数学课堂教学中研究性学习的探讨
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数学课堂教学中研究性学习的探讨
［摘要］：本文从数学课堂教学的角度出发，以学生提出的好问题作为研究题材，以实验为研究手段，以探究性作业为研究载体，为学生创设研究范围，对数学研究性学习内容的设计的初步探讨。
［关键词］：研究性学习；课堂教学；探究。
研究性学习，目前在全国已经大面积铺升。
新编教材中，也设置了这方面内容，但声势虽大，层次却较浅，教师们对研究性学习一般没有较深的认识，很多人只把教材中的研究性学习的内容和实习作为应用题讲一下，缺少真正意义上的探索，难免有一些附和的形式，实质上，研究性学习是一种教学理念，是一种以学生的研究活动为中心的开放式学习。
要落实数学研究性学习，应做到两个方面：一是课内，二是课外，课内与课外的研究互相补充，以课内为主渠道，课外是课内的拓展，在此，本人结合自己的教学与学习的实践，仅仅从课堂教学的角度出发，对数学研究性学习内容的设计作几点初步的探讨。
一、以学生提出的好问题作为研究题材
无论从创新教育的角度，还是从研究性学习的角度来看，学生提出问题的能力都是极其重要的方面，也是落实素质教育的重要切入口与突破口，“提出一个问题比解决一个问题更重要”。
这是科学巨匠爱因斯坦的切身体验和对科学的领悟与概括。
能提出问题的学生多数是有发展前途的学生，皑所以我们在教学中要创设问题情境，引导学生提出有价值的好问题，在教学实践中看到：确实有些学生提出的问题闪耀智慧的火花，具有可研究的价值。
则这样的好问题将是难能可贵的研究题材。
学生对自己提出的问题进行研究，更有兴趣，更能体验到成就感，所以在课堂教学中不能放弃这种研究性学习的机遇。
案例1已知sinθ＋cosθ＝－，θ（0，π），求tanθ。
学生给出了自己的解法：将sinθ＋cosθ＝－，两边同时平方得：2sinθcosθ＝－，即sin2θ＝－，由万能公式得＝－，解之得，tanθ＝－，或tanθ＝－，因为2sinθcosθ＝－（0，所以tanθ的值为－或－，学生一看正确答案，竟是－，顿时迷惑不解了。
便问老师：“错在哪里？”这时，
当做了一定数量这类问题后，容易产生一个猜想：如果a＋b 是有理系数一元n次方程的根，那么a－b 是否也必定是该方程的根？（其中a，b，c是有理
数，b≠0，是无理数。
）
联想是由一个事物想到与其相关的另一个事物，或者由此再想起其他事物的思维过程。
数学活动中常见的联想有：运动变化的联想，由特殊到一般、由具体到抽象、由简单到复杂、由一元到多元、由低次到高次的联想，类比联想，逆向联想等等。
可举例的例子很多，略举两例。
案例3（勾股定理引起的联想）如果我们分别以直角三角形的斜边和两条直角边的长为边，向三角形外作正方形，那么勾股定理形象地表示为：
斜边上正方形的面积＝两条直角边上正方形的面积的和。
根据这个直观图象，我们容易产生如下联想：
1）以直角三角形的三边向外作正三角形，有类似的结果吗？
2）以直角三角形的三边向外作正多边形，结果将如何？
3）以直角三角形的三边为对应边，向外作三个分别相似的n边形，结果又将如何？另外，勾股定理可表示为：a2＋b2＝c2。
我们还可以作如下联想：4）改变边长的幂次，问an＋bn与cn谁大谁小？
5）再考虑空间的情形，设长方体的三条棱长为a，b，c，对角线长为d，那么an＋bn＋cn与dn有什么关系？
6）进一步考虑K维的情形，设a12＋a22＋…＋ak2＝d2，问a1n＋a2n＋…＋akn与dn有什么关系？
案例4我们知道，对于二次曲线来说，当离心率e＜1时是椭圆，e＞1时是双曲线，e＝1时是抛物线，由此可见，二次曲线的形状与离心率关系极大，离心率的变化会引起曲线形状起较大的变化。
现在通过逆向联想，我们提出研究课题：当离心率e保持不变时，曲线的形状会不会变化？
二、让学生对资料、教材与老师的讲授积极地发表意见，创设研究氛围
教材是教师教的依据，也是学生学习的线索，教材是众多专家心血的结晶，它的权威性是无可非议的，但受篇幅所限，不可能面面俱到，总存在着发散与拓展之处或不完美之处，因此，学生学习教材时，必须以研究的眼光去看教材，可以对某个定理与某些公式法则的证明方法提出异议，可以对某一个习题、例题进行拓展（包括推广、应用、扩散、变式等）。
这就是很好的研究题材。
案例5证明：如果a，b，cR，那么a3＋b3＋c3≥3abc（当且仅当a＝b＝c时取“＝”）（教材上的定理）。
教材上是用差比法证明的，其中，因式分解技巧较高，思考难度较大，对此可鼓励学生发表意见。
追求新的证法，于是就产生了个研究课题，后来从学生中收集到了如下证法。
证法1因为a3+b3≥ab2+a2b，b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2三式相加得：
2(a3+b3+c3)≥ab2+a2b+b2c+bc2+a2c+ac2即2(a3+b3+c3)≥(ab2+ac2)+(a2b+bc2)+(b2c+a2c)
+(b2c+a2c)≥2abc+2abc+2abc，即a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)
证法2(a2＋b2)(a＋b)+(b2+c2)(b+c)+(a2+c2)(a+c)=2(a3+b3+c3)+ ab2+a2b+ b2c
+bc2+a2c+ac2
而(a2＋b2)(a＋b)+(b2+c2)(b+c)+(a2+c2)(a+c)≥2ab(a＋b)+2bc(b+c)+
2ca(c+a)=2a2b+2ab2+2b2c+2bc2+2c2a+2ca2
所以2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2≥6abc
所以a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)
证法32(a3+b3+c3)=a3+b3+b3+c3+c3+a3=(a＋b)(a2-ab＋b2)+(b+c)(b2-bc+c2)
+(c+a)(c2-ca+a2)≥(a＋b)(2ab-ab)+(b+c)(2bc-bc)+(c+a)(2ca-ca)=
a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2≥6abc
所以a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)
证法4a3+b3+c3+abc≥4 =4abc
所以a3+b3+c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)
市场上流行的学习辅导资料中，多数都有疏漏之处，都存在着这样或那样的质量问题，所以学生学习时，必须具有质疑与批判的精神，才能收到良好的学习效果。
对某些隐蔽性错误，需让学生深入地研究才能洞察到，我在教学中的做法是：教师不急于纠正资料上的错误，而是让学生主动研究发掘它，对那些通过研究分析而发现了错误的同学，大张旗鼓地激励，培养了他们的质疑精神。
三、让探究性作业进入课堂，提供研究载体
学生作业是教学的重要环节之一。
因此，在设计和精选作业题时，可以适量布置一些具有探究性的作业，以作业为载体，贯穿研究性学习。
这种作业不能太难，让大部分学生经过少量时间的探究可以完成。
对这类作业要求具有开放性、探索性、挑战性、专题性、实践性与某些特征。
对一个没有结论的开放题，要求学生通过探究，发现结论，在进行一定拓展，这就是一种研究学习，探索一道题的多种解法，同样具有研究特征，作一个小课题或实习作业都是研究性学习的重要方式。
