2020-2021杭州市公益中学高三数学上期中模拟试题(及答案)

函数 f（x）=ex﹣ 1 是（0，+∞）上的增函数，再根据 f（ 1 ）= e ﹣2＜0，f（1）=e﹣1
x
2
＞0，可得 f（ 1 ）f（1）＜0，∴函数 f（x）=ex﹣ 1 的零点所在的区间是（ 1 ，1），故
2
x
2
选 B．
点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要
f (x) f (x) ；当 x 1 时， f (x 1) f (x 1) .则 f (6) （ ）
2
2
2
A． 2
B． 1
C． 0
D． 2
12．设
a
20.1,
b
ln
5 2
,
c
log3
9 10
，则
a,
b,
c
的大小关系是
A． a b c
B． a c b
C． b a c
D． b c a
二、填空题
13．若不等式| 3x b | 4 的解集中的整数有且仅有 1，2，3，则 b 的取值范围是
14．设 2a 5b m ,且 1 1 2 ,则 m ______. ab
15．设函数
f
(x)
x 1，x 2x，x
0， 0， 则满足
f
(x)
f
(x
1) 2
1的
x
的取值范围是
____________.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】 根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处 的函数值. 【详解】
要使函数在 R 上为增函数，须有 f x 在 (,1] 上递增，在 (1, ) 上递增，

2020-2021学年杭州高中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.集合{a,b，c}的所有子集的个数有()A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个2.设复数满足(为虚数单位)，则的实部是A. 1B. 2C. 3D. 43.已知函数f(x)是(−∞,+∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x+2)=−f(x)，且当x∈[0,2)，f(x)=log2(x+1)，则f(−2011)+f(2012)=()A. 1+log23B. −1+log23C. −1D. 14.将函数y=cosx的图象经过怎样的平移，可以得到函数y=sin(x+π6)的图象()A. 向左平移π6个单位 B. 向左平移π3个单位C. 向右平移π3个单位 D. 向右平移π6个单位5.若sinθ+cosθsinθ−cosθ=2，则sinθ·cosθ=()A. −310B. 310C. ±310D. 346.下列函数中，周期为π，且在(0,)上单调递增的是()A. y=tan|x|B. y=−|tanx|C. y=|sinx|D. y=|cosx|7.“a=1”是“函数f(x)=x3+ax2+ax+1没有极值”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为()A. 10B. 20C. 32D. 259.已知θ是第三象限角，|cosθ|=m，且sinθ2+cosθ2>0，则cosθ2等于()A. √1+m2B. −√1+m2C. √1−m2D. −√1−m210.如图可能是下列哪个函数的图象()A. y =xx+1 B. y =xlnx C. y =(x 2−2x)e xD. y =x 2−2|x|二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 曲线y =2x −3x 3在点(−1,1)处切线的斜率为______．12. 若满足B =45°，AC =5，BC =k 的△ABC 恰有一个，则实数k 的取值范围是______ ． 13. 若函数在区间(−∞,4]上是减函数，则实数a 的取值范围是三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 袋子里有7个大小相同的小球，其中2个红球，5个白球，从中随机取出2个小球，则取出的都是红球的概率为 (1) ；若ξ表示取出的红球的个数，则E(ξ)= (2)15. 设函数f(x)={2−x ,x <1log 2x,x ≥1那么f[f(−12)]= (1) ；若函数y =f(x)−k 有且只有两个零点，则实数k 的取值范围是 (2) ．16. 若(x +y)(2x −y)5=a 1x 6+a 2x 5y +a 3x 4y 2+a 4x 3y 3+a 5x 2y 4+a 6xy 5+a 7y 6，则a 4= (1) ，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7= (2) ．17. 已知x ∈R ，定义：A(x)表示不小于x 的最小整数．如A(√3)=2，A(−1.2)=−1.若A(2x +1)=3，则x 的取值范围是 (1) ；若x >0且A(2x ⋅A(x))=5，则x 的取值范围是 (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ． (1)若c =2，C =60°，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长； (2)若sinC +sin(B −A)=sin2A ，试判断△ABC 的形状．19. (本题满分14分)已知四边形满足//，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点．(Ⅰ)求四棱锥的体积；(Ⅱ)证明：//面；(Ⅲ)求面与面所成二面角的余弦值．20.已知数列{a n}满足a1=3，a n⋅a n−1=2a n−1−1(1)求a2，a3，a4；}是等差数列，并求出{a n}的通项公式．(2)求证：数列{1a n−121.已知椭圆C：x2+y2=1.过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点．2(1)线段AB的垂直平分线交AB于点M，交y轴于点Q，求证：线段QM的中点在定直线上；(2)求PA的取值范围．AB22.已知函数f(x)=sinx−ax−bxcosx(a∈R,b∈R)．(1)若b=0，讨论函数f(x)在区间(0,π)上的单调性；(2)若a=2b且对任意的x≥0，都有f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查子集的概念，注意空集是任何集合的子集。

2020-2021学年浙江省杭州高级中学高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|y=ln(3+2x−x2)}，N={x|x>a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. (−∞,−1]D. (−∞,−1)2.复数(a2−2a−3)+(a2−a−6)i为纯虚数的一个必要不充分条件是()A. a=−1B. a=3C. a=−2或a=3D. a=−1或a=−23.已知等差数列{a n}的公差d为正数，a1=1，2(a n a n+1+1)=tn(1+a n)，t为常数，则a n=()A. 2n−1B. 4n−3C. 5n−4D. n4.下列不可能是函数f(x)=x a(e x−e−x)(a∈Z)的图象的是()A. B.C. D.5.已知x，y，z∈R+，且x+y+z=1xyz，则(x+y)(y+z)的最小值为()A. 4B. 3C. 2D. 16.已知x，y满足不等式{x≥0y≥0x+2y≤t2x+y≤4，且目标函数z=9x+6y最大值的变化范围[20,22]，则t的取值范围()A. [2,4]B. [4,6]C. [5,8]D. [6,7]7.已知函数f(x)=√3sinx+acosx，x∈[0,π3]的最小值为a，则实数a的取值范围是()A. [0,2]B. [−2,2]C. (−∞,1]D. (−∞,3]8. 