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树与二叉树h

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信息技术奥赛辅导树与二叉树

信息技术奥赛辅导树与二叉树


D. (k+1)/2
18
满二叉树和完全二叉树 一般应用顺序存储结构 进行数据的存储。
对于非满二叉树，会有 某些编号没有对应的结 点（通常称为“虚结 点”），通常可以用特 殊标记符号（例如：#） 表示虚结点，将树转换 为满二叉树进行存储。
a
b
c
d ef g
hi
j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 abcdef g###h##i j
现实世界中，能用树的结构表示的例子： 学校的行政关系（P31）、书的层次结构（P32）、人类的家 族血缘关系等。
2
例：下图是一个有13个结点的树，其中A是 根，其余结点为分三个互不相交的子集： T1＝{B,E,F,K,L} T2＝{F,G} T3＝{D,H,I,J,M} T1、T2和T3都是 根A的子树。
二叉树是一种很有用的非线性结构。
二叉树具有以下两个特点： （1）非空二叉树只有一个根结点； （2）每一个结点最多有两棵子树，且分别称
为该结点的左子树与右子树。
5
6 6
二叉树的性质：
性质1：在任意一棵二叉树中，度为0的结点（即
叶子结点）总是比度为2的结点多一个。
例子1：某二叉树中度为2的结点有18个，则该二 叉树中有 19 个叶子结点。
满二叉树是指除最后一层外，每一层上的所有结点都有
两个子结点。
完全二叉树是指这样的二叉树：除最后一层外，每一层
上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边 的若干结点。 注意：满二叉树是完全二叉树，完全二叉树不一定是满 二叉树。
若一棵完全二叉树的结点数n为偶数，则叶子结点 数为结点数除以2（即：n/2），若结点数为奇数，则 叶子结点数为结点数加一再除以2（即：（n+1）/2） 10
第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念

第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念

（root），其余结点可分为m （m≥0）个互不相交的有限子集 T1、T2、…、Tm，而每个子集本身又是一棵树，称为根结点 root的子树。 树中所有结点构成一种层次关系！
第一层
树的特 点？
第二层 第三层 第四层
复习：二、树的基本术语
1.结点A、D的度？树的度？ 2;3;3; 2.根结点？分支结点？叶子结点？ A;BCDE;GHIJF;
在二叉链中，空指针的个数？
b A
B∧
C
∧D
∧E∧
∧F∧
∧G∧
n个结点 2n个指针域 分支数为n-1 非空指针域有n-1个 空指针域个数 = 2n-(n-1) = n+1
n=7 空指针域个数=8
39/10
40/10
二叉树
当n=3，结果为ห้องสมุดไป่ตู้。
第n个Catalan数
41/23
有n个结点并且高度为n的不同形态的二叉树个数是多少？ 该二叉树：有n层，每层一个结点，该结点可以
43/23
结点个数为n，树形可以唯一确定 叶子结点个数为n0，树形不能唯一确定 n为奇数时，n1=0； n为偶数时，n1=1。 n0=n2+1 高度h= log2(n+1)，是n个结点高度最小的二叉树
44/23
含有60个叶子结点的二叉树的最小高度是多少？
在该二叉树中，n0=60，n2=n0-1=59，n=n0+n1+n2=119+n1。 当n1=0且为完全二叉树时高度最小。 此时高度h=log2(n+1)= log2120=7。
作为双亲结点的左孩子，也可以作为右孩子 这样的二叉树的个数=1×2×…×2=2n-1。
例如，当n=3时有22=4个这样的二叉树。
第6章树和二叉树

