立体几何大题练习题答案

立体几何试题一．选择题（每题4分，共40分）1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等A 1B 2C 3D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ）A 平行B 相交C 在平面内D 平行或在平面内4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( )A 平行B 垂直相交C 异面D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ）A 0个B 1个C 无数个D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥⊂ B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=⊂ D ,//,//m n m n αβ⊥10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二．填空题（每题4分，共16分）11.已知∆ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有_____________条13.一块西瓜切3刀最多能切_________块14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________三、 解答题15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形1111ABCD A B C D -的棱1AA 和棱1CC 上的点，且1AE C F =。

A BCDEFGH I J立体几何一、选择题1. 给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等，则12,l l 互相平行；④若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线。

其中假命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是（ ） A ．22B ．21C ．43D ．43 3. 一个长方体一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体对角线的长为（ ）A ．23B ．32C ．6D ．64. 如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点.将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．0°5. 两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长 为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个6. 正方体A ′B ′C ′D ′—ABCD 的棱长为a ，EF 在AB 上滑动，且|EF |=b （b ＜a ＝，Q 点在D ′C ′上滑动，则四面体A ′—EFQ 的体积（ ） A ．与E 、F 位置有关 B ．与Q 位置有关 C ．与E 、F 、Q 位置都有关 D ．与E 、F 、Q 位置均无关，是定值7. 三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3，PO=214，则P 到这三个平面的距离分别是（ ） A ．1，2，3 B ．2，4，6 C ．1，4，6 D ．3，6，98. 如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1， S 2，则必有（ ） A ．S 1<S 2 B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定 9. 条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形，条件乙：这个四棱锥是正四棱锥，则条件甲是条件乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10. 已知棱锥的顶点为P ，P 在底面上的射影为O ，PO=a ，现用平行于底面的平面去截这个棱锥，截面交PO 于点M ，并使截得的两部分侧面积相等，设OM=b ，则a 与b 的关系是（ ）CC ．b =222a- D ．b =222a+ 11. 已知向量a =(2，4，x)，b =(2，y ，2)，若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是 ( )12. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是( )A.12πB. 18πC.36πD. 6π13. 已知某个几何体的三视图如下,图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是( ) A ．34000cm 3 B ．38000cmC ．32000cm D．34000cm14. 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )A.1200B.1500 C.1800 D.240015. 在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )16. 正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BB 1=4.长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R –PQMN 的体积是( ) A ．6 B ．10 C ．12 D ．不确定17. 已知三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两互相垂直，OC ＝1，OA ＝x ，OB ＝y ，若x+y=4，则已知三棱锥O －ABC 体积的最大值是 ( )A.1B.13 C.23 D.318. 如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ( ) A ．①③ B ．②③④ C ．③④ D ．②④19. S,那么圆柱的体积等于 ( ) A.S 2S B.πS 2S C.S 4SD.πS 4S 20. 已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB=2，CD=1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为 ( )A ．300B ．450C ．600D ．750(1,1,0)a = (1,0,2)b =- 正视图 侧视图 B A D C A BC DA 1B 1C 1D 1P Q R NM ① ② ③ ④A B C ∙∙∙EF GA B C DA 1B 1C 1D 1 αA A ．1 B ．51 C ．53 D ．57 22. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有 ( )A.4个B.2个C.3个D.1个23. 三棱锥A-BCD 中，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是( )A.菱形B.矩形C.梯形D.正方形24. 在正四面体P —ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）A.BC//平面PDFB.DF ⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC25. 一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积的比为1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（ ）A.1：3B.1：2C.1： 3D.1： 3 —126. 正四面体P —ABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为（ ）A. 3 2B. 3 6C. 3 4D. 3 327. 一个三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为1， 6 ,3已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A.16π B.32π C.36π D.64π28. 在棱长为a 的正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 、Q 是对角线A 1C 上的点，PQ=a2,则三棱锥P —BDQ的体积为（ ） A.318a 3 B.324a 3 C.336a 3 D.不确定 29. 若三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则P 到平面ABC 的距离为（ ）A. 6 6B. 6 3C. 3 6D. 3 330. 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）A. 3 +2 6 3B.2+2 6 3C.4+ 2 6 3D.4 3 +2 6 331. PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A.12 B. 2 2 C. 3 3 D. 6 332. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，任作平面α与对角线AC 1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，设得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则( ) A.S 为定值，l 不为定值 B.S 不为定值，l 为定值 C.S 与l 均为定值 D.S 与l 均不为定值二、填空题33. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=______．34. 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1，2和4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：（ ）①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号）35. 如图，已知正三棱柱111ABC ABC -的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为.36. 如图,表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有_____对37. 如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的 多面体的三视图，在这个多面体中，AB=4,BC=6, CC 1=3.则这个多面体的体积为 .38. 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等D 是A 1C 1的 中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为_______ ． 39. 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1，P是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是_________． 40. 已知平面α和平面β交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 ___________ ．41. 若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则三角形的面积S= 12r (a+b+c ) ,根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V=______________．42. 四面体ABCD 中，有如下命题：①若AC ⊥BD ，AB ⊥CD ，则AD ⊥BC ；②若E 、F 、G 分别是BC 、AB 、CD 的中点，则∠FEG 的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在面ABD 上的射影为△ABD 的外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD 为正四面体 _ （填上所有正确命题的序号）． 三、解答题43. 在长方体1111D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.44. 如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。

