初中数学反比例函数知识点及经典例题

初中数学反比例函数知识点及经典例题反比例函数是数学中常见的一类函数，它是由一元二次函数反过来得到的。

反比例函数的特点是，自变量的增大导致函数值的减小，自变量的减小导致函数值的增大。

本文将介绍反比例函数的定义、性质、图像、经典例题以及解题思路。

一、反比例函数的定义反比例函数是指当两个变量之间满足一个恒等关系时，这个关系可以用一个反比例关系式表示。

一般地，反比例关系式可以表示为：y=k/x，其中k为常数。

二、反比例函数的性质1.反比例函数的定义域是非零实数集。

2.反比例函数的值域是非零实数集。

3.反比例函数的图像是一个经过原点的开口向右下方的双曲线。

4.当自变量等于1时，反比例函数的值等于常数k。

5.反比例函数的平行于y轴的渐近线是x=0。

三、反比例函数的图像反比例函数的图像是一个经过原点的开口向右下方的双曲线。

当自变量趋于正无穷时，函数值趋近于0；当自变量趋于负无穷时，函数值趋近于无穷大。

反比例函数的图像与x轴和y轴均不相交，且在第一象限和第三象限上。

四、反比例函数的经典例题及解题思路解题思路：根据题意可得到等式3=k/2，解方程可得到k=6、因此，此反比例函数为y=6/x。

例题2：证明反比例函数y=3/x与y=4/x在坐标原点处相交。

解题思路：将两个函数分别带入坐标原点，可得到y1=3/0=0，y2=4/0=0，因此，两个函数在坐标原点处相交。

例题3：如果一个反比例函数的变量x增加了50%，那么函数值y会发生什么变化？解题思路：根据反比例函数的定义可以得到y=k/x，将x增加了50%相当于原来的x增加了1.5倍，那么y就变成了原来的1.5倍。

例题4：如果一个反比例函数的函数值y减少了60%，那么自变量x会发生什么变化？解题思路：根据反比例函数的定义可以得到y=k/x，将y减少了60%相当于原来的y减少了0.6倍，那么x就变成了原来的0.6倍。

总结：反比例函数是一类常见的函数，它的特点是自变量的增大导致函数值的减小，自变量的减小导致函数值的增大。

反比例函数知识点归纳和典型例题反比例函数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的建模和解决中起着重要作用。

本文将对反比例函数的知识点进行归纳，并给出一些典型例题进行解析。

一、定义和性质反比例函数又称为倒数函数，其定义如下：设x和y是实数，且y ≠ 0，若存在一个实数k，使得y = k/x，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。

其一般形式为y = k/x，其中k为常数。

反比例函数具有以下重要性质：1. 定义域：定义除数x不能为0，所以反比例函数的定义域为x ≠ 0。

2. 值域：值域取决于常数k的正负，当k > 0时，值域为(0, +∞)，当k < 0时，值域为(-∞, 0)。

3. 对称性：反比例函数关于两个坐标轴都具有对称性。

二、图象和特殊情况反比例函数的图象通常是一个拋物线的两支或一支，不包括原点。

当常数k > 0时，反比例函数的图象在第一象限和第三象限，当常数k< 0时，反比例函数的图象在第二象限和第四象限。

对于一些特殊情况，我们有以下例子：1. 当k > 0时，反比例函数的图象经过点(1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。

2. 当k < 0时，反比例函数的图象经过点(-1, k)，且在x轴和y轴上有渐进线。

三、典型例题解析下面通过几个典型例题来进一步理解反比例函数的应用。

例题1：已知y和x成反比例关系，且当x = 2时，y = 5，求当x =4时，y的值。

解析：根据反比例函数的定义，有y = k/x。

代入已知条件x = 2时，y = 5，得到5 = k/2，解得k = 10。

因此，当x = 4时，y = 10/4 = 2.5。

例题2：如果一根细木杆以每分钟1.5cm的速度缩短，那么多少分钟后长度为60cm？解析：设时间为t分钟，根据题意可以列出反比例函数y = k/x。

已知当t = 0时，y = 100，即杆子的初始长度是100cm。

反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。

还可以写成2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法1 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）2 描点（有小到大的顺序）3 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。

⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

4．反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即（）又在第二，四象限内，则可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：解得时函数为【例2】在反比例函数的图像上有三点，，，，，。

若则下列各式正确的是（）A． B． C． D．【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。

解法一：由题意得，，，所以选A解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像描出三个点，满足观察图像直接得到选A解法三：用特殊值法【例3】如果一次函数相交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）【解析】【例4】如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则的值是_____.图解:因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.则有.所以.又点在第一象限,所以.所以.而已知.所以.。

反比例函数1.定义：形如y ＝x k （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

xy=k 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：直线y=x 和y=-x 。

对称中心是：原点。

由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、性质：①x 的取值范围是x ≠0，y 的取值范围是y ≠0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

①x 的取值范围是x ≠0，y 的取值范围是y ≠0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内，y随x 的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

如下图，过反比例函数)0(≠=k xk y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙。

k S k xy xk y ==∴=,, 。

5.反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限，x 增大y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x 、y 的顺序可交换。

