信息学奥赛之递归
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信息学竞赛辅导4-1递推递归
值。 输入：三个正整数n,x,y 输出：一个正正数，即根据对应的输入数据计算出
的元素值。 样例输入： 545 样例输出： 10
一、数据范围：1≤x,y ≤n ≤200
因为数据范围较小，所以可采用单步模拟实现，用 i、j表示当前行和列
定义一个方向变量d控制当前的前进方向 等于1时表示向左上角前进（i-1,j-1） 等于0时表示向右下角前进（i+1,j+1） 每前进一步都判断一下当前位置是否到达矩阵外部，
Var i, a: integer;
begin
a:=10;
{以第五位同学的棵数为递推的起始值}
for i :=4 downto 1 do {还有4人，递推计算4次}
a:= a+2; {递推运算规律}
writeln(’The Nuห้องสมุดไป่ตู้ is’, a);
readln
end.
本程序的递推运算可用如下图示描述：
if j>n then j:=n;
｛在右侧的处理｝
end; inc(t) ;a[i,j]:=t;
｛正确位置填入数据｝
until (i=x) and (j=y); ｛直到到达目标位置｝
writeln( a[x,y] );
二、数据范围：1≤x,y ≤n ≤3000
因为数据范围增大，单步模拟对于极限数据很难在 规定时限内处理完毕，需要算法改进！！
输入样例
3
2
5
9
输出样例
4
样例说明：存在如下四个数列S满足要求：
2，2，8，10；
1，3，7，11；
0，4，6，12；
-1，5，5，13。
数据范围
的元素值。 样例输入： 545 样例输出： 10
一、数据范围：1≤x,y ≤n ≤200
因为数据范围较小，所以可采用单步模拟实现，用 i、j表示当前行和列
定义一个方向变量d控制当前的前进方向 等于1时表示向左上角前进（i-1,j-1） 等于0时表示向右下角前进（i+1,j+1） 每前进一步都判断一下当前位置是否到达矩阵外部，
Var i, a: integer;
begin
a:=10;
{以第五位同学的棵数为递推的起始值}
for i :=4 downto 1 do {还有4人，递推计算4次}
a:= a+2; {递推运算规律}
writeln(’The Nuห้องสมุดไป่ตู้ is’, a);
readln
end.
本程序的递推运算可用如下图示描述：
if j>n then j:=n;
｛在右侧的处理｝
end; inc(t) ;a[i,j]:=t;
｛正确位置填入数据｝
until (i=x) and (j=y); ｛直到到达目标位置｝
writeln( a[x,y] );
二、数据范围：1≤x,y ≤n ≤3000
因为数据范围增大，单步模拟对于极限数据很难在 规定时限内处理完毕，需要算法改进！！
输入样例
3
2
5
9
输出样例
4
样例说明：存在如下四个数列S满足要求：
2，2，8，10；
1，3，7，11；
0，4，6，12；
-1，5，5，13。
数据范围
国际信息学奥林匹克竞赛2023题解
国际信息学奥林匹克竞赛（International Olympiad in Informatics，简称IOI）是一项面向高中生的信息学竞赛，旨在促进全球信息学教育和人才培养。
每年都会有来自世界各地的优秀学生参加这一盛事，并通过解决一系列复杂的编程问题来展示他们的才华。
作为一项高级的信息学竞赛，IOI赛题往往涉及到算法和数据结构的深度思考，考验选手在编程能力和解决问题能力上的造诣。
2023年国际信息学奥林匹克竞赛的题目更是备受瞩目，接下来我们就来深度剖析这些题目并提供解题思路。
第一道题目：“字符串排列”题目描述：给定一个长度为n的字符串s，求出它的所有排列方式，并将其按字典序输出。
解题思路：1. 我们可以利用递归的方法来求解字符串的全排列。
具体地，可以将字符串s的第一个字符与后面的字符依次交换，然后对剩下的字符串进行全排列，直到交换完成一次排列。
这样就可以得到字符串s所有的排列方式。
2. 在程序设计的过程中，我们要注意剪枝操作，可以通过设定一个标志数组来记录某个字符是否已经被使用过，从而避免重复排列的情况。
这道题目的解法较为经典，通过深入的逻辑分析和编程技巧，可以很好地完成题目要求。
第二道题目：“最大子段和”题目描述：给定一个长度为n的整数序列，求出其连续子段的和的最大值。
解题思路：1. 一个直观的解法是利用动态规划来解决这个问题。
具体地，我们可以设置一个dp数组，dp[i]表示以第i个数结尾的最大子段和，然后通过递推式dp[i] = max(nums[i], dp[i-1]+nums[i])来更新dp数组。
2. 在实现过程中，我们要注意处理边界情况和初始化操作，以及在遍历过程中及时更新最大子段和的值。
这道题目需要考虑到较多的边界情况和递推关系，是一道非常有挑战性的动态规划问题。
总结回顾：国际信息学奥林匹克竞赛2023的题目涵盖了递归、动态规划等多个领域，对选手的算法能力和编程功底提出了很高的要求。
信息学奥赛经典算法
信息学奥赛经典算法信息学奥赛是一项涉及算法和数据结构的比赛。
算法是指解决问题的具体步骤和方法，而数据结构是指存储和组织数据的方式。
在信息学奥赛中，掌握经典算法是非常重要的，可以提高解题的效率和成功的概率。
下面我将介绍一些经典的算法。
1.贪心算法（Greedy Algorithm）贪心算法是一种简单直观的算法思想，其基本策略是每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望最终能够得到全局最优解。
贪心算法通常应用于问题的最优化，比如找出能够覆盖所有区域的最少选择。
然而，贪心算法并不是所有问题都适用，因为它可能会导致局部最优解，并不能得到全局最优解。
2.动态规划（Dynamic Programming）动态规划是一种通过将问题分解成更小的子问题来求解复杂问题的方法。
其主要思想是通过记录中间计算结果并保存起来，以避免重复计算。
动态规划常用于求解最优化问题，例如寻找最长递增子序列、最短路径等。
动态规划是一个非常重要的算法思想，也是信息学奥赛中常见的题型。
3.深度优先（Depth First Search，DFS）深度优先是一种常见的图遍历算法，其基本思想是从一个顶点开始，沿着路径向深度方向遍历图，直到无法继续前进，然后回溯到上一个节点。
DFS通常用于解决图的连通性问题，例如寻找图的强连通分量、欧拉回路等。
DFS的一个重要应用是解决迷宫问题。
4.广度优先（Breadth First Search，BFS）广度优先是一种图遍历算法，其基本思想是从一个顶点开始，按照广度方向遍历图，逐层往下遍历，直到找到目标节点或者遍历完整个图。
BFS通常用于解决最短路径问题，例如在一个迷宫中找到从起点到终点的最短路径。
5.分治算法（Divide and Conquer）分治算法是一种将问题分成更小的子问题并独立地求解它们的方法，然后通过合并子问题的结果来得到原始问题的解。
分治算法是一种递归的算法思想，通常在解决问题时能够显著提高效率。
信息学奥赛试题精选33题(附带题解)
第1~10题为基础题，第11~20题为提高题，第21~33为综合题注：因为在本文档中需要用到一些特殊的数学符号（如：求和号、分数等），所以当您在百度文库中浏览时，一些数学符号可能会显示不出来，不过当您把本文档下载下来在本地浏览时，所有的符号即可全部都显示出来。
^_^基础题：【1 Prime Frequency】【问题描述】给出一个仅包含字母和数字（0-9, A-Z 以及a-z）的字符串，请您计算频率（字符出现的次数），并仅报告哪些字符的频率是素数。
输入：输入的第一行给出一个整数T( 0<T<201)，表示测试用例个数。
后面的T行每行给出一个测试用例：一个字母-数字组成的字符串。
字符串的长度是小于2001的一个正整数。
输出：对输入的每个测试用例输出一行，给出一个输出序列号，然后给出在输入的字符串中频率是素数的字符。
这些字符按字母升序排列。
所谓“字母升序”意谓按ASCII 值升序排列。
如果没有字符的频率是素数，输出“empty”（没有引号）。
注：试题来源：Bangladesh National Computer Programming Contest在线测试：UV A 10789提示先离线计算出[2‥2200]的素数筛u[]。
然后每输入一个测试串，以ASCLL码为下标统计各字符的频率p[]，并按照ASCLL码递增的顺序（0≤i≤299）输出频率为素数的字符（即u [p[i]]=1且ASCLL码值为i的字符）。
若没有频率为素数的字符，则输出失败信息。
【2 Twin Primes】【问题描述】双素数（Twin Primes）是形式为(p, p+2)，术语“双素数”由Paul Stäckel (1892-1919)给出，前几个双素数是(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43)。
在本题中请你给出第S对双素数，其中S是输入中给出的整数。
信息学奥赛初赛试题
信息学奥赛初赛试题信息学奥赛初赛试题信息学奥赛是学术类竞赛中一个备受关注的领域。
如今，越来越多的中学生投身于这个领域，为自己的未来梦想越走越近。
本文将为大家介绍信息学奥赛初赛试题，为初学者提供一些有用的参考。
一、多项式计算本题目中所给的多项式计算方法并不是赫尔米特的方法，也不是牛顿的方法。
因此，在解答本题之前，同学们需要先掌握多项式的两种常见计算方法，并根据题目的要求进行适当的改进。
经过认真分析，我们发现，赫尔米特的方法有很好的改进空间，可以考虑通过计算导数的方式加速程序的计算。
二、递归算法递归算法是一个典型的计算机科学问题。
在本题中，我们需要根据给定的初始状态，通过递归调用函数，依次生成链表。
在编写程序的过程中，需要注意深度优先搜索的时间复杂度问题，尽可能使用剪枝技术。
三、动态规划动态规划是一个既简单又十分精妙的算法，它在信息学领域中得到了广泛的应用。
本题目中所给定的矩阵相乘问题可以通过动态规划的思想得到解决。
需要注意的是，在实际程序的设计过程中，需要高效地利用计算机的内存资源。
四、计算几何计算几何是一项需要数学思维和计算机编程技巧相结合的技术。
本题在计算几何领域中的应用是寻找两个几何图形之间的最短距离。
同学们需要熟悉欧几里得空间和点到线段的距离公式，同时学会运用向量的方法进行解题。
