2019版九年级数学下册 24.2 圆的基本性质 24.2.3 圆的基本性质导学案 (新版)沪科版

九年级下数学圆知识点总结在九年级下学期的数学课程中，圆是一个重要的几何形状。

学习圆的相关知识对于理解几何学和进一步解决问题至关重要。

在本文中，将对九年级下数学课程的圆相关知识点进行总结。

一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是由平面上离定点距离相等的所有点组成的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径和直径是圆的基本要素。

- 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。

- 半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。

- 直径：通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上，通常用字母d表示。

3. 圆的性质：- 圆上任意两点的距离等于半径的长度。

- 圆的直径是半径的两倍。

- 圆的周长等于直径乘以π（圆周率），即C = πd。

- 圆的面积等于半径平方乘以π，即A = πr²。

二、圆的位置关系和判定方法1. 圆的位置关系：- 同心圆：具有相同圆心但半径不同的圆。

- 内切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆内部，二者只有一个公共点。

- 外切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆外部，二者只有一个公共点。

- 相交圆：两个圆有两个不重叠的公共点。

- 相离圆：两个圆没有公共点。

2. 判定圆的方法：- 已知圆心和半径：根据圆的定义，可以通过圆心和半径确定一个圆。

- 已知圆上的三个点：三点确定一个圆，可以根据圆的性质绘制出圆来。

- 已知直径两端的点：通过两点绘制直径，以直径中点为圆心，直径的一半为半径即可确定圆。

三、圆的相关角度1. 弧度制和角度制：- 弧度制：用圆的弧长与半径的比值表示，一周为2π弧度。

- 角度制：以直角为90度，一周为360度。

2. 弧度和角度之间的转换：- 角度制转弧度制公式：弧度= (π/180) × 角度- 弧度制转角度制公式：角度= (180/π) × 弧度3. 圆心角和弧度：- 圆心角：以圆心为顶点的角。

- 弧度的定义：弧度是圆心角所对应的弧长与半径的比值。

四、圆与直线的位置关系1. 相切关系：- 切线：与圆只有一个交点的直线。

圆心角、弧、弦、弦心距间的关系教材分析：本课是沪科版九年级下册第24章第二节圆的有关性质,它是在学习了垂径定理后进而要学习的圆的又一个重要性质。

主要研究弧，弦，圆心角的关系。

教材中充分利用圆的对称性，通过观察，实验探究出性质，再进行证明，体现图形的认识，图形的变换，图形的证明的有机结合。

在证明圆的许多重要性质时都运用了圆的旋转不变性。

同时弧，弦，圆心角的关系定理在后继证明线段相等，角相等，弧相等提供了又一种方法。

重点：圆心角、弧、弦之间的相等关系难点：从圆的旋转不变性出发，得到圆心角，弦，弧之间的相等关系。

目的分析：知识与技能目标：（1）让学生在实际操作中发现并理解圆的旋转不变性。

（2）结合图形让学生理解圆心角的概念，学会辨别圆心角。

（3）引导学生发现圆心角、弧、弦之间相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题。

过程与方法目标：培养学生观察，分析，归纳的能力，渗透旋转变化的思想及有特殊到一般的变化规律。

情感与态度目标：进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力，同时对学生渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育。

教法分析：1.学情：由于圆的知识是轴对称及旋转知识的后续学习，学生又有一定圆的相关概念，计算的知识储备，因此学习本节难度不是太大。

由于学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨圆心角、弧、弦之间的相等关系时可能感到困难，另外对等弧等的理解可能不透彻，我会做直观的示范；初始阶段在证明角相等，线段相等等有关问题时受思维定势的影响，学生往往会走利用“三角形全等”的老路，这时我会有意识引导，针对性训练构建学生头脑中新的知识网络。

2．教学活动是教与学双边互动过程，必须充分发挥学生的主体和教师的主导作用，因此教学目标的达成，需优选教学法，根据学生的学情，本节课在探究圆心角，弦，弧之间的相等关系我采用发现模式，基本程序是：观察实践——概括归纳——重点研讨——推理反思。

这种教学模式注重知识的形成过程，有利于体现学生的主体地位和分析问题的方法，例题教学时采用讲授模式，一方面通过新知识的讲解练习，及时反馈，查缺补漏，使学生树立信心，培养学习能力，另一方面对大面积提高教学质量也是有意的。