将3个球(形状相同，编号不同)随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码(ξ=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球)，则E(ξ)，E(2ξ+1)分别等于( )A. 2516,258B. 2516,338C. 32，3D. 32，49. 已知四棱锥P −ABCD ，底面是边长为2的正方形，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥平面PAD ，点E 是线段PD 上的动点(不含端点)，若线段AB 上存在点F(不含端点)，使得异面直线PA 与EF 成30°的角，则线段PE 长的取值范围是( )A. (0,√22)B. (0,√63) C. (√22,√2)D. (√63,√2)10. 记集合T ={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M ={a 110+a 2102+a 3103+a4104,a i ∈T,i =1,2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2021个数是( )A. 710+9102+7103+8104 B. 710+9102+7103+9104 C. 510+5102+7103+3104D. 510+5102+7103+2104二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 如图，给三棱柱ABC −DEF 的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有______．12. 已知△ABC 的外心为O ，AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos B 的取值范围是______．13. 定义a ⊗b ={a,a ≥bb,a <b，若x ，y >0，则μ=(4xy+y 2x 2)⊗(x 2+16xy 16y 2)的最小值______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 在(2x −y)5的展开式中，所有项系数的绝对值的和为 ，x 2y 3的系数是 ． 15. 已知函数f(x)=2|sinx|−|cosx|，则f(x)的最小正周期 ，f(x)的值域 ． 16. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．17. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(−1,2)，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，动点P 与M ，N 连线的斜率之积为−12，则动点P 的轨迹方程为 ，△PMN 面积的取值范围是 ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=cos(x3−π2)sin(π2+x3)+√3cos 2x3．(Ⅰ)若x ∈[−π2,π]，求f(x)的递增区间和值域；(Ⅱ)若f(x 0)=45+√32，求sin(23x 0).19. 已知三棱锥A −BCD ，△ABD 和△BCD 是边长为2的等边三角形，平面ABD ⊥平面BCD ． (Ⅰ)求证：AC ⊥BD ；(Ⅱ)设G 为BD 中点，H 为△ACD 内的动点(含边界)，且GH//平面ABC ，求直线GH 与平面ACD 所成角的正弦值的取值范围．20. 数列{a n }满足a n+1+(−1)n a n =2n −1，n ∈N ∗且a 1=a(a 为常数)．(Ⅰ)(ⅰ)当n 为偶数时，求a n+4−a n 的值， (ⅰ)求{a n }的通项公式(Ⅱ)设S n 是数列{a n }的和，求证：1S 4+1S 8+⋯1S4n<1421. 已知抛物线C ：y 2=2x ，M(2a 2,0)，N(−2a 2,0)(a >0)，过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于B ，C ，点D ，E 满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)． (Ⅰ)求证：直线DE 与抛物线有且仅有一个公共点；(Ⅱ)设直线DE 与此抛物线的公共点Q ，记△BCQ 与△DEN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的值．22.已知函数f(x)=alnx+(x+1)2(a≠0,x>0)．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)对于任意x∈[1,+∞)均有f(x)−x2≤0恒成立，求a的取值范围．a答案和解析1.【答案】D【解析】解：令3+2x −x 2>0， 则 (x −3)(x +1)<0，解得−1<x <3，则M ={x|y =ln(3+2x −x 2)}={x|−1<x <3}， ∵M ⊆N ，∴a ≤−1． 故选：D ．由对数函数的性质化简集合M ，利用M ⊆N 解得实数a 的取值范围．本题考查对数函数定义域，一元二次不等式的解法，集合之间的关系，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：若(a 2−2a −3)+(a 2−a −6)i 是纯虚数，则{a 2−2a −3=0a 2−a −6≠0， 即{a =−1或a =3a ≠−2且a ≠3， 解得a =−1，则对于A ，“a =−1”是“复数((a 2−2a −3)+(a 2−a −6)i 是纯虚数”的充要条件， 对于B ，“a =3”是“复数((a 2−2a −3)+(a 2−a −6)i 是纯虚数”的既不充分也不必要条件，对于C ，“a =−2或a =3”是“复数((a 2−2a −3)+(a 2−a −6)i 是纯虚数”的既不充分也不必要条件，对于D ，“a =−1或a =−2”是“复数(a 2−2a −3)+(a 2−a −6)i 为纯虚数”的一个必要不充分条件； 故选：D ．根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数是纯虚数的概念是解决本题的关键，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵a1=1，2(a n a n+1+1)=tn(1+a n)，令n=1，则2(a1a2+1)=t(1+a1)，解得a2=t−1，令n=2，则2(a2a3+1)=2t(1+a2)，即(t−1)a3=t2−1，若t=1，则a2=0，d=−1，与已知矛盾，故解得a3=t+1，∵{a n}等差数列，则公差d=a3−a2=t+1−(t−1)=2，所以a n=a1+(n−1)d=2n−1故选：A．由递推公式分别求出数列的前三项，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．本考考查等差数列通项的求法，分类利用赋值法求出a2，a3是解决本题的关键，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f(x)=x a(e x−e−x)(a∈Z)，当a=0时，f(x)=e x−e−x其中定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且f(−x)=e−x−e x=e x−e−x=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，且单调递增，此时C选项符合题意；当a为正整数时，f(x)=x a(e x−e−x)，其定义域为R，图象经过原点，没有选项符合；当a为负整数时，f(x)=x a(e x−e−x)，其定义域为{x|x≠0}，可得f′(x)=ax a−1(e x−e−x)+x a(e x−e−x)，当x>0时，f′(x)=x a−1[a(e x+e−x)+x(e x−e−x)]=x a−1[(a+x)e x+(a−x)e−x]，可得f′(x)先负后正，故函数f(x)不经过原点且在第一象限先减后增，其中a为负偶数时，函数f(x)为奇函数，此时D符合题意；a为负奇数时，函数f(x)为偶函数，此时B符合题意；故选：A．