中考数学复习相似三角形综合[人教版]

2025届中考数学复习专项（相似三角形-手拉手旋转型综合应用）练习1．如图（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（即新图与原图的相似比为2），画出ΔOB1C1；（2）点B的对应点B1的坐标是，点C的对应点C1的坐标是．2．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）判断△ABD与△ACE是否相似？并证明．3．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC，AC的中点，连接DE．（1）求：的值；（2）将△CDE绕点C逆时针方向旋转一定的角度，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．4．如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．（1）求证：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．5．问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F．点D在BC边上，，求的值．6．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，求证：（1）△ABC∽△ADE（2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE为多少7．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：①△ ≌△ ；②△ ∽△ ．【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，求证：△ACE∽△ABD．【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，，求的值．8．如图，点B在线段CD上，在CD的同一侧作两个等腰直角△ABC和△BDE，且∠ACB ＝∠BED＝90°，AD与CE，BE分别交于点P，M，连接PB．（1）若AD＝k•CE，则k的值是；（2）求证：△BMP∽△DME；（3）若BC＝，P A＝3，求PM的长．9．如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB 上，且BD＝，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）．（1）问题发现当α＝0°时，的值为，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为；（2）拓展探究试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：（3）问题解决当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．。

重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类：一、K型相似二、8字图相似三、A字图相似四、母子型相似五、手拉手相似相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法，所以本专题是专门针对相似三角形模型压轴题的，对提高类型的学生可以自主训练。

考向一：K型相似1．（2023•锡山区校级四模）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8．点P在AD上运动（点P不与点A、D重合）将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界），则AP的取值范围是0＜AP≤5，连接DM并延长交矩形ABCD的AB边于点G，当∠ABM＝2∠ADG时，AP的长是25﹣5．【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD＝5，BC＝AD＝4，∠A＝∠C＝∠D＝90°，根据折叠的性质得到∠PMB＝∠A＝90°，BM＝AB＝5，根据勾股定理得到CM＝3，DM＝5﹣3＝2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；根据折叠的性质得到∠ABP＝∠MBP，求得∠ABM＝2∠ABP，根据相似三角形的性质得到＝＝，设AP＝5x，AG＝4x，过M作MH⊥AD于H，根据折叠的性质得到AP＝MP＝5x，AM⊥BP，根据三角形中位线定理得到MN＝AG＝2x，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：当M落在CD上时，AP的长度达到最大，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝10，BC＝AD＝8，∠A＝∠C＝∠D＝90°，∵△ABP沿直线翻折，∴∠PMB＝∠A＝90°，BM＝AB＝10，∴CM＝＝＝6，∴DM＝10﹣6＝4，∴∠PMD+∠BMC＝90°，∠PMD+∠MPD＝90°，∴∠BMC＝∠MPD，∴△PDM∽△MCB，∴＝，∴＝，∴PD＝3，∴AP＝8﹣3＝5，∴AP的取值范围是0＜AP≤5；如图，∵将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处，∴∠ABP＝∠MBP，∴∠ABM＝2∠ABP，∵∠ABM＝2∠ADG，∴∠ABP＝∠ADG，∵∠DAG＝∠BAP，∴△ADG∽△ABP，∴＝＝，设AP＝5x，AG＝4x，过M作MH⊥AD于H，∵将△ABP沿直线翻折，使得点A落在矩形内的点M处，∴AP＝MP＝5x，AM⊥BP，∴∠DAM＝90°﹣∠BAM＝∠ABP＝∠ADG，∴AM＝DM，∴DH＝AH＝4，HP＝4﹣5x，∵∠BAD＝∠MHA＝90°，∴MH∥AG，∴MH为△ADG的中位线，∴MH＝AG＝2x，在Rt△PHM中，PM2＝PH2+HM2，∴（5x）2＝（2x）2+（4﹣5x）2，解得x1＝5﹣，x2＝5+（不合题意舍去），∴AP＝5x＝25﹣5．故答案为：0＜AP≤5；25﹣5．2．（2023•福田区模拟）综合与探究在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．（1）如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图②，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求EF的长；（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，请直接写出的值．【分析】（1）由折叠的性质得出BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB＝30°，可求出答案；（2）证明△F AB∽△EDF，由相似三角形的性质得出，可求出DE＝2，求出EF＝3，由勾股定理求出DF＝，则可求出AF，即可求出BC的长；（3）过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BF A，，设AN＝x，设FG＝y，则AF ＝2y，由勾股定理得出（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解出y＝x，则可求出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，∵BC＝2AB，∴BF＝2AB，∴∠AFB＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF＝30°，∴∠CBE＝∠FBC＝15°；（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴△F AB∽△EDF，∴，∴AF•DF＝AB•DE，∵AF•DF＝10，AB＝5，∴DE＝2，∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，∴EF＝3；（3）过点N作NG⊥BF于点G，∵NF＝AN+FD，∴NF＝AD＝BC，∵BC＝BF，∴NF＝BF，∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，∴△NFG∽△BF A，∴，设AN＝x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，设FG＝y，则AF＝2y，∵AB2+AF2＝BF2，∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解得y＝x．∴BF＝BG+GF＝2x+x＝x．∴＝．3．（2023•桐柏县一模）【初步探究】（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空：△EB'M∽△B'AN （“≌”或“∽”）．【类比探究】（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【问题解决】（3）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE，DB'，当△EB'D为直角三角形时，BP的长为或1．【分析】（1）由矩形纸片ABCD如图①折叠，可证△EB'M∽△B'AN；（2）同（1）由四边形ABCD是矩形，如图②折叠，可得∠EB'M＝90°﹣∠AB'N＝∠B'AN，即可得△EB'M ∽△B'AN，（3）分两种情况：当∠DB'E＝90°时，证明Rt△CDE≌Rt△B'DE（HL），得B'D＝CD＝AB＝4，设BP ＝x＝B'P，在Rt△APD中，有（4﹣x）2+62＝（x+4）2，可解得BP＝；当∠B'ED＝90°时，过B'作B'H⊥AB于H，作B'Q⊥BC于Q，则∠B'QE＝∠C＝90°，证明△B'EQ∽△EDC，可得＝＝，设BP＝y＝B'P，在Rt△B'PH中，（﹣y）2+（）2＝y2，可解得BP＝1．