五、图论图论是信息学竞赛的重要组成部分，广泛应用于网络优化、路径规划、关键路径分析等领域。
本题中所涉及到的最小生成树问题可以通过Kruskal算法或Prim算法进行求解。
在选用算法的过程中需要注意时间复杂度和空间复杂度问题，尽量选择合适的算法进行实现。
以上即为信息学奥赛初赛试题的主要内容，希望同学们在备战奥赛的过程中能够认真研究、深度掌握这些相关算法，为自己的成长和发展打好坚实的基础。
高中信息技术_4.5递归算法与递归程序教学课件设计
t=t+1
'增加变量t用来统计移动次数。
Else
Call Hanoi(n - 1, A, C, B, t)
Text3.Text = Text3.Text + A + "→" + B + vbCrLf
t=t+1
Call Hanoi(n - 1, C, B, A, t)
End If
End Sub
Private Sub Command1_Click()
5：递归法解题小结：
1）、明确递归终止条件；
2）、给出递归终止时的 处理办法；
3）、找出递推关系式， 不断缩小问题规模。
递归法编程模型：
function f(大规模) if 结束条件 then 给出答案
else 通过含f(小规模)的递推 式，缩小规模
end if end function
课堂练习：
第一，一次只能移动一个金盘。
第二，每个金盘只能由一根宝石柱移到另外一根宝石柱。
第三，任何时候都不能把大的金盘放在小的金盘上。
神话说，如果僧人把64个金盘完全地从一根宝石移到了另外 一根上，世界的末日就要到了。当然，神话只能当故事来听， 世界不可以因为个别人的活动而导致末日。不过，从僧人搬完 64个金盘所需时间的角度来说，即使僧人每秒都能移动一个金 盘，那也得要几千亿年！
(3)编写程序
Private Sub Hanoi(n As Integer, ByVal A As String, ByVal Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAs String,
ByVal C As String, t As Long)
If n = 1 Then Text3.Text = Text3.Text + A + "→" + B + vbCrLf
信息学奥赛——树型动态规划的实例分析
信息学奥赛——树型动态规划的实例分析树型动态规划（Tree Dynamic Programming）是信息学奥赛中常用的一种算法思想，在解决一些与树相关的问题时非常有效。
本文将通过一个具体的实例对树型动态规划进行详细分析。
假设有一棵有根树，每个节点上都有一个非负整数权值，并且每个节点下都可能有若干个子节点。
现在要求选择一些节点，使得选中的节点的权值之和尽可能大，但是不能选择相邻的节点。
我们需要设计一个算法来解决这个问题。
首先，我们可以观察到如果一个节点被选中，那么它的子节点就不能被选中。
于是，我们可以定义一个动态规划的状态dp[i]表示以节点i为根的子树中选择节点的最大权值之和。
对于根节点，我们有两种情况：1. 根节点i被选择，那么它的子节点就不能被选择。
所以dp[i] = sum(dp[j])，其中j表示i的所有子节点。
2. 根节点i不被选择，那么它的所有子节点都可以被选择。
所以dp[i] = sum(max(dp[j], dp[k]))，其中j和k分别表示i的所有孩子节点的子节点。
通过对根节点的两种状态的分析，我们可以得到一个递推关系：dp[i] = max(sum(dp[j]), sum(max(dp[k], dp[l])))，其中j表示i的所有子节点，k和l分别表示i的所有孩子节点的子节点。
接下来，我们需要设计一个合适的递归算法来计算dp[i]。
我们可以使用深度优先（DFS）的方式来处理每个节点，实现递归的过程。
具体的伪代码如下：```DFS(i):visit[i] = truefor j in i的所有子节点：if visit[j] == false:DFS(j)dp[i] += dp[j]for k in i的所有孩子节点：for l in k的所有子节点：dp[i] += max(dp[k], dp[l])```最后，我们只需要调用DFS函数以根节点为参数，可以得到整棵树的最优解。
信息奥赛中的数学方法
03
信息奥赛不仅考察参赛者的编 程能力，还注重考察其算法设 计、数据结构、数学逻辑等多 方面的综合素质。
数学方法在信息奥赛中的应用
数学方法是信息奥赛中的重要工具，广泛应用于问题建模、算法设计、复 杂度分析等方面。
常用的数学方法包括组合数学、数论、图论、概率论与统计等，这些方法 对于解决信息奥赛中的问题具有关键作用。
整数分解算法
将一个合数分解成若干个质数的乘积，常用算法有 试除法和Pollard's rho算法。
模线性方程求解算法
求解形如ax ≡ b (mod m)的模线性方程，常 用算法有扩展欧几里得算法和中国剩余定理。
06 数学方法在信息奥赛中的 综合应用
问题建模与转化
抽象问题为数学模型
将实际问题中的关键信息提取出来，用数学语言进行描述，建立 相应的数学模型。
信息奥赛中的数学方法
contents
目录
• 绪论 • 基础知识 • 初级算法 • 中级算法 • 高级算法 • 数学方法在信息奥赛中的综合应用
01 绪论
信息奥赛简介
01
信息奥赛，即信息学奥林匹克 竞赛，是面向中学生的一项富 有挑战性和创造性的计算机科 学竞赛活动。
02
旨在通过竞赛活动培养和选拔 优秀计算机人才，推动计算机 科学技术在青少年中的普及和 深入。
与他人交流解题过程中的心得与 体会，分享经验和技巧，共同提 高解题水平。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
掌握数学方法不仅可以帮助参赛者更好地理解问题本质，还可以提高其解 题效率和准确性。
学习目的与意义
学习数学方法对于参加信息 奥赛具有重要意义，可以提 高参赛者的算法设计能力和
算法(五)递归算法——深度优先搜索
A、递归(DFS) 说白了还是循环，只是当3种循环不能做的时候的循环，我们用递归实现。
B、递归必须有终点，否则就会死递归，最后栈溢出202错误。
C、递归的实现，是按照层数优先搜索的方式实现的。
到底返回上一层看看有没有其他的路可以继续下去。
D、函数function的递归必须有返回值。
过程procedure到底就结束。
E、区分全局变量和局部变量的关系，全局一个子过程或函数里面动，全动，局部则互不影响，但会随着子过程或函数的消失而消失，子过程或函数的开始而开始。
F、四大法宝，剪枝（暗剪明剪）、迭代、回溯、*记忆化搜索。
在递归过程中，局部变量必须要赋初始值。
阶加普通for写法varn,i,s:longint;beginreadln(n);for i:=1 to n dos:=s+i;writeln(s);end.Procedure 递归写法varn,i,s:longint;procedure try(x:integer);beginif x=n thenbegins:=s+n;exit;end;s:=s+x;try(x+1);end;beginreadln(n);try(1);writeln(s);end.Function 递归写法varn:longint;function try(x:integer):longint;beginif x=n thenexit(n);exit(try(x+1)+x);end;beginreadln(n);writeln(try(1));end.那些三位数请你从小到大输出3位数，每一位的数字可以用1，2,3111112113。
333那些四位数请你从小到大输出4位数，每一位的数字可以用1，2,3，4Oj10911091: 【提高】那些n位数时间限制: 1 Sec 内存限制: 16 MB提交: 1379 解决: 706[提交][状态][讨论版]题目描述一个n位数，只由1，2，3，4...p这几个数字组成。
信息学奥赛系列课程(三阶段)-2019_02_21_第3版
信息学奥赛NOIP系列课程（三阶段）第一阶段C++语言及数据结构与算法基础课本:1、信息学奥赛一本通+训练指导教程C++版第五版--2017年出版(两本）第1部分C++语言（50课时）适于：零基础的初中或高中的学生，当然有C语言或scratch、Python语言基础更好授课：相关内容讲授+实例+题目现堂训练（每次课2-3题，题目较大可能是1题）第1章C++语言入门（2－3课时）第2章顺序结构程序设计（6课时）第3章程序控制结构（3课时）NOIP2017复赛普及组第1题成绩https:///problem-12334.htmlNOIP2018复赛普及组第1题标题统计方法一https:///problem-12393.htmlNOIP1996普及组第1题https:///WDAJSNHC/article/details/83513564https:///yuyanggo/article/details/47311665第4章循环结构（5课时）NOIP2018复赛普及组第1题标题统计方法二https:///problem-12393.htmlNOIP2016复赛普及组第1题买铅笔https:///problem-12121.htmlNOIP2015复赛普及组第1题金币/ch0105/45/NOIP2002复赛普及组第1题级数求和/ch0105/27/NOIP2013复赛普及组第1题计数问题https:///problem-11005.html?tdsourcetag=s_pcqq_aiomsgNOIP2012复赛普及组第1题质因数分解/ch0105/43/NOIP2011复赛普及组第1题数字反转/ch0105/29/NOIP2010复赛普及组第1题数字统计https:///problem-10012.htmlNOIP1999普及组第1题Cantor表/ch0201/8760/https:///problemnew/show/P1014NOIP1997普及组第1题棋盘问题https:///problemnew/show/P1548NOIP1995普及组复赛第1题https:///secret_zz/article/details/76862335https:///WDAJSNHC/article/details/83513896NOIP1997普及组第2题数字三角形https:///ber_bai/article/details/76722379第5章数组（9－10课时）NOIP2014复赛普及组第1题珠心算测验https:///problem-12091.htmlNOIP2009复赛普及组第1题多项式输出/ch0113/39/NOIP2006复赛普及组第1题明明的随机数/ch0110/09/NOIP2005复赛普及组第1题陶陶摘苹果/ch0106/02/NOIP2004复赛普及组第1题不高兴的津津/ch0109/03/NOIP2003年普及组第1题乒乓球/ch0113/37/NOIP1998年普及组第1题三连击（枚举）https:///problemnew/show/P1008NOIP1995普及组复赛第2题方阵填数https:///WDAJSNHC/article/details/79381876NOIP1996普及组第2题格子问题https:///WDAJSNHC/article/details/79381843?utm_source=blogxgwz5NOIP2016复赛普及组第2题回文日期https:///problem-12122.htmlhttps:///problemnew/show/P2010NOIP2015普及组第2题P2670扫雷游戏/ch0108/14/https:///problemnew/show/P2670https:///problem-12105.htmlNOIP2012普及组第2题_P1076寻宝/ch0112/06/https:///problemnew/show/P1076第6章函数（5课时）NOIP2008复赛普及组第1题ISBN号码/ch0107/29/NOIP2000提高组第1题P1017进制转换https:///problemnew/show/P1017NOIP2000普及组第1题计算器的改良https:///problemnew/show/P1022https:///yuyanggo/article/details/47856785https:///u012773338/article/details/41749421NOIP2018普及组第2题龙虎斗https:///problemnew/show/P5016https:///problem-12394.html机器翻译【1.12编程基础之函数与过程抽象07】Noip2010提高组第1题/ch0112/07/Vigenère密码【1.12编程基础之函数与过程抽象08】Noip2012提高组第1题/ch0112/08/笨小猴【1.9编程基础之顺序查找06】NOIP2008提高组第1题/ch0109/06/第7章文件和结构体（5课时）NOIP2011复赛提高组第1题铺地毯/ch0109/14/NOIp2008提高组第2题火柴棒等式https:///problemnew/show/P1149https:///Mr_Doublerun/article/details/52589778第8章指针及其应用（8课时）第9章C++实用技巧与模版库（5课时）NOIP2007复赛普及组第1题奖学金/ch0110/04/NOIP2017复赛普及组第2题图书管理员（STL、排序）https:///problem-12335.htmlhttps:///problemnew/show/P3955NOIP1999普及组第2题回文数https:///problemnew/show/P1015***模拟NOIP2017年提高组第2题时间复杂度（模拟）https:///problem-12333.htmlhttps:///problemnew/show/P3952NOIP2011普及组第3题P1309瑞士轮（模拟、快拍、归并排序）/ch0401/4363/https:///problemnew/show/P1309NOIP2018复赛普及组第3题摆渡车(模拟)https:///problem-12395.htmlhttps:///problemnew/show/P5017NOIP2016普及组第3题海港（port）--枚举https:///problemnew/show/P2058NOIP2006年提高组第3题P1065作业调度方案(模拟)https:///problemnew/show/P1065NOIP2013提高组第4题P1969积木大赛（模拟贪心）https:///problem-12071.htmlhttps:///problemnew/show/P1969NOIP2014提高组第4题P2038无线网络发射器选址（模拟）https:///problemnew/show/P2038第2部分NOIP基础算法（39课时）第1章高精度计算（2-3课时）【例1.6】回文数(Noip1999):8088/problem_show.php?pid=1309NOIP2003普及组第4题P1045麦森数(分治、高精度运算)https:///problemnew/show/P1045NOIP2005普及组第4题P1050循环(高精度运算、数论、快速幂) https:///problemnew/show/P1050第2章数据排序（3课时）NOIP2014复赛普及组第1题珠心算测验https:///problem-12091.html第3章递推算法（2-3课时）1314：【例3.6】过河卒(Noip2002):8088/problem_show.php?pid=1314NOIP2011普及组第4题P1310表达式的值(栈、表达式计算、递推) https:///problemnew/show/P1310NOIP2011提高组第6题P1315观光公交(递推分析、贪心)https:///problemnew/show/P1315第4章递归算法（2-3课时）【例4.6】数的计数(Noip2001普及组第1题):8088/problem_show.php?pid=1316第5章搜索与回溯算法（2-3课时）NOIP2015day1T3_斗地主P2668斗地主https:///problemnew/show/P2668NOIP2017年普及组第3题棋盘https:///problemnew/show/P3956https:///problem-12336.htmlNOIP2015年提高组第2题P2661信息传递（Tarjen bfs/dfs（图论））https:///problem-12107.htmlhttps:///problemnew/show/P2661NOIP2016年提高组第2题天天爱跑步（Lca/dfs（图论）树结构最近公共祖先）https:///problem-12208.htmlhttps:///problemnew/show/P1600NOIP2000普及组第4题P1019单词接龙(深搜)https:///problemnew/show/P1019NOIP2000年提高组第3题单词接龙(DFS,字符串,模拟)https:///problemnew/show/P1019NOIP2014普及组第4题P2258子矩阵(搜索或dp)https:///problemnew/show/P2258NOIP2018年提高组第3题P5021赛道修建(搜索深度优先搜索)https:///problem-12392.htmlhttps:///problemnew/show/P5021第6章贪心算法（3课时）删数问题（NOIP1994）P1106删数问题https:///problemnew/show/P1106:8088/problem_show.php?pid=1321NOIP2010复赛普及组第2题接水问题/ch0109/15/NOIP1999年提高组第1题导弹拦截https:///problemnew/show/P1020https:///huashanqingzhu/p/6728652.html https:///qq_33927580/article/details/51853345 https:///Darost/article/details/52086240https:///yuyanggo/article/details/48739029NOIP2002提高组第1题均分纸牌P1031均分纸牌https:///problemnew/show/P1031NOIP2007普及组第2题_P1094纪念品分组https:///problem-12007.htmlhttps:///problemnew/show/P1094NOIP2008普及组第2题_P1056排座椅https:///problem-12008.htmlhttps:///problemnew/show/P1056NOIP2012年提高组第2题国王游戏（贪心、排序后列出）https:///problemnew/show/P1080NOIP2013年提高组第2题P1966火柴排队(逆序对、贪心、排序) https:///problem-12083.htmlhttps:///problemnew/show/P1966NOIP2010普及组第4题P1199三国游戏(贪心)https:///problemnew/show/P1199第7章分治算法（3课时）NOIP2001提高组第1题P1024一元三次方程求解/ch0204/7891/https:///problemnew/show/P1024NOIP2011年提高组第2题P1311选择客栈(二分查找)https:///problemnew/show/P1311NOIP2003普及组第4题P1045麦森数(分治、高精度运算)https:///problemnew/show/P1045第8章广度优先搜索算法（2-3课时）NOIP2002年提高组第2题P1032字串变换(BFS,字符串)https:///problemnew/show/P1032NOIP2013提高组第6题P1979华容道(广搜\最短路:图论)https:///problem-12212.htmlhttps:///problemnew/show/P1979第9章动态规划（15课时）第一节动态规划的基本模型1260：【例9.4】拦截导弹(NOIP1999):8088/problem_show.php?pid=1260NOIP2013普及组第3题P1982小朋友的数字https:///problemnew/show/P1982NOIP2003复赛普及组第2题_P1043数字游戏数字游戏（Game.cpp）https:///problemnew/show/P1043NOIP2006年提高组第2题P1064金明的预算方案(资源分配DP,构造) https:///problemnew/show/P1064NOIP2013普及组第3题P1982小朋