45.3.2因式分解公式法(第1课时)

公式法因式分解公式法因式分解是一种有效的数学方法，它可以帮助我们快速找出复杂的表达式的因式分解结果。

它的基本原理是，通过运用因式的定义和性质，将一个复杂的表达式分解成若干个简单的因式，从而得到它的因式分解式。

因式分解是一个十分复杂的概念，它涉及到多个关键概念，如因式、因数、展开式、积式、系数、系数和系数等。

因式分解的过程可以概括为：①将一个表达式分为因式；②将这些因式各自因数分解；③用展开式、积式等简单形式重新构造出因式分解式。

公式法因式分解的基本思想是，将一个复杂的多项式以特定的形式分解成若干个因式，从而使其因式分解式更加清晰明了。

例如，将多项式2x2+7x+6分解成因式，可以先将其分解成展开式2x2+7x+3x+3，再进行因式分解：2x2+3x+3=(2x+3)(x+1)，再重新构造出它的因式分解式：2x2+7x+6=(2x+3)(x+2)，这样就得到了它的因式分解式了。

公式法因式分解的步骤如下：①根据多项式的式子把它分解成若干个简单的因式；②把每个因式因数分解；③用展开式、积式等形式重新构造出因式分解式。

本文将从实例出发，重点介绍公式法因式分解的实践方法。

首先，根据多项式的式子把它分解成若干个简单的因式。

需要特别注意的是，分解时一定要满足因式分解的特殊性质，即每个因式至少有一个非零系数。

例如：将多项式2x2+7x+6分解成展开式2x2+7x+3x+3，再进行因式分解：2x2+3x+3=(2x+3)(x+1)，即可满足因式分解的特殊性质。

其次，要把每个因式的因数分解出来，以便重新构造出因式分解式。

这一部分最重要的是，要能够分解出每一组因式的因数，具体的方法是，把因式的项的系数分别乘起来，得到它的常数项，再根据它的单项式把它分解出对应的因数，就可以得到完整的因式分解式了。

最后，要把因式按照正确的形式重新构造出因式分解式。

首先，要根据因式分解的特殊性质重新排列因式，使每个因式的非零系数在因式分解式的头部；其次，要把多项式的最高次数项保留，其他项按降幂排序；最后，要对除系数外的各项因数进行乘积运算，把它们组合成因式分解式。