练习题1．下列函数，①y ＝2x ，②y ＝x ，③y ＝x －1，④y ＝11x +是反比例函数的个数有()A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．反比例函数y ＝2x的图象位于()A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限3．已知矩形的面积为10，则它的长y 与宽x 之间的关系用图象表示大致为()4．已知关于x 的函数y ＝k (x +1)和y ＝－k x(k ≠0)它们在同一坐标系中的大致图象是( )5．已知点(3，1)是双曲线y ＝k x (k ≠0)上一点，则下列各点中在该图象上的点是()A ．(13，－9)B ．(3，1)C ．(－1，3)D ．(6，－12)6．某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于140kPa 时， 气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应()A ．不大于2435m 3B ．不小于2435m 3C ．不大于2437m 3D ．不小于2437m 3第6题图第7题图7．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I A ．与电阻R (Ω)成反比例，如右图所表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间的函数关系的图象，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为()．A ．I ＝6R B ．I ＝－6R C ．I ＝3R D ．I ＝2R 8．函数y ＝1x 与函数y ＝x 的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个9．若函数y ＝(m +2)|m |－3是反比例函数，则m 的值是()．A ．2B ．－2C ．±2D ．×210．已知点A (－3，y 1)，B (－2，y 2)，C (3，y 3)都在反比例函数y ＝4x 的图象上，则()．A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3二、填空题11．一个反比例函数y ＝k x (k ≠0)的图象经过点P (－2，－1)，则该反比例函数的解析式是________．12．已知关于x 的一次函数y ＝kx +1和反比例函数y ＝6x 的图象都经过点(2，m )，则一次函数的解析式是________．13．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x 与完成任务所需的时间y 之间的函数关系式为________．14．正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，如图所示，则四边形ABCD 的为_______．第14题图第15题图第19题图15．如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_________．16．反比例函数y ＝21039n n x --的图象每一象限内，y 随x 的增大而增大，则n ＝_______．17．已知一次函数y ＝3x +m 与反比例函数y ＝3m x -的图象有两个交点，当m ＝_____时，有一个交点的纵坐标为6．18．若一次函数y ＝x +b 与反比例函数y ＝k x 图象，在第二象限内有两个交点， 则k ______0，b _______0，(用“＞”、“＜”、“＝”填空)19．两个反比例函数y ＝3x ，y ＝6x 在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2005，在反比例函数y ＝6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2005，纵坐标分别是1，3， 5 ……， 共2005年连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线与y ＝3x 的图象交点依次是Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，Q 3(x 3，y 3)，…，Q 2005(x 2005，y 2005)，则y 2005＝________．20．当＞0时，两个函数值y ，一个随x 增大而增大，另一个随x 的增大而减小的是( )．A ．y ＝3x 与y ＝1x B ．y ＝－3x 与y ＝1x C ．y ＝－2x +6与y ＝1x D ．y ＝3x －15与y ＝－1x 21．在y ＝1x 的图象中，阴影部分面积为1的有（）22．如图，已知一次函数y ＝kx +b (k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y ＝m x(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ， 若OA ＝OB ＝OD ＝1．(1)求点A 、B 、D 的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式．23．如图，已知点A (4，m )，B (－1，n )在反比例函数y ＝8x的图象上，直线AB 分别与x 轴，y 轴相交于C 、D 两点，(1)求直线AB 的解析式．(2)C 、D 两点坐标．(3)S △AOC ：S △BOD 是多少？第23题24．已知y ＝y 1－y 2，y 1y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝－14，x ＝4时，y ＝3．求(1)y 与x 之间的函数关系式．(2)自变量x 的取值范围．(3)当x ＝14时，y 的值．25．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝m x的图象交于A 、B 两点．(1)利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．26．如图，双曲线y ＝5x在第一象限的一支上有一点C (1，5)， 过点C 的直线y ＝kx +b (k ＞0)与x 轴交于点A (a ，0)．(1)求点A 的横坐标a 与k 的函数关系式(不写自变量取值范围)．(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一个交点D 的横坐标是9时，求△COA 的面积．第26题图反比例函数测试题答案1．B ．；2．D ．；3．A ．；4．A ．；5．B ．；6．B ．；7．A ．；8．B ．；9．A ．；10．D ．；11．y ＝2x；12．y ＝x +1；13．y ＝20x ；14．2；15．y ＝－8x ；16．n ＝－3；17．m ＝5；18．＜，＞；19．2004．5；20．A ．；B ．；；21．A ；C ；D ；22．解：(1)∵OA ＝OB ＝OD ＝1，∴点A 、B 、D 的坐标分别为A (－1，0)，B (0，1)，D (1，0)．(2)∵点AB 在一次函数y ＝kx +b (k ≠0)的图象上，∴01k b b -+=⎧⎨=⎩解得11k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为y ＝x +1，∵点C 在一次函数y ＝x +1的图象上， 且CD ⊥x 轴，∴C 点的坐标为(1，2)，又∵点C 在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上，∴m ＝2， ∴反比例函数的解析式为y ＝2x ．；23．(1)y ＝2x －6；(2)C (3，0)，D (0，－6)；(3)S △AOC ：S △BOD ＝1：1．；24．(1)y ＝216x 提示：设y ＝k －22k x，再代入求k 1，k 2的值．(2)自变量x 取值范围是x ＞0．(3)当x ＝14时，y ＝－162＝255．；25．解：(1)由图中条件可知，双曲线经过点A (2，1)∴1＝2m ，∴m ＝2，∴反比例函数的解析式为y ＝2x ．又点B 也在双曲线上，∴n ＝21-＝－2，∴点B 的坐标为(－1，－2)．∵直线y ＝kx +b 经过点A 、B ．∴122k b k b =+⎧⎨-=-+⎩解得11k b =⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为y ＝x －1．(2)根据图象可知，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方时， 一次函数的值大于反比例函数的值，即x ＞2或－1＜x ＜0．；26．解：(1)∵点C (1，5)在直线y ＝－kx +b 上，∴5＝－k +b ，又∵点A (a ，0)也在直线y ＝－kx +b 上，∴－ak +b ＝0，∴b ＝ak将b ＝ak 代入5＝－k +a 中得5＝－k +ak ，∴a ＝5k+1．(2)由于D 点是反比例函数的图象与直线的交点∴599y y k ak⎧=⎪⎨⎪=-+⎩∵ak ＝5+k ，∴y ＝－8k +5③将①代入③得：59＝－8k +5，∴k ＝59，a ＝10．∴A (10，0)，又知(1，5)，∴S △COA ＝12×10×5＝25．；。

初三数学难点：反比例函数6个基础知识点例题（附解析）
反比例函数这一章是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。

对函数的学习，就是把图像问题与系数联系起来，并且通过反复观察，让众多学生明白不同系数，在不同函数中不同的几何意义何在，以便形成系数来研究图像的逻辑思维能力。

而且，最难的地方是反比例函数的几何问题灵活多变，可以和一次函数、全等、相似、特殊三角形、四边形等一系列知识结合出题，所以考察知识面广，综合程度高，也是很多孩子为何不会解决反比例函数题目的原因。

学函数，万变不离其宗，题目再难，也能有解决办法。

今天就为大家整理出了一份反比例函数基础知识点，以及例题和解析。

初三数学反比例函数基础知识点
反比例函数的图像
反比例函数性质
图二
二：例题
例二：
其他解法：
例三：
解析：
例四：
解析：。

中考专题复习一、反比例函数的对称性1、直线y=ax（a＞0）与双曲线y= 3/x交于A（x1，y1）、B（x2,y2）两点,则2、如图1，直线y=kx(k＞0）与双曲线y= 2/x交于A,B两点，若A，B两点的坐标分别为A（x1，y1),B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为( ）A、—8B、4C、-4D、0图1 图2 图3 图4二、反比例函数中“K”的求法1、如图2，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线．Rt△ABC中直角边AC=4,BC=3．将BC边在直线l上滑动,使A，B在函数 y=k/x的图象上．那么k 的值是（）A、3B、6C、12D、 15/42、如图3,已知点A、B在双曲线y= k/x（x＞0）上,AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于3、如图4，双曲线y= k/x（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D．若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（)A、y=1/xB、y=2/xC、y=3/xD、y=6/x三、反比例函数“K"与面积的关系1、如图5，已知双曲线 y1=1/x(x＞0)， y2=4/x（x＞0），点P为双曲线y2=4/x上的一点,且PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B，PA、PB分别次双曲线y1=1/x于D、C 两点,则△PCD的面积为( )图5 图6 图72、如图6，直线l和双曲线 y=k/x（k＞0)交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、0P，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3,则（) A、S1＜S2＜S3B、S1＞S2＞S3C、S1=S2＞S3D、S1=S2＜S33、如图7,已知直线y=-x+3与坐标轴交于A、B两点，与双曲线 y=k/x交于C、D4、反比例函数y= 6/x 与y= 3/x在第一象限的图象如图8所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为( ）A、 3/2B、2C、3D、1图8 图9 图10 图115、如图9，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y=k/x交OB于D,且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值（)A、等于2B、等于 3/4C、等于 24/5D、无法确定6、如图10，反比例函数y=k/x(x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6,则k的值为（）A、1B、2C、3D、47、如图11，梯形AOBC的顶点A，C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上,下底边BC交x轴于E(2,0），则四边形AOEC的面积为（）A、根号3B、 3C、根号3-1D、根号3+18、如图,A、B是双曲线y= k/x（k＞0)上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k=图1 图2 图3四、反比例函数与一次函数综合：1、如图1,若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y= 1/x（x＞0)2、如图2,过y轴上任意一点P，作x轴的平行线,分别与反比例函数 y=—4/x和y=2/x 的图象交于A 点和B点,若C为x轴上任意一点,连接AC，BC，则△ABC的面积为( ）A、3B、4C、5D、63、如图3,直线y=-x+b（b＞0）与双曲线y= k/x（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N；有以下结论：①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S△AOB=k；④当AB= 2时,ON—BN=1；其中结论正确的个数为（)A、1B、2C、3D、44、如图4，直线y=6-x交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数 y=4/x(x＞0)图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F．则AF•BE=（） A、8 B、6 C、4 D、 6倍根号2图4 图55、如图5,反比例函数 y=k/x(k＞0)与一次函数 y=1/2x+b的图象相交于两点A（x1，y1），B(x2,y2），线段AB交y轴与C,当|x1-x2｜=2且AC=2BC时,k、b的值分别为( ）A、k= 1/2，b=2B、k= 4/9，b=1C、k= 1/3，b= 1/3D、k= 4/9,b= 1/3五、综合(函数与几何）1、如图,▱ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0）,B（0,—2），顶点C、D在双曲线y= k/x上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=．2、如图，已知C、D是双曲线，y= m/x在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点,设C、D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），连接OC、OD．（1）求证：y1＜OC＜y1+ m/y1；（2）若∠BOC=∠AOD=a，tana= 1/3，OC= 根号10，求直线CD的解析式；（3)在(2)的条件下，双曲线上是否存在一点P,使得S△POC=S△POD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．3、如图，将一矩形OABC放在直角坐际系中,O为坐标原点．点A在x轴正半轴上．点E 是边AB上的一个动点（不与点A、N重合），过点E的反比例函数y=k/x(x＞0）的图象与边BC交于点F．（1）若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1+S2=2，求k的值；（2）若OA=2.0C=4．问当点E运动到什么位置时．四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少?4、如图,已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y= m/x（x＞0）交于点B（2，1）．过点P （p,p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y= m/x（x＞0）和y=- m/x（x＜0)于点M、N．（1)求m的值和直线l的解析式；（2）若点P在直线y=2上，求证:△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．5、如图,四边形OABC是面积为4的正方形,函数y=k/x（x＞0）的图象经过点B、E，F；（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数y=k/x（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．。