九年级下册数学知识点归纳关于圆在九年级下册数学教材中，圆是一个重要的概念。

本文将对九年级下册数学中关于圆的知识点进行归纳总结。

1. 圆的定义圆是由平面内到一个确定点的距离恒等于一个常数的所有点组成的集合。

其中，距离常数称为圆的半径。

2. 相关概念- 圆心：圆心是圆上所有点到圆周上所有点的连线的中点。

- 圆心角：圆心角是由圆心所张的弧所对应的角度。

圆心角的度数等于所对应的弧所对应的角度。

- 弧长：弧长是弧上的一部分，它是由圆心角所线的弧所相应的圆周的长度。

- 弧度：弧度是用来表示所对应的圆心角的度量单位，它的定义是沿着圆周的一条弧所对应的圆心角的大小等于弧长与半径的比值。

- 弦：弦是圆上的两个点所确定的线段。

3. 圆的性质- 圆的半径相等：圆上任意两点到圆心的距离相等，即圆的半径相等。

- 弦的性质：等弧长的弦与半径所夹的圆心角相等；等圆心角的弦所夹的弧长相等。

- 弦长公式：已知圆的半径和所对应的圆心角的度数，可以用弧度制表示为l = rθ。

- 同弧度的弧长：在同一个圆中，如果两条弧所对应的圆心角相等，则它们所对应的弧长也相等。

- 圆的内角与弧度的关系：一个内角所对应的弧度等于一个外角所对应的弧度的补角。

- 圆的内接四边形：内接四边形的两个对角线相等。

- 正多边形的内角和：一个正n边形的内角和等于(n-2)×180°。

4. 圆与三角形的关系- 角平分线定理：圆上的角平分线上的点到圆心的距离等于圆上与该角相对的弧所对应的角度的一半。

- 弦切角定理：一个切线和被它所划分的弦与圆心的连线所夹的角相等。

- 直角三角形中圆的性质：在一个直角三角形中，三角形的斜边恰好是以三角形其他两边中点为圆心、斜边中点到圆心的距离为半径所描述的一个圆的圆周。

总结：通过九年级下册数学知识点的归纳，我们对于圆的相关概念、性质及其与三角形的关系有了更深入的了解。

这些知识点不仅在数学学科中有重要应用，还在日常生活中有很多实际应用，如建筑设计、测量等。

九年级数学圆的基本性质九年级数学：圆的基本性质及其应用圆的性质是九年级数学中的一个重要内容，它在实际生活和后续数学知识中都具有重要的地位。

本文将详细介绍圆的基本性质，并通过实例阐述其应用。

一、圆的基本定义圆是一种几何图形，由一条固定长度的线段（称为半径）围绕一个定点（称为圆心）旋转一周所形成的封闭曲线。

圆具有如下基本元素：1、圆心：定义圆的中心点，用符号“O”表示。

2、半径：连接圆心与圆上任意一点的线段，用符号“r”表示。

3、直径：通过圆心的线段，其长度为半径的两倍，用符号“d”表示。

4、周长：圆的所有边界点组成的封闭曲线长度，用符号“C”表示。

5、面积：圆所占平面的大小，用符号“S”表示。

二、圆的基本性质1、圆的确定：到一个定点距离等于定长的所有点组成的图形是一个圆。

2、圆心与半径的关系：在同圆或等圆中，半径等于直径的一半。

3、圆的基本性质：圆是轴对称图形，其对称轴有无数条，任何一条直径所在的直线都是其对称轴。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

5、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

6、圆周角定理：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。

7、弦切角定理：在圆中，与圆相交的直线被圆截得的线段相等。

三、圆的性质的应用1、日食和月食：当月球绕地球运动时，太阳、地球和月球在同一直线上，太阳照射在月球的背面，地球上的观察者会看到月偏食或月全食。

这是由于太阳照射在月球的背面，使得月球背面的影子投射在地球上，形成了月食。

2、汽车轮胎：汽车轮胎的设计考虑了圆的性质。

因为车轮是由一个圆柱体和两个半圆形组成的，所以当车轮转动时，可以平稳地行驶。

3、计算圆的周长和面积：圆的周长和面积是圆的两个基本量，可以用于计算圆的周长和面积，也可以用于计算球体、圆柱、圆锥等几何形体的体积和表面积。

4、工程设计：在工程设计中，经常需要用到圆的性质。

例如，在设计桥梁时，需要考虑桥墩之间的距离以及桥墩的形状；在设计房屋时，需要考虑窗户和门的形状和大小。

九年级下册数学圆的知识点【九年级下册数学圆的知识点】数学是一门以逻辑严谨和推理为基础的学科，而数学的各个分支中，圆是一个重要且基础的概念。

在九年级下册数学学习中，圆的知识点是必须掌握的内容。

本文将为大家介绍九年级下册数学中关于圆的重要知识点。

一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是平面上所有与圆心距离相等的点的轨迹。

2. 圆的元素：圆心、半径和直径。

圆心是平面上距离圆上任意一点的距离都相等的点；半径是连接圆心和圆上任意一点的线段；直径是通过圆心的，并且两个端点在圆上的线段，直径是半径的两倍。

3. 圆的性质：每条半径都相等；直径是任意圆周上两点的最长线段；圆的半径垂直于圆的弧上的切线；相交于圆上同一条弧的两条弦相等；圆心角所对的弧和该角度所在的圆弧的长度成正比。