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵矩形纸片ABCD如图①折叠，∴∠EB'A＝∠B＝90°，∴∠EB'M＝90°﹣∠AB'N＝∠B'AN，∵∠EMB'＝90°＝∠B'NA，∴△EB'M∽△B'AN，故答案为：∽；（2）（1）中结论成立，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵矩形纸片ABCD如图①折叠，∴∠EB'A＝∠B＝90°，∴∠EB'M＝90°﹣∠AB'N＝∠B'AN，∵∠EMB'＝90°＝∠B'NA，∴△EB'M∽△B'AN；（3）如图所示，当∠DB'E＝90°时，△EB'D是直角三角形，由折叠可得，∠PB'E＝∠B＝90°，BE＝B'E＝CE，∴∠DB'P＝180°，即点P，B'，D在一条直线上，在Rt△CDE和Rt△B'DE中，，∴Rt△CDE≌Rt△B'DE（HL），∴B'D＝CD＝AB＝4，设BP＝x＝B'P，则AP＝4﹣x，PD＝x+4，在Rt△APD中，AP2+AD2＝PD2，∴（4﹣x）2+62＝（x+4）2，解得x＝，∴BP＝；如图所示，当∠B'ED＝90°时，△EB'D是直角三角形，过B'作B'H⊥AB于H，作B'Q⊥BC于Q，则∠B'QE＝∠C＝90°，又∵∠B'ED＝90°，∴∠B'EQ+∠CED＝90°＝∠EDC+∠CED，∴∠B'EQ＝∠EDC，∴△B'EQ∽△EDC，∴＝＝，∵CE＝BE＝BC＝3，CD＝4，∴DE＝＝5，∵△BPE沿PE折叠得到△B'PE，∴B'E＝BE＝3，∴＝＝，解得B'Q＝，EQ＝，∴BQ＝BE﹣EQ＝＝B'H，BH＝B'Q＝，设BP＝y＝B'P，则HP＝BH﹣BP＝﹣y，在Rt△B'PH中，HP2+B'H2＝B'P2，∴（﹣y）2+（）2＝y2，解得y＝1，∴BP＝1．综上所述，BP的长为或1．考向二：8字图相似1．（2023•海州区校级二模）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多……【问题提出】（1）如图①，PC是△P AB的角平分线，求证：．小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD∥P A，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥P A交P A于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．【理解应用】（2）如图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC＝1，AB＝2，则DE的长为．【深度思考】（3）如图③，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD为∠BAC的角平分线．AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD＝3时，AF的长为6．【拓展升华】（4）如图④，PC是△P AB的角平分线，若AC＝3，BC＝1，则△P AB的面积最大值是3．【分析】（1）选择小明的思路，过点BD∥AP交PC的延长线于点D，易证△ACP∽△BCD，得到，由角平分线的性质和平行线的性质得∠BPC＝∠D，可得PB＝BD，等量代换即可证明；选择小红的思路，根据角平分线的性质得到CD＝CE，再利用等面积；（2）利用（1）中的结论得到，再利用勾股定理即可解答；（3）利用（1）中的结论得到，再利用垂直平分线的性质得到∠B＝∠F AC，再根据相似三角形得到AF的值；（4）作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，在AP的延长线上截取PE＝PB，易得△BPD≌△EPD（SAS），由（1）结论可得，由等量代换可得，利用（1）中的结论得到，求得⊙O的半径为，当P运动到点P′，P′O⊥AD时，△APB的面积最大，计算即可．【解答】（1）证明：选择小明的思路，如图，过点BD∥AP交PC的延长线于点D，∵BD∥AP，∴∠APC＝∠D，又∵∠ACP＝∠BCD，∴△ACP∽△BCD，∴，∵PC是△P AB的角平分线，∴∠APC＝∠BPC，∴∠BPC＝∠D，∴PB＝BD，∴；选择小红的思路，如图，过点C分别作CD⊥P A交P A于点D，作CE⊥PB交PB于点E，作PF⊥BC于点F，∵PC是△P AB的角平分线，∴CD＝CE，∴，，，，∴BC•PF＝PB•CE，P A•CD＝AC•PF，∴，∴，∴．（2）解：∵将△ACD沿AD所在直线折叠点C恰好落在边AB上的E点处，∴AD平分∠BAC，∴，∵AC＝1，AB＝2，∴，∴BD＝2CD，∵∠BAC＝90°，∴，∴，∴，∴，∴；故答案为：；（3）解：∵AD为∠BAC的角平分线，∴，∠BAD＝∠DAC，∵△ABC中，AB＝6，AC＝4，BD＝3，∴，∴CD＝2，∵AD的垂直平分线EF交BC延长线于F，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵∠F AD＝∠F AC+∠DAC，∠FDA＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠F AC，∵∠AFB＝∠CF A，∴△FBA∽△F AC，∴，∴，∴AF＝6，故答案为：6．（4）解：如图，在AP的延长线上截取PE＝PB，作△APB的外角平分线PD，交AB的延长线于D，∵PD是△APB的外角平分线，∴∠BPD＝∠EPD，又∵PD＝PD，∴△BPD≌△EPD（SAS），∴DB＝DE，∠BDP＝∠EDP，∴，∵PE＝PB，DB＝DE，∴，∵PC是△APB的角平分线，∴，∴，∴，∴，∴BD＝2，∴CD＝3，∵，∴点P在以半径为的⊙O上，如图，当P运动到点P′，P′O⊥AD时，△APB的面积最大，最大值为，故答案为：3．2．（2023•衢州二模）如图1，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，连接AE，将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，延长EF交CD于点G．（1）求证：DG＝FG；（2）如图2，当点E是BC中点时，求tan∠CGE的值；（3）如图3，当时，连接CF并延长交AB于点H，求的值．【分析】（1）由“HL”可证Rt△AFG≌Rt△ADG，可得DG＝FG；（2）由勾股定理可求GF的长，即可求解；（3）由勾股定理可求BC＝CD＝6x，由面积法可求FN的长，即可求FM的长，通过证明△MFH∽△NFC，可得＝，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∵将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，∴AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AD＝AF，又∵AF＝AD，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴DG＝FG；（2）解：设BC＝CD＝2a，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝a，∵将△ABE沿着AE折叠得到△AFE，∴BE＝EF＝a，∵EG2＝EC2+CG2，∴（a+DG）2＝a2+（2a﹣DG）2，∴DG＝a，∴tan∠CGE＝＝＝；（3）如图3，过点F作MN⊥AB于M，交CD于N，∵MN⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形BCNM是矩形，∴BC＝MN，∵，∴设BE＝2x，DG＝3x，则EG＝5x，∵EG2＝EC2+CG2，∴25x2＝（CD﹣2x）2+（CD﹣3x）2，∴CD＝6x（负值舍去），∴BC＝6x，∴EC＝4x，CG＝3x，∵S△CFG＝S△ECG，∴CG•FN＝EC•CG，∴FN＝x，∴MF＝x，∵AB∥CD，∴△MFH∽△NFC，∴＝，∴＝＝，∴＝．考向三：A字图相似1．（2023•宿城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，先将△ABC沿AC翻折到△AB′C处，再将△AB'C沿翻折到△AB'C'处，延长CD交AC′于点M，则DM的长为．【分析】过点C′作C′E⊥AD的延长线于点E，设CD与AB′交于点G，根据矩形性质和翻折性质，设B′G＝DG＝x，CG＝CD﹣DG＝5﹣x，利用勾股定理求出x的值，证明△ADG∽△AB′F，求出B′F＝，然后证明△CDF≌△AB′F（AAS），得DF＝B′F＝，再由△C′EF∽△CDF，得＝＝，求出C′E＝，EF＝，证明△ADM∽△AEC′，对应边成比例即可求出DM的长．【解答】解：如图，过点C′作C′E⊥AD的延长线于点E，设CD与AB′交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，由翻折可知：∠BAC＝∠B′AC，∴∠B′AC＝∠DCA，∴GA＝GC，由翻折可知：B′A＝BA＝5，B′C＝BC＝B′C′＝3，∴B′A＝CD＝5，∴B′G＝DG，设B′G＝DG＝x，∴CG＝CD﹣DG＝5﹣x，在Rt△B′CG中，根据勾股定理得：B′G2+B′C2＝CG2，∴x2+32＝（5﹣x）2，∴x＝，∴B′G＝DG＝x＝，∴AG＝CG＝5﹣x＝，∵∠DAG＝∠B′AF，∠ADG＝∠AB′F＝90°，∴△ADG∽△AB′F，∴＝，∴＝，∴B′F＝，∴C′F＝C′B′﹣B′F＝3﹣＝，CF＝CB′+B′F＝3+＝，∵∠CFD＝∠AFB′，∠CDF＝∠AB′F＝90°，CD＝AB′，∴△CDF≌△AB′F（AAS），∴DF＝B′F＝，∵C′E⊥AD，CD⊥AD，∴C′E∥CD，∴△C′EF∽△CDF，∴＝＝，∴＝＝，∴C′E＝，EF＝，∴DE＝DF+EF＝+＝，∴AE＝AD+DE＝3+＝，∵C′E∥DM，∴△ADM∽△AEC′，∴＝，∴＝，∴DM＝．故答案为：．2．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABC中，D在AB上，E在BC上，∠AED＝∠ABC，F在AE上，EF＝DE．（1）如图1，若CE＝BD，求证：BE＝CF；（2）如图2，若CE＝AD，G在DE上，∠EFG＝∠EFC，求证：CF＝2GF；（3）如图3，若CE＝AD，EF＝2，∠ABC＝30°，当△CEF周长最小时，请直接写出△BCF的面积．【分析】（1）先说明∠FEC＝∠EDB，然后用SAS证明△FEC≌△EDB，得到BE＝CF；（2）仿照（1）得△FEC≌△EDH，出现中点倍长中线，利用相似得CF＝2GF；（3）先说明∠CJE＝30°，即点C的轨迹是条直线，然后考虑将军饮马，最后求△BCF的面积．