友的数字（动态规划、子段和）https:///problemnew/show/P1982NOIP2007普及组第3题P1095守望者的逃离(动态规划或枚举）https:///problemnew/show/P1095NOIP2009普及组第4题P1070道路游戏(动态规划)https:///problemnew/show/P1070NOIP2004年提高组第3题P1091合唱队形(子序列DP)https:///problemnew/show/P1091第二节背包问题NOIP2018提高组第2题货币系统https:///problem-12391.htmlNOIP2006普及组第2题_P1060开心的金明题解https:///problemnew/show/P1060NOIP2005普及组第3题P1048采药(0/1背包)/ch0206/1775/https:///problem-12062.htmlhttps:///problemnew/show/P1048NOIP2001普及组第4题P1049装箱问题(0/1背包或枚举)https:///problemnew/show/P1049NOIP2014年提高组第3题P1941飞扬的小鸟(背包DP)https:///problem-12087.htmlhttps:///problemnew/show/P1941第三节动态规划经典题NOIP2000年提高组第2题P1018乘积最大（资源分配DP）https:///problemnew/show/P1018NOIP2000普及组第3题P1018乘积最大(划分动态规划)https:///problemnew/show/P1018NOIP2001年提高组第2题P1025数的划分（资源分配DP,多维状态DP）/ch0206/8787/https:///problemnew/show/P1025NOIP2001年提高组第3题统计单词个数(资源分配DP,字符串) https:///problemnew/show/P1026NOIP2005年提高组第2题P1052过河(子序列DP,贪心优化)https:///problemnew/show/P1052NOIP2010年提高组第2题P1541乌龟棋(动态规划优化)https:///problemnew/show/P1541NOIP2014年提高组第2题P1351联合权值（动态规划搜索图结构树形DP图的遍历遍历（图论）,二次展开式）https:///problem-12086.htmlhttps:///problem-12210.htmlhttps:///problemnew/show/P1351NOIP2008普及组第3题P1057传球游戏（动态规划）https:///problemnew/show/P1057NOIP2012普及组第3题摆花（动态规划）https:///problem-12366.htmlhttps:///problemnew/show/P1077NOIP2002普及组第4题P1002过河卒(棋盘动态规划)https:///problemnew/show/P1002NOIP2008年提高组第3题P1006传纸条(多维状态DP动态规划图结构最短路网络流)https:///problem-12110.htmlhttps:///problemnew/show/P1006NOIP2000提高组第4题方格取数(多维状态DP)/ch0206/8786/https:///problem-12186.htmlhttps:///problemnew/show/P1004NOIP2002提高组第4题P1034矩形覆盖(动态规划/贪心/搜索剪枝) /ch0405/1793/https:///problemnew/show/P1034第3部分NOIP数据结构（19课时）第1章栈（3课时）NOIP2011普及组第4题P1310表达式的值(栈、表达式计算、递推) https:///problemnew/show/P1310第2章队列（3-5课时）NOIP2016普及组第3题海港（port）https:///problemnew/show/P2058第3章树（3课时）第一节树的概念第二节二叉树第三节堆及其应用NOIP2015普及组第4题P2672推销员(枚举、堆)https:///problemnew/show/P2672NOIP2001普及组第3题P1030求先序排列(树的遍历)https:///problemnew/show/P1030NOIP2004普及组第3题P1087FBI树(二叉树的遍历)https:///problemnew/show/P1087第4章图论算法（8课时）第一节基本概念第二节图的遍历第三节最短路径算法NOIP2002普及组第3题P1037产生数(最短路、高精度)https:///problemnew/show/P1037NOIP2012普及组第4题P1078文化之旅(搜索、最短路(图论)、动规) https:///problemnew/show/P1078NOIP2009年提高组第3题P1073最优贸易(最短路:图论）https:///problemnew/show/P1073NOIP2001提高组第4题P1027Car的旅行路线(最短路,实数处理)https:///problemnew/show/P1027NOIP2007提高组第4题P1099树网的核(最短路,树的直径)https:///problemnew/show/P1099第四节图的连通性问题第五节并查集NOIP2010年提高组第3题P1525关押罪犯(二分答案或并查集)https:///problemnew/show/P1525NOIP2017提高组第4题P3958奶酪（数据结构树结构并查集）https:///problem-12205.htmlhttps:///problemnew/show/P3958第六节最小生成树第七节拓朴排序与关键路径NOIP2013普及组第4题P1983车站分级(图论、拓扑排序) https:///problemnew/show/P19831390：食物链【NOI2001】:8088/problem_show.php?pid=1390NOIP2004年提高组第2题P1090合并果子(最优哈夫曼树，排序，贪心)https:///problemnew/show/P1090NOIP2013年提高组第3题P1967货车运输(最大生成树,最近公共祖先)https:///problemnew/show/P1967NOIP2018提高组第4题P5022旅行（搜索图结构）https:///problem-12397.htmlhttps:///problemnew/show/P5022NOIP2018提高组第6题P5024保卫王国(图结构)https:///problem-12399.htmlhttps:///problemnew/show/P50242、啊哈！算法--2014-06（35-50小时）第二阶段算法与数据结构提高1、《信息学奥赛一本通·提高篇》（80-100课时，不一定一次都讲完）第一部分基础算法第1章贪心算法NOIP2002提高组第1题P1031均分纸牌(贪心,模拟)https:///problemnew/show/P1031NOIP2010普及组第3题P1158导弹拦截（排序+枚举，贪心）https:///problemnew/show/P1158NOIP2012提高组第6题P1084疫情控制(二分答案，贪心，倍增)https:///problemnew/show/P1084第2章二分与三分NOIP2010年提高组第3题P1525关押罪犯(二分答案或并查集)https:///problemnew/show/P1525NOIP2008提高组第4题P1155双栈排序(枚举,贪心/二分图)https:///problemnew/show/P1155NOIP2015提高组第4题P2678跳石头（二分查找、二分答案）https:///problem-12198.htmlhttps:///problemnew/show/P2678第3章深搜的剪枝技巧NOIP2018普及组第4题对称二叉树（搜索树结构深度优先搜索）https:///problem-12396.htmlhttps:///problemnew/show/P5018NOIP2011年提高组第3题P1312Mayan游戏(深搜、剪支)https:///problemnew/show/P1312NOIP2015年提高组第3题P2668斗地主(分情况,剪枝)https:///problemnew/show/P2668NOIP2003提高组第4题P1041传染病控制(随机贪心/搜索剪枝)https:///problemnew/show/P1041NOIP2004提高组第4题P1092虫食算（搜索搜索与剪枝）https:///problem-12414.htmlhttps:///problemnew/show/P1092第4章广搜的优化技巧NOIP2017年普及组第3题棋盘（搜索搜索与剪枝广度优先搜索）https:///problemnew/show/P3956https:///problem-12336.htmlNOIP2009提高组第4题P1074靶形数独(搜索优化)https:///problemnew/show/P1074NOIP2010提高组第4题P1514引入水域（广搜+动态规划，判断有解和无解）https:///problemnew/show/P1514第二部分字符串算法第1章哈希表第2章KMP算法第3章Trie字典树第4章AC自动机NOIP2005提高组第4题P1054等价表达式(字符串,抽样检测,表达式) /practice/1686/https:///problemnew/show/P1054NOIP2008普及组第4题P1058立体图(字符输出)https:///problemnew/show/P1058NOIP2006普及组第3题P1061Jam的计数法(数学、字符串)https:///problemnew/show/P1061NOIP2007年提高组第2题字符串的展开（字符串模拟）https:///problem-11016.htmlhttps:///problemnew/show/P1098NOIP2003年提高组第2题P1039侦探推理(枚举,模拟,字符串)https:///problemnew/show/P1039NOIP2011普及组第2题_P1308统计单词数/ch0112/05/https:///problemnew/show/P1308第三部分图论第1章最小生成树第2章最短路径NOIP2016年提高组第3题P1850换教室(最短路/Dp)https:///problemnew/show/P1850NOIP2017年提高组第3题P3953逛公园(搜索图结构记忆化搜索最短路)https:///problem-12337.htmlhttps:///problemnew/show/P3953NOIP2014提高组第5题P1351联合权值(遍历,二次展开式)https:///problem-12086.htmlhttps:///problemnew/show/P1351第3章SPFA算法的优化第4章差分约束系统第5章强连通分量第6章割点和桥第7章欧拉回路第四部分数据结构第1章树状数组第2章RMQ问题第3章线段树NOIP2012提高组第5题P1083借教室(枚举、线段树、树状数组、二分) https:///problem-12069.htmlhttps:///problemnew/show/P1083NOIP2017提高组第6题P3960列队(数据结构平衡树线段树)https:///problem-12339.htmlhttps:///problemnew/show/P3960第4章倍增求LCANOIP2015提高组第6题P2680运输计划(Lca或线段树)https:///problem-12213.htmlhttps:///problemnew/show/P2680第5章树链剖分第6章平衡树Treap第五部分动态规划第1章区间类型动态规划NOIP2007年提高组第3题P1005矩阵取数游戏(区间DP,高精度)https:///problemnew/show/P1005第2章树型动态规划NOIP2003年提高组第3题P1040加分二叉树(树,区间DP)https:///problemnew/show/P1040第3章数位动态规划第4章状态压缩类动态规划NOIP2017提高组第5题P3959宝藏(动态规划搜索贪心状态压缩DP枚举)https:///problem-12340.htmlhttps:///problemnew/show/P3959NOIP2016提高组第6题愤怒的小鸟(状态压缩动态规划)https:///problemnew/show/P2831第5章单调队列优化动态规划NOIP2016提高组第5题蚯蚓(单调队列)https:///Mrsrz/p/7517155.htmlhttps:///m0_38083668/article/details/82557281NOIP2017普及组第4题P3957跳房子（数据结构动态规划单调队列队列）https:///problem-12338.htmlhttps:///problemnew/show/P3957第6章利用斜率优化动态规划NOIP2012年提高组第3题P1081开车旅行(离线深搜，动态规划、倍增)https:///problemnew/show/P1081NOIP2015提高组第5题P2679子串(Dp+滚动数组)https:///problemnew/show/P2679第六部分数学基础第1章快速幂第2章素数第3章约数第4章同余问题第5章矩阵乘法第6章组合数学NOIP2009年提高组第2题P1072Hankson的趣味题(初等数论,质因数,组合数学)https:///problemnew/show/P1072NOIP2006提高组第4题P10662^k进制数(动态规划/组合数学,高精度) https:///problemnew/show/P1066NOIP2011提高组第4题P1313计算系数（组合、二项式系数）/practice/4036/https:///problemnew/show/P1313NOIP2016提高组第4题P2822组合数问题（杨辉三角）https:///problemnew/show/P2822第7章博弈论NOIP2004普及组第4题P1088火星人(数学:排列、stl)https:///problemnew/show/P1088NOIP2009普及组第3题P1069细胞分裂（数论）https:///problemnew/show/P1069NOIP2000提高组第1题P1017进制转换(初等代数,找规律)https:///problemnew/show/P1017NOIP2001提高组第1题P1024一元三次方程求解(数学,枚举,实数处理) /ch0204/7891/https:///problemnew/show/P1024NOIP2003普及组第3题P1044栈(数学:卡特兰数）https:///problemnew/show/P1044NOIP2018年提高组第2题货币系统(数论)https:///problem-12391.htmlhttps:///problemnew/show/P5020NOIP2014年普及组复赛第3题螺旋矩阵（数学分析）https:///problem-12341.htmlhttps:///problemnew/show/P2239NOIP2015年普及组第3题求和（数学：数列）https:///problemnew/show/P2671NOIP2004普及组第4题P1088火星人(数学:排列、stl)https:///problemnew/show/P1088NOIP2005普及组第4题P1050循环(高精度运算、数论、快速幂) https:///problemnew/show/P1050NOIP2006普及组第4题P1062数列(数学:进制转换)https:///problemnew/show/P1062NOIP2007普及组第4题P1096$Hanoi$双塔问题(数学、高精度) https:///problemnew/show/P1096NOIP2016普及组第4题P2119魔法阵(数学分析、枚举)https:///problemnew/show/P2119NOIP2002年提高组第3题P1033自由落体(数学,物理,模拟,实数处理) https:///problemnew/show/P1033NOIP2005年提高组第3题P1053篝火晚会(置换群,贪心)https:///problemnew/show/P1053NOIP2012提高组第4题P1082同余方程（数论、递归，扩展欧几里得）https:///problemnew/show/P1082NOIP2011提高组第5题P1314聪明的质监员(部分和优化)/practice/4037/https:///problemnew/show/P1314NOIP2013提高组第5题P1970花匠(序列)https:///problem-12072.htmlhttps:///problemnew/show/P1970NOIP2018提高组第5题P5023填数游戏（DP）https:///problem-12398.htmlhttps:///problemnew/show/P50232、NOIP历年真题讲解（30-50小时）---包括初赛和复赛3、《骗分导论》（推荐指数：5颗星）--电子书（可以作为学习的参考资料）第三阶段算法与数据结构高级专题（选择性学习）1、信息学奥赛之数学专题2、高级数据结构(C++版)3、动态规划专题注：上面的内容也可能要交叉的进行讲解在线题库：1、OpenJudge在线题库/2、信息学奥赛一本通在线评测系统:8088/3、洛谷https:///4、啊哈编程/tiku/5、《信息学奥赛一本通（提高篇）》在线评测OJhttps://loj.ac/注：本系列课程将根据行业发展状况，及时优化调整课程内容，具体课程设置以实际为准。
信息学奥赛基本算法
信息学奥赛基本算法1.四则运算算法：四则运算是数学中最基本的运算方式。
在信息学竞赛中，常常需要对数字进行加减乘除运算，因此了解和掌握四则运算算法是非常重要的。
2.排序算法：排序是信息学竞赛中常用的运算方式。
常见的排序算法有冒泡排序、快速排序、插入排序、选择排序等。
熟练掌握这些排序算法可以提高编程效率。
3.查找算法：查找算法是在一组数据中寻找特定元素的过程。
其中常用的查找算法有线性查找和二分查找。
二分查找是一种高效的查找算法，可以在有序数组中快速定位元素。
4.递归算法：递归是一种以自相似的方式重复的过程。
在信息学竞赛中，递归算法常常用来解决问题的分解和求解。
熟练应用递归算法可以简化问题的求解过程。
5.动态规划算法：动态规划是一种通过将问题分解成更小的子问题来求解复杂问题的方法。
动态规划算法常常用于求解最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列等。
6. 图论算法：图论是信息学竞赛中重要的算法领域之一、常用的图论算法有深度优先算法（DFS）、广度优先算法（BFS）、最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法）等。
7.贪心算法：贪心算法是一种通过每一步选择局部最优解来达到全局最优解的算法。
贪心算法常常应用于求解优化问题。
但需要注意的是，贪心算法并不能保证一定能得到最优解，因此在使用贪心算法时需要仔细分析问题。
8. 字符串匹配算法：字符串匹配是信息学竞赛中常见的问题之一、常用的字符串匹配算法有暴力匹配算法、KMP算法、Boyer-Moore算法等。
了解这些字符串匹配算法可以提高字符串处理的效率。
以上是信息学奥赛中较为常见的基本算法，掌握这些算法可以在竞赛中更高效地解决问题。
当然，除了这些基本算法之外，还有很多其他的高级算法和数据结构，如树、图等，也值得学习和探索。
信息学竞赛是一个非常广阔的领域，希望能给你带来更多的启发和挑战！。
高中信息技术课件：递归算法 (共19张PPT)
(3)编写程序 窗ຫໍສະໝຸດ 中开设一个文本框Text1用于填 人月数N，设置命令框Commandl，点击 它即执行程序求出第N月的兔子数。然后用 文本框Text2输出答案。
根据递推式可以写出递归程序如下：
Function Fib(ByVal N As Integer) As Long If N < 3 Then Fib = 1 Else Fib = Fib(N - 1) + Fib(N - 2) End Function Private Sub Command1_Click() N = Val(Text1.Text) Text2.Text = "第" & N & "月的兔子数目是：" & Fib(N) End Sub
递 归 算 法
什么是递归算法?