二、圆的相关计算1. 圆的周长：圆的周长公式是C=2πr，其中C表示周长，π是一个常数（约等于3.14），r是圆的半径。

2. 圆的面积：圆的面积公式是S=πr²，其中S表示面积，π是常数，r是圆的半径。

3. 弧长和扇形面积：给定圆心角的度数θ和圆的半径r，可以利用公式计算弧长L和扇形面积A。

弧长公式为L=2πr(θ/360°)，扇形面积公式为A=πr²(θ/360°)。

三、圆的位置关系与定理1. 圆内切和外切：当两个圆的内部或外部只有一点重合时，称这两个圆内切或外切。

2. 弦的性质：圆内任意两点可连成一条弦，弦的性质有：等长的弦所对的圆心角相等；垂直于半径的弦是半径所对的圆心角的平分线。

3. 切线的性质：切线与半径垂直；切线与切点间的半径是切线的切点处的切线角的平分线。

4. 切线与圆的位置关系：切线与圆的位置关系有内切、外切和相离三种情况。

内切时切线只与圆的内部相切；外切时切线只与圆的外部相切；相离时切线与圆没有交点。

四、圆的相关定理1. 余弦定理：在任意三角形ABC中，设AB=c、AC=b、BC=a，则有c²=a²+b²-2abcos∠C。

九年级圆知识点总结在数学中，圆是一个重要的几何概念，也是九年级数学课程中的重点内容之一。

掌握圆的基本性质和相关定理对于学好数学非常重要。

本文将对九年级圆的知识点进行总结和归纳，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握圆。

一、圆的性质1. 定义：圆是由平面内所有离定点相等距离的点组成的集合。

这个定点叫做圆心，相等的距离叫做圆的半径。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弦、弧、切线、相切等。

