2019届中考数学专题复习相似模型(一)

中考数学专题复习：相似多边形与图形位似一、相似多边形1.两个多边形相似的条件是 ( )A.对应角相等B.对应边成比例C.对应角相等或对应边成比例D.对应角相等且对应边成比例 2.下面图形是相似图形的为 ( )A.所有矩形B.所有正方形C.所有菱形D.所有平行四边形 3.只增加一个条件，使矩形ABCD 与矩形A'B'C'D'相似，这个条件可以是________. 4.若五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，且AB=25cm ，A'B'=20cm ，则五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE 的相似比为________. 5.如图1，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'.(1)α=________；(2)边x ，y 的长度分别为________，________.图16.如图2，取一张长为a ，宽为b 的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a ，b 应满足的条件是( )图2A.a=√2bB.a=2bC.a=2√2bD.a=4b 7.如图3，四边形ABCD∽四边形EFGH ，连接对角线AC ，EG 。

求证：AC EG=AD EH.图38.在AB=20m，AD=30m的矩形花坛四周修筑小路.(1)如果四周的小路的宽均相等，都是xm，如图4∽，那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗?请说明理由；(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为xm，ym，如图∽，那么小路的宽x与y 的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD?图4二、位似图形1.下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是( )图52.如图6，以点O为位似中心，把∽ABC放大为原图形的2倍得到∽A'B'C'，以下说法中错误的是( )图6A.∽ABC∽∽A'B'C'B.点C，O，C'在同一直线上C.AO∽AA'=1∽2D.AB∽A'B'3.如图7，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，位似中心为点O，OC=6，CC'=4，AB=3，则A'B'=________.图74.如图8，∽ABC与∽DEF是位似图形，点B的坐标为(3，0)，则其位似中心的坐标为________.图85.如图9，∽ABC三个顶点的坐标分别为A(-1，3)，B(-1，1)，C(-3，2).(1)请画出∽ABC关于y轴对称的∽A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，将∽A1B1C1放大为原来的2倍，得到∽A2B2C2，请在第三象限内画出∽A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值.图96.如图10，在5×6的方格中，每个小正方形的边长均为1，∽ABC的顶点均为格点，D为AB的中点，以点D为位似中心，位似比为2，将∽ABC放大，得到∽A'B'C'，则BB'等于( )图10A.√52B.√5 C.3√52D.√52或3√527.在平面直角坐标系中，∽ABC和∽A1B1C1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为(2，4)，则其对应点A1的坐标是________.8.如图11，∽ABC与∽A'B'C'是位似图形，点A，B，A'，B'，O共线，点O为位似中心.(1)AC与A'C'平行吗?为什么?(2)若AB=2A'B'，OC'=5，求CC'的长.图119.如图12所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(-1，1)，点C的坐标为(-4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是________.图12参考答案一、相似多边形 1.D2.B [解析] ∽相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∽所有正方形都是相似多边形；∽菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∽所有菱形、所有矩形都不一定是相似图形；∽平行四边形的对应角不一定相等，边不一定对应成比例，∽所有平行四边形不一定是相似图形.3.答案不唯一，如ABA'B' = BCB'C' [解析] ∽矩形的四个角都是直角，∽只要矩形的对应边成比例，则两个矩形相似，∽这个条件可以是ABA'B' = BCB'C'(答案不唯一).4.45 [解析] ∽A'B'AB = 2025 = 45，五边形A'B'C'D'E'∽五边形ABCDE ，∽五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE 的相似比为45. 5.(1)83° (2)12332[解析] (1)∽四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∽∽A'=∽A=62°，∽B'=∽B=75°，∽α=360°-62°-75°-140°=83°.故答案为83°.(2)∽四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∽x 8 = y 11 = 96，解得x=12，y=332.6.B [解析] 对折两次后的小矩形的长为b ，宽为14a.∽小矩形与原矩形相似，∽a b = b14a，∽a=2b.7.证明：∽四边形ABCD∽四边形EFGH ，∽AD EH = CD GH ，∽D=∽H ，∽∽ADC∽∽EHG ，∽ACEG =AD EH.8.解：(1)如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD 不相似.理由：∽四周的小路的宽均为x m ，∽A'D'AD=30+2x 30=15+x 15，A'B'AB=20+2x 20=10+x 10.∽x>0，∽15+x 15≠10+x 10，即A'D'AD ≠ A'B'AB，∽小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD 不相似.(2)A'D'AD =30+2y 30=15+y 15，A'B'AB =20+2x 20=10+x 10.当15+y 15=10+x 10时，小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD ，解得x y =23，∽小路的宽x 与y 的比值为23时，能使得小路四周所围成的矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD. 二、位似图形 1.C2.C [解析] ∽以点O 为位似中心，把∽ABC 放大为原图形的2倍得到∽A'B'C'，∽∽ABC∽∽A'B'C'，点C ，O ，C'在同一直线上，AB∽A'B'，AO∽OA'=1∽2，故选项C 错误.故选C.3.5 [解析] ∽四边形ABCD 与四边形A'B'C'D'位似，其位似中心为点O ，OC=6，CC'=4， ∽AB A'B'=OCOC'=610= 35.∽AB=3，∽A'B'=5.4.(1，0) [解析] 如图，连接各对应点A 与D ，C 与F ，直线AD ，CF 的交点Q 即为位似中心，∽位似中心的坐标为(1，0).5.解：(1)如图所示，∽A 1B 1C 1即为所求.(2)如图所示，∽A 2B 2C 2即为所求.∽将∽A 1B 1C 1放大为原来的2倍得到∽A 2B 2C 2，∽∽A 1B 1C 1∽∽A 2B 2C 2，且位似比为12，∽S △A 1B 1C 1∽S △A 2B 2C 2=14.6.D [解析] 如图.∽AC=1，BC=2，∽AB=√5.∽∽A'B'C'∽∽ABC ，位似比为2，∽ABA'B' = 12， ∽A'B'=2√5，∽BB' = 12(A'B'-AB) =√52.同理可得，BB″=A″B″-A″B=3√52.故选D.7.(4，8)或(-4，-8) [解析] ∽∽ABC 和∽A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，而点A 的坐标为(2，4)，∽点A 的对应点A 1的坐标为(2×2，2×4)或(-2×2，-2×4)，即(4，8)或(-4，-8).8.解：(1)AC∽A'C'.理由如下：∽∽ABC 与∽A'B'C'是位似图形，∽∽ABC∽∽A'B'C'，∽∽A=∽C'A'B'，∽AC∽A'C'.(2)∽∽ABC∽∽A'B'C'，∽ABA'B' = ACA'C'.∽AB=2A'B'，∽ACA'C' =2.∽AC∽A'C'，∽OCOC' = ACA'C' = 2. ∽OC'=5，∽OC=10，∽CC'=OC -OC'=10-5=5. 9.(2，0)或-43，23[解析] 本题分两种情况讨论：∽当两个位似图形在位似中心O'同旁时，位似中心就是直线CF 与x 轴的交点.设直线CF 的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将点C(-4，2)，F(-1，1)的坐标代入，得，解得，∽y=-，，+23.令y=0，得x=2，∽点O'的坐标是(2，0).∽当位似中心O'在两个正方形之间时，可求直线OC 的函数表达式为y=-12x ，直线DE 的函数表达式为y=14x+1，由， 解得，即O'-，，23.故答案为(2，0)或-43，23.。

