让我再看你一眼(高中数学知识点回顾)

高职高考数学主要知识点：1.集合的子集个数：集合{a1,a2,a3, ,a n}的子集个数为2n个;子集个数为2n个;真子集个数为2n1个。

满足{a1,a2,a3, ,a m} A {a1,a2,a3, , a n }关系的集合A有2n m个。

2.集合的运算：交集；A B {x| x A且x B}并集：A B {x| x A或x B}补集：C U A {x| x U,A U且x A}3.命题的充分条件：、原命题成立，逆命题不成立命题的必要条件：逆命题成立，原命题不成立。

命题的充要条件：原命题成立，逆命题成立。

4.函数的定义域的求法：分式要保证分母不为0；开二次方根要保证补开方数大于或等于0；对数的真数大于0，底数大于0 且不等于1。

值域的求法：二次函数用配方法、换元法、一次分式函数用求反函数的定义域的方法、二次分式函数用判别式法。

二次根式函数要保证函数值大于或等于0，指数函数值大于0 等等。

5.增函数：函数值随自变量的增大而增大，减少而减小。

减函数：函数值随自变量的增大而减小，减少而增大。

奇函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相反。

图象关于原点对称。

偶函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相同。

图象关于y 轴对称。

反函数：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。

图象关于直线y＝x 轴对称指数的运算法则：m n m n m n m n a a a ,a a am n mn m m m(a ) a ,(ab ) a bb b m m(b)m b m,a n n a m(n a )m a a mm 1 0a m m,a 01(a 0)a8. 对数的运算法则：1如果a b N，那么b叫做以a为底N的对数，记为b log N2 a loga N N3 log a a b b4 log a x n nlog a xy5 log a ( xy) log a x log a y6 log a log a y log a x1 log c b7 log a b 8 log a b clog b a log c a9. 指数函数的图象及性质：10. 对数函数的图象及性质：11. 一元一次不等式的解法：14. 含有绝对值的不等式的解法：x ax b c {xc (a 0) b c (a 0)bx c (a 0) ax b c { x b c (a 0)x (a 0) b1商数关系：tan cotsin cos cos sinsin cos tan cos sin cot1 tan cot tan cot 1 sin 1 sincsc1 csc 1|x| a(a 0) x a 或x a|x| a(a 0)axa|ax b| c(c 0) ax bc或ax b c|ax b| c(c 0)c ax bcd |ax b| c(d 0,c 0)ax b d 或ax b d {c ax b c15. 均值定理定理 1： 若a,b R,则a 2 b 2 2ab 当且公当 a b 时取等号推论 1： 若 a,b R ,则a b 2 ab 当且公当 a b 时取等号 变式： 若a,b R ,则ab (a b ) 2当且公当 a b 时取等号定理 2： 若a,b,c R ,则a 3 b 3 c 3 3abc 当且公当 a b c 时取等号 推论 2： 若a,b,c R ,则a b c 33 abc 当且公当 a b c 时取等号变式：若 a,b,c R ,则abc (a b c ) 3当且公当 a b 时取等号16. 三角函数的比值关系式siny ,cos x ,tan yr rxx r rcot,sec ,cscyxy22r x y17. 同角的三角函数的关系式倒数关系：18. 特殊角的三角函数值：19. 诱导公式诱导公式一： 诱导公式二：sin(2k ) sin sin( )sincos(2k ) coscos( )costan(2k ) tan tan( ) tancot(2k) cotcot()cot诱导公式三：诱导公式四：诱导公式五：sin( ) sinsin( ) sinsin(2 )sin cos( ) cos cos( ) coscos(2 )cos tan( ) tan tan( ) tantan(2 ) tan cot( )cotcot() cotcot(2)cot平方关系：sincostan 2 sec 2cot 22csc20. 三角函数的图象及性质21. 三角函数图象的变换1纵坐标不变，横坐标扩大 (0 1)或缩小 ( 1)到原来的1倍y sinx y sin x横坐标不变，纵坐标伸长 (A 1)或缩短 (0 A 1)到原来的 A倍sin( ) sin cos cos sintan( ) 1tan tan tan tancos()cos cossin sintan tantan()(1 tantan)23. 余角公式余角公式一：余角公式二：余角公式三：余角公式四：sin(2 )cos sin(2 )cos 3 sin(2 )cos 3 sin(2 )cos cos(2 )sin cos(2 ) sin3 cos(2) sin 3 cos( 2 )sin tan(2 ) cot tan(2 ) cot tan(32 ) cot tan(32 ) cot cot(2 )tancot(2) tan3cot(2)tan3 cot(2)tan24. 二倍角公式1 cos2 2 cos22sin 22 222. 两角和与差的三角函数sin2 2sin sin cos cos1sin2cos22cos * 2 1 2sin 2cos1 22sintan2 25. 2tan1 tan 2降幂公式 tan 1 tan 212tan226. 半角公式sin 21 cos2 1 cos2 cos 1 cos2211cos221 cos 1 cos1 cos sintan 227. 正弦定理、余弦定理、sin 1 cos 三角形面积公式正弦定理：sinA sinB sinCc 2R2sin2cos22a b c 2bc cos A 余弦定理：b2 a2 c 2accos Bc2 a2 b 2ab cos C1 1 1 三角形面积公式： S bcsinA acsinB absinC 222 28. 等差数列、等比数列的定义、通项公式、中项公式、求和公式等差数列的定义：一个数列从第二项开始，后项减前项为一个常数就是等差数列。

高中数学考试必备的知识点整理温馨提示：在复习的同时，也要结合课本上的例题去复习，重点是课本，而不是题目应该怎样去做，所以在考前的一天必须回归课本复习，心中无公式，是解不出任何题目来的，只要心中有公式，中等的题目都可以解决。

必修一：一、集合的运算：交集：定义：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 并集：定义：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为A B补集：定义：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为C UA 二、指数与指数函数1、幂的运算法则：（1）a m •a n =a m + n ，（2）a m ÷a n =a m -n ，（3）(a m )n =a m n （4）(ab )n = a n •b nn -11a n⎛a ⎫nm-n （5） ⎪=n （6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）a =n （8）am=a（9）am=mna b ⎝b ⎭a 2、根式的性质⎧a ,a ≥0n n n n n n n n （1）(a )=a .（2）当为奇数时，a =a ；当为偶数时，a =|a |=⎨.-a ,a <0⎩n n 5.指数式与对数式的互化：log aN =b ⇔a b =N (a >0,a ≠1,N >0).6、对数的运算法则：（1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b （5）a log a N = N （6）log a (MN) = log a M + log a N（7）log a (log b N M ) = log a M -log a N（8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N =Nlog banlog a b (a >0,且a >1,m ,n >0,且m ≠1,n ≠1,N >0).m （10）推论：log a m b n =（11）log a N =1（12）常用对数：lg N = log 10N（13）自然对数：ln A = log e Alog Na必修4：1、特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°πππ角α的弧度数643Sinα12223290°π21180°π0270°3π2-1360°2π0321Cosα12220-101tanα03313不存在0不存在02、诱导公式：函数名不变，符号看象限（把α看成锐角）公式一：Sin（α+2kπ）=Sinα公式二：Sin（α+π）=-SinαCos（α+2kπ）=Cosα Cos（α+π）=-Cosαtan（α+2kπ）=tanα tan（α+π）=tanα公式三：Sin（-α）=-Sinα公式四：Sin（π-α）=SinαCos（-α）= Cosα Cos（π-α）=-Cosαtan（-α）=-tanα tan（π-α）=-tanα公式五：Sin（π2-α）=Cosα公式六：Sin（π2+α）=CosαCos（ππ2-α）=Sinα Cos（2+α）=-Sinα3、两角和与角差的正弦、余弦和正切公式①sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β②sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β③cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β④cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β⑤tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β⑥tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β4.二倍角的正弦、余弦和正切公式①sin 2α=2sin αcos α②cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos α2-1③tan 2α=2tan α1-tan 2α④sin 2α=1-cos 2α2⑤cos 2α=1+cos 2α2sin αcos α=12sin 2α5、向量公式：→→→→①a ∥b ⇔x 1x =y 1(x 2,y 2≠0)（a ∥b ⇔x 1y 2-x 2,y 1=0）2y2→→→→→②a +b =(a +b )2=a 2+2a →⋅b →→+b 2=→2a +2a →⋅b →⋅cos θ+b→2→→③cos θ=a ⋅b =x 1x 2+y 1y2→（求向量的夹角）a ⋅→bx21+y2x2212+y2⑥④a ⊥b ⇔a ⋅b =0⑥平面内两点间的距离公式：设a =(x ,y ),则→2→→→→→a =x +y 或a =x 2+y 2→22→⑦平面内两点间的距离公式：a =(x 1-x 2)+(y 1-y 2)2222高中数学必修5知识点归纳第一章解三角形1、正弦定理：在∆AB C 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为∆AB C 的外接圆的a b c半径，则有===2R ．sin A sin B sin C2、正弦定理的变形公式：①a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ；a b c②sin A =，sin B =，sin C =；③a :b :c =sin A :sin B :sin C ；2R 2R 2R a +b +c a b c④．===sin A +sin B +sin C sin A sin B sin C（正弦定理用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

