下载文档原格式
高二数学线性规划练习题线性规划是数学中的一个重要分支，它在资源分配、生产计划、经济分析等领域有着广泛的应用。
对于高二学生来说，掌握线性规划的基本概念和解题技巧是非常必要的。
以下是一些线性规划的练习题，供同学们练习：练习题1：某工厂生产两种产品A和B，每生产一件产品A需要2小时的机器时间和1小时的人工时间，每生产一件产品B需要1小时的机器时间和3小时的人工时间。
工厂每天有10小时的机器时间和15小时的人工时间可供使用。
如果生产一件产品A的利润是5元，生产一件产品B的利润是6元，问如何安排生产计划以使利润最大化？解答提示：1. 设x为生产产品A的数量，y为生产产品B的数量。
2. 根据题目条件列出两个不等式：2x + y ≤ 10（机器时间限制）和x + 3y ≤ 15（人工时间限制）。
3. 确定可行域，即满足上述两个不等式的x和y的取值范围。
4. 计算目标函数Z = 5x + 6y在可行域边界上的值，找到最大值。
练习题2：某农场主有600平方米的土地，计划种植小麦和玉米。
每平方米小麦的收益是20元，每平方米玉米的收益是30元。
如果农场主希望种植小麦的收益至少是玉米收益的2倍，如何分配土地以使总收益最大化？解答提示：1. 设小麦种植面积为x平方米，玉米种植面积为y平方米。
2. 根据题目条件列出不等式：x + y = 600（土地面积限制）和20x≥ 2 * 30y（收益限制）。
3. 确定可行域，即满足上述不等式的x和y的取值范围。
4. 计算目标函数Z = 20x + 30y在可行域边界上的值，找到最大值。
练习题3：一家公司需要生产两种产品，产品1和产品2。
生产产品1需要4小时的机器时间和2小时的人工时间，生产产品2需要3小时的机器时间和1小时的人工时间。
公司每天有24小时的机器时间和12小时的人工时间。
如果产品1的利润是每件100元，产品2的利润是每件150元，如何安排生产计划以使利润最大化？解答提示：1. 设产品1生产数量为x，产品2生产数量为y。
高二数学线性规划试题答案及解析1.已知满足不等式组,使目标函数取得最小值的解（x，y）有无穷多个，则m的值是A．2B．-2C．D．【答案】D【解析】画出可行域，目标函数z=mx+y，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数中系数必为负，最小值应在边界3x-2y+1=0上取到，即mx+y=0应与直线3x-2y+1=0平行，进而计算可得m值．【考点】线性规划2.设变量满足不等式组，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】,令，则求函数的最小值；表示到距离的平方，直线和直线的交点到原点的距离最近，；直线和直线的交点到原点距离最远，，在恒成立，当，.【考点】函数的最值和导数.3.已知△ABC的顶点A（3，0），B（0，1），C（1，1），P（x，y）在△ABC内部（包括边界），若目标函数z=（a≠0）取得最大值时的最优解有无穷多组，则点（a，b）的轨迹可能是（）【答案】A【解析】由线性规划问题的求解可知这三个值中有两个相等且为最大值，因为a≠0，所以，若，则（a≠0）；若，则（a≠0），所以答案为A.【考点】线性规划的最优解4.若x,y满足则的最大值为 .【答案】-2【解析】作出不等式所表示的平面区域：，由此可知x+y在点P（2，2）处取得最小值为4，又因为函数在（0，）上是减函数，所以C=，故应填MAX入-2．【考点】１．线性规划；２．对数函数的单调性．5.已知区域的面积为，点集在坐标系中对应区域的面积为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直线与直线相较于点，直线与直线相交于，由于点集在坐标系中对应区域的面积为，因此过的中点，，解得【考点】线性规划的应用.6.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最大值为．【答案】5【解析】约束条件表示一个三角形ABC及其内部，其中因此直线过点时，目标函数z＝2x＋y取最大值为5.【考点】线性规划7.已知实数x，y满足，如目标函数z＝x－y最小值的取值范围为[－2，－1]，则实数m的取值范围．【答案】.【解析】如图画出线性约束条件表示的可行域，则可知，直线与直线的交点即是使取得最小值的点，易得交点坐标为，故由题意的最小值的取值范围在，可得，即实数的取值范围是【考点】线性规划.8.设变量满足约束条件，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作不等式组所表示的可行域如下图所示作直线，则为直线在轴上的截距加2，联立与，解得，，即点，当直线经过可行域内上的点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即，故选A.【考点】简单的线性规划问题.9.若原点O和点在直线x+y=a的两侧，则实数a的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】将直线直线变形为直线。
高二数学线性规划试题答案及解析1.已知△ABC的顶点A（3，0），B（0，1），C（1，1），P（x，y）在△ABC内部（包括边界），若目标函数z=（a≠0）取得最大值时的最优解有无穷多组，则点（a，b）的轨迹可能是（）【答案】A【解析】由线性规划问题的求解可知这三个值中有两个相等且为最大值，因为a≠0，所以，若，则（a≠0）；若，则（a≠0），所以答案为A.【考点】线性规划的最优解2.已知O为坐标原点，点A（1,0），若点M（x,y）为平面区域内的一个动点，则的最小值为( ).A．3B．C．D．【答案】C【解析】作出可行域如图所示，表示到的距离；由图可知，所求最小值即是点B到直线的距离.【考点】二元一次不等式组与平面区域、平面向量的模长.3.在平面直角坐标系中，若点在直线的上方（不含边界），则实数a的取值范围是．【答案】【解析】由题意得：当时，，即【考点】不等式表示区域4.实数x，y满足，则的最小值为3，则实数b的值为（）A．B．—C．D．—【答案】C【解析】试题分析:当时，根据约束条件画出可行域，可知在直线与的交点处取到最小值，则，解得，同理可得当时，b的值不存在。