14.3 因式分解(第2课时)一、内容和内容解析1．内容用平方差公式分解因式．2．内容解析公式法是因式分解的一种方法.公式法就是把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，是用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式的方法．利用平方差公式分解因式是公式法的一种．它的基本思路是逆用乘法公式中的平方差公式，将形式为“两项平方差的多项式”分解为两项和与两项差的积，因此，准确找出成平方差关系的两项成为运用平方差公式的关键环节．因式分解的平方差公式是对比整式乘法的平方差公式而引入的，因式分解与整式乘法的逆向恒等变形关系是此方法的理论依据，让学生体会数学知识之间的整体联系，体会转化的数学思想．基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式来分解因式．二、目标和目标解析1．目标(1)探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．(2)会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解2．目标解析达成目标(1)的标志：学生知道运用平方差公式来分解因式要经历“将多项式化为两个数的平方差的形式”“将多项式写成两数和与两数差的积的形式”两个步骤，并能按此步骤对多项式进行因式分解．知道平方差公式中的两个数既可以代表数字和字母，也可以代表式子．知道由于整式乘法与因式分解是相反方向的变形，所以整式乘法的平方差公式可以转化为因式分解的平方差公式．达成目标(2)的标志：学生会分析多项式的结构特征，选用合适的因式分解的方法，如多项式各项含有公因式可用提公因式法，如多项式的结构是平方差的形式则运用平方差公式来因式分解，尤其是对需经过两步才能彻底因式分解的多项式，学生能做到认真观察、缜密思考，最终完善地解决问题．三、教学问题诊断分析提公因式法和平方差公式作为因式分解的基本方法学生都是初次接触，在对它们的认识还不够深入的情况下综合运用会有困难，学生可能出现找不到合适的方法进行因式分解的问题或出现因式分解不彻底的现象．这主要是学生的观察能力和学习经验有限的缘故，看不出某些因式仍可以进行因式分解，解决这些问题的办法是让学生深入理解因式分解的方法，同时通过练习逐步熟悉这些方法以达到熟能生巧的目的．本节课的教学难点：综合运用提公因式和平方差公式两种方法分解因式．四、教学过程设计1．探索平方差公式问题1你能将多项式x2－4与多项式y2－25分解因式吗？追问1：本题你能用提公因式法分解因式吗？追问2：这两个多项式有什么共同的特点？追问3：你能利用整式的乘法公式——平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2来解决这个问题吗？追问4：你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试着概括你的发现？师生活动：学生观察并独立思考，尝试着解决问题，发现每个多项式中没有公因式可提，不能用提公因式的方法分解因式．在老师追加问题的引导下，学生经过观察、类比得到新的因式分解的方法，最后师生共同归纳出平方差公式，即把整式的乘法公式——平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就得到因式分解的平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)．在此过程中学生再一次感悟到因式分解与整式乘法的互逆变形关系，教师板书课题：平方差公式．设计意图：让学生充分经历观察、思考、类比的过程，归纳并概括出将乘法公式逆用就能解决问题，归纳出因式分解的平方差公式．使学生充分经历探索的过程，感受整式乘法与因式分解之间的逆向恒等变形的价值，发展学生的逆向思维能力，增强学生的符号意识．2．理解平方差公式问题2下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？（1）x2＋y2；（2）x2－y2；（3）－x2＋y2；（4）－x2－y2．追问1：平方差公式的结构特征是什么？追问2：两个平方项的符号有什么特点？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，然后小组交流，学生代表展示解答思路．若学生感到困难，教师可引导学生回答追问的问题，师生共同归纳运用平方差公式进行因式分解的条件：适用于平方差公式因式分解的多项式必须是二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的符号相反．设计意图：通过判断能否运用平方差公式进行因式分解，达到检验、巩固和学以致用的目的，同时让学生进一步理解平方差公式的结构特征，加深对公式本质的认识．3．应用平方差公式例3分解因式：(1)4x2－92； (2)(x＋p)2－(x＋p)2．师生活动：教师提出问题，组织学生观察多项式的结构特征，引导学生分析每一项的转化方法，鼓励学生思考，教师作规范的分解因式的板书示例．在(2)中，鼓励学生尝试用不同的方法来分解因式，如换元法等．设计意图：让学生在应用中进一步理解平方差公式，学会因式分解的规范格式，培养学生符号运算的能力、逆向思维和勤于观察的习惯．通过对因式分解方法的反思，评价解法的差异，获得因式分解的解题经验．练习将下列多项式分解因式：(1)a2－125b2；(2)9a2－4b2；(3)－1＋36b2；(4)(2x＋y)2－(x＋2y)2．师生活动：四名学生板演，其他学生在练习本上完成，教师巡视，个别指导．设计意图：让学生在应用中进一步理解平方差公式的结构特征，较熟练地运用平方差公式，尤其是首项符号为负号或底数为多项式的情况如何转化为平方差公式的形式，从而积累解题经验．4．综合运用平方差公式例4 分解因式：(1)x4－y4； (2)a3b－ab．追问1：如何处理指数为4次的二项式？追问2：将x4－y4分解为(x2＋y2)(x2－y2)就可以了吗？追问3：将a3b－ab分解因式能直接运用平方差公式吗？师生活动：学生先独立思考，再开展分组活动，组内交流、讨论、展示，请思考成熟的学生发言，阐述解决问题的方法．教师及时给予鼓励和肯定，并最终形成解决上述问题的方法，即问题(1)两次运用平方差公式，问题(2)提公因式法和平方差公式综合运用．师生共同反思解决此类问题应该注意的问题.设计意图：通过小组合作的方式达成如下目标：(1)让学生理解并学会解决“分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止”的要求，即对因式分解结果中的每一个因式再进行分析，看是否还可以分解，逐一排查，确保已分解彻底；(2)对学过的两种因式分解的方法能初步综合运用，将两种方法有机地结合在一起，让学生看到因式分解的方法不是孤立的.即熟悉不同因式分解方法的本质特征，在面对具体问题情境时选准方法加以解决．练习分解因式：(1)x2y－4y； (2)－a4＋16．师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，然后小组交流解题经验，解题过程可由学生进行评价．设计意图：使学生进一步综合应用因式分解的方法，训练计算的准确性、熟练性、灵活性，起到强化巩固的作用．5．小结教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学习了哪些主要内容？(2)因式分解的平方差公式的结构特征是什么？(3)综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分解时要注意什么？设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，通过建立知识之间的联系，促进学生数学思维品质的优化．6．布置作业教材习题14.3第2题，第4题(2)．五、目标检测设计1．下列多项式能用平方差公式来分解因式的是( )．A．－a2＋b2B．－a2－b2C．a2＋b2设计意图：检测学生对平方差公式的特征的理解情况．2．分解因式：(1)－81a2－b2；(2)(3a＋2b)2－(3a－2b)2.设计意图：检测学生对平方差公式的理解和运用情况．3．分解因式：(1)1－16a4；(2)9a2b－4b．设计意图：检测学生对提公因式法与平方差公式的综合应用的掌握情况．。