PE BC9分立 体 几 何 大 题 专 练1、如图，已知PA ^矩形ABCD 所在平面，M N 分别为AB PC 的中点;(1) 26证明,1》取FD 的中点匚连AE.NE* 丁 W 是PC 的中点.・；NEX^CP r S' * S -F >又四边形ABCD 为矩带且XI 是tU 中工A 儿寺CD 星MA * (3):* ME 基MA,即四边形MAEN 是平行佃询 ................................ 41 A MN^AE . (5)』由于AEU 平面PAD’MNE 平面PAD, 二 MN"平面 PAD,.6’ (2)V PA 丄平面 ABCD,ZPDA-45%APAD 是尊腰三角常磁AE J PD 8* 由题蠹.CD 丄AD t CD 丄卩A* :.CD 丄平面 PAD. .■….io*从而AE 丄CD, ir :、AE 丄平面PCD,故 丄平面FVD . ...... 1FMN 严*⑴设■【：的方程为(x-aJ'+Cy-bP-?f2a4 b —0t P ABC E,F AC, BC EF // PAB PAC ABC PA PC ABC 90 PEF PBC EF Q E F AC BC EF // AB ............................ 2 分又EF 平面PAB , AB 平面PAB , EF//平面PAB .......................... 5 分(2) Q PA PC , E 为 AC 的中点, PE AC又Q 平面PAC 平面ABCPE 面 ABC又因为F为BC的中点，Q ABC 90°, BC EF ............................................ 10 分BC 面PEF .................................. 11 分又Q BC 面PBC面PBC 面PEF .................................. 12分3.如图，在直三棱柱ABC—ABQ中，AC=BC点D是AB的中点(1) 求证:BGPA 矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PCMN //平面PAD MN CD图，正方形ABCD所在的平面与三角形A D E所在平面互相垂直，AAEE是等腰直角三角形，且AE = E D段BC AE的中点分别为F、M，求证：(1) FM //平面ECD ; (2) 求二面角E-BD — A的正切值.(1)证明：取AD的中点N,连结FN,M“贝卩MIN/ ED，FN// CD•••平面FM/平面ECD.••• MF 在平面FMN内,••• FM //平面ECD ……5分(2)连接EN, T AE=ED N为AD的中点，••• EN 丄AD. 设线B F L又•••面 ADEL 面 ABCD 二 EN L 面 ABCD. 作 NP L BD,连接 EP,贝V EP L BD •••/ EPN 即二面角E-BD-A 的平面角，设AD=a,v ABCD 为正方形，/ ADE 为等腰三角形，二EN=1a,NP^2a.24••• tan / EPN=2 ........ 10 分7.如图，一个圆锥的底面半径为 2cm 高为6cm,其中有一个高为X cm 的内接圆23cm 时，它的侧面积最大为 6 cm ……10 分8. (10 分) ABC 中，/ PAB 是等边三角形，/ PAC W PBC=90 0.(1) 证明：AB 丄PC;(2) 若PC 4,且平面PAC 丄平面PBC ，求三棱锥P ABC 体积.解：(1)因为 PAB 是等边三角形， PAC PBC 90(1)试用X 表示圆柱的侧面积;(2)当X 为何值时，圆柱的侧面积最大•19. (1)解：设所求的圆柱的底面半径为 r'柱侧2 rx 2 (2x3 *x)x 4 x 3—x 2 .……5 3(2)由 (1)知当3时，这个二次函数有最大值为-6所以当圆柱的高为 如图，在三棱锥P所以Rt PBC Rt PAC ,可得AC BC。

第7章 立体几何习题练习9.1.11、判断题，下列语句说法正确的打“√”，错误的打“Χ”（1）一个平面长是4cm ，宽是2cm （ ）；（2）10个平面重叠在一起比5个平面重叠在一起要厚（ ）；（3）一个平面将空间分成两部分（ ）。

2、选择题（每题只有一个正确答案）（1）以下命题中，正确的个数是（ ）①平面是没有边界且光滑的图形，②四条线段首首尾连接，所得图形一定是平面图形，③画两个相交平面时，一定要画出交线。

A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（2）下列说法中，正确的是（ ）A ．教室里的黑板面就是平面 B ．过一条直线的平面只有1个C ．一条线段在一个平面内，这条线段的延长线可以不在这个平面内D ．平面是没有厚薄之分的3、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，请表示出该图形的6个平面（要求用各面的四个顶点来表示）参考答案：1、（1）Χ（2）Χ（3）√2、（1）C （2）D3、平面ABCD ，平面A 1B 1C 1D 1，平面ADD 1 A 1，平面BCC 1 B 1，平面ABB 1 A 1，平面D CC 1D 1练习9.1.21、选择题（每题只有一个正确答案）（1）下列说法中有错误的是（ ）①三个点可以确定一个平面，②若两个平面有一个公共点，则它们有无数多个公共点，③空间任意两条直线可以确定一个平面，④直线与直线外一点可以确定一个平面。

A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④（2）下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A ．三角形 B ．平行四边形 C ．四条线段首尾连接而成的四边形 D ．梯形（3）用符号表示语句“直线a ，b 相交于平面α内一点M”，正确的是（ ）A ． B ．,,a b M a b αα=⊆⊆ ,a b M M α=∈re go C ． D ．,,a b M a b ααα=∈ ØØ,,,M M a b a b ααα∈∈ ØØ2、用符号表示下列语句（1）点A 在直线a 上，直线a 在平面α内（2）平面β过直线b 及b 外一点M ，点N 在平面β外，直线c 过点M ，N 3、如图所示，对于长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，回答下列问题。