根据题意，分a=0，a为正整数和a为负整数三种情况讨论，分析函数f(x)的定义域、奇偶性以及单调性，结合选项，即可求解．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与函数值符号的分析，一般用间接法分析，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：x ，y ，z ∈R +，且x +y +z =1xyz ， 可得xyz(x +y +z)=1， 即为y(x +y +z)=1xz ，则(x +y)(y +z)=xy +xz +y 2+yz=xz +y(x +y +z)=xz +1xz ≥2√xz ⋅1xz =2， 当且仅当xz =1取得等号， 则(x +y)(y +z)的最小值为2， 故选：C ．由题意可得xyz(x +y +z)=1，即为y(x +y +z)=1xz ，则(x +y)(y +z)=xz +y(x +y +z)=xz +1xz ，由基本不等式即可得到所求最小值．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：画出不等式组{x ≥0y ≥02x +y =4所表示的可行域如图△AOB当t ≤2时，可行域即为如图中的△OAM ，此时目标函数z =9x +6y 在A(2,0)取得最大值Z =18不符合题意t >2时可知目标函数Z =9x +6y 在{x +2y =t 2x +y =4的交点(8−t 3,2t−43)处取得最大值，此时Z =t +16由题意可得，20≤t +16≤22解可得4≤t ≤6 故选B ．由目标函数z =9x +6y 的最大值的范围，我们可以画出不等式组{x ≥0y ≥02x +y =4所表示的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数t 的方程组，消参后即可得到t 的取值，然后求出此目标函数的最大值即可． 如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程(组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．7.【答案】A【解析】解：f(x)=√3sinx +acosx 的最小值是a ，并且观察当x =0时，f(0)=a ， 所以当x ∈[0,π3]时，√3sinx +acosx ≥a 恒成立， 即a(1−cosx)≤√3sinx ，当x =0时，a ∈R ， 当x ∈(0,π3]时，a ≤√3sinx1−cosx=2√3sin x 2cosx22sin 2x 2=√3tanx 2恒成立， 即a ≤(√3tan x 2)min ，∵x ∈(0,π3]时，tan x2的最大值是√33，所以√3tan x 2的最小值是3，所以a ≤3．故选：A ．通过参变分离转化为a ≤√3sinx1−cosx=2√3sin x 2cosx 22sin 2x2=√3tanx 2，即a ≤(√3tan x 2)min，然后求出a 的取值范围．本题主要考查分离参数法处理恒成立问题，由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围．8.【答案】B【解析】解：由E(2ξ+1)=2E(ξ)+1，又P(ξ=1)=43−3343=3764；P(ξ=2)=33−2343=1964；P(ξ=3)=23−1343=764；P(ξ=4)=164；∴E(ξ)=1×3764+2×1964+3×764+4×164=2516；∴E(2ξ+1)=338．故选：B．由E(2ξ+1)=2E(ξ)+1，可排除A，C选项，求出ξ=1，2，3，4，对应的概率，求出E(ξ)，即可．本题考查了统计与概率，数学期望，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，取AD中点O，BC中点G，连接PO，OG，∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，∴PO⊥AD，∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD，则OG⊥AD，又AB⊥平面PAD，∴OG⊥平面PAD，得OA，OG，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，分别以OA，OG，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．得O(0,0，0)，A(1,0，0)，D(−1,0，0)， P(0,0，1)，E(s,0，t)，F(1,m ，0)， (−1<s <0,0<t <1,0<m <2)，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−s,m,−t)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−s,0,1−t)，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−s +t ，|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(1−s)2+m 2+t 2，|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2． 由题意可得，√(1−s)2+m 2+t 2⋅√2cos30°=1−s +t ，即√62√(1−s)2+m 2+t 2=1−s +t ，整理得3m 2=4t(1−s)−(1−s)2−t 2>0，结合t −s =1，可得4(1−s 2)>2+2s 2，解得|s|<√3． 则|EP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−s)2+(1−t)2=√s 2+s 2=√2|s|<√63． ∴线段PE 长的取值范围是(0,√63).故选：B ．取AD 中点O ，以O 为坐标原点，距离空间直角坐标系，设E(s,0，t)，F(1,m ，0)，(−1<s <0,0<t <1,0<m <2)，由异面直线所成角可得3m 2=4t(1−s)−(1−s)2−t 2>0，结合t −s =1，得关于s 的不等式，求解s 的范围，再求|EP⃗⃗⃗⃗⃗ |模的范围得答案． 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：因为a 110+a 2102+a 3103+a 4104=1104(a 1×103+a 2×102+a 3×104+a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9999，从大到小排列，第2021个数为9999−2021+1=7979， 所以a 1=7，a 2=9，a 3=7，a 4=9，则第2021个数是710+9102+7103+9104． 故选：B ．根据a 1×103+a 2×102+a 3×104+a 4表示10进制数，从大到小排列，第一个数为9999，再找到第2021个数即可得解．本题考查对十进制的排序，关键是要找到对应的数是几，如果从大到小排序，要找到最大数(即第一个数)，再找出第n 个数对应的十进制数即可，属于难题．11.