【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠AED+∠FEC，∠DEC＝∠ABC+∠EDB，∠AED＝∠ABC，∴∠FEC＝∠EDB，∵EF＝DE，CE＝BD，∴△FEC≌△EDB（SAS），∴BE＝CF；（2）证明：延长AB至H使DH＝AD，由（1）得△FEC≌△EDH，∴FC＝HE，∠CFE＝∠HED，延长ED至I使DI＝ED，连接AI，则EF＝DE＝IE，∵DH＝AD，∠ADI＝∠HDE，∴△ADI≌△HDE（SAS），∴AI＝HE，∠HED＝∠AID，∴AI＝FC，∠AID＝∠CFE，∵∠EFG＝∠EFC，∴∠EFG＝∠AID，∵∠FEG＝∠IEA，∴△FEG∽△IEA，∴＝，∴＝，∴CF＝2GF；（3）解：延长FE至J使EJ＝EF，∵EF＝DE∴EJ＝DE∵∠FEC＝∠EDB，∴∠CEJ＝∠ADE，∵CE＝AD，∴△CEJ≌△ADE（SAS），∴∠CJE＝∠AED，∵∠AED＝∠ABC，∠ABC＝30°，∴∠CJE＝30°，过E作JC的对称点E'，连接CE'、FE'、CE'、JE'，C△CEF＝EF+CF+CE＝2+CF+CE'≥2+FE'，∴当F、C、E'三点共线时周长最小，当周长最小时如图所示：∵∠CJE＝30°，∴∠EJE'＝60°，∵JE＝JE'，∴△EJE'是正三角形，∴∠JEE'＝60°，EE'＝EJ＝EF，∴∠EFE'＝∠EE'F＝30°，∵CE＝CE'，∴∠CEE'＝∠EE'F＝30°，∴∠CEJ＝90°，∴∠FEC＝90°，∴EC＝＝＝，∵∠AED＝30°，∴∠BED＝60°，∴∠BDE＝90°，∴BE＝2DE＝4，∴S△BCF＝×BC×EF＝BC＝BE+EC＝4+．3．（2023•中山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点P 为射线AO上的一个动点，过点P作PQ⊥AB于点Q，将沿PQ翻折得到R．设△PQR与△AOB重合部分的面积为S，点P的坐标为（m，0）．（1）求AR的长．（用含m的代数式表示）（2）求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．【分析】（1）求出直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B的坐标，得到OA，OB的长，利用勾股定理求AB得长．证出△PQA∽△BOA，利用对应线段成比例，求出AR．（2）点P为射线AO上的一个动点，在移动过程中，△PQR与△AOB重合部分有三种形状，①直角三角形②四边形③直角三角形．分类讨论，利用三角形相似对应边成比例，找边之间的转换关系，解决问题．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，当x＝0时，y＝4，∴点B坐标（0，4），∴OB＝4．当y＝0时，x＝3，∴点A坐标（3，0），∴OA＝3．Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，∴AB＝5．∵∠P AQ＝∠BAC，∠AQP＝∠AOB，∴△PQA∽△BOA，∴，AQ＝，AR＝2AQ＝．（2）在移动过程中，△PQR与△AOB重合部分有三种形状．①点P在线段OA上，△PQR与△AOB重合部分是△PQR．当0≤m＜3时，∵∠P AQ＝∠BAC，∠AQP＝∠AOB，∴△PQA∽△BOA，∴S△APQ：S△ABO＝AP2：AB2＝（3﹣m）2：25，∵S△ABO＝＝6，又∵△PQR≌△PQA，∴S＝（3﹣m）2．②△PQR与△AOB重合部分是四边形CDRQ．作RE⊥OA于E，QF⊥OA于F．当R和B重合时，Q为AB中点，AQ＝2.5，∵△PQA∽△BOA，∴，∴AP＝＝＝，∴OP＝AP﹣AO＝﹣3＝，∴m＝．∴当＜m＜0时，△PQR与△AOB重合部分是四边形CDRQ．∵△PQA∽△BOA，∴∠APQ＝∠ABO，∵∠AOB＝∠OFQ，∴△AOB∽△QFP，∴，∴＝，同理，∴，∴，∵AP＝3﹣m，∴F A＝．∴QF＝AF×＝（3﹣m）．∴RE＝2QF＝（3﹣m），∴PE＝P A﹣2AF＝，∵OD∥RE，∴，∴OD＝＝＝﹣，∵，∴OC＝﹣m，∴CD＝OD﹣OC＝﹣＝﹣m．∵S＝S△PQR﹣S△PCD∴S＝×P A×QF﹣×OP×CD＝．，③△PQR与△AOB重合部分是△BQC，当Q、B重合时，AQ＝5，∴AP＝，OP＝＝，m＝，当时，△PQR与△AOB重合部分是△BQC．∵OC＝OP＝﹣，∴BC＝4﹣OC＝，∵CQ＝，BQ＝，∴S＝＝＝，∴S＝．考向四：母子型相似1．（2023•樊城区模拟）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF ＝6，AD＝9，求CE的长．【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，连接DE、DF分别交AC于M，N，∠EDF＝∠BAD，DF＝AE，若MN＝18，求EF的值．【分析】（1）证△ADC∽△ACB，得＝，即可得出结论；（2）证△BFE∽△BCF，得＝，则BF2＝BE•BC，求出BC＝4，即可得出结论；（3）延长EF与DC相交于点G，证四边形AEGC为平行四边形，得EG＝AC＝2EF，CG＝AE，∠EAC ＝∠G，设EF＝x，则EG＝2x，再证△EDF∽△EGD，得＝＝，则ED＝x，＝＝，设CG＝AE＝k，则DF＝2k，DG＝CD+k，求出CD＝3k，然后证△AEM∽△CDM，得＝＝，进而证△DEF∽△DMN，得＝＝，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB．∴＝，∴AC2＝AD•AB；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝9，∠A＝∠C，又∵∠BFE＝∠A，∴∠BFE＝∠C．又∵∠FBE＝∠CBF，∴△BFE∽△BCF．∴＝，∴BF2＝BE•BC，即62＝9BE，∴BE＝4，∴CE＝BC﹣BE＝9﹣4＝5，即CE的长为5；（3）解：如图，延长EF与DC相交于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠DAC＝∠BAD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠BAD，∵EF∥AC，∴四边形AEGC为平行四边形，∠DCA＝∠G，∴EG＝AC＝2EF，CG＝AE，∠EAC＝∠G，设EF＝x，则EG＝2x，∵∠EDF＝∠BAD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠EDF，∴∠EDF＝∠G，又∵∠DEF＝∠GED，∴△EDF∽△EGD，∴＝＝，∴ED2＝EF•EG＝x•2x＝2x2，∴ED＝x（负值已舍去），∴＝＝，设CG＝AE＝k，则DF＝2k，DG＝CD+k，∴＝，解得：CD＝3k，∵AB∥CD，∴△AEM∽△CDM，∴＝＝＝，∴＝，∵EF∥AC，∴△DEF∽△DMN，∴＝＝，∴EF＝MN＝×18＝24，即EF的值为24．2．（2023•润州区二模）如图1，在△ABC中，点D在边AB上，点P在边AC上，若满足∠BPD＝∠BAC，则称点P是点D的“和谐点”．（1）如图2，∠BDP+∠BPC＝180°．①求证：点P是点D的“和谐点”；②在边AC上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点Q的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）（2）如图3，以点A为原点，AB为x轴正方向建立平面直角坐标系，已知点B（6，0），C（2，4），点P在线段AC上，且点P是点D的“和谐点”．①若AD＝1，求出点P的坐标；②若满足条件的点P恰有2个，直接写出AD长的取值范围是≤AD＜．【分析】（1）①由∠BDP+∠BPC＝180°考虑平角APC，只要证明∠BPD＝∠BAC即可；②分别做线段DB、BP的中垂线，两条中垂线交于点O，则O为△PDB的外心，以O为圆心，OP为半径作圆交AC于点Q，点Q即为所求．用同弧所对的圆周角相等证明；（2）①通过△PBD∽△ABP求出BP的长度，然后求出直线AC的表达式为：y＝2x，设点P的坐标为（x，2x），利用B、P两点间的距离公式解方程求出点P；②求出两个临界状态时的AD：一是当点P与点C重合时；二是△BDP的外接圆与线段AC恰有一个交点时．【解答】（1）①证明：∵∠BDP+∠BPC＝180°，∠BDP＝∠BAC+∠APD，∴∠BAC+∠APD+∠BPC＝180°，∵∠APD+∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠BPD＝∠BAC，∴点P是点D的“和谐点”；②解：以B为圆心，BP为半径作弧交AC于点Q，点Q即为所求，如图：连接BQ，∵∠BDP＝∠BAC+∠APD，∠BPD＝∠BAC，∴∠BDP＝∠BPD+∠APD，∵∠APD+∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠BDP+∠BPC＝180°，∵BP＝BQ，∴∠BPC＝∠BQP，∴∠BDP+∠BQP＝180°，∴B、Q、P、D四点共圆，∴∠BPD＝∠DQB，∵∠BPD＝∠BAC，∴∠DQB＝∠BAC，∴Q也是点D的“和谐点”；（2）解：①∵∠BPD＝∠BAP，∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴＝，＝，∴BP＝，∵C（2，4），∴直线AC的表达式为：y＝2x，设点P的坐标为（x，2x），∵点B（6，0），∴（x﹣6）2+（2x）2＝30，∴5x2﹣12x+6＝0，∴x1＝，x2＝，∴P（，）或（，）；②当点P与点C重合时，△BDP的外接圆与线段AC恰有两个交点，恰有两个“和谐点”，如图：∵点B（6，0），C（2，4），∴BC＝＝4，由①知△PBD∽△ABP，∴＝，即＝，∴BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝6﹣＝；当△BDP的外接圆与线段AC恰有一个交点时，如图：此时△BDP的外接圆与线段AC相切，则AP⊥PB，且PB为直径，∴∠PDB＝90°，∵点P的坐标为（x，2x），∴AD＝x，PD＝2x，BD＝AB﹣AD＝6﹣x，∵∠P AD+∠PBD＝90°，∠P AD+∠APD＝90°，∴∠APD＝∠PBD，∵∠ADP＝∠PDB＝90°，∴△ADP∽△PDB，∴＝，∴PD2＝AD•DB，即（2x）2＝x（6﹣x），∴x＝，∴AD＝；综上，若满足条件的点P恰有2个，AD长的取值范围是≤AD＜，故答案为：≤AD＜．考向五：手拉手相似1．（2023•宝安区校级三模）【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着A逆时针方向旋转，连接BD和CE．①如图2，找出图中的另外一组相似三角形△BAD∽△CAE；②若AB＝4，AC＝3，BD＝2，则CE＝；【迁移应用】在Rt△ACB中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，D、E，M分别是AB、AC、BC中点，连接DE和CM．