第十章　圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃161㊀㊃心得体会证:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Q (x ,y ),由题意知P A ңA Q ң=P B ңQ Bң,设A 在P ,Q 之间,P A ң=λA Q ң(λ>0),又Q 在P ,B 之间,故P B ң=-λB Q ң,因为P B ң>B Q ң,所以0<λ<1,由P A ң=λA Q ң知(x 1-x 0,y 1-y 0)=λ(x -x 1,y -y1),解得x 1=x 0+λx 1+λy 1=y 0+λy1+λìîí,故点A 坐标为x 0+λx 1+λ,y 0+λy 1+λæèöø.同理,由P B ң=-λB Q ң知(x 2-x 0,y 2-y 0)=-λ(x -x 2,y -y 2),解得x 2=x 0-λx 1-λy 2=y 0-λy1-λìîí,故点B 坐标为x 0-λx 1-λ,y 0-λy 1-λæèöø.因为点A 在抛物线上,所以y 0+λy 1+λæèöø2=2p x 0+λx 1+λæèöø,(y 0+λy )2=2p (1+λ)(x 0+λx )①,同理(y 0-λy )2=2p (1-λ)(x 0-λx )②,由①-②得2y 0ˑ(2λy )=4p λ(x +x 0),则y 0y =p (x +x 0).所以点Q 在直线y 0y =p (x +x 0)上.三大圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线)中,当定点P (x 0,y0)在曲线上时,相应的定直线x 0x a 2+y 0y b 2=1,x 0x a 2-y 0y b2=1,y y 0=p (x 0+x )均为在定点P (x 0,y 0)处的切线.ʌ例10.54ɔ㊀(2008·安徽理,22)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1),且左焦点为F 1(-2,0).(1)求椭圆C 的方程;(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ,B 时,在线段A B 上取点Q ,满足|A P ң||Q B ң|=|A Q ң||P B ң|.证明:点Q 总在某定直线上.ʌ分析ɔ㊀用待定系数法求解椭圆的方程,巧妙地利用定比分点解答点Q 的轨迹问题.ʌ解析ɔ㊀(1)由题意知c 2=22a 2+1b 2=1c 2=a 2-b2ìîí,解得a 2=4,b 2=2,所求椭圆方程为x 24+y 22=1.图㊀10-30(2)如图10-30所示,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),Q (x ,y ),由题意知P A ңA Q ң=P B ңQ B ң,不妨设A 在P ,Q 之间,P Aң=λA Q ң(λ>0),又Q 在P ,B 之间,故P B ң=-λB Q ң,因为P B ң>B Q ң,所以0<λ<1,由P A ң=λA Q ң得(x 1-4,y 1-1)=λ(x -x 1,y -y1),㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃162㊀㊃心得体会解得x 1=4+λx 1+λy 1=1+λy 1+λìîí;同理,由P B ң=-λB Q ң,得(x 2-4,y 2-1)=-λ(x -x 2,y -y 2),解得x 2=4-λx 1-λy 2=1-λy1-λìîí.因为点A 在椭圆上,所以4+λx 1+λæèöø24+1+λy 1+λæèöø22=1,即4+λx ()24+1+λy ()22=1+λ()2①.同理,由点B 在椭圆上,得4-λx ()24+1-λy ()22=1-λ()2②.由①-②得8ˑ2λx 4+2ˑ2λy 2=4λ,因为λʂ0,所以x +y 2=1.所以点Q 在定直线2x +y -2=0上.ʌ评注ɔ㊀由模型的结论不难知动点Q (x ,y )总在定直线x 0x a 2+y 0y b 2=1上,a 2=4,b 2=2,x 0=4,y 0=1,得4x 4+y 2=1,即2x +y -2=0.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型153㊀定值问题思路提示:求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理,计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.图㊀10-31㊀㊀㊀证:设椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0(),如图10-31所示,作辅助线,设A x 1,y 1(),B x 2,y2(),易知R t әF M R ʐR t әA H B ,所以F R A B =F MAH =A F -B F2x 1-x 2=A F -B F2x 1-x 2(∗)由定义知A F +A F ᶄ=2a ①,从而A F -A F ᶄ=A F 2-A F ᶄ22a =(x 1+c )2+y 21-(x 1-c )2+y 21[]2a=2e x 1②.①+②2得A F =a +e x 1③,同理B F =a +e x 2④.③-④得A F -B F =e x 1-x 2(),代入式(∗)得F R A B =e x 1-x 2()2x 1-x 2=e 2.类比椭圆,在双曲线中有F R A B =e 2.第十章　圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃163㊀㊃心得体会图㊀10-32在抛物线中,设抛物线方程为y 2=2px p >0(),如图10-32所示,作辅助线方法同椭圆中,得F R A B =A F -B F 2A H=A F -B F2A S -B T=A F -B F2A F -B F=12.即F R A B =12=e 2(抛物线离心率为1).ʌ例10.55ɔ㊀(2010㊃全国Ⅱ理,12)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0()的离心率为32,过右焦点F 且斜率为k k >0()的直线与C 相交于A ,B 两点,若A F ң=3F B ң,则k =(㊀㊀).A .1B .2C .3D .2图㊀10-33ʌ解析ɔ㊀如图10-33所示,不妨设A F ң=3,则F B ң=1,M F ң=1,R F ң=e 2A B =2e =3,在R t әF M R 中,k =t a n øR F M=R M F M =3-11=2.故选B .ʌ评注ɔ㊀若l A B 的倾斜角为θ,且A F ң=λF B ңλ>0(),则c o s θ=λ-1eλ+1().ʌ变式1ɔ㊀(2009㊃全国Ⅱ理,11)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0()的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A ,B 两点,若A F ң=4F B ң,则C 的离心率为(㊀㊀).A .65B .75C .85D .95图㊀10-34ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃全国Ⅰ理,16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段B F 的延长线交C 于点D ,且B F ң=2F D ң,则C 的离心率为㊀㊀㊀㊀.ʌ变式3ɔ㊀(2007㊃重庆文,21)如图10-34所示,倾斜角为α的直线经过抛物线y 2=8x 的焦点F ,且与抛物线交于A ,B 两点.(1)求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程;(2)若α为锐角,作线段A B 的垂直平分线m 交x 轴于点P :F P -F P c o s 2α为定值,并求此定值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈㊀㊀㊀证:设椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0(),如图10-35所示,过点F 作l ʅx 轴于点F ,过点A ,B 分别作AH 1,B H 2垂直于l 于点H 1,H 2,设A x 1,y 1(),B x 2,y2(),l A B 的倾斜角为α,不妨设x 2<-c <x 1,则AH 1=A F c o s α=x 1+c ,㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃164㊀㊃心得体会图㊀10-35又由模型一中A F =a +e x 1,所以e AH 1=e A F c o s α=e x 1+e c =A F -a +e c ,即A F 1-e c o s α()=a -e c ,得A F =a -e c 1-e c o s α.1A F =1-e c o s αa -e c =1-e c o s αb2a.同理,在R t әB H 2F 中,1B F =1+e c o s αb2a,所以1A F +1B F =1-e c o s αb 2a +1+e c o s αb 2a =2b 2a=2a b2,为定值.