2019届江西省中考模拟样卷（一）数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 计算﹣5+2的结果是（）A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．72. 2015年12月26日，南昌地铁一号线正式开通试运营．据统计，开通首日全天客流量累积近25万人次，数据25万可用科学记数法表示为（）A．0.25×105 B．2.5×104 C．25×104 D．2.5×1053. 下列各运算中，计算正确的是（）A．=±3 B．2a+3b=5abC．（﹣3ab2）2=9a2b4 D．（a﹣b）2=a2﹣b24. 如图，将一只青花碗放在水平桌面上，它的左视图是（）A． B． C． D．5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，AD是△ABC的一条角平分线，点E，F，G分别在AD，AC，BC上，且四边形CGEF是正方形，则∠DEB的度数为（）A．40° B．45° C．50° D．55°6. 如图，点E是菱形ABCD边上一动点，它沿A→B→C→D的路径移动，设点E经过的路径长为x，△ADE的面积为y，下列图象中能反映y与x函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题7. 因式分【解析】 2m2﹣8n2= ．8. 在庆元旦文体活动中，小东参加了飞镖比赛，共投飞镖五次，投中的环数分别为：5，10，6，x，9．若这组数据的平均数为8，则这组数据的中位数是．9. 若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0有实数根，则m的取值范围是．10. 如图，在△ABC中，AB=4，将△ABC沿射线AB方向平移得到△A′B′C′，连接CC′，若A′C′恰好经过BC边的中点D，则AB′的长度为．11. 如图，这是一组由围棋子摆放而成的有规律的图案，则摆第（n）个图案需要围棋子的枚数是．12. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（3，0），点C在x轴上，且在点B的左侧，若△ABC是等腰三角形，则点C的坐标为．三、解答题13. 化简：14. 如图，AB是圆的直径，弦CD∥AB，AD，BC相交于点E，若AB=6，CD=2，∠AEC=α，求cosα的值．四、计算题15. 计算： +（﹣）﹣1+（2016﹣π）0+|﹣2|五、解答题16. 解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．17. 一只不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球．（1）“其中有1个球是黑球”是事件；（2）求2个球颜色相同的概率．18. 如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．六、计算题19. 某校开展阳光体育活动，要求每名学生从以下球类活动中选择一项参加体育锻炼：A ﹣乒乓球；B﹣足球；C﹣篮球；D﹣羽毛球．学校王老师对八年级某班同学的活动选择情况进行调查统计，绘制了两幅不完整的统计图，如图所示．（1）请你求出该班学生的人数并补全条形统计图；（2）已知该校八年级学生共有500人，学校根据统计调查结果进行预估，按参加项目人数每10人购买一个训练用球的标准，为B，C两个项目统一购买训练用球．经了解，某商场销售的足球比篮球的单价少30元，此时学校共需花费2700元购买足球和篮球．求该商场销售的足球和篮球的单价．七、解答题20. 小华在“科技创新大赛”中制作了一个创意台灯作品，现忽略支管的粗细，得到它的侧面简化结构图如图所示．已知台灯底部支架CD平行于水平面，FE⊥OE，GF⊥EF，台灯上部可绕点O旋转，OE=20cm，EF=20cm．（1）如图1，若将台灯上部绕点O逆时针转动，当点G落在直线CD上时，测量得∠EOG=65°，求FG的长度（结果精确到0.1cm）；（2）将台灯由图1位置旋转到图2的位置，若此时F，O两点所在的直线恰好与CD垂直，求点F在旋转过程中所形成的弧的长度．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.73，可使用科学计算器）21. 如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（1）如图1，当∠ACD=45°时，求证：DE是⊙O的切线；（2）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．22. 一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，且交y轴于点C．已知点A（1，4），点B在第三象限，且点B的横坐标为t（t＜﹣1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）用含t的式子表示k，b；（3）若△AOB的面积为3，求点B的坐标．23. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式．（2）若抛物线的顶点为D，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线AE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由．（3）若点M在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形？若存在，请直接写出所有满足要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．八、判断题24. 如图，在矩形ABCD中，BC=1，∠CBD=60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）求∠DEF的度数；（3）设BE的长为x，△BEF的面积为y．①求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值；②当y为最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

动点构成的相似问题:1、如图正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，线段MN 的两端点分别在CB 、CD 上滑动，且MN=1，当CM 为何值时△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？E NM CB DA2、如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF⊥AE 于F.(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？请说明理由.(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长。

3、如图，△ABC 中，AB=6 cm ，AC=12 cm ，动点D 从点A 出发到点B 止．动点E 从点C出发到点A 止．点D 运动的速度为1 cm ／s ，点E 运动的速度为2 cm ／s ．如果两点同时运动，那么以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时．运动的时间是多少？4、如图，△ABC 中，∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P 从点B 出发以2cm/s 的速度向点C 移动，动点Q 从C 出发以1cm/s 的速度向点A 移动，如果动点P 、Q 同时出发，要使△CPQ 与△CBA 相似，所需要的时间是多少秒？5、已知：Rt△OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P(3，4)为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段PC 把Rt△O AB 分割成两部分．问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB 相似？（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．6、如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR//BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR∽△PRQ？7、如图，直线n x y +-=2(n ＞0)与轴轴、y x 分别交于点B A 、,16=∆OAB S ，抛物线)0(2≠+=a bx ax y 经过点A ，顶点M 在直线n x y +-=2上．（1）求n 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）如果抛物线的对称轴与x 轴交于点N ，那么在对称轴上找一点P ，使得OPN ∆和AMN ∆相似，求点P 的坐标．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如果解关于x 的分式方程2122m x x x -=--时出现增根，那么m 的值为 A ．-2B ．2C ．4D ．-4 2．13的倒数是（ ） A.13B.3C.3-D.13- 3．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(﹣5，0)，对称轴为直线x ＝﹣2，给出四个结论：①abc ＞0；②4a+b ＝0；③若点B(﹣3，y 1)、C(﹣4，y 2)为函数图象上的两点，则y 2＜y 1；④a+b+c ＝0．其中，正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.44．下列命题中，真命题的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形5．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC ＝∠DCE ，则下列结论不正确的是（ ）A ．BF=12DFB ．S △AFD ＝2S △EFBC ．四边形AECD 是等腰梯形 D ．∠AEB ＝∠ADC6．如图，以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点E ，交AD 边于点F ，则sin ∠FCD ＝（ ）A ．34 B ．35 C ．45 D ．7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、BD、OD、OC，若∠ABD ＝15°，且AD∥OC，则∠BOC的度数为( )A.120°B.105°C.100°D.110°8．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝与y轴交于点B1，以OB1为一边在OB1右侧作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于y轴，交直线l于点B2，以A1B2为一边在A1B2右侧作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于y轴，交直线l于点B3，以A2B3为一边在A2B3右侧作等边三角形A3A2B3，……则点A2019的纵坐标是（）A. B. C. D.10．从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）A.12B.13C.14D.1511．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中平时学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（）A．83分B．86分C．87分D．92.4分12．如果方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（）A.34B.35C.45D.34或35二、填空题13．如图，正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，∠ADO＝30°，OA＝2，反比例函y＝kx经过CD的中点M，那么k＝_____．14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有圆材埋壁中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材埋在墙壁中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深1寸（即DE ＝1寸），锯道长1尺（即弦AB ＝1尺），问这块圆形木材的直径是多少？”该问题的答案是_____（注：1尺＝10寸）15．已知不等式组1x x a >⎧⎨<⎩无解，则a 的取值范围是_____． 16．关于x 的一元二次方程2x 2﹣3x+m ＝0有两个相等的实数根，则实数m ＝_____．17．把代数式3244a a a -+分解因式的________________________。

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（1）问题发现如图1，四边形ABCD为矩形，AB=a，BC=b，点P在矩形ABCD的对角线AC上，Rt△PEF的两条直角边PE，PF分别交BC，DC于点M，N，当PM⊥BC，PN⊥CD时， =________（用含a，b的代数式表示）．（2）拓展探究在（1）中，固定点P，使△PEF绕点P旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决如图3，四边形ABCD为正方形，AB=BC=a，点P在对角线AC上，M，N分别在BC，CD 上，PM⊥PN，当AP=nPC时，（n是正实数），直接写出四边形PMCN的面积是________（用含n，a的代数式表示）【答案】（1）（2）解：如图3，过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，则∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°∵Rt△PEF中，∠FPE=90°∴∠GPM=∠HPN∴△PGM∽△PHN∴由PG∥AB，PH∥AD可得， ,∵AB=a，BC=b∴，即 ,∴，故答案为（3）【解析】【解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∵PM⊥BC，∴△PMC∽△ABC∴∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，∴四边形CNPM是矩形，∴CM=PN，∴，故答案为；（ 3 ）∵PM⊥BC，AB⊥BC∴△PMC∽△ABC∴当AP=nPC时（n是正实数），∴PM= a∴四边形PMCN的面积= ，故答案为：．【分析】（1）由题意易得△PMC∽△ABC，可得比例式，由矩形的性质可得CM=PN，则结论可得证；（2）过P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，由辅助线和已知条件易得△PGM∽△PHN，则得比例式，由（1）可得比例式，即比值不变；（3）由（2）的方法可得，则四边形PMCN的面积= .2．如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.（1）球在地面上的影子是什么形状?（2）当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化?（3）若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少?【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.（2）解：当把白炽灯向上平移时,影子会变小.（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，在Rt△OAE中，∴OA= = = (m)，∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，∴△OAH∽△OEA，∴，∴OH= == (m)，又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，∴△OAE∽△AHE，∴ = ，∴AH= ==2625 (m).依题可得：△AHO∽△CFO，∴ AHCF=OHOF ，∴CF= AH⋅OFOH = 2625×32425=64 (m)，∴S影子=π·CF2=π· (64)2 = 38 π=0.375π(m2).答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.3．（1）【发现】如图①，已知等边，将直角三角形的角顶点任意放在边上（点不与点、重合），使两边分别交线段、于点、.①若，，，则 ________；②求证： .________（2）【思考】若将图①中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与、的两个交点、都存在，连接，如图②所示.问点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（3）【探索】如图③，在等腰中，，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中），使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接 .设，则与的周长之比为________（用含的表达式表示）.【答案】（1）解：4；证明：∵∠EDF=60°，∠B=160°∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，又∵∠B=∠C，∴（2）解：解：存在。

