函数的性质及求表达式

高中数学函数性质函数是高中数学的重点难点，也是基础。

你都掌握了函数的基本知识点吗?接下来店铺为你整理了高中数学函数性质，一起来看看吧。

高中数学函数性质一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

大学函数重要知识点总结一、函数的定义和性质1. 函数的定义函数是一个从一个集合到另一个集合的映射关系，通常表示为f: X -> Y，其中X为定义域，Y为值域。

2. 函数的性质（1）定义域和值域：函数的定义域是所有定义在函数上的自变量的集合，值域是所有函数值的集合。

（2）单值性：每个自变量对应唯一的函数值。

（3）奇偶性：奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

（4）周期性：如果存在正数T，使得f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。

（5）上下界：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值都在一个范围内，则称函数有上下界。

（6）单调性：如果在一定的定义域内，函数f(x)的值随着自变量x的增大而增大（或减小），则称函数具有单调性。

二、基本初等函数1. 常数函数常数函数的表达式为f(x)=C，C为常数。

2. 一次函数一次函数的表达式为f(x)=kx+b，k为斜率，b为截距。

3. 幂函数幂函数的表达式为f(x)=x^a，a为实数。

4. 指数函数指数函数的表达式为f(x)=a^x，a为正实数且不等于1。

5. 对数函数对数函数的表达式为f(x)=log_a(x)，a为正实数且不等于1。

包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数。

三、函数的运算1. 基本初等函数的四则运算（1）加法和减法：f(x)=g(x)±h(x)（2）乘法：f(x)=g(x)·h(x)（3）除法： f(x)=g(x)/h(x)，其中h(x)≠02. 复合函数如果存在函数u(x)和v(x)，则复合函数为：f(x)=u(v(x))。

3. 反函数如果两个函数f和g满足f(g(x))=x和g(f(x))=x，那么f和g互为反函数，且g=f^-1。

4. 函数的求导对函数进行求导可以得到函数的导数，导数表示函数在某一点的变化速度。

5. 函数的积分对函数进行积分可以得到函数的不定积分和定积分，不定积分是函数的原函数，定积分表示函数在一定范围内的面积或体积。

幂函数和指数函数的方程和不等式幂函数和指数函数是高中数学中常见的两类函数，它们在解方程和不等式问题中有着重要的应用。

本文将介绍幂函数和指数函数的基本性质，并探讨如何解幂函数和指数函数的方程和不等式。

一、幂函数的方程和不等式解法1. 幂函数的定义和性质幂函数的一般形式为f(x) = ax^b，其中a和b为常数，且a≠0。

幂函数的定义域是所有正实数和0。

当b为正数时，幂函数是递增函数；当b为负数时，幂函数是递减函数；当b=0时，幂函数为常数函数。

2. 解幂函数的方程对于幂函数的方程f(x) = ax^b = c，可以通过以下步骤解出x的值：a) 将幂函数的表达式转化为指数形式：ax^b = c ==> x^b = c/a；b) 对等式两边取底数为x的对数，得到b*logx = log(c/a)；c) 解出x的值：x = (c/a)^(1/b)。

3. 解幂函数的不等式对于幂函数的不等式f(x) = ax^b ≤ c或ax^b ≥ c，可以通过以下步骤解出x的取值范围：a) 将不等式转化为等式，得到ax^b = c；b) 根据前面介绍的求解方程的方法，解出x的值；c) 根据幂函数的性质，确定不等式的符号：当b为正数时，≤变为≥，≥变为≤；当b为负数时，≤变为≤，≥变为≥。

二、指数函数的方程和不等式解法1. 指数函数的定义和性质指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。

指数函数的定义域是所有实数。

2. 解指数函数的方程对于指数函数的方程f(x) = a^x = c，可以通过以下步骤解出x的值：a) 将指数函数的表达式转化为对数形式：a^x = c ==> x = loga(c)。

3. 解指数函数的不等式对于指数函数的不等式f(x) = a^x ≤ c或a^x ≥ c，可以通过以下步骤解出x的取值范围：a) 将不等式转化为等式，得到a^x = c；b) 根据前面介绍的求解方程的方法，解出x的值；c) 根据指数函数的性质，确定不等式的符号：当a大于1时，≤变为≥，≥变为≤；当0<a<1时，≤变为≤，≥变为≥。

