3.2一元二次方程的解法(3)

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一元二次方程的解法三

九年级上期数学复习学案---一元二次方程的解法（三）知识点归纳：因式分解法求解一元二次方程。

重难点：1．会用因式分解法解某些一元二次方程．2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．考点：因式分解法求解一元二次方程因式分解法定义：若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．例题讲解：例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6．(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3． (3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0．∴x 1＝0，x 2＝23．说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0； (3)3x 2＝4x ＋1； (4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．对应练习：1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0；(3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12；(6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；(3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；(5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)； (6)(3－y)2＋y2＝9；拓展练习1、已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值2、已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值．。

3-2一元二次方程的解法

3.2一元二次方程的解法（1）第一课时【目标导航】1、了解形如x 2＝a(a≥0)或(x ＋h)2＝ k(k≥0)的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法2、理解直接开平方法与平方根的定义的关系，会用直接开平方法解一元二次方程一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！1、3的平方根是；0的平方根是；—4的平方根。

2、一元二次方程x 2＝4的解是。

二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！3、方程的解为（）036)5(2=--x A 、0 B 、1 C 、2 D 、以上均不对4、已知一元二次方程，若方程有解，则必须（）)0(02≠=+m n mx A 、n ＝0 B 、n ＝0或m ，n 异号 C 、n 是m 的整数倍 D 、m ，n 同号5、方程(1)x 2＝2的解是； (2)x 2＝0的解是。

6、解下列方程：(1)4x 2－1＝0 ； (2)3x 2＋3＝0 ；(3)(x—1)2 ＝0 ； (4)(x ＋4)2 ＝ 9；7、解下列方程：(1)81(x—2)2＝16 ； (2)(2x ＋1)2＝25；8、解方程：(1) 4(2x ＋1)2—36＝0 ；(2)。

22)32()2(+=-x x 三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！9、用直接开平方法解方程（x ＋h ）2＝k ，方程必须满足的条件是（　）A ．k≥o B ．h≥o C ．hk ＞o D ．k ＜o 10、方程（1—x ）2＝2的根是（）A.—1、3B.1、—3C.1—、1＋D.—1、＋1222211、下列解方程的过程中，正确的是（）(1)x 2＝—2,解方程，得x ＝± 2(2)(x—2)2＝4,解方程，得x—2＝2,x ＝4(3)4(x—1)2＝9,解方程，得4(x—1)＝ ±3, x 1＝;x 2＝4741(4)(2x ＋3)2＝25,解方程，得2x ＋3＝±5, x 1＝ 1;x 2＝—412、（2010山东日照）如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是（A ）－3，2 （B ）3，—2（C ）2，－3（D ）2，3A13、（2010年四川省眉山）一元二次方程的解为___________________．2260x -=14、方程 (3x －1)2＝－5的解是。

23.2.3 一元二次方程的解法(3)

那么在方程两边同时加上的这个数有什么规律?
结论:在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方
师生合作 1
例2 用配方法解方程: (1) x2-6x-7=0
x 6 x 7.
2
(2)x2+3x+1=0
解: (1)移项，得
方程左边配方，得 x 2 2 x 3 32 7 32
(2)移项，得 3x 1 方程左边配方，得 x
2
2
即( x 3) 2 16
3 3 2 3 2 x 2 x ( ) 1 ( ) 2 2 2
所以x 3 4
原方程的解是 x1 7, x2 1
3 2 5 即( x ) 2 4
3 5 所以x 2 2
归纳
上面，我们把方程 x 2 4 x 3 0 变形为 ( x 2) 2 1 ，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？
1 x 3x 0 4 1 2 x 3x 4
3 2 5 (x ) 2 2
3 10 x2 3 10 x1 2 2
3 1 3 x 2 3x ( ) 2 ( ) 2 2 4 2
直接开平方，得所以
3 x 2
10 2
x
3 2
10 2
随堂练习2 用配方法解方程：（ 1） 2 x 2 2 (2 x ___) 2

一元二次方程的解法(3)配方法

2
2
得 p p2 4q
p p2 4q
x1
2
, x2
2
注：当系数为字母时,配方还是与数字系数一样的.
演练
一元二次方程的解法
(3) 12t +3 t 2 -2 = 0
解: t 2 4t 2
3 t 2 4t 4 4 2
3
t 22 14
3
t 2 42 3
6 42
6 42
例2 用配方法解下列方程：
一元二次方程的解法
(1) x2 -5x Ư
配方，得
x2
- 2x
5 2
5
2
2
1
5
2
2
即: (x
- 5 )2 2
21 4
开方，得 x
-
5 2
21 2
∴ x1
5 2
21 2
,x 2
5 2
21 2
温馨提示：配方的关键是在二次项系数为1的前提下，方程两边同时加上一次项系数一半的平方
一元二次方程的解法
例. 用配方法解方程:
一元二次方程的解法
x2 + px + q = 0 ( p 2 – 4q ≥ 0 )
解: 移项，得 x2 + px = -q
方程左边配方，得 x2 2 x p ( p )2 q p2
22
4
即
(x p )2 p2 4q
2
4
p
p2 4q
∴ x
1.方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1； 2.移项：把常数项移到方程的右边，使方程的左边为二次项和一次项；
3.配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x+b)2 =a的形式； 4.求解：若a≥0，则用直接开平方法来解，若a＜0, 则指出原方程无实数根。