①如图3，写出CE和BD的数量关系BD＝EC；②如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，当D落在AM上时，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若，求MN的长．【创新应用】如图5：，BC＝4，△ADE是直角三角形，∠DAE＝90°，tan∠ADE＝2，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，，连接CF，请直接写出CF的取值范围．【分析】【问题背景】①结论：△BAD∽△CAE．利用两边成比例夹角相等两三角形相似证明；②利用相似三角形的性质求解；【迁移应用】①结论：BD＝CE，证明AB＝AC，可得结论；②连接BD，利用相似三角形的性质，求出BD，再利用三角形的中位线定理求解即可；【创新应用】如图5中，过点A作AK⊥BC于点K，过点C作CJ⊥AB于点J，连接FJ．通过计算证明FJ∥AE，求出JF，JC，可得结论．【解答】解：【问题背景】①如图2中，∵△ABC∽△ADE，∴＝，∴＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．故答案为：△BAD∽△CAE；②∵△BAD∽△CAE，∴＝，∴＝，∴CE＝．故答案为：；【迁移应用】①如图3中，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴tan60°＝，∴AB＝AC，∵BD＝AB，EC＝AC，∴BD＝EC．故答案为：BD＝EC；②如图4中，连接BD，MN．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵＝＝，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝，∵EC＝2，∴BD＝6，∵BM＝CM，DN＝CN，∴MN＝BD＝3；【创新应用】如图5中，过点A作AK⊥BC于点K，过点C作CJ⊥AB于点J，连接FJ．∵AB＝AC＝2，AK⊥BC，∴BK＝CK＝2，∴AK＝＝＝4，∵•BC•AK＝•AB•CJ，∴CJ＝，∴AJ＝＝＝，∴BJ＝AJ＝2﹣＝，∴BJ：AB＝2：5，∵BF：BE＝2：5，∴＝＝，∴FJ∥AE，∴△BJF∽△BAE，∴＝＝，∴JF＝AE＝，∴CJ﹣JF≤CF≤FJ+CJ，∴≤CF≤．2．（2023•东港市二模）（1）问题发现：如图1，已知正方形ABCD，点E为对角线AC上一动点，将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，得到△BEF，连接CF．填空：①＝1；②∠ACF的度数为90°；（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD和Rt△BEF中，∠EBF＝90°，∠ACB＝∠EFB＝60°，连接CF，请分别求出的值及∠ACF的度数；（3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线AC上一动点，其余条件不变，取线段EF 的中点M，连接BM，CM，若，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的长．【分析】（1）①由旋转的性质得出BE＝BF，∠EBF＝90°，由正方形的性质得出∠ABC＝90°，AB＝BC，证明△ABE≌△CBF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，则可得出答案；②由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质得出答案；（2）证明△ABE∽△CBF，由相似三角形的性质可得出，则可得出结论；（3）求出EF＝2CM＝2，设CF＝x，则AE＝x，分两种情况解答，由勾股定理可求出答案．【解答】解：（1）①∵将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，∴BE＝BF，∠EBF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∴＝1，故答案为：1；②∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵△ABE≌△CBF，∴∠BAE＝∠BCF＝45°，∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝45°+45°＝90°．故答案为：90°；（2），∠ACF＝90°．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴，同理在Rt△EBF中，∠EFB＝60°，∴，∴，∵∠ABC＝∠EBF，∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，即∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF，∴，∴∠BCF＝∠BAE＝30°，∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝60°+30°＝90°．（3）由（2）知，∵AB＝2，∴CB＝2，∵△ABE∽△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，∴∠EBF＝∠EBC+∠CBF＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝90°，∵M为EF的中点，∴BM＝EF，由（2）知∠ACF＝90°，∴CM＝EF，∴BM＝CM，又∵△CBM是直角三角形，∴CM＝BC＝，∴EF＝2CM＝2，设CF＝x，则AE＝x，∵∠CAB＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣x，∵∠ECF＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴，∴x＝﹣1或x＝+1（不合题意，舍去），当∠MBC＝90°或∠MCB＝90°时，点M不存在，当E在AC延长线上时，设CF＝x，则AE＝x，∵∠CAB＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，∴CE＝AE﹣AC＝x﹣4，∵∠ECF＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴，∴x＝﹣1（不合题意，舍去）或x＝+1，综上所述，CF的长为﹣1或+1．3．（2023•晋中模拟）综合与实践问题情境：（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．如图2，将△ABC绕顶点A按逆时针方向旋转15°得到△AB'C'，连接B′D，C′E，求证：B′D＝C′E．深入研究：（2）①如图3，在正方形ABCD和正方形CEFG中，已知点B，C，E在同一直线上，连接DE，AF，交于点P，求AF：DE的值；②如图4，若将正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转一定角度，AF：DE的值变化吗？请说明理由．拓展应用：（3）如图5，若把正方形ABCD和正方形CEFG分别换成矩形ABCD和矩形CEFG，且AD：AB＝CG：CE＝k，请直接写出此时AF：DE的值．【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DAB'＝∠EAC'，然后用SAS判定△DAB'＝△EAC'即可得证；（2）①连接AC、CF，根据正方形的性质得到对应边成比例，对应角相等，判定△ACF∽△DCE后即可求出AF：DE的值；②根据正方形的性质和旋转的性质判定△ACF∽△DCE后求出AF：DE的值即可证明AF：DE的值没有变化；（3）连接AC、CF，根据矩形的性质得到对应边成比例，对应角相等，判定△ACF∽△DCE后即可求出AF：DE的值．【解答】（1）证明：由旋转得：∠DAB'＝∠EAC'，又∵AB'＝AC'，AD＝AE，∴△DAB'≌△EAC'，∴B′D＝C′E；（2）解：①如图1，连接AC、CF，∵四边形ABCD，CEFG是正方形，∴∠ACF＝∠DCE＝90°，AC＝CD，CF＝CE，∴，∴△ACF∽△DCE，∴，即AF：DE＝：1；②成立．证明如下：如图2，连接AC、CF，∵四边形ABCD，CEFG是正方形，∴∠ACD＝∠FCE，∴∠ACF＝∠DCE，∵AC＝CD，CF＝CE，∴，∴△ACF∽△DCE，∴AF：DE＝AC：CD＝：1，∴不变；（3）解：如图3，连接AC、CF，∵四边形ABCD，CEFG是矩形，且AD：AB＝CG：CE＝k，∴∠ACD＝∠FCE，AC＝CD，CF＝CE，∴∠ACF＝∠DCE，，∴△ACF∽△DCE，∴．（建议用时：150分钟）1．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．【分析】（1）由矩形的性质得∠C＝∠ADE＝90°，再证∠AED＝∠DFC，即可得出结论；（2）证Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再证△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC＝∠H，然后由平行线的性质得∠ADF＝∠DFC，即可得出结论；（3）延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，再证△DFG是等边三角形，得FG＝DF＝11，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°，∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11，∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3．2．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接P A，PC，求P A+PC的最小值．【分析】（1）由锐角三角函数可求∠BDC＝60°，通过证明△ADG∽△ABE，可得；（2）由“AAS”可证△ABE≌△GMF，可得BE＝MF，AB＝GM＝2，由锐角三角函数可求MF＝BE＝x，DG＝2+x，利用（1）的结论可求解；（3）通过证明△AGC是等边三角形，可得PE＝EF＝AG＝4，由旋转的性质可得P A＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，则当点P，C，P′三点共线时，P A+PC的值最小，即可求解．