类比椭圆,在双曲线(同支)中,仍有1A F +1B F =2a b2为定值.对于抛物线y 2=2p x p >0(),如图10-36所示,过点A ,B 分别作垂线A S ,B T 垂直于准线l 于点S ,T ,过F 作垂直于x 轴的直线交A S 与B T 的延长线(或反向延长线)于点H 1,H 2,在R t әAH 1F 中,AH 1=A F c o s α①,图㊀10-36又AH 1=A S -S H 1=A F -p ②,将式②代入式①得A F -p =A F c o s α,得A F =p 1-c o s α,所以1A F =1-c o s αp③.同理,在R t әB H 2F 中,可得1B F =1+c o s αp④.由③+④得,1A F +1B F =2p,为定值.ʌ评注ɔ㊀本结论对于A B 为通径也成立,且上述结论可统一为1|A F |+1|B F |=4L(L 为通径长).ʌ例10.56ɔ㊀(1)(2010㊃重庆文,13)已知过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,A F =2,B F =㊀㊀㊀㊀.(2)(2010㊃重庆理,14)已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A ,B 满足A F ң=3F B ң,则弦A B 的中点到准线的距离为㊀㊀㊀㊀.ʌ解析ɔ㊀(1)由1A F +1B F =2p=1,得12+1B F =1,故B F =2.(2)如图10-37所示,因为A F ң=3F B ң,所以设F B ң=r ,则A F ң=3r ,由1A F +1B F =2p ,知13r +1r =22,即r =43.因为点M 为线段A B 的中点,所以MN =12A S +B T ()=12A F +B F ()=12r +3r ()=2r =2ˑ43=83.ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃北京宣武二模理,8)如图10-38所示,抛物线C 1:y 2=2px 和圆C 2:第十章　圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃165㊀㊃心得体会x -p 2æèöø2+y 2=p 24,其中p >0,直线l 经过C 1的焦点,依次交C 1,C 2于A ,B ,C ,D 四点,则A B ң㊃C D ң的值为(㊀㊀).A .p24B .p 23C .p 22D .p2图图㊀㊀证:①对于椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0(),由题意可设θ1=øx +F P 1=α,则θi =øx +F P i =α+2i -1()πn i =1,2, ,n (),且由模型一知1F P i=1-e c o s θib 2ai =1,2, ,n (),所以ðni =11F P i=ðni =11-e c o s θib 2a=n a b 2-c b 2ðn i =1c o s θi (∗).因为θi =α+2i -1()πn ,所以单位向量F P iңF P i ң的终点均匀分布在以F 为圆心的单位圆上,所以ðni =1F P iңF P iң=0(∗∗).(证明:可把F P iңF P iң逆时针旋转2πn ,则式(∗∗)左边不变,其右边只能为0).所以ðn i =1c o s θi ,s i n θi ()=0,即有ðni =1c o s θi =0,代入式(∗)得ðni =11F P i=n a b 2-c b 2ˑ0=n ab 2为定值.②类比椭圆,在双曲线(同支)中,仍有ðni =11F P i=n ab 2.③对于抛物线y 2=2px p >0(),设θ1=øx +F P 1=α,则θi =øx +F P i =α+2i -1()πni =1,2, ,n (),㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃166㊀㊃心得体会由模型一中知1F P i =1-c o s θip,所以ðni =11F P i =ðn i =11-c o s θip =n p -1p ðn i =1c o s θi ,由①中证明知ðn i =1c o s θi =0,代入上式得ðni =11F P i =np为定值.ʌ评注ɔ㊀上述结论可统一为ðni =11|F P i|=2n L (L 为通径长).ʌ例10.57ɔ㊀(2007·重庆理,22)在椭圆x 236+y 227=1上任取三个不同的点P 1,P 2,P 3,使øP 1F P 2=øP 2F P 3=øP 3F P 1,其中F 为右焦点,求证:1F P 1+1F P 2+1F P 3为定值,并求此定值.ʌ解析ɔ㊀解法一:设椭圆的右顶点为A ,以F 为极点,A F 的延长线为极轴,建立极坐标系,并设øA F P i =θi i =1,2,3(),0ɤθi <2π3且θ2=θ1+2π3,θ3=θ1+4π3,又设点P i 在其右准线l :x =12上的射影为Q i ,因椭圆的离心率e =c a =12,从而有F P i =P i Q i ㊃e =a 2c -c -F P i c o s θi æèöø㊃e =129-F P i c o s θi ()i =1,2,3().解得1F P i=291+12c o s θi æèöøi =1,2,3().因此1F P 1+1F P 2+1F P 3=293+12c o s θ1+c o s 2π3+θ1æèöø+c o s 4π3+θ1æèöø[]{}.又c o s θ1+c o s 2π3+θ1æèöø+c o s 4π3+θ1æèöø=c o s θ1-12c o s θ1-32s i n θ1-12c o s θ1+32s i n θ1=0.故1F P 1+1F P 2+1F P 3=23为定值.解法二:如解法一建立极坐标系.由ρ=e p 1+e c o s θ,e =12,p =a 2c -c =9,则ρ=921+12c o s θ,故F 1P =921+12c o s θ1,F 2P =921+12c o s θ1+2π3æèöø,F 3P =921+12c o s θ1+4π3æèöø,因此第十章　圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃167㊀㊃心得体会1F P 1+1F P 2+1F P 3=291+12c o s θ1+1+12c o s θ1+2π3æèöø+[1+12c o s θ1+4π3æèöø]=23为定值.ʌ评注ɔ㊀对于与定点(焦点)距离有关的问题,利用极坐标可使问题得到简化.同时本题得到的结论1F P 1+1F P 2+1F P 3=23满足ðn i =11F P i=n ab 2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型三:三大圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线)中,曲线上的一定点P 与曲线上的两动点A ,B 满足直线P A 与直线P B 的斜率互为相反数,则直线A B 的斜率为定值.㊀㊀㊀证明:①对于椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0().设P x 0,y 0(),A x 1,y 1(),B x 2,y 2().令x 0=a c o s θ,y 0=b s i n θ,A a c o s α,b s i n α(),B a c o s β,b s i n β().则k A B =b s i n α-b s i n βa c o s α-a c o s β=b a ㊃2c o s α+β2s i n α-β2-2s i n α+β2s i nα-β2=-b a c o t α+β2(∗).同理,k P A =-b a c o t α+θ2,k P B =-b a c o t θ+β2.而k P A +k P B =0,得-b a c o t α+θ2-b a c o t θ+β2=0,所以c o t α+θ2+c o t θ+β2=0,得1t a n α+θ2+1t a n θ+β2=0⇒t a n α+θ2+t a n θ+β2=0,即t a n α+β2+θæèöø=0⇒t a n α+β2+t a n θ=0⇒c o t α+β2+c o t θ=0,所以c o t α+β2=-c o t θ,代入式(∗)得k A B =-b a -c o t θ()=b a c o t θ=b 2x 0a 2y 0,为定值.由于x 0y0ʂ0,所以上述所有三角运算均有意义.②对于双曲线x 2a 2-y 2b2=1a ,b >0(),设P (x 0,y 0)为P a s e c θ,b t a n θ(),A a s e c α,b t a n α(),B a s e c β,b t a n β(),则k A B =b t a n α-b t a n βa s e c α-a s e c β=b a ㊃s i n αc o s β-s i n βc o s αc o s β-c o s α=b a ㊃s i n α-β()-2s i n α+β2s i n β-α2=b a ㊃c o s α-β2s i nα+β2(∗).