【考点】（1）根据线性约束条件求目标函数的最值；（2）分类讨论思想的应用。
5.若实数满足条件，则的最大值为【答案】4【解析】满足条件的线性规划如图阴影所示：当经过时，能取到最大值4.【考点】不等式的应用、最值问题.6.若原点O和点在直线x+y=a的两侧，则实数a的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】将直线直线变形为直线。
因为两点在直线两侧，则将两点代入所得符号相反，即，解得。
故B正确。
【考点】二元一次不等式表示平面区域。
7.已知实数x，y满足，则的最小值是 .【答案】2【解析】线性不等式组表示的可行域如图：，，。
表示点与可行域内的点间的距离的平方。
，点到直线的距离为，因为，所以。
【考点】线性规划。
8.已知点满足条件，则的最小值为（）A．B．C．-D．【答案】B【解析】满足约束条件的点的可行域，如图所示由图可知，目标函数在点处取得最小值，故选B.【考点】线性规划问题.9.设变量、满足约束条件，则的最大值为________．【答案】18【解析】解：变量x，y满足约束条件，表示的可行域为如图，所以z=4x+6y的最大值就是经过M即2x-y="2," x-y=-1的交点（3，4）时，所以最大值为：3×2+4×3=18．故答案为：18．【考点】线性规划点评：本题考查线性规划的应用，正确作出约束条件的可行域是解题的关键．10.若为不等式组表示的平面区域，当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出可行域，如图，可知则直线扫过的面积为三角形面积的差得到，即为S=,故选A.【考点】线性规划问题点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解11.若满足约束条件，则目标函数的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】满足约束条件的平面区域如下图所示：由图易得，当x=2，y=-1时，目标函数z=2x+y的最大值为3，故选D【考点】本题考查了简单的线性规划点评：解此类问题的关键是画出满足约束条件的可行域，属于基础题12.(本小题满分12分)已知x,y满足条件求: (1)4x-3y的最大值(2)x2+y2的最大值(3)的最小值【答案】（1）最大值为13（2）最大值为37（3）最小值为-9【解析】解：x,y满足条件根据不等式组表示的区域可知，当目标函数过点（4，1）时目标函数的截距最大且为13，故可知)4x-3y的最大值为13。
线性规划基础知识：一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二：积储知识：一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=02. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<03. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>02.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
3．3.2 简单的线性规划问题 （微试卷参考答案）【知识梳理】 名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解(x ，y )可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【基础过关】1.若实数x ,y 满足{x -y +1≥0,x +y ≥0,x ≤0,若z=x+2y ,则z 的最大值为( )A.1B.2C.3D.4答案:B解析:作出不等式组对应的平面区域,由z=x+2y ,得y=-12x+z 2,平移直线y=-12x+z 2,由图象可知当直线经过点A (0,1)时,直线y=-12x+z 2的截距最大,此时z 最大,代入目标函数得z=2.故选B .2.设变量x ,y 满足约束条件{3x +y -6≥0,x -y -2≤0,y -3≤0,则目标函数z=y-2x 的最小值为( )A .-7B .-4C .1D .2答案:A解析:作约束条件{3x +y -6≥0,x -y -2≤0,y -3≤0所表示的可行域,如图所示,z=y-2x 可化为y=2x+z ,z 表示直线在y 轴上的截距,截距越大z 越大,作直线l 0:y=2x ,平移l 0,当l 0过点A (5,3)时,z 取最小值,且为-7,选A .3.若变量x ,y 满足约束条件{y ≤1,x +y ≥0,x -y -2≤0,则z=x-2y 的最大值为 .答案:3解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由z=x-2y ,得y=x 2−z 2,当直线y=x 2−z 2在y 轴上的截距最小时,z 取得最大值.由图知,当直线通过点A 时,在y 轴上的截距最小,由{x +y =0,x -y -2=0,解得A (1,-1).所以z max =1-2×(-1)=3.4.已知变量x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=x+y-2的最大值为 . 答案:1解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,由图知,目标函数z=x+y-2在点A 处取最大值.又A (1,2),∴z max =1+2-2=1.【能力提升】1.设z=2y-2x+4,式中x ,y 满足{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,则z 的最大值为最小值为 .答案: 8 , 4.