立体几何练习题及解答《立体几何练习题及解答》练习一：体积计算题目：一个正方体箱子的边长为3cm，请计算该正方体箱子的体积。

解答：正方体的体积计算公式为边长的立方，即V = a³，其中a为正方体的边长。

代入已知条件，正方体箱子的边长a = 3cm。

则体积V = 3³ = 27cm³。

所以该正方体箱子的体积为27cm³。

练习二：表面积计算题目：一个长方体的长为5cm，宽为3cm，高为4cm，请计算该长方体的表面积。

解答：长方体的表面积计算公式为2ab + 2bc + 2ac，其中a、b、c分别为长方体的三个边长。

代入已知条件，长方体的长a = 5cm，宽b = 3cm，高c = 4cm。

则表面积S = 2(5×3) + 2(3×4) + 2(5×4) = 30 + 24 + 40 = 94cm²。

所以该长方体的表面积为94cm²。

练习三：棱柱的体积计算题目：一个棱柱的底面为边长为5cm的正方形，高为8cm，请计算该棱柱的体积。

解答：棱柱的体积计算公式为底面积乘以高，即V = S × h，其中S为底面积，h为高度。

代入已知条件，棱柱的底面为正方形，边长a = 5cm，高度h = 8cm。

底面积S = a² = 5×5 = 25cm²。

则体积V = S × h = 25 × 8 = 200cm³。

所以该棱柱的体积为200cm³。

练习四：金字塔的体积计算题目：一个金字塔的底边是边长为6cm的正方形，高为10cm，请计算该金字塔的体积。

解答：金字塔的体积计算公式为底面积乘以高再除以3，即V = S ×h ÷ 3，其中S为底面积，h为高度。

代入已知条件，金字塔的底边为正方形，边长a = 6cm，高度h =10cm。

底面积S = a² = 6×6 = 36cm²。

高中数学立体几何高难度练习题及参考答案2023【题目1】已知立方体ABCDEFGH的棱长为a，M为AD的中点，N为BF的中点，P为MN的中点。

求证：四边形MNHP是一个矩形。

【解答1】根据题意，我们可以先求出MN的长度。

由于M为AD的中点，因此DM = a/2。

同理，BN = a/2。

根据勾股定理，可以得到三角形MND的斜边ND的长度：ND = √(MN² + DM²)= √(MN² + (a/2)²)根据三角形BNF的性质，可以得到BNF是一个等腰直角三角形，因此NF = BN = a/2。

同理，我们可以计算出FP的长度：FP = NF = a/2最后，我们可以比较四边形MNHP的对角线长度。

根据反证法，如果MNHP不是一个矩形，那么MN和HP的长度应该不相等，即MN ≠ HP。

假设MN > HP，即MN² > HP²由于HP = FP = a/2，我们可以得到：MN² > (a/2)²将MN²和(a/2)²的值代入，得到：(MN² + (a/2)²) > (a/2)²经过整理化简，可得：MN > a/2这与MN = a/2矛盾，因此假设成立。

同理，可以得出假设MN < HP亦不成立。

由以上推理可知，四边形MNHP是一个矩形。

证毕。

【题目2】在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知AB = 3，BC = 4，CA = 5，且AA'垂直于平面ABCD。