3.2一元二次不等式及其解法课件人教新课标

(a>0)的根 x1, x2 (x1<x2)
x1=x2=
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2} {x|x≠
}
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
这张表是我们今后求解一元二次不等式的主要工具，必须熟练掌握，其关键是抓住相应的二次函数的图像。
且函数y＝x2＋x－2的图象开口向上，所以不等式x2＋x－2＜0的解集为(－2,1)．
全优50页基础夯实
3．设集合M＝{x|0≤x<2}，集合N＝{x|x2－2x－3<0}，
集合M∩N等于( B )
全优50页基础夯实
A．{x|0≤x<1}
B．{x|0≤x<2}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0≤x≤2}
即0<x<1.
1．解下列不等式： (1)x(3－x)≤x(x＋2)－1；(2)x2－2x＋3>0.
【解析】(1)原不等式可化为2x2－x－1≥0， ∴(2x＋1)(x－1)≥0.
| 故原不等式的解集为 x x≤－12或 x≥1 .
(2)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，故原不等式的解集是R.
想一想，当x取何值时，y 的值大于零？（或小于零？）
y
y
Om x
nO
x
当x m时y 0
当x m时y 0
当x n时y 0
当x n时y 0
一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系:

2.2一元二次方程的解法(3)(333公式法)1

用公式法解下列一元二次方程:
(1) 2x2 5x 3 0
(2) 4x2 1 4x
(3) 3 x2 2x 1 0
4
2
(4) x2 x 1 0
一元二次方程 ax2 bx c 0（a ≠0)
根的情况：
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实
数根；
当 b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数
当 b2 4ac 0 时，方程有实数根吗？
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0),
如果 b2 4ac 0,那么方程的两个根为 x b
b2 4ac 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式，
我们可以由一元二次方程的系数 a、b、c的值，直接
求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
若关于x的方程 x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n=-1或4 .
探索发现
一元二次方程 ax2 bx c 0（a ≠0)
X1=
X2=
1、从两根的代数式结构上有什么特点？
2、根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
用公式法解一元二次方程的步骤: 你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
1.变形:化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值; 4.代入:把有关数值代入计算;
x b b2 4ac (a 0,b2 4ac 0) 2a
5.定根:写出原方程的根.

3.2一元二次方程的解法教学案

一元二次方程的解法教学案一、学习目标知识与技能：1．使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程,在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。

2. 使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程。

过程与方法：在具体的解方程中理解配方法的实质，探求其规律性。

感情态度与价值观：在共同探究问题中学会学习，树立自信心。

二、学习重点1、使学生掌握配方法解一元二次方程。

2. 掌握一元二次方程的求根公式。

三、学习难点1、把一元二次方程转化为q p x =+2)(,2. 求根公式的推导. 四、学习过程（一）温故而知新：1、解下列方程，并说明解法的依据：（1）2321x -= （2）()2160x +-= （3） ()2210x --= 教师点评：通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：()()()2200x b b x a b b =≥-=≥和根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。

如()212x -=-1、请说出完全平方公式。

()()22222222x a x ax a x a x ax a+=++-=-+。

（二）探究过程一：活动一：自主探究，合作交流试一试：1、解下列方程：2x ＋2x ＝5；（2）2x －4x ＋3＝0.思考:能否经过适当变形，将它们转化为()2= a 的形式，应用直接开方法求解？解:（1）原方程化为2x ＋2x ＋1＝6，（方程两边同时加上1）_____________________,_____________________,_____________________.（2）原方程化为2x －4x ＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4）_____________________,_____________________,_____________________.活动二：探索新知归纳：上面，我们把方程2x －4x ＋3＝0变形为()22x -＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

一元二次不等式的解法(第三课时)

题型与解法
（二）二次不等式的恒成立例1 已知关于x下列不等式： (a-2)x2 + (a-2)x +1 恒为非负 ∈R都成立 ≥0对任意x ≥ 0恒成立， ≥0的解集为R 试求a的取值范围. 解：令y=(a-2)x2 + (a-2)x +1,
①当a=2时，y=1符合题意； ②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；
解： (3) ∵两根都小于1,
0 m 1 2 f (1) 0
m 6或m 2 即 m 2 2 m 4 0
x=m/2
x1
x2 1
∴ m≤ -6.
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|m≤-6}.
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
0 f (0) 0
m 6或m 2 即 t;3.
x2
∴ 所求实数m的取值集合为：{m|m>3}.
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值的集合： (3)两根都小于1;
题型与解法
（一）含参数的二次不等式例5 解关于x下列不等式：a2x2 – ax – 2 >0.
例6 解关于x下列不等式：x2 +ax +4 >0.
例7 解关于x下列不等式：ax2 – (a+1)x +1 >0.
题型与解法
归纳小结（一）含参数的二次不等式解含参的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a∈R), 把讨论对象逐级讨论，逐步解决。
一元二次不等式的解法
（第三课时）
含参数的不等式

