树与二叉树34页PPT

或深度为k的满二叉树中编号从1到n的前n个结点构成了一棵深度 为k的完全二叉树。
其中 2k-1 ≦ n≦2k-1 。
完全二叉树是满二叉树的一部分，而满二叉树是完全二叉树的特 例。
•完全二叉树的特点：
若完全二叉树的深度为k ，则所有的叶子结点都出现在第k层
或k-1层。对于任一结点，如果其右子树的最大层次为l，则其左 子树的最大层次为l或l+1。
结点的层次：从根开始定义为第1层，根的孩子
v
为第二层……。
树的深度（高度）：树中结点的最大层数。
森林（forest）：是m（m ≥ 0）棵互不相交的树
的集合。
6.2 二叉树
6.2.1 二叉树的定义 1 二叉树的定义
二叉树(Binary tree)是n(n≥0)个结点的有限集 合。若n=0时称为空树，否则： ⑴ 有且只有一个特殊的称为树的根(Root)结点； ⑵ 若n>1时，其余的结点被分成为二个互不相
(a) 二叉链表结点
(b) 三叉链表结点
图6-7 链表结点结构形式
(2) 二叉树的链式存储形式
例有一棵一般的二叉树，如图6-8(a)所示。以二叉链表和三叉链表 方式存储的结构图分别如图6-8(b) 、 6-8(c)所示。
a b cd
T a⋀
b ⋀c ⋀ d
T a ⋀⋀
b ⋀c ⋀ d
交的子集T1,T2，分别称之为左、右子树，并 且左、右子树又都是二叉树。 由此可知，二叉树的定义是递归的。
2 二叉树的基本形态 二叉树有5种基本形态，如图6-3所示。
AA
A
A
(a) (b)
(c) (d)
(e)
(a) 空二叉树 (b) 单结点二叉树 (c) 右子树为空

} CTree;
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三、树的孩子-兄弟(二叉链表)表示法
root
A
A
BC D
B C
EF
A
GB C
E
D
F
G
E
D
F
G
13
14
C语言的类型描述: 结点结构: firstchild data nextsibling
typedef struct CSNode{ ElemType data; struct CSNode *firstchild, *nextsibling;
// 返回该树的深度 if ( T.n == 0) return 0; else return Depth( T, T.r );
} // TreeDepth
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int Depth( CTree T, int root ){
max = 0;
p = T.nodes[root].firstchild;
while ( p ) {
} *ChildPtr;
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双亲结点结构 data firstchild
typedef struct { ElemType data; ChildPtr firstchild;
// 孩子链的头指针 } CTBox;
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树结构:
typedef struct { CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n , r ; // 结点数和根结点的位置
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6.6.1 最优二叉树（赫夫曼树）
路径长度定义为： 从树中一个结点到另一个结点之间
的分支构成这两个结点之间的路径，路 径上的分支数目叫做路径长度。
树的路径长度定义为： 从树根到每个结点的路径长度

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先根遍历时结点的
A
JK
EF
G
后根遍历时结点的 访问次序：
EFBCIJKHGDA
H
IJK
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森林
可以分解成三部分：
BCD
EF
G
H
IJK
1. 森林中第一棵树 的根结点；
2. 森林中第一棵 树的子树森林；
3. 森林中其它树构 成的森林。
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森林的遍历
先序遍历 若森林不空，则 访问森林中第一棵树的根结点; 先序遍历森林中第一棵树的子树森林; 先序遍历森林中(除第一棵树之外)其
} PTNode;
6
树结构: typedef struct {
PTNode nodes [MAX_TREE_SIZE]; int r , n ;
// 根结点的位置和结点个数 } PTree;
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二、孩子(链表)表示法:
第一种解决方案
data child1 child2 child3
childd
其中d是结点的度;
应当注意的是，和树对应的 二叉树，其左、右子树的概念 已改变为： 左是孩子，右是兄弟
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6.4.3 树和森林的遍历
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一、树的遍历 二、森林的遍历
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树的遍历:
先根(次序)遍历:
若树不空，则先访问根结点，然后 依次按先根遍历各棵子树。
后根(次序)遍历:
若树不空，则先依次按后根遍历各 棵子树，然后访问根结点。
4
一、双亲表示法:
data parent
A BC D
0 A -1 r=0 1 B 0 n=7 2C 0
EF
3D 0 4E 2
G
5F 2 6G 5

4
本讲重点、难点
树的定义和基本术语 二叉树
树的定义和基本术语
树的定义 树的基本术语
5
树的定义
树型结构是一类重要的非线性数据结构。直观 看来树是以分支关系定义的层次结构。
树型结构在客观世界中广泛存在，如人类社会 的族谱和各种社会组织机构都可用树来形象表示。
树在计算机领域中也有着广泛的应用，如在数 据库系统中，可用树来组织信息；在分析算法的行 为时，可用树来描述其执行过程。
Dl，Dr (3)若Dl ， Dr都不为空集，则Dl ， Dr本身又是一棵符合
本定义的二叉树，称为根root的左右子树。 基本操作P：(见教材) } ADT BinaryTree
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二叉树的5种基本形态
二叉树的定义
A
A
A
A
B
B
BC
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
空二叉树
根和空的 根和左子树 根和右子树 左右子树
用按归照纳题法意证，明二：叉树除最后一层，其余每一层上的结点都
有两归个纳孩基子：结点i =，1则层每时一，层只均有比一上个一根层结的点结，点个数多一
倍。
2i-1 = 20 = 1；
归纳假设：假设对所有的 j，1≤ j i，命题成立;
线性表和广义表 栈和队列 数组和广义表
树
……
线性表 广义表
栈
队列 ……
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树的定义
树的定义
树是由n (n 0)个结点组成的有限集合。 如果n = 0，称为空树； 如果n > 0，则:
有一个特定的称之为根(root)的结点，它只有后继，但没有前
驱；
除根以外的其它结点划分为m(m>0)个互不相交的有限集合T1, T2, …, Tm。