中考数学专题复习相似图形【基础知识回顾】一、成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们的比，即：AB CD=2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果ab=那么四条线段叫做同比例线段，简称3、比例的基本性质：ab=cd<＝>4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关即比值没有单位。

】二、相似三角形：1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似⑵两边对应且夹角的两三角形相似⑶两角的两三角形相似⑷三组对应边的比的两三角形相似【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】三、相似多边形：1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形2、性质：⑴相似多边形对应角对应边⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】一、位似：1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于【名师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】【典型例题解析】考点一：比例线段考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．点评：△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．对应训练2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A．512-B．512+C．51-D．51+考点二：相似三角形的性质及其应用例 2 已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为．对应训练2．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为．考点三：相似三角形的判定方法及其应用例3 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= 14BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对考点：相似三角形的判定；正方形的性质．例4（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．对应训练3.如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理．4. 在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：几何综合题．分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC 1A 1的度数；（2）由△ABC ≌△A 1BC 1，易证得△ABA 1∽△CBC 1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC 1的面积；（3）由①当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，即可求得线段EP 1长度的最大值与最小值．解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，∴∠CC 1B=∠C 1CB=45°，..…（2分）∴∠CC 1A 1=∠CC 1B+∠A 1C 1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA=BA 1，BC=BC 1，∠ABC=∠A 1BC 1，∴11BA BA BC BC ，∠ABC+∠ABC 1=∠A 1BC 1+∠ABC 1， ∴∠ABA 1=∠CBC 1，∴△ABA 1∽△CBC 1．∴1122416()()525ABA CBC S AB S BC ===△△， ∵S △ABA1=4，∴S △CBC1=254；（3）①如图1，过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，∵△ABC 为锐角三角形，∴点D 在线段AC 上，在Rt △BCD 中，BD=BC×sin45°=522， 当P 在AC 上运动与AB 垂直的时候，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为：EP 1=BP 1-BE=BD-BE=522-2； ②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为：EP 1=BC+BE=2+5=7．点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．考点四：位似例5 如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 是以AC 的中点O′为中心的位似图形，已知AC=32，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是（ ）A ．16B ．13C ．12D ． 23考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的对应训练5．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A．（2，0）B．（33,)22C．(2,2)D．(2,2)考点：位似变换；坐标与图形性质．【聚焦中考】1．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F 点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A 51-B51+C3D．2考点：相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）．2．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A．（-2，3）B．（2，-3）C．（3，-2）或（-2，3）D．（-2，3）或（2，-3）考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质．3.在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则BFFD的值是（）A．12B．13C．14D．15考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质．4.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组F考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为．考点：位似变换；坐标与图形性质．6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．【备考真题过关】一、选择题1．已知513ba=，则a ba b-+的值是（）A．23B．32C．94D．492．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（）A．2 B．3 C．3D．31+3．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）A10B13C．10D．13考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质．4．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（）A．FG B．FH C．EH D．EF考点：相似图形．5.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL6.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．7.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CBBD CD=D．AD ABAB AC=考点：相似三角形的判定．8．如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．13 考点：相似三角形的判定与性质．9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= 12AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A．17B．16C．15D．14考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．10．（2012•钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点M B．点N C．点O D．点P11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（）A．（2，4）B．（-1，-2）C．（-2，-4）D．（-2，-1）考点：位似变换；坐标与图形性质．二、填空题14.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．15.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为。

备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题1二次函数背景下的动点问题探究【方法综述】动点是常见的综合问题中的构成要件，通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。

动点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无速度动点和有速度动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。

【典例示范】类型一常规单动点问题例(广东省深圳市)己知二次函数+奸3的图象分别与x轴交于点A(3,0),C(-1,0),与y 轴交于点月.点Q为二次函数图象的顶点.(1)如图①所示，求此二次函数的关系式：(2)如图②所示，在x轴上取一动点P(m,0),且过点F作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段.ID..4B于点。

、F.£.求证：EF=EP：(3)在图①中，若R'hy轴上的一个动点，连接.弑，则^BR-AR的最小值(直接写出结果).【答案】(1)尸x*x+3：(2)见解析：(3)气？【解析】解:(1)将A(3.0),C(・L0)代入y=ax2-bx+3.得：(9a+3b+3=0做徂(a=-1(a-h+3=O'解”.I Z>=2'..•此二次函数的关系式为y=-x?+2x+3.(2)证明：Vy=-x1 2 3+2x+3=- (x・l)2+4,..•点D的坐标为(1,4).设线段AB所在直线的函数关系式为y=kx-c(蜉0),将A(3,0),C(0-3)代入y=kx+c.得:件史；°’解得:｛仁；线段AB所在直线的函数关系式为y-x+3.同理，凹得出：线段AD所在直线的函数关系式为『2x46•.•点P的坐标为（皿0）,..•点E的坐标为（in,・m+3）,点F的坐标为（m.-2m+6）.（3）如图，③,连接BC.过点R作RQ1BC.垂足为Q.VOC=1.OB=3.ABC=V1O・（勾股定理）V ZCBO=ZCBO.ZBOC=ZBQR=90°,△BQRs/XAOB,•.竺=竺即栏=要BC OC v^lO1.\rq=^BR.「•AR+普BR=AR+RQ,..•当A,R.Q共线且垂直AB时，即AR-渔R=AQ时，其值最小. V ZACQ=ZBCO t匕BOC=NAQC,「•△CQAs^COB,.••港BRKR的最小值为譬.故答案为:例2：（2019年广西）如图.抛物线）K.2x.3与x轴交于8两点，与），轴交于点G其对称轴与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N,点P是线段MVE的一个动点，连接CF,过点F作PE±CP交x轴于点E.（1）求抛物线的顶点X的坐标：（2）当点E与原点。