递归算法：是一种直接或者间接地调 用自身的算法。在计算机编写程序中，递 归算法对解决一大类问题是十分有效的， 它往往使算法的描述简洁而且易于理解。
斐波那契的兔子问题
某人有一对兔子饲养在围墙中，如 果它们每个月生一对兔子，且新生的兔子 在第二个月后也是每个月生一对兔子，问 一年后围墙中共有多少对兔子。
算法:
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 输入计算兔子的月份数：n If n < 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1 i=3 c = a + b：a = b：b = c i=i+1,如果i≤n则返回④ 结束
Private Sub Command1_Click() n = Val(Text1.Text) If n < 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1 For i = 3 To n c=a+b a=b b=c Next i Text2.Text = "第" & n & "月的兔子数目是：" &c End Sub
背包问题
背包问题常州一中林厚从背包问题是信息学奥赛中的经典问题。
背包问题可以分为0-1背包和部分背包两种类型，0-1背包还可以再分为有限背包和无限背包（完全背包）。
背包问题的求解涉及到贪心、递归、递推、动态规划、搜索等多种算法。
熟练掌握各种背包问题及其变形试题的解法，是信息学奥赛选手从入门走向提高的必经之路。
先简单归纳一下涉及到的这几种重要算法：1、贪心：贪心法可以归纳为“每步取优”。
假设你的程序要走1~n共n步，则你只要保证在第i步（i=1..n）时走出的这一步是最优的。
所以，贪心法不是穷举，而只是一种每步都取优的走法。
但由于目光短浅，不考虑整体和全局，所以“步步最优”并不能保证最后的结果最优。
比如经典的“两头取数”问题、“n个整数连接成最大数”问题、“删数”问题等。
2、递归：递归算法可以归纳为将问题“由大化小”。
也就是将一个大问题分解为若干个“性质相同”的子问题，求解的的过程，一般是通过“函数的递归调用”，不断将大问题逐步细化、直至元问题（边界情况），最后通过递归函数的自动返回得到问题的解。
递归算法的关键是递归函数的构造，它的效率往往比较低，原因在于大量的“冗余”计算。
比如经典的“斐波那挈数列”问题，在递归实现时效率极低，存在着大量的冗余计算，可以采用“记忆化”的方法优化。
3、递推：递推问题往往有一个“递推公式”，其实和“递归公式”差不多，但是出发点不一样，递归的思想是“要想求什么就要先求出什么”。
而递推是从问题的边界情况（初始状态）出发，一步步往下走，直到走完n步，判断最后的解。
由于其中的每一步并不知道当前一步的哪一个值对后面的步骤有用，所以只能把所有情况（一步的所有走法）全部计算出来，也造成了很多的“冗余计算”。
时间上往往没有太多的优化余地，但空间上经常利用“滚动数组”等方式，把空间复杂度由O（n2）降到O（2n）。
比如经典的“杨辉三角形”问题、“判断n是否是斐波那挈数”问题等。
4、动态规划：本质上是一种克服了“冗余”的“递归”算法。
信息学奥赛之递归
测试数据: 输入: 10 输出: 55
测试数据 输入：
34 输出：
125
7:用辗转相除法求两个自然数m,n旳最大公约数。 思绪：辗转相除法要求：求两个正整数m,n （m>=n）旳最大公约数，应先将m除以n；求得 余数r,假如等于零，除数n就是m,n旳最大公约数； 假如r不等于零，就用n除以r，再看所得余数是否 为零。反复上面过程，直到余数r为零时，则上一 次旳余数值即为m,n旳最大公约数。用其数学方 式描述如下:
ch:char; begin
read(ch); if ch<>'&' then reverse; write(ch); end; begin reverse; writeln; end.
测试数据： 输入：
abcdefghijklmn& 输出：
&nmlkjihgfedcba
例3：利用递归，将一种十进制整数K转化为N进制整数（N<=10）。
汉诺塔（tower of Hanoi）问题
有n个大小不等旳中空圆盘，按照从小到大旳顺序 迭套在立柱A上，另有两根立柱B和C。现要求把全 部圆盘从A柱（源柱）移到C柱（目旳柱），移动 过程中可借助B柱（中间柱）。移动时有如下旳要 求： ①一次只移动一种盘； ②不允许把大盘放在小盘上边； ③可使用任意一根立柱暂存圆盘。
（1）读入一种字符； （2）读（该字符后旳）子串并倒序输出； （3）然后输出读入字符（指（1）读入旳字符） （4）在（2）中若子串是空（即遇字符’&’），表达子 串已完，不再处理子串。
以上（2）表达一操作依赖另一操作，所以需要用递归调 用。（4）表达已知操作（递归旳终止）。
程序如下： program aa; procedure reverse; var
测试数据 输入：
34 输出：
125
7:用辗转相除法求两个自然数m,n旳最大公约数。 思绪：辗转相除法要求：求两个正整数m,n （m>=n）旳最大公约数，应先将m除以n；求得 余数r,假如等于零，除数n就是m,n旳最大公约数； 假如r不等于零，就用n除以r，再看所得余数是否 为零。反复上面过程，直到余数r为零时，则上一 次旳余数值即为m,n旳最大公约数。用其数学方 式描述如下:
ch:char; begin
read(ch); if ch<>'&' then reverse; write(ch); end; begin reverse; writeln; end.
测试数据： 输入：
abcdefghijklmn& 输出：
&nmlkjihgfedcba
例3：利用递归，将一种十进制整数K转化为N进制整数（N<=10）。
汉诺塔（tower of Hanoi）问题
有n个大小不等旳中空圆盘，按照从小到大旳顺序 迭套在立柱A上，另有两根立柱B和C。现要求把全 部圆盘从A柱（源柱）移到C柱（目旳柱），移动 过程中可借助B柱（中间柱）。移动时有如下旳要 求： ①一次只移动一种盘； ②不允许把大盘放在小盘上边； ③可使用任意一根立柱暂存圆盘。
（1）读入一种字符； （2）读（该字符后旳）子串并倒序输出； （3）然后输出读入字符（指（1）读入旳字符） （4）在（2）中若子串是空（即遇字符’&’），表达子 串已完，不再处理子串。
以上（2）表达一操作依赖另一操作，所以需要用递归调 用。（4）表达已知操作（递归旳终止）。
程序如下： program aa; procedure reverse; var
信息学奥赛决赛题目2020
信息学奥赛决赛题目2020今年的信息学奥赛决赛题目可谓是极具挑战性，让参赛选手们在紧张的比赛中展现出自己的才华和智慧。
本文将为大家介绍一下今年的决赛题目以及选手们的精彩表现。
今年的决赛题目是一个关于图论的问题，要求选手们设计一个算法，找出一个有向图中的最长路径。
这个有向图由若干个节点和边组成，每个节点代表一个城市，每条边代表两个城市之间的道路。
每条边上都标有一个正整数，表示两个城市之间的距离。
选手们需要找出一条路径，使得路径上经过的边的距离之和最大。
这个题目看似简单，但实际上需要选手们具备较强的编程能力和数学思维。
首先，选手们需要设计一个合适的数据结构来表示这个有向图，以便于后续的计算。
其次，选手们需要运用图论中的算法来寻找最长路径。
常见的算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），选手们可以根据自己的喜好和实际情况选择合适的算法。
最后，选手们需要考虑如何在程序中进行路径的记录和距离的累加，以便于找出最长路径。
在比赛现场，选手们展现出了自己的才华和智慧。
有的选手采用了深度优先搜索算法，通过递归的方式遍历图中的所有路径，并记录下最长路径。
有的选手则选择了广度优先搜索算法，通过队列的方式逐层遍历图中的节点，并记录下最长路径。
不同的算法虽然思路不同，但都能够找到最长路径，展现出选手们的编程能力和创新思维。
除了算法的设计，选手们还需要考虑如何优化程序的性能。
在大规模的数据集下，简单的算法可能会导致程序运行时间过长，无法在规定的时间内完成计算。
因此，选手们需要思考如何通过剪枝、动态规划等方法来提高程序的效率。
一些优秀的选手通过巧妙地设计算法，成功地在规定时间内找到了最长路径，给评委和观众留下了深刻的印象。
最终，经过激烈的角逐，一位选手成功地找到了最长路径，并以出色的表现获得了冠军。
他的算法设计简洁高效，程序运行速度快，成功地解决了这个复杂的问题。
他的胜利不仅是对他个人才华的肯定，也是对信息学奥赛的一次胜利。
信息学奥赛——算法入门教程
全国青少年信息学奥林匹克联赛算法讲义算法讲义 (1)算法基础篇 (2)算法具有五个特征： (2)信息学奥赛中的基本算法(枚举法) (4)采用枚举算法解题的基本思路： (4)枚举算法应用 (4)信息学奥赛中的基本算法(回溯法) (8)回溯基本思想 (8)信息学奥赛中的基本算法(递归算法) (10)递归算法的定义： (10)递归算法应用 (11)算法在信息学奥赛中的应用 (递推法) (14)递推法应用 (14)算法在信息学奥赛中的应用 (分治法) (18)分治法应用 (18)信息学奥赛中的基本算法(贪心法) (21)贪心法应用 (21)算法在信息学奥赛中的应用（搜索法一） (24)搜索算法应用 (25)算法在信息学奥赛中的应用（搜索法二） (28)广度优先算法应用 (29)算法在信息学奥赛中的应用（动态规划法） (32)动态规划算法应用 (33)算法基础篇学习过程序设计的人对算法这个词并不陌生，从广义上讲，算法是指为解决一个问题而采用的方法和步骤；从程序计设的角度上讲，算法是指利用程序设计语言的各种语句，为解决特定的问题而构成的各种逻辑组合。