【答案】264【解析】解：首先先给顶点A ，B ，C 染色，有A 43=24种方法，再给顶点D 染色， ①若它和点B 染同一种颜色，点E 和点C 染相同颜色，点F 就有2种方法，若点E 和点C 染不同颜色，则点E 有2种方法，点F 也有1种方法，则D ，E ，F 的染色方法一共有2+2×1=4种方法；②若点D 和点B 染不同颜色，且与点C 颜色不同，则点D 有1种方法，点E 与点C 颜色不同，则点E 有1种方法，则点F 有1种方法，此时有1种方法； 若最后E 与C 相同，则F 有2种方法，则共有2种方法； 点D 与点C 颜色相同，则点D 有1种方法，则点E 有2种方法，则点F 有2种方法，共有2×2=4种方法， 所以点D 和点B 染不同，颜色共有1+2+4=7种方法；所以点D ，E ，F 的染色方法一共有4+7=11种，所以共有24×11=264种方法． 故答案为：264．首先先给A ，B ，C 染色，再按分类和分步，给D ，E ，F 染色，计算染色方法． 本题重点考查涂色问题，涂色问题的一个关键点是分步里面有分类，所以分类清楚是关键，属于中档题．12.【答案】[√23,1)【解析】解：作出图示如下图所示，取BC 的中点D ，连接OD ，AD ，因为△ABC 的外心为O ，则OD ⊥BC ， 因为AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12(b 2−c 2)，所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b 2−c 2)， 同理可得BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a 2−c 2),CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b 2−a 2)， 所以AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +4CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化为12(b 2−c 2)=3×12(a 2−c 2)+4×12(b 2−a 2)，即a 2+2c 2=3b 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−13(a 2+2c 2)2ac=13×2a 2+c 22ac，又2a 2+c 22ac≥2√2ac 2ac=√2，当且仅当√2a =c 时，取等号，又0<B <π，所以√23≤cosB <1，故答案为：[√23,1)．作出图示，取BC 的中点D ，则有OD ⊥BC ，再由向量的线性表示和向量数量积的运算得出AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b 2−c 2),BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a 2−c 2),CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b 2−a 2)，代入已知得a 2+2c 2=3b 2，由余弦定理表示cos B ，再由基本不等式可求得范围．本题考查向量的数量积运算，以及三角形的外心的定义和性质，关键在于三角形的外心的定义和向量的线性表示，转化表示向量的数量积，将已知条件转化为三角形的边的关系，属于较难题．13.【答案】94【解析】解：令t =yx ，则4xy+y2x 2=4t +t 2在(0,+∞)为增函数，x 2+16xy 16y 2=116t 2+1t在(0,+∞)为减函数， 当两者相等时μ取得最小值，此时 μ=12(4t +t 2+116t2+1t)≥12(2√4t ⋅1t+2√t 2⋅116t2)=94， 当且仅当t =12时取等号． 故答案为：94．先换元判定单调性，然后利用基本不等式求解．本题考查换元法的应用，考查了基本不等式的应用，理解题目中的新定义是解题的关键，属于难题．14.【答案】243−40【解析】解：在(2x−y)5的展开式中，所有项系数的绝对值的和，即(2x+y)5的展开式中，所有项的系数和，再令x=y=1，可得(2x+y)5的展开式中，所有项的系数和为35=243．在(2x−y)5的展开式中，含x2y3的项是C53⋅(2x)2⋅(−y)3=−40x2y3，故x2y3的系数为−40，故答案为：243；−40．(2x−y)5的展开式中，所有项系数的绝对值的和，即(2x+y)5的展开式中，所有项的系数和，x=y=1可得结果．利用二项展开式的通项公式，求得x2y3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】π[−1,2]【解析】解：∵f(x+π)=2|sin(x+π)|−|coc(x+π)|=2|sinx|−|cosx|=f(x)，∴f(x)的最小正周期为π．∵|sinx|∈[0,1]，|cosx|∈[0,1]，且|sinx|2+|cosx|2=1，∴设|sinx|=sint，|cosx|=cost，t∈[0,π2]，∴f(x)=g(t)=2sint−cost=√5sin(t−φ)，其中sinφ=√55，cosφ=2√55，∴φ∈(0,π2)，又∵0<t<π2，∴−φ<t−φ<π2−φ，即(t−φ)∈[−φ,π2−φ]⊆(−π2,π2)，∵y=six在(−π2,π2)上单调递增，∴sin(t−φ)的最小值是sin(−φ)=−sinφ=−√55，最大值是sin(π2−φ)=cosφ=2√55， ∴−1≤f(x)≤2， 故答案为：π；[−1,2]．利用周期的定义判断f(x)周期，利用换元法求值域．本题考查了三角函数的最小正周期，以及三角换元法技巧的应用，难度适中．16.【答案】1139+4√2+√32【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1 截去两个角C −DEF 与C 1−FGH ． 其中，直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2． 则该几何体的体积V =12×2×2×2−2×13×12×1×1×1=113；表面积为S =2×2×2+2×2√2+2×12×2×2−6×12×1×1 +2×√34×12=9+4√2+√32． 故答案为：113；9+4√2+√32．由三视图还原原几何体，可知该几何体是由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1 截去两个角C −DEF 与C 1−FGH ，再由多面体的体积公式及表面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．17.【答案】x 29+2y 29=1(x ≠±1) (0,9√22]【解析】解：因为M 的坐标为(−1,2)，且OM −+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得N(1,−2)， 设P(x,y)，所以K MP =y−2x+1,K NP =y+2x−1(x ≠±1)， 由题意得：y−2x+1⋅y+2x−1=−12， 整理可得动点P 的轨迹方程为：x 29+2y 29=1(x ≠±1)；直线MN 的斜率k =2−(−2)−1−1=−2，设平行于MN 的椭圆切线方程为y =−2x +b ，与椭圆联立可得{y =−2x +bx 29+2y 29=1(x ≠±1),即9x 2−8bx +2b 2−9=0， △=(−8b)2−4×9×(2b 2−9)=0，解得|b|=9√22，所以该切线与直线MN 的距离d =|9√22|√22+12=9√1010,|MN|=2√5，所以△PMN 面积的最大值S =12×|MN|×d =12×2√5×9√1010=9√22，所以随着P 在椭圆上运动，△PMN 的面积取值范围为(0,9√22]．故答案为：x 29+2y 29=1(x ≠±1)；(0,9√22]．求得N 点坐标，根据题意K NP ⋅K MP =−12，列出方程，即可求得动点P 的轨迹方程；根据P 在曲线上运动，设平行与MN 的椭圆切线方程为y =−2x +b ，与粗圆联立，根据相切，求得|b|，代入面积公式，即可求得面积最大值，即可得答案．