相似与位似一、单选题（共12题；共24分）1、下列各组线段长度成比例的是（）A、1cm、2cm、3cm、4cmB、1cm、3cm、、C、、、、D、1cm、2cm、2cm、4cm2、如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），下列结论错误的是（）A、B、BC2=AB•BCC、＝D、3、设（2y﹣z）：（z+2x）：y=1：5：2，则（3y﹣z）：（2z﹣x）：（x+3y）=（）A、1：5：7B、3：5：7C、3：5：8D、2：5：84、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（）A、（－2，3）B、（2，－3）C 、（3，－2）或（－2，3）D、（－2，3）或（2，－3）5、已知k=，且+n2+9=6n，则关于自变量x的一次函数y=kx+m+n 的图象一定经过第（）象限．A 、一、二B、二、三C、三、四D、一、四6、在△ABC中，AB=AC=1，BC=x，∠A=36°.则的值为（）A、B、C、1D、7、线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC与AB的关系是（）A、AC=ABB、AC=ABC 、AC=ABD、AC=AB8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC ，EF∥AB ，且AD：DB=3：5，那么CF ：CB等于（）.A、5：8B、3：8C、3：5D、2：59、在△ABC中，AB=12，BC=18，CA=24，另一个和它相似的△DEF最长的一边是36，则△DEF最短的一边是（）A、72B、18C、12D、2010、如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC相似的△DEF ，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（）.A、5B 、10C、D、11、（2016•某某）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A、1：B、1：C、1：2D、2：312、（2016•某某）如图的矩形ABCD中，E点在CD上，且AE＜AC．若P、Q两点分别在AD、AE上，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，直线PQ交AC于R点，且Q、R两点到CD的距离分别为q、r，则下列关系何者正确？（）A、q＜r，QE=RCB、q＜r，QE＜RCC、q=r，QE=RCD、q=r，QE＜RC二、填空题（共5题；共5分）13、已知△ABC∽△DEF，∠A=∠D，∠C=∠F且AB：DE=1：2，则EF：BC=________．14、△ABC中，∠A=90°，AB=AC ， BC=63cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一X是正方形，则这X正方形纸条是从下往上数第________X．15、（2016•某某）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，2 ），C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P 的坐标为________16、（2016•某某）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD 上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有________（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2 ；⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4 ﹣4．17、（2016•某某）如图，反比例函数y= （k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE 的面积为2，则k的值为________．三、作图题（共1题；共5分）18、（2016•某某）如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形（保留作图痕迹，不写作法）四、解答题（共4题；共20分）19、已知：如图，△ABC∽△ADE ，∠A=45°，∠C=40°．求：∠ADE的度数．20、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，求AE的长．21、（2016•南海区校级模拟）如图，已知△ABC．只用直尺（没有刻度的尺）和圆规，求作一个△DEF，使得△DEF∽△ABC，且EF=BC．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）22、（2016春•薛城区期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B （3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）若每一个方格的面积为1，则△A2B2C2的面积为．五、综合题（共2题；共25分）23、（2016•某某）尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．求证：a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n 把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n 即可得证(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．(2)利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G ，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．24、（2016•某某）如图1，在直角坐标系xoy中，直线l：y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B 的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A 、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD或轴对称的△BC′D．(1)当∠CBD=15°时，求点C′的坐标．(2)当图1中的直线l经过点A，且k=﹣时（如图2），求点D由C到O的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．(3)当图1中的直线l经过点D，C′时（如图3），以DE为对称轴，作于△DOE或轴对称的△DO′E，连结O′C，O′O，问是否存在点D，使得△DO′E与△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、单选题【答案】D【考点】比例线段【解析】【解答】A、1×4≠2×3，故错误；B、1×6.5≠3×4.5，故错误；C、1.1×4.4≠2.2×3.3，故错误；D、1×4=2×2，故正确．故选D．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．依次分析各项即可．【答案】B【考点】黄金分割【解析】【解答】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC ，故A正确，不符合题意；AC2=AB•BC，故B错误，＝，故C正确，不符合题意；≈0.618，故D正确，不符合题意．故选B．【分析】本题主要考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的倍，较长的线段=原线段的倍，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（)叫做黄金比．【答案】B【考点】分式的化简求值，比例线段【解析】【解答】由已知，得2（2y﹣z)=y，即y=z，①5（2y﹣z)=z+2x ，即x=5y﹣3z，②由①②，得x=z，③把①③代入（3y﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)，得（3y ﹣z)：（2z﹣x)：（x+3y)=z：z：z=3：5：7．故选B．【分析】先根据已知条件，利用z来表示x和y，然后再将其代入所求化简、求值。

手拉手模型综合—.手拉手1. 如图，四边形ABCD BEFG匀为正方形，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转B 角(0°v B V 180 ° ),如图2，连接AG CE相交于点M,连接MQ 求/ EMB的度数.2. 已知△ ABC 中,AB=AC①如图1 ,在厶ADE中，若AD=AE 且/ DAE=Z BAC,求证：CD=BE②如图2,在厶ADE中，若/ DAE=Z BAC=60°,且CD垂直平分AE, AD=3, CD=4,求BD的长；二.脚拉脚【例】已知：在Rt△ ABC中，AB=BC在Rt△ ADE中, AD=D,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM如果将图①中的厶ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么BM和DM有什么关系?证明：延长DM至点P,使得DM=DB g接BP,BD,CP •••△EDI W^ CPM(SAS••• ED=PC/EDM^CPM••• ED//PC•••/ DHC=90vZ ABC=90•••/ BAD Z BCP•••△ ADB^A CPB(SAS••• BD=BP Z ABD Z CBP•••为等腰直角三角形【例】已知：在Rt△ ABC中, AB=BC 在Rt△ ADE中, AD=DE 连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM如果将图①中的厶ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么BM和DM t什么关系？Q方法二：手拉手模型+中位线证明：作AQL AC交CB延长线于Q,作AP I AE交ED延长线于P,连接QE,PC •••△ AEQ^A APC( SAS••• EQ=PC,E Q PC••• BM//EQ BM=EQDM//PC , DM=PC••• DM=BMDML BM3. 已知正方形ABCD和正方形CGEF ,且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF .(1)_______________________________________________________ 如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是_______________________ .2 )如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，则(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明.4. 如图，BAC 60，CDE 120，AB AC，DC DE，连接BE, P 为BE的中占八、、・(1)如图1,若A C D三点共线，求PAC的度数；(2)如图2,若A、C、D三点不共线，求证: AP DP;5. 如图，△ ABC 中，A 吐AC, / ABC=a ，在四边形 BDEC 中，D 吐 DE / BDE= 2 a ，M 为CE 的中点，连接AM DM① 在图中画出△ DEM^于点M 成中心对称的图形 ② 求证：AML DM ③ 当 a = _____ ，AM= DME三•爪型6. 如图，等边△ ABC内一点，E吐4, AE= 2.3，/ AEG= 150° 时，贝U CE长为S7. 如图所示，△ ABC^n^ AEF为等边三角形，点E在厶ABC内部，且E到点A、B C的距离分别为3、4、5,求/ AEB的度数图I8. 在厶ABC中，/ BAC=60 .(1)如图1,若AB=AC 点P 在厶ABC内，且/ APC=150，PA=3 PC=4 把厶APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B,得到△ ADB连结DP.直接写出PB 的长；(2)如图2,若AB=AC 点P在厶ABC外,且PA=3 PB=5 PC=4 求/ APC的度数；(3)如图3,若AB=2AC 点P在厶ABC内，且PA=/3 , PB=5 / APC=120，直接写出PC的长.四•训练9.如图，AB= AD AC= AE / BAD=Z CAE(1)求证：△ ABC^A ADE(2)若AC= 9, AD= 12, BE= 15，请你判断△ ABE勺形状并说明理由.10.问题原型：如图①，在锐角厶ABC中，/ ABC= 45°, ADL BC于D,在AD上取点E,使DE= CD 连结BE 求证：BE= AC问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M使FM= EF,连结CM(1 )判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由.AE! AB AF L AC AE= AB, AF= AC试判断线段EC与BF的关系并证明.11•如图所示，已知ABCD中, AB// DC E是BC的中点，若AE是/ BAD勺平分线,试探究AB, AD DC之间的等量关系，证明你的结论;(2)如图②，在四边形ABCDh，AB// DC AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是/ BAF的平分线，试探究AB AF, CF之间的等量关系，证明你的结论.13•如图，四边形ABC呼，对角线AC BD交于点Q AB= AC,点E是BD上一点，且AE= AD / EAD=Z BAC(1 )求证：/ ABD=Z ACD(2)若/ ACB= 65 °，求/ BDC的度数.14.如图，四边形ABCDK DC/ AB BDL AD / A= 45°, E, F分别是AB CD上的点，且BE= DF 连接EF交BD于Q(1)求证：BQ= DQ(2 )若EFL AB延长EF交AD的延长线于G,当FG= 1时，求AE的长.15.如图所示，已知四边形ABCD AD// BC / A= 90°, BC= BD CEL BD垂足为点E.(1)求证：△ ABD^A ECB(2)若/ DBC= 50 °，求/ DCE的度数.16•如图，/ BAE=Z CAF= 90°, EC BF相交于点M AE= AB AC= AF,(1.求证：(1) EC= BF(2) ECL BF（3）若条件/ BAE=Z CAF= 90°改为/ BAE=Z CAF= m，则（1 ）、（2）两个结论还成立（只回答不写过程）17•问题情境：如图1,在直角三角形ABC中，/ BAC= 90°, AD L BC于点D,可知：/ BAD =Z C （不需要证明）特例探究：如图2,Z MA W 90 °，射线AE在这个角的内部，点B C在/ MAN勺边AM AN上，且AB= AC CF! AE于点F, BD L AE于点D.证明：△ ABD^^ CAF18.已知：△ ABC^^ EDC(1 )若DE/ BC(如图1),判断△ ABC 的形状并说明理由.(2)连结BE 交AC 于F ,点H 是CE 上的点，且CHh CF,连结DH 交 BE 于K (如图2).求19•在△ ABC 中, AB= AC 点D 是射线CB 上的一动点(不与点 B 、C 重合)，以 AD 为一边 在AD 的右侧作厶ADE 使AD= AE / DAE=Z BAC 连接 CE(1) _______________________________________________________ 如图1,当点D 在线段CB 上，且/ BAC= 90°时，那么/ DCE= ___________________________ 度；(2) 设/ BAC=a,Z DCE=3.① 如图2，当点D 在线段CB 上，/ BAO 90°时，请你探究a 与B 之间的数量关系，并证明 你的结论；② 如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，/ BAO 90°时，请将图3补充完整，并直接写出 此时a 与B 之间的数量关系(不需证明)EJ心;/ A 3 图1图2 BJ 图3 20.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1,在厶ABC^n ^ ADE 中，/ ACB=Z AED= 90°, AC= AE BC =DE 连接CE 交BD 于点F .求证：BF = DF小明经探究发现，过B点作/ CB G/ EDF交CF于点G(如图2),从而可证厶DEF^A BCG 使问题得到解决(1)请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程：参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：(2)如图3,在厶ABC与△ BDE中，/ ABC=Z BDE BC= DE AB= BD CF EG分别为ABBD的中线，连结FG并延长交CE于点H,是否存在与CH相等的线段？若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由.。