解析:作出满足条件{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1的可行域如图:作直线l :2y-2x=t ,当l 过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8.当l 过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4.所以,z 的最大值为8,最小值为4.2.已知x ,y 满足条件{x ≥0,y ≤x ,2x +y +k ≤0(k 为常数),若目标函数z=x+3y 的最大值为8,则k=( )A.-16B.-6C.-83D.6答案:B解析:由z=x+3y 得y=-13x+z 3.先作出{x ≥0,y ≤x 的图象,因为目标函数z=x+3y 的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x 的交点为C ,解得C (2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B .3.若A 为不等式组{x ≤0,y ≥0,y -x ≤2表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A 中的那部分区域的面积为( )A.34B.1C.74D.2答案:C解析:如图所示,区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形,当a 从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域.S 四边形ODEC =S △OBC -S △BDE =2-1=7.。
4.2简单线性规划一、非标准1.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-2y的最小值为()A.-5B.-4C.-2D.3解析:由约束条件可得可行域:对于目标函数z=3x-2y,可化为y=x-z,要使z取最小值,可知过点A时取得.由即A(0,2),所以z=3×0-2×2=-4.答案:B2.设变量x,y满足约束条件则z=x-3y的最小值为()A.-2B.-4C.-6D.-8解析:作出可行域.令z=0,则l0:x-3y=0,平移l0在点M(-2,2)处z取到最小,最小值为-8.答案:D3.已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=的最大值为()A.4B.3C.4D.3解析:画出可行域,而z=x+y,∴y=-x+z.令l0:y=-x,将l0平移到过点(,2)时,截距z有最大值,故z max=+2=4.答案:C4.已知x,y满足则点P(x,y)到直线x+y=-2的距离的最小值为()A. B.2C. D.解析:不等式组所表示的可行域如图阴影部分.其中点P(1,1)到直线的距离最短,其最小值为=2,故选B.答案:B5.若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.解析:由y=|x-1|=及y=2画出可行域如图阴影部分.令2x-y=z,则y=2x-z,画直线l0:y=2x并平移到过点A(-1,2)的直线l,此时-z最大,即z最小=2×(-1)-2=-4.答案:-46.若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为.解析:根据得可行域如图,根据z=x+2y得y=-,平移直线y=-,在M点z取得最小值.由此时z min=4+2×(-5)=-6.答案:-67.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值为.解析:上述不等式组所表示的可行域如图阴影部分.令t=x+2y,则当直线y=-x+t经过原点O(0,0)时,t取最小值,也即t有最小值为0,则z=3x+2y有最小值为30=1.答案:18.如果实数x,y满足不等式组则(x+2)2+(y+1)2的最小值为.解析:画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分.表示可行域内的点D(x,y)与定点M(-2,-1)间的距离.显然当点P在点A(1,2)时|PM|最小,这时|PM|=3,故(x+2)2+(y+1)2的最小值是18.答案:189.求z=5x-8y的最大值,使式中的x,y满足约束条件解:作出满足不等式组的可行域,如图阴影部分.作直线l0:5x-8y=0,平移直线l0,由图可知,当平移到直线经过A点时,z取最大值.解方程组得A(6,0),所以z max=5×6-8×0=30.10.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.解:如图所示,令a=x,b=y,z=9a-b,即已知-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,求z=9x-y的取值范围,画出不等式表示的可行域如图阴影部分.由z=9x-y,得y=9x-z,当直线过点A时z取最大值,当直线过点B时z取最小值.由得A(3,7),由得B(0,1),即z max=9×3-7=20,z min=-1,所以9a-b的取值范围是[-1,20].。
高二数学线性规划试题答案及解析1.设实数x、y满足，则的最大值是_____________．【答案】9【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线由图象，可知当直线经过点时的截距最大，此时最大．代入得即目标函数的最大值为9．【考点】简单的线性规划2.已知变量满足则的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】先作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示，设，则相当于直线的纵截距，要使最小，则须直线的纵截距最小，当直线经过点时，纵截距取得最小值，此时，选C.【考点】线性规划.3.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A．14B．11C．12D．10【答案】B【解析】因为可行域表示三角形,因此当目标函数过点时，取到最大值11【考点】线性规划求最值4.若实数满足条件，则的最大值为【答案】4【解析】满足条件的线性规划如图阴影所示：当经过时，能取到最大值4.【考点】不等式的应用、最值问题.5.已知表示的平面区域包含点和，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得。