反比率函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如 yk〔 k 为常数， k o 〕的函数称为反比率函数。

ykxx还可以够写成 y kx 12. 反比率函数剖析式的特色：⑴等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数 k 〔也叫做比率系数 k 〕，分母中含有自变量 x ，且指数为 1. ⑵比率系数 k 0⑶自变量 x 的取值为所有非零实数。

⑷函数 y 的取值是所有非零实数。

3. 反比率函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表〔应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数〕 ② 描点〔有小到大的序次〕③ 连线〔从左到右圆滑的曲线〕 ⑵反比率函数的图像是双曲线，yk〔 k 为常数， k 0 〕中自变量 x 0 ，x函数值 y0 ，所以双曲线是不经过原点， 断开的两个分支， 延伸局部逐渐凑近坐标轴，但是永远不与坐标轴订交。

⑶反比率函数的图像是是轴对称图形〔对称轴是y x 或 y x 〕。

⑷反比率函数 yk〔 k 0 〕中比率系数 k 的几何意义是：过双曲线 ykxx〔 k 0 〕上任意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k 。

4．反比率函数性质以下表：k 的取值 图像所在象限函数的增减性ko 一、三象限在每个象限内， y 值随 x 的增大而减小ko二、四象限在每个象限内， y 值随 x 的增大而增大5. 反比率函数剖析式确实定：利用待定系数法〔只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 k 〕6．“反比率关系〞与“反比率函数〞 ：成反比率的关系式不用然是反比率函数 ,但是反比率函数 y k中的两个变量必成反比率关系。

x7. 反比率函数的应用二、例题【例 1】若是函数 y kx2k2k 2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【剖析】有函数图像为双曲线那么此函数为反比率函数y k，〔 k0〕即y kx1 x（k 0 〕又在第二，四象限内，那么 k 0能够求出的值【答案】由反比率函数的定义，得：2k 2k21解得 k1或 k12 k0k0k1k1时函数 y kx2 k2k 2为 y1x【例 2】在反比率函数 y 1 的图像上有三点x1， y1， x2， y2， x3， y3。

初中数学反比例函数知识点及经典例题一、反比例函数的定义反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k是一个非零常数，x和y 是实数。

二、反比例函数的图像特征1.当x=0时，反比例函数无定义；2.当x≠0时，随着x的增大，函数值y逐渐减小；3.反比例函数的图像通常是一条平面上的双曲线。

三、反比例函数的性质1. 对于反比例函数 y = k/x，k 是一个非零常数，任意给定的 x 和y，都有 xy = k 成立；2.如果反比例函数过点(x1,y1)，则对于任意其它点(x2,y2)，都有x1y1=x2y2成立；3.反比例函数的图像关于原点对称；4.反比例函数的导数为负。

四、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有很多应用，例如：1.工程中的消耗问题：项工程需要的材料数量与施工时间成反比；2.速度和时间的关系：当物体行驶的速度越快时，到达目的地所需时间越短；3.汽车的油耗问题：汽车行驶的路程与每升汽油的价格呈反比；4.人口增长与资源消耗：人口越多，资源消耗越快。