我们在编写程序的过程就是在实施某种算法，因此程序设计的实质就是用计算机语言构造解决问题的算法。
算法是程序设计的灵魂，一个好的程序必须有一个好的算法，一个没有有效算法的程序就像一个没有灵魂的躯体。
算法具有五个特征：1、有穷性：一个算法应包括有限的运算步骤，执行了有穷的操作后将终止运算，不能是个死循环；2、确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义，读者理解时不会产生二义性。
并且，在任何条件下，算法只有唯一的一条执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出。
如在算法中不允许有“计算8/0”或“将7或8与x相加”之类的运算，因为前者的计算结果是什么不清楚，而后者对于两种可能的运算应做哪一种也不知道。
3、输入：一个算法有0个或多个输入，以描述运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定义了初始条件。
信息学奥赛培训教程(第一课)
学习目标
1 提升编程能力
通过学习信息学，提 高编程技巧和算法思 维能力。
2 培养逻辑思维
3 对计算机科学的
理解
通过解决问题和推理，
培养逻辑思维和分析
了解计算机科学的基
能力。
本概念和原理。
基础知识和概念
1
变量和数据类型
学习如何定义变量和不同的数据类型。
2
条件语句和循环结构
掌握条件语句和循环结构的用法和应用。
问题和答疑
1
在线讨论
将问题发布在在线论坛或社交媒体上，获得帮助。
2
辅导课程
寻找导师或参加在线辅导课程，获取个性化的帮助。
3
考试前复习
参加考前问答和复习课程，巩固知识并解决疑惑。
3
函数和递归
理解函数的概念和递归的原理。
习题和练习
在线编程题
尝试在线编程题来巩固 所学知识。
团队合作项目
与队友们一起完成实际 的编程项目。
比赛模拟
模拟参加竞赛，提升应 试能力和时间管理。
学习资源
教材和教辅
推荐一些经典的编程教材和 辅助书籍。
在线教程
利用在线资源进行自学和辅 导。
社区交流
加入编程社区，与其他学习 者互动和讨论。
信息学奥赛培训教程(第 一课)
欢迎来到信息学奥赛培训教程！在本课中，我们将一起探索信息学竞赛的精 彩世界。
教材内容概览ຫໍສະໝຸດ 算法与数据结构学习基本算法和数据结构， 如排序算法、图论、树结构 等。
程序设计
掌握不同编程语言的语法和 特性，并学习如何解决实际 问题。
逻辑与计算机组成
了解计算机的基本工作原理、 逻辑门电路以及计算机组成 部分。
小学信息技术教案递归的应用
小学信息技术教案递归的应用递归是信息技术领域中一种重要的概念和技术，也是计算机程序设计中的一种常用方法。
在小学信息技术教学中，递归的应用能够帮助学生弄清楚问题解决的思路和方法，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
本文将介绍小学信息技术教案中递归的应用。
首先，我们来了解什么是递归。
在计算机科学中，递归是指一个函数或算法通过调用自身来实现的过程。
简单来说，递归就是函数或算法不断调用自己，直到满足某个条件停止调用。
递归的关键是要设置递归的结束条件，以避免无限循环。
在小学信息技术教学中，递归可以应用到很多领域，例如数学、编程等。
下面，我们将分别介绍递归在数学和编程中的应用。
在数学中，递归经常用来定义数列或数集。
例如斐波那契数列就是一个经典的递归数列。
斐波那契数列的规律是：前两项为1，后面的每一项都是前两项的和。
可以用递归的方式定义斐波那契数列：f(1)=1，f(2)=1，f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中n>2。
通过递归的方式计算斐波那契数列，可以帮助学生理解递归的概念和实现过程。
在编程中，递归是一种非常常用的方法。
递归可以让程序重复执行一段代码或解决一个较大的问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并通过递归调用自身来解决这些子问题。
递归的优势在于能够简化代码逻辑，提高代码的可读性和可维护性。
在小学信息技术教学中，我们可以以编程作为递归的应用场景。
学生可以尝试编写简单的递归程序，例如计算阶乘、求解幂运算等。
通过编写这些递归程序，学生可以理解递归的概念和实现方式。
为了帮助学生更好地理解递归的应用和实现，我们可以设计一些有趣的编程题目。
例如，可以让学生编写一个递归程序来解决迷宫问题，即从迷宫的入口到出口的路径选择问题。
学生需要通过递归的方式来找出迷宫中的正确路径，并打印出所有的路径。
另一个有趣的编程题目是递归画图。
学生可以编写一个递归程序，通过重复调用自身来绘制一些有趣的图形，例如分形树、曼德勃罗集合等。
组合的输出(信息学奥赛一本通-T1317)
vis[i]=0; } } } int main() { cin>>n>>r; a[0]=1; dfs(1); return 0; }
【题目描述】
排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从n个元素中抽出r个元素(不分顺序且r≤n)，我们可以简单地将n个元素理解 为自然数1，2，…，n，从中任取r个数。
现要求你用递归的方法输出所有组合。
例如n＝5，r＝3，所有组合为：1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 【输入】
一行两个自然数n、r(1<n<21，1≤r≤n)。 【输出】
所有的组合，每一个组合占一行且其中的元素按由小到大的顺序排列，每个元素占三个字符的位置，所有的组合也按字 典顺序。
【输入样例】
53 【输出样例】
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
【源程序】
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #define N 30 using namespace std; int n,r; int a[N]; int vis[N]; void dfs(int step) {
int i;
if(step==r+1) {
for(i=1;i<=r;i++) cout<<" "<<a[i];
cout<<endl; return; }
for(i=a[step-1];i<=n;i++) {
【题目描述】
排列与组合是常用的数学方法，其中组合就是从n个元素中抽出r个元素(不分顺序且r≤n)，我们可以简单地将n个元素理解 为自然数1，2，…，n，从中任取r个数。
现要求你用递归的方法输出所有组合。
例如n＝5，r＝3，所有组合为：1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 【输入】
一行两个自然数n、r(1<n<21，1≤r≤n)。 【输出】
所有的组合，每一个组合占一行且其中的元素按由小到大的顺序排列，每个元素占三个字符的位置，所有的组合也按字 典顺序。
【输入样例】
53 【输出样例】
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
【源程序】
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #define N 30 using namespace std; int n,r; int a[N]; int vis[N]; void dfs(int step) {
int i;
if(step==r+1) {
for(i=1;i<=r;i++) cout<<" "<<a[i];
cout<<endl; return; }
for(i=a[step-1];i<=n;i++) {
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每一递归都有其边界条件。递归是从自身出发来达到边界 条件。
递归的调用
在Pascal程序中，子程序可以直接自己调用自己或间 接调用自己，则将这种调用形式称之为递归调用。
递归调用时必须符合以下三个条件： （1）可将一个问题转化为一个新的问题，而新问题的
解决方法仍与原问题的解法相同，只不过所处理的对象有所 不同而已，即它们只是有规律的递增或递减。
fac(n:integer):longint; begin if n=0 then fac:=1 else fac:=fac(n-1)*n; end;
测试数据：
begin ห้องสมุดไป่ตู้rite('input n='); read(n); if n<0 then
writeln('n<0,data errer') else begin t:=fac(n); writeln(n,'! =',t) end
（1）读入一个字符； （2）读（该字符后的）子串并倒序输出； （3）然后输出读入字符（指（1）读入的字符） （4）在（2）中若子串是空（即遇字符’&’），表示子串 已完，不再处理子串。
以上（2）表示一操作依赖另一操作，所以需要用递归调 用。（4）表示已知操作（递归的终止）。
程序如下： program aa; procedure reverse; var
汉诺塔（tower of Hanoi）问题
有n个大小不等的中空圆盘，按照从小到大的顺序 迭套在立柱A上，另有两根立柱B和C。现要求把全 部圆盘从A柱（源柱）移到C柱（目标柱），移动 过程中可借助B柱（中间柱）。移动时有如下的要 求： ①一次只移动一个盘； ②不允许把大盘放在小盘上边； ③可使用任意一根立柱暂存圆盘。
read(n); s:=fib(n); writeln(s); end.