3. 圆的基本性质：在同一个圆或等圆中，以下性质成立。

- 圆心角相等：具有相同圆心的弧所对的圆心角相等。

- 弧长比：在同一圆或等圆中，弧长是半径的倍数。

- 弦长比：在同一圆或等圆中，弦长相等的弦所对的两条弧相等。

- 圆内任何一点到圆心的距离相等。

二、圆的重要定理和公式1. 弧度制：弧度是角度的补充单位，它是圆心角所对圆弧长度等于半径的角。

弧度与角度之间的换算关系是：弧度 = 角度× π / 180。

2. 圆周长：圆周长等于直径与π的乘积，即C = πd。

其中d为圆的直径。

3. 扇形面积：扇形面积等于圆心角所对弧所在圆的面积的比例，即S = (θ/360°) × πr²。

其中θ为圆心角的度数。

4. 弧长公式：弧长等于圆心角所对弧的弧度乘以半径，即L = θr。

5. 切线的性质：切线与半径的关系是垂直。

并且半径和切线在切点处相互垂直(T ⊥ R)。

6. 切线长：切线长等于半径与相切点到圆心的距离的乘积，即L = r × d。

三、圆的相关定理1. 内切圆定理：如果一个圆与一个三角形的三条边相切，则这个圆的圆心是这个三角形的内心。

2. 外切圆定理：如果一个圆与一个三角形的每一边都相切，则这个圆的圆心是这个三角形的外心。

3. 正切线定理：如果一条直线与一个圆相切，则这条直线垂直于半径，并且相切点处的切线与直线为垂直关系。

4. 弦弧定理：在同一个圆中，两条相交弦所对的弧相等。

综上所述，九年级圆的知识点包括圆的性质、圆的重要定理和公式，以及圆的相关定理。

九年级圆知识点总结圆是几何图形中最基本的图形之一，具有很多特殊性质和运用。

在数学课上，我们学习了关于圆的很多知识，包括圆的定义、性质、定理以及应用等。

下面就让我们一起来总结和回顾一下关于圆的知识点吧。

一、圆的定义及基本性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点的距离恒定的点的集合。

2. 圆的基本性质：（1）圆的半径：以圆心O到圆上任一点A为边，画得的线段OA，叫做圆的半径。

（2）圆的直径：以圆心O为端点，以圆上一点A为端点的线段OA，叫做圆的直径。

直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍。

（3）圆的周长：圆的周长又叫做圆周长，是指沿圆周的长度，记作L。

（4）圆的面积：圆的面积是指圆内部的面积，记作A。

二、圆的相关定理1. 圆心角与弦关系：如果圆上的两条弦所对的圆心角相等，则这两条弦的长度也相等。

2. 圆周角定理：圆周角是指以圆心为顶点的角，如果一个角的顶点在圆周上，这个角的两边是两条弦，则这个角的度数等于它所对的圆弧的度数。

3. 弧长定理：圆的圆周长等于360°角对应的圆弧长的长度。

4. 弧度制：弧度是表示弧长与半径的比值的单位，1弧度等于圆的半径长的弧所对的圆心角的单位面积。

5. 弦切线定理：如果一个弦高点C，它调节在大于直径EF的圆上，C在弦AB的内侧，则EC的平方等于EA*EB。

6. 余弦定理：余弦定理用于直角三角形，可据为a^2=b^2+c^2-2bc*cosA 。

7. 正弦定理：正弦定理用于三角形，可据为a/sinA=b/sinB。

8. 勾股定理：用于直角三角形，根据勾股定理可据为a^2+b^2=c^2。

三、圆的应用1. 圆的求面积和周长：圆的面积可以用公式πr²来表示（其中r代表圆的半径），圆的周长可以用公式2πr来表示。

2. 圆的切线、割线和相交定理：圆外一点与圆相交的两条切线长度相等的关系、圆内一点的切线长度和割线长度乘积相等的关系。

3. 圆的几何位置关系：关于圆的切线和圆的角，可以得到一定的证明和结论。

九年级下册圆知识点简介九年级下册的数学学习内容中包含了关于圆的知识点。

圆是数学中的一个重要概念，学好圆的知识对于进一步理解几何学和应用数学中的相关概念至关重要。

本文将对九年级下册的圆知识点进行简要介绍。

一、圆的定义与性质圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。

圆由圆心和半径确定。

1. 圆心和半径：圆心是圆上任意两个点的连线的中点，用字母O表示。

半径是圆心和圆上任意一点连线的长度，用字母r表示。

2. 直径：通过圆心的两个点在圆上的两个端点连线，称为直径，用字母d表示。

直径是半径的两倍。

3. 弦：圆上的两个点连线称为弦。

4. 弧：圆上两个点之间的部分称为弧。

5. 圆周：圆的边界称为圆周，简称周长。

二、圆的计算公式在九年级下册中，学生需要了解一些与圆相关的计算公式。

以下是其中的几个重要公式：1. 圆的周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π取近似值3.14。

2. 圆的面积公式：A=πr²，其中A表示圆的面积。

3. 弧长公式：L=2πr(θ/360°)，其中L表示弧长，r表示圆的半径，θ表示所对应的圆心角的度数。

三、圆的相交关系与判定在九年级下册中，学生将学习圆的相交关系及其判定方法，包括以下几个概念：1. 相离：两个圆没有公共的交点。

2. 外切：两个圆切于圆周上的一点。

3. 相交：两个圆相交于两个不同的交点。

4. 内切：一个圆在另一个圆内部，并且两个圆的圆心重合。

四、圆的性质和定理九年级下册还包括了几个与圆相关的重要性质和定理，如：1. 圆与圆的位置关系：切线与弦的关系、切线与切线的关系等。

2. 切线定理：切线与半径垂直，半径长度等于切点到圆心的距离。

3. 弧的性质：同弧所对的圆心角相等。

4. 弦的性质：同弧所对的弦相等。

五、圆的应用在实际生活和工作中，圆的应用非常广泛。

九年级下册的学习中，学生将学习到一些圆的应用，如：1. 几何测量：使用圆的周长公式和面积公式计算圆的周长和面积。

数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。

本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。

一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。

其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。

圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。

二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。

2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。

3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。

等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。

4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。

三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。

2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。

四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。

2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。

3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。

4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。

总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。

掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。

通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。

九年级数学圆知识点大全数学中的圆是我们学习的重要几何概念之一，它具有独特的性质和应用。

在九年级数学中，我们将学习有关于圆的知识点，本文将为你详细介绍九年级数学中与圆相关的知识点，帮助你更好地理解和掌握这一部分内容。

一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个点（圆心）相等的所有点构成的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径，这三个要素是圆的基本要素。