《树和二叉树》PPT课件
"树和二叉树"是计算机科学中重要的数据结构。本课件将详细介绍树和二叉树 的概念、存储结构、遍历方式、二叉搜索树、平衡树等内容。让我们一起探 索这个精彩领域吧！
概念介绍
树的定义及特点
树是由节点和边组成的非线性数据结构，具有分层结构和简洁性。
二叉树的定义及特点
二叉树是一种特殊的树，每个节点最多有两个子节点。
二叉搜索树是一种有序二叉树，左子树节点 都小于根节点，右子树节点都大于根节点。
2 插入和删除节点
通过比较节点值，插入或删除符合条件的节 点，保持二叉搜索树的有序性。
3 查找节点
通过比较节点值，快速定位目标节点。
4 遍历
二叉搜索树支持前序、中序和后序遍历。
平衡树
AVL树
AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，通过旋转操作 保持树的平衡。
二叉树的遍历方式
1 先序遍历
先访问根节点，然后按先序遍历左子树，再 按先序遍历右子树。
2 中序遍历
先按中序遍历左子树，然后访问根节点，最 后按中序遍历右子树。
3 后序遍历
先按后序遍历左子树，然后按后序遍历右子 树，最后访问根节点。
4 层序遍历
按层级顺序逐层访问二叉树节点。
二叉搜索树
1 定义及性质
二叉树的分类
根据子节点的数量和排列方式，二叉树可分为满二叉树、完全二叉树和平衡二叉树。
树和二叉树的存储结构
双亲链表存储
使用数组存储节点，并在节点 中保存父节点信息。
孩子链表存储
使用链表存储节点，并在节点 中保存子节点信息。
孩子兄弟链表存储
使用链表存储节点，并在节点 中保存第一个孩子节点和下一 个兄弟节点的信息。

root
A
B
C
B
∧C
D
E
G
(a) 二叉树
∧D ∧
∧E ∧ (b) 链式存储结构
∧G ∧
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6.2.4 声明二叉树类
1．二叉树的结点类
package ds_java; public class TreeNode1 {
public String data; public TreeNode1 left,right; public TreeNode1() {
}
}
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3．按后根次序遍历二叉树的递归 算法
public void postorder(TreeNode1 p)
{
//后根次序遍历二叉树
if(p!=null)
{
postorder(p.left);
postorder(p.right);
depth=3
E
F
G
H
I
J level=3
(a) n=0 空树
(b) n=1 树中只有一个根结点
(c) n=10,度为3的树
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6.1.2 树的术语
1．结点 2．孩子结点与双亲结点 3．兄弟结点 4．结点的度 5．叶子结点与分支结点 6．树的度
7．结点的层次 8．树的深度或高度 9．森林
– 当n>1时，除根结点之外的其他结点分为m（m≥0）个互不相交的集合 T1, T2, …, Tm，其中每个集合Tm（1≤i≤m）本身又是一棵结构与树类 同的子树（subtree）。每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱结点 ，但可以有零或多个直接后继结点。
root
root

}nodetype;
3．二叉树的基本操作
二叉树的基本操作有： （1）Initiate(bt)：建立一棵空二叉树。 （2）Create(x,lbt,rbt)：生成一棵以x为根结点的数据域信息，以
lbt和rbt为左、右子树的二叉树。 （3）InsertL(x,Parent)：将数据域信息为x的结点插入到二叉树
}nodetype;
int Initiate(nodetype **bt); //1、初始化建立二叉树bt的头结点
nodetype *Create(elemtype x,nodetype *lbt,nodetype *rbt); //2、生成一棵以x为根结点的数据 域值，以lbt和rbt为左右子树的二叉树
void PreOrder(nodetype *bt); //7、前序递归遍历二叉树bt
void InOrder(nodetype *bt); //8、中序递归遍历二叉树bt
void PostOrder(nodetype *bt); //9、后前序递归遍历二叉树bt
点为第二层，其余各层依次类推。 （8）深度：树中结点的最大层次数。 （9）森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。 （10）路径：树中存在结点系列，使得Ki是Ki+1的双亲（1≤i≤n-1）。 （11）路径长度：从树根到树中每一结点的路径长度之和。
1．树和二叉树的基本概念
（12）二叉树：或是空集或是由互不相交的子集构成。二叉 树的性质如下：
7、二叉树算法的C程序实现——定义、函数声明
#define elemtype int
#define MAXNODE 100
typedef struct BTreeNode{
elemtype Data;