2分钟1.5分钟0.5分钟归纳总结拓展提升例：利用因式分解计算22224914.35114.3)2(202120202020)1(⨯-⨯-+分析：(1)中2220212020-可利用平方差公式分解成)20212020()20212020(-⨯+，进而再进行化简运算；（1）中可以先提取共同的因数3.14，再利用平方差公式分解计算.解：2021202120202020)1()20212020(2020)20212020()20212020(2020202120202020)1(22-=--=-⨯++=-⨯++=-+28.6210014.3)4951()4951(14.3)4951(14.34914.35114.3)2(2222=⨯⨯=-⨯+⨯=-⨯=⨯-⨯例：如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各减去一个边长为b的正方形，其中a=1.86，b=0.34，求剩余部分面积.分析：求正方形减去四角后的面积，即用大正方形的面积，减去四个小正方面即可。

先可以列出式子为a2-4b2，若直接带入数值，发现运算量较大，所以可以先将a2-4b2因式分解后，再代入数值运算，可大大简化运算过程。

解：S剩= a2-4b2=(a+2b)(a-2b)把a=1.86，b=0.34带入S剩=(1.86+2×0.34)×(1.86-2×0.34)=2.72×1 =2.72四．归纳总结问题：今天我们主要学了哪些知识？利用平方差公式分解因式：))((22bababa-+=-问题：怎样判断能否利用平方差公式因式分解？利用平方差公式分解需要满足所给多项式能够写成两项平方差的形课后作业式，或者在变形后能够写成两项平方差的形式.平方差公式中的字母a,b可以表示数、单项式或多项式.问题：在运用平方差公式分解因式时，我们应该注意哪些问题？(1)若多项式中有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式；(2)因式分解要彻底，直到不能继续再分解为止.五．拓展提升如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.六．课后作业1.下列所向是能否用平方差公式分解因式？为什么？22222222)4()3()2()1(yxyxyxyx--+--+2.分解因式16)4(4)3(49)2(251)1(422222+----ayyxbaba3.已知x+2y=3, x2-4y2=-15,求x-2y的值和x, y的值.。

14.3.2因式分解-公式法（1）【学习目标】1.会运用平方差公式分解因式;【预习案】一、导学引航 研读教材1.提出问题，创设情境（1）什么是因式分解？我们已经学过的因式分解的方法有什么？（2）判断下列变形过程，哪个是因式分解？①(x ＋2)(x －2)=24x -②()()243223x x x x x -+=+-+2.根据乘法公式进行计算：(1)（x ＋3）(x －3)= (2)(2y ＋1)(2y －1)=3.猜一猜：你能将下面的多项式分解因式吗？（1）29x -= (2)241y -=(3)22a b -=思考：以上三个多项式有什么共同特点？2.灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确地判断因式分解的彻底性问题.【学习重点】运用平方差公式分解因式.【学习难点】因式分解与整式的乘法的关系.【探究案】二、预习反馈自主探究1.想一想:观察下面的公式:22-＝（a＋b）（a—b）a b这个公式左边的多项式有什么特征：公式右边是这个公式你能用语言来描述吗公式中的a 、b代表什么？2.动手试一试：（1）你能把下列的数或式写成幂的形式吗？①4x2= ( ) 2②x2y2= ( ) 2③0.25m2= ( ) 2④x4 y 2= ( ) 2⑤0.16a4 = ( ) 2⑥a 2b 2= ( ) 2(2) 利用提公因式法分解因式①2m+2n= ②ax-ay=③3a 2-6ab= ④3a(a+b)-5(a+b)=(3)判断下列各式哪些可以用平方差公式分解因式，并说明理由。