求证：A'B'² = 4² + 3² + 5²。

【解答2】根据题意，我们可以利用勾股定理和垂直平面的性质来解答此题。

首先，考虑三角形ABC。

由已知条件可知，它是一个直角三角形，且AB = 3，BC = 4，CA = 5。

CBAC1B1A1高三立体几何习题一、填空题1.已知AB是球O的一条直径，点1O是AB上一点，若14OO=，平面α过点1O且垂直AB，截得圆1O，当圆1O的面积为9π时，则球O的表面积是．【答案】100p2.把一个大金属球表面涂漆，共需油漆2.4公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆公斤．【答案】9.63.已知球的表面积为64π2cm，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm，则截面与球心的距离是cm【答案】234.一个圆锥与一个球体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为．【答案】4p5.一个底面置于水平面上的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为．【答案】4p6.如图所示：在直三棱柱111ABC A B C-中，AB BC⊥，1AB BC BB==，则平面11A B C与平面ABC所成的二面角的大小为．【答案】4π二、选择题1.如图，已知圆锥的底面半径为10r=，点Q为半圆弧AB的中点，点P为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为4π，则此圆锥的全面积与体积分别为（）A．100051006,3ππB．10005100(16),3ππ+C．100031003,3ππD．10003100(13),3ππ+【答案】B2.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）A．S圆＞S圆环 B．S圆＜S圆环 C．S圆=S圆环 D．不确定3.如图所示，PAB∆所在平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且ADα⊥，BCα⊥，4AD=，8BC=，6AB=，若tan2tan1ADP BCP∠-∠=，则动点P在平面α内的轨迹是（）A.线段B.椭圆的一部分C.抛物线D.双曲线的一部分PSAQOBβαPBADC【答案】D4.在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．若两直线,a b 与直线l 所成的角相等，那么//a bB ．空间不同的三点A 、B 、C 确定一个平面C. 如果直线//l 平面α且//l 平面β，那么//αβ D ．若直线a 与平面M 没有公共点，则直线//a 平面M 【答案】D5.如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △中，2,2,22BC AC AB ===，点P 是边AC 上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +的最大值为( ) (A) 2. (B) 22. (C) 15+. (D) 10. 【答案】C6.平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为（ ）)(A 平行 )(B 相交)(C 平行或重合 )(D 平行或相交 【答案】D7.a b c 、、表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ）A ．若//,//αa b a ，则//αbB ． 若,α⊥⊥a b b ，则α⊥aC ．若,⊥⊥a c b c ，则//a bD ．若,αα⊥⊥a b ，则//a b 【答案】D8.下列命题中，正确的个数是【 】① 直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行； ② a 、b 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个； ③ 直四棱柱是直平行六面体；④ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．A 、0B 、1C 、2D 、3 【答案】B9.在四棱锥ABCD V -中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11CD AB 的体积与四棱锥 ABCD V -的体积之比为（ ）A ．6:1B ．5:1C ．4:1D ．3:1【答案】C三、解答题1.（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动． （1）证明：11D E A D ⊥；（2）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4π． 【答案】解：（1）在如图所示的空间直角坐标系中，11(1,0,1),(0,0,0),(0,0,1)A D D设(1,,0)([0,2])E y y ∈ 则11(1,,1),(1,0,1)D E y DA =-=…所以110D E DA ⋅=……所以11D E A D ⊥……（2）方法一：设(,,)n u v w =为平面1D CE 的一个法向量 D 1 C 1A 1AE D B 1B C Oxy zABl CαNPO由1100n CD n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200v w u yv w -+=⎧⎨+-=⎩，所以(2)2u y vw v =-⎧⎨=⎩…因为二面角1D EC D --的大小为4π，所以2222(0,0,1)(,,)22cos||42(2)5u v w u v w y π⋅===++-+又[0,2]y ∈，所以23y =-，即当23AE =-时二面角1D EC D --的大小为4π2.（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动． （1）当E 为AB 的中点时，求四面体1E ACD -的体积； （2）证明：11D E A D ⊥． 【答案】解：（1）1122ACE S AE BC ∆=⋅=…因为1D D ACE⊥平面，所以1111136E ACD D ACEACE V V S D D --∆==⋅=… （2）正方形11ADD A 中，11A D AD ⊥……因为11AB ADD A ⊥平面，所以1AB A D ⊥…所以11A D AD E ⊥平面…所以11D E A D ⊥……3.三棱柱111C B A ABC -中，它的体积是315，底面ABC ∆中，090=∠BAC ，3,4==AC AB ,1B 在底面的射影是D ，且D 为BC 的中点．（1）求侧棱1BB 与底面ABC 所成角的大小；(7分) （2）求异面直线D B 1与1CA 所成角的大小．(6分)【答案】解：（1）依题意，⊥D B 1面ABC ，BD B 1∠就是侧棱1BB 与底面ABC 所成的角θ 2分111111431532ABC A B C ABC V S B D B D -∆=⋅=⨯⨯⨯=4分1532B D =5分计算25=BD ，θθtan 25tan 1==BD D B ， tan 3,3πθθ=∴= 7分 （2）取11C B 的中点E ，连E A EC 1,，则1ECA ∠（或其补角）为所求的异面直线的角的大小 9分 ⊥D B 1面ABC ，D B 1‖CE ，面ABC ‖面111C B A ⊥∴CE 面111C B A ，E A CE 1⊥∴ 11分33325tan 251===∠EC AE CE A 12分 所求异面直线D B 1与1CA 所成的角6π13分 D 1C 1A 1A EDB 1BC1A(第20题图）D 1C 1B 1BCDA 1A4.在如图所示的几何体中，四边形CDPQ 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，且90BAD ADC ∠=∠=，平面CDPQ ⊥平面ABCD ，112AB AD CD ===，2PD =.（1）若M 为PA 的中点，求证：AC //平面DMQ ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.【答案】解：（1）如图，设CP 与M 的交点为N ，连接MN ．易知点N 是CP 的中点，又M 为PA 的中点，故//AC MN ．…4分 于是，由MN ∉平面DMQ ，得//AC 平面DMQ ．……………6分（2）如图，以点D 为原点，分别以DA DB DC 、、为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)D A B C P ．易知1(0,1,0)n =为平面PAD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面PBC 的一个法向量． 则220220n BC x y n PC y z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩2x yz y =⎧⎪⇒⎨=⎪⎩，令1y =，得2(1,1,2)n =．