同理,k P A =b a ㊃c o s θ-α2s i n θ+α2,k P B =b a ㊃c o s θ-β2s i n θ+β2,㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃168㊀㊃心得体会而k P A +k P B =0,即b a c o s θ-α2s i n θ+α2+c o s θ-β2s i n θ+β2æèöø=0,所以c o s θ-α2s i n θ+α2+c o s θ-β2s i n θ+β2=0,s i n θ+β2c o s θ-α2+s i n θ+α2c o s θ-β2=0.即12s i n θ+β+θ-α2æèöø+s i n θ+β-(θ-α)2æèöø[]+12s i n θ+α+θ-β2æèöø+s i n θ+α-θ-β()2æèöø[]=0⇒s i n θ+β-α2æèöø+s i n α+β2+s i n θ+α-β2æèöø+s i n α+β2=0⇒s i n θ-α-β2æèöø+s i n θ+α-β2æèöø+2s i n α+β2=0⇒2s i n θ-α-β2+θ+α-β22c o s θ-α-β2-θ+α-β2æèöø2+2s i n α+β2=0⇒s i n θc o s α-β2+s i n α+β2=0⇒c o s α-β2s i n α+β2=-1s i n θ,代入式(∗)得k A B =b a ㊃-1s i n θæèöø=-b a ㊃1s i n θ=-b 2x 0a 2y 0,为定值.由于y 0ʂ0,所以上述所以三角函数运算均成立.③对于抛物线y 2=2p x p >0(),设P x 0,y 0(),A y 212p ,y 1æèöø,B y 222p ,y2æèöø(y 0,y 1,y 2两两均不相等),则k A B =y 1-y 2y 212p -y222p=2p y 1+y 2(∗).同理,k P A =2p y 0+y 1,k P B =2p y 0+y2,又k P A +k P B =0,得2p y 0+y 1+2p y 0+y 2=0,即1y 0+y 1+1y 0+y2=0,故y 0+y 1+y 0+y 2=0,得y 1+y 2=-2y0,代入式(∗)得k A B =2p -2y 0=-py 0.ʌ例10.58ɔ㊀(2009·辽宁理,20)已知椭圆C :x 24+y 23=1,A 为椭圆C 上的点,其坐标为1,32æèöø,E ,F 是椭圆C 上的两动点,如果直线A E 的斜率与A F 的斜率互为相反数,证明:直线E F 的斜率为定值,并求出该定值.ʌ分析ɔ㊀要求直线E F 的斜率,必须知道E ,F 的坐标.ʌ解析ɔ㊀设直线A E 的方程为y =k x -1()+32,x 24+y23=1y =k x -1()+32ìîí,第十章　圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃169㊀㊃心得体会消y 得4k 2+3()x 2+12k -8k 2()x +432-k æèöø2-12=0,则x E =432-k æèöø2-124k 2+3()x A =3-2k ()2-124k 2+3①,又直线A F 的斜率与A F 的斜率互为相反数,故以上k 用-k 代替得x F =3+2k ()2-124k 2+3②,所以k E F =y F -yE xF -x E=-k x F -1()+32-k x E -1()+32[]x F -x E =-k x F +x E ()+2k x F -x E,把①,②两式代入上式,得k E F =12.ʌ变式1ɔ㊀已知A ,B ,C 是长轴为4,焦点在x 轴上的椭圆上的三点,点A 是长轴的一个顶点,B C 过椭圆的中心O ,且A C ң㊃B C ң=0,B C ң=2A C ң.(1)求椭圆的方程;(2)如果椭圆上的两点P ,Q ,使得øP C Q 的平分线垂直于O A ,问是否总存在实数λ,使得P Q ң=λA B ң?说明理由.ʌ变式2ɔ㊀已知椭圆x 26+y 22=1的内接әP A B 中,点P 坐标为3,1(),P A 与P B 的倾斜角互补,求证:直线A B 的斜率为定值,并求之.图㊀10-39ʌ变式3ɔ㊀已知双曲线x 2-y 23=1上点P 2,3(),过P 作两条直线P A ,P B ,满足直线P A 与P B 倾斜角互补,求直线A B 的斜率.ʌ变式4ɔ㊀(2004㊃北京理,17)如图10-39所示,过抛物线y 2=2px p >0()上一定点P x 0,y 0()y0ʂ0(),作两条直线分别交抛物线于A x 1,y 1(),B x 2,y2().(1)求该抛物线上纵坐标为p 2的点到焦点F 的距离;(2)当P A 与P B 的斜率存在且倾斜角互补时,求y 1+y 2y0的值,并证明直线A B 的斜率是非零常数.ʌ例10.59ɔ㊀如图10-40所示,已知圆O 的半径是a a >0(),圆中有两条互相垂直的直径A B 和C D ,P 是圆周上任意一点(不在A B ,C D 上),直线A P ,B P 分别交直线C D 于M ,N ,证明O M ңO N ң=a 2.ʌ解析ɔ㊀证:因为B P ңʅA P ң,所以B N ңʅA M ң,从而B N ң㊃A M ң=B O ң+O N ң()㊃A O ң+O M ң()=0,㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃170㊀㊃心得体会图㊀10-40即B O ң㊃A O ң+B O ң㊃O M ң+O N ң㊃A O ң+O M ң㊃O N ң=0,即-a 2+O M ң㊃O N ң=0.所以O M ң㊃O N ң=O M ңO N ңc o s 0=O M ңO N ң=a2,得证.ʌ例10.60ɔ㊀如图10-41所示,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0()的上㊁下顶点分别为A ,B ,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,直线A P ,B P 分别交x 轴于M ,N ,证明:图㊀10-41O M ңO N ң=a 2.ʌ解析ɔ㊀证:设P x 0,y 0(),则x 0y0ʂ0,M m ,0(),N n ,0(),则A P ңʊAM ң,即x 0,y0-b ()ʊm ,-b ().所以m y 0-b ()=-b x 0,得m =-b x 0y0-b .同理由B P ңʊB N ң,得n =b x 0y 0+b .所以O MңO N ң=m n =-b 2x 20y 20-b 2=x 201-y20b 2=x 20x 20a2=a 2.图㊀10-42ʌ变式1ɔ㊀如图10-42所示,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0()上㊁下顶点分别为A ,B ,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,直线A P ,B P 分别交x 轴于M ,N .证明:AM ң㊃B N ң为定值,并求之.ʌ例10.61ɔ㊀如图10-43所示,已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a ,b >0()左㊁图㊀10-43右顶点分别为A ,B ,点P 是双曲线异于顶点的任意一点,直线A P ,B P 分别交y 轴于M ,N ,证明:O M ңO N ң=b 2.证:设P x 0,y 0(),y0ʂ0,M 0,m (),N 0,n (),A -a ,0(),B a ,0(),则A P ңʊAM ң,即x 0+a ,y0()ʊa ,m (),所以m x 0+a ()=a y0,即m =a y 0x 0+a .同理,由B P ңʊB N ң,得n =-a y 0x 0-a .所以,O MңO N ң=m n =a y 0x 0+a ㊃-a y 0x 0-a =a 2y 20x 20-a 2=y 20x 20a 2-1=y 20y20b2=b 2.ʌ变式1ɔ㊀(2009·江西理,21)已知双曲线x 22b 2-y 225b2=1b >0()的左㊁右顶点为B ,D ,在双曲线上任取一点Q x 0,y 0()y0ʂ0(),直线Q B ,Q D 分别交y 轴于M ,N 两点,求证:以MN 为直径的圆过两定点.第十章　圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃171㊀㊃心得体会图㊀10-44ʌ例10.62ɔ㊀如图10-44所示,已知抛物线y 2=2px p >0(),动直线l 过定点Q q ,0(),且l 与抛物线交于A ,B 两点,AM 垂直于x 轴于M ,B N 垂直于x 轴于N ,AM ᶄ垂直于y 轴于M ᶄ,B N ᶄ垂直于y 轴于N ᶄ,证明:O M ңO N ң=q 2,O M ᶄңO N ᶄң=2p |q|.ʌ解析ɔ㊀证:由题意知直线l 的斜率非零,故可设直线l :x =t y +qt ɪR (),A x 1,y 1(),B x 2,y 2().由y 2=2px x =t y +q{,得y 2-2p t y -2p q =0.所以O M ᶄңO N ᶄң=y 1y 2=2p |q|,O M ᶄңO N ᶄң=x 1x 2=y 212p ㊃y 222p =y 1y 2()24p 2=4p 2q 24p2=q 2.