3. 圆的基本性质：圆上任意两点与圆心的距离相等；圆上任意一点到圆心的距离等于半径的长度；直径是圆上任意两点之间的最长线段。

二、圆的相关线段和角1. 弦：在圆上连接两点得到的线段叫做弦。

直径是一个特殊的弦，它通过圆心并且长度等于圆的直径。

2. 弧：在圆上连接两点得到的弧（简称弧段）。

弧由弦所确定，弧长是弧的长度，是弧上所有点按照圆周距离的累加。

3. 弦切角：在圆上，以弦的两端点为顶点，圆上一个点为腰的角叫做弦切角。

弦切角的大小等于它所对应的弧所对的角。

三、圆的重要定理1. 切线定理：一个切线垂直于半径。

垂直于半径的线段叫做切线，切线与半径的交点与圆心的连线垂直。

2. 弦弧定理：在圆上，等长的弦所对应的弧也等长。

3. 弧心角定理：在圆上，等长的弧所对应的弧心角也相等。

4. 切割线定理：如果有两条决定于一圆的割线相交成一点，那么从这个点到四个割线外割出的四条弦对应的两对点构成两组共轭点。

四、圆的计算1. 圆的周长：圆的周长等于圆周上任意一段弧长，可以通过直径或半径来计算。

周长公式：C = 2πr 或C = πd，其中C表示周长，r表示半径，d表示直径，π约等于3.14。

2. 圆的面积：圆的面积可以通过半径来计算。

面积公式：S =πr²，其中S表示面积，r表示半径，π约等于3.14。

五、圆与其他几何图形的关系1. 圆与直线的关系：在平面几何中，一条直线可以与圆有三种不同的位置关系，分别是相离、相切和相交。

2. 圆与多边形的关系：正多边形的外接圆和内切圆，以及正多边形与圆内接四边形的关系等。

第24章圆24.2 圆的基本性质第1课时圆的定义及与圆有关的概念教学目标教学反思1.认识圆，理解圆的本质属性.2.理解弦、弧、直径、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.3.会判断点与圆的位置关系，并应用这一关系进行解题.教学重难点重点：认识圆，理解圆的本质属性.难点：理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系.教学过程导入新课问题情境：观察下列图片，从图片中找出共同的图形.教师追问：你还能举出生活中的圆形吗？师生活动：学生列举生活中的圆形，教师适当引导.思考：车轮为什么做成圆形? 做成三角形、正方形可以吗？师生活动：如果把车轮做成圆形，车轴安装在圆心上，当车轮在地面滚动的时候，车轴离开地面的距离总是等于车轮半径长.因此车厢里坐的人都将平稳地被车子拉着走.假设车轮是个破的，已经不成圆形了，轮缘上高一块低一块的，也就是说从轮缘到轮子圆心的距离不相等，那么这种车子行驶起来一定很颠簸.同样道理，如果车轮设计成三角形或是正方形，因为其中心点到周边各点的距离不等长，所以行驶起来也一定会很颠簸！探究新知1.圆的定义教师提问：同学们，你们知道怎样画一个圆吗？你有哪些方法？师生活动：学生畅所欲言，教师圆规演示画圆的过程，总结圆的定义.1.定好半径长（即圆规两脚间的距离）；2.固定圆心（即把有针尖的脚固定在一点）；教学反思3.旋转一圈（使铅笔在纸上画出封闭曲线）；4.用字母表示圆心、半径、直径.【归纳总结】圆的旋转定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.问题情境：1.以1 cm为半径能画几个圆，以点O为圆心能画几个圆？2.如何画一个确定的圆？师生活动：学生独立思考并回答，教师引导.教师追问：从画圆的过程可以看出什么呢？【归纳总结】①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于半径.②平面内到定点的距离等于定长的所有点都在同一个圆上.【归纳总结】圆的集合定义：平面内到定点（圆心O ）的距离等于定长（半径r）的所有点组成的图形.探究：确定一个圆的要素.教师提问：当圆的圆心确定时，这个圆唯一确定吗？当圆的半径确定时，这个圆唯一确定吗？师生活动：学生小组讨论，举出反例，思考确定圆的要素，教师引导.①②【解】如图①，圆心相同，半径不同，能画出无数个同心圆；如图②，半径相同，圆心不同，能画出无数个等圆.【归纳总结】确定一个圆的要素一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.圆的基本性质：同圆的半径相等.【新知应用】例1 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O .求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.师生活动：（学生思考，教师引导）要使A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，点A ，B ，C ，D 与点O 的距离有什么关系？【证明】∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD ，∴ OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴ A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的圆上.【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）. 2.点与圆的位置关系圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.请你用集合的语言描述下面的两个概念：（1）圆的内部是到圆心的距离小于圆的半径r 的所有点的集合； （2）圆的外部是到圆心的距离大于圆的半径r 的所有点的集合. 【新知讲解】点与圆的位置关系： 1.点P 在圆上⇔OP ＝r （如图①）. 2.点P 在圆内⇔OP <r （如图②）. 3.点③练一练：1.正方形ABCD 的边长为3 cm ，以A 为圆心，３cm 长为半径作⊙A ，则点A 在⊙A ，点B 在⊙A ，点C 在⊙A ，点D 在⊙A .2.一点和⊙O 上的最近点距离为4 cm ，最远距离为10 cm ，则这个圆的半径是 cm.3.与圆有关的概念 （1）弦连接圆上任意两点的线段（如图中的AB ）叫做弦.图中的弦还有 .经过圆心的弦（如图中的AC ）叫做直径.注意：①弦和直径都是线段.②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. （2）弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A ，B 为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”. （3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.