五、经典例题1.小明开车从A地到B地，全程360公里。

如果他保持每小时60公里的速度，需要多长时间到达目的地？解答：根据题意可知，小明的速度和到达目的地所需的时间成反比。

设到达目的地所需的时间为t，则有60t=360，解得t=6、所以小明需要6小时到达目的地。

2.水龙头4分钟可以装满一个水箱，水箱在3分钟内漏掉了60%的水，那么继续放水多少分钟可以装满这个水箱？解答：设继续放水的时间为t。

根据题意可知，放水的时间t和装满水箱的时间成反比。

所以有4×(1-60%)=(3+t)×100%，化简得到t=1.2、所以继续放水1.2分钟可以装满水箱。

3.假设一个圆的周长和面积的比值为k，如果圆的半径扩大3倍，求此时新圆的周长和面积的比值。

解答：设新圆的半径为r，则原圆的半径为(1/3)r。

原圆的周长和面积的比值为k，即2π(1/3)r/π((1/3)r)²=k。

自学资料年份题量分值考点题型201514反比例函数与几填空何综合201613反比例函数图象选择2017110反比例函数的简解答单应用2018210反比例函数的基解答本运算及反比例函数图象2019110反比例函数的应解答用一、正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念【知识探索】1．解析式形如(为常数，)的函数叫做反比例函数．其中也叫做比例系数．反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．【错题精练】例1．已知函数y=（m+2）x m2−10是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A. 3B. -3C. ±3D. -13【解答】解：由函数y=（m+2）x m2−10为反比例函数可知m2-10=-1，解得m=-3，m=3，又∵图象在第二、四象限内，第1页共36页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页共36页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第3页 共页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第4页共36页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训∴函数图象的两个分支分别位于第二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大；（3）∵反比例函数的关系式为：y=-2x，∴当x=-3时，y=23；当x=-12时，y=4，∴-3≤y≤4．二、用待定系数法求正比例、反比例、一次、二次函数的解析式【知识探索】1．以求正比例函数的解析式为例：先设解析式为（），其中系数待定；再利用已知条件确定的值，这样的方法称为“待定系数法”．【错题精练】例1．已知变量y与x成反比例，且当x=2时，y=-6．求：（1）y与x之间的函数表达式；（2）当y=2时，x的值．【答案】解：（1）∵变量y与x成反比例，∴可设y=kx，∵x=2时，y=-6，∴k=2×（-6）=-12，∴y与x之间的函数关系式是y=−12x；（2）当y=2时，y=−12x=2，解得：x=-6．例2．如图，点A，B在反比例函数y=mx的图象上，点A的坐标为（√3，3），点C在x轴上，且使△AOC是等边三角形，BC∥OA．第5页共36页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第6页 共36页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼 非学科培训（1）求反比例函数的解析式和OC 的长； （2）求点B 的坐标；（3）求直线BC 的函数解析式．【答案】解：（1）点A （√3，3）在反比例函数y =mx 的图象上，∴3=m√3，m =3√3，∴y =3√3x，OC =OA =√（√3）2+32=2√3．（2）过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，设CE=a ，则OE =2√3+a ，BE =√3a ， ∵点B 在y =3√3x上， ∴√3a =3√32√3+a，即a 2+2√3a −3=0，解得a =−√3±√6， ∵a ＞0，∴a =√6−√3，OE =2√3+√6−√3=√6+√3，BE =√3（√6−√3）=3√2−3， ∴B 的坐标为（√6+√3，3√2−3）；（3）设直线BC 为y=kx+b ，则{2√3k +b =0（√6+√3）k +b =3√2−3，两式相减得，（√6−√3）k =3√2−3，k =3√2−3√6−√3=√3，∴b =−2√3k =−6，∴所求的直线解析式是y =√3x −6．例3．如图，函数y={2x,（0≤x ≤3）−x +9,（x ＞3）的图象与双曲线y=kx （k≠0，x ＞0）相交于点A （3，m ）和点B ．第7页 共36页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训（1）求双曲线的解析式及点B 的坐标；（2）若点P 在y 轴上，连接PA ，PB ，求当PA+PB 的值最小时点P 的坐标．【答案】解：（1）把A （3，m ）代入y=2x ，可得 m=2×3=6， ∴A （3，6），把A （3，6）代入y=kx ，可得k=3×6=18， ∴双曲线的解析式为y=18x ；当x ＞3时，解方程组{y =−x +9y =18x，可得 {x =6y =3或{x =3y =6（舍去）， ∴点B 的坐标为（6，3）；（2）如图所示，作点A 关于y 轴的对称点A'（-3，6），连接A'P ，则A'P=AP ， ∴PA+PB=A'P+BP≥A'B ，∴当A'，P ，B 三点共线时，PA+PB 的最小值等于A'B 的长， 设A'B 的解析式为y=ax+b ，把A'（-3，6），B （6，3）代入，可得{6=−3a+b 3=6a+b，解得{a=−13b=5，∴A'B的解析式为y=-13x+5，令x=0，则y=5，∴点P的坐标为（0，5）．【举一反三】1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8 ）．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边的距离相等．（2）求经过点P的反比例函数的解析式．【答案】解：（1）作图如右，点P即为所求作的点；---图形（2分），痕迹（2分）（2）设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，由作图可得，EF⊥AB，EF⊥x轴，且OF=3，∵OP是坐标轴的角平分线，∴P（3，3），经过点P的反比例函数的解析式设为：y=kx，得出：xy=k=3×3=9，即经过点P的反比例函数的解析式为：y=9x．第8页共36页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训2．已知函数y=y1-y2，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=1；x=3时，y=5．求：（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x=2时，y的值．【答案】解：（1）设y1=k1x（k1≠0），y2=k2x（k2≠0），∴y=k1x-k2x．∵当x=1时，y=1．当x=3时，y=5，∴{k1−k2=13k1−k23=5，∴{k1=74k2=34，∴y关于x的函数解析式是：y=74x-34x；（2）由（1）知，y=74x-34x．则当x=2时，y=74×2-38=258．3．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=kx（k≠0）图象上一点，AB⊥x轴于B点，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象交y轴于D（0，-2），交x轴于C点，并与反比例函数的图象交于A，E两点，连接OA，若△AOD的面积为4，且点C为OB中点．（1）分别求双曲线及直线AE的解析式；（2）若点Q在双曲线上，且S△QAB=4S△BAC，求点Q的坐标．第9页共36页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】解：（1）∵D（0，-2），△AOD的面积为4，∴12•2•OB=4，∴OB=4，∵C为OB的中点，∴OC=BC=2，C（2，0）又∵∠COD=90°∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠OCD=∠ACB=45°，又∵AB⊥x轴于B点，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB=BC=2，∴A点坐标为（4，2），把A（4，2）代入y=kx，得k=4×2=8，即反比例函数解析式为y=8x，将C（2，0）和D（0，-2）代入一次函数y=ax+b，可得{0=2a+b −2=b ，解得{a=1b=−2，∴直线AE解析式为：y=x-2；（2）设Q的坐标为（t，8t），∵S△BAC=12×2×2=2，∴S△QAB=4S△BAC=8，即12•2•|t-4|=8，解得t=12或-4，在y=8x 中，当x=12时，y=23；当x=-4时，y=-2，∴Q点的坐标为（12，23）或（-4，-2）．三、正比例、反比例、一次、二次函数图像上的点及图像与坐标轴的第10页共36页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训交点【知识探索】1．反比例函数（是常数，）的图像的两支都无限接近于轴和轴，但不会与轴和轴相交．【错题精练】例1．如图，正方形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，对角线AC，BD交于点P，反比例函数y=2x的图象经过P，D两点，则AB的长是______．【解答】解：设D（m，2m ），则P（2m，1m），作PH⊥AB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴PA=PB，∵PH⊥AB，∴AH=HB=m，∴AB=AD=2m，∴2m=2m，∴m=1或-1（舍弃），∴AB=2m=2，故答案为2．【答案】2例2．如图，已知点A在反比例函数y=2x在第一象限上运动，过点O作OB⊥OA，当tanA=√2时，点B恰好落在反比例函数y=kx在第二象限的图象上，则k的值为______．【解答】解：过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M．∵第一象限内的点A在反比例函数y的图象上，∴设A（x，2x）（x＞0），ON•AN=2．∵tan∠A=√2，∴OBOA=√2，∵OA⊥OB，∴∠BMO=∠ANO=∠AOB=90°，∴∠MBO+∠BOM=90°，∠MOB+∠AON=90°，∴∠MBO=∠AON，∴△MBO∽△NOA，∴BMON =OMAN=OBOA=√2，∴BM=√2ON，OM=√2AN．