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型154㊀最值问题思路提示:有两种求解方法:一是几何方法,即利用几何性质结合图形直观求解;二是建立目标函数,通过求函数的最值求解.ʌ例10.63ɔ㊀设椭圆x 225+y 216=1的左㊁右焦点分别为F 1,F 2,点M 是椭圆上任意一点,点A 的坐标为2,1(),求M F 1+MA 的最大值和最小值.ʌ分析ɔ㊀本题若设M x ,y (),建立目标函数MA +M F 1=f x ,y (),则会作茧自缚.但是注意到F 1为椭圆左焦点,联想到椭圆定义及三角形中边的关系不等式时,问题就容易获解.图㊀10-45ʌ解析ɔ㊀如图10-45所示,因为M 在椭圆上,所以有M F 1+M F 2=2a =10.令Z =M F 1+MA ,得Z =10+MA -M F 2.当M ,A ,F 2三点不共线时,有-A F 2<MA -M F 2<A F 2,当M 落在F 2A 的延长线时,MA -M F 2=-F 2A ,当M 落在A F 2的延长线时,MA -M F 2=F 2A .所以Z m a x =10+F 2A =10+2-3()2+1-0()2=10+2,Z m i n =10-F 2A =10-2.ʌ评注ɔ㊀这里利用椭圆定义㊁三角形两边之差小于或等于(注意等号成立的条件)第三边,使与曲线有关的最值转化为直线段间的最值.应明确这里不能用F 1M +AM ȡF 1A =26,求得F 1M +AM ȡF 1A 的最小值26,原因是取不到等号,如果要取到等号,那么M 必须在线段F 1A 上,但这是不可能的.ʌ变式1ɔ㊀如图10-46所示,已知点P 是抛物线y 2=4x 上的点,设点P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线l :x +2y -12=0的距离为d 2,求d 1+d 2的最小值.ʌ变式2ɔ㊀(2009·辽宁理,16)如图10-47所示,已知点F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点,点A 坐标为1,4(),P 是双曲线右支上的动点,则P F +P A 的最小值㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃172㊀㊃心得体会为㊀㊀㊀㊀.图㊀10-46图㊀10-47ʌ变式3ɔ㊀(2011㊃广东理,19(2))已知点P 为双曲线L :x 24-y 2=1上的动点,M 355,455æèöø,F 5,0().求MP -F P 的最大值及此时点P 的坐标.ʌ变式4ɔ㊀(2011㊃广东文,21(2))在平面直角坐标系x O y 中,已知E 的方程是y 2=4x +4或x <-1y=0{.已知T 1,-1(),设H 是E 上动点,求H O +HT 的最小值,并给出此时点H 的坐标.ʌ例10.64ɔ㊀(2009㊃重庆理,20)已知椭圆x 2+y 24=1,点M 是椭圆上的动点,若C ,D 的坐标分别是0,-3(),0,3(),求M C MD 的最大值.ʌ分析ɔ㊀求积的最大值,由 和为定值积有最大值 知,必须找出和为定值.ʌ解析ɔ㊀由题设知C ,D 是椭圆的上㊁下焦点,故由椭圆的定义知M C +MD =24=4.所以M CMD ɤM C +MD 2æèöø2=42æèöø2=4.当且仅当M C =MD 时取等号,即M 为左㊁右顶点时取等号.所以,当M 为左㊁右顶点时,M C ㊃MD 的最大值为4.ʌ评注ɔ㊀本题运用均值不等式求最值,但要注意使用均值不等式的条件:一正,二定,三相等,四同时.积为定值时,和最小a +b ȡ2a b a ,b >0();和为定值时,积最大a b ɤa +b 2æèöø2a ,b >0(),取等号的条件均为a =b .ʌ变式1ɔ㊀(2006㊃全国Ⅰ,理20)已知椭圆x 2+y 24=1在第一象限部分为曲线C ,动点P 在C 上,C 在点P 处的切线与x ,y 轴的交点分别为A ,B ,且向量O M ң=O A ң+O B ң,求O M ң的最小值.ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃广东文,21)已知曲线C :y =n x 2,点P n x n ,y n ()x n >0,yn >0()是曲线C n 上的点n =1,2, ().(1)试写出曲线C n 在点P n 处的切线l n 的方程,并求出l n 与y 轴的交点Q n 的坐标;(2)若原点O 0,0()到l n 的距离与线段P n Q n 的长度之比取到最大值,试求点P n 的坐标x n ,yn ();(3)设m 与k 为两个给定的不同的正整数,x n 与y n 是满足(2)中条件的点P n第十章　圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃173㊀㊃心得体会的坐标.证明:ðs n =1m +1()x n2-k +1()y n <m s -k s s =1,2, ().ʌ变式3ɔ㊀(2011㊃山东理,22)已知动直线l 与椭圆C :x 23+y 22=1交于P (x 1,y 1),Q (x 2,y2)两个不同点,且әO P Q 的面积S әO P Q =62,其中O 为坐标原点.(1)证明:x 21+x 22和y 21+y 22均为定值;(2)设线段P Q 的中点为M ,求O M P Q 的最大值;(3)椭圆C 上是否存在三点D ,E ,G ,使得S әO D E =S әO D G =S әO E G=62?若存在,判断әD E G 的形状;若不存在,请说明理由.图㊀10-48ʌ例10.65ɔ㊀(2009㊃陕西理,21)已知双曲线y 24-x 2=1,如图10-48所示,P 是双曲线上一点,A ,B 两点在双曲线的两条渐近线上,且分别位于第一㊁二象限,若A P ң=λP B ң,λɪ13,2[],求әA O B 的面积的取值范围.ʌ分析ɔ㊀由图10-48可知,S әA O B =12O AO B s i n øA O B ,从而只要知道A ,B 两点的坐标即可.ʌ解析ɔ㊀设A m ,2m (),B -n ,2n ()m ,n >0(),P x ,y (),由A P ң=λP B ң知点P 坐标为m -λn 1+λ,2m +2λn 1+λæèöø,又P 在双曲线上,所以2m +2λn 1+λæèöø24-m -λn 1+λæèöø21=1⇒m n =1+λ()24λ=λ+1λ+24.设øA O B =2θ,因为t a n π2-θæèöø=2,所以t a n θ=12,s i n 2θ=2t a n θ1+t a n 2θ=11+14=45,所以S әA O B =12ˑ5m ˑ5n ˑ45=2m n =12λ+1λæèöø+1,又λɪ13,2[],当λ=1时,S әA O B 取最小值为2;当λ=13时,S әA O B 取最大值为83.所以S әA O B ɪ2,83[].ʌ评注ɔ㊀本题建立目标函数,即әA O B 的面积与λ的函数关系S λ()=12λ+1λæèöø+1,利㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃174㊀㊃心得体会用函数的单调性来求解.ʌ变式1ɔ㊀已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ,A ,B 是抛物线上的两动点,且A F ң=λF B ңλ>0(),过A ,B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M .(1)证明:F M ң㊃A B ң为定值;(2)求әA B M 的面积的最小值.ʌ例10.66ɔ㊀(2008㊃全国Ⅱ理,21)设椭圆中心在坐标原点,A 2,0(),B 0,1()是它的两个顶点,直线y =k x k >0()与椭圆交于E ,F 两点,求四边形A E B F 面积的最大值.ʌ分析ɔ㊀将四边形A E B F 分割为两个三角形来求面积.ʌ解析ɔ㊀设E x 0,y 0(),F -x 0,-y 0(),x 0,y 0>0,由题意知椭圆方程为x 24+y 2=1,如图10-49所示,S 四边形A E B F =S әA E F +S әB E F =12O A y 0--y 0()+图㊀10-4912O B x 0--x 0()=2y0+x 0,又x 204+y 20=1即x 20+4y 20=4,4=x 20+4y 20ȡ4x 0y0(当x 0=2y0时等号成立).所以S 2四边形A E B F =x 0+2y 0()2=x 20+4x 0y 0+4y20ɤ4+x 20+2y0()2=8,即S 四边形A E B F ɤ22,当且仅当x 0=2y 0时取等号.另解:设x 0=2c o s θ,y0=s i n θ,θɪ0,π2æèöø,则S 四边形A E B F =2c o s θ+s i n θ=22s i n θ+π4æèöøɤ22.故四边形A E B F 的面积的最大值为22.ʌ例10.67ɔ㊀(2009㊃全国Ⅰ理,21)如图10-50所示,已知抛物线E :y 2=x 与圆M :x -4()2+y2=r 2r >0()相交于A ,B ,C ,D 四点.图㊀10-50(1)求r 的取值范围;(2)当四边形A B C D 的面积最大时,求对角线A C ,B D的交点P 的坐标.ʌ解析ɔ㊀(1)将y 2=x 代入x -4()2+y 2=r 2并化简得x 2-7x +16-r 2=0①.