第6章树和二叉树

2.孩子表示法 孩子表示法 在结点中设置指向每个孩子的指针域， 在结点中设置指向每个孩子的指针域，利用指针 指向该结点的所有孩子结点。 指向该结点的所有孩子结点。 大多采用按树的度设置结点的指针域的个数。 大多采用按树的度设置结点的指针域的个数。
9
6.1.4 树的存储结构
3.孩子兄弟表示法 孩子兄弟表示法 在结点中设置两个指针域， 在结点中设置两个指针域，一个指针域指向该结 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。
2
6.1.1树的定义 树的定义
结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 子树 称为结点的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 最大值称为树的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点 终端结点或 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点或叶 子 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 孩子结点和双亲结点： 孩子结点和双亲结点：树中一个结点的子树的根结点称 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点， 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点，称 为结点的祖先。 为结点的祖先。
17
6.2.2 二叉树的性质
性质4 具有n（ 性质 具有 （n>0）个结点的完全二叉树的深度 ）个结点的完全二叉树的深度h= log 2 n + 1 证明： 证明： 根据完全二叉树的定义可知深度为h-1层及以上的结点构成 根据完全二叉树的定义可知深度为 层及以上的结点构成 满二叉树，因此由性质2得深度为 得深度为h的完全二叉树满足 满二叉树，因此由性质 得深度为 的完全二叉树满足 n>2h-1-1和n≤2h-1 和 整理后得到 2h-1≤n<2h 不等式两边取对数， 不等式两边取对数，得 h-1≤log2n<h 由于h为正整数 为正整数， 由于 为正整数，因此 h= log 2 n + 1
第5章 树与二叉树习题参考答案【VIP专享】

第5章 树与二叉树习题参考答案【VIP专享】


2. 一棵具有 n 个结点的二叉树，其深度最多为 n ，最少为 [log2n]+1 。 3. 一棵具有 100 个结点的完全二叉树，其叶结点的个数为 50 。37 4. 以{5，9，12，13，20，30}为叶结点的权值所构造的哈夫曼树的带权路径长度是 217
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
树和二叉树习题及答案

树和二叉树习题及答案

树和二叉树习题及答案一、填空题1. 不相交的树的聚集称之为森林。

2. 从概念上讲，树与二叉树是两种不同的数据结构，将树转化为二叉树的基本目的是_树可采用孩子-兄弟链表（二叉链表）做存储结构，目的是利用二叉树的已有算法解决树的有关问题。

3. 深度为k的完全二叉树至少有2 k-1个结点。

至多有2 k-1个结点，若按自上而下，从左到右次序给结点编号（从1开始），则编号最小的叶子结点的编号是2 k-2+1。

4. 在一棵二叉树中，度为零的结点的个数为n，度为2的结点的个数为n2，则有n= n2+1。

5. 一棵二叉树的第i（i≥1）层最多有2 i-1个结点；一棵有n （n>0）个结点的满二叉树共有（n+1）/2个叶子和（n-1）/2个非终端结点。

6.现有按中序遍历二叉树的结果为abc，问有5种不同形态的二叉树可以得到这一遍历结果。

7. 哈夫曼树是带权路径最小的二叉树。

8. 前缀编码是指任一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀的一种编码方法，是设计不等长编码的前提。

9. 以给定的数据集合{4，5，6，7，10，12，18}为结点权值构造的Huffman树的加权路径长度是 165 。

10. 树被定义为连通而不具有回路的（无向）图。

11. 若一棵根树的每个结点最多只有两个孩子，且孩子又有左、右之分，次序不能颠倒，则称此根树为二叉树。

12. 高度为k，且有个结点的二叉树称为二叉树。

2k-1 满13. 带权路径长度最小的二叉树称为最优二叉树，它又被称为树。

Huffman14. 在一棵根树中，树根是为零的结点，而为零的结点是结点。

入度出度树叶15. Huffman树中，结点的带权路径长度是指由到之间的路径长度与结点权值的乘积。

结点树根16. 满二叉树是指高度为k，且有个结点的二叉树。

二叉树的每一层i上，最多有个结点。

2k-1 2i-1二、单选题1. 具有10个叶结点的二叉树中有 (B) 个度为2的结点。

(A)8 (B)9 (C)10 (D)112．对二叉树的结点从1开始进行连续编号，要求每个结点的编号大于其左右孩子的编号，同一结点的左右孩子中，其左孩子的编号小于其右孩子的编号，则可采用_（3）次序的遍历实现编号。