备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题1 二次函数背景下的动点问题探究【方法综述】动点是常见的综合问题中的构成要件，通过点的运动命题者可以构造各种问题情景。

动点的呈现方式从动点个数往往有单动点或双动点，从运动呈现方式分为无速度动点和有速度动点，从动点的引起的变化分为单个动点变化和以动点驱动的图形运动。

【典例示范】类型一 常规单动点问题例1：．（广东省深圳市）已知二次函数y =ax 2+bx +3的图象分别与x 轴交于点A （3，0），C （-1，0），与y 轴交于点B ．点D 为二次函数图象的顶点．（1）如图①所示，求此二次函数的关系式：（2）如图②所示，在x 轴上取一动点P （m ，0），且1＜m ＜3，过点P 作x 轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD ，AB 于点Q 、F ，E ，求证：EF =EP ；（3）在图①中，若R 为y 轴上的一个动点，连接AR ，则√1010BR +AR 的最小值______（直接写出结果）． 【答案】（1）y=-x 2+2x+3；（2）见解析；（3）6√105【解析】解：（1）将A （3，0），C （-1，0）代入y=ax2+bx+3，得： {9a +3b +3=0a −b +3=0，解得：{a =−1b =2 ，∴此二次函数的关系式为y=-x 2+2x+3． （2）证明：∵y=-x 2+2x+3=-（x -1）2+4， ∴点D 的坐标为（1，4）．设线段AB 所在直线的函数关系式为y=kx+c （k≠0），将A （3，0），C （0，3）代入y=kx+c ，得： {3k +c =0c =3 ，解得：{k =−1c =3，∴线段AB 所在直线的函数关系式为y=-x+3．同理，可得出：线段AD 所在直线的函数关系式为y=-2x+6． ∵点P 的坐标为（m ，0），∴点E 的坐标为（m ，-m+3），点F 的坐标为（m ，-2m+6）， ∴EP=-m+3，EF=-m+3，∴EF=EP ．（3）如图③，连接BC ，过点R 作RQ ⊥BC ，垂足为Q ． ∵OC=1，OB=3， ∴BC=√10．(勾股定理)∵∠CBO=∠CBO ，∠BOC=∠BQR=90°， ∴△BQR ∽△AOB ， ∴BRBC =QROC ,即√10=QR 1,∴RQ=√1010BR ， ∴AR+√1010BR=AR+RQ ，∴当A ，R ，Q 共线且垂直AB 时，即AR+√1010BR=AQ 时，其值最小． ∵∠ACQ=∠BCO ，∠BOC=∠AQC ， ∴△CQA ∽△COB ， ∴AQBO =ACBC ,即AQ3=√10∴AQ=6√105， ∴√1010BR+CR 的最小值为6√105．故答案为：6√105． 例2：（2019年广西）如图，抛物线y =x 2-2x -3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴与抛物线相交于点M ，与x 轴相交于点N ，点P 是线段MN 上的一个动点，连接CP ，过点P 作PE ⊥CP 交x 轴于点E ．（1）求抛物线的顶点M 的坐标；（2）当点E 与原点O 的重合时，求点P 的坐标； （3）求动点E 到抛物线对称轴的最大距离是多少？【答案】（1）（1，-4）．（2）当点E 与原点O 的重合时，点P 的坐标为（1，−3−√52）或（1，√5−32）．（3）点E 到抛物线对称轴的最大距离是4． 【解析】解：（1）∵y=x2-2x -3=（x -1）2-4， ∴抛物线的顶点M 的坐标为（1，-4）． （2）当x=0时，y=x2-2x -3=-3， ∴点C 的坐标为（0，-3）．过点C 作CF ⊥直线MN ，垂足为点F ，如图1所示．∵∠PON+∠OPN=90°，∠OPN+∠CPF=180°-∠CPO=90°， ∴∠PON=∠CPF ． 又∵∠PNO=∠CFP=90°， ∴△PON ∽△CPF ， ∴CF PN =PF ON，即1PN=3−PN 1，∴PN=3±√52， ∴当点E 与原点O 的重合时，点P 的坐标为（1，−3−√52）或（1，√5−32）． （3）过点C 作CF ⊥直线MN ，垂足为点F ，设PN=m ，分三种情况考虑，如图2所示．①当0＜m ＜3时，由（2）可知：△PEN ∽△CPF ， ∴EN PF =PNCF ，即EN3−m =m ， ∴EN=-m2+3m=-（m -32）2+94． ∵-1＜0，∴当m=32时，EN 取得最大值，最大值为94；②当m=0或3时，点E 和点N 重合，此时EN=0；③当3＜m≤4时，∵∠PCF+∠CPF=90°，∠CPF+∠EPN=90°， ∴∠PCF=∠EPN ． 又∵∠CFP=∠PNE=90°， ∴△PCF ∽△EPN ， ∴EN PF =PN CF，即ENm−3=m1，∴EN=m2-3m ． ∵1＞0，∴当3＜m≤4时，EN 的值随m 值的增大而增大， ∴当m=4时，EN 取得最大值，最大值为4． 综上所述：点E 到抛物线对称轴的最大距离是4．针对训练1．（山东省济南市历下区）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =−12x 2+bx +c ，经过点A(1,3)、B(0,1)，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ． (1)求抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)如图，点M 是第一象限中BC 上方抛物线上的一个动点，过点作MH ⊥BC 于点H ，作ME ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ，在点M 运动的过程中，ΔMFH 的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图，连接AB ，在y 轴上取一点P ，使ΔABP 和ΔABC 相似，请求出符合要求的点P 坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y =−12x 2+52x +1，顶点坐标为(52,338)；（2）最大值为6√55+2；（3）满足条件的P 点有(0,52)，(0,133)． 【解析】（1）将A(1,3)，B(0,1)，代入y=−12x2+bx+c，解得b=52，c=1．∴抛物线的解析式为y=−12x2+52x+1．∴顶点坐标为(52,338)．（2）由B(0,1)，C(4,3)得直线BC解析式为：y=12x+1设M(m,−12m2+52m+1)，则得F(0,12m+1)则MF=−12m2+52m+1−(12m+1)=−12m2+2m∵−12<0∴MF有最大值，当m=2时，MF最大值为2 将直线AC与y轴交点记作D，易得BD:CD:BC=1:2:√5因为ME//y轴，∴∠MFH=∠DBC又∵∠CDB=∠MHP=900，∴ΔMHF∽ΔCDB ∴FH:MH:MF=1:2:√5∴CΔMHF=(3√55+1)MF所以CΔMHF的最大值为6√55+2（3）∵ADBD =BDCD=12，∠CDB为公共角，∴ΔABD∽ΔBCD．∴∠ABD=∠BCD．1°当∠PAB=∠ABC时，PBAC =ABBC，∵ BC =√(0−4)2+(1−3)2=2√5， AB =√(0−1)2+(1−3)2=√5，AC =3 ∴ PB =32，∴ P 1(0,52)． 2°当∠PAB =∠BAC 时，PBBC =ABAC ， ∴2√5=√53， ∴ PB =103，∴ P 2(0,133)．综上所述满足条件的P 点有(0,52)，(0,133)．2．（四川省简阳市2019届九年级）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =−(x −a )(x −4)(a <0)与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点. （1）若D 点坐标为(32,254)，求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）若点M 为抛物线对称轴上一点，且点M 的纵坐标为a ，点N 为抛物线在x 轴上方一点，若以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形时，求a 的值；（3）直线y =2x +b 与（1）中的抛物线交于点D 、E （如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D ′，与直线的另一个交点为E ，与x 轴的交点为B ′，在平移的过程中，求D ′E ′的长度；当∠E ′D ′B ′=90°时，求点B ′的坐标.