因为E 与M 有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x 1,x 2,由此得Δ=-7()2-416-r 2()>0x 1+x 2=7>0x 1x 2=16-r 2>0ìîí,解得154<r 2<16.又r >0,所以r 的取值范围是152,4æèöø.(2)不妨设E 与M 的四个交点坐标分别为A x 1,x 1(),B x 1,-x 1(),第十章　圆锥曲线方程㊀㊀㊀㊃175㊀㊃心得体会C x 2,-x 2(),D x 2,x 2(),则直线A C ,B D 的方程分别为y -x1=-x 2-x 1x 2-x 1㊃x -x 1(),y +x1=x 2+x 1x 2-x 1㊃x -x 1().解得点P 的坐标为x 1x 2,0().设t =x 1x 2,由t =16-r 2及(1)知0<t <72.由于四边形A B C D 为等腰梯形,因而其面积S =122x 1+2x 2()㊃x 2-x 1.即S 2=x 1+x 2+2x 1x 2()㊃x 1+x 2()2-4x 1x 2[].将x 1+x 2=7,x 1x 2=t 代入上式,并令f (t )=S 2,得f (t )=7+2t ()2㊃7-2t ()0<t <72æèöø.求导数得f ᶄ(t )=-22t +7()6t -7().令f ᶄ(t )=0,解得t =76,t =-72(舍去).显然当0<t <76时,fᶄ(t )>0,当76<t <72时,f ᶄ(t )<0.故当且仅当t =76时,f (t )有最大值,即四边形A B C D 的面积最大.故所求的点P 的坐标为76,0æèöø.ʌ评注ɔ㊀本题主要有两个考查点:一个是考查将曲线与曲线的交点问题转化为二次方程的根的个数问题,是较基本的问题;另一个是考查四边形A B C D 的面积最大值问题,是本题的核心点.要注意本题中表面上求点的坐标,实质上是求四边形A B C D 面积的最大值,而且在求目标函数最值的过程中,利用导数判断函数单调性的方法,从而使本题的综合性大大提高.ʌ变式1ɔ㊀(2011·湖南文,21)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1与轨迹C 相交于点A ,B ,l 2与轨迹C 相交于点D ,E ,求A D ң㊃E B ң的最小值.第十一章㊀算法初步考纲解读┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1.了解算法的含义和思想.2.理解程序框图的3种基本逻辑结构:顺序㊁条件分支㊁循环.3.理解几种基本算法语句输入㊁输出㊁赋值㊁条件和循环语句的含义.命题趋势探究┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈㊀㊀预测在2012年高考中,本章知识仍为考查的热点,内容以程序框图为主.从形式上看,以选择题和填空题为主,以实际问题为背景,侧重知识应用能力的考查,要求考生具备一定的逻辑推理能力.本专题主要考查算法的逻辑结构,要求能够写出程序的运行结果㊁指明算法的功能㊁补充程序框图㊁求输入参量,并常将算法与其他版块知识(尤其是与数列)进行综合考查.一般来说,有关算法的试题属容易题目,分值稳定在5分.知识点精讲一㊁算法与程序框图1.算法算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤,这些程序或步骤必须是确定的和能执行的,而且能够在有限步之内完成.2.程序框图(1)定义:程序框图又称流程图,是一种用程序框㊁流程线及文字说明来表示算法的图形.(2)说明:在程序框图中一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方向的流程线将程序框连接起来,表示算法步骤的执行顺序.3.3种基本逻辑结构程序框图有3种基本的逻辑结构,如表11-1所示.第十一章　算法初步㊀㊀㊀㊃177㊀㊃心得体会表㊀11-1㊀㊀名称内容㊀㊀顺序结构条件结构循环结构定义顺序结构由若干个依次执行的步骤组成,是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向,条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤,反复执行的步骤称为循环体程序框图二㊁基本算法语句1.3种语句的一般格式和功能3种基本算法语句的一般格式和功能如表11-2所示.表㊀11-2语句一般格式功能输入语句I N P U T提示内容 ;变量输入信息输出语句P R I N T提示内容 ;表达式输出结果赋值语句变量=表达式将表达式的值赋给变量2.条件语句(1)算法中的条件结构由条件语句来表达.(2)条件语句的格式及框图如图11-1和图11-2所示.①I F T H E N 格式图㊀11-1②I F T H E N E L S E 格式图㊀11-2㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃178㊀㊃心得体会3.循环语句(1)算法中的循环结构由循环语句来实现.(2)循环语句的形式及框图如图11-3和图11-4所示.①U N T I L语句图㊀11-3②WH I L E语句图㊀11-4(3)WH I L E 语句与U N T I L 语句之间的区别与联系如表11-3所示.表㊀11-3WH I L E 语句U N T I L 语句区别执行循环体前测试条件,当条件为真时执行循环体,当条件为假时终止循环,可能不执行循环体执行循环体后测试语句条件,当条件为假时执行循环体,当条件为真时终止循环,最少执行一次循环体联系可以相互转换,L O O PU N T I L (条件)相当于WH I L E (反条件)三㊁算法案例1.辗转相除法辗转相除法又叫欧几里得算法,是一种求最大公约数的古老而有效的算法,其步骤如下:(1)用两数中较大的数除以较小的数,求商和余数;(2)以除数和余数中较大的数除以较小的数;(3)重复上述两步,直到余数为0;(4)则较小的数是两数的最大公约数.2.更相减损术更相减损术是我国古代数学专著‘九章算术“中介绍的一种求两数最大公约数的算法,其基本过程为:对于任意给定的两个正整数,以大数减小数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续该操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数.第十一章　算法初步㊀㊀㊀㊃179㊀㊃心得体会3.秦九韶算法秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作‘数书九章“中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法.4.进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统, 满k 进1 就是k 进制,k 进制的基数是k.题型归纳及思路提示┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型155㊀已知流程框图,求输出结果思路提示:分析条件结构,确定最后一步运算.ʌ例11.1ɔ㊀(2010㊃全国新课标理,7(文,8))如果执行如图11-5所示的框图,输入N =5,则输出的数等于(㊀㊀).图㊀11-5A .54㊀㊀㊀㊀B .45㊀㊀㊀㊀C .65㊀㊀㊀㊀D .56ʌ分析ɔ㊀解决这类算法问题时,一般有两种思路:一是把人看作计算机,程序执行哪一步,我们就计算哪一步,一直到程序终止,这类方法往往适用于步骤比较简单㊁循环次数不十分多的程序;另一种思路是分析程序的原理,了解程序实质要完成的目标,将其还原为数学模型,从而对数学模型进行求解.ʌ解析ɔ㊀解法一:S =0,k =1,S =0+11ˑ2=12,1<5,是ңk =2,S=12+12ˑ3=23,2<5,是ңk =3,S =23+13ˑ4=34,3<5,是ңk =4,S =34+14ˑ5=45,4<5,是ңk =5,S =45+15ˑ6=56,5<5,否,程序结束.解法二:本题实质上是求解ð5k =11k k +1(),故S =0+11ˑ2+12ˑ3+ +15ˑ6=1-12+12-13+ +15-16=56.故选D .ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃沈阳监测理,2)执行如图11-6所示的程序框图,则输出的结果S 是㊀㊀㊀㊀.ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃天津河西区调查)如图11-7所示,该程序框图的输出结果是㊀㊀㊀㊀.ʌ变式3ɔ㊀(2007㊃山东理,10)阅读如图11-8所示的流程框图,若输入的n 是100,则输出的变量S 和T 的值分别是(㊀㊀).A .2500,2500B .2550,2550C .2500,2550D .2550,2500ʌ变式4ɔ㊀(2011㊃课标全国理,3)执行如图11-9所示的程序框图,如果输入的N 是6,㊀㊀㊀㊀新课标高考数学题型全归纳㊃180㊀㊃心得体会则输出的p 是(㊀㊀).A.120B .720C .1440D .5040ʌ变式5ɔ㊀(2011㊃浙江理,12)若某程序框图如图11-10所示,则该程序运行后输出的k 的值是㊀㊀㊀㊀.