故B正确。
【考点】1不等式表示平面区域；2绝对值不等式。
6.设变量满足约束条件，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作不等式组所表示的可行域如下图所示作直线，则为直线在轴上的截距加2，联立与，解得，，即点，当直线经过可行域内上的点时，直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即，故选A【考点】简单的线性规划问题.7.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为，则实数的值是 .【答案】2【解析】等价于，即直线的下方和直线的上方，而与直线围成三角形区域，当时，不等式组表示的平面区域的面积为.【考点】不等式中的线性规划问题.8.某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少?【答案】甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124吨【解析】先由线性约束条件作出可行域,再由目标函数得出最优解.试题解析：设该厂每天安排生产甲产品x吨，乙产品y吨，则日产值，（1分）线性约束条件为. （3分）作出可行域. （7分）把变形为一组平行直线系，由图可知，当直线经过可行域上的点M时，截距最大，即z取最大值.解方程组，得交点，（12分）. （13分）所以，该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124吨（14分）【考点】线性规划问题.9.设x,y满足约束条件,则z=2x-3y的最小值是【答案】【解析】先作出约束条件的可行域,将目标函数转化为,在坐标系中作出函数的图像,考虑到函数中的系数为负号,所以将函数的图像在可行域范围内向上平移,直到可行域的最上顶点A,并求出A点坐标,将其代入目标函数即可求出的最小值(如下图所示).【考点】线性规划问题.10.不等式组表示的平面区域是（）A．矩形B．三角形C．直角梯形D．等腰梯形【答案】D【解析】依题意可得：或，通过作图可得平面区域是一个等腰梯形.故选D.该题型知识点不难，但要细心，标清楚每个不等式所标示的区域是关键.【考点】线性规划问题.11.若实数满足则的最大值为；【答案】9【解析】先在平面直角坐标系中画出实数的可行解范围，将目标函数化为，在直角坐标系中作出函数的图像，考虑到前的符号是“”，所以将函数的图像向上平移至可行解范围的最上顶点，此时函数的图像在轴上的截距为所求的最大值（另解：可将可行解范围的最上顶点的坐标代入目标函数可得解）.如下图所示.【考点】简单线性规划问题.12.若不等式组,所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】不等式组所表示的平面区域为所包围的阴影部分（包括边界），如图所示：因为直线把可行域分成面积相等的两部分，所以直线一定过线段BC的中点D，由B,C,可求出D，代入，得.故选A.【考点】简单的线性规划问题13.已知，，若，则．【答案】【解析】M集合中的元素是半圆上的点（扣除的直径的端点）.N集合中元素是平行于y=x的直线.因为两个集合有公共的元素，即两图形有交点，如图所示：直线AB和直线DE是两条临界的直线。
高中数学线性规划练习题及讲解线性规划是高中数学中的一个重要概念，它涉及到资源的最优分配问题。
以下是一些线性规划的练习题，以及对这些题目的简要讲解。
### 练习题1：资源分配问题某工厂生产两种产品A和B，每生产一件产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，每生产一件产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间。
工厂每天有机器时间100小时和人工时间80小时。
如果产品A的利润是每件50元，产品B的利润是每件80元，工厂应该如何安排生产以获得最大利润？### 解题思路：1. 首先，确定目标函数，即利润最大化。
设生产产品A的数量为x，产品B的数量为y。
2. 目标函数为：\( P = 50x + 80y \)。
3. 根据资源限制，列出约束条件：- 机器时间：\( 3x + 2y \leq 100 \)- 人工时间：\( 2x + 4y \leq 80 \)- 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)4. 画出可行域，找到可行域的顶点。
5. 计算每个顶点的目标函数值，选择最大的一个。
### 练习题2：成本最小化问题一家公司需要生产两种产品，产品1和产品2。
产品1的原材料成本是每单位10元，产品2的原材料成本是每单位15元。
公司每月有原材料预算3000元。
如果公司希望生产的产品总价值达到最大，应该如何分配生产？### 解题思路：1. 设产品1生产x单位，产品2生产y单位。
2. 目标函数为产品总价值最大化，但题目要求成本最小化，所以实际上是求成本最小化条件下的产品组合。
3. 约束条件为原材料成本：\( 10x + 15y \leq 3000 \)4. 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)5. 画出可行域，找到顶点。
6. 根据实际情况，可能需要考虑产品1和产品2的市场价格，以确定最大价值。