又∵第二象限的点B在反比例函数y=kx上，∴k=-OM•BM=-√2ON×√2AN=-4．故答案为-4．【答案】-4例3．已知如图，矩形OCBD如图所示，OD=2，OC=3，反比例函数的图象经过点B，点A为第一象限双曲线上的动点（点A的横坐标大于2），过点A作AF⊥BD于点F，AE⊥x轴于点E，连接OB，AD，若△OBD∽△DAE，则点A的坐标是______．【解答】解：AF与BC为对应边，设AE=3y，则AF=DE=2y，∵OD=2，OC=3，∴反比例函数的解析式为：y=6x，由题意得，2+2y=63y，整理得，y2+y-1=0，解得，y1=−1−√52（舍去），y2=−1+√52，∴点A的坐标是（√5+1，3√5−32），故答案为：（√5+1，3√5−32）．【答案】（√5+1，3√5−32）例4．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，点B′和B分别对应）．若AB=2，反比例函数y=kx（k≠0）的图象恰好经过A′，B，则k的值为______．【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，AB=2，∴设B（m，2），∴OA=m，∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称，∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，∴∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，∴OE=12m，A′E=√32m，∴A′（12m，√32m），∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象恰好经过A′，B，∴12m•√32m=2m=k，∴m=8√33，∴k=16√33．故答案为：16√33．【答案】16√33例5．在反比例函数y=-2019x图象上有三个点A（x1，y1）B（x2，y2）C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（）A. y1＜y3＜y2B. y2＜y3＜y1C. y3＜y1＜y2D. y3＜y2＜y1【解答】解：k=-2019，故图象在二、四象限，x＞0，y随x增大而增大，y2＜y3，且均为负值，x＜0时，y＞0，故选：B．【答案】B例6．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y=k的图象上，OA=1，OC=6，x试求出正方形ADEF的边长．【答案】解：∵OA=1，OC=6，四边形OABC是矩形，∴点B的坐标为（1，6），∵反比例函数y=k的图象过点B，x∴k=1×6=6．设正方形ADEF的边长为a（a＞0），则点E的坐标为（1+a，a），∵反比例函数y=k的图象过点E，x∴a（1+a）=6，解得：a=2或a=-3（舍去），∴正方形ADEF的边长为2．例7．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y=k（kx ＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；（2）点F是OC边上一点，若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．【答案】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC=2，∵点D为BC的中点，∴CD=1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y=kx（x＞0）得：k=1×3=3；∴反比例函数的表达式y=3x，∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，∵点E在双曲线上，∴y=32，∴点E的坐标为（2，32）；（2）∵点E的坐标为（2，32），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD=1，BE=32，BC=2，∵△FBC∽△DEB，∴CFDB =BC EB，即：CF1=232，∴FC=43，∴点F的坐标为（0，53）．例8．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、……、A n-1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、……、A n-1A n都在y轴上（n≥2），点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），……，点P n（x n，y n）在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，已知B1（-1，1）．（1）反比例函数解析式为______；（2）求点P3和点P2的坐标；（3）点P n的坐标为（______）（用含n的式子表示），△P n B n O的面积为______．【解答】解：（1）在正方形OP1A1B1中，OA1是对角线，则B1与P1关于y轴对称，∵B1（-1，1），∴P1（1，1），则k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=1；x；故答案为：y=1x，（2）设P2（a，a+2），代入y=1x∴a（a+2）=1，∴a=-1±√2，∵a＞0，∴a=√2-1，∴P2（√2-1，√2+1），设P3（b，b+2√2），代入y=1，x∴b（b+2√2）=1，∴b=-√2±√3，∵b＞0，∴b=√3-√2∴P3（√3-√2，√3+√2），（3）连接B1P1交y轴于C，B2P2交y轴于E，B3P3交y轴于F，连接OB2、OP2，由P1（1，1）、P2（√2-1，√2+1），P3（√3-√2，√3+√2），知点P n的坐标为（√n−√n−1，√n+√n−1），∵S△P1B1O =2S△P1CO=2×12=1，S△P2B2O=2S△P2EO=2×12=1，…∴△P n B n O的面积为1，故答案为：（√n-√n−1，√n+√n−1），1．【答案】y=1x√n−√n−1，√n+√n−11【举一反三】1．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的顶点在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过B，C和边EF的中点M，若S四边形ABCD=8，则正方形DEFG的面积是（）A. 239B. 1289C. 16D. 154【解答】解：作BH⊥y轴于B，连结EG交x轴于P，如图，∵正方形ABCD和正方形DEFG的顶点A在y轴上，顶点D、F在x轴上，点C在DE边上，∴∠EDF=45°，3．如图，矩形ABCD的顶点A在y轴上，反比例函数y=kx（x＞0）的图象恰好过点B和点C，AD与x 轴交于点E，且AE：DE=1：3，若E点坐标为（2，0），且AD=2AB，则k的值是（）A. 6B. 8C. 10D. 12【解答】解：如图，作DM⊥x轴于M，作BN⊥y轴于N，设OA=a，则△AOE∽△DME，∴OADM =OEEM=AEED，∵AE：DE=1：3，E点坐标为（2，0），∴EM=6，DM=3a，∴点D的坐标为（8，-3a），∵AD=2AB，∴AB=2AE，∵∠EAO=90°-∠NAB=∠ABN，∠AOE=∠BNA=90°，∴△EAO∽△ABN，∴OEAN =OABN=AEAB，∴AN=4，BN=2a，∴点B的坐标为（2a，a+4），由平移可得，点C的坐标为（2a+8，-3a+4），∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象恰好过点B和点C，∴2a（a+4）=（2a+8）（-3a+4）=k，解得a=1或a=-4（舍去），∴k=10．故选：C．【答案】C4．如图，已知点A，C在反比例函数y=ax （a＞0）的图象上，点B，D在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥CD∥y轴，AB，CD在y轴的同侧，AB=3，CD=2，AB与CD的距离为1，则a-b的值是______．【解答】解：设点A、B的横坐标为m（m＞0），则点C、D的横坐标为m+1，∴A（m，am ），B（m，bm），C（m+1，am+1），D（m+1，bm+1），∵AB=3，CD=2，∴{a−bm=3a−bm+1=2，解得：{a−b=6m=2．故答案为：6．【答案】65．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，顶点D恰好落在双曲线y=kx．若将正方形沿x轴向左平移b个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则b的值为______．【解答】解：作CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G．作DF⊥x轴于点F．在y=-3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B的坐标是（0，3）．令y=0，解得：x=1，即A的坐标是（1，0）．则OB=3，OA=1．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO 中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA ，在△OAB 和△FDA 中，{∠DAF =∠OBA∠BOA =∠AFD AD =AD，∴△OAB ≌△FDA （AAS ），同理，△OAB ≌△FDA ≌△BEC ，∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，故D 的坐标是（4，1），C 的坐标是（3，4）．代入y=k x 得：k=4，则函数的解析式是：y=4x ． ∴OE=4，则C 的纵坐标是4，把y=4代入y=4x 得：x=1．即G 的坐标是（1，4），∴CG=2，∴b=2．故答案为：2．【答案】26．如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=kx 在第一象限的图象经过点B ．①若OC=3，BD=2，则k=______；②若OA 2-AB 2=18．则k=______．【解答】解：①∵△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∴OC=AC=3，BD=AD=2，∴OC+BD=5，CD=3-2=1，即B （5，1），∵反比例函数y=k x 在第一象限的图象经过点B ，∴k=5×1=5．②设点B （a ，b ），∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OA=√2AC，AB=√2AD，OC=AC，AD=BD，∵OA2-AB2=18，∴2AC2-2AD2=18即AC2-AD2=9∴（AC+AD）（AC-AD）=9，∴（OC+BD）•CD=9，∴ab=9，∴k=9，故答案为：5，9．