1962年高考数学试题

1959年全国高考数学试题及其解析试卷上不必抄题,但须写明题号,例如Ⅰ(1)、Ⅰ(2)、Ⅱ、Ⅲ等.一、(1)已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35. (注)lg是以10为底的对数的符号.(3)解不等式:2x2+5x<3.(4求cos165°的值.(5)一直圆台上底的面积为25π平方厘米,下底的直径为20厘米,母线长为10厘米.求这直圆台的侧面积.(6)有三条不在同一平面内的平行线a、b和c.在线a上取一固定线段AB,在线c、b上各任取一点C和D.求证:不论C和D取在c、b的什么位置上,四面体ABCD的体积总是不变的.二、三个数成等差数列,前两个数的和的三倍等于第三个数的二倍;如果第二个数减去2(仍当作第二项),三个数就成等比数列.求原来的三个数.四、A、B、C是直线L上三点,P是这直线外一点.已知AB=BC=a,∠APB=90°,∠BPC=45°.试求:(1)∠PBA的正弦、余弦、正切;(2)线段PB的长;(3)P点到直线L的距离.五、延长圆O的两弦AB、CD交于圆外一点E,过E点作DA的平行线交CB的延长线于点F,自F点作圆O的切线FG.求证FG=FE.1959年试题答案(3)解法一:2x2+5x<3,移项,得2x2+5x-3<0,(2x-1)(x+3)<0.因为两个数的积是负数,必须并且只须这两个数中一个是正数,一个是负数,所以从这个不等式可以得出下面两个不等式组:解法二:2x2+5x<3,移项,得2 x2+5x-3<0,不等式两边都乘以-1,得-2 x2-5x+3>0△=(-5)2-4·(-2)·3>0,(5)圆台侧面积S=πL(R+r),其中L为母线,r、R分别为上,下底的半径.上底面积=πr2=25π∴r=5(厘米)下底半径R=20/2(厘米)=10(厘米)母线l=10(厘米)∴这圆台侧面积S=πL(R+r)=π·10·(10+5)=150π(厘米2)(6)△ABD当四面体ABCD的底(如图)作底上的高CO.∵a∥b∴无论D在b上什么位置,△ABD的面积总不变.∵a∥b∴a,b决定一平面.∵c∥a,c∥b.∴c平行于a,b所决定的平面.∴无论C点在c的什么位置,高CO的高度总不变.因之,无论C,D在c,b上什么位置,其体积总不变二、设成等差数列的三个数是x-y、x、x+y,依据题中条件,化简(1)和(2),得:将(3)代入(4),得:y2-5y+4=0,(y-1)(y-4)=0故y1=1,y2=4三、设AB及BC两边之长为x及y,则有x2+y2-2xycos60°=42代入cos60°及sin60°的值,得到:x2+y2-xy=16xy=4化简,得到: x2+y2=20 (1)2xy=8 (2)(1)+(2),得: (x+y)2=28, (3)(1)-(2),得: (x-y)2=12 (4)四、解法一:令∠PBA=θ由△APB知 x=acosθ, (1)代(1),(4)入(3),得五、证明:∵EF∥DA,∴∠FEB=∠BAD，而∠BAD=∠BCD,∴∠FEB=∠BCD，又∠EFB=∠EFC ∴△EFB∽△CFE因此,FE:FC=FB:FE,即FE2=FB·FC.∵FG是圆O的切线,FBC的圆O的割线,∴FG2=FB·FC∴FG2=FE2即FG=FE.。

全国普通高等学校招生统一考试(附参考答案)数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位） 2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6、方程14230xx +--=的解是7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15、若1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-= 16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定 18、若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ） A 、16 B 、72 C 、86 D 、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，AC =2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若MF =M 的坐标；（2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k （k <的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP⊥OQ23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a（2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B+=+24RSπ=如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径)()()(BPAPBAP∙=∙球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么334PVπ=在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k k n kn nP k C p p k n-=-=…第一部分（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5份，共60份。