【答案】（1）y =−x 2+3x +4;C (0,4);（2）a =−2±2√13； a 1=−2−2√13，a 2=6−2√213;（3）B ′(−1,0) 【解析】（1）依题意得：254=−(32−a)(32−4) 解得a =−1，∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x -4）或y =−x 2+3x +4 ∴C (0,4)（2）由题意可知A (a,0)、B (4,0)、C (0,−4a ) 对称轴为直线x =a+42，则M (a+42,a)①MN//BC ，且MN =BC ，根据点的平移特征可知N (a−42,−3a)则−3a =−(a−42−a)⋅(a−42−4)，解得：a =−2±2√13（舍去正值）；②当BC 为对角线时，设N (x,y )，根据平行四边形的对角线互相平分可得 {a+42+x =4a +y =−4a，解得{x =4−a 2y =−5a， 则−5a =−(4−a 2−a)⋅(4−a 2−4)解得：a =6±2√213∴a 1=−2−2√13，a 2=6−2√213（3）联立{y =2x +134y =−x 2+3x +4解得：{x 1=32y 1=254 (舍去)，{x 2=−12y 2=94则DE =2√5，根据抛物线的平移规律， 则平移后的线段D ′E ′始终等于2√5 设平移后的D ′(m,2m +134)，则E ′(m −2,2m −34) 平移后的抛物线解析式为：y =−(x −m )2+2m +134则D ′B ′：y =−12x +n 过(m,2m +134)， ∴y =−12x +52m +134，则B ′(5m +132,0)抛物线y =−(x −m )2+2m +134过B ′(5m +132,0)解得m 1=−32，m 2=−138 ∴B 1′(−1,0)，B 2′(−138,0)（与D ′重合，舍去）∴B ′(−1,0)3．（浙江省金衢十二校2019届九年级3月联考数学）如图1，抛物线y 1=−43x 2−43tx -t+2与x 轴交于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，过y 轴上的点C(0，4)，直线y 2=kx+3交x 轴，y 轴于点M 、N ，且ON=OC. (1)求出t 与k 的值.(2)抛物线的对称轴交x 轴于点D ，在x 轴上方的对称轴上找一点E ，使△BDE 与△AOC 相似，求出DE 的长. (3)如图2，过抛物线上动点G 作GH ⊥x 轴于点H ，交直线y 2=kx+3于点Q ，若点Q′是点Q 关于直线MG 的对称点，是否存在点G(不与点C 重合)，使点Q′落在y 轴上？，若存在，请直接写出点G 的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)t=-2，k=34；(2)12或8；(3)1−√134；1+√134；19+√55316；19−√55316.【解析】解：（1）将点C(0，4)代入抛物线y1=−43x2−43tx -t+2，得-t+2=4，∴t=-2，∴抛物线y1=−43x2+83x+4， ∵ON=OC ，∴N （-4，0），将N （-4，0）代入直线y2=kx+3，得-4k+3=0，∴k =34， ∴直线y2=34x+3， ∴t=-2，k =34.（2）如图1，链接BE ，在y1=−43x2+83x+4中，当y=0时，解得：x 1=−1，x 2=3， ∴A （-1，0），B （3，0），对称轴为x=−b2a =1， ∴D （1，0），∴AO=1，CO=4，BD=2，∠AOC=∠EDB=90°， ①当△AOC ∽△BDE 时，AO BD=OC DE，即12=4DE，∴DE=8，②当△AOC ∽△EDB 时，AODE=OC BD ，即1DE =42， ∴DE=12，综上：DE=12或8；（3）如图2，点Q'是点Q 关于直线MG 的对称点，且点Q'在y 轴上， 由轴对称的性质知：QM= Q'M ，QG= Q'G ，∠Q'MG= ∠QMG ， ∵QG ⊥x 轴，∴QG ∥y 轴， ∴∠Q'MG=∠QGM ， ∴∠QMG=∠QGM ， ∴QM=QG ，∴QM=Q'M=QG=Q'G ， ∴四边形QMQ'G 为菱形，设G （a ，−43a2+83a+4），则Q （a ，34a+3），过点G 作GH ⊥y 轴于点H ， ∵GQ'∥QN ， ∴∠GQ'H=∠NMO ， 在Rt △NMO 中， NM=√NO 2+MO 2=5， ∴sin∠NMO =NO NM =45，∴sin∠GQ′H =HGGQ′=45，①当点G 在直线MN 下方时，QG= Q'G=43a 2−2312a −1， ∴a43a 2−2312a−1=45，解得：a 1=19+√55316，a 2=19−√55316；②如图3，当点G 在直线MN 上方时，QG= Q'G=−(43a 2−2312a −1)，∴a−(43a 2−2312a−1)=45，解得：a 1=1+√134，a 2=1−√134. 综上所述：点G 的横坐标为19+√55316，19−√55316，1+√134或1−√134.4．（四川省自贡市2019年初中升学考试调研）如图，直线y ＝34x +a 与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，抛物线y ＝34x 2+bx +c 经过点A ，B ．点M （m ，0）为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线分别交直线AB 及抛物线于点P ，N ．（1）填空：点B 的坐标为 ，抛物线的解析式为 ； （2）当点M 在线段OA 上运动时（不与点O ，A 重合）， ①当m 为何值时，线段PN 最大值，并求出PN 的最大值； ②求出使△BPN 为直角三角形时m 的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，请直接写出此时由点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积．【答案】（1）（0，﹣3），y ＝34x2﹣94x ﹣3；（2）①是3，②3或119；（3）6或6+6√2或6√2﹣6． 【解析】解：（1）把点A 坐标代入直线表达式y ＝34x+a ，解得：a ＝﹣3，则：直线表达式为：y═34x ﹣3，令x ＝0，则：y ＝﹣3， 则点B 坐标为（0，﹣3），将点B 的坐标代入二次函数表达式得：c ＝﹣3， 把点A 的坐标代入二次函数表达式得：34×16+4b ﹣3＝0，解得：b ＝﹣94，故抛物线的解析式为：y ＝34x2﹣94x ﹣3，（2）①∵M （m ，0）在线段OA 上，且MN ⊥x 轴， ∴点P （m ，34m ﹣3），N （m ，34m2﹣94m ﹣3）， ∴PN ＝34m ﹣3﹣（34m2﹣94m ﹣3）＝﹣34（m ﹣2）2+3，∵a ＝﹣34＜0， ∴抛物线开口向下，∴当m ＝2时，PN 有最大值是3， ②当∠BNP ＝90°时，点N 的纵坐标为﹣3，把y ＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝34m2﹣94m ﹣3，解得：m ＝3或0（舍去m ＝0）， ∴m ＝3；当∠NBP ＝90°时，∵BN ⊥AB ，两直线垂直，其k 值相乘为﹣1， 设：直线BN 的表达式为：y ＝﹣43x+n ，把点B 的坐标代入上式，解得：n ＝﹣3，则：直线BN 的表达式为：y ＝﹣43x ﹣3， 将上式与抛物线的表达式联立并解得：m ＝119或0（舍去m ＝0），当∠BPN ＝90°时，不合题意舍去，故：使△BPN 为直角三角形时m 的值为3或43； （3）∵OA ＝4，OB ＝3，在Rt △AOB 中，tanα＝43，则：cosα＝35，sinα＝45， ∵PM ∥y 轴，∴∠BPN ＝∠ABO ＝α，若抛物线上有且只有三个点N 到直线AB 的距离是h ，则只能出现：在AB 直线下方抛物线与过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，在直线AB 上方的交点有两个．