教学反思（4）劣弧与优弧小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC .大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC .（5）等圆能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆. （6）等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 3.概念辨析（1）长度相等的弧是等弧吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）长度相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.（2）直径是弦吗？弦是直径吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）直径是弦，但弦不一定是直径，只有在弦经过圆心时，这条弦才叫直径，因此直径是圆中最长的弦.（3）半圆是弧吗？弧是半圆吗？师生活动：学生思考并回答，说明理由，教师引导归纳总结.【归纳总结】（学生总结，老师点评）半圆是弧，但弧不一定是半圆，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧才是半圆.【新知应用】例2 下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦.其中正确的是________.（填序号）师生活动：（引发学生思考）优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？【答案】②【归纳总结】（学生总结，老师点评）由圆的有关概念可知，连接圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧.例3 如图.（1）请写出以点B 为端点的劣弧及优弧； （2）请写出以点B 为端点的弦及直径； （3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.师生活动：发对优弧、劣弧概念的思考.【解】（1）劣弧：BD ，BF ，BC ，BE .优弧：BFE ，BFC ，BCD ，BCF .（2）弦BD ， AB ， BE .其中弦AB 又是直径.（3）答案不唯一.如：弦DF ，它所对的弧是DF 和DEF . 【归纳总结】大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.要按照一定的顺序书写，不要遗漏.【拓展延伸】 例4 下列说法：①经过点P 的圆有无数个；②以点P 为圆心的圆有无数个；③半径为3 cm ，且经过点P 的圆有无数个；④以点P 为圆心，以3 cm 为半径的圆有无数个.其中错误的有（ ）A .1个 B.2个 C.3个 D.4个师生活动：（引发学生思考）结合圆的定义分析怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？【答案】A教学反思【归纳总结】（学生总结，老师点评）确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小.两者缺一不可.例5A，B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）A.AB＞0B.0＜AB＜5C.0＜AB＜10D.0＜AB≤10师生活动：（引发学生思考）连接圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连接圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么.【答案】D【归纳总结】（学生总结，老师点评）圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长.课堂练习1.填空：（1）______是圆中最长的弦，它是______的2倍.（2）如图所示，图中有条直径，条非直径的弦.2.一点和⊙O上的点最近距离为6 cm，最远距离为12 cm，则这个圆的半径是 .3.判断下列说法的正误.（1）弦是直径. （）（2）过圆心的线段是直径. （）（3）半圆是弧. （）（4）过圆心的直线是直径. （）（5）直径是最长的弦. （）（6）半圆是最长的弧. （）（7）长度相等的弧是等弧. （）（8）同心圆也是等圆. （）4.给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的是.（填序号）5.如图，点A，B，C，E在⊙O上，点A，O，D与点B，O，C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？第5题图6.如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.参考答案1.（1）直径半径（2）两三2.9 cm或3 cm3.（1）×（2）×（3）√（4）×（5）√（6）×（7）×（8）×4.①5.解：图中有3条弦，分别是弦AB，BC，CE.6.证明：如图，连接ON，OA.∵点A，N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC和四边形DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD. 教学反思第6题答图课堂小结学生独立思考，进行总结，教师补充概括. ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩圆的旋转定义圆的定义圆的集合定义弦—直径劣弧圆弧半圆圆的有关概念优弧等圆等弧 布置作业教材第14页练习板书设计24.2 圆的基本性质第1课时 圆的定义及与圆有关的概念1.圆的定义（1）圆的旋转定义 （2）圆的集合定义2.与圆有关的概念：弦；直径；弧；半圆；等圆；等弧.3.点与圆的位置关系： 点P 在圆上⇔OP ＝r ； 点P 在圆内⇔OP <r ； 点P 在圆外⇔OP >r. 教学反思。

九年级数学下册圆的知识点整理圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家!九年级数学下册《圆》知识点整理第十章圆重点①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

☆ 内容提要☆一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3.“三点定圆”定理4.垂径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.三种位置及判定与性质：初中数学复习提纲2.切线的性质(重点)3.切线的判定定理(重点)。