树与二叉树典型例题讲解

树与二叉树典型例题讲解


A
F
B
J
E
F H
G
I J
例6.14
Huffman编码设计实例
已知某系统在通信联络中只可能出现8种字符，其概率分别为0.05， 0.29，0.07，0.08，0.14， 0.23，0.03，0.11，试设计Huffman编码。 解一：先构造Huffman树，再进行编码。 Huffman编码实现过程：以报文所用的不同字符为叶结点，以字符 出现频率为权重构造Huffman树；然后将树中结点指向其左孩子的 分支标“0”，指向其右孩子的分支标“1”；每个字符的编码即为 从根到每个叶子（字符）的路径上得到的0、1序列。这种对字符的 编码就是Huffman编码。
100
0 1
HC
42
0 1 0
58
1
0
1 2
0 1
1 0
1
0
3
1
1 1 0 0 0
1
1 1 0 1 1
1
1 0 1 1
0
1
23
0
19
1
29
1
29
1
11
0
8 5
14
0
15
1
4 5 6 7 8
1
3 Huffman树
7
8 Huffman编码
解二：利用Huffman编码算法实现。根据题意，取8个字符的权分别为 （5，29，7，8，14，23，3，11），n=8，则m=2*8-1=15，按上述 算法可构造一棵Huffman树，如下左图和右图分别Huffman树的初始 状态和终止状态。
a
b b d g e h i c ^ d c ^
f e ^ g
^ ^ ^
树和二叉树的计算公式

树和二叉树的计算公式

树和二叉树的计算公式
树和二叉树是计算机科学中重要的数据结构，它们可以用于各种算法和数据处理应用。

在计算树和二叉树的性质和操作时，需要使用一些计算公式。

一、树的计算公式
1. 节点总数公式：假设一棵树有n个节点，那么它的节点总数
为n=1+r1+r2+...+rk，其中r1、r2、...、rk分别表示每个节点的
子节点数。

2. 叶子节点数公式：一棵树的叶子节点数等于每个非叶节点子
节点数之和加1，即l=r1+r2+...+rk+1。

3. 深度公式：一棵树的深度为从根节点到最深叶子节点的路径
长度，可以用递归的方式计算：d(T)=max{d(T1),d(T2),...,d(Tk)}+1，其中T1、T2、...、Tk是根节点的子树，d(Ti)表示第i个子树的深度。

二、二叉树的计算公式
1. 节点总数公式：假设一棵二叉树有n个节点，那么它的节点
总数为n=2^h-1，其中h为树的高度。

2. 叶子节点数公式：一棵二叉树的叶子节点数等于度数为2的
节点数加1，即l=n/2+1。

3. 深度公式：一棵二叉树的深度为从根节点到最深叶子节点的
路径长度，可以用递归的方式计算：d(T)=max{d(T1),d(T2)}+1，其
中T1、T2是根节点的左右子树，d(Ti)表示第i个子树的深度。

以上是树和二叉树的一些常用计算公式，可以用于分析和设计算法，帮助开发人员更好地理解和应用这些数据结构。

树和二叉树知识考点整理

树和二叉树知识考点整理

树和二叉树知识考点整理●树的基本概念●树的定义●n个结点的有限集●n=0代表空树●满足条件●只有一个根的结点●其余结点是互不相交的有限集，每个集合本身是一棵树，是根的子树●树是一种递归的数据结构●树的根结点没有前驱，其余结点只有一个前驱●树中所有结点可以有零个或多个后驱●基本术语●双亲、兄弟、孩子、祖先●度：孩子个数●分支结点：度大于0●叶子结点：度为0●深度：从下往上；●高度：从上往下；●有序树：从左到右是有次序的●路径和路径长度：路径是从上往下的●森林：m棵互不相交的树的集合。