一元二次方程的解法3种

x 2 a 0(a 0) ( x a ) b
2 2
(ax c) d (d 0, a 0)
2
（1）
3、填空： 2
（2）（3）
（4）
（5）
25 5 2 2 x 5 x __ x 2 _ 4 4 2 2 4 2 x x __ x __ 9 3 3 9 3 2 3 2 x x __ x __ 64 8 4 2 p p 2 x px __ x __ 2 4
2 2
基础练习补充：
2、用配方法解下列方程：
1 x 6 x 8 0 2 24 10 x x 2 2 3 x 15 8 x 4 2 x 990 x
2 2
2
1 1 2 5 x x 2 0 6 x 2 x 1 0 3 2
用配方法解一元二次方程 x 2 x 24 0
2
配方的过程可以用拼图直观地表示。
直观感受配方
x 2 2 x 24 0
x( x 2) 24
x
24
x
1 1 X 1
X+2 x x
1
25
12
小结
1、两种解法：
（1）直接开平方法；（2）配方法. 2、整体的数学思想.
基础练习补充：
系数化为1，移项，配方，开方，求解，定根
书P34
解下列方程：（1）x 0.6 x 0.16 0
2 2
（2）x 2 5 x 4 0
直接开平方法
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0)
或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)

探究一元二次方程的解法(三)

（1）2x2-9x+8=0; （2）9x2+6x+1=0; （3）16x2+8x=3.
不解方程，试判断下列方程的根的情况:
1) 2 x x 2 0;
2
1 2 2) x x 1 0; 4 2 3) x x 1 0.
4)4 y 1 4 y
2
例：不解方程，判别关于
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
b
2
4ac 叫做方程根的判别式，
常用希腊字母△表示它，即△＝
b
2
4ac
它的作用是：判定一元二次方程方程根的情况
b b 2 4ac x 2a
例 1 解方程： x 2 7 x 18 0 解：
a 1 b 7 c 18
2 2
x的方程
2
x 2 2kx k 0 的根的情况.
分析：a 1 b 2 2k
解： 2 2k 4 1 k

2
ck
2
2
2
8k 4k 4k
2 2
∵ k2
0, 4k 0，即 0,
方程有两个实数根.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有
试求以下一元二次方程的解？
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
(a≠0)
对于 ax
2
bx c 0 (a≠0)
方程有两个不等的实数根
(1)b 4ac 0,
2
x x
1
b b
b
2
4ac 4ac

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3.2 一元二次方程的解法（3）
【学习目标】:
1、会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程
2、经历探究将一般一元二次方程化成（)0()2≥=+n n m x 形式的过程，
进一步理解配方法的意义
3、在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。

【重点和难点】：
重点：掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
难点：把一元二次方程转化为的（x ＋m ）2= n （n ≥0）形式
【知识回顾】
1、用配方法解方程：
x 2-6x-16=0；
2、方程x 2-25
x+1=0与方程2x 2-5x+2=0有什么关系？
【预习指导】
如何解方程2x 2-5x+2=0？
点拨：对于二次项系数不为1的一元二次方程，我们可以先将两
边同时除以二次项系数，再利用配方法求解
【典型例题】
例1、解方程：01832=++x x
例2、-01432=++x x
例3、一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h （m ）与抛出
后小球运动的时间t （s ）有如下关系：h=24t-52t 。

经过多少时间后，
小球在上抛点的距离是16m ？
【知识梳理】
用配方法解一元二次方程的步骤是：
【课堂练习】
1、填空：
(1)x 2-31x+ =(x- )2, (2)2x 2-3x+ =2(x- )2.
（3）a 2+b 2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )
2
2、用配方法解一元二次方程2x 2-5x-8=0的步骤中第一步
是。

3、方程2(x+4)2-10=0的根是 .
4、用配方法解方程2x 2-4x+3=0，配方正确的是（）
A.2x 2-4x+4=3+4
B. 2x 2-4x+4=-3+4
C.x 2-2x+1=23+1
D. x 2-2x+1=-2
3+1 5、用配方法解下列方程：
（1）04722=--t t ；（2）x x 6132=-
（3）x x 10152=+ （
4） 3y 2-y-2=0
6、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.
【课外练习】
1、解下列方程：
（1）22x -8x+1=0；（2）212x +2x-1=0；
（3）22x +3x=0；（4）32x -1=6x
2、用配方法解关于x 的方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0且240b ac -≥）。