圆的切线的判定有⑴…⑵…4.切线长定理三、圆换圆的位置关系初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段初中数学复习提纲1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲 (右图)(解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式初中数学复习提纲4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线1.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线(连心线)6.两圆相交公共弦。

九年级下册圆知识点简介圆是几何学中的一个重要概念，是指平面上所有到一个定点距离都相等的点的集合。

在九年级下册数学课程中，涉及了与圆相关的多个知识点，如圆的定义、圆的元素、圆的性质等。

以下是对九年级下册圆相关知识点的简要介绍：1. 圆的定义圆是平面上到一个固定点距离相等的所有点的集合。

这个固定点称为圆心，定点到圆心的距离称为半径。

圆由圆心和半径唯一确定。

2. 圆的元素圆的要素包括圆心、半径、直径和弧长。

圆心是圆的中心点，半径是从圆心到圆上任一点的距离，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，弧长是由两个点在圆上划出的弧所对应的圆周的长度。

3. 圆的性质(1) 圆的直径是圆上任意两点间的最长线段，直径的长度等于两倍的半径。

(2) 圆的弧长与弧所对的圆心角成正比。

设圆的半径为r，圆心角为θ（弧度制），则弧长L = rθ。

(3) 圆的圆心角和圆周角的关系，圆心角等于其所对圆弧的角度，而圆周角等于360度或2π弧度。

(4) 切线和半径的关系，切线和半径相交于切点，切线垂直于半径。

4. 圆与其他图形的关系(1) 圆与直线的关系：圆与直线的位置关系有内离、外离、内切和外切四种情况。

内离即直线不与圆相交，外离则是直线所在直线与圆没有公共点，内切是直线与圆相切于圆上一点，外切即直线切于圆上一点且不穿过圆内部。

(2) 圆与多边形的关系：圆可以与多边形（如正多边形、正方形等）内切或外切。

(3) 圆与圆的关系：两个圆可以相交于两个点、外切于一个点、内切于一个点，或者完全重合。

5. 圆的计算在求解与圆相关的问题时，需要运用圆的相关公式和定理进行计算。

例如，根据圆的面积公式S = πr²和周长公式C = 2πr，可以计算出圆的面积和周长。

通过以上对九年级下册圆知识点的简要介绍，我们可以看到圆在几何学中具有重要的地位，与其他几何图形有着密切的关系。

掌握了圆的定义、元素、性质和计算方法，能够更好地理解和应用圆的相关知识，为解决实际问题提供有效的几何工具。

Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
· O
D
F C
（1）如果AB=CD, 那么_________,_______,_______;
(2)如果OE=OF, 那么_________,________,_______;
(3)如果A⌒B = C⌒D,那么________,_________,_______;
(4)如果∠AOB=∠COD,那么_______,_______,________.
A
O C
B
1、顶点在 圆心上 的角叫做圆心角。 2、在 同圆或等圆 中，相等的圆心 角所对的弦 相等 ，所对的弧 相等 。
3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条 弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余 各组量也 相等 。
请同学们认真学习课本第18页至第19页的内容， 回答下面的问题：
1、什么样的角是圆心角？
2、你能说出圆心角∠AOB， ∠A′OB′所
对的弦，弧吗？
3、将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到 ∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关
系？为什么？
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
︵ 如图所示，∠AOB叫作圆心角，AB 叫作圆心 角∠AOB所对的弧。
A．这两个圆心角所对的弦相等;
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;
D．以上说法都不对
2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与
CD关系是
（ A）
A． »AB 2C»D
C．»AB <2C»D
B．»AB >2C»D D．不能确定
3．如图1，⊙O中，如果 »AB 2C»D，那么 （ C ） A．AB=2AC B．AB=AC

初三数学圆知识点总结归纳数学是一门重要的学科，其中圆是初三阶段的重点内容之一。

为了帮助同学们更好地理解和掌握圆的知识，本文将对初三数学圆的知识点进行总结和归纳。

下面将从圆的基本性质、圆的相关定理以及圆的应用三个方面进行详细介绍。

一、圆的基本性质圆是我们生活中常见的几何形状之一，了解圆的基本性质对于理解和解题都非常重要。

1.圆的定义：圆是平面上一点到另一点距离保持不变的点的集合。

2.圆的要素：圆心、半径和直径是圆的基本要素。

圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点，常用字母O表示；半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示；直径是通过圆心，且两个端点在圆上的线段，直径的长度等于半径的两倍。