当过点N 的直线与抛物线有一个交点N ，点M 的坐标为（m ，0），设：点N 坐标为：（m ，n ）， 则：n ＝34m2﹣94m ﹣3，过点N 作AB 的平行线，则点N 所在的直线表达式为：y ＝34x+b ，将点N 坐标代入， 解得：过N 点直线表达式为：y ＝34x+（n ﹣34m ），将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2﹣12x ﹣12+3m ﹣4n ＝0， △＝144﹣3×4×（﹣12+3m ﹣4n ）＝0，将n ＝34m2﹣94m ﹣3代入上式并整理得：m2﹣4m+4＝0，解得：m ＝2，则点N 的坐标为（2，﹣92）， 则：点P 坐标为（2，﹣32）， 则：PN ＝3， ∵OB ＝3，PN ∥OB ，∴四边形OBNP 为平行四边形，则点O 到直线AB 的距离等于点N 到直线AB 的距离， 即：过点O 与AB 平行的直线与抛物线的交点为另外两个N 点，即：N′、N″， 直线ON 的表达式为：y ＝34x ，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得： x2﹣4x ﹣4＝0，解得：x ＝2±2√2，则点N′、N″的横坐标分别为2+2√2，2﹣2√2， 作NH ⊥AB 交直线AB 于点H ， 则h ＝NH ＝NPsinα＝125，作N′P′⊥x 轴，交x 轴于点P′，则：∠ON′P′＝α，ON′＝OP ′sinα＝54（2+2√2）， S 四边形OBPN ＝BP•h ＝52×125＝6，则：S 四边形OBP′N′＝S △OP′N′+S △OBP′＝6+6√2， 同理：S 四边形OBN″P″＝6√2﹣6，故：点O ，B ，N ，P 构成的四边形的面积为：6或6+6√2或6√2﹣6．5．（江苏省无锡市天一实验学校2019届中考数学一模）如图，已知抛物线y =ax 2−4a(a >0)与x 轴相交于A ，B 两点，点P 是抛物线上一点，且PB =AB ，∠PBA =120∘． (1)求该抛物线的表达式；(2)设点M(m,n)为抛物线上的一个动点，当点M 在曲线BA 之间(含端点)移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M 的坐标．【答案】(1)抛物线解析式为；y ＝√36x2﹣2√33；(2)当点M 在曲线BA 之间(含端点)移动时，M 的坐标为(√3，﹣√36)或(﹣√3，﹣√36)时，|m|+|n|的最大值为7√36． 【解析】（1）如图，令y ＝0代入y ＝ax2﹣4a ， ∴0＝ax2﹣4a ， ∵a ＞0， ∴x2﹣4＝0， ∴x ＝±2，∴A （﹣2，0），B （2，0），∴AB ＝4，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ， ∴∠PBC ＝180°﹣∠PBA ＝60°， ∵PB ＝AB ＝4， ∴cos ∠PBC ＝BCPB ，∴BC ＝2，由勾股定理可求得：PC ＝2√3， ∵OC ＝OB+BC ＝4， ∴P （4，2√3），把P （4，2√3）代入y ＝ax2﹣4a ， ∴2√3＝16a ﹣4a ， ∴a ＝√36，∴抛物线解析式为：y ＝√36x2﹣2√33； （2）当点M 在曲线BA 之间（含端点）移动时， ∴﹣2≤m≤2，n ＜0， 当﹣2≤m≤0时，∴|m|+|n|＝﹣m ﹣n ＝﹣√36m2﹣m+2√33＝﹣√36（m+√3）2+7√36， 当m ＝﹣√3时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为7√36， 此时，M 的坐标为（﹣√3，﹣√36）， 当0＜m≤2时，∴|m|+|n|＝m ﹣n ＝﹣√36m2+m+2√36＝﹣√36（m ﹣√3）2+7√36， 当m ＝√3时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为7√36， 此时，M 的坐标为（√3，﹣√36），综上所述，当点M 在曲线BA 之间（含端点）移动时，M 的坐标为（√3，﹣√36）或（﹣√3，﹣√36）时，|m|+|n|的最大值为7√36．类型二 双动点问题例3．（重庆市大渡口区2019届九年级第二次诊断考试）如图，抛物线y=-35[（x -2）2+n]与x 轴交于点A （m -2，0）和B （2m+3，0）（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连结BC ． （1）求m 、n 的值；（2）如图，点N 为抛物线上的一动点，且位于直线BC 上方，连接CN 、BN ．求△NBC 面积的最大值； （3）如图，点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点，连接PM 、PC ，是否存在这样的点P ，使△PCM 为等腰三角形，△PMB 为直角三角形同时成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【来源】【区级联考】数学试题【答案】（1）m=1；n=-9；（2）最大值为758；（3）存在，P 点坐标为（3√34−95，0）或（34，0）． 【解析】（1）∵抛物线的解析式为y=-35[（x -2）2+n]=- 35（x -2）2-35n ， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， ∵点A 和点B 为对称点， ∴2-（m -2）=2m+3-2，解得m=1， ∴A （-1，0），B （5，0），把A （-1，0）代入y=-35 [（x -2）2+n]得9+n=0，解得n=-9；（2）作ND ∥y 轴交BC 于D ，如图2，抛物线解析式为y=-35[（x -2）2-9]=-35x2+125x+3，当x=0时，y=3，则C （0，3）， 设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （5，0），C （0，3）代入得{5k +b ＝0b ＝3 ，解得{k ＝−35b ＝3 ， ∴直线BC 的解析式为y=-35x+3，设N （x ，-35x2+125x+3），则D （x ，-35x+3），∴ND=-35x2+125x+3-（-35x+3）=-35x2+3x ，∴S △NBC=S △NDC+S △NDB=12×5×ND=-32x2+152x=-32（x -52）2+758，当x=52时，△NBC 面积最大，最大值为758；（3）存在．∵B （5，0），C （0，3）， ∴BC=2+52=√34，当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC 为等腰直角三角形，MP=MC ，设PM=t ，则CM=t ，MB=√34-t ， ∵∠MBP=∠OBC ， ∴△BMP ∽△BOC ， ∴PMOC =BM OB=BP BC ，即 t3=√34−t 5=34t=3√348，BP=174， ∴OP=OB -BP=5-174=34， 此时P 点坐标为（34，0）； 当∠MPB=90°，则MP=MC ， 设PM=t ，则CM=t ，MB=√34-t ， ∵∠MBP=∠CBO ， ∴△BMP ∽△BCO ， ∴MPOC =BM BC=BP BO ，即t3=√34−t√34=BP5，解得t=102−9√3425，BP=34−3√345， ∴OP=OB -BP=5-34−3√345=3√34−95， 此时P 点坐标为（3√34−95，0）； 综上所述，P 点坐标为（3√34−95，0）或（34，0）． 针对训练1．（河北省2019届九年级毕业生升学文化课考试模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，OA =4，OC =3，动点P 从点C 出发，沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时动点Q 从点O 出发，沿x 轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点P ，点Q 的运动时间为t(s). （1）当t =1s 时，按要求回答下列问题①tan∠QPC =______________；②求经过O ，P ，A 三点的抛物线G 的解析式，若将抛物线G 在x 轴上方的部分图象记为G 1，已知直线y =12x +b与G 1有两个不同的交点，求b 的取值范围；（2）连接CQ ，点P ，Q 在运动过程中，记ΔCQP 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数解析式.【答案】（1）①3；②y=-34x2+3x ； 0≤b ＜2512；（2）当0≤t≤2时，S=3t ；当2＜t≤4时，S=24-24t -3t ；当t ＞4时，S=24t .【解析】解：（1）①过Q 作QM ⊥BC ，tan ∠QPC=MQMP =3；②A （4,0）O （0,0）P （2,3）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 把A （4,0）O （0,0）P （2,3）代入y=ax2+bx+c 得{16a +4b +c =0c =04a +2b +c =3 ， 解得{a =−34b =3c =0.∴y=−34x2+3x.