函数的概念性质及应用函数是数学中的一个概念，是一种特殊的关联关系。

函数将一个输入值映射为一个唯一的输出值。

函数可以看作是一种“变换”，它接受一个输入，并生成一个对应的输出。

在数学中，通常用字母表示函数，例如f(x)，其中x表示输入，f(x)表示输出。

函数可以写成显式的表达式形式，例如f(x) = 2x + 1，表示函数f将输入值x乘以2再加1作为输出值。

函数也可以以图形的形式表示，可以用来描述输入和输出之间的关系。

函数具有一些重要的性质。

首先，函数必须满足“单射性”，即每个输入值必须对应一个唯一的输出值。

换句话说，一个输入不能对应多个输出。

其次，函数还必须满足“满射性”，即每个输出值都必须有一个对应的输入值。

最后，函数还必须满足“映射性”，即每个输入值都必须有一个对应的输出值。

函数可以有不同的类型，例如数学中常见的一些函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

不同类型的函数具有不同的性质和特点。

例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线等。

函数的类型可以根据函数的表达式或者图像进行判断。

函数在各个领域都有广泛的应用。

数学中的函数用于建立数学模型，描述实际问题中的关系。

物理学中的函数用于描述物体在空间中的运动和变化。

经济学中的函数用于描述市场供求关系和经济增长模型。

计算机科学中的函数用于设计算法和编程。

函数还在统计学、社会学、生物学等多个领域有重要的应用。

函数有多种应用方式。

一种常见的应用是函数的求解和分析。

通过对函数的性质和特点进行分析，可以推导出函数的性质和结论。

例如，可以通过求导数来求解函数的极值点，通过求积分来计算函数的面积或体积等。

另一种应用是函数的建模。

通过观察现象和数据，可以建立数学模型来描述现象的变化规律。

例如，可以使用线性回归模型来预测房价，使用指数模型来描述人口增长等。

这些模型都是通过函数来描述变量之间的关系和趋势。

函数还可以用于优化问题。

例如，在工程设计中，可以使用函数来描述设计目标和约束条件，然后通过优化算法来求解最优解。

函数常用公式及知识点总结一、基本的函数类型及其表达式1. 线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b是常数，k代表斜率，b代表截距。

线性函数的图像通常是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线和y轴的交点位置。

2. 二次函数二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数。

二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。

3. 指数函数指数函数的一般形式是y = a^x，其中a是底数。

指数函数的特点是以指数形式增长或衰减，当底数a大于1时，函数图像呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像呈现衰减趋势。

4. 对数函数对数函数的一般形式是y = log_a(x)，其中a是底数。

对数函数和指数函数是互为反函数的关系，对数函数的图像通常是一条斜率逐渐趋近于零的曲线。

5. 三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示了角的正弦值、余弦值和正切值。

三角函数的图像是周期性的波形，具有很强的周期性和对称性特点。

二、函数的常见性质和变换1. 奇偶性函数的奇偶性是指当x取相反数时，函数值是否相等。

如果函数满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。

2. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。

对于三角函数和指数函数等周期函数，周期可以通过函数表达式或图像来确定。

3. 平移、缩放和翻转函数可以通过平移、缩放和翻转等方式进行变换。

平移指的是将函数图像沿着x轴或y轴进行平移，缩放指的是改变函数图像的大小或形状，翻转指的是将函数图像进行对称变换。

4. 复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，通过这种方式可以得到新的函数。

复合函数的求导、积分和求极限等运算与单个函数类似，但需要注意变量的替换和链式求导法则。

多项式函数的性质与计算多项式函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际问题中都得到广泛应用。

本文将介绍多项式函数的性质以及如何进行计算。

一、多项式函数的定义与性质多项式函数是指由常数和变量的幂次和乘积所构成的函数。

通常用P(x)表示，其中P代表多项式函数，x代表自变量。

多项式函数的一般形式可以表示为：P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，称为多项式的次数。

多项式函数的次数越高，其图象通常会更为复杂。

多项式函数具有以下几个重要的性质：1. 多项式函数的次数决定了其图象的形状。

当n为奇数时，函数图象呈现出一个左右对称的形状；当n为偶数时，函数图象呈现出一个关于y轴对称的形状。

2. 多项式函数的最高次项系数an决定了函数图象的开口方向。

当an为正数时，函数图象开口向上；当an为负数时，函数图象开口向下。

3. 多项式函数的零点是指使函数取值为0的自变量取值。

多项式函数的零点个数不会超过其次数n。

二、多项式函数的计算计算多项式函数涉及到求函数值、求零点和求导等操作。

下面将分别介绍这些计算方法。

1. 求函数值：给定自变量x的值，可以通过将x代入多项式函数的表达式中，计算得到函数的值P(x)。

2. 求零点：求零点是指找到满足P(x) = 0的自变量取值。

对于次数较低的多项式函数，可以通过因式分解的方法求得零点。

对于次数较高的多项式函数，通常需要使用数值方法（如二分法、牛顿迭代法等）进行求解。

3. 求导：求导是指计算多项式函数的导函数。

对于n次多项式函数P(x)，其导函数P'(x)的次数为n-1，且系数与原多项式相应系数的乘积满足关系an' = nan，其中an'为导函数的最高次项系数，an为原多项式的最高次项系数。