3.弧与弦：圆上两点之间的线段叫做弦，圆上两点之间的弧是圆上除去弦包含的部分所剩下的弯曲部分。

4.圆周角：以圆心为顶点的角叫做圆周角，圆周角的度数是弧长所对应的圆心角的度数。

二、圆的相关定理熟练掌握圆的相关定理对于解题非常有帮助，下面将介绍常用的圆的定理。

1. 半径相等定理：同一个圆内，所有的半径相等。

2. 弦长定理：在同一个圆上，相等弧所对的弦相等，或者说弦相等所对的弧相等。

3. 切线定理：切线与半径垂直，半径与切线的交点恰好在切点上。

4. 弧度制与角度制转换：1 弧度＝180°/π，1 度＝π/180 弧度。

三、圆的应用圆的知识不仅仅用于理论中，还有很多实际应用场景。

下面将介绍几个常见的应用。

1. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr^2，其中S表示面积，r表示半径。

2. 扇形面积：扇形是由圆心、弧和两条半径组成的区域，计算扇形的面积可以使用扇形面积公式S = (θ/360°) × πr^2。

3. 弧长公式：弧长公式为L = rθ，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。

4. 圆与三角形的关系：在三角形中，圆的内切圆是三角形内接圆，三角形的外接圆是三角形外接圆。

通过以上对圆的基本性质、相关定理和应用的总结归纳，我们可以更好地理解和掌握圆的知识点。

九年级下册数学圆的必考知识点九年级下学期的数学学习内容中，圆是一个非常重要的知识点。

它是几何学中的基础概念之一，涉及到面积、周长、弧长等概念的计算。

下面，就让我们来一起回顾和学习九年级下册数学圆的必考知识点。

一、圆的定义和基本性质圆是平面上一组离定点等距离的点的集合，这个定点叫作圆心，等距离的长度叫作半径。

圆的基本性质包括：圆上任意两点与圆心的距离相等；圆心到圆上任意一点的距离等于半径长度；圆的直径是通过圆心的两点，等于半径长度的两倍。

二、圆的面积和周长公式圆的面积公式是S=πr²，其中S表示圆的面积，π是一个常数，约等于3.14，r表示圆的半径。

该公式的推导可以通过剖分圆形成扇形，并利用扇形的面积计算公式得到。

圆的周长公式是C=2πr，其中C表示圆的周长。

周长的计算可以通过将圆的周长等分为N个小的弧段，然后用近似的方法计算每个弧段的长度并相加得到。

三、圆和圆心角圆心角是以圆心为顶点的角，在圆的周上取两个点作为角的两边。

根据圆心角所对的弧长长度，圆心角可以分为180°（半圆）、90°（四分之一圆）等等。

根据圆心角所在的位置，圆弧可以分为大弧和小弧。

圆心角的度数与所在弧的弧长成正比。

四、弧长和弦长的计算弧长是圆上两点之间的弧段的长度，弦长是圆上两点的直线段的长度。

弧长的计算可以根据圆上两点的圆心角度数和半径长度进行计算，公式为L=2πr（θ/360°），其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。

弦长的计算可以通过勾股定理计算，公式为C=2rsin(θ/2)，其中C表示弦长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。

五、切线和切点切线是与圆相切且与圆心的连线垂直的直线。

切线与圆的相交点称为切点。

切线的斜率和圆的半径垂直，可以通过斜率为-1来计算切线的方程。

切线的长度可以通过勾股定理计算。

通过对九年级下册数学中圆的必考知识点的学习和回顾，我们可以更好地理解和运用圆的概念和性质。

A
●O C
随堂练习
驶向胜利
三角形与圆的位置 关系 (wèi zhi)
的彼岸
• 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角(dùnjiǎo)三角形的外接 圆,并说明与它们外心的位置情况
A
A
A
●O
●O
●O
锐B角三角形的外心位C 于(Bwèi┐yú)三角形内,C直角三角B形的外心C位于
直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
老师期望:
2021/12/11
作三角形的外接圆是必备基本第九技页，共十能一页。,定要熟练掌握.
结束 寄语 (jiéshù)
下课了!
• 盛年 不重来, , (shènɡ nián)
一日难再晨
及时宜自勉,岁月不待人.
再见(zàijiàn)
2021/12/11
第十页，共十一页。
内容(nèiróng)总结
Image
12/11/2021
第十一页，共十一页。
• 因此,三角形的三个顶点确定(quèdìng)一 个圆,这圆叫做三角形的外接圆.这个
三角形叫做圆的内接三角形. 外接圆的圆心是三角形三边(sān 垂 biān) 直平分线的的交点,叫做三角形的外 B
心. 老师提示: 多边形的顶点与圆的位置关系称为接.
2021/12/11
第八页，共十一页。

驶向胜利 的彼岸
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？
老师提示:
A●
能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆的圆
心(yuánxīn)在线段AB的垂直平分线上. 经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂直平
●B
┏ ●O