联立直线 y=12x+b 与 y=-34x2+3x,得 {y =12x +by =−34x 2+3x则-34x2+3x=12x+b ， ∵直线12x+b 与 G1 有 两 个 不 同 交 点， ∴方程-34x2+3x=12x+b 有2个不同解， ∴Δ＞0即254-3b >0，b＜2512，又由直线与G1交于x轴上方，∴b≥0，∴b的范围为0≤b<2512.（2）当0≤t≤2时，S=3t；当2＜t≤4时，S=24−24t −3t；当t＞4时，S=24t.当0≤t≤2时，如图1，由题意可知CP=2t，∴S=S△PCQ=12×2t×3=3t；当2＜t≤4时，如图2：过Q作QH⊥CP于H，BP=2t-4,HP=HC=t,HQ=3,∵BM∥HQ，∴△PBM∽△PHQ，∴BMHQ =BPHP.即BM3=2t−4t，∴BM=3(2t−4)t,∴AM=3- BM=12−3tt，S=S矩形OABC−SΔCOQ−SΔAQM=4×3−1·t×3−1(4−t)∙12−3t=24－3t－24t(2<t≤4)当P在CB延长线上，Q在OA延长线上时，即t>4时，如图3，CQ与AB交于M点，过Q做QN⊥CB，则ΔMBC∼ΔQNC,∴BMNQ =CBCN即BM3=4t，故有BM=12t.面积为：S=12CB·BM=12×4×12t=24t（t > 4）2．（重庆一中2019届九年级（上)期中数学试卷）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+53（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2√3PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝132PH−14PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．【答案】（1）y ＝16x2﹣43x ﹣8，y ＝512x+53；（2）P （5，−212），m 的最小值为2√19；（3）D1（31−5√132，0），D2（﹣4，0），D3（343，0），D4（31+5√132，0）． 【解析】解（1）∵y ＝ax2+bx ﹣8与y 轴的交点为C ，令x ＝0，y ＝﹣8， ∴点C （0，﹣8）， ∴OC ＝8，∵OC ＝2OA ，OB ＝3OA ， ∴OA ＝4，OB ＝12， ∴A （﹣4，0）B （12，0），将点A 代入直线解析式可得0＝﹣4k+53， 解得k ＝512， ∴y ＝512x+53，将点A 和点B 代入抛物线中， {0=16a −4b −80=144a +12b −8 ， 解得a ＝16，b ＝﹣43，∴y ＝16x2﹣43x ﹣8；（2）设点P 的坐标为（p ，16p2﹣43p ﹣8），﹣2ab ＝4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝4， ∴点Q （8﹣p ，16p2﹣43p ﹣8）， ∴PQ ＝2p ﹣8， ∵PK ＝2√3PQ ， ∴PK ＝4√3p ﹣16√3，如图1所示，延长PK 交直线AR 于点M ，则M （p ，512P+53），∴PM ＝512P+53﹣（16p2﹣43p ﹣8）＝﹣16p2﹣2112p+293， ∵∠PHM ＝∠MH′A ，∠HMP ＝∠AMH′， ∴∠HPM ＝∠MAH′，∵直线解析式为y ＝512x+53，，令x ＝0，y ＝53，∴OE ＝53，∵OA ＝4，根据勾股定理得∴AE ＝133， ∴cos ∠EAO ＝OA AE ＝1213, ∴cos ∠HPM ＝PHPM ＝PH﹣16P 2﹣2112p+293＝1213，∴PH ＝﹣213p2+2113p+11613， ∵I ＝132PH −14PQ ， ∴I ＝132（﹣213p2+2113p+11613）﹣14（2p ﹣8）＝﹣（p ﹣5）2+85，∴当p ＝5时，I 取最大值此时点P （5，﹣212）， ∴PQ ＝2，PK ＝4√3，如图2所示，连接QK ，以PQ 为边向下做等边三角形PQD ，连接KD ，在KD 取I ， 使∠PID ＝60°，以PI 为边做等边三角形IPF ，连接IQ ，∵IP＝PF，PQ＝PD，∠IPQ＝∠FPD，∴△IPQ≌△FPD（SAS），∴DF＝IQ，∴IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此时m最小，过点D作DN垂直于KP，∵∠KPD＝∠KPQ+∠QPD＝150°，∴∠PDN＝30°，∵DP＝PQ＝2，∴DN＝1，根据勾股定理得PN＝√3，在△KDN中，KN＝5√3，DN＝1，根据勾股定理得KD＝2√19，∴m的最小值为2√19；（3）设NM与x轴交于点J，∵AM＝13，cos∠MAJ＝12，13∴AJ＝12，根据勾股定理得MJ＝5，∵OA＝4，∴OJ＝8，∴M（8，5），当x＝8时，代入抛物线中，可得y＝﹣8，∴N（8，﹣8），MN＝13，在△AJN中，根据勾股定理得AN＝4√13，∵点D为x轴上的动点，根据翻折，MN′＝13，所以点N′在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示，①当N′落在AN 的垂直平分线上时， tan ∠MNA ＝128＝32， ∴tan ∠MGJ ＝32，∵MJ ＝5，∴JG ＝103，根据勾股定理得MG ＝5√133， ∵MD1为∠GMJ 的角平分线， ∴MG MJ=GD DJ，∴D1J ＝5√13﹣152， ∴D1（31−5√132，0）， ∵MD4也为角平分线， ∴∠D1MD4＝90°，根据射影定理得MJ2＝JD1•JD4， ∴JD4＝5√13+152， ∴D4（31+5√132，0）； ②当AN ＝AN′时，D2与点A 重合， ∴D2（﹣4，0）， ∵MD3为角平分线， ∴MJ MN′=JD 3D 3N′，∴JD3＝103， ∴D3（343，0）， 综上所述D1（31−5√132，0），D2（﹣4，0），D3（343，0），D4（31+5√132，0）． 3．（江苏省扬州市宝应县2019届九年级上学期期末）已知，如图1，二次函数y ＝ax 2+2ax ﹣3a （a ≠0）图象的顶点为C 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 、B 关于过点A 的直线l ：y ＝kx +√3对称．（1）求A 、B 两点坐标及直线l 的解析式； （2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B 作直线BD ∥AC 交直线l 于D 点，M 、N 分别为直线AC 和直线l 上的两个动点，连接CN ，MM 、MD ，求CN +NM +MD 的最小值．【答案】(1) 点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），直线l 的表达式为：y ＝√33x+√3;(2) 二次函数解析式为：y ＝﹣√32x2﹣√3x+3√32；(3)8.【解析】解：（1）y ＝ax2+2ax ﹣3a ，令y ＝0，则x ＝﹣1或3， 即点A 、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）， 点A 坐标代入y ＝kx+√3得：0＝﹣3k+√3，解得：k =√33,即直线l 的表达式为：y =√33x +√3.①，同理可得直线AC的表达式为：y=√3x+3√3.直线BD的表达式为：y=√3x−√3.②，联立①②并解得：x＝3，在点D的坐标为（3，2√3）；（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+√3对称得AC2＝AB2，即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：m=±2√3（舍去负值），点C（1，2√3），将点C的坐标代入二次函数并解得：a=−√32.故二次函数解析式为：y=−√32x2−√3x+3√32；（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，作DF⊥x轴交于点F，DF＝ADsin∠DAF=4√3×12=2√3,∵B、C关于直线l对称，即直线l是∠EAF的平分线，∴ED＝FD＝2√3，则QD＝4√3，BD＝4，∴BQ=√(4√3)2+42=8.即CN+NM+MD的最小值为8．4．（江苏省句容市第二中学）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝−13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒．连接PQ ． （1）填空：b ＝ ，c ＝ ；（2）在点P ，Q 运动过程中，△APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M 在抛物线上，且△AOM 的面积与△AOC 的面积相等，求出点M 的坐标。