解题的关键是根据斜率乘积为−12列出表达式，进行求解，易错点为斜率必定存在，故x ≠±1，在求面积取值范围时，可联立直线与曲线方程，先求得最大值，再得范围，属中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=cos(x3−π2)sin(π2+x3)+√3cos 2x3=sin x 3cos x 3+√3cos 2x 3=12sin 2x3+√3×1+cos 2x32=sin(2x3+π3)+√32， 令2kπ−π2≤2x 3+π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得3kπ−5π4≤x ≤3kπ+π4，k ∈Z ，又x∈[−π2,π]②，当k=0时，由①可得x∈[−5π4,π4]，与②取交集可得x∈[−π2,π4]，所以f(x)的递增区间为[−π2,π4 ]，若x∈[−π2,π]，则2x3+π3∈[0,π]，所以sin(2x3+π3)∈[0,1]，可得f(x)=sin(2x3+π3)+√32∈[√32,1+√32].即f(x)的值域为[√32,1+√32].(Ⅱ)若f(x0)=sin(2x03+π3)+√32=45+√32，可得sin(2x03+π3)=45，cos(2x03+π3)=±35，所以sin(23x0)=sin[(2x03+π3)−π3]=sin(2x03+π3)cosπ3−cos(2x03+π3)sinπ3=45×12−(±35×√32)=25+−3√310．【解析】(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x3+π3)+√32，利用正弦函数的性质即可求解f(x)的递增区间和值域；(Ⅱ)由题意可求sin(2x03+π3)=45，利用同角三角函数基本关系式可求cos(2x03+π3)=±35，进而根据两角差的正弦函数公式即可求解sin(23x0)的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BD中点G，连接AG，CG，∵△ABD和△BCD是边长为2的等边三角形，∴AG⊥BD，CG⊥BD，∵AG∩CG=G，∴BD⊥平面ACG，∵AC⊂平面ACG，∴AC⊥BD．(Ⅱ)解：分别取CD、AD的中点E，F，连接GE，EF，DF，由题意知GF//AB，GE//BC，∵GE∩GF=G，BC∩AB=B，∴平面ABC//平面GEF，∵GH//平面ABC，∴H一定在平面GEF中，∵H在平面ACD内，∴H的轨迹是线段EF，∵平面ABD⊥平面BCD，又AG⊥BD，∴AG⊥平面BCD，∴AG⊥GC，由题意知AC=√6，由中位线关系得EF=√62，GF=1，GE=1，在△GEF中，由几何知识得：√104≤GH≤1，设，G到平面ACD的距离为d，由V G−ACD=V A−CDG，得13×S△ACD×d=13×S△CDG×AG即d=S△CDG×AGS△ACD=12×1×√3×√312×4−(√62)=√155，设直线GH与平面ACD所成角为α，则sinα=dGH ∈[√155,2√65]，∴直线GH与平面ACD所成角的正弦值的取值范围是[√155,2√6 5].【解析】(Ⅰ)取BD中点G，连接AG，CG推导出AG⊥BD，CG⊥BD，从而BD⊥平面ACG，由此能求出AC⊥BD．(Ⅱ)分别取CD、AD的中点E，F，连接GE，EF，DF，GF//AB，GE//BC，从而平面ABC//平面GEF，推导出H的轨迹是线段EF，AG⊥GC，√104≤GH≤1，由等体积法得到G到平面ACD的距离d=√155，设直线GH与平面ACD所成角为α，由此能求出直线GH与平面ACD所成角的正弦值的取值范围．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)(i)当n为偶数时，a n+1+a n=2n−1①故：a n+2+a n+1=2n+1②，①−②得：a n+2−a n=2n．则a n+4−a n+2=2(n+2)=2n+4，两式相减得：a n+4−a n=4．(ii)a2−a1=1，解得a2=1+a，a2+a3=3，解得a3=2−a，a4−a3=5，解得a4=7−a，由于a n+4−a n =4， 当n =4k +2时，a n =a 2+n−24×8=a +2n −3，当n =4k 时，a n =a 4+n−44×8=−a +2n −1，所以当n =4k 时，a n+1=(2n −1)−(−a +2n −1)=a ， 当n =4k +1时，a n =a ，同理：由于a n+1+(−1)n a n =2n −1，所以当n =4k +2时，a n+1=2n −1−(a +2n −3)=2−a ， 综上所述：a n ={a(n =4k +1)a +2n −3(n =4k +2)2−a(n =4k +3)−a +2n −1(n =4k)．证明：(Ⅱ)由数列{a n }的通项公式可知：S 4，S 8−S 4，S 12−S 8，…成公差为16的等差数列．所以S 4n −S 4(n−1)=S 4+16(n −1)=16n −6， S 8−S 4=16×2−16， …，S 4n −S 4(n−1)=16n −6． 所以S 4n −S 4=16×(n+2)(n−1)2−6(n −1)=(8n +10)(n −1)，所以S 4n =8n 2+2n ． 故1S4n=12n(4n+1)<12n(2n+2)，所以1S 4+1S 8+⋯+1S 4n<14[1−1n+1]<14．【解析】(Ⅰ)(i)直接利用叠加法的应用求出结果； (ii)利用关系式的分类思想的应用求出数列的通项公式； (Ⅱ)利用关系式的变换和裂项相消法和放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，赋值法，裂项相消法，放缩法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)证明：因为过点M 垂直于x 轴的垂线与抛物线C 交于B ，C ，令x =2a 2，代入y 2=2x 中，解得y =±2a ， 所以B(2a 2,2a)，C(2a 2,−2a)，设D(x,y)，由ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(x +2a 2,y)=λ(4a 2,2a)， 故有D((4λ−2)a 2,2λa)，同理E((2−4λ)a 2,2a(λ−1)) 于是直线DE 的方程是y −2aλ=1(4λ−2)a (x −(4λ−2)a 2)， 即x =(4λ−2)ay +(8λ−8λ2−2)a 2①与拋物线方程联立， 得到(y −2a(2λ−1))2=0，此方程有两个相等的根：y =2a(2λ−1)代入 ①，得x =2a 2(2λ−1)2， 故直线DE 与拋物线有且仅有一个公共点Q(2a 2(2λ−1)2,2a(2λ−1))， (2)S 1=S △BCQ =12|BC|⋅ℎ=124a ⋅(2a 2−x Q )=16a 3(λ−λ2)，设直线DE 与x 轴交于G(8a 2(λ−λ2),0)，于是S 2=S △DEN =12|NG|⋅|y D −y E |=12⋅8a 2(λ−λ2)⋅2a =8a 3(λ−λ2)，故有S1S 2=2．【解析】(1)由已知先求出B ，C ，设D(x,y)，结合题干得ND⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λNB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,NE −=λNC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合向量关系求得D ，E 点坐标，利用点斜式得l DE 方程，联立l DE 与拋物线即可求证； (2)结合三角形面积公式得S 1=S △BCQ =12|BC|⋅ℎ,S 2=S △DEN =12|NG|⋅|y D −y E |，由(1)的结论可得h ，由直线l DE 方程可求得直线DE 与x 轴交点坐标G ，从而得到|NG|，S 1，S 2作比即可求解．