1962年全国统一高考数学试卷一、解答题（共10小题，共100分）1．（10分）某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）2．（10分）求（1﹣2i）5的实部．3．（10分）解方程lg（x﹣5）+lg（x+3）﹣2lg2=lg（2x﹣9）．4．（10分）求的值．5．（10分）如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=_________度．6．（10分）解方程组并讨论a取哪些实数时，方程组（1）有不同的两实数解；（2）有相同的两实数解；（3）没有实数解．7．（10分）已知D为△ABC内的一点，AB=AC=1，∠BAC=63°，∠BAD=33°，∠ABD=27°，求DC （精确到小数点后两位，sin27°=0.4540）．8．（10分）已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA 分为m：n，设AB=1．（1）求A'B'C'D'的面积；（2）求证A'B'C'D'的面积不小于．9．（10分）由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作这正方体的对角线A1C的垂线，垂足为E，证明A1E：EC=1：2．10．（10分）求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内．1962年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，共100分）1．（10分）某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：先设平均每年增长x%，则得（1+x%）2=1+21%，求得x的值，再计算第一年的产量是第三年的产量的百分之几即得结果．解答：解：设平均每年增长x%，则得（1+x%）2=1+21%，x=10．又，故该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．2．（10分）求（1﹣2i）5的实部．考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．分析：因为所给的代数式次数比较高，所以题目不会让我们直接展开运算，要用二项式定理来整理，又有i的特点知它的偶次方为实数，得到结果．解答：解：∵（1﹣2i）5的实部是由包含i的零次方及包含i的偶次方的各项所组成，由二项式定理知所求之实部为C50+C52（﹣2i）2+C54（﹣2i）4=41．点评：复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．3．（10分）解方程lg（x﹣5）+lg（x+3）﹣2lg2=lg（2x﹣9）．考点：对数的运算性质．分析：先根据对数运算性质求出x，再根据对数的真数一定大于0检验即可．解答：解：，，x2﹣10x+21=0，x=3，x=7．当x=3时，使x﹣5＜0，2x﹣9＜0无意义，故不是原方程的解，原方程的解为x=7．点评：本题主要考查对数的运算性质和对数函数的定义域问题．属基础题．4．（10分）求的值．考点：反三角函数的运用；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：根据题意，设arcsin=α，可得α的范围，由反三角函数的定义，可得sinα=，根据同角三角函数的基本关系，可得cosα=；而sin（2arcsin）=sin2α，由二倍角公式，计算可得答案．解答：解：设arcsin=α，（0°＜α＜90°），则sinα=，根据同角三角函数的基本关系，可得cosα=；则sin（2arcsin）=sin2α=2sinαcosα=．点评：本题考查反三角函数的运用，这类题目的易错点是反三角函数的范围，应特别注意．5．（10分）如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=20度．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题．分析：由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线．利用内角和定理先求得∠OBC+∠OCB=80°，所以可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入此关系式即可求得∠BAC的值．解答：解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=180°﹣100°=80°，而∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=80°，∴∠ABC+∠ACB=160°，∴∠BAC=180°﹣160°=20°．故答案为20．点评：本题通过三角形内切圆，考查切线的性质．