多小波变换的理论及其在图像处理中的应用

综 述多小波变换的理论及其在图像处理中的应用Ξ高西奇　甘　露　邹采荣(东南大学无线电工程系　南京210096)摘　要　本文综述了多小波变换理论及其在图像处理方面的应用,并展望了它今后的发展。

我们的图像编码实验表明充分利用多小波变换的特点可以提高图像编码的性能。

关键词　多小波变换　矢值滤波器组　图像编码　图像去噪分类号　TN 911.7M ultiwavelet :Theory and Its Applicationi n I mage Processi ngGao X iqi Gan L u Zou Cairong(D ep t of R adi o Eng ,Southeast U niv ,N anjing 210096)Abstract In th is paper ,w e review the m ulti w avelet theo ry and its app licati on in i m age p rocess 2ing ,and po int out som e interesting issues in future research .O ur i m age coding experi m ental resultsshow that the i m age coding perfo r m ances can be i m p roved by tak ing advantage of the m ulti w avelettransfo r m .Key words m ulti w avelet ,m ultifilter bank s ,i m age coding ,i m age deno ising1　引言 作为80年代末期出现的时频分析工具,小波变换在图像处理的领域里获得了广泛的应用。

例如,与传统DCT 编码相比,小波零树编码方案[1～2]既克服了方块效应,又在低比特率下能够获得较好的图像主观质量,这导致新的JPEG 2000标准将选用小波变换来代替DCT 变换。

而在图像去噪方面,基于小波变换的算法能达到最大均方误差最小意义上的最优效果,获得光滑的图像,这却是经典图像去噪方法难以做到的[3～4]。

众所周知,在图像处理的实际应用中,正交性能保持能量;而对称性(线性相位)既适合于人眼的视觉系统,又使信号在边界易于处理,所以,分析工具同时拥有这两种性质是十分重要的。

可是,实数域中,紧支、对称、正交的非平凡单小波是不存在的,这使人们不得不在正交性与对称性之间进行折衷。

为了弥补上述不足,Goodm an 等提出多小波的概念[5],其基本思想是将单小波中由单个1999年11月第20卷　第11期通　信　学　报JOU RNAL O F CH I NA I N ST ITU T E O F COMM UN I CA T I ON S V o l .20N o.11N ovem ber 1999Ξ国家自然科学基金(批准号:69702007)和江苏省自然科学基金(批准号:BK 97010)资助项目高西奇:东南大学无线电工程系副教授,博士甘　露:东南大学无线电工程系硕士生邹采荣:东南大学无线电工程系教授,博士生导师尺度函数生成的多分辨分析空间,扩展为由多个尺度函数生成,以此来获得更大的自由度。

1994年,Geron i m o ,H ardin 和M assopu s 构造了著名的GHM 多小波[6～7]。

它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性,又克服了单小波的缺陷,将实际应用中十分重要的光滑性、紧支性、对称性、正交性完美地结合在一起。

与此同时,在信号处理领域,人们将传统的滤波器组推广至矢值滤波器组、块滤波器组[8～9],初步形成了矢值滤波器组的理论体系,并建立了它和多小波变换的关系。

矢值滤波器组中处理的对象是矢值信号,在去除矢量之间相关性的同时,它保持矢量内部的相关性,所以它更适合于矢量量化。

作为矢值滤波器组的特例——矢值变换,已被证明在图像压缩中是十分有效的[10]。

为此,研究者们认为,多小波和矢值滤波器组具有相当的应用价值。

多小波在理论上所表现出来的优势以及它在应用领域所具有的潜力,使其受到高度重视。

在它诞生的短短几年时间内,从理论方面,多小波的构造[11～16]、多小波变换实现中,预滤波器的设计[12,17～18]及信号的边界处理[12,19]正迅速成为新的研究热点,而对它在图像处理方面的应用,人们正进行积极探索,并在静止图像编码[12,19～21]、图像去噪[22～23]两方面取得了一定的成果。

本文对多小波变换这一新兴理论及其在图像处理中的应用进行综述。

文章首先简要介绍了多小波变换的基本概念并回顾了多小波的构造方法;接着,阐述在实现多小波变换时预滤波和信号的对称扩展两个重要问题;然后,总结多小波变换在图像压缩和图像去噪方面应用的最新进展;最后,展望多小波研究的发展方向。

2　多小波变换 多小波与单小波的区别在于[5～7]:多小波基是由多个小波母函数经过伸缩平移生成,相应地有多个尺度函数,而在单小波中,仅有一个。

在多分辨分析中,设V -1<V 0<V 1<…<V j …,且 ∪∞j =-∞V j =L 2(R );∩∞j =-∞V j ={0}则多小波中,V 0由r 个尺度函数的平移<0(t -k ),<1(t -k ),…,<r -1(t -k )生成。

另外,令V 1=V 0 W 0,与<0(t ),<1(t ),…<r -1(t )相应的r 个小波函数70(t ),71(t ),…7r -1(t )构成子空间W 0的基。