### 练习题3：运输问题一个农场有三种作物A、B和C，需要运输到三个市场X、Y和Z。
高二寒假作业：不等式、线性规划选用模版：12选4填6答(A3)时间：120满分：152命卷人：程潇锦审核人：考试日期：2018-1-11一、选择题（共12小题）1 （id：173740）.不等式的解集为（）或或2 （id：138399）.设，满足约束条件若目标函数的最大值为，则的最小值为（）∙∙∙∙∙∙∙∙3 （id：53290）.数列是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，则有（）∙∙∙∙∙∙∙与的大小不确定∙4 （id：34030）.满足不等式的点(其中，)共有( ) ∙个∙∙个∙∙个∙∙个∙5 （id：72562）.设实数满足，则的取值范围是( ) ∙∙∙∙∙∙∙∙6 （id：88128）.已知集合，则满足条件的集合的个数为（）∙1∙∙2∙∙4∙∙8∙7 （id：34815）.已知满足则的最小值为( )∙∙∙∙∙∙∙∙8 （id：34057）.已知函数，则不等式的解集是( )∙∙∙∙∙∙∙或∙9 （id：153412）.如果函数在区间上单调递减，那么的最大值为（）∙∙∙∙∙∙∙∙10 （id：72608）.当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是( )∙(－∞，－1]∪[1，＋∞)∙∙∙[－1,1]∙∙∙(－∞，－1)∪(1，＋∞)∙∙∙(－1,1)∙∙11 （id：76569）.已知函数，，若不等式的解集为，若对任意的，存在，使，则实数m 的取值范围是（）∙∙∙∙∙∙∙∙12 （id：158524）.对于实数和，定义运算，若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（）∙∙∙∙∙∙∙∙二、填空题（共4小题）13 （id：155408）.[2011年高考天津卷]已知，则的最小值为__________．14 （id：34285）.设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值是__________．15 （id：35733）.已知满足且目标函数的最小值是，则的最大值为__________．16 （id：76624）.不等式对于任意实数恒成立,则实数的范围是__________.三、简答题（共6小题）17 （id：158570）.已知函数（是常数），且，．（1）求的值；（2）当时，判断的单调性并用定义证明；（3）若不等式成立，求实数的取值范围．18 （id：140531）.已知z=2x-y，式中变量x，y满足约束条件，求z的最大值.19 （id：35492）.已知，当时，；当时，．（1）求的解析式；（2）为何值时，不等式的解集为？20 （id：36139）.物流行业最近几年得到迅猛发展，某货运公司最近接了一批货物，决定采用厢式货车托运甲、乙两种货物，已知某辆箱式货车所装托运货物的总体积不能超过，总质量不能超过．甲、乙两种货物每袋的体积、质量和可获得的利润，列表如下：单位：单位：)求该辆箱式货车各托运这两种货物多少袋时，可获得最大利润？21 （id：35709）.设．(1)求的最大值；(2)证明：对任意实数，恒有．22 （id：33839）.在中，是直角，两直角边和斜边满足条件，试确定实数的取值范围．。
高二数学上册寒假作业1——直线与线性规划（带答案）——直线与线性规划一、填空题：1．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是____ __． 2．不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为___ __．3．两条直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们间的距离为___ __．4．在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是___ __．5．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是___________ ． 6．过点P (1，2)作直线l ，使直线l 与点M (2，3)和点N (4，－5)距离相等，则直线l 的方程为____ ． 7．已知A (4，0)、B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是____ __．8．设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 __．9．一条直线过点P (1，2)且被两条平行直线4x ＋3y ＋1＝0和4x ＋3y ＋6＝0截取的线段长为2，求这条直线的方程 ．10．在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是______．11．已知b ＞0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y ＝0互相垂直，则ab 的最小值等于_____． 12．已知直线l ：Ax +By +C ＝0（A ，B 不全为0），两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，若1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，且1122Ax By C Ax By C ++>++，则正确是_______．①直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 ②直线l 与线段P 2 P 1相交 ③直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 ④直线l 与直线P 2 P 1不相交13．