㊀㊀㊀图㊀11-6㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图㊀11-7㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图㊀11-8图㊀11-9图㊀11-10图㊀11-11ʌ例11.2ɔ㊀(2010㊃辽宁文,5)如果执行如图11-11所示的流程框图,输入n =6,m =4,那么输出的P 等于(㊀㊀)A .720B .360C .240D .120ʌ解析ɔ㊀k =1,P =1ˑ6-4+1()=3,1<4ңk =2,P =3ˑ6-4+2()=12,2<4ңk =3,P =12ˑ6-4+3()=60,3<4ңk =4,P =60ˑ6-4+4()=360,4=4程序结束ң输出P =360.故选B .ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃辽宁理,4)如果执行如图11-11所示的程序框图,输入正整数n ,m ,㊃181㊀㊃心得体会满足n ȡm ,那么输出的P 等于(㊀㊀).A .C m -1nB .A m -1nC .C m nD .A mnʌ变式2ɔ㊀(2010㊃天津文,3)阅读图11-12所示的流程框图,则输出S 的值为(㊀㊀).A .-1B .0C .1D .3ʌ变式3ɔ㊀(2010㊃安徽文,13(理,14))如图11-13所示,流程框图(算法流程图)的输出值x =㊀㊀㊀㊀.图㊀11-12㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图11-13ʌ变式4ɔ㊀(2011㊃辽宁理,6)执行如图11-14所示的程序框图,如果输入的n 是4,则输出的p 是(㊀㊀).A .8B .5C .3D .2ʌ变式5ɔ㊀(2011㊃安徽理,11)如图11-15所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是㊀㊀㊀㊀.图㊀11-14图㊀11-15图㊀11-16㊃182㊀㊃心得体会ʌ变式6ɔ㊀(2011㊃湖南理,13)若执行如图11-16所示的框图,输入x 1=1,x 2=2,x 3=3,x =2,则输出的数等于㊀㊀㊀㊀.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型156㊀根据条件,填充不完整的流程图思路提示:程序框图缺失的不同,会导致不同的解决方法,如果缺少循环条件,那么程序主体是可以被理解的,因此转化为数学模型,然后根据初始值和输出值来计算循环了多少次从而得到循环条件;如果缺少循环主体中的一环,那么就要理解程序的目的是什么,然后补充起来.图㊀11-17ʌ例11.3ɔ㊀(2010㊃北京文,9)已知函数y =l o g 2x (x ȡ2)2-x (x <2){,如图11-17所示,表示的是给定x 的值,求其对应的函数值y 的程序框图.①处应填写㊀㊀㊀㊀;②处应填写㊀㊀㊀㊀.ʌ解析ɔ㊀依题意,①处应填写x <2?;②处应填写y =l o g 2x .ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃陕西文,5)如图11-18所示是求x 1,x 2, ,x 10的乘积S 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为(㊀㊀).A .S =S ∗n +1()B .S =S ∗x n +1C .S =S ∗nD .S =S ∗x n㊀㊀㊀图㊀11-18㊀㊀㊀㊀㊀图㊀11-19ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃陕西理,6)如图11-19所示是求样本x 1,x 2, ,x 10平均数ʏx 的程序框图,图中空白框中应填入的内容为(㊀㊀).A .S =S +x nB .S =S +x nn C .S =S +n D .S =S +1nʌ例11.4ɔ㊀(2010㊃山东青岛质检,8)如图11-20所示的程序框图,输出的S 是126,则①应为㊀㊀㊀㊀.A .n ɤ5B .n ɤ6?C .n ɤ7?D .n ɤ8?㊃183㊀㊃心得体会图㊀11-20ʌ解析ɔ㊀S =0+21+22+ +2n=126⇒21-2n()1-2=126⇒n =6,所以根据流程图模拟分析,填入选择框的条件为n ɤ6.故选B .ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃浙江嘉兴测试,2)一个算法的程序框图如图11-21所示,若该程序的输出结果为56,则判断框中应填入的条件是(㊀㊀).A .i <5B .i <6?C .i ȡ5D .i ȡ6?ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃广州测试一,4)阅读如图11-22所示的程序框图,若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是(㊀㊀).A .i >5B .i >6?C .i >7?D .i >8?ʌ变式3ɔ㊀阅读如图11-22所示的程序框图,若在程序框图中的判断框内填写的条件是i >m ,试问正整数m 的最小值为何值时,输出的S 的值超过1000?㊀㊀㊀图㊀11-21㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图㊀11-22图㊀11-23ʌ例11.5ɔ㊀(2010㊃浙江理,2(文,4))某程序框图如图11-23所示,若输出S =57,则判断框内为(㊀㊀).A .k >4㊀㊀B .k >5?㊀㊀C .k >6?㊀㊀D .k >7?ʌ解析ɔ㊀如表11-4所示,根据模拟分析,判断框内的条件为k >4?.故选A .表㊀11-4k k =1()S S =1()条件第1次22ˑ1+2=4否第2次32ˑ4+3=11否第3次42ˑ11+4=26否第4次52ˑ26+5=57是㊃184㊀㊃心得体会ʌ变式1ɔ㊀某程序框图如图11-23所示,若判断框内填入k >m ?,试问正整数m 最小为何值时,程序输出的S 值超过1000ʌ变式2ɔ㊀(2010㊃天津理,4)阅读如图11-24所示的程序框图,若输出S 的值为-7,则判断框内应填写(㊀㊀).A .i <3B .i <4?C .i <5?D .i <6?ʌ变式3ɔ㊀阅读如图11-24所示的程序框图,若判断框内的条件为i <m ?,当正整数m 的最小值为何值时,输出S 的值小于-1000ʌ变式4ɔ㊀设:1+12+13+14+15+16+17=m n ,如图11-25所示是计算分数m n中分子m 和分母n 的程序流程,试填入流程框图中所缺部分.①㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀;②㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀.㊀图㊀11-24㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图㊀11-25┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型157㊀求输入参量ʌ例11.6ɔ㊀(1)执行如图11-26所示的程序框图,若输出的n 为4,则输入P 的取值范围为(㊀㊀).图㊀11-26A .0.75,0.875()B .0.75,0.875(]C .0.75,0.875[)D .0.75,0.875[](2)执行如图11-26所示的程序框图,若输出的n 为4,则输入P 可能为(㊀㊀).A .0.7㊀㊀B .0.75㊀㊀C .0.8㊀㊀D .0.9(3)(2008㊃山东理,13(文,14))执行如图11-26所示的程序框图,若P =0.8,则输出n =㊀㊀㊀㊀.ʌ解析ɔ㊀(1)产生 n =2 的条件为 P >0 ;产生 n =3的条件为 P >12 ;产生 n =4 的条件为 P >34;产生 n =5的条㊃185㊀㊃心得体会件为 P >78 .输出 n =4 的条件为产生 n =4 的条件,而不产生 n =5 ,即P >34且P ɤ78.故输入P 的取值范围为0.75,0.875(].故选B .(2)由(1)得,若输出n =4,则P ɪ0.75,0.875(],故选C .(3)依题意P =0.8,如表11-5所示,则输出n =4.表㊀11-5PS <P S S =0()n n =1()第1次0.8是122第2次0.8是12+122=343第3次0.8是34+123=784第4次0.8否ʌ变式1ɔ㊀(2010㊃丰台一模理,13)在如图11-27所示的程序框图中,若输出i 的值是4,则输入x 的取值范围是㊀㊀㊀㊀图㊀11-27图㊀11-28ʌ变式2ɔ㊀(2011㊃陕西理,8)如图11-28所示,x 1,x 2,x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,p 为该题的最终得分.当x 1=6,x 2=9,p =8.5时,x 3等于(㊀㊀).A .11B .10C .8D .7┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈题型158㊀算法综合思路提示:本题型是程序框图与其他知识的综合,它不仅要求学生能正确掌握程序框图,还要求学生对综合知识有较深的理解,是算法的难点.与程序框图进行综合的主要有函数㊁数列㊁三角㊁概率㊁统计㊁实际问题等,是高考命题的亮点.ʌ例11.7ɔ㊀(2009㊃广东)随机抽取某产品n 件,测得其长度分别为a 1,a 2, ,a n ,则如。