…………………10分 设平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角为θ，则12121cos 2n n n n θ==，…………………12分 故平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为3π．………………………………………14分5.(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的 菱形，且60,BAD ∠=︒1 4.AA =（1）求直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积； （2）求异面直线11AD BA 与所成角的大小．【答案】解：（1）因菱形ABCD 的面积为2sin6023,AB ⋅︒= ……2分故直四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为：12348 3.ABCD S AA ⋅=⨯=底面……6分（2）连接111BC A C 、，易知11//BC AD ，故11A BC ∠等于异面直线11AD BA 与所成角. ……8分由已知，可得111125,23,A B BC AC === ……10分 则在11A BC ∆中，由余弦定理，得222111111117cos .210A B BC AC A BC A B BC +-∠==⋅……12分 故异面直线11AD BA 与所成角的大小为7cos.10arc……14分 6.（本题满分12分）本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，过11,,A C B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体111ABCD AC D -.（1）若11A C 的中点为1O ，求求异面直线1BO 与11A D 所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）求点D 到平面11A BC 的距离d ．【答案】解：(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点D(0,0,0)、(2,2,0)B 、1(0,0,3)D 、1(2,0,3)A 、1(0,2,3)C ．ABCQP D M CD1A 1C 1D由1O 是11A C 中点，可得1(1,1,3)O . 于是，111(1,1,3),(2,0,0)BO A D =--=-． 设异面直线1BO 与11A D 所成的角为θ，则111111211cos 11||||211BO A D BO A D θ⋅===．因此，异面直线1BO 与11A D 所成的角为11arccos 11． (2)设(,,)nx y z =是平面ABD 的法向量． ∴110,0.n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 又11(0,2,3),(2,0,3)BA BC =-=-，∴230,230.y z x z -+=⎧⎨-+=⎩ 取2z =， 可得3,3,2.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即平面11BA C 的一个法向量是(3,3,2)n =． ∴||n DB d n ⋅=62211=． 7.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的 一个角后，得到如下所示的几何体111ABCD AC D -．（1）求几何体111ABCD AC D -的体积，并画出该几何体的左视图(AB 平行主视图投影所在的平面)； （2）求异面直线1BC 与11A D 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】解：2AB BC ==，13AA =，左视图如右图所示． (2)依据题意，有11,A D AD AD BC ，即11A D BC ．∴1C BC ∠就是异面直线1BC 与11A D 所成的角． 又1C C BC ⊥，∴113tan 2C C C BC BC ∠==．∴异面直线1BC 与11A D 所成的角是3tan2arc ． 8. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ． （1）求四棱锥111A BCC B -的体积； （2）求二面角111C C A B --的大小．【答案】解：（1）因为AB ⊥BC ，三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，所以11AB BCC B ⊥， 从而11A B 是四棱锥111A BCC B -的高. ……………………………………2分 四棱锥111A BCC B -的体积为1822233V =⨯⨯⨯=…………………………4分 （2）如图（图略），建立空间直角坐标系．则A （2，0，0），C （0，2，0），A 1（2，0，2），B 1（0，0，2），C 1（0，2，2）， …………………………………………………6分 设AC 的中点为M ，,,1CC BM AC BM ⊥⊥)0,1,1(11=⊥∴BM C ，C A BM 即平面是平面A 1C 1C 的一个法向量．ABCD1A 1C 1D CBAC 1B 1A 1PSAQOB设平面A 1B 1C 的一个法向量是),,(z y x n =，)0,0,2(),2,2,2(11-=--=B A AC …8分 令z=1，解得x=0，y=1．)1,1,0(=∴n ， …………………………………………9分 设法向量n 与BM 的夹角为ϕ，二面角B 1—A 1C —C 1的大小为θ，显然θ为锐角．111.3B AC C π∴--二面角的大小为………………………………………………12分9. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，已知16AA =， 三棱柱111C B A ABC -的体积为183． （1）求正三棱柱111C B A ABC -的表面积； （2）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小.【答案】解：（1）因为三棱柱的体积为183，16AA =，从而23334ABC S BC ∆==， 因此23BC =. ………………………2分 该三棱柱的表面积为2+=63+363423ABC S S S ∆=⋅=全侧. ………4分（2）由（1）可知23BC =因为1CC //1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA 所成的角， ………8分 在Rt 1BC C ∆中，1233tan 63BC C ∠==， 所以1BC C ∠=6π. 异面直线1BC 与1AA 所成的角6π……………………………………………12分 10.如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若直线PQ 与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．【答案】解：取OA 的中点M ,连接PM ,又点P 为母线SA 的中点 所以//PM OS ，故MPQ ∠为PQ 与SO 所成的角．………………………2分在Rt MPQ △中，4MPQ π∠=，PM QM =，………………………4分由点Q 为半圆弧AB 的中点知 OQ AB ⊥，在Rt MOQ △中，10,555OQ OM MQ ==⇒=故55PM =，所以105OS =，=106SA ． ………………………8分 所以2S 100r ππ==底，101061006S r SA πππ=⋅=⨯⨯=侧………………10分1001006100(16)S S S πππ=+=+=+全底侧．…………………………………12分11.（本大题共有2个小题，满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面正方形ABCD 为边长为2，PA ⊥底面ABCD ， E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为2arctan 2．（1）求异面直线AE 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点B 到平面PCD 的距离．【答案】解：方法１,（1）因为底面ABCD 为边长为2的正方形，⊥PA 底面ABCD ,P S AQ O BMPABCD则 ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥CD A PA AD PA CD ADCD 平面PAD ，所以CPD ∠就是CP 与平面PAD 所成的角．………………2分在CDP Rt ∆中，由22tan ==∠PD CD CPD ，得22=PD ，…………………………3分 在PAD Rt ∆中，2=PA ．