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，∴，∴∠BDC＝60°，∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，即∠DAG＝∠BAE，∴△ADG∽△ABE，∴；（2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M，∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，∴△ABE≌△GMF（AAS），∴BE＝MF，AB＝GM＝2，∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，∴，∴，设DM＝x，则，∴DG＝GM+MD＝2+x，由（1）可知：，∴，解得x＝1，∴；（3）如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'，矩形ABCD中，AD＝BC＝，AB＝2，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝4，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，∴△AGC是等边三角形，AG＝AC＝4，∴PE＝EF＝AG＝4，∵将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，∴P A＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，∴，∴当点P，C，P′三点共线时，P A+PC的值最小，此时为．3．（2023•武汉）问题提出如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．【分析】问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．证明△EAJ≌△FEC（SAS），推出∠AJE＝∠ECF，可得结论；（2）结论：∠GCF＝α﹣90°；在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．证明方法类似；问题拓展解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．用m表示出BE，CE，可得结论．【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，∵BJ＝BE，∴AJ＝EC，∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠CEF＝∠EAJ，∵EA＝EF，∴△EAJ≌△FEC（SAS），∴∠AJE＝∠ECF，∵∠BJE＝45°，∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，∴∠ECF＝135°，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；（2）结论：∠GCF＝α﹣90°；理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，∴∠EAN＝∠FEC．∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF（SAS）．∴∠ANE＝∠ECF．∵AB＝BC，∴BN＝BE．∵∠EBN＝α，∴，∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．，∴DG＝m，CG＝2m．在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADP＝60°，∴m，，∴α＝120°，由（2）知，，∵∠AGP＝∠FGC，∴△APG∽△FCG．∴，∴＝，∴，由（2）知，，∴．∴．4．（2023•内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．【分析】（1）由正方形的性质得AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则∠BAC＝∠BCA＝∠DAC ＝∠DCA＝45°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABE≌△ADE；（2）由△ABE≌△ADE，得∠ABE＝∠ADE，可推导出∠EBC＝∠EDC，因为AB∥CD，所以∠FGB＝∠EDC，则∠FGB＝∠EBC，而∠FBE＝90°，则∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，所以∠FGB＝∠FBG，即可证明△FBG是等腰三角形；（3）由BE＝BF＝2，∠FBE＝90°，得∠F＝∠BEF＝45°，则∠BAC＝∠F，可证明∠AEG＝∠FBG，进而证明∠AGE＝∠AEG，则AE＝AG，由勾股定理得EF＝＝2，而BF＝GF＝2，所以GE＝2﹣2，由全等三角形的性质得BE＝DE＝2，再证明△AGE∽△CDE，则＝＝﹣1，所以＝﹣1．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS）．（2）解：△FBG是等腰三角形，理由如下：∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ADC﹣∠ADE，∴∠EBC＝∠EDC，∵AB∥CD，∴∠FGB＝∠EDC，∴∠FGB＝∠EBC，∵BF⊥BE，∴∠FBE＝90°，∴∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，∴∠FGB＝∠FBG，∴BF＝GF，∴△FBG是等腰三角形．（3）解：∵BE＝BF＝2，∠FBE＝90°，∴∠F＝∠BEF＝45°，∴∠BAC＝∠F，∴∠AEG＝∠AGF﹣∠BAC＝∠AGF﹣∠F＝∠FBG，∵∠AGE＝∠FGB，且∠FGB＝∠FBG，∴∠AGE＝∠AEG，∴AE＝AG，∵EF＝＝＝2，BF＝GF＝2，∴GE＝EF﹣GF＝2﹣2，∵△ABE≌△ADE，∴BE＝DE＝2，∵AG∥CD，∴△AGE∽△CDE，∴＝＝＝﹣1，∴＝﹣1，∴的值为﹣1．5．（2023•湖州）【特例感知】（1）如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD，过点D作DM⊥PD，交BC的延长线于点M．求证：△DAP≌△DCM．【变式求异】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB，交AC于点Q，点P在边AB的延长线上，连结PQ，过点Q作QM⊥PQ，交射线BC于点M．已知BC＝8，AC＝10，AD ＝2DB，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A，C重合），连结PQ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的边QM交射线BC于点M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．【分析】（1）根据正方形的性质及角的和差推出∠A＝∠DCM，AD＝DC，∠ADP＝∠CDM，利用ASA 即可证明△DAP≌△DCM；（2）作QN⊥BC于点N，则四边形DBNQ是矩形，根据矩形的性质推出∠DQN＝90°，QN＝DB，根据角的和差推出∠DQP＝∠MQN，结合∠QDP＝∠QNM＝90°，推出△DQP∽△NQM，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理求出AB＝6，则DB＝2，根据矩形的性质推出DQ∥BC，进而推出△ADQ∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；（3）根据题意推出CQ＝mnAB，AQ＝（m﹣mn）AB，根据勾股定理求出BC＝AB，根据四边形内角和定理及邻补角定义推出∠AQP＝∠NQM，结合∠A＝∠QNM＝90°，推出△QAP∽△QNM，根据相似三角形的性质得出，根据题意推出△QCN∽△BCA，根据相似三角形的性质求出，据此求解即可．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC，∴∠DCM＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DCM，∵DM⊥PD，∴∠ADP+∠PDC＝∠CDM+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDM，在△DAP和△DCM中，，∴△DAP≌△DCM（ASA）；（2）解：如图2，作QN⊥BC于点N，∵∠ABC＝90°，DQ⊥AB，QN⊥BC，∴四边形DBNQ是矩形，∴∠DQN＝90°，QN＝DB，∵QM⊥PQ，∴∠DQP+∠PQN＝∠MQN+∠PQN＝90°，∴∠DQP＝∠MQN，∵∠QDP＝∠QNM＝90°，∴△DQP∽△NQM，∴，∵BC＝8，AC＝10，∠ABC＝90°，∴，∵AD＝2DB，∴DB＝2，∵∠ADQ＝∠ABC＝90°，∴DQ∥BC，∴△ADQ∽△ABC，∴，∴，∴；（3）解：∵AC＝mAB，CQ＝nAC，∴CQ＝mnAB，∴AQ＝AC﹣CQ＝（m﹣mn）AB，∵∠BAC＝90°，∴，如图3，作QN⊥BC于点N，∵∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN＝360°，∠BAC＝90°，∴∠ABN+∠AQN＝180°，∵∠ABN+∠PBN＝180°，∴∠AQN＝∠PBN，∵∠PQM＝∠PBC，∴∠PQM＝∠AQN，∴∠AQP＝∠NQM，∵∠A＝∠QNM＝90°，∴△QAP∽△QNM，∴，∵∠A＝∠QNC＝90°，∠QCN＝∠BCA，∴△QCN∽△BCA，∴，∴，∴．6．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE．（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB与BE的位置关系是垂直，＝．（2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k＝时，求证：BC+CD＝2FG．（3）当α＝60°，k＝时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长．。