如果记5(t )=[<0(t ),<1(t ),...<r -1(t )]T ,7(t )=[70(t ),71(t ), (7)r -1(t )]T 。

则5(t )、7(t )满足下列二尺度方程5(t )=2∑N -1k =0H k 5(2t -k )(1)7(t )=2∑N -1k =0G k5(2t -k )(2)以上两式中,H k 、G k 为r ×r 的常数矩阵。

从信号处理的角度看,H δ(Ξ)=∑k H k e -j Ξk 、G δ(Ξ)=∑k G k e -j Ξk 是与尺度函数和小波函数对应的矢值滤波器。

其次,如果5(t )满足<<i (・-k ),<j(・-l )>=∆i ,j ∆k ,l (0Φi ,j Φr -1),其中,<f ,g >=∫f g ,则称5(t )为正交多尺度函数。

同时,若<7i ( -k ),7j ( -l )>=∆i ,j ∆k ,l ,且<7i ( -k ),<j ( -l )>=0,那么W 0⊥V 0,{7i ( -k ),k ∈Z ,i =0,…,r -1}构成W 0的一组正交基。

和单小波中类似,对于Πf (t )∈・65・通　信　学　报1999年V 0,可分解为f (t )=∑k ∈Z C (0)k 5(t -k )=∑k ∈Z C (J 0)T k 2J 0 25(2J 0t -k )+∑J 0Φj <0∑k ∈Z D (j )T k 2j 27(2j t -k )(3)这里C (j )k =[c (j )0,k ,c (j )1,k ……c (j )r -1,k ]T ,D (j )k =[d (j )0,k ,d (j )1,k ……d (j )r -1,k ]T (4)将正交单小波中的分析与合成算法推广至正交多小波,可以得到:分析过程C (j -1)k =∑N -1n =0H n C (j )2k +nD (j -1)k =∑N -1n =0G nC (j )2k +n j ,k ∈Z (5)合成过程 C (j )n =∑k H T n +2k C (j -1)k +∑k G T n +2kD (j -1)k (6)3　多小波的构造 多小波的构造通常可转化为r ×r 的矢值滤波器矩阵系数{H k ,G k }N -1k =0的求解。

与单小波相比,一方面,矩阵中元素的增多,提供了更大的自由度与灵活性,使得相应的尺度函数小波函数可同时满足对称性和正交性。

另一方面,由于矩阵中的运算要比实数中繁琐,这又使得多小波的构造明显比单小波困难。

著名的GHM 多小波[6,7]是由Geron i m o 等人采用复杂的分形插值(fractral in terpo lati on )方法得到的。

接着,Strela 等[11～12]给出用二尺度相似变换法来构造光滑、紧支、正交、对称的尺度函数和小波函数的具体步骤。

而R ieder [13]则研究了如何把多小波的构造转化为线性方程组的求解问题。

随后,从实际应用的角度出发,L eb run 等[14]提出“平衡”这一新概念,并给出了设计平衡多小波的初步方法。

所谓“平衡”,是指[1　…　1]T 为H δ(Ξ)的特征向量。

这样,常数矢量信号通过H δ(Ξ)后仍为常数信号,这一性质在图像处理的应用中相当重要。

另外,J iang [15]引入了多小波的时频分辨率概念及计算方法,并以尺度函数与小波函数时频分辨率之和最小为目标,构造了r =2时,长度N =3,…,7的对称——反对称多小波。

这使得多小波的构造有了较好的准则,也为以后的研究奠定了基础。

可是,上述研究都未能得出构造多小波简单和易行的方法。

值得一提的是,最近,J iang 通过直接分解矢值滤波器组的多相元素矩阵,对r =2时两类特殊的多小波,平衡多小波和对称 反对称多小波给出完备的参数化设计方法[16]。

这一结果对多小波构造方面的发展起到积极的推动作用。

然而,对于其它类型线性相位正交多小波的设计,亟待进一步的探索与完善。

4　离散多小波变换的实现4.1　预滤波 离散单小波中,M allat 分解算法已为其实现提供了良好的框架。

而在用矢值滤波器组来实现多小波变换时,首先需对原始的标量输入信号f (n )进行临界采样,得到矢量x (k )=[f (rk )…f (rk +r -1)]T 。

然后,让x (k )通过r ×r 的预滤波器Q (Ξ),获得用于多小波分解的初始矢量信号C (0)k 。

相应地,在进行反变换后,要加后滤波器P (Ξ),将C (0)k 还原为f (n )。

在不平衡多小波中,如直接取Q (Ξ)=I r ×r ,则即使输入端是平稳的常数信号,经多小波分解运算后,输出端得到的将是有起伏的信号,对于图像压缩来说,这将变得十分不利[14]。

因此,预滤波器・75・第11期高西奇等:多小波变换的理论及其在图像处理中的应用的设计是多小波中特有的问题。