本题考查由直线与抛物线的位置关系求证公共点问题，抛物线中三角形的面积问题，考查了数学运算的核心素养，常用以下方法：(1)涉及交点问题常采用直线与曲线联立方程求解法，有且仅有一个公共点可直接求解，若是关于x(y)的一元二次方程，即证△=0；(2)对于三角形面积问题，较为规则的可直接用公式法求解，对于三角形不规则的，常采用切割法．22.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=alnx +(x +1)2(x >0，a ≠0)，所以f′(x)=2x 2+2x+ax(x >0,a ≠0)，若a ≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增， 若a <0时，令f′(x)=0，得x =−1+√1−2a2或−1−√1−2a2(舍去)，所以此时f(x)在(0,−1+√1−2a2)单调递减，第21页，共21页 在(−1+√1−2a 2,+∞)上单调递增，所以当a ≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a <0时，f(x)在(0,−1+√1−2a 2)单调递减， 在(−1+√1−2a 2,+∞)上单调递增．(Ⅱ)取x =1代入不等式f(x)−x 2a ≤0，得0<a ≤14． 下证当0<a ≤14时，不等式f(x)−x 2a ≤0恒成立， 即当0<a ≤14时，不等式alnx +(x +1)2−x 2a ≤0恒成立， 设ℎ(a)=alnx +(x +1)2−x 2a (0<a ≤14)，则ℎ′(a)=lnx +x 2a 2>0， 所以ℎ(a)≤ℎ(14)=14lnx +(x +1)2−4x 2，设g(x)=14lnx +(x +1)2−4x 2(x ≥1)所以g′(x)=−24x 2+8x+14x <0，所以g(x)≤g(1)=0，故0<a ≤14时，不等式alnx +(x +1)2−x 2a ≤0恒成立．【解析】(Ⅰ)对f(x)求导，得f′(x)，然后分两种情况，讨论f′(x)的正负，得到f(x)的单调区间．(Ⅱ)取x =1代入不等式成立，推出0<a ≤14，再证当0<a ≤14时，不等式f(x)−x 2a ≤0恒成立，即可．本题考查导数的综合应用，恒成立问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．。

2020-2021杭州市高三数学上期中模拟试题带答案一、选择题1．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形2．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或54．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是A ．10B ．12?C ．14D ．165．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值316．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．367．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为2部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．33B ．53C ．73D ．838．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（ ）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km9．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d10．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += )2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1abc<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <二、填空题13．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答） 14．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．15．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________．16．若数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=______. 17．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 18．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为_____．19．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有2c =__________.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .24．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N *，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112=． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n ＝log 2a n ，求12231111n n b b b b b b L ++++（n ∈N *） 25．已知在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos 0a B b A -=．（1）求角A 的大小：（2）若a =2b =．求ABC V 的面积．26．已知向量()1sin 2A =，m与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.2．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．3．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．4．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1， ∴()11119999110216y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.5．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.6．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C7．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45sin 30HB =︒︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，10353v ==/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．8．D解析：D 【解析】 【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)90260390BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯g 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.9．