●树的基本性质●结点数=所有结点度数之和+1●度为m的树中第i层上至多有m的i-1次分个结点●高度为h的m叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点●具有n个结点的m叉树的最小高度为「logm（n（m-1）+1）]●二叉树的概念●定义●一种树形结构，特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）并且二叉树的子树有左右之分，次序不可颠倒●二叉树与度为2的有序树区别●度为2的可以有三个结点，二叉树可以是空树●度为2的有序树的孩子左右之分是根据另一个孩子而言的；二叉树无论有没有，都要确定左右●特殊的二叉树●满二叉树●树中每一层都含有最多的结点●完全二叉树●高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当，每个结点都与高度为h的满二叉树中的编号一一对应●二叉排序树●用途：可用于元素的排序、搜索●左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又是一棵二叉排序树●二叉树的性质●非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点树加1，即n0=n2+1●非空二叉树上第k层至多有2^（k-1）个结点●高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点●具有n个结点的完全二叉树的高度为log2（n+1）取顶或者log2n取底+1●二叉树的存储结构●顺序存储结构●只适合存储完全二叉树，数组从0开始●链式存储结构●顺序存储的空间利用率太低●至少三个指针域：数据域、左指针域、右指针域●增加了指向父结点后，变为三叉链表的存储结构●在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域●二叉树的遍历和线索二叉树●二叉树的遍历●先序遍历●根左右●应用：求树的深度●中序遍历●左根右●后序遍历●左右根●应用：求根到某结点的路径、求两个结点的最近公共祖先等●三个遍历时间复杂度都是O(n)●递归算法和非递归算法的转换●层次遍历●需要借助队列●步骤●二叉树根结点入队，然后出队，访问出队结点，若有左子树，左子树根结点入队●遍历右子树，有右子树，右子树根结点入队。

数据结构树与二叉树常用计算公式

数据结构树与二叉树常用计算公式

数据结构树与⼆叉树常⽤计算公式在⼆叉树的理论推导以及⼀些⾼频类型题中，我们经常需要计算⼆叉树的总结点数，某⼀层的结点数以及已知结点数反推树的⾼度，本⽂围绕这⼏个⾼频知识点，归纳总结以下公式。

公式（1）⾮空⼆叉树叶⼦结点数 = 度为2的结点数 + 1 即，N0=N2+1（2）⾮空⼆叉树上第K层⾄多有2k−1个结点（K≥1）（3）⾼度为H的⼆叉树⾄多有2H−1 个结点（H≥1）（4）具有N个（N>0）结点的完全⼆叉树的⾼度为⌈log2(N+1)⌉或⌊log2N⌋+1（5）对完全⼆叉树按从上到下、从左到右的顺序依次编号1,2，...，N，则有以下关系：①当i>1 时，结点i的双亲结点编号为⌊i/2⌋，即当i为偶数时，其双亲结点的编号为i/2 ，它是双亲结点的左孩⼦；当i为奇数时，其双亲结点的编号为 (i−1)/2 ，它是双亲结点的右孩⼦。

②当 2i≤N时，结点i的左孩⼦编号为 2i，否则⽆左孩⼦。

③当 2i+1≤N时，结点i的右孩⼦编号为 2i+1 ，否则⽆右孩⼦。

④结点i所在层次（深度）为⌊log2i⌋+1 。

（设根结点为第1层）经典例题**408考研-2011-4** 若⼀棵完全⼆叉树有768个结点，则⼆叉树中叶结点的个数是_____。

A.257B.258C.384D.385解法1根据完全⼆叉树的性质，最后⼀个分⽀结点的序号为⌊n/2⌋=⌊768/2⌋=384 ，故叶⼦结点的个数为 768−384=384解法2由⼆叉树的性质N=N0+N1+N2和N0=N2+1 可知N=2N0−1+N1，2N0−1+N1=768显然，N1=1，2N0=768，则N0=384解法3完全⼆叉树的叶⼦结点只可能出现在最下两层，由题可计算完全⼆叉树的⾼度为10。

第10层的叶⼦结点数为 768−(29−1)=257第10层的叶⼦结点在第9层共有⌈257/2⌉=129 个⽗节点第9层的叶⼦结点数为 (29−1)−129=127则叶⼦结点总数为 257+127=384Processing math: 100%。

第5章 树和二叉树

第5章 树和二叉树

A
B A
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
T1
T2
M
2015年10月20日
T3
树的其它表示方式
A D K L F C G E B H M J I
A
A B E K L F C G
B C D
嵌套集合
E
D H M
F
G
H
I
J
I J
K
L
M
凹入表示
(A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))
广义表
2015年10月20日
北京林业大学信息学院
2015年10月20日
二叉树的链式存储
PARENT
lchild
data
rchild
DATA
lchild
data
parent rchild
LCHILD
RCHILD
北京林业大学信息学院
2015年10月20日
二叉链表
A A ^ B D lchild data rchild
B
C
E
G
F
二叉树的五种不同形态
2015年10月20日
练习
具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？普通树呢？ 5种/2种
2015年10月20日
二叉树的抽象数据类型定义
ADT BinaryTree{ 数据对象D: D是具有相同特性的数据元素的集合。 数据关系R: 若D=Φ，则R= Φ ； 若D≠Φ，则R= {H}；存在二元关系： ① root 唯一 //关于根的说明 ② Dj∩Dk= Φ //关于子树不相交的说明 ③ …… //关于数据元素的说明 ④ …… //关于左子树和右子树的说明 //至少有20个 基本操作 P： }ADT BinaryTree
数据结构第六章：树和二叉树