第17讲相似三角形一、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1.比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a cb d=，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性质：a cb d=⇔a bb±＝c dd±；（b、d≠0）(3)等比性质：a cb d=＝…＝mn＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k.（b、d、···、n≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.例：若35ab=，则a bb+=85.3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则AB DEBC EF=.利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于53. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则OA OBOD OC=.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.4.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝=5－12≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A＝∠D，AC ABDF DE=，则△ABC∽△DEF.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.FEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBAFEDCBAFEDCBAFEDCBA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍. （2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.。

《相似三角形与全等三角形的综合》教学设计
原创：左自金
．定义
________斜边和一条直角边对应成比例，两
图（1）图（2）
为了测量某棵树的高度，小明用长为2 m
15 m，则树的高度为
图（2）
，AC 是⊙O 的直径，
2、问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80 cm 的竹竿的影长为60 cm.
乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm，影长为156 cm.
甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．
可采用等式
如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都ED的延长线交AB于点F.
ACB∽△DCE；(2)EF⊥AB.。

节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（）A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是（ ）A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是（ ）A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为（ ）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（）A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD 的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．12．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B．点C，O，C′三点在同一直线上C．AO∶AA′＝1∶2D．AB∥A′B′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位．节相似三角形1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．图①乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图②A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)4．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是(A )A ．四边形NPMQB ．四边形NPMRC ．四边形NHMQD ．四边形NHMR5.在平面直角坐标系中，已知点A (－4，2)，B (－6，－4)，以原点O 为位似中心，相似比为12 ，把△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是(C )A ．(－3，－2)B ．(－12，－8)C ．(－3，－2)或(3，2)D ．(－12，－8)或(12，8)6.如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F .已知AB ＝1，BC ＝3，DE ＝1.2，则DF 的长为(B )A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.2 7.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE ∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A.ABAE＝AGAD B．DFCF＝DGADC．FGAC＝EGBD D．AEBE＝CFDF8.(2020·邯郸丛台区三模)如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DF＝2，求FC的长度．【解答】(1)证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB＝AEAC＝13.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝13，∠ADE＝∠ABC.∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF.∴DFCF＝DECB，即2CF＝13.∴FC＝6.9．(2020·温州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为(A)A.14B．15C．83D．6510．(2020·黔东南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝4 3．11.如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形；(2)如图，△A2B2C2即为所求作的三角形．分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线．∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A 2(－2，4)，B 2(4，2)，C 2(8，10).∴S △A 2B 2C 2＝（2＋8）×102－12 ×2×6－12 ×4×8＝28., 12．如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是(C )A.△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C ，O ，C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′＝1∶2D ．AB ∥A ′B ′13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O ，A ，B 均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，得到线段A 1B 1(点A ，B 的对应点分别为A 1，B 1)，画出线段A 1B 1；(2)将线段A 1B 1绕点B 1逆时针旋转90°得到线段A 2B 1，画出线段A 2B 1； (3)以A ，A 1，B 1，A 2为顶点的四边形AA 1B 1A 2的面积是 个平方单位．解：(1)如图，线段A 1B 1即为所求； (2)如图，线段A 2B 1即为所求；(3)20.[由图可得，四边形AA 1B 1A 2为正方形， ∴四边形AA 1B 1A 2的面积是(22＋42 )2＝20.]。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅． 【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）． 观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处； 第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平． 猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想． （3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

