高三数学二面角与距离

高三数学第二轮复习教学案第十二课时 空间角与空间距离班级 学号 姓名【考纲解读】1.掌握两条直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角的平面角的概念，并会求 这些角.2.掌握两条异面直线间的距离（只要求会计算已给出公垂线时的距离）直线和平面间的距离及两个平面间的距离的概念,并会求直线和平面间的距离,两个平面间的距离. 【教学目标】1.能够运用转化的思想化空间角为平面角;化线面间距离，面面间距离等为点到线或 线到面的距离.2.培养学生空间想象能力,并能把空间想象能力与运算能力,逻辑思维能力相结合. 【例题讲解】 例题1(1) 如图:⊥PA 平面ο90,=∠ACB ABC 且a BC AC PA ===, 则异面直线PB 与 AC 所成角的正切值等于________;(2) 下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥; ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥; ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥,其中,真命题的编号是___________.(写出的所有真命题的编号). (3)四棱锥ABCD P -中,PD ⊥底面ABCD ABCD ,为正方形,且1==AB PD ,G 为ABC ∆的重心,则PG 与底面ABCD 所成的角为 ( )A43B 34172arccosC 232arctanD 33arcsin(4)已知球的表面积为20π,球面上有C B A ,,三点,如果32,2===BC AC AB ,则球心到平面ABC 的距离为 ( )A 1 B2C3D 2(5)DP 垂直于正六边形ABCDEF 所在平面,若正六边形边长为,a 且PD=,a 则点P 到BC 的距离为 ( ) A a 3B a 2Ca 27D a 例2在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中,F E ,分别是BC ，11D A 的中点 （1）求证：四边形EDF B 1是菱形； （2）求直线C A 1与DE 所成的角； （3）求直线AD 与平面EDF B 1所成的角； （4）求面EDF B 1与面ABCD 所成的角.E C C 1A BD D 1A 1B 1F A BCP例3若斜三棱柱111C B A ABC -的侧面⊥11ACC A 底面,90,ο=∠ABC ABC32,2==AC BC ，且C A A A C A AA 1111,=⊥（1）求侧棱1BB 到侧面C C AA 11的距离； （2）求B A 1与平面ABC 所成的角； （3）求侧棱1CC 到侧面11ABB A 的距离；例4 在三棱锥ABC P -中，ABC ∆是正三角形，ο90=∠PCA ，D 为PA 的中点， 二面角B AC P --为ο120，32,2==AB PC .（1）求证：;BD AC ⊥（2）求BD 与底面ABC 所成的角； （3）求三棱锥ABC P -的体积.A BC A 1B 1C 1ABCDP高三数学第二轮复习教学案第十三课时 立体几何的探索性问题班级 学号 姓名【考纲解读】考查学生归纳、判断等各方面的能力，培养学生的创新意识. 【教学目标】1.能够运用归纳、猜想、分析、化归等方法探索出命题条件，然后给予证明;2.能够综合运用条件探索出要求的结论，或判断结论是否存在. 【例题讲解】 例题11.正方体1111D C B A ABCD -棱长为1，点M 在棱AB 上，且31=AM ，点P 是平面ABCD 上的动点，且点P 到直线11D A 的距离与点到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹是 （ ）A 抛物线B 双曲线C 直线D 椭圆2.在侧棱长为a 的正四棱锥中，棱锥的体积最大时，底面边长为 （ ）A a 332Ba 3C a 33Da3.在三棱柱111C B A ABC -中，P 为1AA 上一点，求c c BB p V 11-：111C B A ABC V -=（ ）A32B31 C 61 D 3 4.正四棱锥ABCD P -的底面ABCD 在球O 的大圆面上，顶点P 在球面上，已知球的体积为π332，则正四棱锥ABCD P -的体积的最大值为_______. 5.在直三棱柱111C B A ABC -中，点N M ,分别在11,BC AB 上，且λ==11BC BNAB AM （)10<<λ，那么以下四个结论中正确的有_________.(1)MN AA ⊥1 (2)MN AC // (3)//MN 平面ABC （4）MN 与AC 是异面直线6．在正三棱柱111C B A ABC -中，P 为B A 1上的点，当PBPA 1=______时，使得AB PC ⊥.例2正方形ABCD 的四边CB CD AD AB ,,,上分别取H G F E ,,,四点，使得2:1::::====HB CH GD CG FD AF EB AE ，把正方形沿对角线BD 折起，如图：（1）求证：EFGH 是矩形；（2）当二面角C BD A --为多大时，EFGH 为正方形.例3 在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，F 为棱BB 1上一点，1:2:1=FB BF ，a BC BF 2==，D 为BC 的中点.(1) 若E 为线段AD 上（不同于D A ,）的任意一点，求证：1FC EF ⊥.(2) 试问：若a AB 2=，在线段AD 上的点E 能否使EF 与平面1BB C C 1成ο60角？证明你的结论。

湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：二面角一、素质教育目标（一）知识教学点1．二面角的有关概念．2．二面角的平面角的定义及作法．（二）能力训练点1．利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角的平面角的定义．2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力．3．通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法．（三）德育渗透点让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：二面角、二面角的平面角的概念．2．教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题．3．教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件：一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．三、课时安排1课时．四、教与学过程设计（一）二面角师：我们知道，两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫生时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度（图看课本P．39中图1—43），等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角”叫二面角，那么如何定义二面角呢？阅读课本P．39—40，回答下列问题．师：我们先来回忆：什么是角？如何表示？生：从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1—117），表示为∠AOB．师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义．生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（如图1—119）．师：那么如何表示二面角呢？生：棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β．师：二面角的画法通常有哪几种？生：第一种是卧式法，也称为平卧式（如图1－120）．第二种是立式法，也称为直立式．（二）平面角师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题．如门和墙所在的平面是相交的，但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上，也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的．为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义．定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．现在我们来思考：问题1：这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？生：是合理的．如图1—121，在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB，射线OA和OB组成∠AOB，在棱上另取任意一点O＇，按同样的方法作∠A＇O＇B＇，因为OA和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的两边分别平行且方向相同，根据等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关．问题2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？生：两个条件．一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．师：平面角是直角的二面角叫直二面角．在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P．40中图1—45）．我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68.5°（图见P．39中图1—43）．下面请同学们完成例题和练习．（三）练习例如图1—122，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？解：已知CD=100米，设DH垂直于过BC的水平平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度．在平面DBC内，过点D作DG⊥BC，垂足是G，连结GH．∵DH⊥平面BCH，DG⊥BC，∴GH⊥BC．因此，∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°，由此得：≈43.3（米）．答：沿直道前进100米，升高约43.3米．注：在解题中要特别注意书写规范．如：∵DG⊥BC，GH⊥BC，∴∠DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角．练习：（P．41—42练习1、2、3、4．）1．拿一张正三角形的纸片ABC，以它的高AD为折痕，折成一个二面角，指出这个二面角的面、棱、平面角．2．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角．为什么？3．教室相邻两面墙、天花板两两所成的二面角各有多少度？4．在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10cm，求它到棱的距离．解：1．如图1—123，二面角B—AD—C中，面ABD，面ACD；棱AD；平面角∠BDC．2．如图1—124，平面AOB⊥a，平面AOB与平面α、β的交∠AOB是二面角α—a—β的平面角．3．如图1—125，二面角α—c—β，二面角β—b—γ，二面角α—a—γ的平面角分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC，都是90°．4．已知：如图1—126，二面角α—AB—β为30°，P∈α，P到平面β的距离为10cm．求P到AB的距离．解：在β内作点P的射影O，过点P作PQ⊥AB于Q，连结OQ，根据三垂线定理，可得OQ⊥AB．∴∠PQO为二面角α—AB—β的平面角，即∠PQO＝3O°．∵PO＝10cm，∴PQ＝20cm．即P到AB的距离为20cm．小结：从上面四题练习，我们可以总结三种作二面角的平面角的一般方法．1．定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角（如练习1，3）．2．应用三垂线（逆）定理法：在二面角α—l—β的面α上取一点A，作AB⊥β于B，BC⊥l于C，则∠ACB即为α—l—β的平面角（如练习4）．3．作垂面法：作棱的垂面，则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角（如练习2）．（四）总结本节课我们学习了二面角，二面角的平面角等有关概念，并学会了如何作二面角的平面角．学习的关键是将二面角的问题转化为其平面角的问题．五、作业P．45—46中习题六1、2、3、4、5．。