数据结构第六章：树和二叉树


性质2：深度为 的二叉树至多有 个结点(k≥ 性质 ：深度为k的二叉树至多有2 k 1 个结点 ≥1)
证明：由性质 ，可得深度为k 证明：由性质1，可得深度为 的二叉树最大结点数是
(第i层的最大结点数 ) = ∑ 2 i 1 = 2 k 1 ∑
i =1 i =1
k
k
10
性质3：对任何一棵二叉树 ，如果其终端结点数(即 性质 ：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数 即 叶节点)为 度为2的结点数为 的结点数为n 叶节点 为n0，度为 的结点数为 2，则n0=n2+1 证明： 为二叉树 中度为1的结点数 为二叉树T中度为 证明：n1为二叉树 中度为 的结点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 所以：其结点总数 又二叉树中，除根结点外， 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个 分支进入； 分支进入； 为分支总数， 设B为分支总数，则n=B+1 为分支总数 又：分支由度为1和度为 的结点射出，∴B=n1+2n2 分支由度为 和度为2的结点射出， 和度为 的结点射出 于是， 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 ∴n0=n2+1
7
结点A的度：3 结点 的度： 的度 结点B的度：2 结点 的度： 的度 结点M的度：0 结点 的度： 的度 结点A的孩子： ， ， 结点 的孩子：B，C，D 的孩子 结点B的孩子 的孩子： ， 结点 的孩子：E，F 树的度： 树的度：3 E K 结点A的层次： 结点 的层次：1 的层次 结点M的层次 的层次： 结点 的层次：4 L B F A C G H M

第六章树与二叉树教案 二叉树的类型定义 存储结构 遍历 哈夫曼树与哈夫曼编码

或 2k-1 ≤ n < 2k
即 k-1 ≤ log2 n < k
因为 k 只能是整数，因此， k =log2n + 1
问题：
一棵含有n个结点的二叉树，可能达 到的最大深度和最小深度各是多少？
1
答：最大n,
2
最小[log2n] + 1
第六章 树和二叉树教案
二叉树的类型定义 存储结构 遍历 哈夫曼树与哈夫曼编码
树是常用的数据结构
•家族 •各种组织结构 •操作系统中的文件管理 •编译原理中的源程序语法结构 •信息系统管理 •。。。。
2
6.1 树的类型定义 6.2 二叉树的类型定义
6.2.3 二叉树的存储结构 6.3 二叉树的遍历
二叉树上每个结点至多有两棵子树， 则第 i 层的结点数 = 2i-2 2 = 2i-1 。
性质 2 ：
深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个 结点（k≥1）。
证明：
基于上一条性质，深度为 k 的二叉
树上的结点数至多为
20+21+ +2k-1 = 2k-1 。
（等比数列求和）
k
k
(第i层的最大结点数) 2i1 2k
i 1
i 1
性质 3 ：
对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶 子结点（0度节点）、n2 个度为 2 的结 点，则必存在关系式：n0 = n2+1。
证明：
设 二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 又 二叉树上分支总数 b = n1+2n2
而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1 。

数据结构 第六章 树和二叉树


F
G
H
M
I
J
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
5
树的基本操作
树的应用很广，应用不同基本操作也不同。下面列举了树的一些基本操作： 1）InitTree(&T); 2）DestroyTree(&T); 3）CreateTree(&T, definition); 4）ClearTree(&T); 5）TreeEmpty(T); 6）TreeDepth(T); 7） Root(T); 8） Value(T, &cur_e); 9） Assign(T, cur_e, value); 10）Paret(T, cur_e); 11）LeftChild(T, cur_e); 12）RightSibling(T, cur_e); 13）InsertChild(&T, &p, i, c); 14）DeleteChild(&T,&p, i); 15）TraverseTree(T, Visit( ));
1
2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1
3
5 7
证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1 根据二叉树的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2
又因为在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩子结点 数为 n0*0+n1*1+n2*2(分支数） 而一棵二叉树中，除根结点外所有都为孩子结点，故该二叉 树的结点数应为孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1
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数据结构详细教案——树与二叉树