高中数学笔记整理奋斗也就是我们平常所说的努力。

那种不怕苦，不怕累的精神在学习中也是需要的。

看到了一道有意思的题，就不惜一切代价攻克它。

为了学习，废寝忘食一点也不是难事，只要你做到了有兴趣。

下面是小编给大家带来的高三数学知识点总结，欢迎大家阅读!高中数学笔记整理11.对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)为奇函数;2.对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)为偶函数;3.一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x，都有f(a+x)=2b-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称;4.一般地，对于函数y=f(x)，定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x)，则它的图象关于x=a成轴对称。

5.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;6.由函数奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).高中数学笔记整理结2等式的性质：①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

不等式基本性质有：(1)a>bb(2)a>b,b>ca>c(传递性)(3)a>ba+c>b+c(c∈R)(4)c>0时，a>bac>bcc<0时，a>bac运算性质有：(1)a>b,c>da+c>b+d。

(2)a>b>0,c>d>0ac>bd。

(3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。

(4)a>b>0>(n∈N,n>1)。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

2024年高考数学第一轮复习知识点总结一、函数与方程（约占25%）1. 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。

2. 一次函数与二次函数：斜率、截距、图像特征、解析式、三要素表示法。

3. 指数函数与对数函数：性质、特征、解析式。

4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的性质、图像、周期与频率等。

5. 幂函数与反比例函数：性质、图像、变化规律。

6. 组合与复合函数：定义、性质、计算方法。

7. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程的解法、根的判别、关系式、二次函数与方程。

二、空间与向量（约占15%）1. 点、直线与平面：空间几何图形的基本概念、关系与性质。

2. 空间向量：向量的表示、运算、模与单位向量、数量积与向量积的意义与计算。

3. 空间直线与平面的方程：点线面关系、夹角与距离、平面投影问题。

4. 空间几何证明：基本证明方法与技巧。

三、导数与微分（约占15%）1. 函数的导数：导数的定义与性质、基本导数公式、导数的几何意义、高阶导数。

2. 导数的计算：四则运算法则、链式法则、乘法法则、常见函数的导数。

3. 函数的微分：微分的定义与计算、微分与导数的关系、微分中值定理。

4. 导数应用：切线、法线、函数的极值与最值、函数的单调性、函数的凹凸性与拐点、不定积分、定积分等。

四、概率与统计（约占15%）1. 随机事件与概率：事件的概念、样本空间、事件的运算、概率的定义与性质、基本事件、条件概率与乘法定理。

2. 随机变量：离散型与连续型随机变量、分布函数、概率分布列、概率密度函数、期望与方差。

3. 概率分布：离散型随机变量的分布、二项分布、泊松分布、连续型随机变量的分布、均匀分布、正态分布。

4. 统计与抽样：参数与统计量、抽样方法与数据处理、样本均值与总体均值的关系、抽样分布与中心极限定理。

五、数列与数列极限（约占13%）1. 数列与数列极限：数列的概念与性质、数列极限的定义与性质、等差数列、等比数列、收敛性判定、数列极限的性质。

高中数学特殊值记忆
高中数学中有许多特殊值值得记忆，这些特殊值可以帮助我们更好地理解数学概念和解决问题。

以下是一些常见的特殊值:
1. 三角形中的特殊值：当三角形 ABC 的边 AB 为斜边时，有
sin(A)/AB=AC/AB,cos(A)/AB=BC/AB,tan(A)/AB=AB/AC。

2. 圆中的特殊值：当圆 O 的半径 R=0 时，圆 O 变为一个点，此时圆心 O 成为点 O;当圆 O 的半径 R=1 时，圆 O 变为一个单位圆，此时点的坐标必须是实数。

3. 函数中的特殊值：当函数 f(x)=0 的 x 值为-∞时，f(x) 称为单调递增函数;当函数 f(x)=0 的 x 值为+∞时，f(x) 称为单调递减函数;当函数 f(x) 在 x=a 处取得极值时，有 f"(x)=0。

4. 数列中的特殊值：当数列{an}的前 n 项和 Sn=0 时，数列{an}为等差数列;当数列{an}的前 n 项和 Sn=1 时，数列{an}为等比数列。

5. 导数中的特殊值：当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)=0 时，有
f(x) 为常数函数;当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)<0 时，函数 y=f(x) 在 x=a 处取得极小值;当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)>0 时，函数
y=f(x) 在 x=a 处取得极大值。

以上是一些常见的特殊值，这些特殊值可以帮助我们更好地理解数学概念和解决问题。

如果我们能够记住这些特殊值，就可以更好地掌握数学知识，更好地应用数学。

高中数学常用口诀
在学习高中数学的过程中，口诀是帮助我们记忆公式和定理的有效
方法。

下面列举了一些高中数学常用口诀，希望对大家的学习有所帮助：
一、三角函数口诀：
1.正弦余弦皆与角，正比负比循规矩。

2.正负所在那一限，正弦正切是正的。

3.根号三只友正弦，二的根号二友余弦。

二、圆的口诀：
1.圆周率尺规法，一圆项。

千千根号重：π＝3.14159，记忆个不轻。

2.弧长弧度两相邻，三点为圆中间驻，角度琴键弦用好，角度度数
对应着。

3.圆周角邻直角，同弦近圆交。

外切内稳势精顾，辅角对顶三逢亲。

三、平面几何口诀：
1.同类三角相似法，列比率哥达刮拉。

相似方幅求来比，等比等品
君得跟。

2.圆的曲面独一元，求面积头一招君。

高下残积主罕省，内长径尔
再添。

四、导数与微分口诀：
1.函数雏形列惯例，导则吾友以求之。

增长差变须记证，指事牵牛开辟门。

2.多项减副主法兰，微分为证铺金殿。

商显骤忽元幡摇，商商商手绕十课。

以上是一些高中数学常用口诀，希望同学们在学习数学的过程中能够加以运用，提升记忆效率，轻松掌握知识。

数学高二选修一笔记知识点在高二数学选修一中，我们将学习一些数学的深入知识和技巧，帮助我们更好地理解和应用数学。

以下是我整理的一些重要知识点，希望对你有所帮助。

1. 多项式函数多项式函数是由常数和变量的幂次方的和组成的函数。

我们通常用最高次项的幂次来表示多项式的次数。

例如，f(x) = 3x^2 + 2x + 1是一个二次多项式函数，其中2是最高次项的系数，2和1是次高次项和常数项的系数。

2. 反函数如果一个函数f(x)的定义域和值域可以互相对应，那么它的反函数存在。

记作f^{-1}(x)。

反函数的特点是它们将原函数的输入和输出进行交换。

例如，如果f(x) = 2x+3，那么它的反函数是f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}。

3. 三角函数三角函数是描述角度和三角形边长之间关系的函数。

常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

它们分别定义为三角形的边长之比，例如在一个直角三角形中，sinθ等于对边与斜边的比值。

4. 导数导数是描述函数变化率的工具，可以衡量函数在某一点的斜率。

对于函数f(x)，它的导数可以记为f'(x)或\frac{{df(x)}}{{dx}}。

导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率。

5. 积分积分是导数的逆运算，描述函数曲线下的面积。

对于函数f(x)，其在区间[a, b]上的积分可以表示为\int_a^b {f(x) \, dx}。

积分的几何意义是曲线下方与x轴之间的面积。

6. 概率概率是描述随机事件发生可能性的数值，用介于0和1之间的数表示。

常见的概率模型有随机变量、事件和概率分布等。

概率的计算可以通过频率或数学模型等方法进行。

7. 矩阵与线性方程组矩阵是由数按照矩形排列而成的二维数组。

在线性代数中，我们学习如何用矩阵和向量来表示和求解线性方程组。

矩阵的运算包括加法、乘法和求逆等。

8. 排列组合排列组合是描述对象排列和选择方式的数学工具。

高考数学万能公式口诀大全高考数学，一直是众多学子心中的难题。

要在高考数学中取得优异成绩，掌握各种公式和口诀是必不可少的。

下面就为大家整理一份高考数学万能公式口诀大全，希望能对大家有所帮助。

一、函数部分1、函数性质口诀函数奇偶看对称，奇函数关于原点，偶函数关于 y 轴；单调递增与递减，导数正负来判断；周期函数看规律，最小正周期要牢记。

2、反函数口诀反函数，要互换，原函数的定义域，是反函数的值域；原函数的值域，是反函数的定义域，两者关系要理清。

3、幂函数口诀幂指函数最常见，性质众多要分辨；指数大于零，图象过原点，在第一象限内，函数为增函；指数小于零，图象不过点，在第一象限内，函数为减函。

4、指数函数口诀指数函数底数分，大于一为增函数，小于一为减函数；底数若是大于零，图象经过一、二象限，且在 y 轴右侧；底数若是小于零，图象经过二、三象限，且在 y 轴左侧。

5、对数函数口诀对数函数真数大，底数大于一为增，底数小于一为减；对数函数真数小，底数大于一为减，底数小于一为增。

二、三角函数部分1、诱导公式口诀奇变偶不变，符号看象限。

解释：对于形如kπ/2 ± α 的角，当 k 为奇数时，函数名要改变（正弦变余弦，余弦变正弦）；当 k 为偶数时，函数名不变。

然后根据角所在的象限确定符号。

2、两角和与差公式口诀正余同余正，余余反正正；和差化积与积化和差，同名相乘用余弦，异名相乘用正弦。

解释：正弦和余弦的两角和与差公式中，“正余同余正”指的是正弦加正弦、余弦加余弦都用余弦公式，“余余反正正”指的是余弦减余弦、正弦减正弦都用正弦公式。

3、倍角公式口诀二倍角公式很重要，正弦余弦要记牢；正弦二倍角，一减余弦二倍半；余弦二倍角，余弦平方减正弦平方。

4、辅助角公式口诀辅助角公式要记清，提出根号二化同形；正余弦前面系数平，和为一才能行。

解释：对于形如 asinx ＋ bcosx 的式子，可以化为√（a²＋ b²)sin(x＋φ) 的形式，其中φ 的值由tanφ ＝ b/a 确定。