求导的过程中，根据多项式函数的求导规则可得，各项的幂次减一，并与相应的系数相乘。

二次函数表达式、性质及其应用
1、二次函数表达式
①一般式：y=ax 2+bx+c(a≠0,a、b 、c 为常数)。

②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,h、k 为常数)；
③二交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0)（适用于抛物线与x 轴有交点的情形）。

3、经典题例
如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图像与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且0<x 1<1, 1<x 2<2与y 轴交于点（0,2）
下列结论
①2a+b>-1 ②3a+b>0 ③a+b<-2 ④a>0 ⑤a-b<0 ⑥8a-b 2<0,其中正确的是①②③④⑥
〖解析〗：对于二次函数图像判断结论，我们一般总结出一句话：一口，二轴，三顶点，交点之后再增减。

由此可判断：
①a>0
②–b/2a>0,b<0
③顶点（-b/2a,(4ac-b2)/4a）
④b2-4ac>0,c=2,代入后得到b2-8a>0
⑤a+b+c<0,故而a+b+2<0
4a+2b+c>0,故而4a+2b+2>0，即2a+b+1>0
由以上两式可以推出3a+b>0
另外，这一题，也可以运用特值法，如x1=0.5, x2=1.5,通过交点解析式代入求得a 和b的值，从而判断各选项。

⾼中数学：函数的基本性质⼀、知识点1、函数（1）了解构成函数的要素，会求⼀些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的⽅法（如图象法、列表法、解析法）表⽰函数．（3）了解简单的分段函数，并能简单应⽤．（4）理解函数的单调性、最⼤（⼩）值及其⼏何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．（5）会运⽤函数图象理解和研究函数的性质．2、指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景．（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．（3）理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．（4）知道指数函数是⼀类重要的函数模型．3、对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道⽤换底公式能将⼀般对数转化成⾃然对数或常⽤对数；了解对数在简化运算中的作⽤．（2）理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点。

（3）知道对数函数是⼀类重要的函数模型．（4）了解指数函数与对数函数互为反函数．4、幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数的图象，了解它们的变化情况．5、函数与⽅程（1）结合⼆次函数的图象，了解函数的零点与⽅程根的联系，判断⼀元⼆次⽅程根的存在性及根的个数．（2）根据具体函数的图象，能够⽤⼆分法求相应⽅程的近似解．6、函数模型及其应⽤（1）指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．（2）函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）在社会⽣活中普遍使⽤的函数模型）的⼴泛应⽤．⼆、点拨：1、关于映射和函数的基本概念在应⽤时应注意把重点放在它们的⼏个要素上，从定义⼊⼿，其规律⽅法是：（1）映射的定义是有⽅向性的，即从集合A到B与从集合B到A的映射是两个不同的映射，映射是⼀种特殊对应关系，只有⼀对⼀、多对⼀的对应才是映射。

（2）函数的定义有两种形式，都描述了定义域、值域和从定义域到值域的对应法则。

求函数解析式常用的方法函数的解析式是指能够描述函数关系的数学表达式。

常见的函数解析式有多种求法，下面介绍几种常用的方法。

一、通过已知的函数图像求函数的解析式：1.方程法：已知函数的图像，可以通过观察图像上的点与坐标轴的交点，列方程来求解。

例如，已知函数图像上点(1,3)和(2,5)，可以列出方程f(1)=3和f(2)=5，然后通过解方程组的方法求得函数解析式。

2.函数平移法：已知函数图像上的一些平移属性，可以通过对已知函数进行平移操作得到所求函数的解析式。

例如，已知函数f(x)在原坐标系上的图像向左平移2个单位，可以得到函数f(x+2)。

3.倒推法：已知函数的图像为已知函数的变换之一，可以从已知函数推导出所求函数的解析式。

例如，已知函数f(x)的图像是函数g(x)的图像上关于y轴对称得到的，可以通过对函数f(x)进行关于y轴对称操作得到函数g(x)的解析式。

二、通过已知函数求函数的解析式：1.基本函数的组合：常见的基本函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

可以通过将基本函数进行合理的组合和变换，来构建所求函数的解析式。

2.反函数法：已知函数的反函数，可以通过对已知函数的自变量和因变量进行互换得到所求函数的解析式。

例如，已知函数f(x)的反函数是g(x)，则所求函数的解析式为f(y)=x。

3.极限法：当函数的极限存在时，可以通过极限的概念推导所求函数的解析式。

例如，已知函数的极限为一些常数，可以通过求出极限值来得到所求函数的解析式。

三、通过函数的性质求函数的解析式：1.函数的奇偶性：如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中不含有$x^2$的项；如果一个函数是偶函数，那么它的解析式中不含有$x$的项。

2.函数的周期性：如果一个函数是周期函数，那么它的解析式中必定含有正弦或余弦等与周期函数相关的函数。

3.函数的导数与微分：通过求函数的导数和微分，可以得到函数所满足的微分方程，然后进一步求解微分方程从而得到函数的解析式。