数据结构教案第六章树与二叉树目录6.1树的定义和基本术语 (1)6.2二叉树 (2)6.2.1 二叉树的定义 (2)6.2.2 二叉树的性质 (4)6.2.3 二叉树的存储结构 (5)6.3树和森林 (6)6.4二叉树的先|中|后序遍历算法 (7)6.5先|后|中序遍历的应用扩展 (9)6.5.1 基于先序遍历的二叉树(二叉链)的创建 (9)6.5.2 统计二叉树中叶子结点的数目 (9)6.5.3 求二叉树的高度 (10)6.5.4 释放二叉树的所有结点空间 (11)6.5.5 删除并释放二叉树中以元素值为x的结点作为根的各子树 (12)6.5.6 求位于二叉树先序序列中第k个位置的结点的值 (12)6.5.7 线索二叉树 (13)6.5.8 树和森林的遍历 (14)6.6二叉树的层次遍历 (16)6.7判断一棵二叉树是否为完全二叉树 (16)6.8哈夫曼树及其应用 (18)6.8.1 最优二叉树(哈夫曼树) (18)6.8.2 哈夫曼编码 (19)6.9遍历二叉树的非递归算法 (19)6.9.1 先序非递归算法 (19)6.9.2 中序非递归算法 (20)6.9.3 后序非递归算法 (21)第6章二叉树和树6.1 树的定义和基本术语1、树的递归定义1）结点数n=0时，是空树2）结点数n>0时有且仅有一个根结点、m个互不相交的有限结点集——m棵子树2、基本术语结点：叶子(终端结点)、根、内部结点（非终端结点、分支结点）；树的规模：结点的度、树的度、结点的层次、树的高度(深度)结点间的关系：双亲(1)—孩子(m)，祖先—子孙，兄弟，堂兄弟兄弟间是否存在次序：无序树、有序树去掉根结点非空树森林引入一个根结点3、树的抽象数据类型定义树特有的操作：查找：双亲、最左的孩子、右兄弟结点的度不定，给出这两种操作可以查找到一个结点的全部孩子插入、删除：孩子遍历：存在一对多的关系，给出一种有规律的方法遍历(有且仅访问一次)树中的结点ADT Tree{数据对象：D={a i | a i∈ElemSet, i=1,2,…,n, n≥0}数据关系：若D为空集，则称为空树；若D仅含一个数据元素，则R为空集，否则R={H}，H是如下二元关系：(1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root，它在关系H下无前驱；(2) 若D-{root}≠Ф，则存在D-{root}的一个划分D1, D2, …, D m (m>0)（D i 表示构成第i棵子树的结点集），对任意j≠k (1≤j, k≤m) 有D j∩D k=Ф，且对任意的i (1≤i≤m)，唯一存在数据元素x i∈D i, 有<root,x i>∈H（H表示结点之间的父子关系）；(3) 对应于D-{root}的划分，H-{<root, x1>,…, <root, x m>}有唯一的一个划分H1, H2, …, H m(m>0)（H i表示第i棵子树中的父子关系），对任意j≠k(1≤j,k≤m)有H j∩H k=Ф，且对任意i(1≤i≤m)，H i是D i上的二元关系，(D i, {H i})是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。