人教版备考2023中考数学二轮复习 专题19 相似三角形一、单选题1．（2022九上·义乌期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（ ）A ．1：2B ．1：4C ．1：16D ．无法确定2．（2022九上·镇海区期中）如图示，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）A ．∠D =∠B B ．∠C =∠AEDC ．AB AD =AC AED ．AB AD =BC DE3．（2022·泸县模拟）如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∼△ADE 的是（ ）A ．∠C =∠EB ．∠B =∠ADEC ．AB AD =BC DED ．AB AD =AC AE4．（2022九上·拱墅期中）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，若DE ∥BC ，AD AB =25，AE ＝6cm ，则AC 的长为（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．18cm5．（2022九上·镇海区期中）如图所示，在△ABC 中，D 、E 为AB 、AC 的中点，若S △ADE =2，则四边形DBCE 的面积为（ ）A．4B．6C．8D．106．（2022九上·镇海区期中）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD 于点E，CE＝4，CD＝6，则AC的长为（）A．8B．9C．10D．117．（2022九上·镇海区期中）如图，AB是半圆的直径，∠ABC的平分线分别交弦AC和半圆于E和D，若BE=2DE，AB=4，则AE长为（）A．2B．√2+1C．√6D．4√338．（2022九上·舟山期中）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，E在AD上，且CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC，则下列关系式中成立的有()①CDAB=DEAE；②CDAB=DEAB；③CEDE=BEAB；④CE2=CD×BC；⑤BE2=AE×BCA．2个B．3个C．4个D．5个9．（2022九上·新昌期中）如图，在等边三角形ABC中，点P，Q分别是AC，BC边上的动点（都不与线段端点重合），且AP=CQ，AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP，则BO=6OP；②若BC=8，BP=7，则PC=5；③AP2=OP⋅AQ；④若AB=3，则OC的最小值为√3，其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③二、填空题10．（2022九上·宁波期中）如图，在△ABC中，AM是中线，G是重心，GD∥BC，交AC于D.若BC=6，则GD=.11．（2022九上·闵行期中）已知△ABC∽△A′B′C′，顶点A、B、C分别与顶点A′、B′、C′对应，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，如果BC=3，AD=6，B′C′=2，那么A′D′的长是．12．（2022九上·北仑期中）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED ＝1，BD＝4，那么AB＝.13．（2022九上·宝山期中）如图，矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．已知BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，那么△ABC的面积是cm2．14．（2022九上·南海月考）如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过秒钟△APQ与△ABC相似？15．（2022九上·乐山期中）如图，在矩形ABCD和矩形AEGH中，AD∶AB=AH∶AE=1∶2.则DH∶CG∶BE=.16．（2022九上·宁波期中）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折得到△FBE，连接CF并延长交BE的延长线于点P.若AB=5，AE=1.则∠P=，PC=.三、作图题17．（2022九上·海曙期中）如图是8×6的正方形网格，已知△ABC，请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）.（1）将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，得到△A 1B 1C 1，请在图1中作出△A 1B 1C 1. （2）在图2中，在AC 所在直线的左侧找一格点E ，画∠AEC=∠B. （3）在图3中，仅用无刻度直尺在线段AC 上找一点M ，使得AM MC =23.18．（2022九上·金华月考）如图，在4×8的网格中，已知格点△ABC （小正方形的顶点称为格点，顶点在格点处的三角形称为格点三角形），在图1、图2中分别画一个格点三角形（所画的两个三角形不全等），使其同时符合下列两个条件.（1）与△ABC 有一公共角； （2）与△ABC 相似但不全等.四、解答题19．（2022·泸县模拟）已知：D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，AB =8，AD =3，AC =6，AE =4，求证：△ABC ∼△AED .20．如图，∠CAB =∠CBD ，AB =4，AC =6，BD =7.5，BC =5，求CD 的长．21．（2021·广东）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的中点．连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G，求CG的长．22．（2021·光明模拟）如图，在直角坐标系中，直线y=−12x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，以AB为直径作圆O1，过B作圆O1的切线交x轴于点C．（1）求C点的坐标；（2）设点D为BC延长线上一点，CD=BC，P为线段BC上的一个动点（异于B，C），过P点作x轴的平行线交AB于M，交DA的延长线于N，试判断PM+PN的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．五、综合题23．（2022九上·宁波期中）定义：若一动点P到一条线段AB的两个端点的距离满足PA=4PB，则称P 为线段AB的KZ点，但点P不是线段BA的KZ点.（1）如图1，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=17，若点C是线段AB的KZ点，求AC的长.（2）如图2，在ΔABC中，D是边AB上一点，连结CD，若点A分别是线段CD，线段BC的KZ点.求证：C是线段BD的KZ点（提示：证明△ADC与△ACB相似）.（3）如图3，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=120°，点E，F分别是BC，CD上的点，且满足∠AEF= 120°.连结AF，若点E是线段AF的KZ点.求DF的长.24．（2022九上·宁波期中）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是斜边AB上一动点(0<AD<3.2)，以点A为圆心，AD长为半径作圆A交AC于点F，连结CD并延长交圆A于点E，连结AE，DF.（1）求证：∠FAE=2∠FDC.（2）如图2，若AE∥CB，求EC的长.（3）如图3①若AD平分∠FAE，求圆A的半径长；②当点D在斜边AB上运动时，直接写出CD⋅DE的最大值.25．（2022九上·镇海区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB，交BC于点E，连结AE交BD于点F. 已知∠AFD=∠ADB+∠CDE，（1）①假设∠ABD=α，则∠AFD=.②证明：AB=AE；（2）若AB2=BF⋅BD，AD=2，求CB的长；（3）若CE=2，AB=8，求DE的长.26．（2022九上·镇海区期中）（1）【基础巩固】如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，AF交DE于点G，求证：DGEG=BF CF.（2）【尝试应用】如图2，已知D、E为△ABC的边BC上的两点，且满足BD=2DE=4CE，一条平行于AB的直线分别交AD、AE和AC于点L、M和N，求LMMN的值.（3）【拓展提高】如图3，点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点，AB=3，延长CD至点F，使DF=2DE，连接CG，求CG的最小值.27．（2022九上·闵行期中）已知，在ΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D、E分别在边AB、BC上，且均不与顶点B重合，∠ADE=∠A（如图1所示），设AD=x，BE=y．（1）当点E与点C重合时（如图2所示），求线段AD的长；（2）在图1中当点E不与点C重合时，求y关于x的函数解析式及其定义域；（3）我们把有一组相邻内角相等的凸四边形叫做等邻角四边形．请阅读理解以上定义，完成问题探究：如图1，设点F在边AB上，CE=3，如果四边形ACEF是等邻角四边形，求线段AF的长．答案解析部分1．【答案】A【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴它们的相似比为1：2.故答案为：A.【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．2．【答案】D【知识点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵∠1=∠2∴∠CAB=∠EADA、∠D=∠B，两个三角形的对应角相等，那么△ABC∽△ADE，故A选项不符合题意；B、∠C=∠AED，两个三角形的对应角相等，那么△ABC∽△ADE，故B选项不符合题意；C、ABAD=ACAE，两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等，那么△ABC∽△ADE，故C选项不符合题意；D、ABAD=BCDE，∠B与∠D的大小无法判断，即无法判定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意.故答案为：D.【分析】由∠1=∠2可推出∠CAB=∠EAD，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED，根据两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等的三角形相似可以添加AB AD=ACAE，从而一一判断得出答案.3．