B解析：B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.10．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．11．D解析：D 【解析】 【分析】 先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列.所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误 对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题13．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：128【解析】 【分析】 由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴= 故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题14．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=ny=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：【解析】试题分析：由题意，对任意实数，都有，则令可得 ，即，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，故考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质15．【解析】【分析】待定系数得到得到【详解】因为满足所以即得到所以而故是以为首项为公比的等比数列所以故故答案为：【点睛】本题考查由递推关系求数列通项待定系数法构造新数列求通项属于中档题 解析：1231n -⋅-【解析】 【分析】待定系数得到()13n n a a λλ++=+，得到λ 【详解】因为{}n a 满足132n n a a +=+， 所以()13n n a a λλ++=+， 即132n n a a λ+=+，得到1λ=， 所以()1131n n a a ++=+， 而112a +=，故{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⋅，故1231n n a -=⋅-.故答案为：1231n -⋅-. 【点睛】本题考查由递推关系求数列通项，待定系数法构造新数列求通项，属于中档题.16．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题解析：5518. 【解析】 【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】Q 数列{}n a 通项公式是12,123,3n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，331112731115531123118183182313n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，5531lim 5518218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=. 故答案为：5518. 【点睛】本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题.17．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题 解析：1941【解析】 【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式1111S T =，代值计算可得． 【详解】∵{a n }，{b n }为等差数列，∴939393657846666222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为1941. 【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．18．1830【解析】【分析】由题意可得…变形可得…利用数列的结构特征求出的前60项和【详解】解：∴…∴…从第一项开始依次取2个相邻奇数项的和都等于2从第二项开始依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项以1解析：1830 【解析】 【分析】由题意可得211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，变形可得312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，972a a +=，121040a a +=，13152a a +=，161456a a +=，…，利用数列的结构特征，求出{}n a 的前60项和． 【详解】解：1(1)n n a ++-Q 21n a n =-，∴211a a -=，323a a +=，435a a -=，547a a +=，659a a -=，7611a a +=，…，504997a a -=，∴312a a +=，428a a +=，752a a +=，8624a a +=，9112a a +=，121040a a +=，13112a a +=，161456a a +=，…，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为1514152(15816)18302⨯⨯+⨯+⨯=， 故答案为：1830． 【点睛】本题主要考查递推公式的应用，考查利用构造等差数列求数列的前n 项和，属于中档题．19．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：4[,13]5【解析】 【分析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域，由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22x y +的最小值，为2455=，原点到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为22x y +的最大值为13，因此22xy +的取值范围为4[,13].5【考点】 线性规划 【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则 解析：4553【解析】由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=, 得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-,即有41612ab S =-,由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即有16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号, 当a =2,b=1,S 取得最小值23,易得2sin 3C =(C 为锐角),则cos 3C =,则2222cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题21．（1）n a n =；（2）1n n T n =+ . 【解析】 【分析】（1）根据{}n a 和n S 关系得到答案.（2）首先计算数列{}n b 通项，再根据裂项求和得到答案. 【详解】解：（1）当1n =时，111a S ==当2n ≥时，()11n n n n a S S n n a n -=-==∴=时符合 （2）()11111n b n n n n ==-++11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 【点睛】本题考查了{}n a 和n S 关系，裂项求和，是数列的常考题型.22．