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TElemType data ; int Lchild,Rchild; } SBNode; typedef struct｛
SBNode nodes[MAXSIZE]; } SBTree;
举例
结点 左子
右子
1
26 34
1
2
6
2
3
4
3
0
4
4
0
0
4
4
0
0
特点:
6
0
0
找子方便,找父 结点不便.
三、二叉链表存储结构
第一层 第二层
( A ( B ( E (K,L),F),C(G),D( H (M),I,J )))
第四层 第三层
二、基本术语
结点：包括一个数据元素及若干个指向其它子树 的分支；例如，A，B，C，D等。
叶结点：无后件结点为叶结点；如K，L，M。 根结点：无前件的结点为根；例如，A结点。
子结点：某结点后件为该结点的子结点；例如，
方法描述： 从根结点a开始访问， 接着访问左子结点b， 最后访问右子结点c。
即：
根
A 访问根结点 B 先序遍历左子树 C 先序遍历右子树
a
左子 右子
bc
二、中序法（InOrder）
方法描述：
从左子结点b开始访问，
接着访问根结点a，
最后访问右子结点c。
即：
根
A 中序遍历左子树 B 访问根结点 C 中序遍历右子树
计算机学院
自动化学院
各种社会组织机构；
在计算机领域中，用树表示源
程序的语法结构；
2101 2102
2103
在OS中，文件系统、目录等组
织结构也是用树来表示的。
张三
李四 王五
……
线性结构
第一个数据元素 (无前驱)
最后一个数 据元素(无后继)
其它数据元素 (一个前驱、
一个后继)
树型结构
根结点 (无前驱)
1 2 3 4 467
1 2 3 4 4 67
•第i个结点就存放在第i个位置上； •第i个结点（i>1)的父结点就存放在第 i/2个位置; •第i个结点（i 2k-1 - 1)的左子结点就存放在第 2*i的个位置;右子存放在第2*i+1位置.
二、记录数组结构
存储结构描述: #define MAXSIZE 100; typedef struct SBNode {
树的定义2（递归结构）
树是一个或多个结点组成的有限集合T， 有一个特定结点称为根，其余结点分为m （ m0 ） 个 互 不 相 交 的 集 合 T1 ， T2，…,Tm。每个集合又是一棵树，被称 为这个根的子树。
树是一种递归结构，可以包含一个结点， 该结点包含不相交的树的指针（即子树）。
二、树的表示形式
数组实现方法（双亲表示法）、链表实现方式（孩子表 示法）、二叉链表实现方式（孩子兄弟表示法） 7.树、森林与二叉树的转换
2.4.1 树的基本概念
树形结构是以分支关系来定义的 层次结构。在客观世界中树形结
南京理工大学
构广泛存在，并应用于：
经管院 …… 信息学院 理学院
人类社会的族谱、家谱、行政
区域划分管理；
2.4.2 二叉树及其基本性质
一、定义
定义一：二叉树是另一种树形结构：
Binary_Tree =( D,R) 其中：D 是具有相同性质的数据元素的集合；
R 是在D上某个两元关系的集合，且满足： D中存在唯一称为根的数据元素，没有前件； D中其余元素都有且仅有一个前件； 每个结点至多只有两个子树； D中元素，或有两个互不相交后件，或无后件； 左、右子树分别又是一棵二叉树。
E
F
G
2.4.4 二叉树的遍历
遍历（Traversing）是树形结构的一种重要运 算，即按一定的次序系统地访问结构中的所 有结点，使每个结点只被访问一次。
遍历的方法很多，常用的有： 前序法（PreOrder） 中序法（InOrder） 后序法（PostOrder）
一、前序法（PreOrder）
性质3：在任意一棵二叉数中，度为0的结点 （即叶子结点）总是比度为2的结点多一个。
有n0个叶子结点，n1个度为1的结点，n2个度 为2的结点 ，总的结点数为
n=n0+n1+n2 n=m+1 所有进入分支的总数为m m=n1+2*n2 n0=n2+1
4.二叉树的性质四
具有n个结点的二叉树，其深度至少为 [log2 n]1 这个性质可以由性质2直接得到。
oC oF
Go Ho o I
•中序遍历序列： •后序遍历序列：
DBGEACHFI DGEBHIFCA
结点A的子结点为B，C，D。
父结点：某结点的前件称为该结点的父结点；例