①22+②22x yx y-③22--x yx y-+④22三、分组合作讨论解疑1.你能将下列各式因式分解吗？（对比公式，注意公式中的a与b分别表示什么）①4x2 - 9 ② (x+P)2–(x +q)2③ -16y2 + 81x2④ 9(m+n）2– (m-n)2⑤ (x+y)2– (x-y)22.下面的式子你能用什么方法来分解因式呢？请你试一试① a2– 4b2② x2y -4y③ 2x3-8x ④(2x+y) 2- (x+2y) 2⑤ 2ab 3 -2ab ⑥ -1+4y2四、展示互评深化理解通过本节课学习你会用公式法进行简单的因式分解吗？你能总结方法吗？【训练案】五、自我检测 允许差异1.下列各式中，能用平方差分解因式的是( )(A)224x y + (B)22-x (C)224x y -+ (D)224x y --2.把下列各式因式分解：（1）2225x y - 解：原式=x 2-（ ）2 =（ ）（ ）（2）224a b -解：原式=a 2-（ ）2=（ ）（ ）（3）2249m n -=解：原式=m 2-（ ）2=（ ）（ ）（4）22916x y -解：原式=（ ）2-（ ）2=（ ）（ ）（5）222564x y - （6）2249m n -（7）222516b a - （8）229m n +-3．因式分解：(1) 2249x y - (2)y y x 42-(3) 164+-a （4）36（x+y ）2－49（x －y ）2六、反思梳理 完善提升1．因式分解：(1) 122-y x (2)22)()(y x y x --+(3)22)(4)(9y x y x --+ (4)1232-x（5）35x x - (6)33205ab b a +-（7）2220951b a -（8）（x －1）+b 2（1－x ）2.试说明：若a 是整数，则()2211a +-能被8整除。

14.3.2 因式分解公式法（第一课时）一、内容和内容解析1.内容因式分解平方差公式2.内容解析本节课是在学习了提公因式法后,公式法因式分解的第一课时，它是整式乘法中平方差公式的逆向应用，在教材中处于重要的地位。

平方差公式因式分解要充分理解公式的含义,掌握公式的形式与特点. 公式左边的多项式形式上是二项式,且两项符号相反;公式左边的每一项都可以化成某一个数或式的平方形式。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式分解因式。

二、目标和目标解析1、目标（1）进一步理解因式分解的概念，体会因式分解在简化计算上的应用。

（2）会用平方差公式进行因式分解，并从中体验“整体”的思路，树立“换元”的意识。

2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出因式分解中平方差公式的特点。

知道这里的平方差公式与整式乘法中的平方差公式是互逆变形的关系。

达成目标（2）的标志是：学生在数学活动过程中，体会平方差公式的结构、特征及公式中字母的广泛含义，理解平方差公式的意义，掌握运用平方差公式解决问题的方法.并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深对公式的理解。

三、教学问题诊断分析虽然有了第一节提公因式法做基础，但学生有时还会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。

学生在运用平方差公式分解因式的过程中经常遇到的困难是找不准哪个数或式相当于公式中的a ， b 。

因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课的教学难点是：灵活运用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求。

四、教学过程设计1.复习引入问题1 你能叙述多项式因式分解的定义吗？提公因式法的定义是什么？因式分解:（1）3mx-6nx 2;（2）4a 2b+10ab-2ab 3;（3）252 y 师生活动：学生独立思考并解答,找同学的答案投影展示。