【答案】597．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（√5，2）．反比例函数y=kx（1）求k的值；（k＞0，x＞0）的图象上（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的一个顶点恰好落在函数y=kx时，求菱形ABCD平移的距离．【答案】解：（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，∵点D的坐标为（√5，2），∴DO=AD=3，∴A点坐标为：（√5，5），∴k=5√5；（x＞0）的图象上D′，（2）∵将菱形ABCD向右平移，使点D落在反比例函数y=kx∴DF=D′F′=2，∴D′点的纵坐标为2，设点D′（x，2）∴2=5√5x ，解得x=5√52， ∴FF′=OF′-OF=5√52-√5=3√52， ∴菱形ABCD 平移的距离为3√52，同理，将菱形ABCD 向右平移，使点B 落在反比例函数y=k x （x ＞0）的图象上，菱形ABCD 平移的距离为53√5，综上，当菱形ABCD 平移的距离为3√52或5√53时，菱形的一个顶点恰好落在函数图象上．8．如图，菱形OABC 的边OC 在x 轴正半轴上，点B 的坐标为（8，4）．（1）请求出菱形的边长；（2）若反比例函数y=kx 经过菱形对角线的交点D ，且与边BC 交于点E ，请求出点E 的坐标．【答案】解：（1）如图，BM ⊥x 轴于点M ，∵点B 的坐标为（8，4），OC=BC ，∴CM=8-BC ，在Rt △BCM 中，BC 2=CM 2+BM 2，即BC 2=（8-BC ）2+42，解得，BC=5，即菱形的边长为5；（2）∵D 是OB 的中点，∴点D 的坐标为：（4，2），∵点D 在反比例函数y=kx 上， ∴k=xy=4×2=8，y=8x ，又∵OC=5，∴C （5，0），（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？【答案】解：（1）设反比例函数解析式为y=k x （k≠0），将（25，6）代入解析式得k=25×6=150，则函数解析式为y=150x（x≥15）， 将y=10代入解析式得，10=150x ， x=15，故A （15，10），设正比例函数解析式为y=nx ，将A （15，10）代入上式即可求出n 的值，n=1015=23，则正比例函数解析式为y=23x （0＜x ＜15）．（2）当y=2时，150x=2， 2=23x 1（0＜x ＜15）．解得x=75．答：师生至少在75分钟内不能进入教室．例3．在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一条边长为1时，它的另一边长为3（1）设另一条矩形的相邻两边分别为x 、y（2）若△ABC为等边三角形，则有y=√32x，∵y=12√3x∴12√3x =√32x，∴x=√24=2√6∵2<2√6<8∴能【答案】（1）y=12√3x；（2）【举一反三】1．如图，点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120∘，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=kx上运动，则k的值为．【答案】3．2．为预防“非典”，某学校对教室采取药熏的方式进行消毒，已知药物燃烧时室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后y与x成反比例，已知药物8min燃烧完，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg．（1）研究表明：当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需几分钟后，学生才能回教室？（2）研究表明：当空气中每立方米的含药量不低于3mg，且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？【答案】解：（1）①由题意xy=12，∴y=12x （x≥65）．②y≥4时，65≤x≤3．（2）当2x+12x =9.5时，整理得：4x 2-19x+24=0，△＜0，方程无解．当2x+12x =10.5时，整理得：4x 2-21x+24=0，△=57＞0，符合题意；∴小凯的说法错误，洋洋的说法正确．1．下列函数中，反比例函数是（ ）A. y=-2xB. y =1x+1C. y=x-3D. y =13x【解答】解：根据反比例函数定义，y =13x 是反比例函数．故选：D ．【答案】D2．如果函数y=kx k-2是反比例函数，那么k=______，此函数的解析式是______．【解答】解：根据题意，k-2=-1，解得k=1，且k≠0，∴函数的解析式为：y=1x ．故答案为：1，y=1x ．【答案】1y=1x3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为（）A. y=400x B. y=14xC. y=100x D. y=1400x【解答】解：设y=kx，400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，∴k=0.25×400=100，∴y=100x．故选：C．【答案】C4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx经过▱ABCD的顶点B，D，点D的坐标为（2，1），点A在y轴上，且AD∥x轴，S▱ABCD=6．（1）填空：点A的坐标为______，k=______；（2）求AB所在直线的解析式．【解答】解：（1）∵点D 的坐标为（2，1），点A 在y 轴上，且AD ∥x 轴，∴点A 的坐标（0，1），∵y =kx 的图象经过点D （2，1），∴k=2×1=2，故答案为：（0，1），2；（2）∵D （2，1），AD ∥x 轴，∴AD=2，AO=1，∵S 平行四边形ABCD =6，∴AE=3，∴OE=2，∴B 点纵坐标为-2，把y=-2代入y =2x 得，-2=2x ，解得x=-1，∴B （-1，-2），设直线AB 的解析式为y=ax+b ，代入A （0，1），B （-1，-2）得： {b =1−a +b =−2， 解得：{a =3b =1， ∴AB 所在直线的解析式为y=3x+1．【答案】（0，1）25．如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数y=kx （k 为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a ），B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使PA+PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积．【答案】解：（1）把点A （1，a ）代入一次函数y=-x+4，得：a=-1+4，解得：a=3，∴点A 的坐标为（1，3）．把点A （1，3）代入反比例函数y=kx ，得：3=k ，∴反比例函数的表达式y=3x ，联立两个函数关系式成方程组得：{y =−x +4y =3x ， 解得：{x =1y =3，或{x =3y =1， ∴点B 的坐标为（3，1）．（2）作点B 作关于x 轴的对称点D ，交x 轴于点C ，连接AD ，交x 轴于点P ，此时PA+PB 的值最小，连接PB ，如图所示．∵点B 、D 关于x 轴对称，点B 的坐标为（3，1），∴点D 的坐标为（3，-1）．设直线AD 的解析式为y=mx+n ，把A ，D 两点代入得：{m +n =33m +n =−1， 解得：{m =−2n =5， ∴直线AD 的解析式为y=-2x+5．令y=-2x+5中y=0，则-2x+5=0，解得：x=52，∴点P 的坐标为（52，0）． S △PAB =S △ABD -S △PBD =12BD•（x B -x A ）-12BD•（x B -x P ）=12×[1-（-1）]×（3-1）-12×[1-（-1）]×（3-52）=32．6．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，……均是等腰直角三角形，其直角顶点P 1（4，4），P 2，P 3……P n 均在反比例函数y=kx （k ＞0）的图象上（1）求k的值；（2）分别求出P2、P3的坐标；（3）试用含n的式子表示P n的坐标（直接写出）．（k＞0）的图象上，【答案】解：（1）∵点P1（4，4）在反比例函数y=kx∴k=4×4=16；（2）作P1A⊥OA1于A，P2B⊥A1A2于B，P3⊥A2A3于C，如图所示：∵P1（4，4），∴OA=P1A，△OAP1时等腰直角三角形，∴∠OP1A=45°，∴∠A1P1A=45°，∵P1A⊥OA1，∴△AA1P1是等腰直角三角形，∴AA1=OA=4，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，……均是等腰直角三角形，∴OA1=8，设P2（8+b，b），则b（8+b）=16，解得：b1=-4-4√2（舍去），b2=-4+4√2，∴OB=8-4+4√2=4+4√2，∴P2（4+4√2，-4+4√2），A2A1=2b=-8+8√2，∴OA2=8-8+8√2=8√2，设P3（8√2+c，c），则c（8√2+c）=16，解得：c1=-4√2-4√3（舍去），c2=-4√2+4√3，∴OC=8√2-4√2+4√3=4√2+4√3，∴P3（4√2+4√3，-4√2+4√3）；（3）由（2）得：P n的坐标为（4√n+4√n−1，4√n-4√n−1）．7．已知反比例函数y=6的图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜0＜x2，则y1，y2的大小关x系是______．【解答】解：∵k=6＞0，∴图象过一三象限，∵x1＜0＜x2，∴y1＜y2，故答案为y1＜y2．【答案】y1＜y2的图象经过点A（2，1），点M（m，n）（0＜m＜2）是该函数图象上一8．如图，已知反比例函数y=kx动点，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B，过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）当∠OAM=90°时，求点M的坐标．得k=2×1=2，【答案】解：（1）把A（2，1）代入y=kx；所以反比例函数解析式为y=2x（2）∵∠OAM=90°，∴∠MAD+∠CAO=90°，而∠CAO+∠AOC=90°，∴∠AOC=∠MAD，∴Rt△AMD∽Rt△OAC，∴AD：OC=MD：AC，即（n-1）：2=（2-m）：1，∴n-1=4-2m，∵点M（m，n）在y=2的图象上，x，∴n=2m-1=4-2m，∴2m整理得2m2-5m+2=0，解得m1=1，m2=2（舍去），2∴n=4，∴点M的坐标为（1，4）．2。