分别取AD 、PA 的中点M 、N ，联结MC 、NC 、MN ， 则NMC ∠异面直线AE 与PD 所成角或补角．……………4分 在MNC ∆中，2=MN ，5MC =，3NC =，由余弦定理得，()()22225310cos 10225NMC +-∠==-⋅， 所以10arccos10NMC π∠=-，………6分 即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos ．……7分（2）设点B 到平面PCD 的距离为h ，因为BCD P PCD B V V --=，…………………………9分 所以，11113232CD PD h BC CD PA ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，得2h =．……………………………14分 方法２，（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，同方法１，得2=PA ，……………3分 则有关点的坐标分别为()0,0,0A ，()2,1,0E ，()0,2,0D ，()2,0,0P ．………………5分 所以()2,1,0AE =，()2,2,0-=PD ．设θ为异面直线AE 与PD 所成角， 则()101085202102cos =⨯-⨯+⨯+⨯=θ，所以，1010arccos =θ，即异面直线AE 与PD 所成角的大小为1010arccos．…………………………………7分 （2）因为()2,2,0-=PD ，()0,0,2=CD ，()0,2,0=BC ，设()w v u n ,,=， 则由⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=-=⋅w v u u CD n w v PD n 002022，………………………………………………11分 可得()1,1,0=n ，所以222n BC d n⋅===．……………………………………14分 12.（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为边长为2的正方形，P ABCD EMNPAB CD Exyz PABCD⊥PA 底面ABCD , 2=PA ．（1）求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）求点A 到平面PBD 的距离．【答案】解：（1）联结AC 与BD 交于点M ，取PA 的中点N ，联结MN ，则CP MN //， 所以NMB ∠为异面直线PC 与BD 所成角或补角．……………………2分 在BMN ∆中，由已知条件得，5=BN ，2=BM ，3=MN ，…………5分所以222MN BM BN +=，2π=∠BMN ，所以异面直PC 与BD 所成角为2π．…7分 （或用线面垂直求异面直线PC 与BD 所成角的大小）（2）设点A 到平面PBD 的距离为h ，因为ABD P PBD A V V --=，……………9分所以，11113232BD PM h BC CD PA ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，得332=h ．（或在MAN Rt ∆中求解）………14分 13.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是棱1DD 的中点．（1）求直线BE 与平面11ABB A 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）在棱11C D 上是否存在一点F ，使得1//B F 平面1A BE ，若存在，指明点F 的位置；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）以A 为坐标原点，以射线1AB AD AA 、、分别为x y z 、、轴，建立空间 直角坐标系，如图所示.不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a （0a >），则(,0,0),(0,,)2aB a E a ，于是(,,)2a BE a a =- 3分 根据正方体的性质，可知11DA ABB A ⊥平面,故11AD ABB A 是平面的一个法向量且AD =(0,,0)a 4分设直线BE 与平面11ABB A 所成的较为θ，则22sin 0332BE AD a BE ADa a θ===>⨯ 5分 所以2arcsin3θ=，故直线BE 与平面11ABB A 所成的角的大小为2arcsin 3. 6分（2）假设在棱11C D 上是存在一点F ,使得11//B F A BE 平面,设(,,)F x a a （其中0x a ≤≤）111(,0,0),(0,0,),(,0,),(,,0)B a A a BA a a B F x a a =-=- 8分根据（1）可知，(,,)2aBE a a =- 9分设(,,)n x y z =平面1A BE 的一个法向量，则100n BA n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即002ax az aax ay z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩， 10分 取2z =，则(2,1,2)n =，由于直线11//B F A BE 平面,所以10B F n = 11分NPAB CDMBCDAO zxy即(,,0)(2,1,2)0x a a -=，化简得2()0x a a -+=，解得2ax = 12分 故在棱11C D 上是存在一点F ，使得11//B F A BE 平面,且点F 是棱11C D 的中点. 14分14.在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是棱1DD 的中点． 求直线BE 与11B A 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； 【答案】解：设正方体的棱长为a ，根据正方体的性质可得： 四棱锥E ABCD -的底面积2ABCD S a =，高2aED =2分21143323ABCD a V S ED a =⨯⨯=⨯=，解得2a = 5分因为11//AB A B ,所以ABE ∠即为异面直线BE 与11B A 所成角 或其补角， 8分在ABE 中，2,5,3AB AE BE ===,由余弦定理可得4952cos 02233ABE +-∠==>⨯⨯，即2arccos 3ABE ∠= 11分所以异面直线BE 与11B A 所成的较的大小为2arccos 3ABE ∠=. 12分15.(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】解：（1）在Rt AOB ∆中，2OB =，即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积8S rl ππ==侧………………..4’故圆锥的全面积=+8+412S S S πππ==全侧底……………….6’（2）解法一：如图建立空间直角坐标系．则(0,0,23),(2,0,0),(0,1,3)A C D(0,0,23),(2,1,3)AO CD ∴=-=-………………..8’设AO 与CD 所成角为θ，则66cos 42322AO CD AO CDθ⋅-===-⋅⋅………………..10’∴异面直线AO 与CD 所成角为6arc cos4………………..12’ 解法二：过D 作//DM AO 交BO 于M ，连CM则CDM ∠为异面直线AO 与CD 所成角………………..8’ 在Rt AOB ∆中，23AO = 3DM ∴= D Q 是AB 的中点 M ∴是OB 的中点 1OM ∴=5CM ∴=在Rt CDM ∆中，515tan 33CDM ∠==，………………..10’ ED 1C 1A 1B 1CDBA15arctan3CDM ∴∠=，即异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan 3……………….12’ 16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点. （1）试确定点F 的位置，使得1D E ⊥平面1AB F ;（2）当1D E ⊥平面1AB F 时，求二面角1C EF A --的大小（结果用反三角函数表示）. 【答案】解：（1）如图建系，设 ),10(≤≤=x x DF 1分则)0,1,()0,21,1()1,1,0()1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(11x F E D B D B A 2分)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(11x AF AB E D ==--=∴, 3分1111,011AB E D AB E D ⊥∴=-=⋅ 4分 由AF E D F AB E D ⊥∴⊥111,平面 5分21,01=⇒=⋅∴x AF E D 6分)0,1,21(F ∴，即F 为CD 中点时F AB E D 11平面⊥。