【答案】C【知识点】相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠DAE，A、∵∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；B、∵∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；C、∵∠BAC=∠DAE，ABAD=BC DE，∴△ABC 与△ADE 不相似，故C 符合题意； D 、∵∠BAC=∠DAE ，AB AD =AC AE ，∴△ABC ∽△ADE ，故D 不符合题意； 故答案为：C【分析】由∠1=∠2可证得∠BAC=∠DAE ，要使△ABC ∽△ADE ，可以添加另外两组对应角中的一组对应角相等，可对A ，B 作出判断；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C ，D 作出判断.4．【答案】C【知识点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵DE ∥BC ，AD AB =25，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AC ＝AD AB =25，∵AE ＝6cm ，∴AC ＝52AE ＝52×6＝15（cm ），∴AC 的长为15cm. 故答案为：C.【分析】易证△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.5．【答案】B【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵D 、E 为AB 、AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE=12BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC =(DE BC )2=14∴S △ABC =4S △ADE =8∴S 四边形DBCE ＝S △ABC −S △ADE =8-2=6. 故答案为：B.【分析】先根据三角形的中位线定理证明DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，即可由S四边形DBCE＝S△ABC−S△ADE求出四边形DBCE的面积．6．【答案】B【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵AC平分∠BAD，∴BC⌢=CD⌢，∴∠BDC＝∠CAD，∵∠ACD＝∠DCE，∴△CDE∽△CAD，∴CD：AC＝CE：CD，∴CD2＝AC•CE，∴62＝4（4+AE），∴AE＝5，∴AC＝AE+CE＝9，故答案为：B.【分析】根据同弧所对的圆周角相等及角平分线的定义可得∠BDC=∠CAD=∠BAC，又∠ACD＝∠DCE，可推出△CDE∽△CAD，根据相似三角形对应边成比例得CD：AC＝CE：CD，代入数值，求解可得AE，进而根据AC=AE+CE算出答案.7．【答案】D【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：∵∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA∴△CBE∽△ABE∴CDAB=DEBE=12∴CD=12AB=2∵BD平分∠ABC∴∠CBD=∠ABD∴∠DAC=∠CBD=∠ABD=∠ACD ∴AD=CD=2∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°∴sin∠ABD=ADAB=24=12∴∠ABD=30°∴∠DAE=30°∴AE=ADcos30°=4√3 3，故答案为：D.【分析】根据同弧所对的圆周角相等得∠CDB=∠CAB，∠DCA=∠DBA，根据两组角对应相等的两个三角形相似得△CBE∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例可得CD=2，根据圆周角定理结合角平分线的定义推出∠DAC=∠CBD=∠ABD=∠ACD，根据等角对等边可得AD=CD，根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，进而根据正弦三角函数的定义及特殊角的锐角三角函数值得∠ABD=30°，进而根据余弦函数的定义，由AE=ADcos30°可算出答案.8．【答案】B【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BC于点F，∵梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，∴∠A+∠D=90°，∠DCB+∠ABC=180°，∴∠D=90°，∴DE⊥CD，EA⊥AB∵CE平分∠BCD，BE•平分∠ABC ，∴DE=EF=EA，∠DCB=2∠ECB，∠ABC=2∠EBC，∴∠ECB+∠EBC=90°，∴∠CEB=90°；在Rt△CDE和Rt△CFE中{CE=CEDE=FE∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL）∴CD=CF，同理可证AB=BF，∵∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠DCE=∠AEB，∵∠D=∠A=90°，∴△CDE∽△EAB，∴CDAE=DEAB，CEDE=BEAB，故③正确，①②错误；∵∠CFE=∠CBE=90°，∠ECF=∠ECB，∴△ECF∽△BCE，∴CFEC=ECBC∴CE2=CD×BC，故④正确；同理可证△BEF∽△BCE，∴BE2=BF×BC=AE×BC，故⑤正确；∴正确结论的序号为③④⑤，一共3个.故答案为：B【分析】过点E作EF⊥BC于点F，利用梯形的性质和平行线的性质可证得∠A+∠D=90°，∠DCB+∠ABC=180°，利用角平分线的性质可证得DE=EF=EA，∠DCB=2∠ECB，∠ABC=2∠EBC，从而可推出∠CEB=90°；利用HL证明Rt△CDE≌Rt△CFE，利用全等三角形的性质可得到CD=CF，同理可知AB=BF；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似可证得△CDE∽△EAB，利用相似三角形的对应边成比例，可对①②③作出判断；同理可证得△ECF∽△BCE，利用相似三角形的对应边成比例，可证得CE2=CD×BC，可对④作出判断；同理可证得BE2=AE×BC，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.9．【答案】A【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∵AP=CQ，∴CP=BQ，∵PC=2AP，∴BQ=2CQ ，如图，过P 作PD ∥BC 交AQ 于D ，∴△ADP ∽△AQC ，△POD ∽△BOQ ，∴PD CQ =AP AC =13，PD BQ =OP BO ，∴CQ=3PD ， ∴BQ=6PD ，∴BO=6OP ；故①正确； 过B 作BE ⊥AC 于E ， 则CE=12AC=4，∵∠C=60°， ∴BE=4√3，∴PE=√PB 2−BE 2=1，∴PC=4+1=5，或PC=4-1=3，故②错误； 在等边△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=∠C=60°， 在△ABP 与△CAQ 中， {AB =AC ∠BAP =∠C AP =CQ， ∴△ABP ≌△ACQ （SAS ）， ∴∠ABP=∠CAQ ，PB=AQ ， ∵∠APO=∠BPA ， ∴△APO ∽△BPA ， ∴AP PB =OP AP，∴AP 2=OP•PB ，∴AP 2=OP•AQ.故③正确；以AB 为边作等边三角形NAB ，连接CN ，∴∠NAB=∠NBA=60°，NA=NB ， ∵∠PBA=∠QAC ，∴∠NAO+∠NBO=∠NAB+∠BAQ+∠NBA+∠PBA =60°+∠BAQ+60°+∠QAC =120°+∠BAC =180°，∴点N ，A ，O ，B 四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB 的中心M ， 设CM 于圆M 交点O′，CO′即为CO 的最小值， ∵NA=NB ，CA=CB ， ∴CN 垂直平分AB ， ∴∠MAD=∠ACM=30°， ∴∠MAC=∠MAD+∠BAC=90°， 在Rt △MAC 中，AC=3，∴MA=AC•tan ∠ACM=√3，CM=2AM=2√3， ∴MO′=MA=√3，即CO 的最小值为√3，故④正确. 综上：正确的有①③④. 故答案为：A.【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC ，由已知条件可知AP=CQ ，则CP=BQ ，结合PC=2AP 可得BQ=2CQ ，过P 作PD ∥BC 交AQ 于D ，易证△ADP ∽△AQC ，△POD ∽△BOQ ，根据相似三角形的性质可得CQ=3PD ，则BQ=6PD ，据此判断①；过B 作BE ⊥AC 于E ，则CE=12AC=4，利用勾股定理可得PE ，进而判断②；利用SAS 证明△ABP ≌△ACQ ，得到∠ABP=∠CAQ ，PB=AQ ，证明△APO ∽△BPA ，利用相似三角形的性质可判断③；以AB 为边作等边△NAB ，连接CN ，则∠NAO+∠NBO=180°，故点N ，A ，O ，B 四点共圆，且圆心即为等边△NAB 的中心M ，设CM 于圆M 交点O′，CO′即为CO 的最小值，易知∠MAD=∠ACM=30°，∠MAC=90°，根据三角函数的概念可得MA、CM，据此判断④.10．【答案】2【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用【解析】【解答】解：∵AM是中线，BC=6，∴BM=CM=3，∵G是重心，∴AGAM=23，∵GD∥BC，∴△AGD∽△AMC，∴DGMC=AGAM=23，∴DG3=23，∴DG=2.故答案为：2.【分析】易得MB=CM=3，根据重心的性质可得AGAM=23，根据平行三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可得△AGD∽△AMC，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可得DG的长.11．【答案】4【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，BC=3，AD=6，B′C′=2，∴BC：B′C′=AD：A′D′，∴6：A′D′=3：2，∴A′D′的长是4，故答案为：4【分析】根据相似三角形的性质可得BC：B′C′=AD：A′D′，再将数据代入求出A′D′的长即可。

相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。

(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。