反比例函数讲义第1节 反比例函数■例1下列函数中是反比例关系的有___________________填序号; ①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤xy 23-= ⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数,)0≠k■ 例2由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I 与电阻R 成反比例,已知电压不变,电阻R=欧姆,电流强度I=安培;（1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时,求电流强度;本节作业：1、小明家离学校,小明步行上学需x min,那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为xy 1500=；水名地面上重1500N 的物体,与地面的接触面积为x 2m ,那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=;函数表达式xy 1500=还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系,请你再列举一例; 2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为2m 的矩形模具,假设模具的长与宽分别为y 与x ;1你能写出y 与x 之间的函数表达式吗 变量y 与x 之间是什么函数2若想使模具的长比宽多,已知每米这种不锈钢条6元钱,求加工这个模具共花多少钱3、若函数满足023=+xy,则y 与x 的函数关系式为______________,你认为y 是x 的______________函数;4、已知y =21y y +,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,并且当x =2时,y = —4；当x = —1时,y =5,求出y 与x 的函数关系式;5、已知y 是x 的函数,且其对应数据如下表所示,你认为y 是x 的正比例函数还是反比例函数你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗6、函数xky =的图象经过点A1,—2,则k 的值为 ; A ．21 B. 21- C. 2 D. —27、若函数132)1(+++=m mx m y 是反比例函数,则m 的值为 ;A ．m = —2 B. m = 1 C. m = 2或m = 1 D. m = —2,或m = —1 8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米,车速为每小时x 千米,从甲市到乙市所需的时间为y 小时,那么y 与x 的函数表达式是_______________________不必写出x 的取值范围,y 是x 的__________函数;9、已知y 是x 的反比例函数,当x =5时,y = —1,那么,当y =3时,x =_________；当x =3时,y =________;第2节 反比例函数的图象与性质1、 反比例函数的图象及其画法 反比例函数图象的画法——描点法：（1） 列表——自变量取值应以0但)0(≠x 为中心,向两边取三对或三对以上互为相反数的数,再求出对应的y 的值；（2） 描点——先描出一侧,另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交;反比例函数xky =的图象是由两支曲线组成的;当0>k 时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当0<k 时,两支曲线分别位于第二、四象限内;小注：1这两支曲线通常称为双曲线;2这两支曲线关于原点对称; 3反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点; 例1：画出反比例函数x y 6=与xy 6-=的图象; 解：1列表：2描点：（3） 连线;1 反比例函数的性质反比例函数 xky =)0(≠k k 的符号k >0k<0图象 双曲线x 、y 取值范围 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 位置第一,三象限内第二,四象限内增减性 每一象限内,y 随x 的增大而减小 每一象限内,y 随x 的增大而增大渐近性 反比例函数的图象无限接近于x,y 轴,但永远达不到x,y 轴,画图象时,要体现出这个特点.对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.例2 已知 2(1)m y m x -=+是反比例函数,则函数的图象在A 、一、三象限B 、二、四象限C 、一、四象限D 、三、四象限例3 函数2y kx =-与ky x=k ≠0在同一坐标系内的图象可能是例4 已知反比例函数xky =的图象经过点P 一l,2,则这个函数的图象位于 A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限3反比例函数xky =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义难点k 的几何含义：反比例函数y ＝k x k ≠0中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y ＝kxk ≠0上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线,设垂足分别为A 、B,则所得矩形OAPB 的面积为 .例5 A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积记为S ,则A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S >例6如图A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上,AM x ⊥轴于点M ,AMO △的面积为3,则k =4反比例函数与正比例函数图象的交点凡是交点问题就联立方程例7如图,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．1试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； 2求AOB △的面积．O BxyC A 图1OyxBA本节练习一、选择题每小题6分,共36分1. 已知2(1)my m x-=+是反比例函数,则函数的图象在A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限2.若反比例函数kyx=的图象经过点(12)-，,则这个函数的图象一定经过点Ａ、(21)--，Ｂ、122⎛⎫-⎪⎝⎭，Ｃ、(21)-，Ｄ、122⎛⎫⎪⎝⎭，3.反比例函数5nyx+=的图象经过点2,3,则n的值是A、－2B、－1C、0D、14.反比例函数1kyx-=的图象在每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可为A、1- B、0 C、1 D、25.如果两点1P1,1y和2P2,2y都在反比例函数1yx=的图象上,那么A．2y＜1y＜0B．1y＜2y＜0C．2y＞1y＞0 D．1y＞2y＞06.函数(0)ky kx=≠的图象如图所示,那么函数y kx k=-的图象大致是A B C D二、填空题每小题6分,共24分7.如果反比例函数kyx=0k≠的图象经过点1,－2,则这个函数的表达式是_________.当0x<时,y随x的增大而______ 填“增大”或“减小8.如图7,双曲线xky=与直线mxy=相交于A、B两点,B点坐标为－2,－3,则A点坐标为_________．9. 如图8,点A 在反比例函数xky =的图象上,AB 垂直于x 轴,若4=∆AOB S ,那么这个反比例函数的解析式为__________.图810.老师给出一个函数,甲、乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、三象限有它的图象； 乙：在每个象限内,y 随x 的增大而减小． 请你写一个满足上述性质的函数______________________三、解答题每小题,共40分11. 20分如图,一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =图象交于A －2,1、B1,n 两点．1求反比例函数和一次函数的解析式；2根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．12. 20分如图,已知反比例函数1(0)my m x=≠的图象经过点(21)A -，,一次函数2(0)y kx b k =+≠的图象经过点(03)C ，与点A ,且与反比例函数的图象相交于另一点B ．1分别求出反比例函数与一次函数的解析式；2求点B 的坐标．第3节 反比例函数的应用 本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题例题1 .面积一定的梯形,其上底长是下底长的21,设下底长x =10 cm 时,高y =6 cm 1求y 与x 的函数关系式； 2求当y =5 cm 时,下底长多少16.一定质量的二氧化碳,当它的体积V=6 m 3时,它的密度ρ= kg/m 3. 1求ρ与V 的函数关系式.2当气体体积是1 m 3时,密度是多少3当密度为 kg/m 3时,气体的体积是多少例题2如图,Rt △AOB 的顶点A 是一次函数y =－x +m +3的图象与反比例函数y =xm的图象在第二象限的交点,且S △AOB =1,求点A 的坐标.例题3某厂要制造能装250mL1mL=1 cm 3饮料的铝制圆柱形易拉罐,易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是 cm,顶部厚度是底部厚度的3倍,这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来,设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度,求y 与x 间的函数关系式.综合检测题一、填空题：1、u 与t 成反比,且当u ＝6时,81=t ,这个函数解析式为 ； 2、函数2x y -=和函数xy 2=的图像有 个交点； 3、反比例函数x k y =的图像经过－23,5点、a ,－3及10,b 点,则k ＝ ,a ＝ ,b ＝ ；4、若函数()()414-+-=m x m y 是正比例函数,那么=m ,图象经过 象限；5、若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限,则k = _______6、已知y -2与x 成反比例,当x =3时,y =1,则y 与x 间的函数关系式为 ；7、已知正比例函数kx y =与反比例函数3y x=的图象都过A m ,1,则m ＝ ,正比例函数与反比例函数的解析式分别是 、 ； 8、 设有反比例函数y k x=+1,(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点,若x x 120<<时,y y 12>,则k 的取值范围是___________9、右图3是反比例函数xk y =的图象,则k 与0的大小关系是k 0.10、函数xy 2-=的图像,在每一个象限内,y 随x 的增大而 ； 11、反比例函数()0>=k xky 在第一象限内的图象如图,点M 是图像上一点,MP 垂直x 轴于点P,如果△MOP 的面积为1,那么k 的值是 ； 12、()7225---=m mx m y 是y 关于x 的反比例函数,且图象在第二、四象限,则m 的值为 ；二、选择题： 分数3分×14=42分,并把答案填在第12题后的方框内 1、下列函数中,反比例函数是 A 、 1)1(=-y x B 、 11+=x y C 、 21xy = D 、 x y 31=2、已知反比例函数的图像经过点a ,b ,则它的图像一定也经过yO PMA 、 －a ,－bB 、 a ,－bC 、 －a ,bD 、 0,0 3、如果反比例函数xky =的图像经过点－3,－4,那么函数的图像应在 A 、 第一、三象限B 、 第一、二象限C 、 第二、四象限D 、 第三、四象限 4、若y 与－3x 成反比例,x 与z4成正比例,则y 是z 的 A 、 正比例函数B 、 反比例函数C 、 一次函数 D 、 不能确定 5、若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限,则m 的值是A 、 －1或1B 、小于21的任意实数 C 、 －1 Ｄ、 不能确定 6、函数x k y =的图象经过点－4,6,则下列各点中不在xky =图象上的是A 、 3,8B 、 3,－8C 、 －8,－3D 、 －4,－67、正比例函数kx y =和反比例函数ky =在同一坐标系内的图象为8、如上右图,A 为反比例函数xky =图象上一点,AB垂直x 轴于B 点,若S △AOB ＝3,则k的值为 A 、6B 、3C 、23 D 、不能确定9、如果矩形的面积为6cm 2,那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致A10、在同一直角坐标平面内,如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=没有交点,那么1k 和2k 的关系一定是 A 1k <0,2k >0B 1k >0,2k <0C 1k 、2k 同号D 1k 、2k 异号11、已知变量y 与x 成反比例,当x =3时,y =―6；那么当y =3时,x 的值是 A 6 B ―6 C 9 D ―912、当路程s 一定时,速度v 与时间t 之间的函数关系是A 正比例函数B 反比例函数C 一次函数D 二次函数 13、2001北京西城在同一坐标系中,函数x ky =和3+=kx y 的图像大致是14、已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A 1x ,1y ,B 2x ,2y ,且21x x <,则21y y -的值是A 、 正数B 、 负数C 、 非正数D 、 不能确定 三、解答题：第1、2小题各7分、第3小题8分,共22分1、在某一电路中,保持电压不变,电流I 安培与电阻R 欧姆成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培;1求I 与R 之间的函数关系式 2当电流I=安培时,求电阻R 的值；2、如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线xky =与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点, AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =23 1求这两个函数的解析式2求直线与双曲线的两个交点A,C 的坐标和△AOC 的面积;3、如图,一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像相交于A 、B 两点, 1利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式2根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围2001江苏苏州。