属于基础题．6．（10分）解方程组并讨论a取哪些实数时，方程组（1）有不同的两实数解；（2）有相同的两实数解；（3）没有实数解．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：综合题．分析：（1）将第二个方程代入第一个方程得到关于y的二次方程，利用二次方程的求根公式求出两个根，将求出的根代入第二个方程求出方程组的解．（2）由（1）当通过代入消元得到的二次方程有两个不等实根即判别式大于0时，方程组有两个实数解；当判别式等于0时，方程组有相等的两实数解；（3）当判别式小于0时，方程组无解．解答：解：由②得x=y﹣a③将③代入①得y2﹣4（（y﹣a）﹣2y+1=0，y2﹣6y（4a+1）=0，，．即方程组的解为即：（1）当2﹣a＞0，即a＜2时，方程组有不同的两实数解；（2）当2﹣a=0，即a=2时，方程组有相同的两实数解；（3）当2﹣a＜0，即a＞2时，方程组没有实数解．点评：本题考查代入消元求方程组组的解的方法、考查将方程组的解的问题转化为二次方程解的问题．7．（10分）已知D为△ABC内的一点，AB=AC=1，∠BAC=63°，∠BAD=33°，∠ABD=27°，求DC（精确到小数点后两位，sin27°=0.4540）．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：结合题意，在△ADC中，若AD可求，则DC可求，而AD可在△ABD中利用正弦定理求得．解答：解：∠ADB=180°﹣（33°+27°）=120°，根据正弦定理，得，又∠CAD=63°﹣33°=30°，由余弦定理可得DC2=AD2+AC2﹣AD•AC•cos30°==．∴．点评：此题在求解过程中，先用正弦定理求边，再用余弦定理求边，体现了正、余弦定理的综合运用．8．（10分）已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA分为m：n，设AB=1．（1）求A'B'C'D'的面积；（2）求证A'B'C'D'的面积不小于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）由题意设AA'=mt，A'B=nt，通过．推出A'B'C'D'的面积的表达式；（2）利用配方把（1）的面积转化为，从而证明A'B'C'D'的面积不小于．解答：解（1）：设AA'=mt，A'B=nt又．在直角△D'AA'中，D'A'2=D'A2+AA'2=m2t2+n2t2=（m2+n2）t2而正方形A'B'C'D'的面积=．（2）证明：∵∴．点评：本题是基础题，考查平面几何的知识点，正方形的面积的求法，作差法证明A'B'C'D'的面积不小于．是本题的难点，注意把握．9．（10分）由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作这正方体的对角线A1C的垂线，垂足为E，证明A1E：EC=1：2．考点：棱柱的结构特征．专题：证明题．分析：设正方体的棱长为1，连接AC，求出AC，利用A1E•A1C=AA12，EC•A1C=AC2，可求A1E：EC，进而可证命题．解答：证明：设正方体的棱长为1，连接AC，则AC=，∵为直角△A1AC的斜边A1C上的高，∴A1E•A1C=AA12，EC•A1C=AC2，两式相除，得，∴A1E：EC=1：2．点评：本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10．（10分）求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内．考点：平面的基本性质及推论．专题：证明题；分类讨论．分析：解决此题，先要画出图形，前三条线只能画成“两两相交，且不交于同一点”，这样才能保证第四条线与前三条全相交，这样的话图形一共可以分为两类．然后，我们可以根据推论1或者推论2，先把平面确定好，然后再根据公理1，进一步证明其余的直线也在这个平面里．解答：证明：第一种情形（如图1）：四条直线l1，l2，l3，l4没有三条直线过同一点，这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F，它们各不相同，因直线l1，l2相交于点A，可决定一平面α；因点B、C、D、E均在平面α内，所以直线l3，l4也在平面α内，故直线l1，l2，l3，l4同在平面α内．第二种情形（如图2）：四条直线l1，l2，l3，l4中有三条，例如l1，l2，l3，过同一点A，因直线l4不过点A，故由点A及直线l4可决定一平面α，因直线l4与直线l1，l2，l3，相交，设交点为B、C、D，则点B、C、D在直线l4上，从而在平面α内，因此，直线l1，l2，l3，各有两点在平面α内，即这三条直线在平面α内，故四直线l1，l2，l3，l4在同一平内．点评：此题难度系数不大，关键在于画对图形．重点考查了推论1、2与公理1，这些都是很简单的道理，但是能够运用起来，却不是那么容易，做题时不要烦躁，理清线条，定理运用其实很简单!。

1960高考数学试题注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2=--<=-，则A x x x B{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。