已知定点P (6，4)与直线l 1：y ＝4x ，过点P 的直线l 与l 1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，使△OQM 面积最小的直线l 的方程________________．14．已知△ABC 的两个顶点坐标为B (1，4)、C (6，2)，顶点A 在直线x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为21．则顶点A的坐标为．二、解答题：15．（1）若x，y满足约束条件356023150x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩当且仅当x=y=3时，z=ax-y取得最小值，求实数a的取值范围；（2）已知变量x，y满足约束条件10230x yx y--≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值a2+b2的最小值．16．设直线l1:y=2x与直线l2:x+y=3交于P点．（1）当直线l过P点，且与直线l0：2x+y=0平行时，求直线l的方程；（2）当直线l过P点，且原点O到直线l的距离为1时，求直线l的方程．17．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大．解：如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连结AB′并延长交l于P，此时的P满足P A－PB 的值最大．18．有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根．现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根．问：如何切割可使钢条用量最省？19．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0（a ∈R ）．（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若a ＞－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 对应的方程．20．过点M (2，4)作互相垂直的两条直线12l l ,,直线1l 与x 轴正半轴交于点A ，直线2l 与y 轴正半轴交于点B ．（1）当△AOB 的面积达到最大值时，求四边形AOBM 外接圆方程;（2）若直线AB 将四边形OAMB 分割成面积相等的两部分，求△AOB 的面积．答案 一、填空题： 1．解析：[0，π6]∪[5π6，π) 解析：由直线x cos α＋3y ＋2＝0，所以直线的斜率为k ＝－cos α3．设直线的倾斜角为β，则tan β＝－cos α3，又因为－33≤－cos α3≤33，即－33≤tan β≤33，所以β∈[0，π6]∪ [5π6，π)．2． 13个3． 7104． 45．32y x =-或5x y -=6． 4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0 7． 210 8． 18 9．解析：①当斜率不存在时，直线方程为x ＝1，与两直线交点A (1，－53)，B (1，－103)，∴AB ＝⎪⎪⎪⎪－53－(－103)＝53≠2．∴x ＝1不是所求直线． ②当斜率存在时，设为k ，则所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，它与两已知直线分别联立方程组，求出它与两已知直线的交点坐标分别是A (3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4)，B (3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4)．由AB 2＝(53k ＋4)2＋(5k 3k ＋4)2＝2，得k ＝7或k ＝－17．故所求直线的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0． 10．解析：画出可行域如3所示，当34s ≤<时， 目标函数32z x y =+，(4,24)B s s --处取得最大值， 即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时， 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值，即max 30248z =⨯+⨯=，故[7,8]z ∈，11．解析：由两条直线垂直可得：－b 2＋1a ·1b 2＝－1，解得a ＝b 2＋1b 2， 所以ab ＝b 2＋1b 2·b ＝b 2＋1b ＝b ＋1b ．又因为b ＞0，故b ＋1b ≥2 b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1b ，即b ＝1时取“＝”． 12．解析：由题可知，1122()()0Ax By C Ax By C ++++>，表示两点在直线的同一旁，又因为1122||||Ax By C Ax By C ++>++表示1P 到直线距离大于2P 的距离，所以12P P 直线不会与直线平行，否则2P 的距离小，所以在线段12P P 方向的延长线上会与直线相交，故选③ 13．解析：∵Q 点在l 1：y ＝4x 上，可设Q (x 0，4x 0)，则PQ 的方程为y －44x 0－4＝x －6x 0－6．令y ＝0，得x ＝5x 0x 0－1(x 0＞1)，∴M ⎝⎛⎭⎫5x 0x 0－1，0．∴S △OQM ＝12×5x 0x 0－1×4x 0＝10×x 20x 0－1＝10×⎣⎡⎦⎤(x 0－1)＋1x 0－1＋2≥40．当且仅当x 0－1＝1x 0－1，即x 0＝2时取等号． ∴Q (2，8)．PQ 的方程为：y －48－4＝x －62－6，∴x ＋y －10＝0．14．