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+，代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==， ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a = （2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-，∴()21222?2n n S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①()23121222?2?2nn S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212nn n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---L∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法．23．（1）12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）()15352nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由公比01q <<结合等比数列的性质得出112b =，318b =，5132b =，再确定公比，即可得出数列{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为公比为()01q q <<的等比数列{}n b 中，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以由135,,b b b 成等比数列得出，当且仅当112b =，318b =，5132b =时成立. 此时公比23114b q b ==，12q = 所以12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）因为()1312nn c n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭所以123...n n T c c c c =++++()1231111258...312222nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()()2311111125...343122222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()123111111123...31222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1111113131222n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯---⋅⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦5135222nn +⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭ 故数列{}n c 的前n 项和()15352nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题. 24．(1) a n 12n =；(2) 1nn +． 【解析】 【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到112n n a a +=，计算112a =，得到答案. （2）计算得到nb n =-，()1111111n n b b n n n n +==-++，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）根据题意，由a n +1+S n +1＝1，①，则有a n +S n ＝1，②，（n ≥2） ①﹣②得：2a n +1＝a n ，即a n +112=a n ，又由a 112=， 当n ＝1时，有a 2+S 2＝1，即a 2+（a 1+a 2）＝1，解可得a 214=， 则所以数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列，故a n 12n =； （2）由（1）的结论，a n 12n=，则b n ＝log 2a n ＝﹣n ，则()()()()()()()122311111111111223112231n n b b b b b b n n n n ++++=+++=+++-⨯--⨯--⨯--⨯⨯⨯+L L L L L ＝（112-）+（1231-）+……+（111n n -+）＝1111nn n -=++．【点睛】本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.25．（1）4A π=（2）4【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin 0B ≠求出sin cos 0A A -=，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cosA 的值代入求出c 的值，再由b ，sinA 的值，利用三角形面积公式求出即可．详解：在ABC V 中，由正弦定理得sin sin sin cos 0A B B A -=． 即()sin sin cos 0B A A -=，又角B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以sin cos 0A A -=04A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为()0,A π∈，所以4A π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，则22044c c =+-⋅⎝⎭． 即2160c -=．解得c =-c =所以1242S =⨯⨯=．·点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 26．（1）π3A =（2）△ABC 为等边三角形 【解析】分析：（1）由//m n u r r ，得3sin (sin )02A A A ⋅-=，利用三角恒等变换的公式，求解πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求解角A 的大小； （2）由余弦定理，得224b c bc =+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得4bc ≤，即可判定当b c =时面积最大，得到三角形形状．详解：（1）因为m//n,所以()3sin sin 02A A A ⋅-=.所以1cos230222A A -+-=，即1sin2cos2122A A -=， 即 πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因为()0,πA ∈ , 所以ππ11π2666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故ππ262A -=，π3A =. （2）由余弦定理，得 224b c bc =+-又1sin 2ABC S bc A ∆==， 而222424b c bc bc bc bc +≥⇒+≥⇒≤，（当且仅当b c =时等号成立）所以1sin 4244ABC S bc A bc ∆==≤=. 当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.。