立体几何练习题及答案立体几何练习题及答案立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的几何形体。

在我们的日常生活中，立体几何无处不在，比如建筑物、雕塑、家具等。

掌握立体几何的基本概念和解题方法，不仅可以提高我们的空间想象能力，还能帮助我们解决实际问题。

下面，我将给大家提供一些立体几何的练习题及答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 题目：一个正方体的体积是64立方单位，求它的边长。

解答：设正方体的边长为a，则根据正方体的性质可知，它的体积等于边长的立方，即a³=64。

两边开立方根，得到a=4。

所以，这个正方体的边长是4个单位。

2. 题目：一个圆柱的底面半径为3cm，高为8cm，求它的体积和表面积。

解答：圆柱的体积公式为V=πr²h，其中r是底面半径，h是高。

代入已知条件，可得V=π×3²×8=72π。

所以，这个圆柱的体积是72π立方厘米。

圆柱的表面积公式为A=2πrh+2πr²。

代入已知条件，可得A=2π×3×8+2π×3²=48π+18π=66π。

所以，这个圆柱的表面积是66π平方厘米。

3. 题目：一个球的半径为5cm，求它的体积和表面积。

解答：球的体积公式为V=4/3πr³，其中r是半径。

代入已知条件，可得V=4/3π×5³=500/3π。

所以，这个球的体积是500/3π立方厘米。

球的表面积公式为A=4πr²。

代入已知条件，可得A=4π×5²=100π。

所以，这个球的表面积是100π平方厘米。

4. 题目：一个圆锥的底面半径为6cm，高为10cm，求它的体积和表面积。

解答：圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，其中r是底面半径，h是高。

代入已知条件，可得V=1/3π×6²×10=120π。

所以，这个圆锥的体积是120π立方厘米。

高中立体几何典型500题及解析(一)1、二面角βα--l 是直二面角，βα∈∈B A ，，设直线AB 与βα、所成的角分别为∠1和∠2，则（A ）∠1+∠2=900 （B ）∠1+∠2≥900 （C ）∠1+∠2≤900 （D ）∠1+∠2＜900 解析：C分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB 与平面,αβ所成的角。

