}为等差数列，a1=1，a n＞0，其前n项和为S n，且数列也为等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≥0），运用等差数列的通项公式可得d的方程，解方程可得d，进而得到所求通项；（2）求得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d（d≥0），因为a 1=1，a n＞0，为等差数列，所以，，成等差数列，则，解得d=2，所以a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，则，所以数列为等差数列，所以a n=2n﹣1；=2n+1，，（2）由（1）可得a n+1所以，设数列{b n}的前n 项和为T n，则T n=b1+b2+…+b n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．22．（12分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，其中a1=1，且．（1）求常数λ的值，并写出{a n}的通项公式；（2）记，数列{b n}的前n项和为T n，若对任意的n≥k（k∈N*），都有，求常数k的最小值．【分析】（1）由已知求出a2，a3，再由等差数列的性质列式求得λ，进一步得到公差，则等差数列的通项公式可求；（2）把{a n}的通项公式代入，利用错位相减法求数列{b n}的前n项和为T n，构造函数，由其单调性求解．【解答】解：（1）由a1=1，及，得，．∵{a n}是等差数列，∴，即，∴a2=2，公差d=1，∴a n=n；（2）由（1）知a n=n ，∴，有，①，②①﹣②得，∴．要使，即．记，则．∵，∴d n+1＜d n．又，，∴当n≥4 时，恒有d n＜1．故存在k min=4 时，对任意的n≥k ，都有成立．【点评】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题．第21页（共21页）。

广东省佛山一中2016-2017学年高一下学期期中考试数学试卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 数列23, 45，67, 89……的第10项是（ ）A ．1617B ．1819C ．2021D ．22232．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425 3、已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7 4．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶12∶14，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5. 已知 a 1，a 2∈ 0,1 ，记 M =a 1a 2，N =a 1+a 2−1，则 M 与 N 的大小关系是 A. M <NB. M >NC. M =ND. 不确定6．已知6,3a b →→==，12a b →→∙=-，则向量a →在向量b →方向上的投影为( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 7.已知，则 （ ） A ．B ．C ．D ．8. 在边长为1的正中，是边的两个三等分点（靠近点），则等于 （ ） A ．B ．C ．D ．9．2cos10cos70cos 20-的值是（ ）A ．B D π3cos 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2x =725725-18251625-ABC ∆,D E BC D B AD AE⋅ 16291318131210．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32 B.22 C.12 D ．－1211. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 017＝（ ）A ．1B ．2017C ．2008D ．4034 12．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332 C.3＋62 D.3＋394二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知二次函数 y =x 2+bx +c 的图象与 x 轴相交于 1,0 与 3,0 两点，求不等式x 2+bx +c >0 的解集 ．14．已知平面向量(,m 1),a m →=-(1,2),b →=且,a b →→⊥则m = ．15．计算tan10tan 50tan120tan10tan 50++= . 16．已知2()cos(),()(1),n f n n n a f n f n π==++则123100......a a a a ++++= ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）如图，已知△OCB 中，A 是BC 边的中点，D 是OB 边上靠近点B 的三等分点，DC 与OA 相交于点E ，DE ：DC =2：5，设=，=（1）用，表示向量；（2）若，求实数λ的值．18. (本题满分12分)已知锐角三角形ABC 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、2sin .b A = （1）求B 的大小；（2）若227,a c += 且三角形ABC ，求b 的值。