如子结点C，B，D的父结点为A。
基本术语续
兄弟结点：同一父亲的孩子之间互为兄弟结点 （Sibling）；H，I，J互为兄弟。
路径：结点的序列n1，n2，…,nk(K1)是一条路径。 长度：长度等于路径中结点数-1。 结点度：结点拥有的子树数数目；例如，A的度为3。 树的度：树中结点的最大度数；上述树的度为3。 子树：以某结点的一个子结点为根构成的树称为该
（e）
O O
O
三、二叉树的性质
1.性质一
二叉树的第i层上至多有2i-1 个结点（ i 1）
利用归纳法证明：i=1时，只有一个结点，
1
对的；
2
3 假设对所有的j，1 j i，命题成立，即
4 4 6 7 在第j层上，至多有2j-1 个结点。
8 9 10 11 12 13 由归纳假设，第i-1层上至多有2i-2 个结点。
左、右子树本身又是一棵二叉排序树。
最后一句话可否去掉？ 区别与有序树
二叉排序树定义（二）
X是二叉排序树T中的一个结点；
所有的左后裔小于X；
所有的右后裔大于等于X；
T可以为空树；
T称为二叉排序树。
（a）二叉排序树
10 4 14
7 12 18
（b）非二叉排序树
14
14
18
13 4
10
14
结点的一棵子树。
基本术语续
高度：从一结点到叶结点的最长路径为该结点的高度； 例如，结点A到M的高度为4。 深度：从根结点到某结点的路径为该结点的深度； M的深度为4。 树的深度：树的最大层次称为树的深度。 森林：0棵或多棵互不相交的树的集合。对树中每个 结点而言，其子树的集合即为森林。 有序：如果将树中结点的各子树看成从左至右是有顺 序的（即不能互换），则称该树为有序树。否则，称为 无序树。
7
12
2.4.3 二叉树的存储结构 一、顺序存储（一维数组）
用数组存放 存储描述为： #define MAXSIZE 100；
typedef TElemType SBTree[MAXSIZE]；
SBTree bt； 查找不便。
a1 a2 a3 a4 ...
an
满二叉树存储举例
1 23 44 67
由于二叉树的每个结点的度至多为2，故
第i层上的最大结点数为第i-1层上的最大 结点数的2倍，即 2X2i-2 = 2i-1。
2. 二叉树的性质二
性质二
深度为k的二叉树上最多含有2k-1个结点（k 1）。
由性质一可见，深度为k的二叉树的最大结点数为： 2k-1 。
k 1
2i 2i 1
i 1
3. 二叉树的性质三
1
2
3
4 5 67
8 9 10 11 12 13
对某结点i（1 i 2k-1），其左子树的编号为2*i（偶 数），其右子树的编号为 2* i +1（奇数）；（非叶结点）若 i>1,则结点i父结点的编号为i/2(取整)。
根据这一性质，可用一维数组存储满二叉树的结点数据。 知道一个结点的编号，经计算就能求出左、右子树的根 及父结点的编号。
a
左子 右子
bc
三、后序法（PostOrder）
方法描述： 从左子结点b开始访问， A 后序遍历左子树
B 后序遍历右子树
接着访问右子结点c， C 访问根结点 最后访问根结点a。
即：
根
a
左子 右子
bc
二叉树的遍历举例
A
•前序遍历序列： A B D E G C F H I
o
B
o D o oE
O OO OOO
O OO
OO
特点: 叶结点只可能出现在层次最大的两层上.
完全二叉树的性质
设完全二叉树的结点总数为n，深度为k，某结点编 号为i（1 i n ），则有：
若i>1,则结点i的双亲结点的编号为i/2; 若2* i n,则结点i 的左子结点的编号为2* i,否则,结
点i为叶结点; 若2* i +1 n,则结点i 的右子结点的编号为2*i+1,否则,
1. 一般形式 2. 嵌套形式 3. 凹入形式 4. 广义表形式
1. 一般形式
A A
B
C
D
E
F GH I J
K
(a)
(a)只有根结点的树
L
M
(b)
(b)一般的树
2. 嵌套形式
A
EB F
KL
H M
C G
D JI
树的表示(凹入形式)
A B E
K L F C G D H M I J
树的表示(广义表形式)
3.二叉树 二叉树的定义 二叉树的性质（每层结点个数、总结点数） 二叉树的存储结构:顺序存储、记录数组结构(结点、左子、 右子)、链式存储结构（二叉链表三叉链表）
4.特殊二叉树 满二叉树（性质）、完全二叉树（性质）、平衡二叉树、 二叉排序树）