解析：点C (6，2)到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|6－2＋3|2＝72，因为点A 在直线x －y ＋3＝0上，可以验证点B (1，4)也在直线x －y ＋3＝0上，所以设A (x ，y )．又因为直线x －y ＋3＝0的倾斜角为45°，所以|AB |＝|1－x|cos45°＝2|1－x |，所以三角形面积S ＝12|AB |d ＝12×2|1－x |·72＝21．所以x ＝7或x ＝－5．故A 点坐标为(7，10)或(－5，－2)．二、简答题 15．解析：（1）23,35⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）4．16．解析：由23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得交点P 的坐标为(1，2)．（1）设直线l 的方程为2x +y +C =0(C ≠0)，将点P 的坐标代入上式，求得C =-4， 所以直线l 的方程为2x +y -4=0．（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝1，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设为k ，则直线l 的方程为y －2=k (x －1)，整理得kx －y +2－k =0， 则原点O 到直线l 的距离2211k d k -==+，解得34k =，此时直线l 的方程为3x -4y +5=0． 综上，直线l 的方程为x =1或3x -4y +5=0． 17．设B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即b －4a ·3＝－1．∴a ＋3b －12＝0． ①又由于线段BB ′的中点坐标为(a 2，b ＋42)，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0． ②①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3，3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0．解⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2，5)． 18．解：设按第一种切割方式切割的钢条x 根，按第二种切割方式切割的钢条y 根， 根据题意得约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x ＞0，x ∈N *，y ＞0，y ∈N *，目标函数是z ＝x ＋y ，画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝15，x ＋3y ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3.6，y ＝7.8.此时z ＝11．4，但x ，y ，z 都应当为正整数，所以点(3．6，7．8)不是最优解．经过可行域内的整点且使z 最小的直线是x ＋y ＝12，即z ＝12，满足该约束条件的(x ，y )有两个： (4，8)或(3，9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，均可满足要求． 19．解：（1）当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0， 此时2＋a ＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0； 当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa ＋1＝2＋a ， 解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0． 所以，直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．（2）由直线方程可求得M (2＋a a ＋1，0)、N (0，2＋a )，又因为a ＞－1，故S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12×(a ＋1)2＋2(a ＋1)＋1a ＋1＝12×[(a ＋1)＋1a ＋1＋2]≥12×(2(a ＋1)×1a ＋1＋2)＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0或a ＝－2（舍去）时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0． 20．解：（1）当直线2l 的斜率为0时，12442AOBM S =⨯⨯=四边形；当直线2l 的斜率不为0时，设直线2l 的斜率为k ，则直线2l 的方程为y-4=k (x -2)，令x =0得y =4-2k 直线1l 的方程为14(2)y x k-=--,令y =0得x =2+4k ．此时1(42)(24)2AOB S k k =-+=2464k k -++=21254()24k --+．于是当34k =时，AOB S 取最大值254． 由于2544>，所以当△AOB 面积最大时5(0)2B ,，A (5，0)，四边形AOBM 的外接圆方程为225502x y x y +--=．（2）当直线2l 的斜率为0时，显然直线AB 将四边形OAMB 分割成面积相等的两部分，此时4AOBS =；当直线2l 的斜率不为0时，由（1）得：1(42)(24)2AOBS k k =-+． 11(24)4(42)28622OAM OBMOAMB S SSk k k =+=+⋅+-⋅=+四边形 于是11(42)(24)(86)22k k k -+=+,解得3(04k k ==舍去)．所以△AOB 的面积为254或4．。