Begin If n=1 then FIB:=0 Else if n=2 then FIB:=1 Else FIB:=FIB(n-1)+FIB(n-2)
End;
测试数据： 输入：
5 输出：
3
2．某些问题虽然没有明显的递归关系或结构， 但问题的解法是不断重复执行一种操作，只 是问题规模由大化小，直至某个原操作（基 本操作）就结束，如汉诺塔问题，这种问题 使用递归思想来求解比其它方法更简单。
递归的定义
所谓递归就是一个函数或过程可以直接或间接 地调用自己。我们大家都熟悉一个民间故事：从前有一
座山，山上有一座庙，庙里有一个老和尚正在给小和尚讲故 事，故事里说，从前有一座山，山上有一座庙，庙里有一个 老和尚正在给小和尚讲故事，故事里的故事是说……。象这 种形式，我们就可以称之为递归的一种形象描述，老和尚什 么时候不向下讲了，故事才会往回返，最终才会结束。
先以三个盘的移动为例，看一下移动过程。
运行结果：Enter the number of disks in Hanoi tower：3 A→C A→B C→B A→C B→A B→C A→C
分析：首先将A柱上方的n-1个盘子从A柱移到B柱， 此过程中C柱为中间柱；接着将A柱剩下的一个盘子 移到C柱；最后再将B柱上的n-1个盘子移到C柱，此 过程中A柱为中间柱，这就变成了移动n-1个盘子的 问题了。定义过程hanoi，实现这一递归算法：
ch:char; begin
read(ch); if ch<>'&' then reverse; write(ch); end; begin reverse; writeln; end.
测试数据： 输入：
abcdefghijklmn& 输出：
&nmlkjihgfedcba
例3：利用递归，将一个十进制整数K转化为N进制整数（N<=10）。
program aa; var n,k:integer; procedure
tentok(k,n:integer); var r:integer; begin r:=k mod n; k:=k div n; if k<>0 then tentok(k,n); write(r); end;
begin read(k,n); tentok(k,n); writeln;
end.
测试数据： 输入：K和N的值 19 3 输出：转化后的N进制整数 201
递归的一般适合场合
1．数据的定义形式是按递归定义的. 如：裴波那契数列的定义为：
Fn=Fn-1+Fn-2 F1=0 F2=1 begin
program aa; var n:integer; s:longint; Function FIB(N:integer):integer;
（2）可以通过转化过程使问题回到对原问题的求解。 （3）必须要有一个明确的结束递归的条件，否则递归 会无止境地进行下去。 下面我们通过一些例子，来解释递归程序的设计。
例1：按照以上的分析，用递归的方法来求N！的解。
程序如下：
program aa; var t:longint; n:integer; function
再如：前面多次提到的求N!的问题。 我们知道：当N>0时，N!=N*(N-1)!，因此，求N!的问题化成 了求N*(N-1)!的问题，而求(N-1)!的问题又与求N!的解法相同， 只不过是求阶乘的对象的值减去了1，当N的值递减到0时， N!=1，从而结束以上过程，求得了N!的解。
也就是说，求解N!的过程可以用以下递归方法来表示：
end.
输入：
input n=5 输出：
5! =120
如图展示了程序的执行过程：
例2：读入一串字符倒序输出，以字符’&’为结束标志，用过 程来实现。
分析：由题意可知，读一串字符当然只能一个个地读入，要 倒序输出，就要一直读到字符’&’。如输入的一段字符为 ABCDEFGH&’，则倒序输出的结果应该是’&HGFEDCBA’。
在这里，为了定义n!，就必须先定义(n-1)!，为了定义(n1)!，又必须先定义(n-2)!……，上述这种用自身的简单情况 来定义自己的方式称为递归定义。
一个递归定义必须是有确切含义的，也就是说，必须一步 比一步简单，最后是有终结的，决不允许无限循环下去。
上面的例子中，当N=0时定义一个数1，是最简单的情况， 称为递归的边界，它本身不再使用递归定义。
递归的调用
在Pascal程序中，子程序可以直接自己调用自己或间 接调用自己，则将这种调用形式称之为递归调用。
递归调用时必须符合以下三个条件： （1）可将一个问题转化为一个新的问题，而新问题的
解决方法仍与原问题的解法相同，只不过所处理的对象有所 不同而已，即它们只是有规律的递增或递减。
fac(n:integer):longint; begin if n=0 then fac:=1 else fac:=fac(n-1)*n; end;
测试数据：
begin ห้องสมุดไป่ตู้rite('input n='); read(n); if n<0 then
writeln('n<0,data errer') else begin t:=fac(n); writeln(n,'! =',t) end
（1）读入一个字符； （2）读（该字符后的）子串并倒序输出； （3）然后输出读入字符（指（1）读入的字符） （4）在（2）中若子串是空（即遇字符’&’），表示子串 已完，不再处理子串。
以上（2）表示一操作依赖另一操作，所以需要用递归调 用。（4）表示已知操作（递归的终止）。
程序如下： program aa; procedure reverse; var
汉诺塔（tower of Hanoi）问题
有n个大小不等的中空圆盘，按照从小到大的顺序 迭套在立柱A上，另有两根立柱B和C。现要求把全 部圆盘从A柱（源柱）移到C柱（目标柱），移动 过程中可借助B柱（中间柱）。移动时有如下的要 求： ①一次只移动一个盘； ②不允许把大盘放在小盘上边； ③可使用任意一根立柱暂存圆盘。
read(n); s:=fib(n); writeln(s); end.
Begin If n=1 then FIB:=0 Else if n=2 then FIB:=1 Else FIB:=FIB(n-1)+FIB(n-2)
End;
测试数据： 输入：
5 输出：
3
2．某些问题虽然没有明显的递归关系或结构， 但问题的解法是不断重复执行一种操作，只 是问题规模由大化小，直至某个原操作（基 本操作）就结束，如汉诺塔问题，这种问题 使用递归思想来求解比其它方法更简单。
递归的定义
所谓递归就是一个函数或过程可以直接或间接 地调用自己。我们大家都熟悉一个民间故事：从前有一
座山，山上有一座庙，庙里有一个老和尚正在给小和尚讲故 事，故事里说，从前有一座山，山上有一座庙，庙里有一个 老和尚正在给小和尚讲故事，故事里的故事是说……。象这 种形式，我们就可以称之为递归的一种形象描述，老和尚什 么时候不向下讲了，故事才会往回返，最终才会结束。
先以三个盘的移动为例，看一下移动过程。
运行结果：Enter the number of disks in Hanoi tower：3 A→C A→B C→B A→C B→A B→C A→C
分析：首先将A柱上方的n-1个盘子从A柱移到B柱， 此过程中C柱为中间柱；接着将A柱剩下的一个盘子 移到C柱；最后再将B柱上的n-1个盘子移到C柱，此 过程中A柱为中间柱，这就变成了移动n-1个盘子的 问题了。定义过程hanoi，实现这一递归算法：
ch:char; begin
read(ch); if ch<>'&' then reverse; write(ch); end; begin reverse; writeln; end.
测试数据： 输入：
abcdefghijklmn& 输出：
&nmlkjihgfedcba
例3：利用递归，将一个十进制整数K转化为N进制整数（N<=10）。
program aa; var n,k:integer; procedure
tentok(k,n:integer); var r:integer; begin r:=k mod n; k:=k div n; if k<>0 then tentok(k,n); write(r); end;
begin read(k,n); tentok(k,n); writeln;
end.
测试数据： 输入：K和N的值 19 3 输出：转化后的N进制整数 201
递归的一般适合场合
1．数据的定义形式是按递归定义的. 如：裴波那契数列的定义为：
Fn=Fn-1+Fn-2 F1=0 F2=1 begin
program aa; var n:integer; s:longint; Function FIB(N:integer):integer;
（2）可以通过转化过程使问题回到对原问题的求解。 （3）必须要有一个明确的结束递归的条件，否则递归 会无止境地进行下去。 下面我们通过一些例子，来解释递归程序的设计。
例1：按照以上的分析，用递归的方法来求N！的解。
程序如下：
program aa; var t:longint; n:integer; function
再如：前面多次提到的求N!的问题。 我们知道：当N>0时，N!=N*(N-1)!，因此，求N!的问题化成 了求N*(N-1)!的问题，而求(N-1)!的问题又与求N!的解法相同， 只不过是求阶乘的对象的值减去了1，当N的值递减到0时， N!=1，从而结束以上过程，求得了N!的解。
也就是说，求解N!的过程可以用以下递归方法来表示：
end.
输入：
input n=5 输出：
5! =120
如图展示了程序的执行过程：
例2：读入一串字符倒序输出，以字符’&’为结束标志，用过 程来实现。
分析：由题意可知，读一串字符当然只能一个个地读入，要 倒序输出，就要一直读到字符’&’。如输入的一段字符为 ABCDEFGH&’，则倒序输出的结果应该是’&HGFEDCBA’。
在这里，为了定义n!，就必须先定义(n-1)!，为了定义(n1)!，又必须先定义(n-2)!……，上述这种用自身的简单情况 来定义自己的方式称为递归定义。
一个递归定义必须是有确切含义的，也就是说，必须一步 比一步简单，最后是有终结的，决不允许无限循环下去。
上面的例子中，当N=0时定义一个数1，是最简单的情况， 称为递归的边界，它本身不再使用递归定义。