反比率函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如yk （ k 为常数， ko ）的函数称为反比率函数。

x( 自变量x 的取值 :xo )2. 反比率函数的等价形式： ① y k（ k o ） ② y kx 1 ( k o) ③xy=k( ko)x3. 反比率函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）② 描点（有小到大的次序） ③ 连线（从左到右圆滑的曲线） ⑵反比率函数的图像 :①反比率函数的图像是双曲线，由两条曲线构成。

②双曲线永久不与坐标轴订交，但无穷凑近坐标轴。

③反比率函数的图像是轴对称图形 （对称轴是 y x 或 y x ），也是中心对称图形（原点）。

4．反比率函数性质以下表：k 的取值 图像所在象限函数的增减性ko 一、三象限在每个象限内 ， y 值随 x 的增大而减小ko二、四象限在每个象限内 ， y 值随 x 的增大而增大5. 反比率函数分析式确实定：① 利用待定系数法（只要一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 k ）② k 的几何意义。

6．反比率函数 yk（ k0 ）中比率系数 k 的几何意义是： 过双曲线 ykxx（ k 0）上随意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k 。

7.反比率函数的应用二、例题【例 1】假如函数 y kx2k2k 2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【分析】有函数图像为双曲线则此函数为反比率函数y k，（ k0）即y kx1 x（k 0 ）又在第二，四象限内，则 k 0能够求出的值【答案】由反比率函数的定义，得：2k 2k21解得 k1或 k12 k 0k0k1k1时函数 y kx2 k2k 2为 y1x【例 2】在反比率函数 y 1 的图像上有三点x1， y1， x2， y2， x3， y3。

x若 x1x20x3则以下各式正确的选项是（）A．y3y1y2B． y3y2y1C． y1 y2 y3 D ．y1y3y2【分析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特别值法。

初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析知识要点梳理知识点一：反比例函数的应用在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．知识点二：反比例函数在应用时的注意事项1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题．2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．知识点三：综合性题目的类型1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．规律方法指导这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．经典例题透析类型一：反比例函数与一次函数相结合1．（2010四川成都）如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．思路点拨:由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。

根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．解析：（1）∵已知反比例函数经过点，∴，即∴∴A(1，2)∵一次函数的图象经过点A(1，2)，∴∴∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为。

（2）由消去，得。

即,∴或。

∴或。

∴或∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。

由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，的取值范围是或。

变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。

（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。

（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。

反比例函数知识点归纳总结与典型例题(一)反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如y = — ( k是常数,k = 0 )的函数叫做反比例函数。

x注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)解析式有三种常见的表达形式：(A) y = k (k w 0) , (B) xy = k (k 丰 0) (C) y=kx-1 (kw0)x例题讲解：有关反比例函数的解析式1 1 1 x 1 (1)下列函数，① x(y 2) 1②.y ——③y /④.y ——⑤y —⑥y —；其中是y关x 1 x 2x 2 3x 于x的反比例函数的有：。

a2 2 ....... …(2)函数y (a 2)x 是反比例函数,则a的值是( )A.—1B. — 2C. 2D.2 或—21 .................(3)若函数y 七彳勤是常数)是反比例函数，则m=,解析式为 .xk(4)反比例函数y — (k 0)的图象经过(一2, 5)和(J2 , n),x求1) n的值；2)判断点B ( 4J2 , 短)是否在这个函数图象上，并说明理由(二)反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。

2、位置：(1)当k>0时双曲线分另位于第象限内；(2)当k<0时，双曲线分另位于第象限I 3、增减性：(1)当k>0 时,,y 随x的增大而 ;(2)当k<0时,,y随x的增大而。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交5、对称性：(1)对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点; (2)对于k取互为相反数的两个反比例函数(如：y = 6和丫= ―)来说，它们是关于x轴，y轴。

x x例题讲解：反比例函数的图象和性质：(1)写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限m2 2⑵若反比例函数v (2m 1)x的图象在第二、四象限，则m的值是( )A—1或1； B、小于-的任意实数；C、一1; D、不能确定2(3)下列函数中，当x 0时，y随x的增大而增大的是( )1 一一4 _ 1A y 3x 4B y - x 2 C. y - D. y ——.3 x 2x2 ____ ,. 一 . 一(4)已知反比例函数y ——的图象上有两点A ( x1，y1)，B ( x2, y2),且x1 x2,则y i y 的值是（）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定2 .（5）右点（x i, y 1）、（X 2, y 2）和（X 3,y 3）分别在反比例函数 y —的图象上，且X iX 2 0 X 3,x则下列判断中正确的是（）A . y i y y 3B . y 3 y i y 2C . y 2 y 3 y iD . y 3 y y ik 1 ................... 一 ...（6）在反比例函数 y --- 的图象上有两点（x1，y 1）和（x 2, y 2）,右x 10 x 2时，y i y 2 ,则k 的x取值范围是.（7）老师给出一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第二象限；乙:函数的图象经过第四象限；丙:在每个象限内，y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数 ：.（三）反比例函数与面积结合题型。