根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2ABO ∴∠>∠1902190ABO ∠+∠=∴∠+∠≤2. 下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共．．面．的一个图是PPQQRSSPPPQQRR RSSSPP PQQQ R RS SS PP Q QR RRSS（A ） （B ） （C ） （D ） D解析： A 项：PS 底面对应的中线，中线平行QS ，PQRS 是个梯形B 项：如图C 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。

3. 有三个平面α，β，γ，下列命题中正确的是（A ）若α，β，γ两两相交，则有三条交线 （B ）若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ（C ）若α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，则a ⊥b （D ）若α∥β，β∩γ=∅，则α∩γ=∅ D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。

B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。

C 项：如图4. 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为1111C解析：11B C ⊥平面AB 111,B C PB ∴⊥，如图：点到定点B 的距离与到定直线AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B 1B 的中点为原点建立坐标系。

5. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与AD 1成600角的面对角线的条数是（A ）4条 （B ）6条 （C ）8条 （D ）10条C解析：如图这样的直线有4条，另外，这样的直线也有4条，共8条。

1.(本小题总分值14分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD 底面ABCD, PD DC 1, E 是PC 的中点,作EF PB 交PB 于点F.(I)证实： PA //平面EDB; (II)证实：PB ,平面EFD; (III)求三棱锥P DEF 的体积.2 .(本小题总分值(m)求三棱锥(I )求证：B 118.(本小题总分值14分)如右图,在直角梯形ABCD中, B=90 °,1DC//AB,BC=CD= -AB=2 , G 为线段AB 的中点,将VADG 沿GD 2折起,使平面ADG 平面BCDG,得到几何体A-BCDG.(1)假设E,F分别为线段AC,AD的中点,求证：EF//平面ABG;(2)求证：AG 平面BCDG;(3)求V C-ABD 的值.4、(本小题总分值14分)如图4, AA是圆柱的母线, AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点, AA AB 2.(1)求证：BC 平面A〔AC ；(2)求三棱锥A ABC的体积的最大值.图4C (n ) 求证：EF 面PAC;〔出〕求三棱锥B-PAC的体积.6 .〔本小题总分值14分〕如图,平行四边形ABCD中,CD 1, BCD 60,且BD CD ,正方形ADEF 和平面ABCD成直二面角,G, H是DF , BE的中点.〔I〕求证：BD 平面CDE ;〔n〕求证：GH 〃平面CDE；〔出〕求三棱锥D CEF的体积.7.〔本小题总分值14分〕右图是一个直三棱柱〔以A i B i C i为底面〕被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.A i B i = B i C i = l, ZAi B i C i = 90 ,AA i = 4,BB i=2, CC i=3.(I)设点O是AB的中点,证实：OC//平面A i B i C i;(II)求此几何体的体积.8 .(本小题总分值i4分)如图,在正方体ABCD—A i B i C i D i中,E、F为棱AD、AB的中点.(i )求证：EF//平面CB i D i；(2)求证：平面CAA i C■平面CB i D i.9 .(本小题总分值i4分)如图i ,在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度),将直角梯形DCEF沿CD折起,使平面DCEF 平面ABCD,连结局部线段后围成一个空间几何体,如图2.(I)求证：BE〃平面ADF ;(n)求三棱锥F BCE的体积.图图-10 .(本小题总分值14分)在直三棱柱ABC ABG中,AD 平面ABC,其垂足D落在直线A〔B上.(I )求证：BC A1B ；(n)假设AD J3, AB BC 2, P为AC的中点,求三棱锥P ABC的体积.B1…1 .解：(1)证实：连结AC, AC交BD于O,连结EO••・底面ABCD是正方形,,点O是AC的中点在PAC中,EO是中位线,,PA // EO而EO 平面EDB且PA 平面EDB,所以,PA //平面EDB.(2)证实：PD,底面ABCD 且DC 底面ABCD,,PD DCPD=DC,可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,.DE PC ①同样由PD,底面ABCD,得PDXBC•••底面ABCD是正方形,有DCXBC,,BC,平面PDC 而DE 平面PDC, BC DE ②由①和②推得DE 平面PBC而PB 平面PBC, . DE PB又EF PB 且DE EF E,所以PB ,平面EFD................................ 8分(3) . PD DC 1,由 PD ,平面 ABCD,PDXBC,又.BCXCD, PDACD = D,BC± PC.-CL 2f在Z^BDE 中,DE -------- , BD22221 DE2 BE 2 BD 2 — 2 而由(2), PB,平面EFD,••.BC,平面 PCD,3 c-一 2 0,即 DEL BE.2PBXDE,因而 DEL 平面 BEF,2在 RtABPD 中,BF BP BD , BF1 1 . V DE EF PF 32 2.解：(I)证实：连结 BD ,那么 BD // B 1D 1,ABCD 是正方形,,AC BD. CE 面 ABCD,,CE BD .又 A .CE C, BD 面 ACE. . AE 面 ACE, . . BD AE ,• .B 1D 1 AE .(n)证实：作BB 1的中点F,连结AF 、CF 、EF.• •・E 、F 是 CC 、BB 1 的中点,,CE?B 1F , • •・四边形B 〔FCE 是平行四边形,, CF// B 1E .E,F 是 CC 、BB 1 的中点,,EF//BC ,又 BC//AD , EF //AD ...............14分136；Rt 革EFEF. AF I CF C , B 1EI ED E ,,平面 ACF 〃面 B 1DE .又 AC 平面 ACF , . . AC 〃面 B 1DE .4证实：二.是底面圆周上异于 A, B 的任意 柱底面圆的直径, •••BCXAC,……2 分,.AA1,平面 ABC , BC i 平面 ABC, . AAiXBC,…… 4 分•.AA i AAC=A , AA 1 i 平面 AA i C, AC i 平面 AA1 C, . EC ,平面AA1C.……6分 (2)解法 1 :设 AC=x ,在 RtMBC 中,BC = J AB 2 AC 2 h x 2(o<x<2),……7 分....1 一 … 1 11 -~~2故 V ARABC = —S VABC AA 1— — AC BC AA 1 _x \ 4x (0<x<2),13 3 23即 V A 「ABC =4“ x 2 1 \/x 2 (4 x 2)：J (x 2~2)2~4 . ……11 分 23 33,-0<x<2 , 0<x 2<4 ,「.当 x 2=2,即 x = 五时, 三棱锥A 1-ABC 的体积的最大值为 -.……14分35(1)证实：在三角形 PBC 中,E 是PC 中点.F 为PB 中点所以 EF//BC , BC 面ABC, EF 面ABC, 所以 EF 〃面ABC ……4分,四边形ADEF 是平行四边形,AF // ED ,(3)S ABD - AB AD 2 •2VA BDE VE ABD1S ~ SABDCE1S3 SABDCE2 3又AB 是.O 的直径,所以BC AC …… ⑵ ……7分 由(1) (2)得 BC 面PAC 因EF//BC BC 面PAC ,所以EF 面PAC ……9分(出)因PA OO 所在的平面,AC 是PC 在面ABC 内的射影,1V B PACV P ABC S ABC PA37 . (1)证实：作OD //.交片81于口,连C 1D .那么 OD // BB 1 // CC 1 .作BH(n) PA BC面ABC 面ABCBC PA所成角 PCA 450,PA=AC11分在Rt ABC 中,E 是PC 中点,BAC -, AC BC 2412分Q O 是AB 的中点,OD1-(AA 1 BB 1) 3 CC 1 .2那么ODCQ 是平行四边形,OC // C 1D .……4分Q C 1D 平面 C 1B 1A 且 OC 平面C1B1A ,OC // 面 A 1B 1C 1.(2)如图,过B 作截面BA 2c 2CC 1 于 A 2,//面ABG,分别交AA1,Q CC 1 面 BA 2c 2, CC 1BH ,那么BH 平面AC .又Q A 2B AB 1 1 , BC 2B 1c l 1 , BH --, 2V B AA 2C 2C1 S A A 2c 2c3BH 1 1 厂J.21 (1 2) '2 -3 2 22PCA 即为PC 与面ABC'.2----- …14分3所求几何体体积为：V V B AACC . 八八 2 J 2 J8 .〔本小题总分值14分〕折叠之后平行关系不变. BC 平面ADF , AD 平面 • .BC//平面 ADF ,V AB|C 1 A2BC 21八, SA A 1B 1C 1BB 1 - 2 1〔1〕证实：连结 BD .在长方体AC i 中, 对角线BD//B 1D 1. 又Q E 、F 为棱AD 、AB 的中点, ・.EF //BD . . .EF //BD 1. 又 B 1D 1 平面 CBD 1, EF 平面 CB 1D 1,,EF//平面 CB 1D 1. (2) Q 在长方体 AC ［中,AA 1,平面 A 1B 1C 1D 1,而 B 1D 1 平面 A 1B 1C 1D 1, . AA iX B i D i . 又Q 在正方形 A 1B 1C 1D 1 中,A 1C 1 XB 1D 1, .. B 1D 1,平面 CAA 1C 1. 又Q B 1D 1 平面 CB 1D 1,,平面 CAA 1C 1,平面 CB 〔D 1. 14分9 .〔本小题总分值14分〕 证实：〔I 〕证法一：取 DF 中点为G,连结AG, EG 中, 八 1一 八 一八.CE — DF ,,EG 〃CD 且 EG CD 2 又•••AB 〃CD 且AB CD,,EG 〃AB 且 EG AB四边形ABEG 为平行四边形,,BE//AG. BE 平面ADF , AG 平面 ADF,. ・BE 〃平面 ADF ,证法二：由图1可知BC // AD , CE//DFV A 1B 1C 1 A 2BC 2同理CE〃平面ADF ................... 4分. BCI CE C , BC , CE 平面BCE ,,平面BCE 〃平面ADF ......... 6分. BE 平面BCE ,,BE 〃平面ADF ......... 7 分(II)解法1：V F BCE V B CEF .................... 8分由图1可知BC CD.平面DCEF 平面ABCD ,平面DCEF I平面ABCD CDBC 平面ABCD,..BC 平面DCEF ,1 1由图 1 可知DC CE 1 S CEF -CE DC .................. ........... 12 分2 2V F BCE V B CEF 3 BC S CEF解法2：由图1可知CD BC , CD CEBCI CE C. .CD 平面BCE ,. DF //DC点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1 ,由图1可知BC CE 1 S BCE 1-BC CE 2BCE 1 … c 13 CD S BCE 6解法3:过E作EH FC ,垂足为H , ....................... 8分由图1可知BC CD•••平面DCEF 平面ABCD,平面DCEFI 平面ABCD CD11分A B11分BC 平面 ABCD,. BC 平面 DCEF ,EH 平面 DCEF.BC EH,EH 平面BCF 1 、5S BCF -BC DF —, .......... 12 分 2 2又 BD CD. .BD ¥® CDE(n )证实：连结 EA ,那么G 是AE 的中点••• EAB 中,GH // AB又 AB//CD . GH //CD . .GH 〃平面CDE 11分 由 BC FC , FC .DC 2 DF 2 5, 在 CEF 中,由等面积法可得 EHV F BCE V E BCF EH S BCF13分 14分 6.(本小题总分值14分)(I )证实：平面 ADEF 平面ABCD ,交线为ADED AD• .ED 平面ABCDED BD2〔出〕解：设Rt BCD中BC边上的高为h1 1 -依题意：一2 h 1 32 23• • h —2_ ___ _____ .. 一、. .3即：点C到平面DEF的距离为- ---------------- 10•V D CEF V C DEF .32,33分------- 14 分。